RBSE कक्षा 10 गणित पाठ 11: वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल सम्पूर्ण हल

⚡ त्वरित नेविगेशन (Jump Directly to Section)

📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

#### प्रश्नावली 11.1

( जब तक अन्यथा न कहा जाए, $\pi =\frac{22}{7}$ का प्रयोग कीजिए )

प्रश्न 1. $6 cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^{∘}$ है। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23 )

हल— प्रश्नानुसार वृत्त के त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या $(R)=6 cm$

[वृत्त का त्रिज्यखण्ड OAB, जहाँ त्रिज्या 6 cm और कोण 60° है]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 1

केन्द्रीय कोण $( \theta )=60^{∘}$

$∴\text{त्रिज्यखण्ड} \text{का} \text{क्षेत्रफल}=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{22}{7} \times \frac{6 \times 6 \times 60^{∘}}{360^{∘}}$

$=\frac{132}{7} cm^{2}=18.857 cm^{2}$

अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{132}{7}$ या $18.86 cm^{2}$ (लगभग) उत्तर

प्रश्न 2. एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि $22 cm$ है। ( प्रश्न बैंक )

हल— प्रश्नानुसार वृत्त की परिधि $=22 cm$

$∴2 \pi R=22$

$R=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2} cm$

$R=\frac{7}{2} cm$

केन्द्रीय कोण [चतुर्थांश] $( \theta )=90^{∘}$

$∴\text{चतुर्थांश} \text{का} \text{क्षेत्रफल}=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360}$

$=\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 90^{∘}}{360^{∘}}$

$=\frac{77}{8} cm^{2}$

अतः इस वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल $\frac{77}{8} cm^{2}$ होगा। या $9.625 cm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई $14 cm$ है। इस सुई द्वारा $5$ मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23; प्रश्न बैंक )

हल— प्रश्नानुसार मिनट की सुई की लम्बाई $=$ वृत्त की त्रिज्या $(R)=14 cm$

$∴$ हम जानते हैं कि

$60 \text{मिनट}=60^{'}=360^{∘}$

$1 \text{मिनट}=1^{'}=\frac{360}{60}=6^{∘}$

$5 \text{मिनट}=5^{'}=6^{∘} \times 5=30^{∘}$

त्रिज्यखण्ड कोण $( \theta )=30^{∘}$

अतः सुई द्वारा $5$ मिनट में रचित क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times \frac{30^{∘}}{360^{∘}}$

$∵R=14 cm \text{और} \theta =30^{∘}$

$=\frac{1}{12} \times 22 \times 28$

$=\frac{154}{3} cm^{2}$

अतः मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल $\frac{154}{3} cm^{2}$ होगा। या $51.33 cm^{2}$ (लगभग) उत्तर

4. $10 \text{सेमी}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) संगत लघु वृत्तखण्ड

(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड

( $\pi =3.14$ का प्रयोग कीजिए)।

हल—प्रश्नानुसार, वृत्त की त्रिज्या $(R)=10 cm$

[वृत्त का केंद्र O, जीवा AB, त्रिज्या OA=10, OB=10, कोण AOB=90°]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 2

केन्द्रीय कोण $( \theta )=90^{∘}$

लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=3.14 \times 10 \times 10 \times \frac{90^{∘}}{360^{∘}}=\frac{314}{4}$

लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{314}{4}=78.5 cm^{2}$

(i) संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $-$ $\Delta AOB$ का क्षेत्रफल

$=78.5-\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$

$=78.5-\frac{1}{2} \times 10 \times 10 cm^{2}$ $∵ \theta =90^{∘}$

$=(78.5-50) cm^{2}$

$=28.5 cm^{2}$

$∴$ संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=28.5 cm^{2}$ उत्तर

(ii) $∵$ संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$=\frac{(360^{∘})}{360^{∘}} \times \pi R^{2}$

$=\frac{(360^{∘})}{360^{∘}} \times 3.14 \times 10 \times 10$

$=\frac{270^{∘}}{360^{∘}} \times 3.14 \times 100$

$=\frac{3 \times 314}{4}=\frac{3 \times 157}{2}$

$∴$ संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=235.5 cm^{2}$ उत्तर

5. त्रिज्या $21 cm$ वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{∘}$ का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए : ( प्रश्न बैंक )

(i) चाप की लम्बाई

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।

हल—(i) प्रश्नानुसार, वृत्त की त्रिज्या $(R)=21 cm$

केन्द्रीय कोण $( \theta )=60^{∘}$

चाप की लम्बाई $=\frac{ \theta }{360^{∘}} \times 2 \pi R$

$=\frac{60^{∘}}{360^{∘}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$

चाप की लम्बाई $=22 cm$ उत्तर

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 60^{∘}}{360^{∘}}$

$=231 cm^{2}$ उत्तर

[वृत्त का केंद्र O, जीवा AB, त्रिज्या OA=21, OB=21, कोण AOB=60°]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 3

(iii) $∵ \Delta OAB$ समबाहु त्रिभुज है जिसमें $\theta =60^{∘}$

$∴$ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल - $\Delta AOB$ का क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}-\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{भुजा})^{2}$

$=231-\frac{\sqrt{3}}{4} \times 21 \times 21$

$=231-\frac{441\sqrt{3}}{4}cm^{2}$

या $=231-110.25 \times 1.732$

$=231-190.95 \text{लगभग}$

$=40.05 cm^{2}$

अतः वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$=40.05 \text{या} 231-\frac{441}{4}\sqrt{3}cm^{2} \text{उत्तर}$

6. $15 cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $60^{∘}$ का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi =3.14$ और $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।) (प्रश्न बैंक)

हल—प्रश्नानुसार, वृत्त की त्रिज्या $(R)=15 cm$

केन्द्रीय कोण $( \theta )=60^{∘}$

[Circle with center O, chord AB, radii OA and OB of 15 cm, angle AOB = 60 degrees]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 4

$\Delta OAB$ में, केन्द्रीय कोण $\theta =60^{∘}$

$OA=OB=15 cm$

$∴ \angle A= \angle B=60^{∘}$

$∴ \Delta OAB$ समबाहु त्रिभुज है।

लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}-\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{भुजा})^{2}$

$=3.14 \times \frac{15 \times 15 \times 60^{∘}}{360^{∘}}-\frac{1.73}{4} \times (15)^{2}$

$=15 \times 15\frac{3.14 \times 60^{∘}}{360^{∘}}-\frac{1.73}{4}$

$=\frac{225}{100}\frac{314}{6}-\frac{173}{4}$

$=\frac{225}{100}[52.33-43.25]$

$=\frac{225}{100} \times 9.08$

$=\frac{2043}{100}=20.43 cm^{2} \text{उत्तर}$

दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$= \pi R^{2}-20.43$

$=3.14 \times 15 \times 15-20.43$

$=706.5-20.43$

$=686.07 cm^{2}$

दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=686.07 cm^{2} \text{उत्तर}$

7. त्रिज्या $12 cm$ वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $120^{∘}$ का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25; प्रश्न बैंक) ( $\pi =3.14$ और $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।)

हल—प्रश्नानुसार, वृत्त की त्रिज्या $(R)=12 cm$

केन्द्रीय कोण $( \theta )=120^{∘}$

$\Delta OAM$ में, $OM⟂AB$

$∴AM=MB=\frac{1}{2}AB$

[Circle with center O, chord AB, radii OA and OB of 12 cm, angle AOB = 120 degrees, perpendicular OM from O to AB]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 5

$∴ \angle OAM=30^{∘}= \angle OBM$

$AB=2AM$

$=2\frac{AM}{OA}OA$

$=2(sin60^{∘})12$

$AB=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12=12\sqrt{3} cm$

$OM=OA\frac{OM}{OA}=12(cos60^{∘})$

$=12 \times \frac{1}{2}=6 cm$

[Triangle OAB with height OM, angles 60 degrees at O, 30 degrees at A and B, sides OA=OB=12]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 6

वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल - $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल

वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}-\frac{1}{2}AB \times OM$

$=\frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 120^{∘}}{360^{∘}}-\frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6$

$=\frac{314}{100} \times \frac{144 \times 120^{∘}}{360^{∘}}-36\sqrt{3}$

$=150.72-36 \times 1.73$

$=(150.72-62.28) cm^{2}$

$=88.44 cm^{2}$

$∴$ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=88.44 cm^{2}$ उत्तर

8. $15 m$ भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को $5 m$ लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए :

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।

(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को $5 m$ लम्बी रस्सी के स्थान पर $10 m$ लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए।

( $\pi =3.14$ का प्रयोग कीजिए।)

[Square field with a horse tied to a corner]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 7

हल— प्रश्नानुसार, वर्ग की भुजा $=15 m$

(i) खूंटे की रस्सी की लम्बाई = रस्सी की त्रिज्या $(R)=5 m$

केन्द्रीय कोण $( \theta )=90^{∘}$

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{3.14 \times 5 \times 5 \times 90^{∘}}{360^{∘}}$

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{3.14 \times 25}{4}=\frac{78.5}{4} m^{2}$

$=19.625 m^{2}$

अतः घोड़े का घास चरने योग्य मैदान का क्षेत्रफल $=19.625 m^{2}$ उत्तर

(ii) जब त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या $10 m$ हो जाती है।

त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या $(R_{1})=10 m$

केन्द्रीय कोण $( \theta )=90^{∘}$

$∴$ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R_{1}^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{3.14 \times 10 \times 10 \times 90^{∘}}{360^{∘}}$

$=\frac{314}{100} \times \frac{100 \times 90^{∘}}{360^{∘}}$

$=\frac{314}{4}=78.5 m^{2}$

$∴$ चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि $=\text{बड़े} \text{त्रिज्यखण्ड} \text{का} \text{क्षेत्रफल}-\text{छोटे} \text{त्रिज्यखण्ड} \text{का} \text{क्षेत्रफल}$

$=78.5-19.625$

$=58.875 m^{2}$

$∴$ चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि $=58.875 m^{2}$ उत्तर

9. एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास $35 mm$ है। तार को वृत्त के $5$ व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे $10$ बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई

(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

[Circular brooch with 5 diameters]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 8

हल— प्रश्नानुसार, वृत्त का व्यास $(D)=35 mm$

वृत्त की त्रिज्या $(R)=\frac{35}{2} mm$

व्यासों की संख्या $=5$

बराबर त्रिज्यखण्डों की संख्या $=10$

(i) प्रयोग किए गए तार की लम्बाई $=5$ व्यासों की लम्बाई $+$ वृत्त (ब्रूच) का परिमाप

$=5(35)+2 \pi R$

$=175+2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2}$

$=175+110$

$=285 mm$ उत्तर

(ii) ब्रूच के त्रिज्यखण्ड का कोण

$=\frac{360^{∘}}{\text{त्रिज्यखण्डों} \text{की} \text{संख्या}}$

$=\frac{360^{∘}}{10}=36^{∘}$

प्रत्येक ब्रूच का क्षेत्रफल (त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल)

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{36^{∘}}{360^{∘}} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}$

$=\frac{11 \times 35}{4}=\frac{385}{4} mm^{2}$

या $=96.25 mm^{2}$

अतः ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=96.25 mm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति)। छतरी को $45 cm$ त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[छतरी और वृत्त का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 9

हल—प्रश्नानुसार, वृत्त की त्रिज्या $=45 cm$

तानों की संख्या $=8$

केन्द्रीय कोण (त्रिज्यखण्ड कोण) $=\frac{360^{∘}}{8}=45^{∘}$

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{45^{∘}}{360^{∘}} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45$

$=\frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45$

$=\frac{22275}{28} cm^{2}=795.536 cm^{2}$

अतः दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल $=\frac{22275}{28} cm^{2}$ या $795.536 cm^{2}$ उत्तर

11. किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई $25 cm$ है और $115^{∘}$ के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल—प्रश्नानुसार, पत्ती की लम्बाई $(R)=25 cm$

त्रिज्यखण्ड का कोण $( \theta )=115^{∘}$

वाइपर त्रिज्यखण्ड के रूप में घूमता है।

[त्रिज्यखण्ड का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 10

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=$ एक पत्ती द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{115^{∘}}{360^{∘}} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25$

$=\frac{11 \times 115 \times 125}{36 \times 7}$

वाइपर की दो पत्तियों द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल

$=2 \times \text{त्रिज्यखण्ड} \text{का} \text{क्षेत्रफल}$

$=\frac{2 \times 11 \times 115 \times 125}{36 \times 7}$

$=\frac{158125}{126} cm^{2}$

या अतः अभीष्ट सफाई का क्षेत्रफल $=1254.96 cm^{2}$ उत्तर

12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) $80^{∘}$ कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में $16.5 km$ की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। ( $\pi =3.14$ का प्रयोग कीजिए।)

हल— त्रिज्यखण्ड कोण $( \theta )=80^{∘}$

त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या $(R)=16.5 km$

[त्रिज्यखण्ड का चित्र जिसमें त्रिज्या 16.5 km और कोण 80° है]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 11

समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके अर्थात् त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$

$=\frac{3.14 \times 16.5 \times 16.5 \times 80^{∘}}{360^{∘}}$

$=189.97 km^{2}$

समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके $=189.97 km^{2}$ उत्तर

**13. एक गोल मेजपोश पर छ: समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या $28 cm$ है, तो $0.35$ रु. प्रति वर्ग सेन्टीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। $(\sqrt{3})$ का प्रयोग कीजिए $)$

[एक वृत्त के भीतर षट्भुज और 6 डिजाइन]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 12

हल— प्रश्नानुसार समान डिजाइनों की संख्या $=6$

डिजाइन की त्रिज्या $(R)=28 cm$

प्रत्येक डिजाइन त्रिज्यखण्ड के आकार का है, केन्द्रीय कोण

$( \theta )=\frac{360^{∘}}{6}=60^{∘}$

क्योंकि केन्द्रीय कोण $60^{∘}$ है और $OA=OB$ है।

अतः $\Delta OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $28 cm$ है।

[षट्भुज के भीतर एक त्रिज्यखण्ड का विस्तार]

कक्षा 10 गणित पाठ 11 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल चित्र 13

एक छायांकित डिजाइन के भाग का क्षेत्रफल $=$ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$=$ त्रिज्यखण्ड $OAB$ का क्षेत्रफल $- \Delta OAB$ का क्षेत्रफल

$=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}-\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{भुजा})^{2}$

$=\frac{22}{7} \times \frac{28 \times 28}{360^{∘}} \times 60^{∘}-\frac{1.7}{4} \times 28 \times 28cm^{2}$

$=(410.67-333.2)cm^{2}$

$=77.47 cm^{2}$

एक छायांकित डिजाइन के भाग का क्षेत्रफल $=77.47 cm^{2}$

छ: डिजाइन के भागों का क्षेत्रफल

$=6[\text{एक} \text{डिजाइन} \text{के} \text{भाग} \text{का} \text{क्षेत्रफल}]$

$=6[77.47]$

$=464.82 cm^{2}$

$∵1 cm^{2}$ डिजाइन बनाने का खर्च $=0.35$ रु.

$∴464.82 cm^{2}$ डिजाइन बनाने का खर्च

$=0.35 \times 464.82$ रु.

$=162.68$ रु.

अतः डिजाइनों को बनाने की लागत $=162.68$ रु. उत्तर

14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए :

**त्रिज्या $R$ वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण $p^{∘}$ है, निम्नलिखित है : (प्रश्न बैंक)**

(A)

\frac{p}{180} \times 2 \pi R

(B)

\frac{p}{180} \times \pi R^{2}

(C)

\frac{p}{720} \times 2 \pi R^{2}

(D)

\frac{p}{360} \times 2 \pi R

हल— त्रिज्यखण्ड का कोण $( \theta )=p^{∘}$

वृत्त की त्रिज्या $=R$

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}=\frac{ \pi R^{2} \times p^{∘}}{360^{∘}}$

$=\frac{2 \pi R^{2} \times p^{∘}}{720^{∘}}$

$∴$ सही विकल्प $=(C)$ उत्तर

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
1. वृत्त के त्रिज्य खण्ड का क्षेत्रफल (Area of a sector of a circle)- किसी भी वृत्त की दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरे हुए क्षेत्र को वृत्त का त्रिज्यखण्ड (sector) कहते हैं।
सामने चित्र में दिये गये वृत्त का त्रिज्यखण्ड $AOB$ है। माना कि $\angle AOB= \theta$ है और $\theta <180^{∘}$ । जब $\theta$ का मान बढ़ता है तो चाप $AB$ की लम्बाई भी उसी अनुपात में बढ़ती है।
[वृत्त का त्रिज्यखण्ड AOB जिसमें O केंद्र है, OA और OB त्रिज्याएँ हैं, और चाप AB है।]
इस प्रकार त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड, जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, का क्षेत्रफल $\frac{ \theta }{360} \times \pi r^{2}$ होता है। साथ ही त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड, जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, के संगत चाप की लम्बाई $\frac{ \theta }{360} \times 2 \pi r$ होती है।
2. महत्त्वपूर्ण तथ्य :
(i) एक मिनट में मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण $=\frac{360^{∘}}{60}=6^{∘}$
(ii) एक घण्टे में घण्टे की सुई द्वारा घूमा गया कोण $=\frac{360^{∘}}{12}=30^{∘}$
(iii) एक मिनट में घण्टे की सुई द्वारा घूमा गया कोण $=\frac{30^{∘}}{60}=\frac{1}{2}^{∘}$
3. वृत्त के त्रिज्यखण्ड की चाप की लम्बाई (L) और क्षेत्रफल (A) में सम्बन्ध- यदि $r$ त्रिज्या के वृत्त में कोण $\theta ^{∘}$ के त्रिज्यखण्ड की चाप की लम्बाई $L$ और क्षेत्रफल $A$ है, तो-
$L=\frac{ \pi r \theta }{180}=2 \pi r \times \frac{ \theta }{360}$
$A=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360}= \pi r^{2} \times \frac{ \theta }{360}$
वृत्त के त्रिज्यखण्ड की चाप की लम्बाई (L) और वृत्त की त्रिज्या ज्ञात होने पर त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$A=\frac{1}{2}(Lr)$
4. वृत्तखण्ड (Segment)- वृत्त की प्रत्येक जीवा वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है। इनमें से प्रत्येक भाग को वृत्तखण्ड कहते हैं। बड़े भाग को दीर्घवृत्तखण्ड और छोटे भाग को लघुवृत्तखण्ड कहते हैं।
दिये गये चित्र में $ABC$ लघु वृत्तखण्ड है तथा $ADC$ दीर्घ वृत्तखण्ड है।
[वृत्त जिसमें जीवा AC है, केंद्र O है, और लघु वृत्तखण्ड ABC छायांकित है।]
5. एक वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $-$ संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
लघु वृत्तखण्ड $ABC$ का क्षेत्रफल
$=\text{त्रिज्यखण्ड} OABC \text{का} \text{क्षेत्रफल}- \Delta OAC \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$=\frac{ \theta }{360^{∘}} \times \pi r^{2}- \Delta OAC \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$=\frac{ \theta \times \pi r^{2}}{360^{∘}}-\frac{1}{2}r^{2}sin \theta =r^{2}\frac{ \pi \theta }{360^{∘}}-\frac{1}{2}sin \theta$
चूँकि $\Delta OAC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$6.∴\text{दीर्घ} \text{वृत्तखण्ड} ADC \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$= \pi r^{2}-\text{लघु} \text{वृत्तखण्ड} ABC$
$= \pi r^{2}-\frac{ \theta }{360^{∘}} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}sin \theta$
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न—
**1. एक वृत्त की त्रिज्या $7$ सेमी है, उस वृत्त के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल है—**
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

(A) $38.5 \text{सेमी}^{2}$

(B) $77 \text{सेमी}^{2}$

(C) $154$ सेमी $^{2}$

(D) $44$ सेमी $^{2}$

2. $14$ सेमी भुजा वाले वर्ग में बने अन्तः वृत्त की परिधि होगी- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) $22$ सेमी

(B) $44$ सेमी

(C) $33$ सेमी

(D) $55$ सेमी

3. कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की लम्बाई है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) $\frac{ \theta }{180^{∘}} \times 2 \pi r$

(B) $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times 2 \pi r$

(C) $\frac{ \theta }{90^{∘}} \times 2 \pi r$

(D) $\frac{ \theta }{720^{∘}} \times 2 \pi r$

4. एक घड़ी की मिनट की सुई द्वारा $5$ मिनट में केन्द्र पर अन्तरित कोण है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

(A) $30^{∘}$

(B) $60^{∘}$

(C) $2\frac{1}{2}^{∘}$

(D) $10^{∘}$

5. $3.5$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का व्यास होगा- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

(A) $6$ सेमी

(B) $7$ सेमी

(C) $8.5$ सेमी

(D) इनमें से कोई नहीं

6. वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है-

(A) $2 \pi r$

(B) $\frac{ \pi r^{2}}{180}$

(C) $\pi r^{2}$

(D) इनमें से कोई नहीं

7. चित्र में वृत्त का केन्द्र $O$ है। वृत्त की त्रिज्या $18$ सेमी है तथा $\angle AOB=30^{∘}$ है, तो लघु चाप $AB$ की लम्बाई है-
[वृत्त जिसमें केन्द्र O, त्रिज्या 18 सेमी और कोण 30 डिग्री दर्शाया गया है]

(A) $2 \pi$

(B) $3 \pi$

(C) $6 \pi$

(D) $4 \pi$

8. एक वृत्तखण्ड की त्रिज्या $5$ सेमी है। इस वृत्त के $9$ सेमी लम्बाई के चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल है-

(A) $45$ वर्ग सेमी

(B) $22.5$ वर्ग सेमी

(C) $67.5$ वर्ग सेमी

(D) $2.25$ वर्ग सेमी

9. त्रिज्या $R$ के एक अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल है-

(A) $R^{2}$

(B) $\frac{1}{2}R^{2}$

(C) $2R^{2}$

(D) $\sqrt{2}R^{2}$

10. त्रिज्या $28$ सेमी वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केन्द्रीय कोण $45^{∘}$ है।

(A) $250$ सेमी $^{2}$

(B) $308$ सेमी $^{2}$

(C) $376$ सेमी $^{2}$

(D) $404$ सेमी $^{2}$

11. $10$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण अन्तरित करती है तो जीवा की लम्बाई है-

(A) $\frac{5}{\sqrt{2}}$

(B) $5\sqrt{2}$

(C) $10\sqrt{2}$

(D) $10\sqrt{3}$

12. $21$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{∘}$ का कोण अन्तरित करता है, तो चाप की लम्बाई होगी-

(A) $11$ सेमी

(B) $22$ सेमी

(C) $33$ सेमी

(D) $44$ सेमी

13. वृत्त के चतुर्थांश का परिमाप क्या होगा यदि वृत्त की त्रिज्या $r$ हो-

(A) $\frac{ \pi +2r}{r}$

(B) $\pi r+2r$

(C) $\frac{ \pi r+r}{r}$

(D) $\frac{ \pi r+4r}{2}$

14. यदि वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल का $\frac{1}{12}$ वाँ भाग हो तो त्रिज्यखण्ड का कोण होगा-

(A) $20^{∘}$

(B) $30^{∘}$

(C) $40^{∘}$

(D) $50^{∘}$

15. वृत्त की वह जीवा जिसकी लम्बाई वृत्त की त्रिज्या से दो गुनी हो, कहलाती है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

(A) त्रिज्यखण्ड

(B) व्यास

(C) क्षेत्रफल

(D) परिधि

16. एक वृत्त की त्रिज्या $3.5$ सेमी. है, तो वृत्त की परिधि होगी- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023; प्रश्न बैंक)

(A) $11$ सेमी

(B) $22$ सेमी

(C) $33$ सेमी

(D) $44$ सेमी

17. एक वृत्त के प्रत्येक चतुर्थांश के कोण का मान होता है- (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

(A) $30^{∘}$

(B) $45^{∘}$

(C) $60^{∘}$

(D) $90^{∘}$

18. यदि एक वृत्त की परिधि $176$ सेमी है, तो उसकी त्रिज्या है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) 21 सेमी

(B) 14 सेमी

(C) 28 सेमी

(D) 7 सेमी

19. वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या $r$ व केन्द्र पर बना कोण (अंशों में) $\theta$ है— ( प्रश्न बैंक )

(A) $\frac{ \pi r \theta }{360^{∘}}$

(B) $\frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$

(C) $\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$

(D) $\frac{ \pi r^{2} \theta }{180^{∘}}$

20. एक वृत्त की परिधि व वर्ग का परिमाप बराबर हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा— ( प्रश्न बैंक )

(A) $7:22$

(B) $22:7$

(C) $11:14$

(D) $14:11$

21. किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तथा त्रिज्यखण्ड केन्द्र पर $45^{∘}$ का कोण अन्तरित करता है तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा— ( प्रश्न बैंक )

(A) 19 वर्ग सेमी

(B) 19.25 वर्ग सेमी

(C) 19.50 वर्ग सेमी

(D) 19.75 वर्ग सेमी

22. एक वृत्त की त्रिज्या $r$ है तो उसकी परिधि होगी— ( प्रश्न बैंक )

(A) $2 \pi r$

(B) $\pi r$

(C) $\pi r^{2}$

(D) $\frac{ \pi r}{2}$

उत्तरमाला
1. (A)
2. (B)
3. (B)
4. (A)
5. (B)
6. (C)
7. (B)
8. (B)
9. (A)
10. (B)
11. (C)
12. (B)
13. (D)
14. (B)
15. (B)
16. (B)
17. (D)
18. (C)
19. (B)
20. (D)
21. (B)
22. (A)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
1. किसी वृत्त की दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरे हुए क्षेत्र को वृत्त का .................... कहते हैं।
2. त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, के संगत चाप की लम्बाई .................... होती है।
3. वृत्त की प्रत्येक जीवा वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है। इससे बने प्रत्येक भाग को .................... कहते हैं।
4. त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड, जिसका कोण $\theta$ (अंशों में) हो तब इसका क्षेत्रफल .................... होता है।
5. वृत्त के त्रिज्यखण्ड की चाप की लम्बाई (L) और क्षेत्रफल (A) में सम्बन्ध .................... होता है।
6. वृत्तखण्ड ABC का क्षेत्रफल का सूत्र = .................... होता है।
7. दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = .................... होता है।
8. एक मिनट में मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण = .................... होता है। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )
9. एक घण्टे में घण्टे की सुई द्वारा घूमा गया कोण = .................... होता है।
10. एक मिनट में घण्टे की सुई द्वारा घूमा गया कोण = .................... होता है।
11. यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल $154$ सेमी $^{2}$ है, तो उसकी त्रिज्या .................... है। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )
उत्तर—
1. त्रिज्यखण्ड
2. $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times 2 \pi r$
3. वृत्तखण्ड
4. $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times \pi r^{2}$
5. $A=\frac{1}{2}(Lr)$
6. $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}sin \theta$
7. $\pi r^{2}-\text{लघुवृत्तखण्ड} ABC \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
8. $6^{∘}$
9. $30^{∘}$
10. $\frac{1}{2}^{∘}$
11. 7 सेमी
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. यदि एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है तथा चाप की लम्बाई 22 सेमी है, तो उस चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
हल— चाप की लम्बाई = $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times 2 \pi r$
$⇒22=\frac{ \theta }{360^{∘}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14$
$⇒ \theta =\frac{360^{∘}}{4} \times 90^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 2. उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल $49 \pi$ वर्ग सेमी है।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
हल— वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^{2}=49 \pi$
या $r^{2}=49$ , या $r=7$
अतः अभीष्ट त्रिज्या = $7$ सेमी उत्तर
प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 20 मिनट में केन्द्र पर अन्तरित कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल— अन्तरित कोण = $\frac{360^{∘}}{60} \times 20$
= $120^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 4. उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके चाप की लम्बाई 10 सेमी और त्रिज्या 6 सेमी हो।
हल— यहाँ त्रिज्या $r=6$ सेमी, चाप $(L)=10$ सेमी
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times L \times r$
= $\frac{1}{2} \times 10 \times 6=30$ सेमी $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 5. 21 सेमी त्रिज्या के वृत्त से काटे गये त्रिज्यखण्ड का कोण $60^{∘}$ है। त्रिज्यखण्ड की चाप की लम्बाई और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल— त्रिज्या $r=21$ सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण $\theta =60^{∘}$
केन्द्र पर $\theta$ कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई
= $\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}=\frac{22 \times 21 \times 60^{∘}}{7 \times 180^{∘}}=22$ सेमी उत्तर
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = $\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$
= $\frac{22 \times 21 \times 21 \times 60^{∘}}{7 \times 360^{∘}}=231$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 6. त्रिज्या $R$ वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल लिखिये जिसका कोण $\theta ^{∘}$ है।
अथवा
त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड, जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, का क्षेत्रफल लिखिए।
हल— त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times \pi R^{2}$ वर्ग इकाई या $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times \pi r^{2}$ वर्ग इकाई
प्रश्न 7. $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड, जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, के संगत चाप की लम्बाई लिखिये। (प्रश्न बैंक)
हल— कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की लम्बाई = $\frac{ \theta }{360^{∘}} \times 2 \pi r$
प्रश्न 8. यदि एक वृत्त के दीर्घत्रिज्यखण्ड का कोण $250^{∘}$ है तो लघुत्रिज्य खण्ड का कोण ज्ञात कीजिए।
हल— दीर्घत्रिज्यखण्ड का कोण + लघुत्रिज्यखण्ड का कोण = $360^{∘}$ होता है।
इसलिए लघुत्रिज्यखण्ड का कोण = $360^{∘}-$ दीर्घत्रिज्यखण्ड का कोण
= $360^{∘}-250^{∘}$
= $110^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 9. एक वृत्त के चाप की लम्बाई 4 सेमी और त्रिज्या 6 सेमी है। वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल लिखिये।
हल— दिया है $(L)=4$ सेमी
त्रिज्या $(r)=6$ सेमी
वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}(Lr)$
= $\frac{1}{2} \times 4 \times 6=12$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 10. वृत्त के चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण $50^{∘}$ है। यदि चाप की लम्बाई $5 \pi$ सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या लिखिये।
हल— $\theta =50^{∘}$ , $L=5 \pi$ सेमी
चाप की लम्बाई $(L)=\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$
$∴r=\frac{L \times 180^{∘}}{ \pi \theta }$
= $\frac{5 \pi \times 180^{∘}}{ \pi \times 50^{∘}}$
= $18$ सेमी उत्तर
प्रश्न 11. एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है और त्रिज्यखण्ड का कोण $90^{∘}$ है वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई लिखिये।
हल— वृत्त की त्रिज्या $(r)=14$ सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण $( \theta )=90^{∘}$
त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई $(L)=\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$
= $\frac{22}{7} \times \frac{14 \times 90}{180}$
= $22$ सेमी उत्तर
प्रश्न 12. किसी वृत्त के त्रिज्य खण्ड का क्षेत्रफल $77$ वर्ग सेमी है, यदि उस वृत्त की त्रिज्या $7$ सेमी हो तब त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई लिखिये।
हल— वृत्त की त्रिज्या $=7$ सेमी
क्षेत्रफल $(A)=77$ वर्ग सेमी
वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$A=\frac{1}{2}Lr$
$77=\frac{1}{2} \times L \times 7$
$∴L=\frac{2 \times 77}{7}=22$ सेमी उत्तर
प्रश्न 13. किसी वृत्त का त्रिज्यखण्ड उस वृत्त का चतुर्थांश है, तो त्रिज्यखण्ड में केन्द्र पर बनने वाले कोण का माप लिखिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)
हल— $∵$ त्रिज्यखण्ड उस वृत्त का चतुर्थांश हैं, इसलिये त्रिज्यखण्ड के केन्द्र पर बनने वाला कोण $90^{∘}$ होगा।
प्रश्न 14. त्रिज्या $14$ सेमी वाले एक वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{∘}$ का कोण अन्तरित करता है। चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— चाप की लम्बाई $=\frac{2 \pi r \theta }{360^{∘}}=\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times \frac{14 \times 60^{∘}}{180^{∘}}$
$=14.67$ सेमी उत्तर
प्रश्न 15. एक वृत्त की त्रिज्या $7$ सेमी है तथा केन्द्र पर अंतरित कोण $60^{∘}$ है। चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल— चाप की लम्बाई $=\frac{2 \pi r \theta }{360^{∘}}=\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times 7 \times \frac{60^{∘}}{180^{∘}}=\frac{22}{3}$
$=7.33$ सेमी. उत्तर
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. वृत्त के चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण $50^{∘}$ है। यदि चाप की लम्बाई $5 \pi$ सेमी हो, तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
हल— चाप की लम्बाई $l=\frac{ \theta }{180^{∘}} \times \pi r$
$⇒5 \pi =\frac{50}{180} \times \pi \times r$
$⇒r=\frac{180 \times 5}{50} \times 18$ सेमी उत्तर
प्रश्न 2. त्रिज्या $21$ सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{∘}$ का कोण अन्तरित करता है, तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— दिया गया है—
वृत्त की त्रिज्या $r=21$ सेमी
[वृत्त जिसमें केन्द्र पर 60° का कोण है, त्रिज्या 21 सेमी, लघु त्रिज्यखण्ड और दीर्घ त्रिज्यखण्ड दर्शाया गया है]
चाप द्वारा बनाये गये दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$= \pi r^{2} \times \frac{(360-60)^{∘}}{360^{∘}}$
$= \pi r^{2} \times \frac{300^{∘}}{360^{∘}}$
मान रखने पर $=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times \frac{300^{∘}}{360^{∘}}$
$=22 \times 3 \times 21 \times \frac{5}{6}$
$=11 \times 21 \times 5=1155$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 3. $7$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में कोण $120^{∘}$ के संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल— प्रश्नानुसार वृत्त की त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या $(R)=7$ cm
केन्द्रीय कोण $=120^{∘}$
$∴$ दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2}(360^{∘}- \theta )}{360^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times (360^{∘}-120)}{360^{∘}}$
$=\frac{22 \times 7 \times 240}{360}$
$=\frac{22 \times 7 \times 2}{3}=\frac{308}{3}$ cm $^{2}$ उत्तर
[त्रिभुज ABC जिसमें केन्द्र पर कोण है]
प्रश्न 4. एक वृत्त की त्रिज्या $7$ सेमी है और त्रिज्यखण्ड का कोण $90^{∘}$ है। वृत्त के लघुत्रिज्य-खण्ड के चाप की लम्बाई तथा उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ( $\pi =\frac{22}{7}$ )।
हल— वृत्त की त्रिज्या $=7$ सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण $( \theta )=90^{∘}$
त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई $(L)=\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$
$L=\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 90^{∘}}{180^{∘}}$
$=11$ सेमी
वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times L \times r$
$=\frac{1}{2} \times 11 \times 7$
$=\frac{77}{2}=38.5$ सेमी $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 5. एक वृत्त की त्रिज्या $7$ सेमी है तथा एक चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण $60^{∘}$ है। इस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023; प्रश्न बैंक)
हल— दिया गया है,
वृत्त की त्रिज्या $(r)=7$ सेमी
चाप द्वारा केन्द्र पर कोण $( \theta )=60^{∘}$
[A circle with center O and a sector OAB shaded.]
हम जानते है त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 60^{∘}}{360^{∘}}$
$=\frac{22 \times 7}{6}=25.67$ वर्ग सेमी. उत्तर
प्रश्न 6. दो वृत्त की त्रिज्याएँ क्रमशः $5$ सेमी और $12$ सेमी है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर हो। (प्रश्न बैंक)
हल— पहले वृत्त की त्रिज्या $=5$ सेमी
$∴$ पहले वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi \times (5)^{2}=25 \pi$
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $=12$ सेमी
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi \times (12)^{2}=144 \pi$
माना वृत्त जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर हो की त्रिज्या $r$ है।
$∴ \pi r^{2}=25 \pi +144 \pi$
$\pi r^{2}=169 \pi$
$∴r^{2}=169⇒r=13$ सेमी उत्तर
प्रश्न 7. त्रिज्या $18$ सेमी और केन्द्रीय कोण $42^{∘}$ वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल— वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप
$=2 \pi r \times \frac{42^{∘}}{360^{∘}}+2r$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 18 \times \frac{42}{360}+2 \times 18$
$=13.2+36=49.2$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 8. $7$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $80^{∘}$ का कोण आन्तरित करता है। चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल— चाप की लम्बाई $=\frac{ \pi r \theta }{180^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times 7 \times \frac{80^{∘}}{180^{∘}}$
$=9.77$ सेमी उत्तर
प्रश्न 9. त्रिज्या $4$ सेमी वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $30^{∘}$ है। (प्रश्न बैंक)
हल— त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times 4 \times 4 \times \frac{30^{∘}}{360^{∘}}=4.19$ सेमी $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 10. $12$ सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवा केन्द्र पर $60^{∘}$ का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु व दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— वृत्त की त्रिज्या $(r)=12$ सेमी
जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण $\theta =60^{∘}$
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}-\frac{1}{2}r^{2}sin \theta$
$=\frac{22}{7} \times \frac{12 \times 12 \times 60}{360}-\frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times sin60^{∘}$
$=\frac{22}{7} \times 24-\frac{72 \times \sqrt{3}}{2}$
$=75.43-62.35$
$=13.08$ वर्ग सेमी उत्तर
दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
$=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-$ लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
$= \pi r^{2}-13.08$
$=\frac{22}{7} \times 12 \times 12-13.08$
$=452.57-13.08$
$=439.49$ वर्ग सेमी उत्तर
दीर्घउत्तरीय प्रश्न-
प्रश्न 1. एक वृत्त का चाप केन्द्र पर $45^{∘}$ का कोण अन्तरित करता है। यदि इसके लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $77 cm^{2}$ है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिये। (प्रश्न बैंक)
हल— दिया हुआ त्रिज्यखण्ड $OAPB$ है।
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \theta }{360} \times \pi r^{2}$
[Circle with sector OAPB, angle 45 degrees at center O]
मान रखने पर
$77=\frac{45}{360} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$
$∴r^{2}=\frac{77 \times 360 \times 7}{45 \times 22}$
$=\frac{7 \times 8 \times 7}{2}=7 \times 4 \times 7=196$
$⇒r^{2}=196$
$∴r=\sqrt{196}=14 cm$
अतः वृत्त की त्रिज्या $=14 cm$ उत्तर
प्रश्न 2. वृत्त के चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण $45^{∘}$ है। यदि चाप की लम्बाई $5 \pi$ सेमी हो, तो चाप द्वारा बने लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— वृत्त के चाप की लम्बाई $=5 \pi$ सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण $\theta =45^{∘}$
चाप की लम्बाई $(L)=\frac{ \pi r \theta }{180}$
$∴r=\frac{(L) \times 180}{ \pi \theta }$
$=\frac{5 \pi \times 180}{ \pi \times 45}$
$=20$ सेमी
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times L \times r$
$=\frac{1}{2} \times 5 \pi \times 20$
$=50 \pi$ सेमी
$=50 \times 3.14$
$=157 \text{सेमी}^{2}$ उत्तर
प्रश्न 3. दी गई आकृति में $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। जिसकी एक भुजा $20$ सेमी है त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से $10$ सेमी त्रिज्या के चाप खींचे गये हैं छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। ( $\pi =3.14$ व $\sqrt{3}=1.73$ लीजिये)
[Equilateral triangle ABC with three circular sectors at vertices]
हल— समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई $(a)=20$ सेमी
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times (20)^{2}$
$()$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $(\frac{\sqrt{3}}{4} \text{भुजा}^{2})$
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 20 \times 20$
$=100\sqrt{3}=100 \times 1.73=173 \text{सेमी}^{2}$
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{∘}$ होता है। अतः तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल समान होगा तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल
$=3 \times \frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=\frac{3 \times 3.14 \times (10)^{2} \times 60^{∘}}{360^{∘}}$
$=\frac{3 \times 3.14 \times 100}{6}=\frac{314}{2}$
$=157 \text{सेमी}^{2}$
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = $(173)$
$=16 \text{सेमी}^{2}$ उत्तर
प्रश्न 4. एक घड़ी के घण्टे की सुई 6 सेमी लम्बी है। 90 मिनट में इस सुई द्वारा बनाये गये त्रिज्य-खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— घण्टे की सुई की लम्बाई = $6$ सेमी
अतः घण्टे की सुई $6$ सेमी त्रिज्या का त्रिज्यखण्ड बनायेगी। हम जानते हैं कि घण्टे की सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण = $\frac{1}{2}^{∘}$ होता है।
इसलिये 90 मिनट में बनाया गया कोण
$=\frac{1}{2}^{∘} \times 90^{∘}=45^{∘}$
घण्टे की सुई द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360}$
$=\frac{22}{7} \times \frac{6 \times 6 \times 45}{360}$
$=\frac{22 \times 6 \times 6 \times 45}{7 \times 360}=\frac{22 \times 36}{7 \times 8}$
$=\frac{792}{56}=14.14 \text{सेमी}^{2}$
घण्टे की सुई द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = $14.14 \text{सेमी}^{2}$ उत्तर
प्रश्न 5. एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप 31 सेमी है। यदि वृत्त की त्रिज्या 6.5 सेमी है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— वृत्त की त्रिज्या $(r)=6.5$ सेमी.
वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप = $31$ सेमी
[त्रिज्यखण्ड का चित्र जिसमें चाप l और त्रिज्या r दर्शाई गई है]
प्रश्नानुसार,
$l+2r=31$
$l+2 \times 6.5=31$
$l=31-13=18$
अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times l \times r$
$=\frac{1}{2} \times 18 \times 6.5=9 \times 6.5$
$=58.5 \text{सेमी}^{2}$ उत्तर
निबन्धात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1. चित्र में, PQRS एक आयत है। भुजा PQ = 10 सेमी तथा QR = 7 सेमी है। आयत के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी त्रिज्या के वृत्त खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
[आयत PQRS जिसके कोनों पर चार त्रिज्यखण्ड कटे हुए हैं]
हल— आयत PQRS का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई
$=PQ \times QR$
$=10 \times 7=70 \text{सेमी}^{2}$
आयत का प्रत्येक कोण $90^{∘}$ होता है अतः चारों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल समान होगा।
$∴$ चारों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = $\frac{4 \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=4 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{∘}}{360^{∘}} \text{सेमी}^{2}$
$=\frac{4 \times 22 \times 12.25}{7 \times 4} \text{सेमी}^{2}$
$=\frac{1078}{28} \text{सेमी}^{2}=38.5 \text{सेमी}^{2}$
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (आयत का क्षेत्रफल - चारों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल)
$=(70-38.5) \text{सेमी}^{2}$
$=(31.5) \text{सेमी}^{2}$
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = $31.5 \text{सेमी}^{2}$ है। उत्तर
प्रश्न 2. चित्र में PQRS एक वर्ग है जिसकी एक भुजा 7 सेमी है। वर्ग के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी त्रिज्या के वृत्त खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
[वर्ग PQRS जिसके कोनों पर चार त्रिज्यखण्ड कटे हुए हैं]
हल— संलग्न आकृति में वर्ग की भुजा = 7 सेमी
वर्ग का क्षेत्रफल = $7 \times 7 \text{सेमी}^{2}$
$=49 \text{सेमी}^{2}$
दी गई आकृति में चारों वृत्त समान क्षेत्रफल के हैं।
इन वृत्तों में त्रिज्यखण्ड कटा है।
चारों वृत्तों में त्रिज्यखण्ड का कोण $( \theta )=90^{∘}$
त्रिज्या $(r)=3.5$ सेमी
चारों वृत्तों के त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल समान होगा।
अतः चारों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल $=4 \times \frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=4 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{∘}}{360^{∘}}$ सेमी $^{2}$
$=\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$ सेमी $^{2}$
$=38.5$ सेमी $^{2}$
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=(\text{वर्ग} \text{का} \text{क्षेत्रफल}-\text{चारों} \text{त्रिज्यखण्डों} \text{का} \text{क्षेत्रफल})$
$=(49-38.5)$ सेमी $^{2}$
$=10.5$ सेमी $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 3. $4$ सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^{∘}$ है। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। ( $\pi =3.14$ का प्रयोग करें।)
हल— प्रश्नानुसार वृत्त के त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या $(R)=4$ cm
केन्द्रीय कोण $( \theta )=60^{∘}$
[वृत्त जिसमें त्रिज्यखण्ड OAB है, त्रिज्या 4 सेमी और कोण 60° है]
$∴$ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi R^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=\frac{3.14 \times 4 \times 4 \times 60^{∘}}{360^{∘}}$
$=\frac{3.14 \times 2 \times 4}{3}=8.37$ सेमी $^{2}$
अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=8.37$ सेमी $^{2}$ उत्तर
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{(360^{∘})}{360^{∘}} \times \pi R^{2}$
$=\frac{(360^{∘})}{360^{∘}} \times 3.14 \times 4 \times 4$
$=\frac{300^{∘}}{360^{∘}} \times 3.14 \times 16$
$=\frac{15}{18} \times 3.14 \times 16=41.87$ सेमी $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 4. $5$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण बनाती है। इस जीवा द्वारा बने लघु खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— वृत्त की त्रिज्या $(r)=5$ सेमी
जीवा द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बना कोण $=90^{∘}$
त्रिज्यखण्ड $OPRQ$ का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=\frac{22}{7} \times \frac{5 \times 5 \times 90}{360}$
$=\frac{22 \times 25}{7 \times 4}$
$=\frac{550}{28}=19.64cm^{2}$
[वृत्त जिसमें त्रिज्यखण्ड OPRQ है, त्रिज्या 5 सेमी और कोण 90° है]
$\Delta POQ$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times OP \times OQ$
$=\frac{1}{2} \times 5 \times 5=12.50cm^{2}$
अतः लघुखण्ड का क्षेत्रफल $=19.64-12.50$
$=7.14cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 5. $14$ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर $30^{∘}$ का कोण बनाती है। इससे बनने वाले लघु वृत्तखण्ड और दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। ( $\pi =\frac{22}{7}$ )
हल— वृत्त की त्रिज्या $(r)=14$ सेमी
जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण $\theta =30^{∘}$
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360}-\frac{1}{2}r^{2}sin \theta$
$=\frac{22}{7} \times \frac{14 \times 14 \times 30}{360}-\frac{1}{2} \times 14 \times 14 \times sin30^{∘}$
$=\frac{22 \times 2 \times 14}{12}-\frac{1}{2} \times 196 \times \frac{1}{2}$
$=\frac{616}{12}-49=51.33-49$
$=2.33cm^{2}$ उत्तर
दीर्घवृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघुवृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
$= \pi r^{2}-2.33$
$=\frac{22}{7} \times 14 \times 14-2.33$
$=616-2.33$
$=613.67 cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 6. त्रिज्या $12 cm$ वाले एक वृत्त की जीवा केन्द्र पर $120^{∘}$ का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्त खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। ( $\pi =3.14$ और $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिये।)
हल— वृत्त की त्रिज्या $(r)=12 cm$
$\Delta AOB$ में कोण $\angle O=120^{∘}$
$OA=OB$ एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। इसलिये $OM$ कोण $\angle O$ को समद्विभाजित करेगी।
[Circle with chord AB, center O, and perpendicular OM bisecting angle AOB into 60 degrees each]
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times AB \times OM$
लेकिन $AB=2 AM$
$=\frac{1}{2} \times 2 AM \times OM$
$= AM \times OM$ ...(i)
समकोण $\Delta AOM$ में
$sin60^{∘}=\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}=\frac{AM}{12}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AM}{12}$
$∴AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} cm$
समकोण $\Delta AOM$ में
$cos60^{∘}=\frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}=\frac{OM}{12}$
$⇒\frac{1}{2}=\frac{OM}{12}$
$∴OM=6 cm$
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $=AM \times OM$
$=6\sqrt{3} \times 6 [\text{समी}. (i) \text{से}]$
$=36\sqrt{3} cm^{2}$
त्रिज्यखण्ड $OAB$ का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360}$
$=\frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 120}{360}$
$=3.14 \times 48 cm^{2}$
लघुवृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड $OAB$ का क्षेत्रफल - $\Delta AOB$ का क्षेत्रफल
$=(3.14 \times 48-36\sqrt{3}) cm^{2}$
$=(3.14 \times 48-36 \times 1.73) cm^{2}$
$=12[12.56-3 \times 1.73] cm^{2}$
$=12[12.56-5.19] cm^{2}$
$=12 \times 7.37$
$=88.44 cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 7. निम्न आकृति में, $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। भुजा $AB$ को व्यास तथा बिन्दु $O$ को केन्द्र मानते हुए एक अर्धवृत्त खींचा गया है जो $D$ से होकर गुजरता है। यदि $AB=12 \text{सेमी}$ तथा $OD⟂AB$ , तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi =3.14$ )
[Parallelogram ABCD with a semicircle on AB passing through D, with OD perpendicular to AB]
हल— दिया है, समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजा $AB=12 \text{सेमी}$
$∵OD⟂AB$ तथा $O,AB$ का मध्य बिन्दु है।
$∴AO=OB=\frac{12}{2}=6 \text{सेमी}$
$∵OD=OA=6 \text{सेमी}$
समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $=AB \times OD$
$=12 \times 6 \text{सेमी}$
$=72 \text{वर्ग} \text{सेमी}$
चतुर्थांश $BOD$ का क्षेत्रफल $=\frac{ \pi r^{2} \theta }{360^{∘}}$
$=\frac{3.14 \times (6)^{2} \times 90^{∘}}{360^{∘}}$
$=28.26 \text{सेमी}^{2}$
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=\text{समान्तर} \text{चतुर्भुज} ABCD \text{का} \text{क्षेत्रफल}-\text{चतुर्थांश} OBD \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$=(72-28.26) \text{सेमी}^{2}=43.64 \text{सेमी}^{2}$ उत्तर

पाठ 11: वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

उत्तरमाला

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—

निबन्धात्मक प्रश्न-

और अध्याय देखें / Explore More Chapters

वास्तविक संख्याएँ

बहुपद

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

द्विघात समीकरण

समान्तर श्रेढ़ियाँ

त्रिभुज

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिकोणमिति का परिचय

1. (A)	2. (B)	3. (B)	4. (A)	5. (B)
6. (C)	7. (B)	8. (B)	9. (A)	10. (B)
11. (C)	12. (B)	13. (D)	14. (B)	15. (B)
16. (B)	17. (D)	18. (C)	19. (B)	20. (D)
21. (B)	22. (A)