RBSE कक्षा 10 गणित पाठ 10: वृत्त सम्पूर्ण हल

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

#### प्रश्नावली 10.1

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

हल— हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिन्दु पर एक व केवल एक ही स्पर्श रेखा हो सकती है। परन्तु वृत्त एक अनन्त बिन्दुओं का समूह होता है। इसलिए हम वृत्त पर अनन्त स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं।

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ............. बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है। (प्रश्न बैंक)

(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ............. कहते हैं।

(iii) एक वृत्त की ............. समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। (प्रश्न बैंक)

(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को ........ कहते हैं। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— (i) केवल एक (ii) छेदक रेखा (iii) दो (iv) स्पर्श बिन्दु

**3. 5 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि $OQ=12$ सेमी., PQ की लम्बाई है :** (प्रश्न बैंक)

(A) 7 सेमी.

(B) 13 सेमी.

(D)

\sqrt{119}

सेमी.

हल— प्रश्नानुसार आकृति बनाने पर

[वृत्त, केन्द्र O, त्रिज्या OP=5cm, स्पर्श रेखा PQ, रेखा OQ=12cm]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 1

$OP=5$ सेमी. और $OQ=12$ सेमी.

$∵$ PQ एक स्पर्श रेखा है और OP त्रिज्या है।

$∴ \angle OPQ=90^{∘}$

अब, समकोण $\Delta OPQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय से

$OQ^{2}=OP^{2}+QP^{2}$

या $(12)^{2}=(5)^{2}+QP^{2})$

या $QP^{2}=(12)^{2}-(5)^{2}$

या $QP^{2}=144-25=119$

या $QP=\sqrt{119}$ सेमी.

अतः, विकल्प (D) सही है। उत्तर

4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

हल— माना O दिये गये वृत्त का केन्द्र है और PQ एक दी गयी रेखा है। हमें PQ के समान्तर दो रेखायें माना CD व AB खींचनी हैं जिनमें CD स्पर्श रेखा और AB छेदक रेखा हो।

[वृत्त, केन्द्र O, स्पर्श रेखा CD, छेदक रेखा AB, रेखा PQ, लम्ब ON]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 2

रचना—(i) रेखा PQ पर केन्द्र-बिन्दु से लम्ब ON खींचा जो कि वृत्त को बिन्दु C पर काटता है।

(ii) त्रिज्या OC के बिन्दु C पर लम्ब CD खींचा गया है। यहाँ पर CD स्पर्श रेखा है।

(iii) OC पर एक बिन्दु M से OC पर लम्ब AB खींचा, AB छेदक रेखा है।

#### प्रश्नावली 10.2

प्रश्न संख्या 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

1. एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm. तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm. है। वृत्त की त्रिज्या है :

(A) 7 cm.

(B) 12 cm.

(D) 24.5 cm.

हल— एक वृत्त जिसका केन्द्र O है। बाह्य बिन्दु Q से स्पर्श रेखा PQ की लम्बाई 24 cm. तथा Q की केन्द्र O से दूरी 25 cm. है।

[वृत्त, केन्द्र O, बिन्दु Q, स्पर्श रेखा PQ=24cm, रेखा OQ=25cm]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 3

$∴ \angle QPO=90^{∘}$

अब, समकोण $\Delta QPQ$ में,

$OQ^{2}=PQ^{2}+OP^{2}$

$(25)^{2}=(24)^{2}+OP^{2})$

या $625=576+OP^{2}$

या $OP^{2}=625-576$

या $OP^{2}=49=(7)^{2}$

या $OP=7$ cm.

$∴$ विकल्प (A) सही है। उत्तर

प्रश्न 2. आकृति में, यदि $TP,TQ$ केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle POQ=110^{∘}$ , तो $\angle PTQ$ बराबर है :

(A)

60^{∘}

(B)

70^{∘}

(C)

80^{∘}

(D)

90^{∘}

[वृत्त जिसमें केन्द्र O, बाह्य बिन्दु T से स्पर्श रेखाएँ TP और TQ हैं, ∠ POQ = 110°]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 4

हल— आकृति में $OP$ त्रिज्या है और $PT$ वृत्त पर स्पर्श रेखा है।

$∴ \angle OPT=90^{∘}$

इसी प्रकार $\angle OQT=90^{∘}$ और $\angle POQ=110^{∘}$ (दिया है)

अब $POQT$ एक चतुर्भुज है,

$∴ \angle POQ+ \angle OQT+ \angle PTQ+ \angle TPO=360^{∘}$

$110^{∘}+90^{∘}+ \angle PTQ+90^{∘}=360^{∘}$

या $\angle PTQ+290^{∘}=360^{∘}$

या $\angle PTQ=360^{∘}-290^{∘}$

या $\angle PTQ=70^{∘}$

$∴$ विकल्प (B) सही है। उत्तर

प्रश्न 3. यदि एक बिन्दु $P$ से $O$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर $PA,PB$ स्पर्श रेखाएँ परस्पर $80^{∘}$ के कोण पर झुकी हों, तो $\angle POA$ बराबर है :

(A)

50^{∘}

(B)

60^{∘}

(C)

70^{∘}

(D)

80^{∘}

हल— आकृति में $OA$ त्रिज्या है और $AP$ वृत्त पर स्पर्श रेखा है।

[वृत्त जिसमें केन्द्र O, बाह्य बिन्दु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 5

$∴ \angle OAP=90^{∘}$

इसी प्रकार, $\angle OBP=90^{∘}$

अब समकोण $\Delta PAO$ और $\Delta PBO$ में,

$\angle PAO= \angle PBO=90^{∘}$

$OP=OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)

$OA=OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

$∴ \Delta PAO \cong \Delta PBO$ [RHS सर्वांगसमता]

$∴ \angle AOP= \angle BOP$

$=\frac{1}{2} \angle AOB$ ....(i)

साथ ही, चतुर्भुज $OAPB$ में,

$\angle OBP+ \angle BPA+ \angle PAO+ \angle AOB=360^{∘}$

$90^{∘}+80^{∘}+90^{∘}+ \angle AOB=360^{∘}$

$\angle AOB=360^{∘}-260^{∘}$

$\angle AOB=100^{∘}$ ....(ii)

(i) और (ii) से,

$\angle AOP= \angle BOP$

$=\frac{1}{2} \times 100^{∘}=50^{∘}$

$∴$ विकल्प (A) सही है। उत्तर

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23, 2023-24)

हल— दिया है : एक वृत्त, जिसका केन्द्र $O$ तथा व्यास $AB$ है। $l$ और $m$ बिन्दु $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

[वृत्त जिसमें व्यास AB, बिन्दु A पर स्पर्श रेखा l और बिन्दु B पर स्पर्श रेखा m है]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 6

सिद्ध करना है : $l \parallel m$

उपपत्ति : $OA$ त्रिज्या है और $l$ वृत्त पर स्पर्श रेखा है।

$∴ \angle 1=90^{∘}$

इसी प्रकार, $\angle 2=90^{∘}$

अब, $\angle 1= \angle 2=90^{∘}$

परन्तु यह दो समान्तर रेखाओं के एकान्तर कोण हैं, जब एक तिर्यक रेखा उन्हें काटती है।

$∴l \parallel m$

अतः, किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है। (प्रश्न बैंक)

हल— दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है। $PQ$ इसकी स्पर्श रेखा है जो वृत्त को $A$ पर मिलती है।

अर्थात् बिन्दु $A$ वृत्त का स्पर्श बिन्दु है।

सिद्ध करना है : स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।

रचना : $OA$ को मिलाइए।

[A circle with center O, a line PQ passing through A on the circle.]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 7

उपपत्ति : क्योंकि $OA$ वृत्त की त्रिज्या है और $PQ$ वृत्त पर स्पर्श रेखा है, जिसमें बिन्दु $A$ स्पर्श बिन्दु है।

$∴ \angle OAP= \angle OAQ=90^{∘}$

[ $∵$ वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।]

या $OA⟂PQ$

क्योंकि किसी वृत्त की त्रिज्या सदैव वृत्त के केन्द्र से गुजरती है। अतः, स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है। (इतिसिद्धम्)

6. एक बिन्दु $A$ से, जो एक वृत्त के केन्द्र से $5 cm$ दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई $4 cm$ है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल—एक वृत्त जिसका केन्द्र ' $O$ ' है। वृत्त के बाहर इसके केन्द्र से $5 cm$ की दूरी पर कोई बिन्दु $A$ है।

[A circle with center O, point A outside, tangent PA = 4cm, radius OP, distance OA = 5cm.]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 8

स्पर्श रेखा की लम्बाई $=PA=4 cm$

क्योंकि $OP$ त्रिज्या है और $PA$ वृत्त पर स्पर्श रेखा है।

$∴ \angle OPA=90^{∘}$

अब, समकोण $\Delta OPA$ में, पाइथागोरस प्रमेय से,

$OA^{2}=OP^{2}+PA^{2}$

$(5)^{2}=OP^{2}+(4)^{2}$

या $OP^{2}=25-16$

या $OP^{2}=9=(3)^{2}$

या $OP=3 cm$

अतः, वृत्त की त्रिज्या $3 cm$ है। उत्तर

7. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $5 cm$ तथा $3 cm$ हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; मॉडल पेपर 2024-25)

हल—दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनका एक ही केन्द्र $O$ तथा त्रिज्याएँ क्रमशः $5 cm$ और $3 cm$ हैं।

[Two concentric circles, chord PQ of larger circle tangent to smaller circle at M.]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 9

माना कि $PQ$ बड़े वृत्त की जीवा है परन्तु छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है।

क्योंकि, $OM$ छोटे वृत्त की त्रिज्या है और $PMQ$ स्पर्श रेखा है।

$∴ \angle OMP= \angle OMQ=90^{∘}$

अब, समकोण त्रिभुज $OMP$ और $OMQ$ से,

$\angle OMP= \angle OMQ=90^{∘}$

$OP=OQ$ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]

$OM=OM$ [उभयनिष्ठ भुजा]

$∴ \Delta OMP \cong OMQ$ [RHS सर्वांगसमता]

$∴PM=MQ$ [CPCT]

या $PQ=2 PM=2 MQ$

अब, समकोण $\Delta OMQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय से,

$OQ^{2}=OM^{2}+MQ^{2}$

$(5)^{2}=(3)^{2}+(MQ)^{2}$

या $MQ^{2}=25-9$

या $MQ^{2}=16=(4)^{2}$

या $MQ=4 cm$

$∴$ जीवा $PQ$ की लम्बाई $=2 MQ$

$=2(4) cm$

$=8 cm$

अतः, अभीष्ट जीवा की लम्बाई $8 cm$ है। उत्तर

8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज $ABCD$ खींचा गया है। (देखिए आकृति)

सिद्ध कीजिए : $AB+CD=AD+BC$

(प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

[Quadrilateral ABCD circumscribing a circle with points of contact P, Q, R, S.]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 10

हल—दिया है : वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज $ABCD$ खींचा गया है।

सिद्ध करना है : $AB+CD=AD+BC$

उपपत्ति : हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।

अब, $B$ वृत्त के बाहर स्थित कोई बिन्दु है और $BP,BQ$ वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

$∴BP=BQ$ ....(i)

इसी प्रकार, $AP=AS$ ....(ii)

और $CR=CQ$ ....(iii)

साथ ही, $DR=DS$ ....(iv)

(i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर,

$(BP+AP)+(CR+DR)=(BQ+AS)+(CQ+DS)$

या $(BP+AP)+(CR+DR)=(BQ+CQ)+(AS+DS)$

$AB+CD=BC+AD$ (इतिसिद्धम्)

9. आकृति में, $XY$ तथा $X^{'}Y^{'}$ , $O$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु $C$ पर स्पर्श रेखा $AB,XY$ को $A$ तथा $X^{'}Y^{'}$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle AOB=90^{∘}$ है।

[Circle with center O, parallel tangents XY and X'Y', and tangent AB at point C]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 11

हल—दिया है : $XY$ तथा $X^{'}Y^{'}$ केन्द्र $O$ वाले वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु $C$ पर एक अन्य स्पर्श रेखा $AB,XY$ को $A$ तथा $X^{'}Y^{'}$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना है : $\angle AOB=90^{∘}$

रचना : $OC,OA$ और $OB$ को मिलाइए।

उपपत्ति : हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ समान होती हैं।

अब, $A$ वृत्त के बाहर कोई बिन्दु है जिसमें से दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $AC$ वृत्त पर खींची गई हैं।

$∴PA=AC$

साथ ही, $\Delta PAO$ और $\Delta AOC$ में,

$PA=AC$ (प्रमाणित)

$OA=OA$ (उभयनिष्ठ भुजा)

$OP=OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

$∴\Delta PAO \cong \Delta AOC$ [SSS सर्वांगसमता]

$⇒ \angle PAO= \angle CAO$ [CPCT]

या $\angle PAC=2 \angle PAO=2 \angle CAO$ ....(i)

इसी प्रकार $\angle QBO= \angle COB$

$⇒ \angle CBQ=2 \angle CBO$ ....(ii)

अब, $\angle PAC+ \angle QBC=90^{∘}+90^{∘}=180^{∘}$

[ $∵OP,OQ$ त्रिज्याएँ हैं और $XY,X^{'}Y^{'}$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।]

या $2 \angle CAO+2 \angle OBC=180^{∘}$

[(i) और (ii) का प्रयोग करने पर]

या $\angle CAO+ \angle OBC=\frac{180^{∘}}{2}=90^{∘}$ ....(iii)

अब, $\Delta OAB$ में,

$\angle CAO+ \angle OBC+ \angle AOB=180^{∘}$

$90^{∘}+ \angle AOB=180^{∘}$

[(iii) का प्रयोग करने पर]

या $\angle AOB=180^{∘}-90^{∘}=90^{∘}$

अतः, $\angle AOB=90^{∘}$ (इतिसिद्धम्)

10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।

हल—दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है। $P$ वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु $P$ से $PQ$ और $PR$ दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

[Circle with center O, external point P, and tangents PQ and PR]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 12

सिद्ध करना है : $\angle ROQ+ \angle QPR=180^{∘}$

उपपत्ति : $OQ$ त्रिज्या है और $PQ$ बिन्दु $P$ से दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखा है।

$∴ \angle OQP=90^{∘}$ ....(i)

इसी प्रकार, $\angle ORP=90^{∘}$ ....(ii)

अब, चतुर्भुज $ROQP$ में,

$\angle ROQ+ \angle PRO+ \angle OQP+ \angle QPR=360^{∘}$

या $\angle ROQ+90^{∘}+90^{∘}+ \angle QPR=360^{∘}$

[समी. (i) व (ii) से]

या $\angle ROQ+ \angle QPR+180^{∘}=360^{∘}$

या $\angle ROQ+ \angle QPR=360^{∘}-180^{∘}$

या $\angle ROQ+ \angle QPR=180^{∘}$

अतः $\angle QPR, \angle ROQ$ का सम्पूरक है। (इतिसिद्धम्)

11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; मॉडल पेपर, 2024-25; 2023-24; प्रश्न बैंक)

हल— दिया है : एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ केन्द्र $O$ वाले वृत्त के परिगत है।

सिद्ध करना है : $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

अब, वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु $B$ से $BE$ और $BF$ वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

[वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज ABCD]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 13

$∴BE=BF$ ....(1)

इसी प्रकार, $AE=AH$ ....(2)

और $CG=CF$ ....(3)

साथ ही, $DG=DH$ ....(4)

(1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर,

$(BE+AE)+(CG+DG)=(BF+CF)+(AH+DH)$

या $AB+CD=BC+AD$ ....(5)

चूँकि दिया गया है कि $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$∴AB=CD$ और $BC=AD$ ....(6)

(5) और (6) से,

$AB+AB=BC+BC$

या $2AB=2BC$

या $AB=BC$

इसलिये $AB=BC=CD=AD$

अतः $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। (इतिसिद्धम्)

**12. $4 cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज $ABC$ इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड $BD$ और $DC$ (जिनमें स्पर्श बिन्दु $D$ द्वारा $BC$ विभाजित है) की लम्बाइयाँ क्रमशः $8 cm$ और $6 cm$ हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ $AB$ और $AC$ ज्ञात कीजिए।**

[वृत्त के परिगत त्रिभुज ABC]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 14

हल— $4 cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज $ABC$ खींचा गया है। त्रिभुज की भुजाएँ $BC,CA,AB$ वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं $D,E$ तथा $F$ पर स्पर्श करती हैं। क्योंकि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

[त्रिभुज ABC का ज्यामितीय विश्लेषण]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 15

$∴AE=AF=x cm$ (माना)

$CE=CD=6 cm$

और $BF=BD=8 cm$

हम जानते हैं कि वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

$∴OD⟂BC;OE⟂AC$ और $OF⟂AB$

तथा $OE=OD=OF=4 cm$

$\Delta ABC$ से,

$a=CB=(6+8) cm=14 cm$

$b=AC=(x+6) cm$

$c=BA=(8+x) cm$

$∴$ अर्द्धपरिमाप $(s)=\frac{a+b+c}{2}$

$∴s=\frac{14+x+6+8+x}{2}$

$=\frac{2x+28}{2}=(x+14)$

$=( \Delta ABC)$ का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{(x+14)(x+14-14)(x+14-x-6)(x+14-8-x)}$

$=\sqrt{(x+14) \times x \times 8 \times 6}$

$=\sqrt{(x+14) \times 48x}$

$=\sqrt{48x^{2}+672x} cm^{2}$ .... (i)

$ar( \Delta OBC)=\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलम्ब}$

$=\frac{1}{2} \times 14 \times 4=28 cm^{2}$ .... (ii)

$ar( \Delta BOA)=\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलम्ब}$

$=\frac{1}{2} \times (8+x) \times 4$

$=(16+2x) cm^{2}$ .... (iii)

$ar( \Delta AOC)=\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलम्ब}$

$=\frac{1}{2} \times (6+x) \times 4$

$=(12+2x) cm^{2}$ .... (iv)

$ar( \Delta ABC)=ar( \Delta OBC)+ar( \Delta BOA)+ar( \Delta AOC)$

$\sqrt{48x^{2}+672x}=28+16+2x+12+2x$

या $\sqrt{48x^{2}+672x}=4x+56$

या $\sqrt{48x^{2}+672x}=4[x+14]$

दोनों ओर का वर्ग करने पर

या $48x^{2}+672x=16(x+14)^{2}$

या $48x(x+14)=16(x+14)^{2}$

या $3x=x+14$

या $2x=14$

या $x=\frac{14}{2}=7$

$∴AC=(x+6) cm=(7+6) cm=13 cm$

और $AB=(x+8) cm=(7+8) cm=15 cm$

अतः, $AB=15 cm$ और $AC=13 cm$ उत्तर

प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; मॉडल पेपर, 2024-25, 2023-24; प्रश्न बैंक)

हल—दिया है : केन्द्र $O$ वाले वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज $PQRS$ जिसकी भुजाएँ $PQ,QR,RS$ और $SP$ वृत्त को क्रमशः $L,M,N,T$ बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।

[A circle with center O, inscribed in a quadrilateral PQRS. Tangent points L, M, N, T are marked. Angles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 are marked around the center O.]

कक्षा 10 गणित पाठ 10 वृत्त चित्र 16

सिद्ध करना है :

$\angle POQ+ \angle SOR=180^{∘}$

और $\angle SOP+ \angle ROQ=180^{∘}$

रचना : $OP,OL,OQ,OM,OR,ON,OS,OT$ को मिलाइए।

उपपत्ति : क्योंकि बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।

$∴ \angle 2= \angle 3; \angle 4= \angle 5; \angle 6= \angle 7; \angle 8= \angle 1$ ....(i)

हम जानते हैं कि एक बिन्दु पर सभी कोणों का जोड़ $360^{∘}$ होता है।

$∴ \angle 1+ \angle 2+ \angle 3+ \angle 4+ \angle 5+ \angle 6+ \angle 7+ \angle 8=360^{∘}$

या $\angle 1+ \angle 2+ \angle 2+ \angle 5+ \angle 5+ \angle 6+ \angle 6+ \angle 1=360^{∘}$

या $2( \angle 1+ \angle 2+ \angle 5+ \angle 6)=360^{∘}$

या $( \angle 1+ \angle 2)+( \angle 5+ \angle 6)=\frac{360^{∘}}{2}=180^{∘}$

$∵ \angle 1+ \angle 2= \angle POQ$

तथा $\angle 5+ \angle 6= \angle SOR$

$∴ \angle POQ+ \angle SOR=180^{∘}$

इसी प्रकार, $\angle SOP+ \angle ROQ=180^{∘}$

अतः: वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण आन्तरित करती हैं। (इतिसिद्धम्)

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
1. वृत्त-वृत्त एक समतल में स्थित उन बिन्दुओं का समुच्चय होता है जो उस समतल में दिए गए स्थिर बिन्दु से नियत दूरी पर होते हैं। वह वृत्त जिसका केन्द्र $O$ तथा त्रिज्या $r$ हो तो सामान्यतः $C(O,r)$ द्वारा व्यक्त करते हैं।
[वृत्त का केन्द्र O और त्रिज्या r दर्शाते हुए]
2. छेदक रेखा-वह रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिन्दुओं पर काटे, वृत्त की छेदक रेखा कहलाती है। चित्र में $AB$ छेदक रेखा है।
[वृत्त को काटती हुई छेदक रेखा AB]
3. स्पर्श रेखा-वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है, जो वृत्त को ठीक एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हो अर्थात् एक ऐसी रेखा जो वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर स्पर्श करती हो, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है। स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।
4. वृत्त के एक बिन्दु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
5. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा की एक विशिष्ट दशा है जब संगत जीवा के दोनों सिरे संपाती हो जायें।
6. प्रमेय 1-वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या के लम्बवत् होती है।
[वृत्त की स्पर्श रेखा और त्रिज्या का लम्बवत होना]
नोट-(i) उपर्युक्त प्रमेय से हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वृत्त के किसी बिन्दु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
(ii) स्पर्श बिन्दु से त्रिज्या को समाहित करने वाली रेखा को वृत्त के उस बिन्दु पर अभिलम्ब भी कहते हैं।
7. प्रमेय 2 (प्रमेय 1 का विलोम)-वह रेखा जो त्रिज्या के छोर बिन्दु से होकर जाती है और इस पर लम्ब है, वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
(i) उपप्रमेय-वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु पर खींचा हुआ लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
8. एक बिन्दु से एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या
स्थिति I-वृत्त के अन्दर स्थित किसी बिन्दु से जाने वाली वृत्त पर कोई भी स्पर्श रेखा नहीं होती है।
स्थिति II-वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
स्थिति III-वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से जाने वाली वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
9. प्रमेय 3-किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींचे गये दो स्पर्श रेखाखण्डों की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। इसके निम्न निष्कर्ष हैं-
(i) एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ बिन्दु को वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाली रेखा के साथ तुल्य कोण बनाती हैं।
(ii) एक बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींचे गए स्पर्श रेखाखण्ड केन्द्र पर तुल्य कोण अन्तरित करते हैं।
[बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR]
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

--- अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न ---
बहुविकल्पीय प्रश्न—
1. एक बिन्दु $P$ से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई $24$ सेमी तथा $P$ की केन्द्र से दूरी $15$ सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

(A) $7$ सेमी

(B) $14$ सेमी

(C) $3.5$ सेमी

(D) $1$ सेमी

प्रश्न 2. एक $6$ सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त पर किसी बाह्य बिन्दु $A$ से स्पर्श रेखा की लम्बाई $10$ सेमी. है। बिन्दु $A$ से वृत्त के केन्द्र से दूरी होगी-

(A) $7$ सेमी.

(B) $\sqrt{136}$

(C) $9$ सेमी.

(D) $10$ सेमी.

प्रश्न 3. एक बिन्दु $P$ वृत्त के केन्द्र से $25$ सेमी. की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या $7$ सेमी. है और $P$ से वृत्त की खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई होगी-

(A) $\sqrt{30}$ सेमी.

(B) $24$ सेमी.

(C) $28$ सेमी.

(D) $30$ सेमी.

प्रश्न 4. यदि एक समचतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श करती हैं तो-

(A) $AC+DA=BD+CD$

(B) $AB+CD=BC+DA$

(C) $AB+CD=AC+BC$

(D) $AC+AD=BC+BD$

प्रश्न 5. वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है, कहलाती है-

(A) जीवा

(B) स्पर्श रेखा

(C) छेदक रेखा

(D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 6. एक वृत्त के बाह्य बिन्दु से खींची गई अधिकतम स्पर्श रेखाएँ हैं-

(A) एक

(B) दो

(C) तीन

(D) अनन्त

प्रश्न 7. किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर होती हैं-

(A) लम्बवत्

(B) समान्तर

(C) प्रतिच्छेदी

(D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 8. दी गई आकृति में $AB$ तथा $AC$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। $O$ वृत्त का केन्द्र है, यदि $\angle CAB=60^{∘}$ तो $\angle BDC$ है-
[वृत्त के बाहर बिन्दु A से स्पर्श रेखाएँ AB और AC, केन्द्र O, जीवा BC, और बिन्दु D वृत्त की परिधि पर]

(A) $60^{∘}$

(B) $70^{∘}$

(C) $120^{∘}$

(D) $150^{∘}$

प्रश्न 9. यदि आकृति में केन्द्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ व $TQ$ इस प्रकार हैं कि $\angle POQ=115^{∘}$ हो तो $\angle PTQ$ का मान है-
[वृत्त के बाहर बिन्दु T से स्पर्श रेखाएँ TP और TQ, केन्द्र O, ∠ POQ = 115°]

(A) $115^{∘}$

(B) $57.5^{∘}$

(C) $55^{∘}$

(D) $65^{∘}$

प्रश्न 10. $7$ सेमी. त्रिज्या के वृत्त के बाह्य बिन्दु $P$ से स्पर्श रेखा $PT$ खींची गई है कि $PT=24$ सेमी. है। यदि $O$ वृत्त का केन्द्र है तो $PR$ की लम्बाई है-
[वृत्त, केन्द्र O, बाह्य बिन्दु P, स्पर्श रेखा PT, और रेखा PR]

(A) $30$ सेमी.

(B) $28$ सेमी.

(C) $32$ सेमी.

(D) $25$ सेमी.

प्रश्न 11. एक वृत्त के केन्द्र से $13$ सेमी. दूरी पर स्थित एक बिन्दु $Q$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा $PQ$ की लम्बाई $12$ सेमी. है। वृत्त की त्रिज्या (सेमी. में) है-

(A) $25$

(B) $\sqrt{313}$

(C) $5$

(D) $1$

प्रश्न 12. यदि एक बाह्य बिन्दु $P$ से एक $O$ केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ इस प्रकार खींची गई हैं कि दोनों $80^{∘}$ के कोण पर झुकी हैं तो $\angle POA$ बराबर है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) $50^{∘}$

(B) $60^{∘}$

(C) $70^{∘}$

(D) $80^{∘}$

प्रश्न 13. यदि एक बिन्दु $T$ से $O$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर $TA$ व $TB$ स्पर्श रेखाएँ परस्पर $70^{∘}$ के कोण पर झुकी हों तो $\angle AOB$ का मान है-

(A) $80^{∘}$

(B) $60^{∘}$

(C) $130^{∘}$

(D) $110^{∘}$

प्रश्न 14. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई $12$ सेमी. है, यदि वृत्त की त्रिज्या $5$ सेमी. है तो केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी है-

(A) $9$ सेमी.

(B) $11$ सेमी.

(C) $13$ सेमी.

(D) $17$ सेमी.

प्रश्न 15. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $5$ सेमी. तथा $3$ सेमी. हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, होगी-

(A) $3$ सेमी.

(B) $4$ सेमी.

(C) $5$ सेमी.

(D) $6$ सेमी.

प्रश्न 16. यदि दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $4$ सेमी. तथा $5$ सेमी. हैं तो वृत्त की प्रत्येक जीवा जो अन्य पर स्पर्श रेखा है, की लम्बाई है-

(A) $3$ सेमी.

(B) $6$ सेमी.

(C) $9$ सेमी.

(D) $1$ सेमी.

प्रश्न 17. आकृति में, केन्द्र $O$ के वृत्त की स्पर्श रेखा $AT$ इस प्रकार है कि $OT=4$ सेमी. तथा $OTA=30^{∘}$ तो $AT$ समान है-
[वृत्त, केन्द्र O, स्पर्श रेखा AT, OT = 4 सेमी., ∠ OTA = 30°]

(A) $4$ सेमी.

(B) $2$ सेमी.

(C) $2\sqrt{3}$ सेमी.

(D) $4\sqrt{3}$ सेमी.

18. यदि $3$ सेमी. त्रिज्या के वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ परस्पर $60^{∘}$ पर झुकी हुई हैं तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई समान है-

(A) $\frac{3}{2}\sqrt{3}$ सेमी.

(B) $6$ सेमी.

(C) $\sqrt{3}$ सेमी.

(D) $3\sqrt{3}$ सेमी.

19. आकृति में यदि केन्द्र $O$ के वृत्त पर $PA$ तथा $PB$ स्पर्श रेखाएँ हैं $\angle APB=50^{∘}$ तो $\angle OAB$ समान है-
[Circle with center O, tangents PA and PB meeting at P, triangle OAB inside]

(A) $25^{∘}$

(B) $30^{∘}$

(C) $40^{∘}$

(D) $50^{∘}$

20. एक $O$ केन्द्र वाला वृत्त जिसकी त्रिज्या $5$ सेमी. है। एक बिन्दु $P$ जो कि वृत्त के केन्द्र से $13$ सेमी. दूर है, से दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ तथा $PR$ वृत्त पर खींची गई हैं तो चतुर्भुज $PQOR$ का क्षेत्रफल होगा-

(A) $60$ सेमी. $^{2}$

(B) $65$ सेमी. $^{2}$

(C) $30$ सेमी. $^{2}$

(D) $32.5$ सेमी. $^{2}$

21. दो संकेन्द्रीय वृत्तों में से बाहरी वृत्त की त्रिज्या $5$ सेमी. है तथा इसकी $8$ सेमी. लम्बी जीवा $AC$ आन्तरिक वृत्त की स्पर्श रेखा है। आन्तरिक वृत्त की त्रिज्या होगी-

(A) $2$ सेमी.

(B) $3$ सेमी.

(C) $4$ सेमी.

(D) $5$ सेमी.

22. एक वृत्त में केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ एक-दूसरे की होती हैं-

(A) दुगुनी

(B) तिगुनी

(C) आधी

(D) बराबर

23. तीन संरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या है-

(A) एक

(B) दो

(C) शून्य

(D) अनन्त

24. यदि वृत्त का व्यास दो जीवाओं में से प्रत्येक को समद्विभाजित करे तो जीवाएँ होंगी-

(A) समान्तर

(B) लम्बवत

(C) प्रतिच्छेदी

(D) उपरोक्त में से कोई नहीं

25. एक वृत्त के किसी चाप का डिग्री माप $180^{∘}$ है, वह चाप है-

(A) दीर्घ चाप

(B) लघु चाप

(C) वृत्त

(D) अर्द्धवृत्त

26. यदि सर्वांगसम वृत्तों में दो चाप बराबर हों तो उनकी संगत जीवाएँ होंगी-

(A) समान्तर

(B) समान

(C) लम्बवत

(D) प्रतिच्छेदी

27. यदि $AB=12$ सेमी, $BC=16$ सेमी और $AB$ रेखाखण्ड $BC$ पर लम्ब हैं तो $A,B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या हैं-

(A) $6$ सेमी

(B) $8$ सेमी

(C) $10$ सेमी

(D) $12$ सेमी

28. आकृति में, यदि $OA=5$ सेमी, $AB=8$ सेमी तथा $OD$ जीवा $AB$ पर लम्ब हो तो $CD$ बराबर है-
[Circle with chord AB, perpendicular OD from center O to AB, intersecting at C]

(A) $2$ सेमी

(B) $3$ सेमी

(C) $4$ सेमी

(D) $5$ सेमी

29. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

(A) एक

(B) अनन्त

(C) तीन

(D) ज्ञात नहीं

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023)
30. किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में होती हैं-
( प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

(A) लम्ब

(B) समान्तर

(C) प्रतिच्छेदी

(D) छेदक

31. वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को कितने बिन्दुओं पर स्पर्श करती है? ( प्रश्न बैंक )

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

32. एक छेदक रेखा वृत्त को कितने बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है? ( प्रश्न बैंक )

(A) $2$

(B) $3$

(C) $4$

(D) $1$

33. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या के साथ कितने डिग्री का कोण बनाती है? ( प्रश्न बैंक )

(A) $50^{∘}$

(B) $75^{∘}$

(C) $90^{∘}$

(D) $100^{∘}$

34. यदि दो वृत्त परस्पर स्पर्श करते हैं तो उनकी कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श हो सकती है? (प्रश्न बैंक)

(A) 0

(B) 1

(C) 3

(D) 4

35. वृत्त की वह जीवा जिसकी लम्बाई वृत्त की त्रिज्या से दोगुनी हो, कहलाती है— (प्रश्न बैंक)

(A) त्रिज्यखण्ड

(B) व्यास

(C) क्षेत्रफल

(D) परिधि

उत्तरमाला
1. (A)
2. (B)
3. (B)
4. (B)
5. (C)
6. (B)
7. (B)
8. (A)
9. (D)
10. (C)
11. (C)
12. (A)
13. (D)
14. (C)
15. (B)
16. (B)
17. (C)
18. (C)
19. (A)
20. (A)
21. (B)
22. (D)
23. (A)
24. (A)
25. (D)
26. (B)
27. (C)
28. (A)
29. (B)
30. (B)
31. (A)
32. (A)
33. (C)
34. (C)
35. (B)
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
1. किसी बाहरी बिन्दु से वृत्त पर ................. स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
2. एक वृत्त के बाह्य बिन्दु से वृत्त पर डाली गई स्पर्श रेखा की लम्बाई सदैव वृत्त की त्रिज्या से ................. होती है।
3. यदि एक केन्द्र $O$ तथा त्रिज्या $a$ वाले वृत्त पर एक बिन्दु $P$ से डाली गई स्पर्श रेखाओं के मध्य कोण $90^{∘}$ है तो $OP=.................$ है।
4. यदि केन्द्र $O$ वाले एक वृत्त पर बाहरी बिन्दु से दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ व $PR$ खींची गई हैं तो $QOPR$ एक चक्रीय ................. है।
5. एक केन्द्र $O$ से वृत्त पर एक बाह्य बिन्दु $P$ से डाली गई स्पर्श रेखा की लम्बाई सदैव $OP$ से ................. होती है।
6. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ ................. होती हैं।
7. स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को ................. कहते हैं।
8. किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ ................. होती हैं।
9. एक ऐसी रेखा जो वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर स्पर्श करती हो, वृत्त की ................. कहलाती है।
10. वृत्त की स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच ................. का कोण बनता है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)
11. वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है ................. कहलाती है।
12. दो वृत्त एक-दूसरे को ................. बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
13. वृत्त के बाहरी बिन्दु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा, केन्द्र $O$ से हमेशा $OP$ से ................. होती है।
14. वृत्त पर स्थित एक बिन्दु से ................. स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)
उत्तर— 1. दो 2. अधिक 3. $a\sqrt{2}$ 4. चतुर्भुज 5. कम 6. बराबर 7. स्पर्श बिन्दु 8. समान्तर 9. स्पर्श रेखा 10. समकोण 11. छेदक रेखा 12. दो 13. कम 14. अधिकतम एक
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. किसी वृत्त की त्रिज्या और उस पर खींची गई स्पर्श रेखा के मध्य कितने डिग्री का कोण होता है? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल— $90^{∘}$
प्रश्न 2. दी गई आकृति में $\Delta ABC$ का बहिवृत्त, भुजाओं को $Q,P$ एवं $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AQ=8$ सेमी. हो तो $\Delta ABC$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल— हम जानते हैं कि
$AQ=\frac{1}{2}$ परिमाप $(ABC)$
परिमाप $\Delta ABC=2 \times AQ$
$=2 \times 8=16$ सेमी. उत्तर
[Triangle ABC with an incircle touching sides at P, Q, R]
प्रश्न 3. चित्र में यदि $TP$ और $TQ$ केन्द्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle POQ=130^{∘}$ तो $\angle PTQ$ का मान ज्ञात कीजिये।
[Circle with center O, tangents TP and TQ meeting at T, angle POQ = 130 degrees]
हल— $∵PT$ व $QT$ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$∴ \angle POQ+ \angle PTQ=180^{∘}$
$⇒130^{∘}+ \angle PTQ=180^{∘}$
$⇒ \angle PTQ=180^{∘}-130^{∘}=50^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 4. दिये गये चित्र में, बाह्य बिन्दु $A$ से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ $AB$ व $AC$ खींची गई हैं। यदि $\angle BAC=48^{∘}$ हो, तो $\angle ABC$ का मान लिखिए।
हल— $\angle B+ \angle C=180^{∘}-48^{∘}=132^{∘}$
लेकिन $\angle B= \angle C$
स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती हैं।
[Circle with center O, tangents AB and AC from point A, angle BAC = 48 degrees]
$∴ \angle ABC=\frac{132^{∘}}{2}=66^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 5. चित्र में $AB,BC$ तथा $CA$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $BC=6.3$ सेमी. तथा $MC=2.7$ सेमी. हो, तो $BL$ की नाप लिखिए।
उत्तर— हम जानते हैं—
$MC=NC$ स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
[Triangle ABC circumscribing a circle with center O, points of contact L, M, N]
$∴BN=(6.3-2.7)=3.6$ सेमी.
और $BN=BL$ है।
$∴BL=3.6$ सेमी.
प्रश्न 6. दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $5$ सेमी. तथा $3$ सेमी. हों, तो उनके केन्द्रों के बीच की दूरी लिखिए।
उत्तर— $5+3=8$ सेमी.
प्रश्न 7. दो वृत्त एक-दूसरे को अन्तः स्पर्श करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या लिखिए।
उत्तर— एक।
प्रश्न 8. दिए गए चित्र में $PA$ व $PB$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। $\angle APB=30^{∘}$ है तो $\angle AOB$ का मान लिखिए।
[Circle with center O, tangents PA and PB from point P, angle APB = 30 degrees]
उत्तर— $\angle AOB=180^{∘}-30^{∘}=150^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 9. दिए गए चित्र में $PBQ$ , बिन्दु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है। $\angle ABP$ का मान लिखिए।
[Circle with center O, line PBQ tangent at B]
उत्तर— $\angle ABP=90^{∘}$
प्रश्न 10. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई $12$ सेमी. है, यदि वृत्त की त्रिज्या $5$ सेमी. है तो केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी बताइए।
उत्तर— दूरी $=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{169}=13$ सेमी.
प्रश्न 11. दिए गए चित्र में $O$ वृत्त का केन्द्र है। $AB$ व $AC$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $OA=10$ सेमी. तथा $OB=6$ सेमी. हैं तो $AC$ की लम्बाई लिखिए।
[Circle with center O, tangents AB and AC from point A, OB = 6 cm, OA = 10 cm]
हल— $AB=\sqrt{10^{2}-6^{2}}$
$=\sqrt{100-36}$
$=\sqrt{64}=8$ सेमी.
तथा $AB=AC$ अतः, $AC=8$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 12. चित्र में $TP$ और $TQ$ , $O$ केन्द्र वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $\angle TOQ=50^{∘}$ हो, तो $\angle OTP$ ज्ञात कीजिये।
[Circle with center O, tangents TP and TQ from external point T.]
हल— $∵QT$ एक स्पर्श रेखा है।
$∴ \angle OQT=90^{∘}$
$\Delta OQT$ से $\angle OTQ=180^{∘}-( \angle OQT+ \angle QOT)$
$=180^{∘}-(50^{∘}+90^{∘})$
$=180^{∘}-140^{∘}=40^{∘}$
$∵ \Delta QOT \cong \Delta POT$ ( $∵PT=QT$ )
$\angle P= \angle Q=90^{∘}$
$OT=OT$
$∴ \angle OTP= \angle OTQ$
अतः $\angle OTP=40^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 13. वृत्त की सतह पर स्थित बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
उत्तर— वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
प्रश्न 14. दिये गये चित्र में, यदि $PA$ व $PB$ , केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि कोण $APB=80^{∘}$ , तो कोण $AOB$ का मान ज्ञात कीजिये।
[Circle with center O, tangents PA and PB from external point P.]
हल— चित्र में $PA$ और $PB$ , केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
$∴ \angle PAO= \angle PBO=90^{∘}$
और $\angle APB=80^{∘}$ दिया गया है।
$∴ \angle AOB=360^{∘}-(90^{∘}+90^{∘}+80^{∘})$
$=360^{∘}-260^{∘}=100^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 15. यदि एक बिन्दु $A$ से, $O$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर $AB$ व $AC$ दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle BOC=140^{∘}$ तो $\angle BAC$ का मान लिखिये।
हल— चित्र में $AB$ और $AC$ , केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
[Circle with center O, tangents AB and AC from external point A.]
$∴ \angle ABO= \angle ACO=90^{∘}$
और $\angle BOC=140^{∘}$ दिया गया है।
$∴ \angle BAC+ \angle BOC=180^{∘}$ होगा
अतः $\angle BAC=360^{∘}-(90^{∘}+90^{∘}+140^{∘})$
$=360^{∘}-320^{∘}=40^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 16. $5$ सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु $P$ , पर स्पर्श रेखा $PQ$ केन्द्र $O$ से जाने वाली एक रेखा के बिन्दु $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $OQ=13$ सेमी. तो $PQ$ की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल— प्रश्नानुसार आकृति बनाने पर
[Right angled triangle OPQ with OQ=13cm and OP=5cm.]
$OP=5$ सेमी. और $OQ=13$ सेमी.
$∵PQ$ एक स्पर्श रेखा है और $OP$ त्रिज्या है।
$∴ \angle OPQ=90^{∘}$
अब समकोण $\Delta OPQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय से
$(OQ)^{2}=(OP)^{2}+(PQ)^{2}$
मान रखने पर $(13)^{2}=(5)^{2}+(PQ)^{2}$
या $169=25+(PQ)^{2}$
या $(PQ)^{2}=169-25=144)$
या $PQ=\sqrt{144}=12$ सेमी उत्तर
प्रश्न 17. यदि एक बिन्दु $T$ से $O$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर $TA$ व $TB$ स्पर्श रेखाएँ परस्पर $70^{∘}$ के कोण पर झुकी हों, तो $\angle AOB$ को ज्ञात कीजिये।
हल—
[वृत्त, केन्द्र O, बाह्य बिन्दु T, स्पर्श रेखाएँ TA और TB, ∠ ATB = 70°]
चित्रानुसार TA और TB, केन्द्र O वाले किसी बिन्दु पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
$\angle TAO= \angle TBO=90^{∘}$
तथा $\angle ATB=70^{∘}$
$∴ \angle AOB=360^{∘}-(90^{∘}+90^{∘}+70^{∘})$
$=360^{∘}-250^{∘}$
$=110^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 18. यदि बिन्दु R से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर RA व RB स्पर्श रेखाएँ परस्पर $\theta$ के कोण पर झुकी हों तथा $\angle AOB=40^{∘}$ हो तो कोण $\theta$ का मान ज्ञात करें।
हल— $∵$ RA व RB स्पर्श रेखाएँ हैं।
$∴ \angle AOB+ \angle ARB=180^{∘}$
$⇒40^{∘}+ \angle ARB=180^{∘}$
$⇒ \angle ARB=180^{∘}-40^{∘}$
$=140^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 19. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाओं की रचना की जा सकती है?
उत्तर— हम जानते हैं कि किसी भी वृत्त पर स्थित बिन्दु पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
प्रश्न 20. दी गयी आकृति में O एक वृत्त का केन्द्र है जिसके बाह्य बिन्दु Q से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ QP और QR खींची गई हैं। कोण POR का मान ज्ञात कीजिए।
[वृत्त, केन्द्र O, बाह्य बिन्दु Q, स्पर्श रेखाएँ QP और QR, ∠ PQR = 70°]
हल— $∵$ PQ व RQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$∴ \angle POR+ \angle PQR=180^{∘}$
$⇒ \angle POR+70^{∘}=180^{∘}$
$⇒ \angle POR=180^{∘}-70^{∘}$
$=110^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 21. 5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 9 सेमी. दूर बाह्य बिन्दु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है?
उत्तर— हम जानते हैं कि वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से जाने वाली वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
प्रश्न 22. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर $80^{∘}$ के कोण पर झुकी हों तो $\angle AOB$ का मान ज्ञात करो।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023)
हल— यहाँ,
$\angle AOB=180^{∘}-80^{∘}$
$=100^{∘}$ उत्तर
[वृत्त, केन्द्र O, बाह्य बिन्दु P, स्पर्श रेखाएँ PA और PB, ∠ APB = 80°]
प्रश्न 23. दी गई आकृति में, दो वृत्त परस्पर बिन्दु C पर स्पर्श करते हैं। सिद्ध कीजिये कि C पर खींची गई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा, P तथा Q पर खींची गई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समद्विभाजन करती है।
[दो वृत्त, केन्द्र A और B, स्पर्श बिन्दु C, बाह्य स्पर्श रेखा PQ]
हल— दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र $A$ तथा $B$ हैं परस्पर बिन्दु $C$ पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध करना है : $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा, $P$ तथा $Q$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समद्विभाजन करती है।
उपपत्ति : हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
$PR=RC$ ...(1)
(बिन्दु $R$ से केन्द्र $A$ वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
तथा $RQ=RC$ ...(2)
(बिन्दु $R$ से केन्द्र $B$ वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
समी. (1) व (2) से
$PR=RQ$
अतः $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा, $P$ तथा $Q$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समद्विभाजन करती है।
(इतिसिद्धम्)
प्रश्न 24. दी गई आकृति में, त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB,BC$ तथा $CA$ , केन्द्र $O$ तथा त्रिज्या $r$ वाले वृत्त को क्रमशः $P,Q$ तथा $R$ पर स्पर्श करती हैं।
[Triangle ABC with an incircle centered at O, touching sides at P, Q, R]
सिद्ध कीजिए :
$AB+CQ=AC+BQ$
हल—हम जानते हैं कि किसी बाहरी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में समान होती है
अतः: $AP=AR$ ...(1)
(बिन्दु $A$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
$BP=BQ$ ...(2)
(बिन्दु $B$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
तथा $CQ=CR$ ...(3)
(बिन्दु $C$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
समी. (1), (2) तथा (3) को जोड़ने पर
$AP+BP+CQ=AR+BQ+CR$
$⇒(AP+BP)+CQ=(AR+CR)+BQ$
$⇒AB+CQ=AC+BQ$
(इतिसिद्धम्)
प्रश्न 25. निम्न आकृति में $XP$ तथा $XQ$ , केन्द्र $O$ वाले वृत्त पर बिन्दु $X$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं तथा $AB$ वृत्त के बिन्दु $R$ पर स्पर्श रेखा है।
सिद्ध कीजिए : $XA+AR=XB+BR$
[Circle with center O, external point X, tangents XP, XQ, and tangent AB at R]
हल— वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
$∴XP=XQ$
$⇒XA+AP=XB+BQ$ ...(i)
बिन्दु $B$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ $BQ$ तथा $BR$ है।
$∴BQ=BR$ ...(ii)
इसी प्रकार $AP=AR$ ...(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) से
$XA+AR=XB+BR$ इति सिद्धम्।
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ, जीवा से समान कोण बनाती हैं।
हल—माना वृत्त $C(O,r)$ की जीवा $AB$ के सिरे $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं जो कि बिन्दु $P$ पर काटती हैं।
[Circle with center O, chord AB, tangents PA and PB meeting at P, line OP intersecting AB at C]
माना $OP$ , जीवा $AB$ को बिन्दु $C$ पर काटती है।
सिद्ध करना है— $\angle PAC= \angle PBC$
उपपत्ति— $\Delta PCA$ और $\Delta PCB$ में
$PA=PB$
(बाह्य बिन्दु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं)
$PC=PC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle APC= \angle BPC$
[ $∵$ स्पर्श रेखाएँ $PA$ व $PB$ , $OP$ के साथ समान कोण बनाती हैं।]
$S-A-S$ सर्वांगसमता से
$\Delta PCA \cong \Delta PCB$
$⇒ \angle PAC= \angle PBC$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 2. केन्द्र $O$ वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु $A$ से दो स्पर्श रेखाएँ $AB$ तथा $AC$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिये कि $\angle BAC=2 \angle OBC$ है।
अथवा
केन्द्र $O$ वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु $T$ से दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ तथा $TQ$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिये कि $\angle PTQ=2 \angle OPQ$ है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023) (प्रश्न बैंक)
हल—हमें केन्द्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिन्दु $A$ तथा वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $AC$ , जहाँ $B,C$ स्पर्श बिन्दु हैं, दिये हैं जैसा आकृति में दिखाया गया है।
242
[A circle with center O, tangent PQ at P, and line segment OQ.]
सिद्ध करना है- $\angle BAC=2 \angle OBC$
माना $\angle BAC= \theta$
प्रमेय से हम जानते हैं कि $AB=AC$
अतः $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$∴ \angle ABC= \angle ACB=\frac{1}{2}(180^{∘}- \theta )$
$\angle ABC=90^{∘}-\frac{1}{2} \theta$
$\angle OBA=90^{∘}$
अतः: $\angle OBC= \angle OBA- \angle ABC$
$=90^{∘}-(90^{∘}-\frac{1}{2} \theta )$
$=90^{∘}-90^{∘}+\frac{1}{2} \theta$
$\angle OBC=\frac{1}{2} \angle BAC$
$∴ \angle BAC=2 \angle OBC$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 3. दिये गये चित्र में $QS$ का मान ज्ञात कीजिये जबकि दिया गया है $OS=13$ cm. तथा $PQ=12$ cm.
[A circle with center O and two tangents PA and PB meeting at P.]
हल—चित्रानुसार $PQ$ एक स्पर्श रेखा है।
$∴ \angle OPQ=90^{∘}$
अतः अब $\Delta OPQ$ में
$(OP)^{2}+(PQ)^{2}=(OQ)^{2}$
$(OP)^{2}+(12)^{2}=(13)^{2}$
$(OP)^{2}=169-144=25)$
$∴OP=\sqrt{25}=5$ cm. उत्तर
अर्थात् वृत्त की त्रिज्या $(r)=OP=OS=5$ cm.
अब समकोण $\Delta OSQ$ से
$(OS)^{2}+(QS)^{2}=(OQ)^{2}$
$(QS)^{2}=(OQ)^{2}-(OS)^{2}$
$=(13)^{2}-(5)^{2}$
$=169-25=144$
$∴QS=\sqrt{144}=12$ cm.
अर्थात् $QS$ का मान $12$ cm. है। उत्तर
प्रश्न 4. यदि $PA,PB$ केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle AOB=105^{∘}$ हो, तो $\angle APB$ का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
[A circle with center O, tangent line XY at point P, and a point Q on the line.]
हल— $\angle AOB+ \angle APB=180^{∘}$
$⇒105^{∘}+ \angle APB=180^{∘}$
$⇒ \angle APB=180^{∘}-105^{∘}$
$=75^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 5. सिद्ध करो कि वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है। (प्रश्न बैंक)
हल—माना केन्द्र $O$ वाले एक वृत्त के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा $XY$ है।
सिद्ध करना है- $OP,XY$ पर लम्ब है।
चित्रानुसार $XY$ पर $P$ के अतिरिक्त एक बिन्दु $Q$ लिया और $OQ$ को मिलाया।
क्योंकि $XY$ वृत्त की स्पर्श रेखा है, अतः बिन्दु $Q$ वृत्त के बाहर स्थित होगा।
अर्थात्, $OQ>OP$ , जहाँ $OP$ वृत्त की त्रिज्या है।
क्योंकि यह बिन्दु $P$ के अतिरिक्त $XY$ के प्रत्येक बिन्दु के लिए सत्य है, अतः $OP$ बिन्दु $O$ से $XY$ के अन्य बिन्दुओं की न्यूनतम दूरी है। इसलिए $OP,XY$ पर लम्ब है।
दीर्घउत्तरीय प्रश्न-
प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
अथवा
सिद्ध कीजिए कि एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। (प्रश्न बैंक)
[वृत्त के बाहर बिन्दु R से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ RP और RQ खींची गई हैं, O केंद्र है।]
हल— दिया है : वृत्त का केन्द्र $O$ है और बाह्य बिन्दु $R$ से दो स्पर्श रेखाएँ $RP$ और $RQ$ हैं।
सिद्ध करना है : $RP=RQ$
रचना : $OP,OQ$ और $OR$ को मिलाया।
उपपत्ति : हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा, वृत्त की त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।
अतः: $\angle OPR= \angle OQR=90^{∘}$ .... (i)
अब $\Delta OPR$ और $\Delta OQR$ में,
$\angle OPR= \angle OQR=90^{∘}$ समीकरण (i) से
$OR=OR$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$OP=OQ$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$∴$ समकोण - कर्ण - भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\Delta OPR \cong \Delta OQR$
अतः सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान होंगी।
$⇒RP=RQ$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि दो संकेन्द्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिन्दु पर समद्विभाजित होती है। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
[दो संकेन्द्रीय वृत्त C_1 और C_2, जीवा AB जो C_2 को P पर स्पर्श करती है।]
हल— दिया है : हमें केन्द्र $O$ वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त $C_{1}$ और $C_{2}$ तथा बड़े वृत्त $C_{1}$ की जीवा $AB$ , जो छोटे वृत्त $C_{2}$ को बिन्दु $P$ पर स्पर्श करती है (देखिए आकृति)।
सिद्ध करना है : $AP=BP$
रचना : $OP$ को मिलाएँ।
उपपत्ति : $AB,C_{2}$ के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा है और $OP$ त्रिज्या है।
अतः प्रमेय से,
$OP⟂AB$
अब $AB$ वृत्त $C_{1}$ की एक जीवा है और $OP⟂AB$ है। अतः, $OP$ जीवा $AB$ को समद्विभाजित करेगी क्योंकि केन्द्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब उसे समद्विभाजित करता है,
अर्थात् $AP=BP$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 3. यदि किसी वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जायें तो सिद्ध कीजिये कि (i) वे रेखाएँ वृत्त के केन्द्र पर समान कोण बनाती हैं तथा (ii) वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाले रेखाखण्ड के साथ, दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर कोण बनाती हैं।
हल— दिया है—एक वृत्त $C(O,r)$ है जिसके बाह्य बिन्दु $A$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $AP$ और $AQ$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है— (i) $\angle AOP= \angle AOQ$
(ii) $\angle OAP= \angle OAQ$
रचना— $OA,OP$ तथा $OQ$ को मिलाया।
[वृत्त के बाहर बिन्दु A से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ AP और AQ खींची गई हैं।]
उपपत्ति— $\Delta OPA$ और $\Delta OQA$ में
$AP=AQ$ (एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
$OA=OA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$OP=OQ$ (त्रिज्याएँ)
$S-S-S$ सर्वांगसमता से
$\Delta OPA \cong \Delta OQA$
$⇒ \angle AOP= \angle AOQ$ (CPCT)
तथा $\angle OAP= \angle OAQ$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 4. किसी बाह्य बिन्दु $P$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं $PA$ तथा $PB$ पर स्थित दो बिन्दुओं $L$ व $N$ पर काटने वाली रेखा वृत्त के बिन्दु $M$ पर स्पर्श करती है, तो सिद्ध करें- $PL+LM=PN+NM$
अथवा
चित्र में $PA$ तथा $PB$ एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। वृत्त पर एक बिन्दु $M$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि $PL+LM=PN+NM$
[Circle with center O, external point P, tangents PA and PB. Point M lies on the arc AB. Line segment LN passes through M.]
हल—दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है। $P$ एक बिन्दु है जो वृत्त के बाहर है। $PA$ व $PB$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं। $M$ वृत्त पर कोई बिन्दु है। रेखाखण्ड $LN$ बिन्दु $M$ से गुजरता है।
सिद्ध करना है :
$PL+LM=PN+NM$
उपपत्ति : $P$ से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं।
$∴PA=PB$
या $PL+LA=PN+NB$ ....(i)
$LA$ और $LM$ वृत्त की $L$ बिन्दु से दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
$∴LA=LM$ ....(ii)
इसी प्रकार $NB=NM$ ....(iii)
(i), (ii) और (iii) से
$PL+LM=PN+NM$ (इतिसिद्धम्)
निबन्धात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. चित्र में वृत्त का केन्द्र $O$ है और स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ हों, तो सिद्ध कीजिये कि $AOBP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
[Circle with center O, external point P, tangents PA and PB.]
हल—वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।
अब $OA⟂AP$ और $OB⟂BP$
$⇒ \angle OAP=90^{∘}$ और $\angle OBP=90^{∘}$
$⇒ \angle OAP+ \angle OBP=90^{∘}+90^{∘}$
$⇒ \angle OAP+ \angle OBP=180^{∘}$ ....(i)
चतुर्भुज $OAPB$ के कोणों का योग $360^{∘}$ होता है।
$∴ \angle APB+ \angle BOA=360^{∘}-(180^{∘})$
$\angle APB+ \angle BOA=180^{∘}$ ....(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से स्पष्ट है।
$\angle OAP+ \angle OBP=180^{∘}$
और $\angle APB+ \angle BOA=180^{∘}$
यहाँ पर सम्मुख कोणों का योग सम्पूरक है।
अतः चतुर्भुज $AOBP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
(इतिसिद्धम्)
प्रश्न 2. $5$ cm. त्रिज्या के एक वृत्त की $8$ cm. लम्बी एक जीवा $PQ$ है। $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिन्दु $T$ पर प्रतिच्छेद करती हैं (देखिए आकृति)। $TP$ की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
[Circle with center O, chord PQ of length 8cm, tangents at P and Q meeting at T. Triangle TPQ.]
हल— $OT$ को मिलाएँ। माना यह $PQ$ को बिन्दु $R$ पर प्रतिच्छेद करती है। तब $\Delta TPQ$ समद्विबाहु है और $TO, \angle PTQ$ का कोणार्धक है। इसलिए $OT⟂PQ$ और इस प्रकार $OT,PQ$ का अर्धक है जिससे
$PR=RQ=4$ cm.
साथ ही $OR=\sqrt{OP^{2}-PR^{2}}$
$=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ cm. $=3$ cm.
अब $\angle TPR+ \angle RPO=90^{∘}$
$= \angle TPR+ \angle PTR$
अतः $\angle RPO= \angle PTR$
$∴ \Delta TRP$ व $\Delta PRO$ समरूप हैं। (AA समरूपता)
$∴\frac{TP}{PO}=\frac{RP}{RO}$
$⇒\frac{TP}{5}=\frac{4}{3}$
$⇒TP=\frac{20}{3}$
$TP$ को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं। माना $TP=x$ और $TR=y$ तो समकोण $\Delta PRT$ में
$(TP)^{2}=(TR)^{2}+(PR)^{2}$
$(x)^{2}=y^{2}+(4)^{2}$
$x^{2}=y^{2}+16$ .... (i)
समकोण $\Delta OPT$ में
$(OT)^{2}=(PT)^{2}+(PO)^{2}$
$(TR+OR)^{2}=(x)^{2}+(5)^{2}$
$(y+3)^{2}=x^{2}+25)$ .... (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर
$x^{2}+25-x^{2}=(y+3)^{2}-y^{2}-16$
$⇒25=y^{2}+6y+9-y^{2}-16$
$25=6y-7$
$6y=32$
$y=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}$
समीकरण (i) से
$∴x^{2}=(\frac{16}{3})^{2}+16=\frac{256}{9}+16$
$=\frac{256+144}{9}=\frac{400}{9}$
$∴x=\sqrt{\frac{400}{9}}=\frac{20}{3}$ cm. उत्तर
प्रश्न 3. समकोण त्रिभुज $ABC$ की भुजा $AB$ को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त कर्ण $AC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा भुजा $BC$ को समद्विभाजित करती है।
हल— सिद्ध करना है : $BQ=QC$ , जहाँ $Q$ , $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा एवं $BC$ का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
रचना : $BP$ को मिलाया।
उपपत्ति : $∵AB$ वृत्त का व्यास है
$∴ \angle APB=90^{∘}$ (अर्द्धवृत्त का कोण समकोण होता है।)
[वृत्त जिसमें व्यास AB है, P पर स्पर्श रेखा BC को Q पर काटती है]
$∴ \angle APB+ \angle BPC=180^{∘}$
$∴90^{∘}+ \angle BPC=180^{∘}$
$∴ \angle BPC=90^{∘}$ .... (i)
$∵ \Delta ABC$ में $\angle ABC=90^{∘}$
$∴ \angle BAC+ \angle ACB=90^{∘}$ .... (ii)
( $∵$ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{∘}$ होता है।)
समीकरण (i) तथा (ii) से
$\angle BPC= \angle BAC+ \angle ACB$
या $\angle BPQ+ \angle CPQ= \angle BAC+ \angle ACB$ .... (iii)
किन्तु $\angle BPQ= \angle BAC$ (एकान्तर वृत्त खण्ड के कोण)
$∴$ समीकरण (iii) से
$\angle CPQ= \angle ACB$
$⇒ \angle CPQ= \angle PCQ$ ( $∵ \angle ACB= \angle PCQ$ )
$∴PQ=QC$ .... (iv)
पुनः $PQ=QB$ .... (v) (बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।)
$∴$ समीकरण (iv) तथा (v) से
$QC=QB$
अतः $PQ,BC$ को समद्विभाजित करती है।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में $O$ एक वृत्त का केन्द्र है जिसके बाह्य बिन्दु $K$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $KR,KS$ खींची गई हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $KR=KS$ .
[वृत्त जिसका केन्द्र O है, बाह्य बिन्दु K से स्पर्श रेखाएँ KR और KS]
हल— दिया है : वृत्त का केन्द्र $O$ है और बाह्य बिन्दु $K$ से दो स्पर्श रेखाएँ $KR$ और $KS$ हैं।
[वृत्त जिसका केन्द्र O है, बाह्य बिन्दु K से स्पर्श रेखाएँ KR और KS, साथ ही त्रिज्या OR, OS और OK को मिलाया गया है]
सिद्ध करना है : $KR=KS$ .
रचना : $OS,OR$ व $OK$ को मिलाया।
उपपत्ति : हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा वृत्त की त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।
अतः $\angle OSK= \angle ORK=90^{∘}$ ....(i)
अब $\Delta OSK$ तथा $\Delta ORK$ में
$\angle OSK= \angle ORK=90^{∘}$ [समीकरण (i) से]
$OK=OK$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$OS=OR$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$∴$ समकोण - कर्ण - भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\Delta OSK \cong \Delta ORK$
अतः सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान होंगी।
$⇒KR=KS$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 5. दी गई आकृति में $O$ एक वृत्त का केन्द्र है जिसके बाह्य बिन्दु $C$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $CA$ , $CB$ खींची गई हैं, तो सिद्ध कीजिए $\angle AOB$ व $\angle ACB$ संपूरक हैं।
[Circle with center O, external point C, tangents CA and CB]
हल—दिया है—एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है। $C$ वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु $C$ से $CA$ और $CB$ दिये गये वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
[Circle with center O, external point C, tangents CA and CB with right angles marked at A and B]
सिद्ध करना है : $\angle AOB+ \angle ACB=180^{∘}$
उपपत्ति : $OA$ त्रिज्या है और $CA$ बिन्दु $C$ से दिये गये वृत्त पर स्पर्श रेखा है।
$∴ \angle OAC=90^{∘}$ ....(i)
[ $∵$ वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।]
इसी प्रकार $\angle OBC=90^{∘}$ ....(ii)
अब, चतुर्भुज $BOAC$ में,
$\angle BOA+ \angle CBO+ \angle OAC+ \angle ACB=360^{∘}$
या $\angle BOA+90^{∘}+90^{∘}+ \angle ACB=360^{∘}$
या $\angle BOA+ \angle ACB=360^{∘}-180^{∘}$
या $\angle BOA+ \angle ACB=180^{∘}$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 6. आकृति में, $O$ केन्द्र वाले वृत्त की $PQ$ एक जीवा है तथा $PT$ एक स्पर्श रेखा है। यदि $\angle QPT=60^{∘}$ है, तो $\angle PRQ$ ज्ञात कीजिए।
[Circle with center O, chord PQ, tangent PT, and point R on circumference]
हल—चित्र से,
$OP⟂PT$ अर्थात् $\angle OPT=90^{∘}$
$\angle OPQ= \angle OPT- \angle QPT$
$\angle OPQ=90^{∘}-60^{∘}$
$=30^{∘}$
$\Delta OPQ$ में, (वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है।)
$\angle OQP= \angle OPQ=30^{∘}$
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब,
$\angle OQP+ \angle OPQ+ \angle POQ=180^{∘}$
कोणों का योग $=30^{∘}+30^{∘}+ \angle POQ=180^{∘}$
$\angle POQ=180^{∘}-60^{∘}=120^{∘}$
$\angle POQ=360^{∘}-120^{∘}=240^{∘}$
हम जानते हैं, वृत्त के केन्द्र पर बना कोण वृत्त की परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है।
$\angle POQ=2 \angle PRQ$
$⇒240^{∘}=2 \angle PRQ$
$⇒ \angle PRQ=\frac{240}{2}=120^{∘}$
अतः कोण $PRQ$ की माप $120^{∘}$ है।
प्रश्न 7. एक त्रिभुज $ABC$ के अन्तर्गत एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह भुजाओं $AB$ , $BC$ तथा $AC$ को क्रमशः $P,Q$ तथा $R$ पर स्पर्श करता है,
यदि $AB=10$ सेमी, $AR=7$ सेमी तथा $CR=5$ सेमी है, तो $BC$ की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल—दिया है, $AB=10$ सेमी
$AR=7$ सेमी
तथा $CR=5$ सेमी
[त्रिभुज ABC के भीतर एक वृत्त है जो भुजाओं को P, Q, R पर स्पर्श करता है]
$∵$ बिन्दु $A$ से दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
$∴AP=AR=7$ सेमी
$∵AB=AP+PB$
$⇒10=7+PB$
$⇒PB=(10-7)$ सेमी $=3$ सेमी
बिन्दु $B$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ $BP$ व $BQ$ बराबर हैं।
$∴BQ=BP=3$ सेमी
तथा बिन्दु $C$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ $CQ$ व $CR$ बराबर हैं।
$CQ=CR=5$ सेमी
अतः: $BC=BQ+QC$
$=3$ सेमी $+5$ सेमी
$=8$ सेमी
उत्तर— $8$ सेमी

पाठ 10: वृत्त

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

उत्तरमाला

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11. (C)	12. (A)	13. (D)	14. (C)	15. (B)
16. (B)	17. (C)	18. (C)	19. (A)	20. (A)
21. (B)	22. (D)	23. (A)	24. (A)	25. (D)
26. (B)	27. (C)	28. (A)	29. (B)	30. (B)
31. (A)	32. (A)	33. (C)	34. (C)	35. (B)