RBSE Class 10 Maths Chapter 1 Solutions in Hindi — वास्तविक संख्याएँ | पासबुक हल, नोट्स

प्रश्नावली 1.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-

हल—

(i) $140$ के अभाज्य गुणनखंड

$=2 \times 70$

$=2 \times 2 \times 35$

$=2 \times 2 \times 5 \times 7$

$=2^{2} \times 5 \times 7$ उत्तर

(ii) $156$ के अभाज्य गुणनखंड

$=2 \times 78$

$=2 \times 2 \times 39$

$=2 \times 2 \times 3 \times 13$

$=2^{2} \times 3 \times 13$ उत्तर

(iii) $3825$ के अभाज्य गुणनखंड

$=3 \times 1275$

$=3 \times 3 \times 425$

$=3 \times 3 \times 5 \times 85$

$=3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17$

$=3^{2} \times 5^{2} \times 17$ उत्तर

(iv) $5005$ के अभाज्य गुणनखंड

$=5 \times 1001$

$=5 \times 7 \times 143$

$=5 \times 7 \times 11 \times 13$ उत्तर

(v) $7429$ के अभाज्य गुणनखंड

$=17 \times 437$

$=17 \times 19 \times 23$ उत्तर

प्रश्न 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल $=HCF \times LCM$ है।

(i) $26$ और $91$

(ii) $510$ और $92$

(iii) $336$ और $54$ (प्रश्न बैंक)

हल—

(i) $26$ और $91$

$26$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 13$

$91$ के अभाज्य गुणनखंड $=7 \times 13$

$∴26$ और $91$ का $LCM=2 \times 7 \times 13=182$

तथा $26$ और $91$ का $HCF=13$

सत्यापन— $HCF(26,91) \times LCM(26,91)$

$=13 \times 182$

$=13 \times 2 \times 91$

$=26 \times 91$

$=$ दी गई संख्याओं का गुणनफल

(ii) $510$ और $92$

$510$ के अभाज्य गुणनखंड

$=2 \times 255$

$=2 \times 3 \times 85$

$=2 \times 3 \times 5 \times 17$

तथा $92$ के अभाज्य गुणनखंड

$=2 \times 46$

$=2 \times 2 \times 23$

$=2^{2} \times 23$

$LCM(510,92)=2^{2} \times 3 \times 5 \times 17 \times 23$

$=23460$

तथा $HCF(510,92)=2$

सत्यापन— $HCF(510,92) \times LCM(510,92)$

$=2 \times 23460$

$=2 \times 2^{2} \times 3 \times 5 \times 17 \times 23$

$=2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 2^{2} \times 23$

$=510 \times 92$

$=$ दी गई संख्याओं का गुणनफल

(iii) $336$ और $54$

$336$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 168$

$=2 \times 2 \times 84$

$=2 \times 2 \times 2 \times 42$

$=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 21$

$=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7$

$=2^{4} \times 3 \times 7$

$54$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 27$

$=2 \times 3 \times 9$

$=2 \times 3 \times 3 \times 3$

$=2 \times 3^{3}$

$∴HCF (336,54)=2 \times 3=6$

$LCM=2^{4} \times 3^{3} \times 7$

$=3024$

सत्यापन $-HCF (336,54) \times LCM (336,54)$

$=6 \times 3024$

$=2 \times 3 \times 2^{4} \times 3^{3} \times 7$

$=2^{4} \times 3 \times 7 \times 2 \times 3^{3}$

$=336 \times 54$

$=$ दी गई संख्याओं का गुणनफल

3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए—

(i) $12,15$ और $21$ (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025; प्रश्न बैंक)

(ii) $17,23$ और $29$

(iii) $8,9$ और $25$

हल—

(i) $12,15$ और $21$

$12$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 2 \times 3$

$=2^{2} \times 3$

$15$ के अभाज्य गुणनखंड $=3 \times 5$

$21$ के अभाज्य गुणनखंड $=3 \times 7$

$∴LCM (12,15 \text{और} 21)$

$=2^{2} \times 3 \times 5 \times 7=420$ उत्तर

तथा $HCF (12,15 \text{और} 21)=3$ उत्तर

(ii) $17,23$ और $29$

$17$ के अभाज्य गुणनखंड $=1 \times 17$

$23$ के अभाज्य गुणनखंड $=1 \times 23$

$29$ के अभाज्य गुणनखंड $=1 \times 29$

$∴LCM (17,23 \text{और} 29)$

$=17 \times 23 \times 29$

$=11339$ उत्तर

तथा $HCF (17,23 \text{और} 29)=1$ उत्तर

(iii) $8,9$ और $25$

$8$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 2 \times 2=(2)^{3} \times 1$

$9$ के अभाज्य गुणनखंड $=3 \times 3=(3)^{2} \times 1$

$25$ के अभाज्य गुणनखंड $=5 \times 5=(5)^{2} \times 1$

$∴LCM (8,9 \text{और} 25)=(2)^{3} \times (3)^{2} \times (5)^{2}$

$=8 \times 9 \times 25$

$=1800$ उत्तर

तथा $HCF (8,9 \text{और} 25)=1$ उत्तर

**4. $HCF (306,657)=9$ दिया है। $LCM (306,657)$ ज्ञात कीजिए।** (प्रश्न बैंक)

हल— प्रश्मानुसार संख्याएँ $306$ व $657$ हैं।

$∴a=306,b=657$ और $H.C.F.=9$ दिया है।

हम जानते हैं कि

$L.C.M.=\frac{a \times b}{H.C.F.}$

$=\frac{306 \times 657}{9}$

$=34 \times 657=22338$

अतः $L.C.M. (306,657)=22338$ उत्तर

**5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए, संख्या $6^{n}$ अंक $0$ पर समाप्त हो सकती है।**

हल— माना कि किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए, $n∈N$ , $6^{n}$ अंक $0$ पर समाप्त होती है अतः $6^{n}$ , $5$ से विभाज्य होगी।

परन्तु $6$ के अभाज्य गुणनखंड $6=2 \times 3$

$∴(6)^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड $(6)^{n}=(2 \times 3)^{n}$ होंगे।

अर्थात् यह स्पष्ट हो रहा है कि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडों में $5$ का कोई स्थान नहीं है।

$∴6^{n}$ का कोई गुणनखंड $5$ नहीं हो सकता अर्थात् संख्या $6^{n}$ अंक शून्य पर समाप्त नहीं हो सकती है।

**6. व्याख्या कीजिए कि $7 \times 11 \times 13+13$ और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5$ भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?**

हल— प्रश्मानुसार $7 \times 11 \times 13+13$

$=13(7 \times 11+1)$

चूँकि इस प्राप्त संख्या का एक गुणनखंड $13$ है अतः यह एक भाज्य संख्या है। पुनः प्रश्मानुसार

$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5$

$=5(7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+1)$

यह प्राप्त संख्या भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसका भी एक गुणनखंड $5$ है। अतः दी गई दोनों संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।

**7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को $18$ मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को $12$ मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?** (प्रश्न बैंक)

हल— सोनिया द्वारा वृत्ताकार मैदान का $1$ चक्कर लगाने का समय $=18$ मिनट

रवि द्वारा उसी मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय $=12$ मिनट

4 संजय बुक्स

यह ज्ञात करने के लिए कि वे पुनः दोनों कितने समय के बाद प्रारम्भिक बिन्दु पर मिलेंगे, हमें $18$ व $12$ का LCM ज्ञात करना होगा।

अतः $18$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 9$

$=2 \times 3 \times 3=2 \times 3^{2}$

तथा $12$ के अभाज्य गुणनखंड $=2 \times 6$

$=2 \times 2 \times 3=2^{2} \times 3$

$18$ और $12$ के सभी अधिकतम घातांक में अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल लेने पर

$∴$ LCM $(18,12)=2^{2} \times 3^{2}$

$=4 \times 9=36$

अर्थात् सोनिया एवं रवि प्रारम्भिक स्थान पर $36$ मिनट बाद मिलेंगे। उत्तर

प्रश्नावली 1.2

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )

हल— माना कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे दो पूर्णांक $r$ व $s$ प्राप्त करते हैं जहाँ $s \ne 0$

$\sqrt{5}=\frac{r}{s}$

अब पुनः माना कि $r$ व $s$ में, $1$ के अतिरिक्त अन्य कुछ गुणनखंड हैं तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखंड से $r$ और $s$ को विभाजित करके $\sqrt{5}=\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते हैं। यहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य है।

अर्थात् $b\sqrt{5}=a$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

$⇒(b\sqrt{5})^{2}=a^{2}$

$⇒b^{2}(\sqrt{5})^{2}=a^{2}$

$⇒5b^{2}=a^{2}$ .... (i)

अतः $5,a^{2}$ को विभाजित करता है।

प्रमेय के अनुसार यदि एक अभाज्य संख्या $p,a^{2}$ को विभाजित करती है तो $p,a$ को भी विभाजित करेगी, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

$⇒5,a$ को भी विभाजित करता है। .... (ii)

अतः $a=5c$ जहाँ $c$ कोई पूर्णांक है।

$a$ का मान (i) में रखने पर

$5b^{2}=(5c)^{2}$

$5b^{2}=25c^{2}$

$b^{2}=5c^{2}$

या $5c^{2}=b^{2}$

$⇒5,b^{2}$ को विभाजित करता है।

प्रमेय के अनुसार $5,b$ को भी विभाजित करता है। .... (iii)

(ii) व (iii) से, $a$ और $b$ का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $5$ है। परन्तु यह इस तथ्य का विरोधाभासी है कि $a$ और $b$ अविभाज्य हैं या इनके $1$ के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं। अतः हमारी कल्पना कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है, असत्य है। अर्थात् $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— माना कि $3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम अविभाज्य संख्या $a$ और $b$ प्राप्त कर सकते हैं जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं कि $b \ne 0$ तथा

$3+2\sqrt{5}=\frac{a}{b}$

या $\frac{a}{b}-3=2\sqrt{5}$

या $\sqrt{5}=\frac{a}{2b}-\frac{3}{2}$

या $\sqrt{5}=\frac{a-3b}{2b}$

$∵a$ और $b$ पूर्णांक हैं

$∴\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है।

अर्थात् $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। परन्तु यह तथ्य इस कथन का खण्डन करता है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। अर्थात् यह कल्पना असत्य है। अतः दी गई संख्या $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं—

हल— (i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

प्रश्न में दिए गए कथन के विपरीत माना कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम अविभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ ( $b \ne 0$ ) प्राप्त कर सकते हैं अर्थात्

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

गणित-कक्षा 10 5

या $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{b}$

या $\sqrt{2}=\frac{2a}{b}$ ...(i)

क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल एक परिमेय संख्या होती है।

अतः $\frac{2a}{b}=$ एक परिमेय संख्या

(i) से $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या है। परन्तु यह कथन असत्य है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अतः $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम्)

(ii) $7\sqrt{5}$

माना कि दी गई संख्या $7\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे दो पूर्णांक $a$ और $b$ ( $b \ne 0$ ) प्राप्त कर सकते हैं कि

$7\sqrt{5}=\frac{a}{b}$

या $7b\sqrt{5}=a$

या $\sqrt{5}=\frac{a}{7b}$ ...(i)

चूँकि (i) में $a$ , $7$ और $b$ सभी पूर्णांक हैं तथा दो पूर्णांकों का भाग भी एक परिमेय संख्या होती है। अर्थात् $\frac{a}{7b}=$ एक परिमेय संख्या

अतः (i) से $\sqrt{5}=$ एक परिमेय संख्या जो कि कथन $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है, का विरोधाभासी कथन है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अतः $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम्)

(iii) $6+\sqrt{2}$

माना कि $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसी सह-अभाज्य संख्याएँ $a$ और $b$ ( $b \ne 0$ ) ज्ञात कर सकते हैं कि

$6+\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

या $\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6$

या $\sqrt{2}=\frac{a-6b}{b}$ ...(i)

चूँकि $a$ तथा $b$ पूर्णांक हैं अतः $\frac{a-6b}{b}$ भी एक पूर्णांक संख्या होगी क्योंकि पूर्णांकों की बाकी तथा पूर्णांकों का भाग भी पूर्णांक होता है। अर्थात्

$\frac{a-6b}{b}=$ एक परिमेय संख्या

$∴$ (i) से $\sqrt{2}=$ एक परिमेय संख्या

परन्तु यह कथन कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या होती है, का विरोधाभासी कथन है। अतः हमारी कल्पना असत्य है। अर्थात् $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम्)