Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.4

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि
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हल :
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प्रश्न 2.
यदि
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तथा
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हो तो
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का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है
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प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि सदिश
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तथा
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समतलीय है।
हल :
माना
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प्रश्न 4.
λ के किस मान के लिये, निम्नलिखित सदिश समतलीय होंगे
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हल :
(i) दिया है :
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अतः λ = 4 के लिए दिए गए सदिश समतलीय होंगे।

(ii) दिया है :
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अतः λ = 1 के लिए दिए गए सदिश समतलीय होंगे।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित चारों बिन्दु उत्तर समतलीय है।
(i) A(-1, 4, -3), B(3, 2, -5), C(-3, 8, -5), D(-3, 2, 1)
(ii) A(0, -1, 0), B(2, 1, – 1), C(1, 1, 1), D(3, 3, 0)
हल :
(i) दिए गए बिन्दु A(-1, 4, – 3), B(3, 2, -5), C(-3, 8, -5) तथा D(-3, 2, 1) है।
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यदि ये चारों बिन्दु समतलीय है तो सदिश \overrightarrow { BA } ,\overrightarrow { BC } ,\overrightarrow { BD } समतलीय होंगे। पुन: समतलीयता के प्रतिबन्ध से
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अतः दिए गए चारों बिन्दु समतलीय है।

(ii) दिए गए बिन्दु A(0, – 1, 0), B(2, 1,- 1), C(1, 1, 1) तथा D(3, 3, 0) है। तब 24 = 01-3+0*
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यदि ये चारों बिन्दु समतलीय है तो सदिश \overrightarrow { BA } ,\overrightarrow { BC } ,\overrightarrow { BD } समतलीय होंगे। पुनः समतलीयता के प्रतिबन्ध से,
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अतः दिए गए चारों बिन्दु समतलीय है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि
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तथा
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एक समकोण त्रिभुज की सदिश भुजाएं हैं|
हल :
दी गई भुजाएँ।
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अतः दी गई सदिश भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
उस समान्तर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी तीन संगामी कोरे निम्नलिखित सदिशों द्वारा निरूपित हैं :
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हल :
(i) दिए गए समान्तर षट्फलक की भुजाएँ।
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समान्तर घट्फलक का आयतन
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अतः समान्तर षट्फलक का आयतन
= 30 घन मात्रक

(ii) दिए दिए समान्तर षट्फलक की भुजाएँ।
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समान्तर घट्फलक का आयतन
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चूँकि आयतन सदैव धनात्मक होता है।
अतः दिए गए समान्तर षट्फलक का आयतन
= 14 घन इकाई।