RBSE Class 10 Mathematics Chapter 12 Solutions - in Hindi - पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन - RajBoardExam

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

#### प्रश्नावली 12.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए, $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिए।

प्रश्न [1]. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन $64 cm^{3}$ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— माना कि घन की प्रत्येक भुजा = $x cm$

घन का आयतन = $64 cm^{3}$

[घन का आयतन = $(\text{भुजा})^{3}$ ]

$∴x^{3}=64$

$⇒$ या $x=\sqrt[3]{64}$

$=\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}$

$x=4 cm$

$∴$ घन की भुजा = $4 cm$

$∵$ जब घनों को साथ-साथ जोड़ा जाता है तो घनाभ बन जाता है।

[घनाभ का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 1

जिसकी लम्बाई = $2x cm=2(4)=8 cm$

चौड़ाई = $x cm=4 cm$

ऊँचाई = $x cm=4 cm$

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2[LB+BH+HL]$

$=2[8 \times 4+4 \times 4+4 \times 8]$

$=2[32+16+32]$

$=2[80]$

$∴$ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $160 cm^{2}$ उत्तर

प्रश्न [2]. कोई बर्तन एक खोखले अर्द्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्द्धगोले का व्यास $14 cm$ है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई $13 cm$ है। इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— यहाँ अर्द्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास

$=14 cm$

$2R=14 cm$

अर्द्धगोले की त्रिज्या $(R)=7 cm$

बर्तन की कुल ऊँचाई $=13 cm$

$∴$ बेलन की ऊँचाई $=(13-7)=6 cm$

[बेलनाकार बर्तन जिसके नीचे अर्द्धगोला जुड़ा है]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 2

बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=\text{बेलन} \text{का} \text{आन्तरिक} \text{पृष्ठीय} \text{क्षेत्रफल}+\text{अर्द्धगोले} \text{का} \text{आन्तरिक} \text{पृष्ठीय} \text{क्षेत्रफल}$

$=2 \pi RH+2 \pi R^{2}$

$=2 \pi R[H+R]$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 7(6+7)$

$=44 \times 13$

$=572 cm^{2}$

अतः बर्तन (पात्र) का कुल आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल का मान $=572 cm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 3. एक खिलौना त्रिज्या $3.5 cm$ वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई $15.5 cm$ है। इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल— यहाँ शंकु की त्रिज्या = अर्द्धगोले की त्रिज्या $(R)=3.5 cm$

खिलौने की कुल ऊँचाई $=15.5 cm$

$∴$ शंकु की ऊँचाई $(H)=(15.5-3.5)=12 cm$

[शंकु के नीचे अर्द्धगोला जुड़ा हुआ खिलौना]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 3

शंकु की तिर्यक ऊँचाई $=\sqrt{R^{2}+H^{2}}$

$=\sqrt{(3.5)^{2}+(12)^{2}}$

$=\sqrt{12.25+144}$

$=\sqrt{156.25}$

$=12.5 cm$

शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(L)=12.5 cm$

बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= \pi RL+2 \pi R^{2}$

$= \pi R[L+2R]$

$=\frac{22}{7} \times 3.5[12.5+2(3.5)]$

$=\frac{22}{7} \times 3.5[19.5]$

$=\frac{15015}{7}=214.5 cm^{2}$

इसलिये बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=214.5 cm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 4. भुजा $7 cm$ वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल—प्रश्नानुसार

घनाकार ब्लॉक की भुजा $=7 cm$

यहाँ अर्द्धगोले का व्यास = घनाकार ब्लॉक की भुजा $=7 cm$

$2R=7$

[घन के ऊपर अर्द्धगोला]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 4

अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास $=7 cm$ उत्तर

$R=\frac{7}{2} cm$

ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल) - (अर्द्धगोले के आधार का क्षेत्रफल) + (अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)

$=6 \times (\text{भुजा})^{2}- \pi R^{2}+2 \pi R^{2}$

$=6 \times (\text{भुजा})^{2}+ \pi R^{2}$

$=6(7)^{2}+\frac{22}{7} \times \frac{7}{2}^{2}$ $∵R=\frac{7}{2}$

$=6(49)+11 \times \frac{7}{2} cm^{2}$

$=(294+38.5) cm^{2}$

$=332.5 cm^{2}$

अतः अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास $=7 cm$

तथा ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=332.5 cm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 5. एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अन्दर की ओर से काट कर एक अर्द्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि घन की भुजा $=l$

यहाँ अर्द्धगोले का व्यास $=$ घन की भुजा

$2R=l$

$R=\frac{l}{2}$

[Cube with a hemispherical depression carved out from the top face]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 5

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=$ घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$-$ घन के तल का क्षेत्रफल $+$ अर्द्धगोले का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=6(\text{भुजा})^{2}- \pi R^{2}+2 \pi R^{2}$

$=6(l)^{2}+ \pi R^{2}$

$=6(l)^{2}+ \pi \frac{l}{2}^{2}$

$∵R=\frac{l}{2}=6l^{2}+ \pi \frac{l^{2}}{4}$

$=l^{2}6+\frac{ \pi }{4}=l^{2}\frac{ \pi +24}{4}$

$=\frac{1}{4}l^{2}( \pi +24) cm^{2}$

अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=\frac{l^{2}}{4}(24+ \pi ) cm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 6. दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्द्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति)। पूरे कैप्सूल की लम्बाई $14 mm$ है और उसका व्यास $5 mm$ है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[Capsule with cylindrical middle and hemispherical ends]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 6

हल— यहाँ

कैप्सूल का व्यास $=$ अर्द्धगोले का व्यास

$=$ बेलन का व्यास $=5 mm$

$∴2R=5 mm$

$R=\frac{5}{2} mm$

[Capsule dimensions showing R=5/2 and total length 9mm for cylinder part]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 7

कैप्सूल की आन्तरिक लम्बाई $=14 mm$

बेलनाकार भाग की ऊँचाई $=14-\frac{5}{2}-\frac{5}{2} mm$

$=(14-5) mm$

$H=9 mm$

कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $+2$ अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=2 \pi RH+2(2 \pi R^{2})$

$=2 \pi RH+4 \pi R^{2}$

$=2 \pi R[H+2R]$

$=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2}9+2\frac{5}{2}$

$=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2}[9+5]$

$=\frac{22}{7} \times 5 \times 14$

$=22 \times 5 \times 2=220 mm^{2}$

अतः कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=220 mm^{2}$ उत्तर

प्रश्न 7. कोई तम्बू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः $2.1 m$ और $4 m$ है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई $2.8 m$ है तो इस तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, $500$ रु. प्रति $m^{2}$ की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि तम्बू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)

हल— यहाँ

शंकु का व्यास $=$ बेलन का व्यास

$2R=4$

$R=2 m$

अतः शंकु की त्रिज्या $=$ बेलन की त्रिज्या $=R=2 m$

बेलन की ऊँचाई (H) = $2.1 m$

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (L) = $2.8 m$

[A cylinder topped with a cone. The cylinder has height 2.1 m and diameter 4 m. The cone has slant height 2.8 m.]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 8

तम्बू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=2 \pi RH+ \pi RL$

$= \pi R[2H+L]$

$=\frac{22}{7} \times 2[2(2.1)+2.8]$

$=\frac{22}{7} \times 2[4.2+2.8]$

$=\frac{22}{7} \times 2 \times 7$

$=44 m^{2}$ उत्तर

$∴$ तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=44 m^{2}$

$∴1 m^{2}$ कैनवास की लागत = Rs. $500$

$∴44 m^{2}$ कैनवास की लागत $=44 \times 500$

$=22000$ रुपये उत्तर

8. ऊँचाई $2.4 cm$ और व्यास $1.4 cm$ वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेन्टीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल—बेलन का व्यास (D) $=1.4 cm$

$=\text{शंकु} \text{का} \text{व्यास}$

$∴$ यहाँ बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या (R)

$=0.7 cm$

बेलन की ऊँचाई (H) $=2.4 cm$

हम जानते हैं कि $L^{2}=R^{2}+H^{2}$

$L=\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}$

$=\sqrt{0.49+5.76}$

$=\sqrt{6.25}$

$L=2.5 cm$

शेष बचे ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के ऊपर वाले आधार का क्षेत्रफल + शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

[A cylinder with a conical cavity inside. Height H = 24 cm, Radius R = 0.7 cm.]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 9

$=2 \pi RH+ \pi R^{2}+ \pi RL$

$= \pi R[2H+R+L]$

$=\frac{22}{7} \times 0.7[2(2.4)+0.7+2.5]$

$=\frac{22}{7} \times \frac{7}{10}[4.8+3.2]$

$=\frac{22}{10}[8]$

$=\frac{176}{10}=17.6 cm^{2}$

$≈18 cm^{2}$

अतः शेष बचे ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=17.6≈18 cm^{2}$ उत्तर

9. लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई $10 cm$ है और आधार की त्रिज्या $3.5 cm$ है तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[A cylinder with hemispherical depressions at both ends.]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 10

हल—बेलन की ऊँचाई (H) $=10 cm$

यहाँ बेलन की त्रिज्या = अर्द्धगोले की त्रिज्या (R)

$=3.5 cm$

वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + $2$ अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=2 \pi RH+2(2 \pi R^{2})$

$=2 \pi R[H+2R]$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 3.5[10+2(3.5)]$

$=\frac{44}{7} \times \frac{35}{10}[10+7]$

$=44 \times \frac{5}{10} \times 17$

$=44 \times \frac{1}{2} \times 17$

$=22 \times 17$

$=374 cm^{2}$

अतः वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=374 cm^{2}$ उत्तर

[Cylinder with cones on both ends]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 11

प्रश्नावली 12.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिए।)

प्रश्न 1. एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ $1 cm$ हैं, तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— यहाँ शंकु की त्रिज्या $=$ अर्द्धगोले की त्रिज्या

$=1 cm$

$∴R=1 cm$

और शंकु की ऊँचाई $(H)=1 cm$

[Cone on top of a hemisphere]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 12

ठोस का आयतन

$=$ शंकु का आयतन $+$ अर्द्धगोले का आयतन

$=\frac{1}{3} \pi R^{2}H+\frac{2}{3} \pi R^{3}$

$=\frac{1}{3} \pi R^{2}[H+2R]$

$=\frac{1}{3} \pi \times 1 \times 1[1+2 \times 1]$

$=\frac{1}{3} \pi \times 3=\frac{3 \pi }{3}$

$= \pi cm^{3}$

$∴$ ठोस का आयतन $= \pi cm^{3}$ उत्तर

प्रश्न 2. एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रशेल से एक पतली ऐलुमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास $3 cm$ है और इसकी लम्बाई $12 cm$ है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $2 cm$ हो, तो रशेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)

हल— यहाँ शंकु की त्रिज्या $=$ बेलन की त्रिज्या $(R)$

$=\frac{3}{2} cm$

$∴R=1.5 cm$

प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $(h)=2 cm$

$∴$ बेलन की ऊँचाई $=12-2-2$

$H=8 cm$

[Cylinder with two cones at ends]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 13

बेलन में हवा का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+$ $2(\text{शंकु} \text{का} \text{आयतन})$

$= \pi R^{2}H+2[\frac{1}{3} \pi R^{2}h]$

$= \pi R^{2}[H+\frac{2}{3}h]$

$=\frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5[8+\frac{2}{3} \times 2]$

$=\frac{22}{7} \times \frac{15}{10} \times \frac{15}{10}[8+\frac{4}{3}]$

$=\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times (\frac{24+4}{3})$

बेलन में हवा का आयतन $=\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{28}{3}$

$=22 \times 3$

$=66 cm^{3}$

अतः बेलन में हवा का आयतन $=66 cm^{3}$ उत्तर

प्रश्न 3. एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग $30%$ चीनी की चाशनी होती है। $45$ गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन...

एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई $5 cm$ और व्यास $2.8 cm$ है ( देखिए आकृति )।

[बेलनाकार गुलाब जामुन का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 14

हल—गुलाब जामुन बेलन के आकार का है।

यहाँ बेलन का व्यास = अर्द्धगोले का व्यास

$=2.8 cm$

बेलन की त्रिज्या = अर्द्धगोले की त्रिज्या (R)

$=\frac{2.8}{2}=1.4 cm$

$R=1.4 cm$

[गुलाब जामुन की विमाओं का रेखाचित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 15

बेलनाकार भाग की ऊँचाई $=5-1.4-1.4$

$=(5-2.8) cm$

$H=2.2 cm$

एक गुलाब जामुन का आयतन = बेलन का आयतन $+2$ [अर्द्धगोले का आयतन]

$= \pi R^{2}H+2\frac{2}{3} \pi R^{3}$

$= \pi R^{2}H+\frac{4}{3}R$

$=\frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.42.2+\frac{4}{3} \times 1.4$

$=\frac{22}{7} \times \frac{14}{10} \times \frac{14}{10}2.2+\frac{4}{3} \times 1.4$

$=\frac{22}{7} \times \frac{196}{100}[2.2+1.866]$

$=\frac{22 \times 28}{100}[4.066]$

एक गुलाब जामुन का आयतन $=25.05 cm^{3}$

अब $45$ गुलाब जामुनों का आयतन $=45 \times 25.05 cm^{3}$

$=1127.25 cm^{3}$

$∴$ चीनी की चाशनी का आयतन $=45$ गुलाब जामुनों के आयतन का $30%$

$=\frac{30 \times 1127.25}{100}$

$=338.175 cm^{3}$

$=338 cm^{3}$ उत्तर

प्रश्न [4]. एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ $15 cm \times 10 cm \times 3.5 cm$ हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या $0.5 cm$ है और गहराई $1.4 cm$ है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए ( देखिए आकृति )।

[कलमदान का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 16

हल—प्रश्नानुसार,

घनाभ की लम्बाई (L) $=15 cm$

घनाभ की चौड़ाई (B) $=10 cm$

घनाभ की ऊँचाई (H) $=3.5 cm$

शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या $(r)=0.5 cm$

शंक्वाकार गड्ढे की ऊँचाई $(h)=1.4 cm$

कलमदान में लकड़ी का आयतन

$=$ घनाभ का आयतन $-4$ [शंकु का आयतन]

$=LBH-4\frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$=15 \times 10 \times 3.5-\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 \times 0.5 \times 1.4$

$=\frac{15 \times 10 \times 35}{10}-\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{14}{10}$

$=15 \times 35-\frac{22}{3 \times 5} cm^{2}$

$=(525-1.466) cm^{2}$

$=523.533 cm^{3}$

अतः पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन $=523.533 cm^{3}$ उत्तर

प्रश्न [5]. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई $8 cm$ है और इसके ऊपरी सिरे ( जो

खुला हुआ है) की त्रिज्या $5 cm$ है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक $0.5 cm$ त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल— शंकु की त्रिज्या $(R)=5 cm$

शंकु की ऊँचाई $(H)=8 cm$

सीसे की प्रत्येक गोली की त्रिज्या $(r)=0.5 cm$

[शंकु का चित्र जिसमें पानी भरा है]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 17

माना कि शंकु में डाली गई गोलियों की संख्या $=N$

तो पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है।

$N \times [\text{सीसे} \text{की} \text{एक} \text{गोली} \text{का} \text{आयतन}]=\frac{1}{4} \times [\text{शंकु} \text{में} \text{पानी} \text{का} \text{आयतन}]$

$N \times [\frac{4}{3} \pi r^{3}]=\frac{1}{4} \times [\frac{1}{3} \pi R^{2}H]$

$N \times [\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5]=\frac{1}{4} \times [\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 8]$

$N=\frac{\frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 8}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5}$

$N=\frac{\frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 8 \times 10 \times 10 \times 10}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 5}$

$N=\frac{1}{4 \times 4} \times 8 \times 2 \times 10 \times 10$

$N=10 \times 10=100$

अतः बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या $=100$ उत्तर

6. ऊँचाई $220 cm$ और आधार व्यास $24 cm$ वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई $60 cm$ और त्रिज्या $8 cm$ वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है $1 cm^{3}$ लोहे का द्रव्यमान लगभग $8 g$ होता है। ( $\pi =3.14$ लीजिए।) (प्रश्न बैंक)

हल— नीचे वाले बेलन का व्यास $=24 cm$

नीचे वाले बेलन की त्रिज्या $(R)=12 cm$

नीचे वाले बेलन की ऊँचाई $(H)=220 cm$

ऊपर वाले बेलन की त्रिज्या $(r)=8 cm$

ऊपर वाले बेलन की ऊँचाई $(h)=60 cm$

[दो बेलनों का स्तम्भ]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 18

स्तम्भ का आयतन $=$ नीचे वाले बेलन का आयतन $+$ ऊपर वाले बेलन का आयतन

$= \pi R^{2}H+ \pi r^{2}h$

$=3.14 \times 12 \times 12 \times 220+3.14 \times 8 \times 8 \times 60$

$=99475.2+12057.6$

स्तम्भ का आयतन $=111532.8 cm^{3}$

$1 cm^{3}$ का द्रव्यमान $=8 gm$

$111532.8 cm^{3}$ का द्रव्यमान $=8 \times 111532.8=892262.4 gm$

$=\frac{892262.4}{1000} kg=892.2624 kg$

स्तम्भ का द्रव्यमान $=892.26 kg$ उत्तर

7. एक ठोस में, ऊँचाई $120 cm$ और त्रिज्या $60 cm$ वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो $60 cm$ त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्ब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या $60 cm$ है और ऊँचाई $180 cm$ है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल— यहाँ शंकु की त्रिज्या $=$ अर्द्धगोले की त्रिज्या $=$ बेलन की त्रिज्या

[A cylinder with a cone inside it. Total height 180 cm, cone height 120 cm, cylinder radius 60 cm.]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 19

$R=60 cm$

शंकु की ऊँचाई $(h)=120 cm$

बेलन की ऊँचाई $(H)=180 cm$

बेलनाकार बर्तन का आयतन $= \pi R^{2}H$

$=\frac{22}{7} \times 60 \times 60 \times 180$

$=\frac{22}{7} \times 3600 \times 180$

बेलन में डाले गए ठोस का आयतन

$=\text{अर्द्धगोले} \text{का} \text{आयतन}+\text{शंकु} \text{का} \text{आयतन}$

$=\frac{2}{3} \pi R^{3}+\frac{1}{3} \pi R^{2}h$

$=\frac{1}{3} \pi R^{2}[2R+h]$

$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 60 \times 60[2 \times 60+120]$

$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3600[120+120]$

$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3600 \times 240$

$=\frac{22}{7} \times 3600 \times 80$

$∴$ बाहर निकले पानी का आयतन $=$

$\frac{22}{7} \times 3600 \times 80 cm^{3}$

$∴$ बेलन में शेष बचे पानी का आयतन

$=\text{बेलन} \text{का} \text{आयतन}-\text{बेलन} \text{में} \text{डाले} \text{गए} \text{ठोस} \text{का} \text{आयतन}$

$=\frac{22}{7} \times 3600 \times 180-\frac{22}{7} \times 3600 \times 80$

$=\frac{22}{7} \times 3600(180-80)$

$=\frac{22}{7} \times 3600 \times 100 cm^{3}$

$=\frac{\frac{22}{7} \times 3600 \times 100}{100 \times 100 \times 100} m^{3}$

$=\frac{22 \times 36}{700}=1.131 m^{3}$

अतः बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $=1.131 m^{3}$

उत्तर

8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई $8 cm$ है और व्यास $2 cm$ है जबकि गोलाकार भाग का व्यास $8.5 cm$ है। इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन $345 cm^{3}$ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त मापन आन्तरिक मापन है और $\pi =3.14$ .

हल— गर्दन का व्यास (बेलनाकार भाग) $=2 cm$

$∴$ गर्दन की त्रिज्या $(r)=1 cm$

बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(H)=8 cm$

गोलाकार भाग का व्यास $=8.5 cm$

गोलाकार भाग की त्रिज्या $(R)=\frac{8.5}{2} cm=4.25 cm$

[A spherical flask with a cylindrical neck. Neck height 8 cm, neck diameter 2 cm, sphere radius 4.25 cm.]

कक्षा 10 गणित पाठ 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन चित्र 20

बर्तन में पानी का आयतन

$=\text{गोले} \text{का} \text{आयतन}+\text{बेलन} \text{का} \text{आयतन}$

$=\frac{4}{3} \pi R^{3}+ \pi r^{2}H$

$=\frac{4}{3} \times 3.14 \times 4.25 \times 4.25 \times 4.25+3.14 \times 1 \times 1 \times 8$

$=321.39+25.12$

$=346.51 cm^{3}$

बर्तन में पानी का आयतन $=346.51 cm^{3}$ और बच्चे द्वारा दिया गया उत्तर सही नहीं है। उत्तर

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
(A) [ घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ]
क्षेत्रफल—
(1) घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(\text{ल}. \times \text{चौ}.+\text{चौ}. \times \text{ऊँ}.+\text{ऊँ}. \times \text{ल}.)$ वर्ग इकाई
(2) घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6(\text{भुजा})^{2}$
(3) घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल $=2 \times \text{ऊँचाई}(\text{लम्बाई}+\text{चौड़ाई})$ वर्ग इकाई
अथवा $=\text{ऊँचाई} \times \text{परिमाप}$ वर्ग इकाई
आयतन—
(1) घनाभ का आयतन $=\text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई}$ घन इकाई
(2) घन का आयतन $=(\text{भुजा})^{3}$ घन इकाई
घन और घनाभ के विकर्ण—
(1) घनाभ के विकर्ण की लम्बाई $=\sqrt{(\text{ल}.)^{2}+(\text{चौ}.)^{2}+(\text{ऊँ}.)^{2}}$
(2) घन के विकर्ण की लम्बाई $=\sqrt{3} \times \text{भुजा}$
(B) [ लम्बवृत्तीय बेलन : पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ]
लम्बवृत्तीय बेलन वह ठोस आकृति है जिसमें एक वक्रपृष्ठ और सर्वांगसम वृत्तीय अनुप्रस्थ काट हो तथा बेलन का अक्ष वृत्तीय अनुप्रस्थ काट पर लम्बवत् हो।
[लम्बवृत्तीय बेलन, जिसमें ऊँचाई h, त्रिज्या r तथा आधार O और शीर्ष O' दर्शाया गया है]
सामान्य—
(1) यहाँ बेलन को 'लम्बवृत्तीय बेलन' (Right circular cylinder) के अर्थ में प्रयोग किया गया है।
(2) बेलन को ऊर्ध्वाधर स्थिति में रखने पर नीचे के वृत्तीय सिरे को बेलन का आधार कहते हैं और बेलन की लम्बाई उसकी ऊँचाई $(h)$ कही जाती है। वृत्तीय सिरे की त्रिज्या को बेलन की त्रिज्या $(r)$ कहते हैं।
(3) खोखले बेलन में दोनों सिरे खुले होते हैं। ठोस बेलन में दोनों सिरे बन्द होते हैं।
क्षेत्रफल—
(1) ठोस बेलन का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल (C.S.A.) $=2 \pi rh$ वर्ग इकाई
(2) बेलन के एक सिरे की परिधि जिसकी त्रिज्या $r$ है $=2 \pi r$ वर्ग इकाई
(3) बेलन के आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$ वर्ग इकाई
(4) बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (T.S.A.) $=\text{वक्र} \text{पृष्ठ}+2 \times \text{आधार} \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$=2 \pi rh+2 \pi r^{2}$
$=2 \pi r(h+r)$ वर्ग इकाई
(5) खोखला बेलन (Hollow Cylinder)—यदि $r_{1}$ व $r_{2}$ खोखले बेलन की बाह्य और अन्तः त्रिज्यायें हों तथा ऊँचाई $h$ हो तो
(1) खोखले बेलन के प्रत्येक सिरे का क्षेत्रफल = $\pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2})$
(2) खोखले बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = बाह्य पृष्ठ का क्षेत्रफल + अन्तः पृष्ठ का क्षेत्रफल
$=2 \pi r_{1}h+2 \pi r_{2}h$
$=2 \pi (r_{1}+r_{2})h$
(3) खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल =
$=2 \pi r_{1}h+2 \pi r_{2}h+2 \pi r_{1}^{2}-2 \pi r_{2}^{2}$
$=2 \pi h(r_{1}+r_{2})+2 \pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2})$
$=2 \pi h(r_{1}+r_{2})+2 \pi (r_{1}+r_{2})(r_{1}-r_{2})$
$=2 \pi (r_{1}+r_{2})(h+r_{1}-r_{2})$
आयतन-
(1) बेलन का आयतन = $\pi r^{2}h$ घन इकाई
(2) खोखले बेलन का आयतन = $\pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2})h$ घन इकाई
नोट- खोखले बेलन में दो त्रिज्याएँ (आन्तरिक और बाह्य) होती हैं, जिन्हें ' $r_{1}$ ' और ' $r_{2}$ ' मानकर चला जाता है।
(C) [ लम्बवृत्तीय शंकु (Right Circular Cone)]
लम्बवृत्तीय शंकु वह ठोस आकृति है जब कोई रेखाखण्ड एक स्थिर बिन्दु पर एक स्थिर रेखा से अचर कोण पर परिक्रमण करती है।
(1) शंकु का आकार आइसक्रीम कोन या जोकर की टोपी जैसा होता है।
(2) लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई = $h$
शंकु की त्रिज्या = $r$ तथा उसकी तिरछी ऊँचाई = $l$ मानी जाती है।
[Right circular cone with height h, radius r, and slant height l]
क्षेत्रफल-
(1) शंकु का वक्र पृष्ठीय (तिर्यक पृष्ठीय) क्षेत्रफल का सूत्र है-
$= \pi rl$
(2) शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है-
$= \pi r(r+l)$
आयतन-
(1) शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^{2}h$
(2) शंकु की तिरछी ऊँचाई $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$
(D) [ गोला (Sphere)]
अर्थ -
(1) एक वृत्त या अर्द्धवृत्त द्वारा उसके एक व्यास को अक्ष मानकर उसके चारों ओर क्रमशः पूरा चक्कर या आधा चक्कर लगाने पर जो ठोस जनित होता है, उसे गोला कहते हैं।
(2) आकाश में स्थित उन सभी बिन्दुओं के समुच्चय को गोला कहा जा सकता है जो एक नियत बिन्दु से समान दूरी पर हों।
(3) नियत बिन्दु को गोले का केन्द्र कहते हैं।
(4) केन्द्र से इसके किसी बिन्दु की दूरी को त्रिज्या कहते हैं।
(5) उस रेखाखण्ड को, जो गोले के केन्द्र से गुजरता है और जिसके दोनों सिरे गोले पर हों, गोले का व्यास कहलाता है। गोले की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है।
(6) गोले द्वारा आकाश (space) में घेरा गया स्थान उसका आयतन कहलाता है।
[Circle with center O, radius r, and diameter AB]
क्षेत्रफल-
(1) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi r^{2}$
(2) अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = $2 \pi r^{2}$
(3) अर्द्ध गोले के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = $3 \pi r^{2}$
(4) यदि गोलीय कोश की बाहरी त्रिज्या $r_{1}$ तथा भीतरी त्रिज्या $r_{2}$ है, तो-
गोलीय कोश का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})$
आयतन-
(1) गोले का आयतन = $\frac{4}{3} \pi r^{3}$
(2) अर्द्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^{3}$
(3) गोलीय कोश का आयतन = $\frac{4}{3} \pi (r_{1}^{3}-r_{2}^{3})$
(4) गोलीय कोश की मोटाई = $(r_{1})$
ठोसों के संयोजन का आयतन- दो ठोसों के संयोजन से बनी ठोस आकृति का आयतन वास्तव में दोनों घटकों के आयतन के योग के बराबर होता है। एक ठोस को एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित करते हैं तो इस पूरी स्थिति में दोनों आकारों का आयतन समान रहता है।
आयतन सम्बन्धी इकाइयाँ
$1$ लीटर = $1000$ घन सेमी
$1000$ लीटर = $1$ घन मीटर
$1$ किलो लीटर = $1$ घन मीटर
$1$ घन सेमी = $10 \times 10 \times 10=1000$ घन सेमी
$1$ घनमीटर = $100 \times 100 \times 100=10,00,000$ घन सेमी
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न-
प्रश्न 1. यदि एक शंकु की त्रिज्या $14$ सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई $10$ सेमी है, तो शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

(A) $220 \pi$ सेमी $^{2}$

(B) $110 \pi$ सेमी $^{2}$

(C) $440 \pi$ सेमी $^{2}$

(D) $140 \pi$ सेमी $^{2}$

प्रश्न 2. घन के एक पृष्ठ का परिमाप $28$ सेमी है तो घन का आयतन है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) $343$ सेमी $^{3}$

(B) $196$ सेमी $^{3}$

(C) $294$ सेमी $^{3}$

(D) $4144$ सेमी $^{3}$

प्रश्न 3. यदि किसी शंकु की ऊँचाई एवं त्रिज्या क्रमशः $12$ सेमी और $5$ सेमी है तो इसके वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल है-

(A) $60 \pi$ सेमी $^{2}$

(B) $65 \pi$ सेमी $^{2}$

(C) $100 \pi$ सेमी $^{2}$

(D) $120 \pi$ सेमी $^{2}$

प्रश्न 4. एक ठोस गोले की त्रिज्या, वक्र पृष्ठ और उसका आयतन क्रमशः $r,S$ व $V$ हैं, उनके बीच में निम्न में से सही सम्बन्ध होगा-

(A) $3r=VS$

(B) $3rS=V$

(C) $3rV=S$

(D) $3V=rS$

प्रश्न 5. दो गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r$ तथा $2r$ हैं, उनके आयतनों का अनुपात है-

(A) $1:2$

(B) $1:4$

(C) $1:1$

(D) $1:8$

प्रश्न 6. एक बेलनाकार बोतल का व्यास $10$ सेमी है। यदि उसमें $14$ सेमी ऊँचाई तक द्रव भरा हो, तो द्रव का आयतन है-

(A) $1200$ घन सेमी

(B) $1100$ घन सेमी

(C) $1500$ घन सेमी

(D) $1150$ घन सेमी

प्रश्न 7. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $486$ वर्ग सेमी है, घन की भुजा होगी- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

(A) $6$ सेमी

(B) $7$ सेमी

(C) $8$ सेमी

(D) $9$ सेमी

प्रश्न 8. $14$ सेमी भुजा के एक घन से एक बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन है-

(A) $766.18$ घन सेमी

(B) $817.54$ घन सेमी

(C) $1232$ घन सेमी

(D) $718.66$ घन सेमी

प्रश्न 9. एक ठोस अर्द्ध गोले की त्रिज्या $7$ सेमी है तो इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-

(A) $336$ वर्ग सेमी

(B) $462$ वर्ग सेमी

(C) $256$ वर्ग सेमी

(D) $149$ वर्ग सेमी

प्रश्न 10. दो गोलों के आयतनों का अनुपात $64:27$ है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है-

(A) $3:4$

(B) $4:3$

(C) $9:16$

(D) $16:9$

प्रश्न 11. यदि दो शंकुओं की त्रिज्याओं में अनुपात $3:1$ और ऊँचाइयों में अनुपात $1:3$ है तो उनके आयतनों में अनुपात होगा-

(A) $2:1$

(B) $3:1$

(C) $1:3$

(D) $1:2$

प्रश्न 12. एक ठोस अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है-

(A) $3 \pi r^{2}$

(B) $2 \pi r^{2}$

(C) $4 \pi r^{2}$

(D) $\frac{2}{3} \pi r^{3}$

प्रश्न 13. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $9$ मीटर, $2$ मीटर और $1$ मीटर है। घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल होगा-

(A) $12$ वर्ग मीटर

(B) $11$ वर्ग मीटर

(C) $21$ वर्ग मीटर

(D) $22$ वर्ग मीटर

प्रश्न 14. $12 \pi$ घन सेमी आयतन वाले गोले की त्रिज्या (सेमी में) है-

(A) $3$

(B) $3\sqrt{3}$

(C) $3^{\frac{2}{3}}$

(D) $3^{\frac{1}{2}}$

प्रश्न 15. एक घन का विकर्ण $\sqrt{12}$ सेमी है तो उसका आयतन (घन सेमी में) है-

(A) $8$

(B) $12$

(C) $24$

(D) $3\sqrt{2}$

प्रश्न 16. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई का योग $20$ सेमी है तथा इसके विकर्ण की लम्बाई $6\sqrt{6}$ सेमी है। इसके सम्पूर्ण पृष्ठों का क्षेत्रफल है-

(A) $400$ सेमी $^{2}$

(B) $184$ सेमी $^{2}$

(C) $616$ सेमी $^{2}$

(D) $216$ सेमी $^{2}$

प्रश्न 17. $2$ सेमी त्रिज्या तथा $3$ सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन में से $2$ सेमी त्रिज्या तथा $3$ सेमी ऊँचाई वाला एक लम्बवृत्तीय शंकु हटा दिया जाये तो शेष बचे भाग का आयतन होगा-

(A) $12 \pi$

(B) $8 \pi$

(C) $6 \pi$

(D) $4 \pi$

प्रश्न 18. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $616$ वर्ग सेमी है। उस वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि गोले का व्यास वर्ग की भुजा का दुगुना है-

(A) $35$ सेमी

(B) $28$ सेमी

(C) $21$ सेमी

(D) $42$ सेमी

प्रश्न 19. दो बेलनों के आधारों की त्रिज्याओं में $2:3$ का अनुपात है और उनकी ऊँचाइयों में $5:3$ का अनुपात है। उनके आयतनों में अनुपात है-

(A) $7:6$

(B) $10:9$

(C) $4:9$ (D) $20:27$

20. किसी घन का आयतन $125$ सेमी $^{3}$ है। इसके एक फलक का क्षेत्रफल है—

(A) $25$ सेमी $^{2}$ (B) $30$ सेमी $^{2}$

(C) $5$ सेमी $^{2}$ (D) $20$ सेमी $^{2}$

21. दो बेलनों का आयतन बराबर है तथा उनकी ऊँचाइयों का अनुपात $1:3$ है। उनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा—

(A) $1:3$ (B) $3:1$

(C) $\sqrt{3}:3$ (D) $\sqrt{3}:1$

22. एक लम्बवृत्तीय शंकु के आधार का व्यास $4$ सेमी तथा उसकी ऊँचाई $2\sqrt{3}$ सेमी है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई होगी—

(A) $5$ सेमी (B) $4$ सेमी

(C) $2\sqrt{3}$ सेमी (D) $3$ सेमी

23. एक गोले का व्यास $6$ सेमी है। गोले का आयतन होगा—

(A) $16 \pi$ घन सेमी (B) $20 \pi$ घन सेमी

(C) $36 \pi$ घन सेमी (D) $30 \pi$ घन सेमी

24. एक बेलन के आधार की त्रिज्या $14$ सेमी तथा ऊँचाई $10$ सेमी है। बेलन का वक्र पृष्ठ होगा—

(A) $810$ सेमी $^{2}$ (B) $880$ सेमी $^{2}$

(C) $888$ सेमी $^{2}$ (D) $890$ सेमी $^{2}$

25. एक शंकु का आयतन $308$ सेमी $^{3}$ और ऊँचाई $6$ सेमी है उसके आधार की त्रिज्या होगी—

(A) $7$ सेमी (B) $8$ सेमी

(C) $6$ सेमी (D) इनमें से कोई नहीं

26. घन के एक पृष्ठ का परिमाप $28$ सेमी है तो घन की भुजा है—

(A) $14$ सेमी (B) $7$ सेमी

(C) $21$ सेमी (D) $10.5$ सेमी

27. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $1014$ वर्ग मीटर है। घन की भुजा होगी—

(A) $6.5$ सेमी (B) $13$ सेमी

(C) $169$ सेमी (D) इनमें से कोई नहीं

28. यदि एक बेलन की ऊँचाई $11$ सेमी तथा उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $968$ सेमी $^{2}$ है तो बेलन की त्रिज्या होगी—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23; प्रश्न बैंक)

(A) $10$ सेमी (B) $11$ सेमी

(C) $12$ सेमी (D) $14$ सेमी

29. भुजा $7$ सेमी. वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास हो सकता है—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक)

(A) $7$ सेमी. (B) $14$ सेमी.

(C) $21$ सेमी. (D) $28$ सेमी.

30. यदि एक गोले का आयतन $36 \pi$ घन सेमी है, तो उसकी त्रिज्या है— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) $3$ सेमी (B) $6$ सेमी

(C) $2$ सेमी (D) $5$ सेमी

31. प्रत्येक $1$ सेमी त्रिज्या वाली धातु की $21$ गोलियों का कुल आयतन कितना होगा? (प्रश्न बैंक)

(A) $\frac{4}{3}$ सेमी $^{3}$ (B) $\frac{81}{21}$ सेमी $^{3}$

(C) $\frac{88}{3}$ सेमी $^{3}$ (D) $88$ सेमी $^{3}$

32. एक घन की भुजा $3.5$ सेमी है तो इसका परिमाप कितना होगा? (प्रश्न बैंक)

(A) $7$ सेमी (B) $9$ सेमी

(C) $42$ सेमी (D) $18$ सेमी

33. घन के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करने का सूत्र है— (प्रश्न बैंक)

(A) $l^{2}$ (B) $l\sqrt{3}$ (C) $l^{3}$ (D) $3l$

(A) $6$ सेमी (B) $3$ सेमी

(C) $10$ सेमी (D) $14$ सेमी

35. $r$ त्रिज्या के गोले का आयतन का सूत्र है— (प्रश्न बैंक)

(A) $4 \pi r^{2}$ (B) $\frac{4}{3} \pi r^{3}$

(C) $\frac{2}{3} \pi r^{3}$ (D) $3 \pi r^{2}$

36. शंकु के छिन्नक के वृत्ताकार भाग की संख्या होती है— (प्रश्न बैंक)

(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$

(A) $972 \pi$ सेमी $^{3}$ (B) $960 \pi$ सेमी $^{3}$

(C) $729 \pi$ सेमी $^{3}$ (D) $348 \pi$ सेमी $^{3}$

38. एक बेलन की त्रिज्या एवं ऊँचाई $7$ सेमी तथा $30$ सेमी है। उसका आयतन होगा- ( प्रश्न बैंक )

(A) $600$ सेमी $^{3}$ (B) $1320$ सेमी $^{3}$

(C) $2310$ सेमी $^{3}$ (D) $4620$ सेमी $^{3}$

उत्तरमाला
1. (C)
2. (A)
3. (B)
4. (D)
5. (D)
6. (B)
7. (D)
8. (D)
9. (B)
10. (D)
11. (B)
12. (A)
13. (D)
14. (C)
15. (A)
16. (B)
17. (B)
18. (B)
19. (D)
20. (A)
21. (D)
22. (B)
23. (C)
24. (B)
25. (A)
26. (B)
27. (B)
28. (D)
29. (A)
30. (A)
31. (D)
32. (C)
33. (B)
34. (C)
35. (B)
36. (B)
37. (A)
38. (D)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
1. एक बेलन के सिरे का क्षेत्रफल $154$ सेमी $^{2}$ तथा इसकी ऊँचाई $21$ सेमी है, बेलन का आयतन .................... होगा। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )
2. एक ठोस अर्द्धगोले का व्यास $14$ सेमी है, तो इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल .................... है। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
3. किसी घन का क्षेत्रफल व आयतन समान है तो घन की भुजा .................... इकाई है।
4. जो वस्तु जितना स्थान घेरती है उसे उस वस्तु का .................... कहते हैं।
5. घन ऐसा घनाभ है जिसके सभी $6$ पृष्ठों के क्षेत्रफल .................... होते हैं।
6. लम्बवृत्तीय बेलन वह समपार्श्व आकृति है जिसका आधार एक .................... होता है।
7. एक गोले की त्रिज्या $3$ सेमी है तो आयतन व क्षेत्रफल का अनुपात .................... होगा।
8. आयतन उन्हीं वस्तुओं का होता है जो .................... होती हैं।
9. दो आधारभूत ठोसों के संयोजन से बने ठोस का आयतन दोनों घटकों के आयतनों के योग के .................... होता है।
10. एक वृत्त को उसके व्यास के इर्द-गिर्द घुमाने पर प्राप्त ठोस आकृति को .................... कहते हैं।
11. किसी आयत के उसकी एक स्थिर भुजा के परित: घुमाने से प्राप्त आकृति लम्बवृत्तीय .................... कहलाती है।
12. अर्द्ध-गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र .................... है। ( प्रश्न बैंक )
13. शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र .................... है। ( प्रश्न बैंक )
14. .................... के आयताकार समतल फलक होते हैं।
15. $12 \pi$ घन सेमी आयतन वाले गोले की त्रिज्या .................... इकाई है।
16. एक शंकु की त्रिज्या $6$ सेमी. व ऊँचाई $8$ सेमी. है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई .................... है। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक )
17. घनाभ के आमने-समाने के फलक .................... होते हैं। ( प्रश्न बैंक )
18. घन के .................... शीर्ष होते हैं। ( प्रश्न बैंक )
19. दो घनों को जोड़ने पर .................... की आकृति प्राप्त होती है। ( प्रश्न बैंक )
20. बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र .................... है। ( प्रश्न बैंक )
उत्तर- 1. $3234$ सेमी $^{3}$ 2. $462cm^{2}$ 3. $6$ 4. आयतन 5. बराबर 6. वृत्त 7. $1:1$ 8. त्रिविमीय 9. बराबर 10. गोला 11. बेलन 12. $3 \pi r^{2}$ 13. $\frac{1}{3} \pi r^{2}h$ 14. घनाभ 15. $(3)^{\frac{2}{3}}$ 16. $10$ सेमी. 17. समान 18. $8$ 19. घनाभ 20. $2 \pi r(h+r)$
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1. यदि एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $864$ वर्ग सेमी है, तो इसके एक फलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
हल- $6 \times (\text{भुजा})^{2}=864$ वर्ग सेमी
$⇒(\text{भुजा})^{2}=\frac{864}{6}=144$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 2. $10$ सेमी भुजा वाले घन के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )
हल— यदि किसी घन की भुजा की लम्बाई $s$ है तो उसके विकर्ण की लम्बाई $=s\sqrt{3}$
यहाँ $s=10$ सेमी
अतः घन के विकर्ण की अभीष्ट लम्बाई $=10\sqrt{3}$ सेमी उत्तर
प्रश्न 3. एक लम्बवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या $5$ सेमी तथा ऊँचाई $12$ सेमी है तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )
हल— $l^{2}=h^{2}+r^{2}$
[शंकु का चित्र जिसमें ऊँचाई h=12 सेमी, त्रिज्या r=5 सेमी और तिर्यक ऊँचाई l अंकित है]
$⇒l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}$
$=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}$
$∴l=13$ सेमी उत्तर
प्रश्न 4. शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र लिखिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )
हल— शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2}h$ जहाँ $r=$ शंकु के आधार की त्रिज्या तथा $h=$ शंकु की ऊँचाई
प्रश्न 5. यदि एक बेलन का आयतन $448 \pi$ सेमी $^{3}$ और ऊँचाई $7$ सेमी है तो बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )
हल— माना बेलन की त्रिज्या $r$ है। यहाँ बेलन की ऊँचाई $(h)=7$ सेमी
बेलन का आयतन $= \pi r^{2}h=448 \pi$ सेमी $^{3}$
या $\pi r^{2}(7)=448 \pi$
या $r^{2}=\frac{448 \pi }{7 \pi }=64$
या $r=8$ सेमी उत्तर
प्रश्न 6. एक लम्बवृत्तीय शंकु और बेलन समान त्रिज्या और समान ऊँचाई के हैं। यदि शंकु का आयतन $66$ घन सेमी है, तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
हल— लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2}h$
समान त्रिज्या व ऊँचाई के बेलन का आयतन $= \pi r^{2}h$
प्रश्नानुसार $\frac{1}{3} \pi r^{2}h=66$
$⇒ \pi r^{2}h=66 \times 3=198$
अतः समान त्रिज्या व ऊँचाई के बेलन का आयतन $198$ घन सेमी है। उत्तर
प्रश्न 7. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक की भुजा $2$ सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
हल— घनाभ की लंबाई $=2$ सेमी $+2$ सेमी $=4$ सेमी
चौड़ाई $=2$ सेमी, ऊँचाई $=2$ सेमी
$∴$ घनाभ का आयतन $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊँचाई
$=4 \times 2 \times 2=16$ घन सेमी उत्तर
प्रश्न 8. यदि एक ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $50 \pi$ वर्ग सेमी है, तो उस अर्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
हल— प्रश्नानुसार, $2 \pi r^{2}=50 \pi$
$⇒r^{2}=\frac{50 \pi }{2 \pi }⇒r^{2}=25$
$⇒r=5$ सेमी उत्तर
प्रश्न 9. यदि एक अर्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $48 \pi$ वर्ग सेमी है तो इसकी त्रिज्या की लम्बाई लिखिए।
हल— यहाँ $3 \pi r^{2}=48 \pi$
$r^{2}=\frac{48 \pi }{3 \pi }=16$
अतः त्रिज्या $=\sqrt{16}=4$ सेमी उत्तर
प्रश्न 10. एक बेलन के आधार की त्रिज्या $7$ सेमी तथा ऊँचाई $5$ सेमी है। बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल लिखिए।
हल— बेलन का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल $=2 \pi rh$
यहाँ $r=7$ सेमी
तथा $h=5$ सेमी
$∴$ वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल $=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 5$ वर्ग सेमी
$=220$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 11. यदि एक गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $36$ सेमी $^{2}$ है तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल— गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}=36$
$r^{2}=\frac{36 \times 7}{4 \times 22}=\frac{63}{22}$
$r^{2}=2.8636$
$r=1.69$ सेमी उत्तर
प्रश्न 12. एक बेलन जिसकी ऊँचाई $3$ सेमी है तथा बेलन का वक्रपृष्ठ $66$ सेमी $^{2}$ है, तो उसकी त्रिज्या लिखिए।
हल— बेलन का वक्र पृष्ठ $=2 \pi rh$
$66=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 3$
$\frac{66 \times 7}{2 \times 22 \times 3}=r$
$r=3.5$ सेमी उत्तर
प्रश्न 13. किसी शंकु की ढालू (तिर्यक) लम्बाई $5$ सेमी तथा ऊँचाई $4$ सेमी है, तो उसका व्यास लिखिए।
हल— $r=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$
$=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
अतः: व्यास $=2 \times 3=6$ सेमी उत्तर
प्रश्न 14. एक आयताकार कागज की लम्बाई $28$ सेमी तथा चौड़ाई $14$ सेमी है। इस कागज को लम्बाई में मोड़ने पर बने बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।
हल— वक्र पृष्ठ $=28 \times 14$
$=392$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 15. एक ठोस गोले का व्यास $6$ सेमी है। गोले का आयतन लिखिए। (उत्तर $\pi$ में दीजिए।)
हल— आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 3$
$=36 \pi$ घन सेमी उत्तर
प्रश्न 16. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $100 \pi$ वर्ग मीटर है। उसकी त्रिज्या लिखिए।
हल— त्रिज्या $=\sqrt{\frac{\text{पृष्ठीय} \text{क्षेत्रफल}}{4 \pi }}$
$=\sqrt{\frac{100 \pi }{4 \pi }}$
$=\sqrt{25}=5$ सेमी उत्तर
प्रश्न 17. एक बेलन और एक शंकु के आधार तथा ऊँचाइयाँ समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिये।
हल— माना शंकु व बेलन के आधार की त्रिज्या $r$ cm और ऊँचाई $h$ cm है।
$∴$ इनके आयतनों का अनुपात $=\frac{\text{बेलन} \text{का} \text{आयतन}}{\text{शंकु} \text{का} \text{आयतन}}$
$=\frac{ \pi r^{2}h}{\frac{1}{3} \pi r^{2}h}=\frac{3}{1}=3:1$ उत्तर
प्रश्न 18. एक लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई और उसकी त्रिज्या समान है। उसके सम्पूर्ण पृष्ठ एवं वक्र पृष्ठ में अनुपात ज्ञात कीजिये।
हल— माना बेलन की ऊँचाई $h$ और उसकी त्रिज्या $r$ है।
$∴h=r$ दिया है।
अतः: $\frac{\text{बेलन} \text{का} \text{सम्पूर्ण} \text{पृष्ठ}}{\text{बेलन} \text{का} \text{वक्र} \text{पृष्ठ}}=\frac{2 \pi r(h+r)}{2 \pi rh}$
$=\frac{h+r}{h}=\frac{r+r}{r}$
$=\frac{2r}{r}=\frac{2}{1}=2:1$ उत्तर
प्रश्न 19. एक ठोस अर्द्धगोले की त्रिज्या $7$ cm है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— $r=7$ cm
अतः: अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ $=3 \pi r^{2}$
$=3 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$=66 \times 7=462$ cm $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 20. एक ठोस अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $462$ वर्ग सेमी है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल— अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=3 \pi r^{2}$
मान रखने पर $462=3 \times \frac{22}{7} \times r^{2}$
इसलिए $r^{2}=\frac{462 \times 7}{3 \times 22}=\frac{21 \times 7}{3}=7 \times 7$
$r^{2}=49$
$∴r=\sqrt{49}=7$ सेमी
अतः: अर्द्धगोले की त्रिज्या $=7$ सेमी उत्तर
प्रश्न 21. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल $154$ वर्ग सेमी तथा ऊँचाई $21$ सेमी है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिये।
हल— बेलन के आधार का क्षेत्रफल $=154$ वर्ग सेमी
बेलन की ऊँचाई $(h)=21$ सेमी
बेलन का आयतन $=$ आधार का क्षे. $\times$ ऊँचाई
$=154 \times 21$
$=3234$ घन सेमी उत्तर
प्रश्न 22. एक बेलन की ऊँचाई $11$ सेमी तथा उसका वक्र पृष्ठ $968$ सेमी $^{2}$ है। बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिये। ( प्रश्न बैंक )
हल— बेलन की ऊँचाई $h=11$ सेमी
माना कि बेलन की त्रिज्या $=r$
बेलन का वक्र पृष्ठ $=2 \pi rh=968$
या $2 \times \frac{22}{7} \times r \times 11=968$
$r=\frac{968 \times 7}{2 \times 22 \times 11}=14$ सेमी उत्तर
प्रश्न 23. एक अर्धगोले की त्रिज्या $3.5$ सेमी है। इसका आयतन लिखिये।
हल— अर्धगोले का आयतन
$=\frac{2}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^{3}$
$=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5$
$=89.83$ घन सेमी
प्रश्न 24. $14$ सेमी त्रिज्या के गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक )
हल— त्रिज्या $(r)=14$ सेमी
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$
$=4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$
$=4 \times 22 \times 2 \times 14$
$=2,464$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 25. एक बेलन की ऊँचाई $11$ सेमी एवं उसका वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $968$ वर्ग सेमी है तो बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )
हल— दिया है—बेलन की ऊँचाई $(h)=11$ सेमी
वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi rh=968$ वर्ग सेमी
आधार की त्रिज्या $(r)=?$
प्रश्नानुसार
$968=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 11$
$∴r=\frac{968 \times 7}{2 \times 22 \times 11}=14$ सेमी उत्तर
प्रश्न 26. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $1014$ वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )
हल— घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6 \times (\text{भुजा})^{2}$
$∴(\text{भुजा})^{2}=\frac{\text{घन} \text{का} \text{सम्पूर्ण} \text{पृष्ठीय} \text{क्षेत्रफल}}{6}$
$=\frac{1014}{6}=169$
$∴$ घन की भुजा $=\sqrt{169}=13$ मीटर उत्तर
प्रश्न 27. $7$ सेमी त्रिज्या के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )
हल— गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$
$=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$=88 \times 7=616$ वर्ग सेमी. उत्तर
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. एक बन्द लकड़ी के बक्से की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $90$ सेमी, $50$ सेमी और $30$ सेमी हैं। बक्से का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— दिया है $L=90$ सेमी
$B=50$ सेमी
$H=30$ सेमी
बक्से का बाहरी सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=2(L \times B+B \times H+H \times L)$
$=2(90 \times 50+50 \times 30+30 \times 90)$
$=2[4500+1500+2700]$
$=2(8700)$ वर्ग सेमी
$=17400$ वर्ग सेमी
$=\frac{17400}{10000}=1.74$ वर्ग मीटर
प्रश्न 2. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $1014$ वर्ग मीटर है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
280 संजीब बुक्स
हल—दिया गया है।
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=1014$ वर्ग मीटर
माना घन की भुजा $=x$ मीटर
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6(\text{भुजा})^{2}$
$∴6x^{2}=1014$
या $x^{2}=\frac{1014}{6}=169$
या $x=\sqrt{169}=13$ मीटर
घन का आयतन $=(\text{भुजा})^{3}=13 \times 13 \times 13=2,197$ घन मीटर। उत्तर
प्रश्न 3. यदि घनाभ की लम्बाई $12$ मीटर, चौड़ाई $9$ मीटर और ऊँचाई $8$ मीटर है तो घनाभ के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल— घनाभ की लम्बाई $=12$ मीटर
घनाभ की चौड़ाई $=9$ मीटर
घनाभ की ऊँचाई $=8$ मीटर
हम जानते हैं घनाभ का विकर्ण $=\sqrt{(\text{लम्बाई})^{2}+(\text{चौड़ाई})^{2}+(\text{ऊँचाई})^{2}}$
$=\sqrt{(12)^{2}+(9)^{2}+(8)^{2}}$
$=\sqrt{144+81+64}=\sqrt{289}$
$=17$ मीटर उत्तर
प्रश्न 4. घन के एक पृष्ठ का परिमाप $28$ सेमी है तो घन का आयतन ज्ञात कीजिये।
हल— घन के एक पृष्ठ का परिमाप $=28$ सेमी
$∵$ घन की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
$∴$ घन के एक पृष्ठ का परिमाप $=4 \times \text{भुजा}$
या $28=4 \times \text{भुजा}$
या भुजा $=\frac{28}{4}=7$ सेमी
घन का आयतन $=(\text{भुजा})^{3}=(7)^{3}=7 \times 7 \times 7=343$ घन सेमी उत्तर
प्रश्न 5. धातु के तीन समान घनों की कोर क्रमशः $3$ सेमी., $4$ सेमी., $5$ सेमी. है। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया गया है। इस घन की कोर की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल— हम जानते हैं घन का आयतन $=(\text{भुजा})^{3}$
$∴$ तीनों घनों के आयतनों का योग $=(3)^{3}+(4)^{3}+(5)^{3}$
$=27+64+125=216$ सेमी $^{3}$
अतः प्रश्नानुसार नये घन का आयतन $=216$ सेमी $^{3}$
$∴$ नये घन की भुजा $=\sqrt[3]{\text{आयतन}}$
$=\sqrt[3]{216}=(6 \times 6 \times 6)^{\frac{1}{3}}=(6^{3})^{\frac{1}{3}}$
$=6^{3 \times \frac{1}{3}}=6^{1}=6$ सेमी
अतः नये घन की कोर $=6$ सेमी उत्तर
प्रश्न 6. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल $154$ वर्ग सेमी तथा ऊँचाई $21$ सेमी है। बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— हम जानते हैं बेलन का आधार एक वृत्त होता है। इसलिये वृत्त का क्षेत्रफल $=154$ वर्ग सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$
या $154=\frac{22}{7} \times r^{2}$
या $r^{2}=\frac{154 \times 7}{22}$
या $r=\sqrt{49}=7$ सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi rh$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 21$
$∵h=21$ दिया है।
$=2 \times 22 \times 21=924$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 7. एक रोलर की लम्बाई $2$ मीटर और व्यास $1.4$ मीटर है। ज्ञात कीजिये $5$ चक्कर लगाने में रोलर कितना क्षेत्रफल समतल करेगा?
हल— रोलर की लम्बाई $=2$ मीटर
रोलर का व्यास $=1.4$ मीटर
$∴$ रोलर की त्रिज्या $=\frac{1.4}{2}=0.7$ मीटर
रोलर के $1$ चक्कर लगाने में समतल किया क्षेत्रफल $=\text{वक्रपृष्ठ} \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$∴2 \pi rh=2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2=8.8$ वर्गमीटर
$∴5$ चक्कर लगाने में समतल किया क्षेत्रफल $=8.8 \times 5=44$ वर्ग मीटर उत्तर
प्रश्न 8. एक शंकु के आधार का व्यास $12$ मीटर और तिर्यक ऊँचाई $10$ मीटर है। शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल—शंकु के आधार का व्यास $=12$ मीटर
$∴$ शंकु की त्रिज्या $(r)=\frac{12}{2}=6$ मीटर
और शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)=10$ मीटर
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi (l+r)r$
$=\frac{22}{7}(10+6) \times 6$
$=\frac{22 \times 16 \times 6}{7}=\frac{2112}{7}$
$=301.71$ वर्ग मीटर
अतः शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=301.71$ वर्ग मीटर उत्तर
प्रश्न 9. यदि एक शंकु का वक्रपृष्ठ $2035$ वर्ग सेमी और आधार का व्यास $35$ सेमी हो तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल—दिया है
शंकु का वक्रपृष्ठ $= \pi rl=2035$ $cm^{2}$
$∴$ शंकु की त्रिज्या $(r)=\frac{35}{2}=17.5$ सेमी
$∴2035=\frac{22}{7} \times 17.5 \times l$
या $2035=22 \times 2.5 \times l$
या $l=\frac{2035}{22 \times 2.5}=\frac{2035}{55}$
$l=37$ सेमी
अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)=37$ सेमी उत्तर
प्रश्न 10. एक अर्ध गोले की त्रिज्या $3.5$ सेमी है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल—अर्ध गोले की त्रिज्या $(r)=3.5$ सेमी
अर्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=3 \pi r^{2}$
$=3 \times \frac{22}{7} \times (3.5)^{2}$
$=3 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$
$=3 \times 22 \times 0.5 \times 3.5$
$=115.5$ $cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 11. एक दीवार की लम्बाई $5$ मीटर, चौड़ाई $30$ सेमी व ऊँचाई $3$ मीटर है। दीवार बनाने में $20$ सेमी $\times 10$ सेमी $\times 7.5$ सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )
हल—दीवार का आयतन
$=\text{ल}. \times \text{चौ}. \times \text{ऊँचाई}$
$=5$ मीटर $\times 30$ सेमी $\times 3$ मीटर
$=500$ सेमी $\times 30$ सेमी $\times 300$ सेमी
एक ईंट का आयतन
$=\text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई}$
$=20$ सेमी $\times 10$ सेमी $\times 7.5$ सेमी
ईंटों की संख्या $=\frac{\text{दीवार} \text{का} \text{आयतन}}{\text{एक} \text{ईंट} \text{का} \text{आयतन}}$
$=\frac{500 \text{सेमी} \times 30 \text{सेमी} \times 300 \text{सेमी}}{20 \text{सेमी} \times 10 \text{सेमी} \times 7.5 \text{सेमी}}$
$=3000$ उत्तर
प्रश्न 12. एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल $154$ $cm^{2}$ है तथा इसकी ऊँचाई $15$ सेमी है, इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )
हल—बेलन के आधार का क्षेत्रफल $=154$ $cm^{2}$
प्रश्नानुसार $154= \pi r^{2}$
चूँकि बेलन का आधार वृत्त होता है।
$154=\frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2}=\frac{154 \times 7}{22}$
अर्थात् $r=7$ सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठ $=2 \pi rh$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 15$
$=2 \times 22 \times 15$
$=660$ वर्ग सेमी. उत्तर
प्रश्न 13. धातु के एक ठोस शंकु की ऊँचाई $24$ सेमी और आधार की त्रिज्या $6$ सेमी है। इसे पिघलाकर एक गोले में बदल दिया गया। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )
हल—ठोस शंकु को पिघलाकर गोले में बदल दिया गया है।
$∴$ गोले का आयतन $=$ ठोस शंकु का आयतन
$⇒\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{1}{3} \pi r^{2}h$
$⇒\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{1}{3} \times \pi \times 6 \times 6 \times 24$
$⇒R^{3}=\frac{6 \times 6 \times 24}{4}$
$⇒R^{3}=6 \times 6 \times 6⇒R=6$ सेमी
अतः गोले की त्रिज्या $6$ सेमी है। उत्तर
प्रश्न 14. एक गोले की त्रिज्या $8$ सेमी है। इससे $8$ मिमी त्रिज्या की कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं? ( प्रश्न बैंक )
हल— माना $8$ मिमी त्रिज्या की $n$ गोलियाँ बनाई जा सकती हैं।
$∴n$ गोलियों का आयतन = गोले का आयतन
$∴n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{4}{3} \pi R^{3}$
$⇒n=\frac{R^{3}}{r^{3}}$
$⇒n=\frac{8 \times 8 \times 8 \times 10 \times 10 \times 10}{8 \times 8 \times 8}$
$∵1$ cm $=10$ mm
$⇒n=1000$
अतः $8$ मिमी त्रिज्या की $1000$ गोलियाँ बनाई जा सकती हैं। उत्तर
प्रश्न 15. त्रिज्या $4.2$ सेमी वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या $6$ सेमी वाले एक बेलन के रूप में ढाला जा सकता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
$∴$ बेलन का आयतन = गोले का आयतन
$⇒ \pi r_{1}^{2}h=\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}$
$⇒6 \times 6 \times h=\frac{4}{3} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2$
$⇒h=\frac{4}{3} \times \frac{4.2 \times 4.2 \times 4.2}{6 \times 6}$
$=2.74$ सेमी उत्तर
दीर्घउत्तरीय प्रश्न—
प्रश्न 1. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन $27$ सेमी $^{3}$ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि घन की प्रत्येक भुजा $=x$ सेमी है।
घन का आयतन $=27$ cm $^{3}$
$⇒x^{3}=27$
$⇒x=\sqrt[3]{27}$
$=\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3}$
$x=3$ cm
$∴$ घन की भुजा $=3$ cm
$∵$ दोनों घनों को जोड़ने पर वह घनाभ बन जाएगा।
इसकी
लम्बाई $=2x$ cm $=2 \times 3=6$ cm
चौड़ाई $=x=3$ cm
तथा ऊँचाई $=x=3$ cm
अब घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=2$ [ल. $\times$ चौ. $+$ चौ. $\times$ ऊँ. $+$ ऊँ. $\times$ ल.]
$=2[6 \times 3+3 \times 3+3 \times 6]$
$=2[18+9+18]$
$=2[45]$
$=90$ cm $^{2}$
अर्थात् घनाभ का क्षेत्रफल $90$ cm $^{2}$ है। उत्तर
प्रश्न 2. यदि एक बेलन का आयतन $448 \pi$ घन सेमी और ऊँचाई $7$ सेमी है तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— दिया है :
बेलन का आयतन $=448 \pi$ घन सेमी
बेलन की ऊँचाई $h=7$ सेमी
बेलन का आयतन $= \pi r^{2}h$
या $448 \pi = \pi r^{2} \times 7$
या $r^{2}=\frac{448 \pi }{7 \pi }=64$
या $r=\sqrt{64}=8$ सेमी
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r(h+r)$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 8(7+8)$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times 15=\frac{5280}{7}$
$=754.28$ वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 3. एक खोखले बेलन की ऊँचाई $21$ डेसी मीटर है तथा इसके बाह्य व्यास व अन्तःव्यास क्रमशः $10$ सेमी व $6$ सेमी है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिये।
हल— दिया है $h=21$ डेसी मीटर
$=21 \times 10=210$ सेमी
[ $∵10$ सेमी $=1$ डेसी मीटर]
$r_{1}=\frac{10}{2}=5$ सेमी
$r_{2}=\frac{6}{2}=3$ सेमी
खोखले बेलन का आयतन $= \pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2}) \times h$
$=\frac{22}{7}[(5)^{2}-(3)^{2}] \times 210$
$=\frac{22}{7}[25-9] \times 210$
$=\frac{22}{7} \times 16 \times 210$
$=10560$ घन सेमी उत्तर
प्रश्न 4. एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $1:3$ है। यदि बेलन का आयतन $3234$ सेमी $^{3}$ है। तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल— माना बेलन की त्रिज्या $r$ तथा ऊँचाई $3r$ है।
बेलन का आयतन $= \pi r^{2}h$
$=\frac{22}{7} \times r^{2} \times 3r=3234$
या $r^{3}=\frac{3234 \times 7}{22 \times 3}=343$
या $r=(343)^{\frac{1}{3}}=(7^{3})^{\frac{1}{3}}$
$=7^{3 \times \frac{1}{3}}=7^{1}=7$ सेमी
अतः बेलन की ऊँचाई $=3 \times 7=21$ सेमी
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r(h+r)$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 7(21+7)$
$=2 \times 22 \times 28$
$=1232$ सेमी $^{2}$ उत्तर
प्रश्न 5. किसी शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $5:12$ और आयतन $2512$ घन सेमी है तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिये। ( $\pi =3.14$ लीजिये)
हल— शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $=5:12$
शंकु की त्रिज्या $(r)=5x$ सेमी
शंकु की ऊँचाई $(h)=12x$ सेमी
शंकु का आयतन $=2512$ घन सेमी
$∴\frac{1}{3} \pi r^{2}h=2512$
$⇒\frac{1}{3} \times 3.14 \times (5x)^{2} \times 12x=2512$
$⇒\frac{1}{3} \times 3.14 \times 25x^{2} \times 12x=2512$
$⇒3.14 \times 25x^{2} \times 4x=2512$
या $314x^{3}=2512$
या $x^{3}=\frac{2512}{314}=8$
या $x=(8)^{\frac{1}{3}}=(2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{3}}=(2^{3})^{\frac{1}{3}}$
$x=2^{3 \times \frac{1}{3}}=2^{1}=2$
अतः शंकु की त्रिज्या $=5 \times 2=10$ सेमी
शंकु की ऊँचाई $=12 \times 2=24$ सेमी उत्तर
प्रश्न 6. एक शंकु के आकार के टेन्ट की ऊँचाई $14$ मीटर है तथा आधार का क्षेत्रफल $346.5$ मीटर $^{2}$ है। यह टेन्ट $1.5$ मीटर चौड़े केनवास से बना हुआ है तो केनवास की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल— दिया है :
शंकु के आकार के टेन्ट की ऊँचाई $(h)=14$ मीटर
तथा त्रिज्या $(r)=r$ मीटर
शंकु के आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$
आधार का क्षेत्रफल $=346.5$ मीटर $^{2}$
$\frac{22}{7} \times r^{2}=346.5$
या $r^{2}=\frac{346.5 \times 7}{22}=110.25$
$r=10.5$ मीटर
टेन्ट की तिर्छी लम्बाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$
$=\sqrt{(10.5)^{2}+(14)^{2}}=\sqrt{110.25+196}$
$=\sqrt{306.25}=17.5$ मीटर
केनवास का क्षेत्रफल $=$ टेन्ट के तिर्यक पृष्ठ का क्षेत्रफल
$= \pi rl$
$=\frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5$
$=577.5$ मीटर $^{2}$
केनवास की लम्बाई $=\frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}}$
$=\frac{577.5}{1.5}$
$=385$ मीटर उत्तर
प्रश्न 7. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $4:9$ है। उनकी त्रिज्याओं एवं आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिये।
हल— माना दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r_{1}^{2}$ तथा $4 \pi r_{2}^{2}$ है।
गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात
$=\frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}=\frac{4}{9}$
$⇒\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{4}{9}$
$⇒\frac{r_{1}}{r_{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात
$=\frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}$
$⇒(\frac{r_{1}}{r_{2}})^{3}=(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$
$=8:27$ उत्तर
निबन्धात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. $10$ सेमी भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र को पेंट करवाने का $5$ प्रति $100$ वर्ग सेमी की दर से व्यय ज्ञात कीजिए। [ $\pi =3.14$ लीजिए]
हल— अर्द्ध गोले का अधिकतम व्यास = घन की भुजा की लम्बाई $(l)=10$ सेमी
$∴$ अर्द्ध गोले की त्रिज्या $(r)=5$ सेमी
ठोस का सम्पूर्ण क्षेत्रफल = घन का $TSA$ - अर्द्ध गोले के आधार का क्षेत्रफल + अर्द्ध गोले का $CSA$
$=6a^{2}- \pi r^{2}+2 \pi r^{2}$
$=6 \times 10 \times 10-3.14 \times (5)^{2}+2 \times 3.14 \times (5)^{2}$ $cm^{2}$
$=600-78.5+157$ $cm^{2}$
$=678.5$ $cm^{2}$
$∴$ ठोस को पेंट करवाने का व्यय $=678.5 \times \frac{5}{100}=33.90$ उत्तर
प्रश्न 2. $7$ सेमी व्यास वाला एक गोला पानी से आंशिक भरे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है। बर्तन के आधार का व्यास $14$ सेमी है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूबा हो, तो पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जायेगा?
हल— गोले का व्यास $=7$ सेमी
$∴$ गोले की त्रिज्या $=\frac{7}{2}=3.5$ सेमी
$∴$ गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{4}{3} \pi \times (3.5)^{3}$ घन सेमी ...(i)
पुन: बेलनाकार बर्तन के आधार का व्यास $=14$ सेमी
$∴$ त्रिज्या $(r)=\frac{14}{2}=7$ सेमी
$∴$ बेलन का आयतन $= \pi r^{2}h= \pi (7)^{2} \times h$ ...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को बराबर करने पर
$\pi (7)^{2} \times h=\frac{4}{3} \pi \times (3.5)^{3}$
$h=\frac{4}{3} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 3.5}{7 \times 7}$
$=\frac{4}{3} \times 0.5 \times 0.5 \times 3.5$
$=\frac{4}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{35}{10}$
$=\frac{35}{30}=\frac{7}{6}$ सेमी
अतः गोला डालने पर पानी का स्तर $\frac{7}{6}$ सेमी ऊपर उठ जायेगा। उत्तर
प्रश्न 3. एक ठोस बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरे अर्द्ध गोलाकार हैं। ठोस की कुल लम्बाई $20$ cm है तथा बेलन का व्यास $7$ cm है। ठोस का
कुल आयतन ज्ञात कीजिए। ( $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिए)
हल—माना $PQRS$ एक ठोस बेलन है जिसके दोनों सिरों पर दो एक समान अर्द्धगोले हैं।
[बेलन जिसके दोनों सिरों पर अर्द्धगोले लगे हैं]
बेलन का व्यास $2r=7 cm$
ठोस की कुल लम्बाई $=20 cm$
$∴PQ$ की लम्बाई $=20-2r$
$=20-2 \times \frac{7}{2}$
$=13 cm$
बेलन $PQRS$ का आयतन $= \pi r^{2}h$
$=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 13$
$=500.50 cm^{3}$
दोनों अर्द्धगोलों का आयतन $=2 \times \frac{2}{3} \pi r^{3}$
$=2 \times \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$
$=179.67 cm^{3}$
$∴$ ठोस का कुल आयतन $=$ बेलन $PQRS$ का आयतन $+$ दोनों अर्द्धगोलों का आयतन
$=500.50+179.67$
$=680.17 cm^{3}$ उत्तर
प्रश्न 4. रशीद को जन्मदिन के उपहार के रूप में एक लट्टू मिला, जिस पर रंग नहीं किया गया था। वह इस पर अपने मोमिया रंगों (Crayons) से रंग करना चाहता है। यह लट्टू एक शंकु के आकार का है जिसके ऊपर एक अर्द्धगोला अध्यारोपित है (देखिए आकृति में)। लट्टू की पूरी ऊँचाई $5 cm$ है और इसका व्यास $3.5 cm$ है। उसके द्वारा रंग किए जाने वाला क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिए)
[शंकु के ऊपर अर्द्धगोला (लट्टू)]
हल—लट्टू का $TSA=$ अर्द्धगोले का $CSA+$ शंकु का $CSA$
अब, अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}(4 \pi r^{2})=2 \pi r^{2}$
$=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2} cm^{2}$
साथ ही, शंकु की ऊँचाई $=$ लट्टू की ऊँचाई $-$ अर्द्धगोलीय भाग की ऊँचाई (त्रिज्या)
$=5-\frac{3.5}{2} cm=3.25 cm$
अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई
$(l)=\sqrt{(r)^{2}+(h)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{3.5}{2}^{2}+(3.25)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{12.25}{4}+10.5625}$
$=\sqrt{\frac{12.25+42.25}{4}}$
$=\sqrt{\frac{54.5}{4}}=3.7 cm$ लगभग
$∴$ शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl$
$=\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 3.7 cm^{2}$
$∴$ लट्टू का पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2}+\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 3.7$
$=\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2}(3.5+3.7)$
$=\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 7.2$
$=\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.6=39.6 cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 5. आकृति में दर्शाया गया सजावट के लिए प्रयोग होने वाला ब्लॉक दो ठोसों से मिलकर बना है। इनमें से एक घन है और दूसरा अर्द्ध-गोला है। इस ब्लॉक (block) का आधार $5 cm$ कोर या किनारे (edge) वाला एक घन है और उसके ऊपर लगे हुए अर्द्धगोले का
व्यास $4.2 cm$ है। इस ब्लॉक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिए।)
[A cube with a hemisphere on top]
हल—घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=6 \times (\text{कोर})^{2}=6 \times 5 \times 5 cm^{2}=150 cm^{2}$
अब, घन का वह भाग जिस पर अर्द्धगोला लगा हुआ है, पृष्ठीय क्षेत्रफल में सम्मिलित नहीं होगा।
अतः ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का $TSA-\text{अर्द्धगोले} \text{के} \text{आधार} \text{का} \text{क्षेत्रफल}+\text{अर्द्धगोले} \text{का} CSA$
$=150- \pi r^{2}+2 \pi r^{2}=(150+ \pi r^{2}) cm^{2}$
$=150 cm^{2}+\frac{22}{7} \times \frac{4.2}{2} \times \frac{4.2}{2} cm^{2}$
$∵\text{व्यास}=4.2 cm$
$∴\text{त्रिज्या}=\frac{4.2}{2} cm$
$=150 cm^{2}+13.86 cm^{2}=163.86 cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 6. लकड़ी का एक खिलौना रॉकेट (rocket) एक शंकु के आकार का है जो एक बेलन पर अध्यारोपित है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। सम्पूर्ण रॉकेट की ऊँचाई $26 cm$ है, जबकि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $6 cm$ है। शंक्वाकार के भाग के आधार का व्यास $5 cm$ और बेलनाकार भाग के आधार का व्यास $3 cm$ है। यदि शंक्वाकार भाग पर नारंगी रंग किया जाना है और बेलनाकार भाग पर पीला रंग किया जाना है, तो प्रत्येक रंग द्वारा रॉकेट का रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi =3.14$ लीजिए।)
[A rocket shape consisting of a cone on top of a cylinder]
हल : शंकु की त्रिज्या को $r$ से, शंकु की तिर्यक ऊँचाई को $l$ से, शंकु की ऊँचाई को $h$ से, बेलन की त्रिज्या को $r^{'}$ से, बेलन की ऊँचाई को $h^{'}$ से व्यक्त करें। तब,
$r=2.5 cm$ , $h=6 cm$ , $r^{'}=1.5 cm$ , $h^{'}=26-6=20 cm$ तथा
$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} cm=6.5 cm$
यहाँ, शंक्वाकार भाग का वृत्तीय आधार बेलन के आधार पर टिका हुआ है परन्तु शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है। अतः, शंकु के आधार के एक भाग [वलय (ring)] को भी रंगा जाएगा।
अतः नारंगी रंग से रंगे भाग का क्षेत्रफल
$=\text{शंकु} \text{का} CSA+\text{शंकु} \text{के} \text{आधार} \text{का} \text{क्षेत्रफल}-\text{बेलन} \text{के} \text{आधार} \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$= \pi rl+ \pi r^{2}- \pi (r^{'})^{2}$
$= \pi [(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}] cm^{2}$
$= \pi [20.25] cm^{2}=3.14 \times 20.25 cm^{2}$
$=63.585 cm^{2}$
अब, पीले रंग से रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल
$=\text{बेलन} \text{का} CSA+\text{बेलन} \text{के} \text{एक} \text{आधार} \text{का} \text{क्षेत्रफल}$
$=2 \pi r^{'}h^{'}+ \pi (r^{'})^{2}$
$= \pi r^{'}(2h^{'}+r^{'})$
$=3.14 \times 1.5[2 \times 20+1.5] cm^{2}$
$=4.71 \times 41.5 cm^{2}$
$=195.465 cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 7. मयंक ने अपने बगीचे के लिए एक पक्षी-स्नानागार (bird-bath) बनाया जिसका आकार एक खोखले बेलन जैसा है जिसके एक सिरे पर अर्द्धगोलाकार बर्तन बना हुआ है (देखिए आकृति में)। बेलन की ऊँचाई $1.45 m$ है और उसकी त्रिज्या $30 cm$ है। इस पक्षी-स्नानागार का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[बेलनाकार पात्र जिसके ऊपर अर्धगोलाकार भाग है]
हल—माना कि बेलन की ऊँचाई $h$ है तथा बेलन और अर्द्धगोले की उभयनिष्ठ त्रिज्या $r$ है। तब,
पक्षी-स्नानागार का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
$=\text{बेलन} \text{का} CSA+\text{अर्द्धगोले} \text{का} CSA$
$=2 \pi rh+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r)$
मान रखने पर
जहाँ पर $h=1.45 m=145 cm$
$r=30 cm$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 30(145+30) cm^{2}$
$=33000 cm^{2}=3.3 m^{2}$
$=∵1m^{2}=10000 cm^{2}$ उत्तर
प्रश्न 8. एक जूस (juice) बेचने वाला अपने ग्राहकों को आकृति में दर्शाए गिलासों से जूस देता था। बेलनाकार गिलास का आन्तरिक व्यास $5 cm$ था, परन्तु गिलास के निचले आधार (तली) में एक उभरा हुआ अर्द्धगोला था, जिससे गिलास की धारिता कम हो जाती थी। यदि एक गिलास की ऊँचाई $10 cm$ थी, तो गिलास की आभासी (apparent) धारिता तथा उसकी वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए। ( $\pi =3.14$ लीजिए।)
[बेलनाकार गिलास जिसके आधार में अर्धगोलाकार उभार है]
हल— $∵$ गिलास का आन्तरिक व्यास $=5 cm$ है और ऊँचाई $=10 cm$ है
$∴$ गिलास की आभासी धारिता $= \pi r^{2}h$
$=3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 cm^{3}=196.25 cm^{3}$
परन्तु इसकी वास्तविक धारिता उपरोक्त धारिता से आधार में बने अर्द्धगोले के आयतन के बराबर कम है।
अर्थात् कमी बराबर है $\frac{2}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 cm^{3}=32.71 cm^{3}$
अतः गिलास की वास्तविक धारिता
$=\text{आभासी} \text{धारिता}-\text{अर्द्धगोले} \text{का} \text{आयतन}$
$=(196.25-32.71) cm^{3}$
$=163.54 cm^{3}$
प्रश्न 9. शांता किसी शेड (shed) में एक उद्योग चलाती है। यह शेड एक घनाभ के आकार का है जिस पर एक अर्द्धबेलन आरोपित है (देखिए आकृति)। यदि इस शेड के आधार की विमाएँ $7m \times 15m$ हैं तथा घनाभाकार भाग की ऊँचाई $8m$ है तो शेड में समावेशित हो सकने वाली हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। पुनः यदि यह मान लें कि शेड में रखी मशीनरी $300 m^{3}$ स्थान घेरती है तथा शेड के अंदर $20$ श्रमिक हैं जिनमें से प्रत्येक $0.08m^{3}$ के औसत से स्थान घेरता है तब शेड में कितनी हवा होगी? ( $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिए।)
[घनाभ के ऊपर अर्धबेलनाकार छत वाला शेड]
हल—शेड के अंदर हवा का आयतन (जब इसमें कोई व्यक्ति या मशीनरी नहीं है) घनाभ के अन्दर की हवा और अर्द्धबेलन के अन्दर की हवा के आयतनों को मिला कर प्राप्त होगा। अब, घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15m,7m$ और $8m$ हैं। साथ ही, अर्द्धबेलन का व्यास $7m$ और ऊँचाई $15m$ है।
$∴$ वांछित आयतन $=\text{घनाभ} \text{का} \text{आयतन}+\frac{1}{2}\text{बेलन} \text{का} \text{आयतन}$
सभी का मान रखने पर
$=15 \times 7 \times 8+\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 15m^{3}=1128.75 m^{3}$
आगे, मशीनरी द्वारा घेरा गया स्थान $=300 m^{3}$
तथा $20$ श्रमिकों द्वारा घेरा गया स्थान $=20 \times 0.08 m^{3}=1.6 m^{3}$
अतः, शेड में उस समय हवा का आयतन, जब उसमें मशीनरी और श्रमिक हैं
$=1128.75-(300.00+1.60)=827.15 m^{3}$

RBSE Class 10 Maths Chapter 12 Solutions in Hindi — पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन | पासबुक हल, नोट्स

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बहुपद

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समान्तर श्रेढ़ियाँ

त्रिभुज

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिकोणमिति का परिचय

1. (C)	2. (A)	3. (B)	4. (D)	5. (D)
6. (B)	7. (D)	8. (D)	9. (B)	10. (D)
11. (B)	12. (A)	13. (D)	14. (C)	15. (A)
16. (B)	17. (B)	18. (B)	19. (D)	20. (A)
21. (D)	22. (B)	23. (C)	24. (B)	25. (A)
26. (B)	27. (B)	28. (D)	29. (A)	30. (A)
31. (D)	32. (C)	33. (B)	34. (C)	35. (B)
36. (B)	37. (A)	38. (D)