Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.4

प्रश्न 1.
दिखाइए कि रेखाएँ
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और
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परस्पर प्रतिच्छेदी हैं। उनका प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
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पर किसी बिंदु के निर्देशांक (2r1 + 1, 3r1 + 2, 4r + 3) हैं।
माना
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पर किसी बिंदु के निर्देशांक (5r2 + 4, 2r2 + 1, r2) है। दोनों रेखायें परस्पर प्रतिच्छे करती हैं। अतः दोनों बिंदु उभयनिष्ठ होंगे और संपाती होंगे।
∴ 2r1 + 1 = 5r2 + 4 … (1)
3r1 + 2 = 2r2 + 1 …(2)
4r1 + 3 = r2 …(3)
सपी. (1) और (2),
2r1 – 5r2 = 3
3r1 – 2r2 = – 1
हल करने पर, r1= – 1,r= – 1
∴ बिदु ( – 1, – 1, – 1)
स्पष्ट है कि दोनों रेवाएँ प्रतिच्छेद करती है और प्रतिच्छेद बिंदु ( – 1, – 1, – 1) है।

प्रश्न 2.
उर्धारित कर निम्न रेखाएँ प्रतिच्छेद है या नहीं
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और
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हल :
रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अतः
(i – j) + λ(2i + k) = (2i – j) + µ(i + j – k)
(1 + 2λ)i – (1 – 0.λ)j + λk
= (2 + µ)i – (1 – µ)j – µk
तुलना करने पर,
1 + 2λ = 2 + µ …(1)
1 – 0.λ = 1 – µ …(2)
λ = – µ …(3)
हल करने पर समी. (2) से,
1 – µ = 1
⇒ µ = 0
∴ समी. (3) से, λ = 0
λ और µ के सान समी. (1) में रखने पर
1 + 2 × 0 = 2 + 0
1 ≠ 2
अतः रेखायें प्रतिच्छेदी नहीं है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (2,3,4) से रेखा
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पर डाले गये लम्ब का पाद ज्ञात कीजिए। साथ ही दिए गए बिन्दु से रेखा की लम्बवत् दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण
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MN पर किसी बिंदु Q के निर्देशांक
Q(-2λ + 4, 6λ + 0, – 3λ + 1)
लम्ब PQ के दिक् अनुपात
a1, b1, c1 = x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1
= – 2λ + 4 – 2, 6λ + 0 – 3, – 3λ + 1 – 4
= – 2λ + 2, 6λ – 3, – 3λ – 3
रेखा MN के दिक् अनुपात
a2, b2, c2 = -2, 6, -3
रेखा (1) व PQ लम्ववत् है।
इसलिए
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
(-2λ + 2)(-2) + (6λ – 3)(6) + (-3λ – 3)(-3) = 0
4λ – 4 + 36λ – 18 + 9λ + 9 = 0
49λ = 13
λ = \frac { 13 }{ 49 }
λ का मान Q में रखने पर पाद के निर्देशांक
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डाले गए लम्ब की लम्बाई PQ
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प्रश्न 4.
बिन्दु (2, 3, 2) से जाने वाले रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा
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के समान्तर है। इन रेखाओं के मध्य दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा बिंदु (2,3, 2) से गुजरती है।
∴ बिंदु (2, 3, 2) का स्थिति सदिश
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