Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 1.
वक्रों y² = 2x तथा x² + y² = 8 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में झांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
वृत्त का समीकरण
x² + y² = 8 ……….(1)
परवलय का समीकरण
y² = 2x …….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
x = – 4, 2
x = -4 के लिए) का मान √-8 प्राप्त होता है जो वास्तविक नहीं है। अतः x = 2 के लिए y का मान ± 2 होगा।
बिन्दु A के निर्देशांक (2,0), C के निर्देशांक (2, 2) तथा बिन्दु B के निर्देशांक (2√2, 0) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = BCODB का क्षेत्रफल
= 2 x BCOAB का क्षेत्रफल
= 2[OACO का क्षेत्रफल + ABCA का क्षेत्रफल]
= 2[∫|y(परवलय के लिए)| dx + ∫|y (वृत्त के लिए)| dx]
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 2.
परबलय 4y = 3x² का रेखा 3x – 2y + 12 = 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय 4y = 3x² तथा रेखा 2y = 3x + 12 एक-दूसरे को बिन्दुओं A(-2, 3) तथा B(4, 12) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में छायांकित भाग हैं।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
अभीष्ट क्षेत्रफल = BOAB का क्षेत्रफल ।
= ∫y ( रेखा के लिए) dx – ∫y (परवलय के लिए) dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 3.
वक्र y=\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } , x = √3y ; तथा x-अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y=\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } एक वृत्त है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है तथा त्रिज्या 2 है।
वृत्त y=\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } तथा रेखा x = √3y को हल करने पर
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
⇒ x² = 3(4 – x²)
⇒ x² = 12 – 3x²
⇒ x² + 3x² = 12
⇒ 4x² = 12
⇒ x² = \frac { 12 }{ 4 } = 3
⇒ x = √3
अत: x का मान केवल धनात्मक लेने पर निम्न सीमा x = 0 तथा उच्च सीमा x = √3
रेखा x = √3y मूल बिन्दु तथा विन्दु (√3,1) से जाती हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल
= OQP का क्षेत्रफल + QAP का क्षेत्रफल
= ∫y(रेखा के लिए) dx + ∫y(वृत्त के लिए) dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 4.
वृत्त x² + y² = 16 व रेखा y = x तथा x अक्ष के मध् यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 16 का केन्द्र मूल बिन्दु तथा त्रिज्या 4 इकाई हैं।
रेखा y = x मूल बिन्दु से गुजरती है तथा वृत्ते को A बिन्दु पर काटती हैं।
तब x² + y² = 16 एवं y = x को हल करने पर
x = 2√2 प्राप्त होता है।
∴ A के निर्देशांक (2√2, 2√2), P के निर्देशांक (4, 0) तथा B के निर्देशांक (2√2, 0) हैं।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल AOBA + क्षेत्रफल ABPA
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
= 4 + 4π – 4 – 2π
= 2π वर्ग इकाई

प्रश्न 5.
परवलयों y² = 4x तथा x² = 4y के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए परवलयों के समीकरण
y² = 4x ……(1)
x² = 4y …(2)
को हल करने पर, इनके प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) तथा (4, 4) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OMAPO का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 6.
वक्र x² + y² = 1 व x + y = 1 के मध्यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए वृत्त x² + y² = 1 का केन्द्र भूल विन्दु से गुजरता है तथा त्रिया 1 है। x + y = 1 सरल रेखा का समीकरण है जो कि बिन्दुओं (1, 0) एवं (0, 1) से गुरजती है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 7.
वक्र y² = 4ax, रेखा y = 2a एवं y-अक्ष के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y² = 4ax तथा रेखा y = 2a का अनुरेखण करने पर, चित्र में प्रदर्शित झयांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 8.
वृत्त x² + y² = 16 के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय y² = 6x के बाहर हो।
हल :
दिये गये वृत्त x² + y² = 16 की त्रिज्या 4 इकाई है तथा यह मूल बिन्दु से गुजरता है। माना यह परवलय y² = 6x को P व Q पर प्रतिच्छेदित करता है, तब दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x² + 6x = 16 ( ∵ y² = 6x )
x² + 6x – 16 = 0
x + 8x – 2 – 16 = 0
(x + 8) (x – 2) = 0
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
अत: x = – 8, + 2
यहाँ x का धनात्मक मान ही लेंगे।
अतः सीमा 0 तथा 2 और 2 तथा 4 लेंगे।
क्षेत्रफल POQSP
= 2 x क्षेत्रफल PORSP
= 2[क्षे. PORP + क्षे. PRSP]
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 9.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B(4, 5) एवं C(6, 3) हैं।
हल :
चित्र में ∆ABC को छायांकित किया गया है।
∆ABC की भुजा AB का समीकरण,
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
या y = – x + 4 + 5
या y = – x + 9
AC का समीकरण,
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
∆ABC का क्षेत्रफल = ∆APB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल – ∆AQC का क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 10.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी भुजाओं के समीकरण 3x – 2y + 3 = 0, x + 2y – 7 = 0 एवं x – 2y + 1 = 0 हैं।
हल :
दी गई रेखाएँ
3x – 2y + 3 = 0 …(1)
x + 2y – 7 = 0 …(2)
तथा x – 2y + 1 = 0 …(3)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
x = 1, y = 3
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर,
x = 3, y = 2
समीकरण (3) व (1) को हल करने पर,
x = – 1, y = 0
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
अब तीनों रेखाओं का ग्राफ खींचने पर,
अभीष्ट क्षेत्रफल
= क्षे. ABDCA – क्षे. CBDC
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2