Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 13 वृत्त एवं स्पर्श रेखा Ex 13.2

प्रश्न 1.
आकृति को देखकर निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिए–

  1. ∠BAQ का एकान्तर वृत्तखण्ड क्या है?
  2. ∠DAP का एकान्तर वृत्तखण्ड क्या है?
  3. यदि C को B से मिला दें तो बनने वाला ∠ACB किस कोण के बराबर है।
  4. ∠ABD एवं ∠ADB किन-किन कोणों के बराबर हैं।

हल:

  1. ∠BAQ का एकान्तर वृत्तखण्ड ADB है।
  2. ∠DAP का एकान्तर वृत्तखण्ड ABCD है।
  3. यदि C को B से मिला दें तो बनने वाला ∠ACB कोण ∠BAP के बराबर होगा।
  4. ∠ABD = ∠DAP तथा ∠ADB = ∠BAQ

प्रश्न 2.
आकृति के अनुसार यदि ∠BAC = 80° हो तो ∠BCP का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाये तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श
रेखा के बनाये गये कोण क्रमशः उसी जीवा द्वारा एकान्तर वृत्तखण्डों में बने कोण के बराबर होते हैं।
∴ ∠BCP = ∠BAP = 80°
∠BCP = 80°

प्रश्न 3.
आकृति के अनुसार आकृति में PQ और XY समानान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠QRT = 30° हो, तो ∠TSY ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है-
PQ || XY
∠QRT = 30°
माना वृत्त का केन्द्र O है। R, स्पर्श बिन्दु है तब
OR ⊥ PQ
[∵ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली रेखा, स्पर्श रेखा पर लम्बवत् होती है।]

तब ∠ORQ = 90°
⇒ ∠ORT +∠TRQ = 90°
⇒ ∠ORT + 30° = 90°
⇒ ∠ORT = 90° – 30° = 60°
⇒ ∠SRT = 60° …………(1)
पुनः ARTS समकोण त्रिभुज है क्योंकि अर्द्धवृत्त की परिधि पर बना कोण समकोण होता है। अर्थात्
∠RTS = 90°
तब ∠TSR + ∠SRT + ∠RTS = 180°
⇒ ∠TSR + 60° + 90° = 180°
⇒ ∠TSR = 180° – 60° – 90° = 30°
⇒ ∠TSR = 30° ……….(2)
पुनः चूंकि RS ⊥ XY, (S स्पर्श बिन्दु है तथा RS व्यास है)
∴ ∠RSY = 90°
⇒ ∠TSR+∠TSY = 90°
⇒ 30° + ∠TSY = 90°
⇒ ∠TSY = 90° – 30°
⇒ ∠TSY = 60°

प्रश्न 4.
आकृति चक्रीय चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण C को समद्विभाजित करता है, सिद्ध कीजिए कि विकर्ण BD बिन्दु A, B, C और D से गुजरने वाले वृत्त के बिन्दु A पर स्पर्श रेखा के समान्तर है।


हल:
मान लीजिये बिन्दु A, B, C तथा D से गुजरने वाले वृत्त के बिन्दु A पर PAQ B स्पर्श रेखा है।

∴ AC, AC को समद्विभाजित करता है। (दिया है।)
∴ ∠1 =∠2 …………(1)
∴ कोण ∠3 तथा 22 जीवा AB के एकान्तर खण्ड में बने कोण हैं।
∴ ∠2 =∠3। ……….(2)
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं।
∠4 = ∠1 ……..(3)
∠1 = ∠5 (एक ही वृत्त खण्ड में बने कोण)
∠4 = ∠5 ……….(4)
अतः समीकरण (1), (2) तथा (3) से
∠3 = ∠4 ………..(5)
समीकरण (4) तथा (5) से
∠3 = ∠5
∵ ∠3 तथा ∠5 विकर्ण BD तथा A पर स्पर्श रेखा PAQ को तिर्यक रेखा AB के काटने से बने एकान्तर कोण हैं।
∴ PAQ || BD ( इतिसिद्धम् )