Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.6

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए :

प्रश्न 1.
x²ydx – (x3 + y3)dy = 0
हल :
x²ydx – (x3 + y3)dy = 0
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जो समघातीय हैं।
∴ y = vx रखने पर,
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अब समीकरण (1) तथा (2) से,
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दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
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यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 2.
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हल :
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अतः f(x,y) शून्य घात का समघातीयफलन है।
y = vx रखने पर, …(ii)
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अब समीकरण (i),(ii) तथा (iii) से,
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दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
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यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
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हल :
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यह समघात समी. है।
y = vx रखने पर
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⇒ -x = – y log x + Cy
⇒ x + Cy = y logx

प्रश्न 4.
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हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण
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यह \frac { dy }{ dx } = F(x, y) के रूप का अवकल समीकरण है।
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अत: F(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है। माना
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समीकरण (2), (3) तथा (4) से,
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समीकरण (5) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
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यह अवकल समीकरण (1) का व्यापक हुल है।

प्रश्न 5.
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हल:
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⇒ या f(λx, λy) = λ0(x, y)
अतः f(x, y) शुन्य घात का समघार्तीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
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समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
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दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
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यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.
(x² + y²) dx = 2xydy
हल :
(x² + y²) dx = 2xydy
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अब समीकरण (1) तथा (2) से,
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दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
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यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
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हल :
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अत: f(x, y) शून्य घात का समधी फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय हैं।
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समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
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दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
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अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 8.
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
हल :
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
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यह समघात अवकल समीकरण है।
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समीकरण (1) में मान रखने पर,
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यह दी हुई अवकल समीकरण का अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 9.
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हल:
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यह समधातीय समी. है।
y = vx रखने पर।
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यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 10.
x(x – y) dy = y(x + y) dx
हल :
x(x – y) dy = y(x + y) dx
इस समीकरण को इस प्रकार भी लिख सकते है।
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यह समघातीय समीकरण है।
∴ माना y = vx, तब
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