Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

निम्नलिखित अवकलन समीकरण को हल कीजिए :

प्रश्न 1.
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हल :
दी गई अवकल समीकरण
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समीकरण (1) से
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प्रश्न 2.
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हल :
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⇒ t – log (t + 1) = x + C1
⇒ (x + y + 1) – log (x + y + 1 + 1) = x + C1
⇒ y + 1 – log (x + y + 2) = C1
⇒ log (x + y + 2) = (y + 1) + C1
⇒ log (x + y + 2) = y + (C1 + 1)
⇒ elog(x+y+2) = ey+(C1+1)
⇒ x + y + 2 = ey(e(C1+1))
⇒ x + y + 2 = ey.C
जहाँ C = e(C1+1)
अत: अभीष्ट हल x + y + 2 = Cey है।

प्रश्न 3.
cos (x + y)dy = dx
हल :
माना x + y = v
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यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
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हल :
माना x + y = v
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∴ समाकलन करने पर,
– e– v – x = C1
x + e– (x+y) = C
(∵ v = x+y तथा C = – C1)
यही अभीष्ट हुल हैं।

प्रश्न 5.
(x + y) (dx – dy) = dx + dy
हल :
⇒ (x + y) (dx – dy) = dx + dy
⇒ (x + y)dx – (x + y)dy = dx + dy
⇒ dy + (x + y)dy = (x + y) dx – dx
⇒ [(1 + (x + y)]dy = (x + y – 1) dx
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⇒ x + y + log (x + y) = 2x + 2C1
⇒ log (x + y) = 2x – x – y + 2C1
⇒ log (x + y) = x – y + 2C1
⇒ log (x + y) = x – y + C1
जहाँ C = 2C1 है।
अत: अभीष्ट हल x – y + C = log (x + y) है।

प्रश्न 6.
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हल :
माना
x + y + 1 = v
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यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
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हल :
दी गई अवकल समीकरण
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समीकरण (1) से
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∫sec² u du – ∫sec u tan u du = x + C1
tan u – sec u = x + C1 [u = x + y रखने पर]
tan (x + y) – sec (x + y) = x + C1
या x = tan (x + y) – sec (x + y) + C
जहाँ C = – C1

प्रश्न 8.
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हल :
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2x + (x – y)² + 2C1 = 0
2x + (x – y)² = – 2C1
अतः अभीष्ट हल 2x + (x – y)² = C है, जहाँ C = -2C1 है।

प्रश्न 9.
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हल :
इसी अभ्यास का प्रश्न 3 पर देखें।

प्रश्न 10.
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हल :
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⇒ 2v + log (v + 2) = x + C
⇒ 2(x – y) + log (x – y + 2) = x + C
यहीं अभीष्ट हल है।