Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.7

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए

प्रश्न 1.
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.7
हल :
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h तथा k इस प्रकार हैं कि
3h + 2k – 5 = 0 तथा 2h + 3k – 5 = 0
हल करने पर, h = 1, k = 1
समीकरण (1) में h व k के मान रखने पर,
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यह एक समधातीय समीकरण है।
तब Y = vX
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⇒ – 2 log X + log c = log (3V² + 4V + 3)
⇒ log {(3V² + 4V + 3)X²} – log C
⇒ x²[3(x²/x²) + 4(Y/X) + 3] = C
⇒ 2Y² + 4XY + 3X² = C
⇒ 3(y – 1)² + 4(y – 1)(x – 1) + 3(x – 1)² = C
⇒ 3x² + 3y² + 4xy – 10x – 10y + 10 = C
⇒ 3(x² + y²) + 4xy – 10(x + y – 1)-C

प्रश्न 2.
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हल :
यहाँ
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x – y = v रखने पर,
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x + C = 2v + log (v + 2)
x + C = 2(x – y) + log (x – y + 2)
x – 2y + log (x – y + 2) = C,
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
हल :
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
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समाकलन करने पर,
⇒ 3x + C = 2v + log (v – 1)
⇒ 3x + C = 2(2x + y) + log (2x + y – 1), [∵ v = 2x + y]
⇒ x + 2y + log (2x + y – 1) = C,
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
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हल :
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तब माना x + y = v
⇒ 1 + (dy/dx) = (dv/dx)
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∴ समाकलन करने पर,
x + C = -2v – 2 log (1 – v)
या x + C + 2(x + y) + 2 log (1 – x – y) = 0 [∵ v = x + y]
या 3x + 2y + 2 log (1 – x – y) + C = 0,
यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
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हल :
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h व k इस प्रकार हैं कि
6h – 2k – 7 = 0 तथा 2h + 3k – 6 = 0
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
h = \frac { 3 }{ 2 } , k = 1
h व k के मान समी. (1) में रखने पर
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यह एक समघातीय समीकरण है तब Y = vX रखने पर,
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⇒ 2 log X = – log (3v² + 4v – 6) + log c
⇒ log X² + log (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ log X² (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ X² (3V² + 4v – 6) = c
⇒ 3Y² – 4XY + 6X²