Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Ex 12.2

प्रश्न 1.
निम्न में सत्य/असत्य लिखिए और अपने उत्तर का कारण सम्भव हो तो बताइए।

  1. एक वृत्त की AB व CD क्रमशः 3 सेमी, एवं 4 सेमी. माप की जीवाएँ हैं जिनके द्वारा केन्द्र पर क्रमशः 7O° एवं 5O° के कोण निर्मित हैं।
  2. एक वृत्त की जीवाएँ जिनकी लम्बाइयाँ 1O सेमी. और 8 सेमी. हैं, केन्द्र से क्रमशः 8 सेमी. और 5 सेमी. दूरियों पर स्थित हैं।
  3. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB व CD में से प्रत्येक केन्द्र से 4 सेमी. दूरी पर हैं तब AB = CD है।
  4. O और O’ केन्द्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त A और B दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तब ∠AOB = ∠AO’B है।
  5. तीन संरेख बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
  6. दो बिन्दुओं A और B से होकर 4 सेमी, त्रिज्या का वृत्त खींचा जा सकता है, यदि AB = 8 सेमी. है।

हल:

  1. दिया गया कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि छोटी जीवा की अपेक्षा बड़ी जीवा केन्द्र पर बड़ा कोण अन्तरित करती है।
  2. दिया गया कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि बड़ी जीवा केन्द्र से कम दूरी पर स्थित होती है।
  3. यह कथन सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि केन्द्र से दोनों जीवाओं की दूरियाँ बराबर हैं। अतः AB = CD होगा।
  4. यह कथन सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ संगत केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
  5. यह कथन असत्य हैं क्योंकि हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं से होकर जाने वाला वृत्त उन दोनों बिन्दुओं के संरेखें तीसरे बिन्दु से होकर नहीं जा सकता।
  6. यह कथन सत्य है क्योंकि AB व्यास है।

प्रश्न 2.
यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी. है और इसकी एक जीवा की लम्बाई 1O सेमी. हो, तो इस जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ ∆OPB में OB = 13 सेमी.
AB = 10 सेमी.
OP ⊥ AB खींचा।
किसी वृत्त के केन्द्र से किसी जीवा पर डाला गया लम्ब उसे समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 3.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक-दूसरे के समान्तर हैं तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है–

AB = 6 सेमी.
CD = 12 सेमी.
PQ = – 3 सेमी.
माना वृत्त की त्रिज्या = x सेमी.
समकोण त्रिभुज CPO में

समकोण त्रिभुज OQA में

समी. (1) तथा (2) को बराबर करने पर

प्रश्न 4.
आकृति में, दो समान जीवाएँ AB और CD एक-दूसरे को E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि चाप DA = चाप CB।

हल:
दिया है-
वृत्त C (O, r) में जीवा AB = जीवा CD, परस्पर E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
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प्रश्न 5.
आकृति में, AB और CD एक वृत्त MA की समान जीवाएँ हैं। वृत्त का केन्द्र O है। OM ⊥ AB और ON ⊥ CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि ∠OMN = ∠ONM

हल:
दिया हुआ है-
AB और CD एक वृत्त की समान लम्बाई की दो जीवायें हैं। जिन पर क्रमशः OM और ON वृत्त के केन्द्र O से लम्ब हैं। MN लम्ब पादों को मिलाने वाला रेखाखण्ड है।
सिद्ध करना है
∠OMN = ∠ONM
उपपत्ति-
AB व CD वृत्त की समान जीवायें हैं।
∴ OM = ON
(किसी वृत्त की समान लम्बाई की जीवाओं पर वृत्त के केन्द्र से उन पर लम्बों की लम्बाई बराबर होती है)
अब ∆OMN में
OM = ON
∴ OMN समद्विबाहु त्रिभुज है।
पुनः समद्विबाहु त्रिभुज में समान लम्बाई की भुजाओं के कोण बराबर होते हैं।
∠OMN = ∠ONM इतिसिद्धम्

प्रश्न 6.
आकृति में, O और O’ दिए गए वृत्तों के केन्द्र हैं। AB || OO’ है। सिद्ध B E D. कीजिए कि AB = 200′.

हल:
उपपत्ति-
AB || OO’, OD ⊥ AB, O’E ⊥ AB
BE = EC
BC = 2EC …………..(1)

प्रश्न 7.
AB और CD वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 1O सेमी., CD = 24 सेमी. और AB || CD है। AB एवं CD के बीच की दूरी 17 सेमी. है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O वृत्त का केन्द्र है। इसमें AB = 1O, CD = 24 सेमी. वृत्त की दो जीवायें हैं। इनके बीच की दूरी 17 सेमी. है।
माना वृत्त की त्रिज्या = r सेमी.
और OP = x सेमी.


r=\sqrt{169}=13  सेमी.
अतः वृत्त की त्रिज्या = 13 सेमी.

प्रश्न 8.
10 सेमी. त्रिज्या के एक वृत्त में, दो समान्तर जीवाओं की लम्बाई क्रमशः 12 सेमी. एवं 16 सेमी. है। AB और CD के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए, यदि जीवाएँ
(क) केन्द्र के एक ही ओर हों,
(ख) केन्द्र के विपरीत ओर हों।
हल:
(क) जब जीवायें केन्द्र के एक ही ओर स्थित होंदिया गया है–

(ख) जब जीवायें केन्द्र के विपरीत ओर हों जब जीवायें केन्द्र के विपरीत ओर स्थित होती हैं तब उन जीवाओं के केन्द्रों के बीच की दूरी होगी।

= OP + OQ
= 6 + 8 = 14 सेमी.

प्रश्न 9.
एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि AB = CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
हल:
दिया है-
चतुर्भुज ABCD के शीर्ष वृत्त पर इस प्रकार स्थित है कि . AB = CD
सिद्ध करना है-
AC = BD
उपपत्ति-

∴ AB = CD (दिया है)

(एक ही वृत्त में बराबर चाप 4 बराबर जीवा) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 10.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के क्रमित भाग क्रमशः दूसरी जीवा . के संगत भागों के बराबर होते हैं।
हल:
दिया है-केन्द्र O वाले वृत्त में जीवा AB = जीवा CD है। AB और CD एक-दूसरे को E पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सिद्ध करना है-
AE = CE तथा BE =DE
रचना-
OL ⊥ AB और OM ⊥ CD खींचा तथा OE को मिलाया।
उपपत्ति-

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर जीवाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल:
दिया है-
AB व CD एक वृत्त की दो जीवायें हैं। जिसका केन्द्र O पर है और M व N, AB वे CD के क्रमशः मध्य बिन्दु हैं।”

सिद्ध करना है-
रेखाखण्ड MN वृत्त के केन्द्र O में होकर गुजरता है।
रचना-
AB या CD के समान्तर वृत्त की त्रिज्या EO खींचो जो आगे बढ़ाने पर वृत्त पर F पर कटती है और M व N को O से मिलाओ।
उपपत्ति-
∴ MA || OE और ∠AMO = 1 समकोण वृत्त के केन्द्र से जीवा के मध्य बिन्दु को जोड़ने वाली रेखा जीवा के लम्बवत् होती है।
∴ ∠AMO +∠EOM = 2 समकोण
जब दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है तब एक तरफ के आन्तरिक कोणों का योग = 2 समकोण होता है।
∴ ∠EOM = 1 समकोण
इसी प्रकार ∠EON = 1 समकोण
∴∠MON एक रेखीय कोण है।
अत: MN एक सरल रेखा है जो वृत्त के केन्द्र से गुजरती है और दोनों जीवा के लम्बवत् है।