Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.2

प्रश्न 1.
यदि दो सदिशों के परिमाण 4 और 5 इकाई हों, तो उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए जबकि उनके मध्य का कोण हों।
(i) 60°
(ii) 90°
(iii) 30°
हल :
माना दो सदिश \vec { a } तथा \vec { b } है तथा उनके बीच का कोण θ हो, तो
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(i) जब
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अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 10.

(ii) जब
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अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 0

(iii) जब
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अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 10√3

प्रश्न 2.
\vec { a } \cdot \vec { b } का मान ज्ञात कीजिए जबकि \vec { a } एवं \vec { b } क्रमशः है
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हल :
(i) दिया है कि
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दिए गए सदिशों को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।
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= (2 x 3) + {5 x (-2)} + (0 x 0)
= 6 – 10 + 0
अतः \vec { a } \cdot \vec { b } = – 4

(ii) दिया है कि
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दिए गए सदिशों के हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।
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(iii) दिया है कि
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दिए गए सदिशों को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।
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प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि
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हल :
यदि \vec { a } = 0 अथवा है \vec { b } = 0 तो असमिका
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परन्तु यहाँ माना
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तब हम जानते हैं कि
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[सदिश \vec { a } तथा सदिश \vec { b } के बीच का कोण θ]
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दोनों पक्षों का वर्ग करने पर।
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इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यदि दो बिन्दुओं P एवं Q के निर्देशांक क्रमशः (3, 4) एवं (12, 9) हो, तो ∠POQ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ O मूल बिन्दु है।
हल :
बिन्दु P के निर्देशांक = (3, 4)
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प्रश्न 5.
λ के किस मान के लिए सदिश \vec { a } तथा \vec { b } परस्पर लम्बवत् है
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हल :
(i) ∵ सदिश
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अतः λ = 3 के लिए दिए गए सदिश परस्पर लम्बवत् है।

(ii) ∵ सदिश
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तथा सदिश
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परस्पर लम्बवत् है, तब
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अतः λ = 3 के लिए दिए गए सदिश परस्पर लम्बवत् है।

प्रश्न 6.
सदिश
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का सदिश
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पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
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तब सदिश \vec { a } को \vec { b } सदिश पर प्रक्षेप
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(प्रक्षेप ऋणात्मक नहीं होता इसलिए ऋण चिन्ह छोड़ने पर)
अत: सदिश
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का सदिश
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पर प्रक्षेप \frac { 2 }{ 7 } है।

प्रश्न 7.
यदि
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तथा
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हो, तो एक सदिश \vec { c } ज्ञात कीजिए जबकि
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एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।
हल :
दिया है :
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अतः सदिश \vec { a } तथा सदिश \vec { b } परस्पर लम्बवत् है अर्थात् समकोण बनाते है।
अब हमें सदिश \vec { c } ऐसा ज्ञात करना है जिससे \vec { a } ,\vec { b } तथा \vec { c } समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।
अब यदि \vec { a } ,\vec { b } तथा \vec { c } किसी त्रिभुज की भुजाओं के सदिश है। तो इनमें निम्न सम्बन्ध होगा।
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प्रश्न 8.
यदि
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तो सिद्ध कीजिए कि \vec { a } तथा \vec { b } परस्पर लम्ब सदिश है।
हल :
प्रश्नानुसार,
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अत: \vec { a } और \vec { b } परस्पर लम्ब सदिश है। इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
यदि बिन्दुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः (3, 2, 4) (4, 5, -1), (6, 3, 2) तथा (2, 1, 0) हों, तो सिद्ध कीजिए कि रेखाएं \overrightarrow { AB } तथा \overrightarrow { CD } परस्पर लम्ब है।
हल :
दिया है कि बिन्दुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः (3, 2, 4), (4, 5, – 1), (6, 3, 2) तथा (2, 1, 0) है।
तब भूल बिन्दु o के सापेक्ष A, B, C तथा D के स्थिति सदिश क्रमशः
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यदि रेखाएँ [/latex] तथा \overrightarrow { AB } तथा [/latex] तथा \overrightarrow { CD } परस्पर लम्ब है, तो
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अतः रेखाएँ [/latex] तथा \overrightarrow { AB } तथा [/latex] तथा \overrightarrow { CD } परस्पर लम्ब है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
किसी सदिश \vec { a } के लिए सिद्ध कीजिए कि
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हल :
माना
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अब a1, a2 तथा a3 के मान समीकरण (1) में रखने पर,
अतः
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इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्णो के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :
माना OACB एक समान्तर चतुर्भुज है। O को मूलबिन्दु लेने पर A और B के स्थिति सदिश \vec { a } और \vec { b } हैं।
माना
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∴ विकर्षों के वर्गों का योग = भुजाओं के वर्गों का योग।
अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्णो के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्