Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए :
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हल :
सदिश का परिमाण
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सदिश का परिमाण
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सदिश का परिमाण
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अत: दिए गए सदिशों के परिमाण क्रमशः √3, √62 तथा 1 हैं।

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल :
माना सदिश
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तथा
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है
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अत: सदिश \vec { a } तथा \vec { b } सम्मान परिमाण वाले दो सदिश हैं।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल :
माना सदिश
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अब सदिश \vec { a } के दिक्-कोसाइन l1, m1, n1 हों तो
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तथा यदि सदिश \vec { b } के दिक्-कोसाइन l2, m2, n2 हों, तो
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इस प्रकार हम देखते हैं कि सदिश के दिक्-कोसाइन समान हैं अर्थात्
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या सदिश समान दिशा वाले हैं।
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अतः सदिश \vec { a } तथा \vec { b } समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश हैं।

प्रश्न 4.
यदि सदिश 2\hat { i } +3\hat { j } और x\hat { i } +y\hat { j } समान हों, तो और। के मान ज्ञात कीजिए।
हुल :
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके घटक समान हों।
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तब 2 = x तथा 3 = y
∴ x = 2 तथा y = 3.

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम विन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सदिश के प्रारम्भिक बिन्दु तथा अंतिम बिन्दु क्रमशः A तशा B हैं।
तन A के निर्देशांक (2, 1)
तथा B के निर्देशांक (-5, 7)
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\vec { AB } के अदिश घटक -7 तथा 6 हैं।
तथा \vec { AB } के सदिश घटक -7\hat { i } तथा 6\hat { i } हैं।

प्रश्न 6.
सदिश
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और
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का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
सदिश \vec { a } ,\vec { b } तथा \vec { c } का यौगफल
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प्रश्न 7.
सदिश
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के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
सदिश \vec { c } के अनुदिश मात्रक सदिश
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जो \vec { c } के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है।

प्रश्न 8.
सदिश \vec { PQ } के अनुदिश मान्नक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल :
बिन्दु P तथा Q को मिलाने वाला सदिश = \vec { PQ }
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अब \vec { PQ } के अनुदिश मात्रक सदिश
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अत: \vec { PQ } के अनुदिश मात्रक सदिश
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प्रश्न 9.
दिए हुए सदिश
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और
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के लिए सदिश
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के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए सदिश
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जो कि अभीष्ट मात्रक सदिश है।

प्रश्न 10.
सदिश
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के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल :
माना
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सदिश \vec { a } के अनुदिश मात्रक सदिश
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अब \vec { a } के अनुदिश और 8 परिमाण वाला सदिश = 8 \vec { a }
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प्रश्न 11.
दर्शाइए कि सदिश
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और
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संरेख हैं।
हल :
माना
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सदिश \vec { b } को सदिश \vec { a } के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अतः सदिश \vec { a } तथा \vec { b } सरेख हैं।
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इति सिद्धम् ।

प्रश्न 12.
बिन्दुओं
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और
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को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में

  • अन्तः,
  • बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R की स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

हल :
माना मूलबिन्दु O है, तब बिन्दुओं P, Q तथा R के स्थिति सदिश \vec { OP } , \vec { OQ } तथा \vec { OR } हैं।
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  • जब बिन्दु R, बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तब
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  • जब बिन्दु R बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तब
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    अतः बिन्दु R की स्थिति सदिश
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    है।

प्रश्न 13.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और 2(4, 1 ,-2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
मानी मूलबिन्दु O है। तब O के सापेक्ष बिन्दुओं P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः \vec { OP } तथा \vec { OQ } हैं।
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अब \vec { PQ } का मध्य-बिन्दु R हो, तब
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अत: अभीष्ट मध्य-बिन्दु
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है।

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमश :
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और
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हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल :
माना मूलबिन्दु O है, तब
प्रश्नानुसार,
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अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।
अर्थात् बिन्दु A, B तथा C एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
इति सिद्धम्