Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 6 त्रिकोणमितीय अनुपात Additional Questions

विविध प्रश्नमाला 6

वस्तुनिष्ठ प्रश्न ( 1 से 5 तक )-

प्रश्न 1.
tan-60° को मान है
(क) 3
(ख)  \frac{1}{3}
(ग) 1
(घ) ∞

प्रश्न 2.
2 sin260° cos 60° का मान होगा

प्रश्न 3.
यदि cosec 8 =  \frac{2}{\sqrt{3}} हो, तो 6 का मान है-

प्रश्न 4.
cos245° का मान होगा-

प्रश्न 5.
यदि θ = 45° हो, तो  \frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}  का मान है-
(क) 0
(ख) 1
(ग) 2
(घ) ∞

उत्तर-तालिका 1. (क) 2. (ग) 3. (ख) 4. (ग) 5. (ख)

सिद्ध कीजिए ( 6 से 10 तक )-

प्रश्न 6.
cos 60° = 2 cos-30° – 1
हल:

प्रश्न 7.
\sin 60^{\circ}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}
हल:
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प्रश्न 8.
\cos 60^{\circ}=\frac{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}
हल:

प्रश्न 9.
(sin 45° + cos 45°) = 2
हल:
L.H.S. = (sin 45° + cos 45°)

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प्रश्न 10.
4 tan 30° sin 45° sin 60° sin 90° = 2
हल:
L.H.S. = 4 tan 30° sin 45° sin 60° sin 90°

प्रश्न 11.
sin260° cot60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin260° . cot-60°

प्रश्न 12.
4 cos330° – 3 cos 30° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
4 cos330° – 3 cos 30°

प्रश्न 13.
यदि cot θ =  \frac{1}{\sqrt{3}}  हो, तो सिद्ध कीजिए  \frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5}
हल:
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिकोणमितीय अनुपात Additional Questions 13

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए-
3(tan230° + cot230°) – 8(sin245° + cos230°) = 0
हल:
L.H.S. = 3(tan230° + cot230°) – 8(sin245° + cos230°)

प्रश्न 15.
4(sin430° + cos 60°) – 3(cos245° – sin290°) =  \frac{15}{4}
हल:
L.H.S. = 4(sin430° + cos 60°) – 3(cos245° – sin290°)

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.
2(cos245° + tan260°) – 6(sin245° – tan230°) = 6
हल:
L.H.S. = 2(cos245° + tan260°) – 6(sin2-45° – tan230°)

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

प्रश्न 1.
2 cosec 30° sec 30° बराबर है-

प्रश्न 2.
यदि  \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}  है, तो 6 का मान है-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°

प्रश्न 3.
यदि θ = 30° हो, तो  \frac{1-\sin ^{2} 2 \theta}{\cos 2 \theta}  का मान होगा-
(A) 1
(B) -1
(C) 2
(D)  \frac{1}{2}

प्रश्न 4.
cot 30° का मान है-

प्रश्न 5.
sec 45° का मान है-

प्रश्न 6.
sin245° का मान है-

प्रश्न 7.
cot260° का मान होता है-
(A)  \frac{1}{3}
(B) 3
(C) 1
(D) ∞

प्रश्न 8.
यदि  \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}}  तो θ का मान ह-
(A) 30°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 90°

प्रश्न 9.
यदि  \sec \theta=\frac{2}{\sqrt{3}} , तो θ का मान है-

प्रश्न 10.
2 sin 30° cos 30° का मान है-

उत्तर-तालिका 1. (D) 2. (C) 3. (D) 4. (B) 5. (A) 6. (C) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 10. (C)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि tan θ = 1 हो तो sec θ का मान ज्ञात कीजिये।
हल
tan θ = 1 = tan 45°
θ = 45°
sec 45° =  \sqrt{2}  उत्तर

प्रश्न 2.
यदि sin θ = cos θ तो θ का मान ज्ञात कीजिये।
हल-:
sin θ = cos θ
या  \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=1
या tan θ = 1 = tan 45°
∴ θ = 45° उत्तर

प्रश्न 3.
3 cos 60° – 4 cos260° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
3 cos 60° – 4 cos3 60°

प्रश्न 4.
sec230° + cosec260° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sec230° + cosec260°

प्रश्न 5.
sin2 60° + cos2 30° को मान लिखिए।
हल:

प्रश्न 6.
tan260° + 3 cos230° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan260° +3 cos230° (त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान रखने पर)

प्रश्न 7.
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

प्रश्न 8.
यदि tan θ =  \sqrt{3}  हो, तो 6 का मान लिखिए।
हल:
θ = 60°

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए-

हल:

प्रश्न 2.
यदि tan 3x = sin 45° cos 45° + sin 30° हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (x < 90°)
हल:
दिया है, tan 3x = sin 45° cos 45° + sin 30°
\tan 3 x=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
या tan 3x = 1 या tan 3x = tan 45°
या 3x = 45° या x = 15° उत्तर

प्रश्न 3.
sin 30° . cos2 30° + tan 45° . cos2 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin 30° . cos2 30° + tan 45° . cos2 60°

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प्रश्न 4.
\frac{\tan 60^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 60^{\circ} \tan 30^{\circ}}  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 60° =  \sqrt{3}  तथा tan 30° =  \frac{1}{\sqrt{3}}  मान दिये गये व्यंजक में रखने पर

प्रश्न 5.
4 sin 30° sin260° + 3 cos 60° tan 45° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
4 sin 30° sin2-60° + 3 cos 60° tan 45°

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि sin(A + B) = 1 तथा cos (A – B) =  \frac{\sqrt{3}}{2}  यहाँ 0° < (A + B) ≤ 90°, A > B हो, तो A तथा B के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-sin(A + B) = 1
या sin(A + B) = sin 90°
या A + B = 90° …..(1)
तथा cos(A – B) =  \frac{\sqrt{3}}{2}
या cos(A – B) = cos 30°
या A – B = 30° …..(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
(A + B) + (A – B) = 90° + 30°
2A = 120° या A = 60°
A का मान समीकरण (1) में रखने पर ,
60° + B = 90°
B = 30°
∴ A = 60°, B = 30°

प्रश्न 2.
\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\csc 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\csc 30^{\circ}}  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
= 2 (tan 45°)2 + (cos 30°)2 – (sin 60°)2

प्रश्न 5.
यदि tan (A + B) =  \sqrt{3}  और tan (A – B) =  \frac{1}{\sqrt{3}} ; 0° < A + B ≤ 90°, A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan (A + B) =  \sqrt{3}
tan (A + B) = tan 60°
या A+ B = 60°
tan (A – B) =  \frac{1}{\sqrt{3}}
या tan (A – B) = tan 30°
या A – B = 30° …. (ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर

समीकरण (i) में मान रखने पर
A = 45°
45° + B = 60°
B = 60° – 45°
B = 15° उत्तर

प्रश्न 6.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) 8 में वृद्धि होने के साथ sin 8 के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) 6 में वृद्धि होने के साथ cos 6 के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) 8 के सभी मानों पर sin 8 = cos 8.
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल:
(i) जब A = 60°, B = 30°
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (60° + 30°)
= sin 90° = 1
R.H.S. = sin A + sin B
= sin 60° + sin 30°
\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \neq 1
अर्थात् L.H.S. ≠ R.H.S.
यह असत्य है। उत्तर

और sin 90° = 1
अर्थात्, जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin 6 का मान भी बढ़ता है। परन्तु यह 8 = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
∴ यह सत्य है। उत्तर
(iii) क्योंकि cos 0° = 1

जब 8 को मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो cos 8 का मान घटता है। अतः यह असत्य है। उत्तर
(iv) चूँकि sin 30° =  \frac{1}{2}

सिर्फ θ = 45° पर मान बराबर है।
लेकिन θ के सभी मानों के लिये
sin θ ≠ cos θ
∴ दिया गया कथन असत्य है। उत्तर

(v)  \cot 0^{\circ}=\frac{1}{\tan 0^{\circ}}=\frac{1}{0} , या परिभाषित नहीं। यह सत्य है। उत्तर