Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Ex 11.2

प्रश्न 1.
∆ABC की भुजाएँ AB व AC पर क्रमशः D व E बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि DE || BC हो तो
(i) यदि AD = 6 सेमी., DB = 9 सेमी. और AE = 8 सेमी. हो तो || AC का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि  \frac{A D}{D B}=\frac{4}{13}  और AC = 20.4 सेमी. हो तो EC का मान ज्ञात कीजिए।
(iii)  \frac{A D}{D B}=\frac{7}{4}  और AE = 6.3 सेमी. हो तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
(iv) यदि AD = 4x – 3, AE = 8x – 7, BD = 3 – 1 और CE = 5x – 3 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) ∆AIBC में DE || BC दिया गया है अतः
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}  (आधारभूत अनुपातिकता प्रमेय से)
या  \frac{6}{9}=\frac{8}{E C}
∴ EC = 9 × 8 = 3 × 4 = 12 सेमी.
∴ AC = AE + EC
= 8 + 12
= 20 सेमी.

(ii) ∆ABC में DE || BC दिया गया है अतः
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}-\mathrm{AE}}


या,  \frac{4}{13}=\frac{A E}{20.4-A E}
या, 13AE= 4 (20.4 – AE):
या, 13AE = 4 × 20.4 – 4AE
या, 13AE + 4 AE = 4 × 20.4
या, 17AE= 4 × 20.4
\therefore \quad \mathrm{AE}=\frac{4 \times 20.4}{17}  = 4 × 1.2 = 4.8 सेमी.
∴ AE = 4.8 सेमी.
∴ EC = AC – AE
= 20.4 – 4.8 = 15.6 सेमी.

(iii) AABC में DE || BC दिया गया है अतः
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}
या  \frac{7}{4}=\frac{6.3}{\mathrm{EC}}
17EC = 4 × 6.3
\therefore \quad \mathrm{EC}=\frac{4 \times 6.3}{7}  = 4 × 9 = 3.6 सेमी.
∵ AC = AE + EC = 6.3 + 3.6 = 9.9 सेमी. उत्तर

(iv) AABC में DE || BC दिया गया है अतः
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}  (आधारभूत अनुपातिकता प्रमेय से)
प्रश्नानुसार  \frac{4 x-3}{3 x-1}=\frac{8 x-7}{5 x-3}
या (4 – 3) (5x – 3) = (3x – 1) (8Y – 7)
या 20 – 15 – 12x + 9 = 24 – 8x – 21 + 7
या 24 – 20 – 29x + 27x + 7 – 9 = 0
या 4 – 2x – 2 = 0
या 4 – 4x + 2 – 2 = 0
4x (x – 1) + 2 (x – 1) = 0
(x – 1) (4x + 2) = 0
∴ या तो x – 1 = 0
∴ x = 1
या 4x + 2 = 0
4x = – 2
x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}
\therefore \quad x=-\frac{1}{2}

प्रश्न 2.
∆ABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित हैं, निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
(iv) AD = 5.7 सेमी., BD = 9.5 सेमी., AE = 3.3 सेमी. तथा EC = 5.5 सेमी.
हल:
(i) दिया है कि AABC की भुजाओं AB एवं AC पर क्रमश: D व E दो बिन्दु स्थित हैं अतः
AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
हम जानते हैं कि
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}  (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

∵ BD=”AB – AD = 12 – 8 = 4 सेमी.
तथा EC = AC – AE = 18 – 12 = 6 सेमी.
\therefore \quad \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{8}{4}=2  सेमी. …………….(1)
तथा  \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{12}{6}=2  सेमी. …………………(2)
(1) व (2) से  \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}
DE || BC
(आधारभूत आनुपातिको प्रमेय के विलोम से)

(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.

∴ DE, BC के समान्तर नहीं है।

(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.

∴ DE, BC के समान्तर नहीं है।

(iv) AD = 5.7 सेमी., BD = 9.5 सेमी., AE = 3.3 सेमी., EC = 5.5 सेमी.

आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम से
⇒ DE || BC
⇒ DE भुजा BC के समान्तर है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में OA, OB और 0C पर क्रमशः L, M एवं N बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि LM || AB तथा MN || BC है तो दर्शाइए LN ॥ AC है।

हल:
दिया है-
∆ABC में बिन्दु L, M एवं N क्रमशः OA, OB तथा OC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित हैं कि
LM || AB तथा MN || BC.
सिद्ध करना है-
LN || AC
उपपत्ति-
∆OAB में LM || AB (दिया है)

प्रश्न 4.
∆ABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि BD = CE है। यदि ZB =∠C हो तो दर्शाइए DE || BC।
हल:
∆ABC में दिया है कि ∠B = ∠C

प्रश्न 5.
आकृति में DE || BC और CD || EF हो तो सिद्ध कीजिए AD2 = AB × AF

हल:
ΔABC में दिया है कि DE || BC हैं।

प्रश्न 6.
आकृति में यदि EF || DC || AB हो तो सिद्ध कीजिए कि  \frac{\mathbf{A} \mathbf{E}}{\mathbf{E} \mathbf{D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F} \mathbf{C}}

हल:
A और C को मिलाएँ जो EF को G पर प्रतिच्छेद करे (देखिए आकृति)।
AB || DC और EF || AB (दिया है)

इसलिए EF || DC (एक ही रेखा के समान्तर रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं) अब ΔADC में,
EG || DC (PTF EF || DC)
अतः  \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GC}}  (प्रमेय 6.1 के अनुसार) …………(i)
इसीप्रकार ΔCAB में

प्रश्न 7.
ABCD पर समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएँ तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए
(i)  \frac{\mathbf{D P}}{\mathbf{P L}}=\frac{\mathbf{D C}}{\mathbf{B L}}
(ii)  \frac{\mathrm{DL}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{D} \mathrm{C}}
हल:
दिया है-
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसकी भुजा BC पर बिन्दु P इस प्रकार है कि बढ़ी हुई DP भुजा AB को बिन्दु L पर काटती है।
सिद्ध करना है-
(i)  \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PL}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BL}}
(ii)  \frac{\mathrm{DL}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DC}}

उपपत्ति-
(i) स्पष्ट है कि AALD ) में BP || AD है।
अतः आधारभूत Aअनुपातिकता प्रमेय से

प्रश्न 8.
AABC की भुजी AB पर D और E दो ऐसे बिन्दु स्थित हैं कि AD = BE हो। यदि DP || BC तथा EQ || AC हो तो सिद्ध कीजिए PQ || AB।
हल:
ΔABC में दिया है कि DP || BC और EQ || AC

= बिन्दु P और Q त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
⇒ PO || AB.

प्रश्न 9.
∆BCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण o पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए  \frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}
हल:
दिया है-
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC है। विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है-
\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}
रचना-
O में से FO || DC || AB खींचिए।
उपपत्ति-
अब ΔDAB में,

प्रश्न 10.
यदि D और E क्रमशः AB और AC, त्रिभुज ABC की भुजाओं पर स्थित ऐसे बिन्दु हैं कि BD = CE हो तो सिद्ध कीजिए AABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:
त्रिभुज ABC में,

अत: त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु है।