Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ∆ PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार
∠SPR + ∠QPR = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 135° + ∠QPR = 180°
या ∠QPR = 180° – 135°
या ∠OPR = 45°
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंत:अभिमुख या अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ∆ PQR में बहिष्कोण
∠PQT= ∠QPR + ∠ PRQ या
या 110° = 45° + ∠ PRO
या 110° – 45° = ∠ PRQ
या 65° = ∠PRQ
या ∠PRQ = 65°

प्रश्न 2.
आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमशः ∆ XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠ YOZ ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠YXZ + ∠ XYZ + ∠XZY = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
या 62° + 54° + ∠ XZY = 180°
या ∠XZY = 180° – 62° – 54°
या ∠XZY = 64°
अब प्रश्नानुसार ∠O, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∴ ∠OZY = ∠OZX = 1/2 ∠XZY
या ∠ OZY = ∠ OZX = 1/2 × 64°
या ∠OZY = ∠OZX = 32°
या ∠OZY = 32° उत्तर
पुनः प्रश्नानुसार YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है।
∴ ∠ OYZ = ∠OYX = 1212 ∠XYZ
या ∠OY∠ = 1/2 × 54°
या ∠OYZ = 27°
अब ∆ OYZ में ∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
या ∠YOZ + 27° + 32° = 180° .
या ∠YOZ = 180° – 27° – 32°
या ∠YOZ = 121°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ZDCE ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार दी गई आकृति में AB || CD है तथा AE एक तिर्यक रेखा दोनों को प्रतिच्छेद करती है
∴ ∠BAE = ∠AED
(क्योंकि ये एकान्तर कोण हैं)
या ∠BAC = ∠AED
35° = ∠AED ∠ AED = 35°
∠CED = 35° अब ACDE में ∠DCE+ ∠CDE + ∠ CED = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार) या ∠DCE + 53° + 35° = 180°
∠DCE + 88° = 180° या .
∠DCE = 180° – 88° या
∠DCE = 92° 

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रश्नानुसार दी गई आकृति के ∆PRT में
∠RPT + ∠ PRT + ∠ PTR = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार) या
या 95° + 40° + ∠ PTR = 180°
या ∠PTR = 180° – 95° – 40°
या ∠ PTR = 180° – 135° .
या ∠PTR = 45° …..(i)
चित्रानुसार भुजाएँ PQ तथा RS एक-दूसरे को परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेदित करती हैं।
∴ ∠STQ = ∠PTR
(ये शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∠ STQ = 45°
[समीकरण (i) के अनुसार]
अब पुनः ∆ STQ में
∠ SQT + ∠STQ + ∠OST = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
या ∠SQT + 45° + 75° = 180°
या ∠SQT = 180° – 45° – 75°
या ∠ SQT = 180° – 120°
या ∠ SQT = 60°

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ ⊥PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत:अभिमुख या अंतराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ∆ QSR के अनुसार
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
या 65° = ∠ QSR + 28°
या 65° – 28° = ∠ QSR
या 37° = ∠QSR
या LQSR = 37° ……… (i)
प्रश्न में दिए गए चित्रानुसार PQ || SR तथा SQ एक तिर्यक रेखा उन्हें प्रतिच्छेदित करती है।
∴ x = ∠QSR या
x = 37° ….(ii)
[समीकरण (i) के आधार पर]
पुनः भुजा PQ ⊥ PS पर
∴ ∠QPS = 90° …..(iii)
अब समकोण त्रिभुज POS में
∠QPS + ∠x + ∠y = 180°
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के आधार पर)
या 90° + 37° + ∠y = 180°
[समी. (ii) व (iii) के आधार पर]
या 127° + ∠y = 180°
या ∠y = 180° – 127°
या ∠y = 53° 

प्रश्न 6.
आकृति में, ∆ PQR की भुजा QR को बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = 1212 ∠QPR है।

हल:
प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार भुजा OT, ∠POR की समद्विभाजक है।
∴ ∠PQT =∠RQT …..(i)
पुनः भुजा RT, ∠PRS की समद्विभाजक है।
∴ ∠PRT = ∠TRS …..(ii)
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख या अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ∆ PQR के अनुसार
बहिष्कोण∠PRS = ∠QPR +∠PQR
या (PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
या ∠TRS +∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT)
[समीकरण (i) तथा (ii) के आधार पर]
या 2∠TRS = ∠QPR + 2 ∠RQT
या 2 (∠ TRS – ∠RQT) = ∠QPR
या ∠TRS -∠ROT = 1/2 QPR ….(iii)
अब पुनः ∆ QTR के अनुसार
बहिष्कोण ∠TRS = ∠QTR + ∠RQT ……..(iv)
क्योंकि हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत:अभिमुख या अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
समीकरण (iv) का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
∠QTR +∠ROT – ∠RQT = 1/2∠QPR
या ∠ QTR = 1/2∠QPR (इति सिद्धम्)

Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3