hRajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 16.2

प्रश्न 1.
एक बेलन का व्यास 14 सेमी. और ऊँचाई 15 सेमी. है। बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का व्यास = 14 सेमी.
बेलन की त्रिज्या  ( r ) = \frac { 14 } { 2 } = 7  सेमी.
बेलन की ऊँचाई (h) = 15 सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2π (h + r) r
= 2 \times \frac { 22 } { 7 } ( 15 + 7 ) \times 7  सेमी2.
= 2 × 22 × 22
= 968 वर्ग सेमी. उत्तर
बेलन का आयतन = πr2h
\begin{array} { l } { = \frac { 22 } { 7 } \times 7 \times 7 \times 15 } \\ { = 22 \times 7 \times 15 } \end{array}
= 2310 घन सेमी. उत्तर

प्रश्न 2.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई 7 सेमी. और आधार की त्रिज्या 3 सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन की ऊँचाई (h) = 7 सेमी.
बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 3 सेमी.
बेलने का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 \times \frac { 22 } { 7 } \times 3 \times 7
= 132 वर्ग सेमी. उत्तर
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल


बेलन का आयतन
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प्रश्न 3.
एक बेलन के सिरे का क्षेत्रफल 154 सेमी2. है तथा इसकी ऊँचाई। 21 सेमी. है। बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन के आधार को क्षेत्रफल = πr2 प्रश्नानुसार
πr2 = 154 सेमी2.
बेलन की ऊँचाई = 21 सेमी.
बेलन का आयतन = πr2 x h
= 154 x 21 घन सेमी.
= 3234 सेमी3.
वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल = π x r2
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= 2 x 22 x 21 सेमी2.
= 924 सेमी2.
अतः बेलन का आयतन = 3234 सेमी. तथा बेलन के वक़ पृष्ठ का क्षेत्रफल = 924 सेमी2. उत्तर

प्रश्न 4.
दो लम्बवृत्तीय बेलनों की त्रिज्याओं को अनुपात 2 : 3 तथा ऊँचाइयों का अनुपात 5:4 है, तो दोनों बेलनों के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बेलनों के आधार की त्रिज्याएँ 2r तथा 3r हैं तथा उनकी ऊँचाइयाँ 5h व 4h हैं, तो
पहले बेलन का वक्रपृष्ठ
= 2πh
= 2π (2r) (5h)
= 20πrh …….(i)
इसी प्रकार दूसरे बेलन का वक्रेपृष्ठ
= 2πh
= 2(3r) (4h)
= 24πrh ………(ii)

अर्थात् वक्रपृष्ठों का अनुपात = 5: 6 उत्तर
पुनः पहले बेलन का आयतन
= πr2h
= π(2r)2. 5h
= π. 4r2. 5h
= 20πr2h ……..(iii)
दूसरे बेलन का अनुपात
= πr2h
= π.(3r)2.4h
= π.9r2.4h
= 36πr2h

अर्थात् आयतनों का अनुपात = 5 : 9 उत्तर

प्रश्न 5.
एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक़ पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक-तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 वर्ग सेमी. अर्थात्
2πr(r + b) = 462 वर्ग सेमी. ……………. (i)
बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πrh
तथा बेलने का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr (r + h)
लेकिन प्रश्नानुसार, 2πr (r + h) = 3.2πrh

r का मान (i) में रखने पर
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प्रश्न 6.
एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 660 वर्ग सेमी. तथा ऊँचाई 15 सेमी. है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का वक्रपृष्ठ = 660 वर्ग सेमी.
ऊँचाई (h) = 15 सेमी.
लेकिन वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πh
2πrh = 660

= 22 x 7 x 15 घनं सेमी.
= 2310 घन सेमी. उत्तर

प्रश्न 7.
एक बेलन का आयतन 30π cm3 है तथा आधार का क्षेत्रफल 67 cm है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का आयतन = 30 सेमी3.
बेलन के आधार का क्षेत्रफल = 60 सेमी2.

प्रश्न 8.
एक बेलन का आयतन और वक़ पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः 1650 घन सेमी. और 660 वर्ग सेमी. है। बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का आयतन = πr2h = 1650 घन सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठ = 2πrh
∴ 2πrh = 660 वर्ग सेमी.

अत: बेलन की त्रिज्या = 5 सेमी. तथा ऊँचाई = 21 सेमी. उतर

प्रश्न 9.
एक बेलन की ऊँचाई व त्रिज्या क्रमशः 7.5 सेमी. और 3.5 सेमी. है। इसके सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल और वक़ पृष्ठ के क्षेत्रफल में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन की ऊँचाई (h) = 7.5 सेमी.
बेलन की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी.
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इसलिये अभीष्ट अनुपात = 22 : 15 उत्तर

प्रश्न 10.
20 मीटर गहरा और 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया। इससे निकली मिट्टी से 22 मीटर x 14 मीटर माप का एक चबूतरा बनाया गया। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि कुआँ बेलनाकार है,
इसकी गहराई (ऊँचाई) है = 20 मीटर
इसकी त्रिज्या है =  \frac { 7 } { 2 }  मीटर = 3.5 मीटर
बेलनाकार कुएँ का आयतन = चबूतरे का आयतन
बेलनाकार कुएँ का आयतन है = πr2h

चबूतरे का आयतन = 770 घन मीटर

प्रश्न 11.
एक बेलनाकार बर्तन में 30800 cm पानी भरा जा सकता है। यदि बर्तन की भीतरी त्रिज्या 14 cm है तो उसका भीतरी वक़ पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, बेलन का आयतन = 30800 सेमी3.
बेलन की भीतरी त्रिज्या (r) = 14 सेमी.
माना बेलन की ऊँचाई = h सेमी.
बेलन के भीतरी वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
बेलन का आयतन = πr2h = 30800
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अत: बेलनाकार बर्तन क भीतरी वक् पृष्ठ = 4400 सेमी2. उतर

प्रश्न 12.
एक खोखले बेलन की मोटाई 2 सेमी. है। इसका भीतरी व्यास 14 सेमी. तथा ऊँचाई 26 सेमी. है। बेलन के दोनों सिरे खुले हुए हैं। खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
खोखले बेलन की ऊँचाई = 26 सेमी.
खोखले बेलन का भीतरी व्यास = 14 सेमी.
भीतरी त्रिज्या (r2) =  \left( r _ { 2 } \right) = \frac { 14 } { 2 } = 7  सेमी.
खोखले बेलन की मोटाई = 2 सेमी.
बाह्य त्रिज्या (r1) = 7 + 2 = 9 सेमी.
दिया है-बेलन के दोनों सिरे खुले हुए हैं।
अतः खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 13.
एक खोखला बेलन दोनों सिरों से खुला हुआ है। उसकी ऊँचाई 20 सेमी. तथा अन्तः एवं बाह्य व्यास क्रमशः 26 सेमी. व 30 सेमी. है। इस खोखले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
खोखले बेलन की ऊँचाई = 20 सेमी.
खोखले बेलन का बाह्य व्यास = 30 सेमी.

खोखले बेलन का आयतन

अतः खोखले बेलन का आयतन = 3520 घन सेमी. उत्तर