Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-सा समूह एक रेखा की दिक् कोज्याएँ नहीं है।
(a) 1, 1, 1
(b) 0, 0, – 1
(c) – 1, 0, 0
(d) 0, – 1, 0
हल :
उत्तर (a) सही है क्योंकि रेखा की दिक-कोज्यायें उसके दिक-अनुपातों के समानुपाती होती हैं। अतः माना a, b, c इसके दिक्-अनुपात हैं तो प्रश्नानुसार
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अतः समूह (1, 1, 1) दिक् कोज्याएं नहीं है। उत्तर

प्रश्न 2.
बिन्दु P समष्टि में इस प्रकार है कि OP = 6 तथा \overline { OP } , OX तथा OY-अक्षों के साथ क्रमशः 45° वे 60° के कोण बनाता है। तो P का स्थिति सदिश होगा :
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हल :
माना P का स्थिति सदिश xi + yj + zk
r = | \overrightarrow { OP } | = xi + yj + zk
जहाँ
x = r cos α
y = r cos β
z = r cos γ
परन्तु x² + y² + z² = (cos² α + cos² β + cos² γ)
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∴ सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 3.
घन के दो विकर्षों के मध्य का कोण होगा :
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हल :
भुजा a के घन की तीन संलग्न कोरों OA, OB, OR को निर्देशाक्ष लेने पर घन के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैं :
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O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), R(0, 0, a), D(a, a, 0), K(a, 0, a), L(0, a, a), P(a, a, a)
विकर्ण OP की दिक्-कोज्याएँ (direction-cosines) (a – 0, a – 0, a – 0) अर्थात् (a, a, a) के समानुपाती हैं।
अतः OP की दिक्-कोज्याएँ
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इसी प्रकार AL, BK तथा RD की दिक्-कोज्याएँ क्रमशः इस प्रकार हैं :
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प्रश्न 4.
सदिश 3i की दिक् कोज्याएं होगी :
(a) 3, 0, 0
(b) 1, 0, 0
(c) – 1, 0, 0
(d) – 3, 0, 0
हल :
दिया है सदिश \vec { a } = 3i + 0j + 0k
जिसके दिक्-अनुपात 3, 0, 0 है।
अतः दिक्-कोज्यायें
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अर्थात् 1, 0, 0
अतः सही विकल्प (b) है।

प्रश्न 5.
सरल रेखा
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का सदिश रूप होगा
(a) (3i + 4j – 7k) + λ( – 2i – 5j + 13k)
(b) ( – 2 – 5j + 13k) + λ(3i + 4j – 7k)
(c) ( – 3i – 4j + 7k) + λ( – 2i – j + 13k)
(d) इनमें से कोई नहीं ।
हल :
रेखा
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बिंदु A(3, 4, – 7) से गुजरती है।
अतः बिंदु A का स्थिति सदिश
\vec { a } = 3i + 4j – 7k
दी हुई रेखा के दिक्-अनुपात – 2, – 5, 13 है।
\vec { b } = – 2i – 5j + 13k
अत: अभीष्ट रेखा का समीकरण
\vec { r } = \vec { a } + λ. \vec { b }
= (3i + 4j – 7k) + λ( – 2i – 5j + 13k)
अतः उत्तर का सही विकल्प (a) है।

प्रश्न 6.
रेखाएँ
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तथा
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परस्पर लम्बवत् हो तो I का मान होगा
(a) 0
(b) 1
(c) – 1
(d) 2
हल :
दी हुई रेखा
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की दिक्-कोज्यायें
l1 = 1, m1 = 1, n1 = – 1 तथा रेखा
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दिक्-कोज्यायें l2, = – λ, m2 = + 2 तथा n2 = 1 हैं।
∵ रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं अतः
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
1 x – λ + 1 x + 2 + ( – 1) x 1 = 0
– λ + 21 – λ = 0
+ λ – λ = 0
λ = 1
अतः उत्तर का सही विकल्प (b) है।

प्रश्न 7.
रेखाओं \vec { r } = (5i + 7j + 3k) + λ(5i – 16j + 7k) तथा \vec { r } = (9i + 13j + 15k) + µ(3i + 8j – 5k) के मध्य लघुत्तम दूरी
(a) 10 इकाई
(b) 12 इकाई
(c) 14 इकाई
(d) 7 इकाई
हल :
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अत: उपरोक्त विकल्प में कोई विकल्प सही नहीं है। उत्तर

प्रश्न 8.
रेखा
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तथा समतल
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के मध्य कोण होगा :
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हल :
हम जानते हैं कि रेखा \vec { r } =\vec { a } +\lambda \vec { b } और \vec { r } \cdot \vec { n } =\vec { d } समतल के मध्य कोण
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अतः सही विकल्य (a) है।

प्रश्न 9.
समीकरण lx + my + nz = p समतल का अभिलम्ब रूप है तो निम्न में से असत्य है।
(a) l, m, n समतल के अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ हैं।
(b) p, समतल की मूल बिन्दु से लम्बवत् दूरी है।
(c) p के प्रत्येक मान के लिए समतल मूल बिन्दु से गुजरता है।
(d) l² + m² + n² = 1
हल :
परिभाषा से कथन (a) तथा (d) सत्य है।
∴ कथन (c) असत्य है क्योंकि समतल की मूलबिन्दु से दूरी p है।
जिसके सिर्फ p = 0 पर समतल ही मलबिन्दु से गुजर सकता है।
p के अन्य किसी मान के लिये नहीं।

प्रश्न 10.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B, C इस प्रकार मिलता है कि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (1, 2, 3) है, तो समतल का समीकरण होगा
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हल :
माना समतल का समीकरण \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1 , जो निर्देशांक्ष को बिन्दु A(a, 0, 0), B(0, b, 0) तथा C(0, 0, c) पर मिलता है, तब ∆ABC का केन्द्रक \left( \frac { a }{ 3 } ,\frac { b }{ 3 } ,\frac { c }{ 3 } \right) होगा।
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अत: सही विकल्प (d) है।

प्रश्न 11.
दो बिन्दुओं के स्थिति सदिश क्रमशः
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तथा
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है। Q से गुजरने वाले तथा PQ के लम्बवत् समतल का समीकरण होगा।
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हल :
प्रश्नानुसार,
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उत्तर का सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 12.
दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ निम्न सम्बन्धों द्वारा दी गई है, उन्हें ज्ञात कीजिए।
l – 5m + 3n = 0 तथा 7l² + 5m² – 3n² = 0
हल :
l – 5m + 3n = 0 तथा 7l² + 5m² – 3n² = 0
दिया है
l – 5m + 3n = 0 …(1)
7l² + 5m² – 3n² = 0 …(2)
समीकरण (1) से, l = 5m – 3n को समीकरण (2) में रखने पर,
7(5m – 3n)² + 5m² – 3n² = 0
7(25m² + 9n² – 30mn) + 5m² – 3n² = 0
175m² + 63n² – 210mn + 5m² – 3n² = 0
180m² – 210mn + 60m² = 0
6m² – 7mn + 2n² = 0
6m² – 4mn – 3mn + 2n² = 0
2m(3m – 2n) – n(3m – 2n) = 0
(3m – 2n)(2m – n) = 0
3m = 2n और 2m = n
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प्रश्न 13.
एक रेखाखण्ड का अक्षों पर प्रक्षेप – 3, 4, – 12 है। रेखा खण्ड की लम्बाई तथा दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
अक्षों पर प्रक्षेप – 3, 4, – 12 है जो रेखा के दिक्-अनुपात होते हैं। अतः दिक् कोज्यायें l, m, n हों, तो
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प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दुओं (a, b, c) और (a’, b’, c’) को मिलाने वाली रेखा मूल बिन्दु से गुजरती है। यदि aa’ + bb’ + cc’ = pp’ जहाँ p और p’ इन बिन्दुओं की मूल बिन्दु से दूरियाँ हैं।
हल :
प्रश्नानुसार, बिन्दु (a, b, c) तथा (a’, b’, c’) की मूल बिन्दु से दूरी
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बिन्दु (a, b, c) तथा बिन्दु (a’, b’, c’) से जाने वाली रेखा का समीकरण
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प्रश्न 15.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु P( – 2, 1, 2) से गुजरता है एवं दो सदिशों
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तथा
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के समान्तर है।
हल :
समतल बिन्दु P( – 2, 1, 2) से गुजरता है।
अतः समतल का समीकरण a(x + 2) + b(y – 1) + c(z – 2) = 0
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अतः ax + by + cz ≠ 0 में
a(-1) + b(2) + c(-3) = 0
⇒ – a + 2b – 3c = 0 ….(2)
तथा a(5) + b(-1) + c(1) = 0
⇒ 5a – b + c = 0 …(3)
समी. (2) से a – 2b + 3c = 0
समी. (3) से 5a – b + c = 0
हल करने पर
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⇒ a = k, b = 14k, c = 9k
∴वांछित समीकरण
a(x + 2) + b(y + 1) + c(z – 2) = 0 से
k(x + 2) + 14k(y + 1) + 9k(z – 2) = 0
x + 2 + 14y – 14 + 9z – 18 = 0
x + 14y + 9z = 30