Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4

प्रश्न 1.
द्विपदों को गुणा कीजिए –

  1. (2x + 5) और (4x – 3)
  2. (y – 8) और (3y – 4)
  3. (2.5l – 0.5m) और (2.51+ 0.5m)
  4. (a + 3b) और (x + 5)
  5. (2pq + 3q2) और (3pq – 2q2)
  6. (a2 +3b2) और 4 (a2 – 2b2)

हल:
1. (2x + 5) x (4x – 3)
= (2x × 4x – 3) + 5 (4x – 3)
= 2x × 4x – 2x × 3 + 5 × 4x – 5 x 3
= 8x2 – 6x + 20x – 15
= 8x + 14x – 15 (समान पदों को जोड़ने पर)

2. (y – 8) x (3y – 4) = y × (3y – 4) – 8 (3y – 4)
= y × 3y – y × 4 – 8 × 3y + 8 × 4
= 3y2 – 4y – 24y + 32
= 3y2 – 28y + 32

3. (2.51 – 0.5m) x (2.51 + 0.5m)
= 2.51 (2.51 + 0.5m) – 0.5m (2.51 + 0.5m)
= 6.25l2 + 1.25lm – 1.25lm – 0.25m2
= 6.25l2 – 0.25m2

4. (a + 3b) x (x + 5) = a x (x + 5) + 3b (x + 5)
= ax + 5a + 3bx + 3b x 5
= ax + 5a + 3bx + 15b

5. (2pq + 3q2) (3pq – 2q2)
= 2pq x (3pq – 2q2) + 3q2(3pq – 2q2)
= 2pq x 3pq – 2pq x 2q2 + 3q2 x 3pq – 3q2 x 2q2
= 6p2q2 – 4pq2 + 9pq3 – 6q4
= 6p2q2 + 5pq3 – 6q4

6. (a2 + 3b2) = 4 (a2 – b2)
= (a2 + 3b2) + (4a2 – b2)
= a2(4a2 – b2) + 3b3 (4a2 – b2)
= 3a4 – 2a2b2 + 12a2b2 – 8b4
= 3a4 – 10a2b2 – 8b4

प्रश्न 2.
गुणनफल ज्ञात कीजिए –

  1. (5 – 2x) (3 + x)
  2. (x + 7y) (7x – y)
  3. (a2 + b) (a + b2)
  4. (p2 – q2) (2p + q)

हल:
1. (5 – 2x) x (3 + x) = 5 x (3 + x) – 2x × (3 + x)
= 15 + 5x – 6x – 2x2
= 15 – x – 2x2

2. (x + 7y) x (7x – y) = x × (7x – y) + 7y x (7x – y)
= 7x2 – xy + 49xy – 7y2
= 7x2 + 48xy – 7y2

3. (a2 + b) x (a + b2) = a2 x (a + b2) + b x (a + b2)
= a + a2b2 + ab + b2
= a3 + a2b2 + ab + b3

4. (p2 – q2) x (2p + q) = p2 x (2p + q) – q2 x (2p +9)
=2p3 + p2q – 2pq2 – q3
= 3p3 + p2q – 2pq2 – q3

प्रश्न 3.
सरल कीजिए –

  1. (x2 – 5) (x + 5) + 25
  2. (a2 + 5) (b3 + 3) + 5
  3. (t + s2)(t2 – s)
  4. (a + b)(c – d) + (a – b) (c + d) + 2(ac + ba)
  5. (x + y (2y + y) + (x + 2y) (x – y)
  6. (x + y) (x2 – xy + y)
  7. (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
  8. (a + b + c) (a + b – c)

हल:
1. (x2 – 5) (x + 5) + 25
=x2 × (x + 5) – 5 x (x + 5) + 25
=x3 × 5x2 – 5x – 25 + 25
= x3 + 5x2 – 5x

2. (a2 + 5) × (b3 + 3) + 5
= a2 x (b3 + 3) + 5 x (b3 + 3) + 5
= a2b3 + 3a2 + 5b3 + 15 + 5
= a2b3 + 3a2 + 5b3 + 20

3. (t + s2) (t2 – s) = t × (t2 – s) + s2 + (t2 – s)
= t3 – ts + s2t2 – s3

4. (a + b)(c – d) + (a – b)(c + d) + 2(ac + bd)
= a (c – d) + b(c – d) + a(c – d) – b(c + d) + 2ac + 2bd
= ac – ad + bc – bd + ac + ad – bc – bd + 2ac + 2bd
= (1 + 1 + 2)ac + (- 1 + 1) ad + (1 – 1)bc (- 1 – 1 + 2)bd
= (4ac + (0) ad + (0) bc + (0) bd
= 4ac

5. (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y)
= x(2x + y) + y x (2x + y) + x × (x – y) + 2y (x – y)
= 2x2 + xy + 2xy + y2 + x2 – xy + 2xy – 2y2
= 2x2 + x2 + xy + 2xy – xy + 2xy + y2 – 2y2
= 3x2 + 4xy – y2

6. (x + y) (x2 – xy + y2)
= x × (x2 – xy + y2) + y x (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
= x3 – x2y + x2y + xy2 – xy2 + y3
= x3 + y3

7. (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 1.5x (1.5x + 4y + 3) – 4y(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 2.25x2 + 6.0xy + 4.5x – 6.0xy – 16y2 – 12y – 4.5x + 12y
= 2.25x2 + 6.0xy – 6.0xy + 4.5x – 4.5x – 12y + 12y – 16y2
= 2.25x2 – 16y2

8. (a + b + c)(a + b – c) = a (a + b – c) + b(a + b – c) + c(a + b – c)
= a2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ac + bc – c2
= a2 + b2 – c2 + ab + ab – ac + ac – bc + bc
= a2 + b2 – c2 + 2ab

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 158

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.8)

प्रश्न 1.
सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर – b रखिए। क्या आपको सर्वसमिका (II) प्राप्त होती है?
हल:
सर्वसमिका (I) से, हम प्राप्त करते हैं
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b के स्थान पर – b रखने पर,
{a + (-b)}2 = a2 + 2a(- b) + (- b)2
(a – b)2 = a – 2ab + b2 (सर्वसमिका II)
हाँ, सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर – b रखने पर हमें सर्वसमिका II प्राप्त होती है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.9)

प्रश्न 1.
a = 2, b = 3,x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
a = 2
b = 3 तथा
x = 5 रखने पर,
L.H.S. = (x + a) (x + b)
= (5 + 2) (5 + 3)
= 7 x 8 = 56
R.H.S. = x2 + (a + b)x + ab
= (5)2 + (2 + 3)5 + 2 x 3
= 25 + 25 + 6 = 56
∴ L.H.S. = R.H.S.
अत: a = 2, b = 3 और x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
सर्वसमिका (IV) में a = b लेने पर आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है?
हल:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका (IV)
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
इसमें a = b रखने पर, हम प्राप्त करते हैं –
(x + b) (x + b) = x2 + (b + b)x + b x b
= x2 + 2bx + b2
अथवा
x + 2ax + a
हाँ, यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 3.
सर्वसमिका (IV) में a = – c तथा b = – c लेने पर, आप क्या प्राप्त करते हैं। क्या यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है?
हल:
सर्वसमिका (IV) से, x = – c रखने पर हम प्राप्त करते हैं –
[x + (- c)] [x + (- c)] = x2 + (- c – c) x + (- c) (- c)
या (x – c) (x – c) = x2 – 2cx + c2
(x – c)2 = x2 – 2cx + c2
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 4.
सर्वसमिका (IV) में b = – a लीजिए। आप क्या पाते हैं? क्या यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है?
हल:
सर्वसमिका (IV) में b = – a लेने पर, हम पाते हैं –
(x + a) {x + (- a)} = x2 + (a – a)x + (a)(- a)
या (x + a) (x – a) = x2 – a2
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4