Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
वक्र y = √x तथा y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) \frac { 1 }{ 9 } वर्ग इकाई
(c) \frac { 1 }{ 6 } वर्ग इकाई
(d) \frac { 2 }{ 3 } वर्ग इकाई
हल :
वक्र y = √x एक परवलय है जिसका समीकरण y² = x तथा केन्द्र मूल बिन्दु पर है। कार y = x एक रेखा है जोकि मूल विन्दु से गुजरती है। इनका अनुरेण इस प्रकार है।
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दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x = 0, x = 1
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OABCO
= क्षे. OABDO – क्षे. OBDO
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अत: विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 2.
y² = x तथा x² = y से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) \frac { 1 }{ 3 } वर्ग इकाई
(b) 1 वर्ग इकाई
(c) \frac { 1 }{ 2 } वर्ग इकाई
(d) 2 वर्ग इकाई
हल :
दिए गए परवलय के समीकरण
y² = x …….(1)
x² = y …….(1)
को हल करने पर, इनके प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) तथा (4, 4) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OMAPO का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल
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(परवलय y² = x के लिए) (परवलय x² = y के लिए)
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अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
परवलय x² = 4y तथा इसकी नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(a) \frac { 5 }{ 3 } वर्ग इकाई
(b) \frac { 2 }{ 3 } वर्ग इकाई
(c) \frac { 4 }{ 3 } वर्ग इकाई
(d) \frac { 8 }{ 3 } वर्ग इकाई
हल :
परवलय x² = 4y का अनुरेखण इस प्रकार है :
यहाँ a = 1
अतः नाभिलम्ब y-अक्ष को (0, 1) पर प्रतिच्छेदित करता है।
अभिलम्ब के समीकरण y = 1 तथा परवलय के समीकरण x² = 4y को हल करने पर, x = ±2
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अभीष्ट क्षेत्रफल = से AOCBA
= 2[क्षे. OQCBO – क्षे. OQCO]
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अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 4.
y = sin x,
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तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल हैं
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) 2 वर्ग इकाई
(c) \frac { 1 }{ 2 } वर्ग इकाई
(d) 4 वर्ग इकाई
हल :
वक्र y = sin x तथा x = π/2 एवं x = 3π/2 से धिरे क्षेत्रफल को चित्र में स्त्रयांकित किया गया है। x के विभिन्न मानों के लिए y = sin x की साराणी नीचे दी गई है।
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अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. PABP का क्षेत्रफल + क्षे. QBCQ का क्षेत्रफल
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= -( -1 – 0) + [0 – (-1)]
= +1+1
= 2 वर्ग इकाई
अत: विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
y² = 2x तथा वृत्त x² + y² = 8 से परिबद्ध का क्षेत्रफल
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हल :
दिए गए समीकरण परवलय y² = 2x जिसका केन्द्र (0, 0) तथा वृत्त जिसका केन्द्र (0, 0) व प्रिया 2√2 इकाई है, को प्रदर्शित करते हैं। इनका ग्राफ (अनुरेखण) इस प्रकार है तथा इनसे परिबद्ध क्षेत्र छायांकित किया गया है।
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समीकरण y² = 2x तथा x² + y² = 8 को इल करने पर,
x = – 4, 2
अतः x = 2 प्रथम चतुर्थाश में लेते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OAPBO
– 2 x क्षे. OMPBO
= 2 x ( क्षेत्रफल OMBO + क्षेत्रफल PMBP)
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अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
परवलय y² = x तथा रेखा x + y = 2 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = x तथा x + y = 2 का अनुरेखण करने पर अभीष्ट क्षेत्रफल को अयांकित भाग चित्रानुसार प्रदर्शित करता है।
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दोनों समीकरणों को हल करने पर,
(-x + 2)² = x
⇒ x² + 4 – 4x – x = 0
⇒ x² – 5x + 4 = 0
⇒ x² – 4x – x + 4 = 0
⇒ x(x – 4) – 1(x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x – 1) = 0
अत: x = 1, 4
x = 1 पर y = 1 तथा x = 4 पर y = -2 प्राप्त होते हैं।
अत: प्रतिच्छेदन विन्दु (-2, 4) हैं।
अत: अभीष्ट्र क्षेत्रफल
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अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \frac { 9 }{ 2 } वर्ग इकाई ।

प्रश्न 7.
प्रथम चतुर्थांश में वक़ों y² = 2ax – x² व y² = ax के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक़ों y² = 2ax – x² तथा y² = ax का अनुरेखण करने पर छायांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है।
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दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x = 0, a
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OPMO
= क्षे. OMPQO – क्षे. POQP
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(परवलय y² = 2ax – x² से) (परवलय y² = ax से)
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प्रश्न 8.
परबलव y = x² तथा y = | x | के प्रयवी क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y = x² एक परवलय है किसका शौर्ष (0, 0) तथा यह y-अक्ष के सममित है।
समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निपत करता है।
जब x>0, तब y = x
जब x<0, तब y = – x
रेखा y = x तथा परवलय y = x² के प्रतिच्छेद बिन्दु O(0, 0) तथा A(1, 1)
रेखा y = -x तथा परवलय y = x² के प्रतिध्द विन्दु O(0, 0) तथा B(- 1, 1) हैं।
रेखाओं y = x तथा y = -x और परवयं y = x² से घिरे क्षेत्र को पत्र में छायांकित किया गया है।
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अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र BLOMA का क्षेत्रफल
= 2 x OMA का क्षेत्रफल
= 2 [∆OQA का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल]
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प्रश्न 9.
वृत्त x² + y² = 16 तथा परवलय y² = 6x के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 16 का केन्द्र मूल विन्दु तथा त्रिज्या 4 इकाई है। परवलय y² = 6x का शीर्ष मूल बिन्दु है। इन वक्रों का उभयनिष्ठ धोत्र चित्र में रेखांकित किया गया है। दोनों वक़ बिन्दुओं P तथा Q पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। इन बिन्दुओं के निर्देशांकों को वक़ों के समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।
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वक़ के समीकरण x² + y² = 16 …(1)
y² = 6x …..(2)
समीकरण (2) से y² = 6x समीकरण (1) में रखने पर,
x² + 6x = 16
या x² + 6x – 16 = 0
या x² + 8x – 2x – 16 = 0
या (x + 8) – 2(x + 8) = 0
या (x + 8) (x – 2) = 0
या x + 8 = 0 या x – 2 = 0
x = – 8 या x = 2
जब x = – 8 तब समीकरण (2) से,
y² = 6 x (-8) = – 48
∵ y = ± √-48 जो कि वास्तविक नहीं है।
जब x = 2 तब समीकरण (2) से,
y² = 6 x 2 = 12
∴ y = ± 2√3
अतः बिन्दुओं P तथा Q के निर्देशांक क्रमशः (2,2√3) तुषा (2, – 2√3) हैं।
दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= 2 x ODAPO का क्षेत्रफल
= 2[क्षेत्र ODPO का क्षेत्रफल + क्षेत्र DAPD का क्षेत्रफल]
= 2 ∫| (y परवलय के लिए) | dx + ∫| (y वृत्त के लिए) | dx
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प्रश्न 10.
वक़ x² + y² = 1 तथा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त का समीकरण x² + y² = 1 तथा रेखा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र चित्र में अयांकित किया गया है।
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अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल APBQA
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प्रश्न 11.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हुन :
त्रिभुज का आलेख चित्र में प्रदर्शित है। अभीष्ट क्षेत्रफल छायांकित किया गया है।
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अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
= ∆ABP का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल – ∆AQC का क्षेत्रफल …(1)
रेखा (भुजा) AB का समीकरण
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रेखा (भुजा) BC का समीकरण
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रेखा ( भुजा) CA का समीकरण
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अब ∆ABP का क्षेत्रफल = ∫(y रेखा AB के लिए) dx
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समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल
= ∫ (y रेखा BC के लिए) dx
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त्रिभुज AQC का क्षेत्रफल
= ∫ (y रेखा AC के लिए) dx
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अब समीकरण (1) में ∆ABP के क्षेत्रफल, समलम्ब चतुर्भुज BPAQ के क्षेत्रफल तथा ∆AQC के क्षेत्रफल के मान रखने पर,
अभीष्ट ∆ABC का क्षेत्रफल
= 3 + 5 = 4 = 4 वर्ग इकाई
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई।

प्रश्न 12.
रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष तथा कोटियों x = -1 व x = 1 से घिरा क्षेत्र छायांकित करके चित्र में प्रदर्शित है।
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अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ACBA + क्षे. CDEC
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प्रश्न 13.
y² = 2x, y = 4x – 1 व y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = 2x, रेखा y = 4x – 1 तथा y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र को चित्र में यांकित किया गया है।
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समी. y² = 2x तथा y = 4x -1 को हल करने पर
बिन्दु (0, -1) तथा ( \frac { 1 }{ 2 } , 1) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OABCO
= क्षे. OAMO – क्षे. NAMN
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प्रश्न 14.
वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
हल :
वक्र y² = 4x एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है और यह x-अक्ष के सममित है।
वक्र y² = 4x, y-अक्ष तथा रेखा y = 3 से घिरा क्षेत्र चित्र में रेखांकित भाग से दिखाया गया है जो कि AOBA है।
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∴ अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA
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प्रश्न 15.
दो वृत्तों x² + y² = 4 तथा (x – 2)² + y² = 4 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हुल :
दिए गए वृत्तों के समीकरण
x² + y² = 4 …(1)
तथा (x – 2)² + y² = 4 …(2)
समीकरण (1) से प्रदर्शित वृत्त का केन्द्र मूलबिन्दु (0, 0) तथा त्रिज्या 2 इकाई है। समीकरण (2) से प्रदर्शित वृत्त का केन्द्र (2, 0) x-अक्ष पर है तथा इसकी त्रिज्या भी 2 इकाई है। दोनों वृक्षों के मध्यवर्ती क्षेत्र को चित्र में अयांकित किया गया है।
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समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
वृत्त के प्राप्त प्रतिच्छेद बिन्दु P(1,√3) तथा Q(1, -√3) हैं।
दोनों वृत्त x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2(क्षे. OPACO) = 2 [क्षे. OPCO + क्षे. CPAC]
= 2[क्षेत्र OPCO (वृत्त (x – 2)² + y² = 4 का भाग) + क्षेत्र CPAC (वृत्त x² + y² = 4 का भाग)
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2∫y dx (वृत्त (x – 2)² + y² = 4 के लिए) + ∫y dx (वृत्त x² + y² = 4 के लिए)
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