⚡ त्वरित नेविगेशन (Jump Directly to Section)

📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

अध्याय-13 सांख्यिकी

SECTION_SOLUTIONS_START: 1. समाधान: प्रश्नावली हल (Complete Solutions)

#### प्रश्नावली 13.1

1. विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पौधों की संख्या	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14
घरों की संख्या	1	2	1	5	6	2	3

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?

हल— क्योंकि पौधों की संख्या और घरों की संख्या मानों में कम है, इसलिए हमें प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करना चाहिए।

पौधों की संख्या	घरों की संख्या ( $f_{i}$ )	वर्ग चिह्न ( $x_{i}$ )	$f_{i}x_{i}$
0-2	1	1	1
2-4	2	3	6
4-6	1	5	5
6-8	5	7	35
8-10	6	9	54
10-12	2	11	22
12-14	3	13	39
योग	$\sum f_{i}=20$		$\sum f_{i}x_{i}=162$

$∵$ माध्य $(X)=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

$∴(X)=\frac{162}{20}=8.1$

अतः, प्रति घर पौधों की संख्या का माध्य $8.1$ पौधे है। उत्तर

2. किसी फैक्टरी के $50$ श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

दैनिक मजदूरी (रूपयों में)	$500-520$	$520-540$	$540-560$	$560-580$	$580-600$
श्रमिकों की संख्या	$12$	$14$	$8$	$6$	$10$

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।

हल—

दैनिक मजदूरी (रूपयों में)	श्रमिकों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-550}{20}$	$f_{i}u_{i}$
$500-520$	$12$	$510$	$-2$	$-24$
$520-540$	$14$	$530$	$-1$	$-14$
$540-560$	$8$	$550$	$0$	$0$
$560-580$	$6$	$570$	$1$	$6$
$580-600$	$10$	$590$	$2$	$20$
	$\sum f_{i}=50$			$\sum f_{i}u_{i}=-12$

माना कि कल्पित मान $(a)=550$ और वर्ग माप $(h)=20$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-12}{50}=-0.24$

$∵$ माध्य $(X)=a+hu$

$=550+(20)(-0.24)$

$=550-4.8=545.2$

अतः फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी $545.20$ रु. है। उत्तर

3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों का दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च $18$ रु. है। लुप्त बारम्बारता $f$ ज्ञात कीजिए।

दैनिक जेब भत्ता (रूपयों में)	$11-13$	$13-15$	$15-17$	$17-19$	$19-21$	$21-23$	$23-25$
बच्चों की संख्या	$7$	$6$	$9$	$13$	$f$	$5$	$4$

हल—

दैनिक जेब भत्ता (रूपयों में)	बच्चों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i}=x_{i}-a$ या $d_{i}=x_{i}-18$	$f_{i}d_{i}$
$11-13$	$7$	$12$	$-6$	$-42$
$13-15$	$6$	$14$	$-4$	$-24$
$15-17$	$9$	$16$	$-2$	$-18$
$17-19$	$13$	$18$	$0$	$0$
$19-21$	$f$	$20$	$2$	$2f$
$21-23$	$5$	$22$	$4$	$20$
$23-25$	$4$	$24$	$6$	$24$
योग	$\sum f_{i}=f+44$			$\sum f_{i}d_{i}=2f-40$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=18$

$∵$ माध्य $(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}$

$X=18+\frac{2f-40}{44+f}$

परन्तु आँकड़ों का माध्य $X=18$ (प्रश्नानुसार)

$∴18=18+\frac{2f-40}{44+f}$

या $\frac{2f-40}{44+f}=18-18=0$

या $2f-40=0$

या $2f=40$

या $f=\frac{40}{2}=20$

अतः, लुप्त बारम्बारता $f=20$ है। उत्तर

4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा $30$ महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या	$65-68$	$68-71$	$71-74$	$74-77$	$77-80$	$80-83$	$83-86$
महिलाओं की संख्या	$2$	$4$	$3$	$8$	$7$	$4$	$2$

हल— प्रति मिनट हृदय स्पन्दन के माध्य हेतु गणना सारणी—

माना स्पन्दन का कल्पित माध्य $a=75.5$ है।

( प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या	महिलाओं की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-75.5}{3}$	$f_{i}u_{i}$
65 - 68	2	66.5	$-3$	$-6$
68 - 71	4	69.5	$-2$	$-8$
71 - 74	3	72.5	$-1$	$-3$
74 - 77	8	75.5	0	0
77 - 80	7	78.5	1	7
80 - 83	4	81.5	2	8
83 - 85	2	84.5	3	6
योग	$\sum f_{i}=30$			$\sum f_{i}u_{i}=4$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=75.5$ तथा वर्ग माप $(h)=3$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=\frac{4}{30}=0.13$ (लगभग)

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$=75.5+3(0.13)$

$=75.5+0.39$

$X=75.89$

अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या $75.89$ है। उत्तर

5. किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

आमों की संख्या	50-52	53-55	56-58	59-61	62-64
पेटियों की संख्या	15	110	135	115	25

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?

हल— क्योंकि आमों की संख्या और पेटियों की संख्या के मान संख्यात्मक रूप से बड़े हैं इसलिए हम पद विचलन विधि का प्रयोग करेंगे।

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=57$ तथा वर्ग माप $(h)=3$ ( $∵$ वर्ग अन्तराल समावेशी है)

आमों की संख्या	पेटियों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-57}{3}$	$f_{i}u_{i}$
50 - 52	15	51	$-2$	$-30$
53 - 55	110	54	$-1$	$-110$
56 - 58	135	57	0	0
59 - 61	115	60	1	115
62 - 64	25	63	2	50
योग	$\sum f_{i}=400$			$\sum f_{i}u_{i}=25$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{25}{400}=0.0625$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=57+3(0.0625)=57+0.1875=57.1875=57.19$ (लगभग)

अतः, पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या $57.19$ है। उत्तर

6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के $25$ परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

दैनिक व्यय (रूपयों में)	100-150	150-200	200-250	250-300	300-350
परिवारों की संख्या	4	5	12	2	2

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

हल—

दैनिक व्यय (रूपयों में)	परिवारों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-225}{50}$	$f_{i}u_{i}$
100 - 150	4	125	$-2$	$-8$
150 - 200	5	175	$-1$	$-5$
200 - 250	12	225	0	0
250 - 300	2	275	1	2
300 - 350	2	325	2	4
योग	$\sum f_{i}=25$			$\sum f_{i}u_{i}=-7$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=225$ तथा वर्ग माप $(h)=50$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-7}{25}=-0.28$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=225+50(-0.28)$

$X=225-14$

$X=211$

अतः, भोजन पर हुआ माध्य व्यय $211$ रु. है। उत्तर

7. वायु में सल्फर डाइऑक्साइड $(SO_{2})$ की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के $30$ मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

$SO_{2}$ की सान्द्रता	बारम्बारता
$0.00-0.04$	$4$
$0.04-0.08$	$9$
$0.08-0.12$	$9$
$0.12-0.16$	$2$
$0.16-0.20$	$4$
$0.20-0.24$	$2$

वायु में $SO_{2}$ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल— वायु में सल्फर डाइऑक्साइड $(SO_{2})$ की सान्द्रता ज्ञात करने के लिए सारणी—

$SO_{2}$ की सान्द्रता	बारम्बारता $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-0.10}{0.04}$	$f_{i}u_{i}$
$0.00-0.04$	$4$	$0.02$	$-2$	$-8$
$0.04-0.08$	$9$	$0.06$	$-1$	$-9$
$0.08-0.12$	$9$	$0.10=a$	$0$	$0$
$0.12-0.16$	$2$	$0.14$	$1$	$2$
$0.16-0.20$	$4$	$0.18$	$2$	$8$
$0.20-0.24$	$2$	$0.22$	$3$	$6$
योग	$\sum f_{i}=30$			$\sum f_{i}u_{i}=-1$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=0.10$ तथा वर्ग माप $(h)=0.04$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-1}{30}=-0.03$ (लगभग)

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=0.10+0.04(-0.03)$

$=0.10-0.0012=0.099$ (लगभग)

वायु में $SO_{2}$ की सान्द्रता का माध्य $0.099$ ppm है। उत्तर

8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के $40$ विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा, उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

दिनों की संख्या	$0-6$	$6-10$	$10-14$	$14-20$	$20-28$	$28-38$	$38-40$
विद्यार्थियों की संख्या	$11$	$10$	$7$	$4$	$4$	$3$	$1$

हल— विद्यार्थियों की अनुपस्थिति के लिये माध्य गणना सारणी—

दिनों की संख्या	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i}=x_{i}-a$ या $d_{i}=x_{i}-17$	$f_{i}d_{i}$
$0-6$	$11$	$3$	$-14$	$-154$
$6-10$	$10$	$8$	$-9$	$-90$
$10-14$	$7$	$12$	$-5$	$-35$
$14-20$	$4$	$17$	$0$	$0$
$20-28$	$4$	$24$	$7$	$28$
$28-38$	$3$	$33$	$16$	$48$
$38-40$	$1$	$39$	$22$	$22$
योग	$\sum f_{i}=40$			$\sum f_{i}d_{i}=-181$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=17$

$∴$ माध्य $(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}$

$X=17+\frac{()}{40}=17-4.52=12.48$

अतः, एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य $12.48$ दिन है। उत्तर

9. निम्नलिखित सारणी $35$ नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

साक्षरता दर (% में)	$45-55$	$55-65$	$65-75$	$75-85$	$85-95$
नगरों की संख्या	$3$	$10$	$11$	$8$	$3$

हल— माध्य साक्षरता दर की गणना सारणी—

साक्षरता दर	नगरों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-70}{10}$	$f_{i}u_{i}$
$45-55$	$3$	$50$	$-2$	$-6$
$55-65$	$10$	$60$	$-1$	$-10$
$65-75$	$11$	$70$	$0$	$0$
$75-85$	$8$	$80$	$1$	$8$
$85-95$	$3$	$90$	$2$	$6$
योग	$\sum f_{i}=35$			$\sum f_{i}u_{i}=-2$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=70$

तथा वर्ग माप $(h)=10$

$u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-2}{35}=-0.057$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=70+10(-0.057)$

$=70-0.57=69.43$

अतः, माध्य साक्षरता दर $69.43%$ है। उत्तर

प्रश्नावली 13.2

1. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ग में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

आयु (वर्षों में)	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65
रोगियों की संख्या	6	11	21	23	14	5

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $23$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $35-45$ है :

$∴$ बहुलक वर्ग $=35-45$

अतः: $l=35;f_{1}=23;f_{0}=21;f_{2}=14$ और $h=10$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=35+\frac{23-21}{2(23)-21-14} \times 10$

$=35+\frac{2}{46-35} \times 10$

$=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8$ उत्तर

माध्य के लिए :

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-30}{10}$	$f_{i}u_{i}$
5-15	6	10	-2	-12
15-25	11	20	-1	-11
25-35	21	30	0	0
35-45	23	40	1	23
45-55	14	50	2	28
55-65	5	60	3	15
योग	$\sum f_{i}=80$			$\sum f_{i}u_{i}=43$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=30$ तथा वर्ग माप $(h)=10$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{43}{80}=0.5375$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=30+10(0.5375)$

$=30+5.375=35.375=35.37$

अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक $36.8$ वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य $35.37$ वर्ष है।

साथ ही, उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि अस्पताल में भर्ती हुए रोगियों की औसत आयु $35.37$ वर्ष है और अस्पताल में भर्ती हुए अधिकतम रोगियों की आयु $36.8$ वर्ष है। उत्तर

2. निम्नलिखित आँकड़े, $225$ बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :

जीवन काल (घंटों में)	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100	100-120
बारम्बारता	10	35	52	61	38	29

उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $61$ है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल $60-80$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=60-80$

अतः: $l=60;f_{1}=61;f_{0}=52;f_{2}=38$ और $h=20$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=60+\frac{61-52}{2(61)-52-38} \times 20$

$=60+\frac{9}{122-52-38} \times 20$

$=60+\frac{9}{32} \times 20$

$=60+\frac{180}{32}=60+5.625=65.625$

अतः, उपकरणों का बहुलक जीवन काल $65.625$ घण्टे है। उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के $200$ परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

व्यय (रुपयों में)	परिवारों की संख्या
$1000-1500$	$24$
$1500-2000$	$40$
$2000-2500$	$33$
$2500-3000$	$28$
$3000-3500$	$30$
$3500-4000$	$22$
$4000-4500$	$16$
$4500-5000$	$7$

हल— बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $40$ है तथा इस बारम्बारता के संगत वर्ग $1500-2000$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=1500-2000$

अतः: $l=1500;f_{1}=40;f_{0}=24;f_{2}=33$ और $h=500$

$∵$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=1500+{\frac{40-24}{2(40)-24-33}} \times 500$

$=1500+{\frac{16}{80-24-33}} \times 500$

$=1500+\frac{16 \times 500}{23}$

$=1500+\frac{8000}{23}$

$=1500+347.83=1847.83$

अतः बहुलक $=1847.83$ रु. उत्तर

माध्य के लिए :

व्यय (रुपयों में)	परिवारों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-2750}{500}$	$f_{i}u_{i}$
$1000-1500$	$24$	$1250$	$-3$	$-72$
$1500-2000$	$40$	$1750$	$-2$	$-80$
$2000-2500$	$33$	$2250$	$-1$	$-33$
$2500-3000$	$28$	$2750$	$0$	$0$
$3000-3500$	$30$	$3250$	$1$	$30$
$3500-4000$	$22$	$3750$	$2$	$44$
$4000-4500$	$16$	$4250$	$3$	$48$
$4500-5000$	$7$	$4750$	$4$	$28$
योग	$\sum f_{i}=200$			$\sum f_{i}u_{i}=-35$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=2750$ तथा वर्ग माप $(h)=500$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=-\frac{35}{200}=-0.175$

$∵$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=2750+500(-0.175)$

$=2750-87.50=2662.50$

अतः परिवारों का बहुलक मासिक व्यय $1847.83$ रु. है और माध्य मासिक व्यय $2662.50$ रु. है। उत्तर

प्रश्न 4. निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या	राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
$15-20$	$3$
$20-25$	$8$
$25-30$	$9$
$30-35$	$10$
$35-40$	$3$
$40-45$	$0$
$45-50$	$0$
$50-55$	$2$

हल— बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $10$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $30-35$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=30-35$

अतः: $l=30;f_{1}=10;f_{0}=9;f_{2}=3$ और $h=5$

$∵$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=30+\frac{10-9}{2(10)-9-3} \times 5$

$=30+\frac{1}{20-12} \times 5$

$=30+\frac{5}{8}=30+0.625$

$=30.625=30.63$ (लगभग)

माध्य के लिए :

प्रति शिक्षक शिक्षार्थियों की संख्या	राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-32.5}{5}$	$f_{i}u_{i}$
15 - 20	3	17.5	$-3$	$-9$
20 - 25	8	22.5	$-2$	$-16$
25 - 30	9	27.5	$-1$	$-9$
30 - 35	10	32.5	0	0
35 - 40	3	37.5	1	3
40 - 45	0	42.5	2	0
45 - 50	0	47.5	3	0
50 - 55	2	52.5	4	8
योग	$\sum f_{i}=35$			$\sum f_{i}u_{i}=-23$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=32.5$ तथा वर्ग माप $(h)=5$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{23}{35}=-0.657$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=32.5+5(-0.657)$

$=32.5-3.285=29.215$ (लगभग)

अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक और माध्य $30.63$ और $29.215$ है। साथ ही, उपर्युक्त से यह स्पष्ट है कि राज्यों/संघीय क्षेत्र में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या $30.63$ है और औसत के अनुसार यह अनुपात $29.215$ है। उत्तर

प्रश्न 5. दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

बनाए गए रन	बल्लेबाजों की संख्या
3000 - 4000	4
4000 - 5000	18
5000 - 6000	9
6000 - 7000	7
7000 - 8000	6
8000 - 9000	3
9000 - 10000	1
10000 - 11000	1

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल—दिए गए आँकड़ों में, अधिकतम बारम्बारता $18$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $4000-5000$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=4000-5000$

अतः: $l=4000;f_{1}=18;f_{0}=4;f_{2}=9$ और $h=1000$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=4000+\frac{18-4}{2(18)-4-9} \times 1000$

$=4000+\frac{14}{36-13} \times 1000$

$=4000+\frac{14000}{23}$

$=4000+608.6956$

$=4000+608.7=4608.7$ (लगभग)

अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक $4608.7$ रन है। उत्तर

प्रश्न 6. एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उन्हें नीचे दी हुई सारणी में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण $3$ मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे $100$ अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

कारों की संख्या	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
बारम्बारता	7	14	13	12	20	11	15	8

हल—दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $20$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $40-50$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=40-50$

अतः: $l=40;f_{1}=20;f_{0}=12;f_{2}=11$ और $h=10$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=40+\frac{20-12}{2(20)-12-11} \times 10$

$=40+\frac{8}{40-23} \times 10$

$=40+\frac{80}{17}=40+4.70588$

$=40+4.7=44.7$ (लगभग)

अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक $44.7$ कारें। उत्तर

प्रश्नावली 13.3

1. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आंकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या
$65-85$	$4$
$85-105$	$5$
$105-125$	$13$
$125-145$	$20$
$145-165$	$14$
$165-185$	$8$
$185-205$	$4$

हल—माध्यक के लिए :

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या $(f_{i})$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
$65-85$	$4$	$4$
$85-105$	$5$	$9$
$105-125$	$13$	$22$
$125-145$	$20$	$42$
$145-165$	$14$	$56$
$165-185$	$8$	$64$
$185-205$	$4$	$68$
योग	$\sum f_{i}=N=68$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=68$ तो $\frac{N}{2}=\frac{68}{2}=34$

जो कि वर्ग अन्तराल $125-145$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=125-145$

अतः, $l=125;N=68;f=20;cf=22$ और $h=20$

$∴$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$

$=125+\frac{\frac{68}{2}-22}{20} \times 20$

$=125+\frac{34-22}{20} \times 20$

$=125+12=137$ इकाई उत्तर

माध्य के लिए :

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-135}{20}$	$f_{i}u_{i}$
$65-85$	$4$	$75$	$-3$	$-12$
$85-105$	$5$	$95$	$-2$	$-10$
$105-125$	$13$	$115$	$-1$	$-13$
$125-145$	$20$	$135$	$0$	$0$
$145-165$	$14$	$155$	$1$	$14$
$165-185$	$8$	$175$	$2$	$16$
$185-205$	$4$	$195$	$3$	$12$
योग	$\sum f_{i}=68$			$\sum f_{i}u_{i}=7$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=135$ तथा वर्ग माप $(h)=20$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{7}{68}=0.103$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=135+20(0.103)$

$=135+2.06=137.06$ इकाई

बहुलक के लिए :

दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $20$ है तथा इसके संगत वर्ग $125-145$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=125-145$

इसलिए $l=125;f_{1}=20;f_{0}=13;f_{2}=14$ और $h=20$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=125+\frac{20-13}{2(20)-13-14} \times 20$

$=125+\frac{7}{40-27} \times 20$

$=125+\frac{140}{13}$

$=125+10.76923$

$=125+10.77=135.77$ इकाई

अतः, दिए गए आंकड़ों का माध्यक, माध्य और बहुलक है : $137$ मात्रक, $137.06$ मात्रक और $135.77$ मात्रक। उत्तर

प्रश्न 2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक $28.5$ हो, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए : (प्रश्न बैंक)

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता
$0-10$	$5$
$10-20$	$x$
$20-30$	$20$
$30-40$	$15$
$40-50$	$y$
$50-60$	$5$
योग	$60$

हल—

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता $(f_{i})$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
$0-10$	$5$	$5$
$10-20$	$x$	$5+x$
$20-30$	$20$	$25+x$
$30-40$	$15$	$40+x$
$40-50$	$y$	$40+x+y$
$50-60$	$5$	$45+x+y$
योग	$\sum f_{i}=N=60$

दिए गए आँकड़ों में, $\sum f_{i}=N=60$

$∴\frac{N}{2}=\frac{60}{2}=30$

साथ ही, बंटन का माध्यक $=28.5$

जो कि वर्ग अन्तराल $20-30$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=20-30$

इसलिए, $l=20;f=20;cf=5+x;h=10$

सारणी से $45+x+y=60$

या $x+y=60-45=15$

या $x+y=15$ ....(i)

$∴$ माध्यक $=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h$

$28.5=20+{\frac{30-(5+x)}{20}} \times 10$

या $28.5=20+\frac{30-5-x}{2}$

या $28.5=\frac{40+25-x}{2}$

या $2(28.5)=65-x$

या $57.0=65-x$

या $x=65-57=8$

$∴x=8$

$x$ के इस मान को (i) में प्रतिस्थापित करने पर

$8+y=15$

$y=15-8=7$

अतः, $x$ और $y$ के मान $8$ व $7$ हैं। उत्तर

प्रश्न 3. एक जीवन बीमा एजेंट $100$ पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिसकी आयु $18$ वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु $60$ वर्ष से कम हो।

आयु (वर्षों में)	पॉलिसी धारकों की संख्या
$20$ से कम	$2$
$25$ से कम	$6$
$30$ से कम	$24$
$35$ से कम	$45$
$40$ से कम	$78$
$45$ से कम	$89$
$50$ से कम	$92$
$55$ से कम	$98$
$60$ से कम	$100$

हल—

आयु (वर्षों में)	संचयी बारम्बारता $(cf)$	पॉलिसी धारकों की संख्या $(f_{i})$
$20$ से कम	$2$	$2$
$20-25$	$6$	$6-2=4$
$25-30$	$24$	$24-6=18$
$30-35$	$45$	$45-24=21$
$35-40$	$78$	$78-45=33$
$40-45$	$89$	$89-78=11$
$45-50$	$92$	$92-89=3$
$50-55$	$98$	$98-92=6$
$55-60$	$100$	$100-98=2$
योग		$\sum f_{i}=N=100$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=100$

तो, $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$ , जो कि अन्तराल $35-40$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=35-40$

इसलिए, $l=35;N=100;f=33;cf=45$ और $h=5$

$∴$ माध्यक $=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h$

$=35+{\frac{\frac{100}{2}-45}{33}} \times 5$

$=35+{\frac{50-45}{33}} \times 5$

$=35+\frac{25}{33}=35+0.7575$

$=35+0.76$ (लगभग)

$=35.76$

अतः, दिए गए आँकड़ों की माध्यक आयु $35.76$ वर्ष है। उत्तर

प्रश्न 4. एक पौधे की $40$ पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :

लम्बाई (mm में)	पत्तियों की संख्या
$118-126$	$3$
$127-135$	$5$
$136-144$	$9$
$145-153$	$12$
$154-162$	$5$
$163-171$	$4$
$172-180$	$2$

पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।

संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को सतत वर्ग अन्तरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अन्तरालों को सतत माना गया है। तब ये वर्ग $117.5-126.5,126.5-135.5,…,171.5-180.5$ में बदल जाते हैं।

हल— क्योंकि बारम्बारता बंटन लगातार नहीं है। हम इसे पहले सतत बंटन में परिवर्तित करेंगे :

लम्बाई (mm में)	पत्तियों की संख्या ( $f_{i}$ )	संचयी बारम्बारता
$117.5-126.5$	$3$	$3=3$
$126.5-135.5$	$5$	$(3+5)=8$
$135.5-144.5$	$9$	$(8+9)=17$
$144.5-153.5$	$12$	$(17+12)=29$
$153.5-162.5$	$5$	$(29+5)=34$
$162.5-171.5$	$4$	$(34+4)=38$
$171.5-180.5$	$2$	$(38+2)=40$
योग	$\sum f_{i}=N=40$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=40$

तो, $\frac{N}{2}=\frac{40}{2}=20$ , जो कि अन्तराल $144.5-153.5$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=144.5-153.5$

इसलिए $l=144.5;f=12;cf=17$ और $h=9$

$∴$ माध्यक $=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h$

माध्यक $=144.5+{\frac{20-17}{12}} \times 9$

$=144.5+\frac{3 \times 9}{12}$

$=144.5+2.25=146.75$

अतः, पत्तियों की माध्यक लम्बाई $146.75 mm$ है। उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित सारणी $400$ नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

जीवन काल (घंटों में)	लैंपों की संख्या
$1500-2000$	$14$
$2000-2500$	$56$
$2500-3000$	$60$
$3000-3500$	$86$
$3500-4000$	$74$
$4000-4500$	$62$
$4500-5000$	$48$

एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।

हल—

जीवन काल (घंटों में)	लैंपों की संख्या ( $f_{i}$ )	संचयी बारम्बारता
$1500-2000$	$14$	$14=14$
$2000-2500$	$56$	$(14+56)=70$
$2500-3000$	$60$	$(70+60)=130$
$3000-3500$	$86$	$(130+86)=216$
$3500-4000$	$74$	$(216+74)=290$
$4000-4500$	$62$	$(290+62)=352$
$4500-5000$	$48$	$(352+48)=400$
योग	$\sum f_{i}=N=400$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=400$

$\frac{N}{2}=\frac{400}{2}=200$ , जो कि अन्तराल $3000-3500$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=3000-3500$

इसलिए $l=3000;N=400;f=86;$

$cf=130$ और $h=500$

$∴$ माध्यक $=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h$

माध्यक $=3000+{\frac{\frac{400}{2}-130}{86}} \times 500$

$=3000+\frac{200-130}{86} \times 500$

$=3000+\frac{70 \times 500}{86}$

$=3000+406.9767441$

$=3000+406.98$ (लगभग)

$=3406.98$

अतः, लैंप का जीवन काल $3406.98$ घण्टे है। उत्तर

प्रश्न 6. एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से $100$ कुल नाम (surnames) लिए गए उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ : (प्रश्न बैंक)

अक्षरों की संख्या	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19
कुल नामों की संख्या	6	30	40	16	4	4

कुल नामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुल नामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुल नामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल—माध्यक के लिए :

अक्षरों की संख्या	कुल नामों की संख्या $(f_{i})$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
1 - 4	6	$6=6$
4 - 7	30	$6+30=36$
7 - 10	40	$36+40=76$
10 - 13	16	$76+16=92$
13 - 16	4	$92+4=96$
16 - 19	4	$96+4=100$
योग	$\sum f_{i}=N=100$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=100$

तो, $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$ , जो कि अन्तराल $7-10$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=7-10$

इसलिए $l=7;N=100;f=40;$

$cf=36$ और $h=3$

$∴$ माध्यक $=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h$

माध्यक $=7+{\frac{\frac{100}{2}-36}{40}} \times 3$

$=7+{\frac{50-36}{40}} \times 3$

$=7+\frac{14 \times 3}{40}=7+\frac{21}{20}$

$=7+1.05=8.05$

अतः, माध्यक अक्षरों की संख्या $8.05$ है। उत्तर

माध्य के लिए :

अक्षरों की संख्या	$f_{i}$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-8.5}{3}$	$f_{i}u_{i}$
1 - 4	6	2.5	-2	-12
4 - 7	30	5.5	-1	-30
7 - 10	40	$8.5=a$	0	0
10 - 13	16	11.5	1	16
13 - 16	4	14.5	2	8
16 - 19	4	17.5	3	12
योग	$\sum f_{i}=100$			$\sum f_{i}u_{i}=-6$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=8.5$

तथा वर्ग माप $(h)=3$

$u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}⇒u=\frac{-6}{100}=-0.06$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=8.5+3(-0.06)$

$=8.5-0.18=8.32$

अतः, कुल नामों में माध्य अक्षरों की संख्या $8.32$ अक्षर है। उत्तर

बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $40$ है तथा इसका संगत अन्तराल $7-10$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=7-10$

इसलिए $l=7;f_{1}=40;f_{0}=30;f_{2}=16$ और $h=3$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=7+\frac{40-30}{2(40)-30-16} \times 3$

$=7+\frac{10}{80-46} \times 3$

$=7+\frac{30}{34}=7+0.882352941$

$=7+0.88$ (लगभग) $=7.88$

अतः, कुल नामों का बहुलक माप $7.88$ अक्षर है। उत्तर

7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए :

भार (किग्रा में)	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75
विद्यार्थियों की संख्या	2	3	8	6	6	3	2

हल—

भार (किलोग्राम में)	विद्यार्थियों की संख्या ( $f_{i}$ )	संचयी बारम्बारता
40 - 45	2	$2=2$
45 - 50	3	$2+3=5$
50 - 55	8	$5+8=13$
55 - 60	6	$13+6=19$
60 - 65	6	$19+6=25$
65 - 70	3	$25+3=28$
70 - 75	2	$28+2=30$
योग	$\sum f_{i}=N=30$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=30$

तो, $\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15$ , जो कि अन्तराल $55-60$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=55-60$

इसलिए $l=55;N=30;f=6;cf=13$ और $h=5$

माध्यक $=l+\frac{\frac{n}{2}-cf}{f} \times h$

माध्यक $=55+\frac{\frac{30}{2}-13}{6} \times 5$

$=55+\frac{15-13}{6} \times 5$

$=55+\frac{2 \times 5}{6}=55+\frac{5}{3}$

$=55+1.66666$

$=55+1.67$ (लगभग)

$=56.67$

अतः, माध्यक भार $56.67$ किलोग्राम है। उत्तर

SECTION_NOTES_START: 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं नियम (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

1. केन्द्रीय प्रवृत्ति- दिए गए आँकड़ों में से श्रेणी के अधिकांश पद जिस आँकड़े के आस-पास केन्द्रित होते हैं, उसे आँकड़ों की केन्द्रीय प्रवृत्ति कहते हैं। इसे ही केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप अथवा माध्य भी कहा जाता है। ये तीन प्रकार के होते हैं-

(i) माध्य (ii) बहुलक (iii) माध्यक।

2. समान्तर माध्य- यदि किसी चर राशि के $x$ मान क्रमशः $x_{1},x_{2},x_{3},……x_{n}$ हों तो उनका समान्तर माध्य होगा-

$(x)=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+………x_{n}}{n}$

या $x=\frac{i=1nx_{i}}{n}$

यहाँ पर प्रतीक $\sum$ (सिग्मा) योग की प्रक्रिया को दर्शाने के लिये किया गया है।

3. माध्य- यदि प्रेक्षणों $x_{1},x_{2},x_{3},………x_{n}$ की बारम्बारताएँ क्रमशः $f_{1},f_{2},f_{3}………f_{n}$ हों, तो इन सभी प्रेक्षणों के मानों का योग $=f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+………+f_{n}x_{n}$ है तथा प्रेक्षणों की संख्या $f_{1}+f_{2}+………+f_{n}$ है तब

माध्य $(x)=\frac{f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+………f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+………f_{n}}$

या $(x)=\frac{i=1nf_{i}x_{i}}{i=1nf_{i}}$

या $x=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

यहाँ $i$ का मान $1$ से $n$ तक विचरण करता है। यह विधि प्रत्यक्ष विधि कहलाती है।

अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य क्रिया पद-

(i) प्रत्येक विचर को उसकी बारम्बारता से गुणा करके $(f_{i})$ का योग ज्ञात करते हैं।

(ii) योगफल में बारम्बारता के योगफल का भाग देते हैं।

(iii) इस प्रकार प्राप्त भागफल समान्तर माध्य होगा।

4. वर्ग चिह्न या मध्य-बिन्दु- किसी भी अन्तराल का मध्य-बिन्दु या वर्ग-चिह्न उसकी ऊपरी सीमा और निचली सीमाओं का औसत निकालकर ज्ञात करते हैं। अर्थात्

वर्ग चिह्न $=\frac{\text{ऊपरी} \text{वर्ग} \text{सीमा}+\text{निचली} \text{वर्ग} \text{सीमा}}{2}$

5. कल्पित माध्य विधि $(x)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}$

जहाँ पर $d_{i}=x_{i}-a$ , $a=$ कल्पित माध्य

$\sum f_{i}=N=$ बारम्बारताओं का योग

नोट—कल्पित माध्य विचर $(x)$ का वह मान लिया जाता है जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो। ऐसा करने पर गणितीय परिकलन आसान हो जाता है।

6. पग-विचलन विधि— इस विधि में विचलनों $d_{i}=x_{i}-a$ के सभी मानों को किसी एक उभयनिष्ठ संख्या (माना $h$ ) से भाग देते हैं। ऐसी स्थिति में इन सभी विचलनों को $h$ से विभाजित करते हुए नये विचलन $u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ के रूप में लेते हैं,

समान्तर माध्य $(x)=a+\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}} \times h$

या $x=a+hu$

जहाँ $u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}$

जहाँ $u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$

$a=$ कल्पित माध्य

$h=$ वर्ग माप

$\sum f_{i}=N=$ बारम्बारताओं का योग

पग-विचलन विधि तभी सुविधाजनक होगी, जबकि सभी $d_{i}$ में कोई सार्व गुणनखंड होगा।

टिप्पणी— जब $x$ के मानों में अन्तर अधिक तथा मान बड़ा हो या बारंबारता अधिक हो तो गणना की सरलता के लिये पद विचलन $u=\frac{x-a}{n}$ काम में लेना सुविधाजनक होता है।

7. बहुलक— दिए हुए प्रेक्षणों में बहुलक का वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है अर्थात् उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो, बहुलक कहलाता है।

बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक इसी सूत्र से ज्ञात करते हैं। यहाँ

$l=$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा

$h=$ वर्ग अन्तराल की माप

$f_{1}=$ बहुलक वर्ग की बारम्बारता

$f_{0}=$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता तथा

$f_{2}=$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता है।

8. माध्यक या माध्यिका—

(A) यदि किसी चर राशि

x

के मानों को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में रखा जाये, तो इस श्रेणी के मध्य के पद को श्रेणी की माध्यिका या माध्यक कहते हैं।

(B) अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करना—अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करने की निम्न विधि है-

(i) संचयी बारम्बारता सारणी को तैयार कीजिये।

(ii) $\frac{N}{2}$ का मान ज्ञात करना, जहाँ पर $N= \sum f_{i}$

(iii) $\frac{N}{2}$ से ठीक अधिक संचयी बारम्बारता वाला चर मान माध्यक होगा।

(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 2

**2. यदि निम्नलिखित आँकड़ों की बारम्बारताओं का योग $60$ है, तो $x$ का मान है-** (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
बारम्बारता	5	$x$	20	15	7	5

(A) 7 (B) 8 (C) 15 (D) 20

(A)

\frac{ \sum x}{n}

(B)

\frac{ \sum x+ah}{n}

(C)

\frac{ \sum fx}{N}

(D)

\frac{ \sum fd}{N}

4. निम्न का बहुलक ज्ञात करो- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

$x$	5	7	9	11
$f$	4	8	6	2

(A) 9 (B) 5 (C) 7 (D) 11

(A) मध्यवर्ती मूल्य

(B) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य

6. निम्न श्रेणी का माध्यक मूल्य है-

$520,20,340,190,35,800,1210,50,80$

(A)

1210

(B)

520

(C)

190

(D)

35

(A)

11

(B)

15

(C)

18

(D)

16

8. बंटन $2,3,4,7,5,1$ का माध्यक है-

(A)

4

(B)

7

(C)

11

(D)

3.5

(A)

41

(B)

12

(C)

3

(D)

17

10. यदि निम्न बंटन का माध्य $5$ है, तो $P$ का मान है-

$x$	$2$	$4$	$6$	$P$
$f$	$3$	$2$	$1$	$4$

(A)

8

(B)

7.5

(C)

7

(D)

6.5

(A)

6

(B)

4

(C)

5

(D)

8

12. यदि $6,8,9,x$ तथा $13$ का माध्य $10$ हो, तो $x$ का मान होगा-

(A)

12

(B)

13

(C)

14

(D)

15

(A)

x+6

(B)

x+5

(C)

x+7

(D)

x+8

14. वर्ग अन्तराल $24-30$ का वर्ग चिह्न क्या होगा?

(A)

16

(B)

27

(C)

30

(D)

24

(A)

x-y=3(z-y)

(B)

x-z=3(x-y)

(C)

x-y=z-y

(D)

3(x-z)=x-y

16. प्रथम $10$ समप्राकृतिक संख्याओं का माध्य है-

(A)

110

(B)

100

(C)

11

(D)

10

(A) सिर्फ

5

(B)

4

तथा

6

दोनों

(C)

3

तथा

6

दोनों (D)

3,4

तथा

6

18. यदि $4$ लगातार विषम संख्याओं का माध्य $6$ है, तो सबसे बड़ी संख्या है-

(A)

5

(B)

15

(C)

21

(D)

9

(A)

\frac{n(n+1)}{2}

(B)

\frac{n}{2}

(C)

\frac{n+1}{2}

(D) कोई नहीं

20. बंटन $7,4,5,3,4,3,4,1,2$ का बहुलक है-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

(A)

7

(B)

4

(C)

3

(D)

2

(A)

20

(B)

6

(C)

18

(D)

3

22. प्राप्तांकों $7,3,5,12,10,9$ की माध्यिका निम्नलिखित में कौन है?

(A)

8

(B)

7

(C)

10

(D)

5

(A)

16

(B)

17

(C)

18

(D)

13

24. संचयी बारम्बारता सारणी का उपयोग होता है, ज्ञात करने में-

(A) माध्य (B) बहुलक (C) माध्यक (D) सभी में

(A) शून्य (B)

-1

(C)

1

(D)

2

26. दिये गये सूत्र $x=a+h\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}$ में $u_{i}$ का मान होगा-

(A)

h(x_{i}-a)

(B)

\frac{x_{i}-a}{h}

(C)

\frac{a-x_{i}}{h}

(D)

\frac{x_{i}+a}{h}

(A)

1

(B)

3

(C)

4

(D)

7

28. $2,3,4,5,6$ का औसत (माध्य) होगा-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023-24)

(A)

2

(B)

3

(C)

4

(D)

5

(A)

10

(B)

15

(C)

17.5

(D)

25

30. प्रथम $11$ पूर्ण संख्याओं का माध्य होगा-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A)

4

(B)

5

(C)

5.5

(D)

6

(A)

7

(B)

3

(C)

4

(D)

5

32. आँकड़े $7,4,5,3,5,4,5$ और $7$ का माध्य होगा - (प्रश्न बैंक)

(A)

5

(B)

6

(C)

7

(D)

8

(A)

7

(B)

3

(C)

11

(D)

19

34. किसी कक्षा के $9$ विद्यार्थियों की ऊँचाई (सेमी) में निम्नानुसार है - $149,128,153,135,150,138,152,142,140$ , तो माध्यक ऊँचाई है - (प्रश्न बैंक)

(A)

142

(B)

140

(C)

150

(D)

149

(A)

2

(B)

3

(C)

4

(D)

5

36. $4,3,2,6,5$ का माध्यक होगा - (प्रश्न बैंक)

(A)

2

(B)

3

(C)

4

(D)

5

(A)

3

(B)

4

(C)

6

(D)

2

38. दिए गए आँकड़ों का परिसर होगा - $3,5,4,3,9,7,12$ (प्रश्न बैंक)

(A)

3

(B)

12

(C)

9

(D)

10

(A)

4

(B)

5

(C)

3

(D)

7

40. $1,10,12,4,8,3,11$ का माध्यक होगा - (प्रश्न बैंक)

(A)

1

(B)

7

(C)

11

(D)

8

(A) योग (B) गुणा (स) भाग (D) माध्य

42. केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप हैं - (प्रश्न बैंक)

(A) माध्य (B) माध्यक (C) बहुलक (D) उपरोक्त सभी

(A) माध्य (B) बहुलक (C) माध्यक (D) संचयी बारम्बारता

44. आँकड़े $2,5,3,7,6,1$ का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए - (प्रश्न बैंक)

(A)

1

(B)

5

(C)

4

(D)

7

(A)

1

(B)

5

(C)

7

(D)

4

46. यदि $6,8,9,K$ तथा $13$ का माध्य $10$ हो तो $K$ का मान होगा - (प्रश्न बैंक)

(A)

12

(B)

13

(C)

14

(D)

15

(A)

1

(B)

2

(C)

3

(D)

4

48. बहुलक $(z)=18+\frac{15-6}{30-6-9} \times 5$ में बहुलक वर्ग की बारम्बारता है - (प्रश्न बैंक)

(A) $6$ (B) $9$ (C) $15$ (D) $18$

उत्तरमाला

1. (A)	2. (B)	3. (B)	4. (C)	5. (B)
6. (C)	7. (B)	8. (D)	9. (B)	10. (B)
11. (C)	12. (C)	13. (A)	14. (B)	15. (B)
16. (C)	17. (B)	18. (D)	19. (C)	20. (B)
21. (C)	22. (A)	23. (B)	24. (C)	25. (A)
26. (B)	27. (C)	28. (C)	29. (C)	30. (B)
31. (B)	32. (A)	33. (A)	34. (A)	35. (C)
36. (C)	37. (D)	38. (C)	39. (A)	40. (D)
41. (A)	42. (D)	43. (B)	44. (C)	45. (D)
46. (C)	47. (C)	48. (C)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए -

1. बंटन $1,4,5,6,4,7,9,2,4,3,5$ का बहुलक ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

2. किसी वर्ग अन्तराल के लिए वर्ग चिह्न $17$ है। यदि उपरि वर्ग सीमा $24$ है, तो निचली वर्ग सीमा ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

3. यदि $3,7,9,x,5$ का समान्तर माध्य $6$ हो तो $x$ का मान ............. होगा। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25) | 19. $3$ माध्यक $=2$ माध्य $+………………$ । (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

4. बंटन $3,5,7,4,2,1,4,3,4$ का बहुलक ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25) | 20. वर्ग अन्तराल $60-75$ का वर्ग चिह्न ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

5. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ............. है। $2,6,4,5,0,2,1,3,2,3$ (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक) | 21. बंटन $2,3,2,4,2,3,2,5$ का माध्यक ............. है। (प्रश्न बैंक)

6. यदि प्रेक्षणों $x_{1},x_{2},x_{3},……x_{n}$ की बारम्बारताएँ क्रमशः $f_{1},f_{2},f_{3},……f_{n}$ हों तब समान्तर माध्य $=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$ | 22. किसी वर्ग की उच्च सीमा तथा निम्न सीमा का अंतर ............. कहलाता है। (प्रश्न बैंक)

7. यदि $x_{i}$ वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु हैं, $f_{i}$ इनकी संगत बारम्बारताएँ हैं तथा $x$ माध्य है, तो $\sum (f_{i}x_{i}-x)$ का मान ............. होगा। | 23. किसी बारम्बारता बंटन में किसी वर्ग की संचयी बारम्बारता उस वर्ग से पहले वाले सभी वर्गों की बारम्बारता का ............. होता है। (प्रश्न बैंक)

8. प्रथम दस सम प्राकृत संख्याओं का माध्य ............. होगा। | 24. सांख्यिकी आँकड़ों का प्रत्येक पद ............. कहलाता है। (प्रश्न बैंक)

9. संचयी बारम्बारता का उपयोग ............. ज्ञात करने में होता है। (प्रश्न बैंक) | 25. यदि किसी बंटन का माध्य $16$ तथा बहुलक $13$ हो, तो माध्यक ............. होगा। (प्रश्न बैंक)

10. बारम्बारता बंटन के माध्य, माध्यिका तथा बहुलक के बीच सम्बन्ध ............. होता है। (प्रश्न बैंक) | 26. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र $=………$ है।

11. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र $x=………$ है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23) | उत्तर—1. $4$ 2. $10$ 3. $6$ 4. $4$ 5. $2$ 6. $\sum f_{i}x_{i}$ 7. $0$ 8. $11$ 9. माध्यक 10. बहुलक $=3$ माध्यिका $-2$ माध्य 11. $\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$ 12. $15$ 13. $6$ 14. बहुलक 15. अन्तराल 16. $x=15$ 17. $l+\frac{\frac{n}{2}-cf}{f} \times h$ 18. बहुलक 19. बहुलक 20. $67.5$ 21. $2.5$ 22. वर्ग अन्तराल 23. योग 24. प्रेक्षण 25. $15$ 26. $\frac{ \sum f_{i}}{ \sum x_{i}}$

12. एक बंटन का बहुलक तथा माध्य क्रमशः $17$ व $14$ है तो माध्यक का मान ............. होगा। |

13. बंटन $7,4,6,3,8,5,9$ की माध्यिका ............. होगी। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2021-22) |

14. जिस प्रेक्षण की बारम्बारता अधिकतम होती है वह उन प्रेक्षणों का ............. कहलाता है। | अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—

15. यदि कोई प्रेक्षण वर्ग की उच्च सीमा में आता है, तो उसे अगले ............. में लेते हैं। | प्रश्न 1. बंटन $1,3,2,5,9,11$ का माध्यक ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

16. यदि $5,7,9,x$ का समान्तर माध्य $9$ हो, तो $x$ का मान ............. होगा। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023) | हल— बंटन को बढ़ते क्रम में लिखने पर, $1,2,3,5,9,11$

17. वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24) | कुल प्रेक्षण $=6$ (सम संख्या)

18. उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है ............. कहलाता है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक) | अभीष्ट माध्यक $=\frac{3+5}{2}=4$ उत्तर

| | प्रश्न 2. बंटन $3,7,5,2,6$ का माध्य ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल— अभीष्ट माध्य

$=\frac{3+7+5+2+6}{5}=\frac{23}{5}=4.6$ उत्तर

प्रश्न 3. वर्ग अन्तराल $(10)$ का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— वर्ग चिह्न $=\frac{10+25}{2}=\frac{35}{2}=17.5$ उत्तर

प्रश्न 4. प्रथम $10$ धनात्मक विषम प्राकृत संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025; मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— प्रथम $10$ धनात्मक विषम प्राकृत संख्याएँ हैं :

$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19$

इनका समान्तर माध्य

$=\frac{1+3+5+7+9+11+13+15+17+19}{10}$

$=\frac{100}{10}$ [ $∵$ प्रथम $n$ धनात्मक विषम प्राकृत संख्याओं का योग $=n^{2}$ ]

$=10$ उत्तर

प्रश्न 5. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

$x$	$3$	$5$	$7$	$9$
$f$	$6$	$7$	$5$	$6$

हल—

$x$	$f$	$cf$
$3$	$6$	$6$
$5$	$7$	$13$
$7$	$5$	$18$
$9$	$6$	$24$

यहाँ $N=24⇒\frac{N}{2}=12$

अतः $cf$ $13$ के संगत मान $=5$

अतः माध्यिका $=5$ उत्तर

प्रश्न 6. निम्न आँकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए— $19,17,25,27,18,20,29$

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

हल— आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

$17,18,19,20,25,27,29$

यहाँ पदों की संख्या $=7$ जो कि विषम संख्या है।

अतः माध्यक $=\frac{7+1}{2}$ वां पद $=4$ वां पद

$=20$ उत्तर

प्रश्न 7. यदि $5,7,9,4,3,(x+2)$ का समान्तर माध्य $6$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

हल— समान्तर माध्य $=\frac{\text{राशियों} \text{का} \text{योग}}{\text{राशियों} \text{की} \text{संख्या}}$

$⇒6=\frac{5+7+9+4+3+(x+2)}{6}$

$⇒36=30+x⇒x=36-30=6$ उत्तर

प्रश्न 8. बंटन $6,11,21,23,14,5$ का माध्य ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल— माध्य $(x)=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+……x_{n}}{n}$

माध्य $(x)=\frac{6+11+21+23+14+5}{6}$

$=\frac{80}{6}=13.33$ उत्तर

प्रश्न 9. बंटन $10,12,8,7,13$ का माध्य ज्ञात करो। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )

हल— अभीष्ट माध्य $=\frac{10+12+8+7+13}{5}=10$

प्रश्न 10. प्रथम दस सम प्राकृत संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल— प्रथम दस सम संख्याएँ $=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20$ हैं

अतः माध्य $(x)=\frac{2+4+6+8+10+12+14+16+18+20}{2}$

$=\frac{110}{10}=11$ उत्तर

प्रश्न 11. बंटन $3,5,7,4,2,1,4,3,4$ का बहुलक लिखिए।

उत्तर— उपर्युक्त बंटन में $4$ सर्वाधिक $3$ बार आया है

अतः बहुलक $=4$ उत्तर

प्रश्न 12. निम्न बंटन का माध्यक लिखिए— ( प्रश्न बैंक )

$x$	5	6	7	8
$c.f.$	2	5	8	10

हल— $\frac{n}{2}=\frac{10}{2}=5$

यहाँ 5 संचयी बारम्बारता 5 में आता है जिसका मूल्य 6 है।

अतः माध्यक = 6 उत्तर

प्रश्न 13. निम्न बंटन में $P$ का मान लिखिए—

$x$	10	15	20	25	30
$f$	2	5	P	3	2
$c.f.$	2	7	10	13	15

हल— $10-P=7$ अतः $P=3$ उत्तर

प्रश्न 14. निम्न तालिका से $a$ का मान लिखिए—

$x$	20	25	30	35	40	45	50
बारम्बारता $f$	2	8	10	13	5	3	1
संचयी बारम्बारता $c.f.$	2	10	20	33	$a$	41	42

हल— $a=33+5=38$ उत्तर

प्रश्न 15. निम्न बारम्बारता बंटन का प्रत्यक्ष विधि से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिये—

चर	2	4	6	8	10
बारम्बारता	1	2	3	2	1

हल—

चर $x$	बारम्बारता $f$	$f \times x$
2	1	2
4	2	8
6	3	18
8	2	16
10	1	10
योग	$\sum f=9$	$\sum fx=54$

$∴$ समान्तर माध्य = $\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{54}{9}=6$ उत्तर

प्रश्न 16. पदों $5,6,7,9,k$ और $20$ का समान्तर माध्य $11$ है तो $k$ का मान ज्ञात कीजिये।

हल— समान्तर माध्य = $\frac{\text{पदों} \text{का} \text{योग}}{\text{कुल} \text{पद}}$

$11=\frac{5+6+7+9+k+20}{6}$

$⇒66=47+k$

$⇒k=66-47=19$ उत्तर

प्रश्न 17. एक गाँव के 32 परिवारों में उसके सदस्यों की संख्या निम्न सारणी के अनुसार है—

सदस्य संख्या	2	3	4	5	6	7	8
परिवार	1	2	4	7	10	3	5

बंटन का बहुलक लिखिए।

उत्तर— बहुलक = 6

$∵$ 6 की बारम्बारता का मान सबसे अधिक है।

प्रश्न 18. बहुलक के किसी प्रश्न को हल करने की एक स्थिति निम्न है—

$Z=18+\frac{15-8}{30-8-7} \times 5$

बहुलक वर्ग की बारम्बारता लिखिए।

उत्तर— 15

प्रश्न 19. निम्नलिखित बारम्बारता सारणी को ध्यान से पढ़िये तथा $b$ और $d$ के मान ज्ञात कीजिये—

अंक	बारम्बारता	संचयी बारम्बारता
15-20	4	4
20-25	5	9
25-30	$b$	15
30-35	7	22
35-40	4	$d$
40-45	3	29
45-50	1	30

हल— सारणी से स्पष्ट है कि

$9+b=15$

$b=15-9=6$

तथा $22+4=d$

$d=26$ उत्तर

प्रश्न 20. बंटन $1,6,3,5,7,9,11,4,9$ का माध्यक तथा बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल— आरोही क्रम में लिखने पर $1,3,4,5,6,7,9,9,11$

पदों की संख्या = 9 है जो कि विषम संख्या है।

अतः माध्यक = $\frac{9+1}{2}$ वाँ पद = 5वाँ पद = 6 उत्तर

दिये गये बंटन में 9 की बारम्बारता 2 है जो कि सबसे अधिक है।

अतः दिये गये बंटन का बहुलक = 9 उत्तर

प्रश्न 21. $a_{1},a_{2},a_{3}………a_{n}$ का माध्य $A$ है, तो $A$ का मान ज्ञात कीजिये।

हल— समान्तर माध्य = $\frac{\text{सभी} \text{पदों} \text{का} \text{योग}}{\text{कुल} \text{पद}}$

$A=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}}{n}$

$A=\frac{i=1na_{i}}{n}$ उत्तर

प्रश्न 22. यदि आँकड़ों का बहुलक और समान्तर माध्य क्रमशः $70$ और $100$ है तो माध्यिका (Median) ज्ञात कीजिये।

हल— बहुलक $=70$

समान्तर माध्य $=100$

$3 \times \text{माध्यिका}=\text{बहुलक}+2 \times \text{माध्य}$

$3 \times \text{माध्यिका}=70+2 \times 100$

$3 \times \text{माध्यिका}=70+200=270$

$∴\text{माध्यिका}=\frac{270}{3}=90$

अतः: माध्यिका $=90$ उत्तर

प्रश्न 23. निम्न बंटन पर विचार कीजिये।

वर्ग	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
बारम्बारता	10	15	12	20	9

माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का योग लिखिये।

हल— $\sum f=66∴\frac{N}{2}=33$

$∴\text{माध्यक} \text{वर्ग}=10-15$

तथा बहुलक वर्ग $=15-20$

अतः माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमाओं का योग $=10+15=25$

$∴$ माध्यक वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर $=145-125=20$ उत्तर

प्रश्न 25. दी गई बारम्बारता बंटन में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या लिखिये।

आयु (वर्षों) में	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
विद्यार्थियों की संख्या	3	6	8	8	2

हल— उपर्युक्त सारणी में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या $=3+6+8+8=25$ उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये—

$x$	0	4	8	12	16	20
$f$	1	3	5	4	2	1

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

$x$	$f$	$fx$
0	1	0
4	3	12
8	5	40
12	4	48
16	2	32
20	1	20
योग	$\sum f=16$	$\sum fx=152$

माध्य $(x)=\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{152}{16}=9.5$ उत्तर

प्रश्न 2. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये—

प्राप्तांक	25	35	45	55	65
छात्रों की संख्या	4	28	42	20	6

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )

हल—

$x_{i}$	$f_{i}$	$u_{i}=\frac{x_{i}-45}{10}$	$f_{i}u_{i}$
25	4	$-2$	$-8$
35	28	$-1$	$-28$
45	42	0	0
55	20	1	20
65	6	2	12
	$\sum f_{i}=100$		$\sum f_{i}u_{i}=-4$

प्रश्न 24. बंटन

वर्ग	65-85	85-105	105-125	125-145	145-165	165-185	185-205
बारम्बारता	4	5	13	20	14	7	4

के लिये, माध्यक वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर लिखिये।

हल— दिये गये आंकड़ों में अधिकतम 20 है। इसके संगत वर्ग अन्तराल $(125)$ है। अतः बहुलक वर्ग $(125)$ होगा।

यहाँ पर $\sum f=67∴\frac{N}{2}=\frac{67}{2}=33.5$

$33.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 42 के संगत वर्ग अन्तराल $125-145$ है। अतः माध्यक वर्ग $=125-145$

माना कि कल्पित माध्य $(a)=45$

अन्तराल $h=10$

$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-45}{10}$

$u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-4}{100}=-0.04$

माध्य $=a+hu$

$=45+10(-0.04)$

$=45-0.4$

$=44.6$

प्रश्न 3. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

वर्ग	10-25	25-40	40-55	55-70	70-85	85-100
$f_{i}$	6	20	44	26	3	1

( माध्य. शिक्षा बोर्ड 2023; मॉडल पेपर, 2021-22 )

हल—दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $44$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $40-55$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=40-55$

अतः $l=40,f_{1}=44,f_{0}=20,f_{2}=26$ और $h=15$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=40+\frac{44-20}{2 \times 44-20-26} \times 15$

$=40+\frac{24}{88-46} \times 15$

$=40+\frac{360}{42}$

$=40+8.57=48.57$

प्रश्न 4. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए-

$x$	5	6	7	8	9
$f$	4	8	14	11	3

हल—

$x$	$f$	$fx$
5	4	20
6	8	48
7	14	98
8	11	88
9	3	27
	$\sum f=40$	$\sum fx=281$

माध्य $=\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{281}{40}=7.025$ उत्तर

प्रश्न 5. निम्न बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-

जूतों की नाप	4.5	5.0	5.5	6.0	6.5	7.0	7.5	8.0	8.5	9.0
बारम्बारता	1	2	4	5	15	30	60	95	82	75

हल—

$x$	$f$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
4.5	1	1
5.0	2	3
5.5	4	7
6.0	5	12
6.5	15	27
7.0	30	57
7.5	60	117
8.0	95	212
8.5	82	294
9.0	75	369
	$\sum f=369$

माध्यक $=\frac{N}{2}=\frac{369}{2}=184.5$

$184.5$ संचयी बारम्बारता $212$ के अन्तर्गत आती है जो कि विचर $8.0$ में है। अतः माध्यक $=8.0$ उत्तर

प्रश्न 6. क्रिकेट की एक टीम के खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों की संख्या निम्न प्रकार है-

$57,17,26,91,115,26,83,41,57,0,26$

इसका माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल—(i) माध्य $X=\frac{ \sum x}{n}$

$=\frac{57+17+26+91+115+26+83+41+57+0+26}{11}$

$=\frac{539}{11}=49$ रन उत्तर

(ii) विचर की संख्याओं को आरोही क्रम में रखने पर $0,17,26,26,26,41,57,57,83,91,115$

यहाँ $n=11$

अतः माध्यक $M=\frac{n+1}{2}$ वीं संख्या $=\frac{11+1}{2}$ वीं संख्या $=6$ वीं संख्या

अतः माध्यक $M=41$ रन उत्तर

(iii)

विचर	0	17	26	41	57	83	91	115
गणना चिह्न
बारम्बारता	1	1	3	1	2	1	1	1

यहाँ पर बारम्बारता $3$ अधिकतम है। इसके संगत विचर का मान $26$ है।

अतः बहुलक $=26$ रन उत्तर

प्रश्न 7. निम्न बारम्बारता बंटन के लिये माध्य ज्ञात कीजिये-

प्रेक्षक	प्रेक्षकों की संख्या
10 से कम	0
15 से कम	5
20 से कम	11
25 से कम	19
30 से कम	31
35 से कम	37
40 से कम	40

हल- दी गई बारम्बारता बंटन को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-

प्रेक्षक (वर्ग अन्तराल)	बारम्बारता $f$	मध्यमान $(x)$	$f \times x$
5-10	0	7.5	0
10-15	5	12.5	62.5
15-20	6	17.5	105.0
20-25	8	22.5	180.0
25-30	12	27.5	330.0
30-35	6	32.5	195.0
35-40	3	37.5	112.5
	$\sum f=40$		$\sum fx=985$

$∴$ समान्तर माध्य $=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$=\frac{985}{40}=24.63$ उत्तर

प्रश्न 8. एक गाँव की ढाणी के 25 परिवारों का प्रतिदिन व्यय निम्न बारम्बारता बंटन द्वारा दिया गया है।

प्रतिदिन व्यय (रूपयों में)	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75
परिवारों की संख्या	3	7	6	6	3

प्रत्यक्ष विधि द्वारा परिवारों का माध्य व्यय ज्ञात कीजिये। (प्रश्न बैंक)

हल-

प्रतिदिन व्यय (रूपयों में)	परिवारों की संख्या $f_{i}$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$f_{i}x_{i}$
25-35	3	30	90
35-45	7	40	280
45-55	6	50	300
55-65	6	60	360
65-75	3	70	210
योग	$\sum f_{i}=25$		$\sum f_{i}x_{i}=1240$

समान्तर माध्य $x=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=\frac{1240}{25}=49.6$ रुपये

अतः प्रत्यक्ष विधि द्वारा परिवारों का माध्य $=49.6$ रुपये उत्तर

प्रश्न 9. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये- (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

$x$	20	30	40	50	60	70	80
$f$	6	11	7	4	4	2	1

हल-

$x$ (चर)	(बारम्बारता $f$ )	$f \times x$
20	6	120
30	11	330
40	7	280
50	4	200
60	4	240
70	2	140
80	1	80
योग	$\sum f=25$	$\sum fx=1390$

$∴$ समान्तर माध्य $=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$=\frac{1390}{35}=39.71$ (लगभग) उत्तर

प्रश्न 10. निम्नलिखित वर्गीकृत आँकड़ों का कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिये- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23; प्रश्न बैंक)

वर्ग	11-13	13-15	15-17	17-19	19-21	21-23	23-25
बारम्बारता	7	6	9	13	20	5	4

हल—

वर्ग	बारम्बारता $f_{i}$	वर्ग चिह्न $x_{i}$	$d_{i}=x_{i}-a$ या $d_{i}=x_{i}-18$	$f_{i}d_{i}$
11-13	7	12	-6	-42
13-15	6	14	-4	-24
15-17	9	16	-2	-18
17-19	13	18	0	0
19-21	20	20	2	40
21-23	5	22	4	20
23-25	4	24	6	24
योग	$\sum f_{i}=64$			$\sum f_{i}d_{i}=0$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=18$

$∴$ माध्य $(x)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=18+\frac{0}{64}=18$ उत्तर

प्रश्न 11. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये— (प्रश्न बैंक)

$x$	1	2	3	4	5	6
$f$	2	4	5	4	2	2

हल—

$x$ (चर)	(बारम्बारता $f$ )	$fx$
1	2	2
2	4	8
3	5	15
4	4	16
5	2	10
6	2	12
योग	$\sum f=19$	$\sum fx=63$

माध्य $=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$=\frac{63}{19}=3.315$ (लगभग) उत्तर

प्रश्न 12. निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिये—

$x$	20	25	28	29	33	38	42	43
बारम्बारता	6	20	24	28	15	4	2	1

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक)

हल—

$x$	बारम्बारता $(f)$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
20	6	6
25	20	26
28	24	50
29	28	78
33	15	93
38	4	97
42	2	99
43	1	100

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि

$50$ वाँ प्रेक्षण $28$ है $∵\frac{100}{2}=50$

$51$ वाँ प्रेक्षण $29$ है

$∴$ माध्यक $=\frac{28+29}{2}=28.5$ उत्तर

प्रश्न 13. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये—

$x$	5	6	7	8	9	10
$f$	8	6	12	7	5	6

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल—

$x$	$f$	$fx$
5	8	40
6	6	36
7	12	84
8	7	56
9	5	45
10	6	60
	$\sum f_{i}=44$	$\sum f_{i}x_{i}=321$

यहाँ पर $\sum f_{i}=44$

$\sum f_{i}x_{i}=321$

$∴$ बारम्बारता बंटन का माध्य $x=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

$x=\frac{321}{44}=7.295$

$x=7.295$ उत्तर

प्रश्न 14. एक विद्यालय की कक्षा 10 में वर्ग A के 25 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का माध्य 40 है, जबकि

वर्ग B के 26 विद्यार्थियों का माध्य 42 है, तो कक्षा 10 के 51 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य अंक ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— 51 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य

$=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

$=\frac{(25 \times 40)+(26 \times 42)}{25+26}$

$=\frac{1000+1092}{51}$

$=\frac{2092}{51}=41.019$ उत्तर

प्रश्न 15. निम्नलिखित सारणी 50 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए - (प्रश्न बैंक)

साक्षरता दर प्रतिशत में	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
नगरों की संख्या	3	4	12	14	10

हल—

साक्षरता दर प्रतिशत में	नगरों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$f_{i}x_{i}$
0-10	3	5	15
10-20	4	15	60
20-30	12	25	300
30-40	14	35	490
40-50	10	45	450
योग	$\sum f_{i}=43$		$\sum f_{i}x_{i}=1315$

$∴$ समान्तर माध्य $=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=\frac{1315}{43}=30.58$ उत्तर

प्रश्न 16. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन को 'अधिक के' प्रकार के बंटन में बदलिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग अंतराल	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75	75-80
बारम्बारता	2	8	12	24	38	16

हल—

वर्ग अन्तराल	संचयी बारम्बारता
50 से अधिक	100
55 से अधिक	98
60 से अधिक	90
65 से अधिक	78
70 से अधिक	54
75 से अधिक	16

प्रश्न 17. निम्न चरों का मान $8,11,12,16,16+x,20,25,30$ का माध्यक $18$ हो तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— माध्यक $=\frac{4\text{वाँ} \text{पद}+5\text{वाँ} \text{पद}}{2}$

या $18=\frac{16+16+x}{2}$

या $36=32+x⇒x=4$ उत्तर

प्रश्न 18. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

$x$	5	10	15	20	25	30
$f$	3	4	5	4	5	2

हल—

$x$	$f$	$fx$
5	3	15
10	4	40
15	5	75
20	4	80
25	5	125
30	2	60
योग	$\sum f=23$	$\sum fx=395$

माध्य $(x)=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$=\frac{395}{23}=17.173$ उत्तर

प्रश्न 19. यदि $x+6,x+2,x+5$ व $x+7$ का समान्तर माध्य $10$ हो तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— समान्तर माध्य

$(x)=\frac{x_{1}+x_{2}……x_{n}}{n}$

$⇒10=\frac{(x+6)+(x+2)+(x+5)+(x+7)}{4}$

$⇒10=\frac{4x+20}{4}$

$⇒4x=40-20=20$

$⇒x=\frac{20}{4}=5$ उत्तर

प्रश्न 20. निम्न बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात कीजिए- (प्रश्न बैंक)

ऊँचाई (सेमी में)	52-55	55-58	58-61	61-64
छात्रों की संख्या	10	20	25	10

हल— यहाँ अधिकतम बारम्बारता $25$ है। इसकी संगत वर्ग अन्तराल $58-61$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=58-61$ है।

$∴l=58,h=3,f_{1}=25,f_{0}=20,f_{2}=10$

बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=58+\frac{25-20}{2(25)-20-10} \times 3$

$=58+\frac{5}{20} \times 3$

$=58+0.75=58.75$ उत्तर

प्रश्न 21. निम्न बंटन का माध्य $5$ है तो $P$ का मान ज्ञात कीजिए- (प्रश्न बैंक)

$x$	2	4	6	P
$f$	3	2	1	4

हल—

माध्य $=\frac{(2 \times 3)+(4 \times 2)+(6 \times 1)+(p \times 4)}{3+2+1+4}$

$5=\frac{6+8+6+4p}{10}$

$⇒4p=50-20$

$⇒4p=30⇒p=\frac{30}{4}=7.5$

अतः $P$ का मान $7.5$ है। उत्तर

प्रश्न 22. निम्नलिखित आंकड़ों की बारम्बारताओं का योग $60$ है, तो $x$ का मान ज्ञात होगा- (प्रश्न बैंक)

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
बारम्बारता	5	$x$	20	15	7	5

हल— बारम्बारताओं का योग $=60$

$⇒5+x+20+15+7+5=60$

$⇒x+52=60$

$⇒x=60-52=8$ उत्तर

प्रश्न 23. किसी गेंदबाज द्वारा $10$ क्रिकेट मैचों में लिए गए विकेटों की संख्याएं निम्न हैं- $2,6,4,5,0,2,1,3,2,3$ इन आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— आंकड़ों की बारम्बारता बंटन सारणी बनाने पर-

विकेटों की संख्या	0	1	2	3	4	5	6
मैचों की संख्या	1	1	3	2	1	1	1

सारणी से स्पष्ट है कि गेंदबाज ने अधिकतम मैचों $(3)$ में $2$ विकेट लिए हैं। इसलिए दिए गए आंकड़ों का बहुलक $2$ है।

दीर्घउत्तरीय प्रश्न—

प्रश्न 1. एक कक्षा के छात्रों के भार निम्न सारणी में दिये गये हैं-

भार (किग्रा में)	20	21	22	23	24	25	26	27	28
छात्रों की संख्या	1	2	6	7	4	2	3	2	3

इनका समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल—

$x$ (चर)	बारम्बारता $(f)$	$fx$
20	1	20
21	2	42
22	6	132
23	7	161
24	4	96
25	2	50
26	3	78
27	2	54
28	3	84
	$\sum f=30$	$\sum fx=717$

$∴$ समान्तर माध्य $=\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{717}{30}=23.9$ उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित वर्गीकृत आँकड़ों का कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिए-

वर्ग अन्तराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता	2	5	8	4	1

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता $(f)$	मध्यमान $(x)$	$d=x-a$	$f \times d$
0-10	2	5	$-20$	$-40$
10-20	5	15	$-10$	$-50$
20-30	8	25	0	0
30-40	4	35	10	40
40-50	1	45	20	20
	$\sum f=20$			$\sum fd=-30$

माना कल्पित माध्य $a=25$

कल्पित माध्य की सहायता से समान्तर माध्य

$x=a+\frac{ \sum fd}{ \sum f}$

$=25+\frac{-30}{20}$

$=25-\frac{3}{2}=25-1.5$

$=23.5$ उत्तर

प्रश्न 3. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

वर्ग अन्तराल	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
बारम्बारता	12	20	25	22	10

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता
10-20	12
20-30	20
30-40	25
40-50	22
50-60	10

दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $25$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $30-40$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $30-40$ है।

अतः $l=30,f_{1}=25,f_{0}=20,f_{2}=22$ और $h=10$

बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=30+\frac{25-20}{2(25)-20-22} \times 10$

$=30+\frac{5 \times 10}{50-42}$

$=30+\frac{50}{8}=30+6.25$

$=36.25$ उत्तर

प्रश्न 4. निम्न बारम्बारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए-

भार (किग्रा. में)	40-44	44-48	48-52	52-56	56-60	60-64
व्यक्तियों की संख्या	5	6	5	9	3	2

हल—

भार (किग्रा. में)	$(f)$	मध्यमान $(x)$	$fx$
40 - 44	5	42	210
44 - 48	6	46	276
48 - 52	5	50	250
52 - 56	9	54	486
56 - 60	3	58	174
60 - 64	2	62	124
	$\sum f=30$		$\sum fx=1520$

माध्य $X=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$X=\frac{1520}{30}=50.67$ किग्रा. (लगभग) उत्तर

प्रश्न 5. यदि निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य $7.5$ हो, तो $p$ का मान ज्ञात करो-

$x$ :	3	5	7	9	11	13
$f$ :	6	8	15	$p$	8	4

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल—

$x_{i}$	$f_{i}$	$f_{i}x_{i}$
3	6	18

$x$	$f$	$fx$
5	8	40
7	15	105
9	$p$	$9p$
11	8	88
13	4	52
योग	$\sum f_{i}=N=41+p$	$\sum f_{i}x_{i}=303+9p$

$∵ \sum f_{i}=41+p$ तथा $\sum f_{i}x_{i}=303+9p$

$∴$ समान्तर माध्य $=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

$⇒7.5=\frac{303+9p}{41+p}$

$⇒7.5 \times (41+p)=303+9p$

$⇒307.5+7.5p=303+9p$

$1.5p=4.5$

$p=3$ उत्तर

प्रश्न 6. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता	12	20	30	25	13

हल— दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 30 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 20-30 है।

अतः बहुलक वर्ग $=20-30$

$∴l=20,f_{1}=30,f_{0}=20,f_{2}=25,h=10$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=20+\frac{30-20}{2(30)-20-25} \times 10$

$=20+\frac{10}{15} \times 10$

$=20+6.66=26.66$ उत्तर

प्रश्न 7. यदि निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 21.5 हो, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिये— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

$x$	5	15	25	35	45
$f$	6	4	3	$k$	2

हल—

$x$	$f$	$fx$
5	6	30
15	4	60
25	3	75
35	$k$	$35k$
45	3	90
योग	$\sum f=15+k$	$\sum fx=255+35k$

दिया गया है— माध्य $=21.5$

समान्तर माध्य $x=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}$

$21.5=\frac{255+35k}{15+k}$

$⇒21.5(15+k)=255+35k$

$⇒322.5+21.5k=255+35k$

$⇒322.5-255=35k-21.5k$

$⇒67.5=13.5k$

$∴k=\frac{67.5}{13.5}=5$

$k=5$ उत्तर

प्रश्न 8. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

$x$	5	6	7	8	9	10	11
$f$	5	8	9	12	6	6	4

हल—

$x$	$f$	$fx$
5	5	25
6	8	48
7	9	63
8	12	96
9	6	54
10	6	60
11	4	44
योग	$\sum f=50$	$\sum fx=390$

माध्य $x=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$=\frac{390}{50}=7.8$ उत्तर

प्रश्न 9. यदि निम्न बंटन का माध्य 7 हो, तो $P$ का मान ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

$x$	$2$	$5$	$p$	$9$	$10$
$f$	$1$	$5$	$4$	$7$	$3$

हल—

$x$	$f$	$fx$
$2$	$1$	$2$
$5$	$5$	$25$
$p$	$4$	$4p$
$9$	$7$	$63$
$10$	$3$	$30$
योग	$\sum f=20$	$\sum fx=4p+120$

माध्य $x=\frac{ \sum fx}{ \sum f}$

$⇒7=\frac{120+4p}{20}$

$⇒4p=140-120=20$

$⇒p=\frac{20}{4}=5$ उत्तर

प्रश्न 10. निम्न समूहिक बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए—

वर्ग अन्तराल	$0-8$	$8-16$	$16-24$	$24-32$	$32-40$
बारम्बारता	$12$	$20$	$30$	$25$	$13$

हल—

वर्ग	बारम्बारता	संचयी बारम्बारता
$0-8$	$12$	$12$
$8-16$	$20$	$32$
$16-24$	$30$	$62$
$24-32$	$25$	$87$
$32-40$	$13$	$100$

माध्यक वर्ग $=100/2=50$ अतः माध्यक वर्ग $=(16-24)$

$l=16,f=30,C=32,h=8$

$M=l+\frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h$

$=16+\frac{(100/2-32)}{30} \times 8$

$=16+\frac{50-32}{30} \times 8$

$=16+\frac{18}{30} \times 8$

$=16+4.8=20.8$ उत्तर

प्रश्न 11. किसी कक्षा के $30$ विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किये गये। छात्रों का माध्य भार ज्ञात कीजिये।

भार (किग्रा में)	$40-45$	$45-50$	$50-55$	$55-60$	$60-65$	$65-70$	$70-75$
विद्यार्थियों की संख्या	$2$	$3$	$8$	$6$	$6$	$3$	$2$

हल— माना कल्पित माध्य $(a)=57.5$ और वर्ग माप $h=5$

भार (किग्रा में)	माध्यमान $(x_{i})$	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-57.5}{5}$	$f_{i}u_{i}$
$40-45$	$42.5$	$2$	$\frac{42.5-57.5}{5}=-3$	$-6$
$45-50$	$47.5$	$3$	$\frac{47.5-57.5}{5}=-2$	$-6$
$50-55$	$52.5$	$8$	$\frac{52.5-57.5}{5}=-1$	$-8$
$55-60$	$57.5$	$6$	$\frac{57.5-57.5}{5}=0$	$0$
$60-65$	$62.5$	$6$	$\frac{62.5-57.5}{5}=1$	$6$
$65-70$	$67.5$	$3$	$\frac{67.5-57.5}{5}=2$	$6$
$70-75$	$72.5$	$2$	$\frac{72.5-57.5}{5}=3$	$6$
		$\sum f_{i}=30$		$\sum f_{i}u_{i}=-2$

$\sum f_{i}u_{i}=-2$

यहाँ पर कल्पित माध्य $(a)=57.5$ तथा वर्ग माप $h=5$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=\frac{-2}{30}=-0.0666$

$∴$ माध्य $(X)=a+hu$

$=57.5+5 \times (-0.0666)$

$=57.5-0.333$

$=57.167 kg$

अतः छात्रों का माध्य भार $=57.167 kg$ उत्तर

--- | ---

प्रश्न 12. गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किये गए अंकों का बंटन निम्नलिखित हैं- ( प्रश्न बैंक )

प्राप्तांकों का वर्ग अन्तराल	10-25	25-40	40-55	55-70	70-85	85-100
विद्यार्थियों की संख्या	2	3	7	6	6	6

इन आँकड़ों से कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात कीजिए एवं बहुलक भी ज्ञात कीजिए।

अथवा

निम्नलिखित बंटन का समान्तर माध्य कल्पित माध्य विधि से ज्ञात कीजिए-

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

वर्ग अन्तराल	10-25	25-40	40-55	55-70	70-85	85-100
बारम्बारता	2	3	7	6	6	6

हल—

वर्ग अन्तराल	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i}=x_{i}-47.5$	$f_{i}d_{i}$
10-25	2	17.5	$-30$	$-60$
25-40	3	32.5	$-15$	$-45$
40-55	7	47.5	0	0
55-70	6	62.5	15	90
70-85	6	77.5	30	180
85-100	6	92.5	45	270
योग	$\sum f_{i}=30$			$\sum f_{i}d_{i}=435$

$∴$ माध्य $(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=47.5+\frac{435}{30}$

$=47.5+14.5$

माध्य $(X)=62$

अतः विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का माध्य 62 है। उत्तर

दी गई बारंबारता सारणी से अधिकतम बारंबारता 7 है।

अतः बहुलक वर्ग $=40-55$

बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(l)=40$ , वर्गमाप $(h)=15$ , बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_{1})=7$ , बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_{0})=3$ , तथा बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता $(f_{2})=6$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=40+\frac{7-3}{2 \times 7-3-6} \times 15$

$=40+\frac{4}{14-9} \times 15$

$=40+\frac{60}{5}$

$=40+12$

बहुलक $=52$

अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक 52 है। उत्तर

प्रश्न 13. एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांक निम्न बंटन में दिये हुये हैं। इनका माध्यक ज्ञात कीजिये-

( प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023, 2024 )

प्राप्तांक	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
छात्रों की संख्या	4	28	42	20	6

हल—

प्राप्तांक	छात्रों की संख्या बारम्बारता $(f_{i})$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
0-10	4	4
10-20	28	32
20-30	42	74
30-40	20	94
40-50	6	100
योग	$\sum f_{i}=100$

यहाँ पर $\sum f_{i}=N=100$

तो $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$

जो कि वर्ग अन्तराल 20-30 में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=20-30$

अतः $l=20,N=100,f=42,cf=32$ और $h=10$

$∴$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$

$=20+\frac{50-32}{42} \times 10$

$=20+\frac{18 \times 10}{42}$

$=20+4.28=24.28$ उत्तर

प्रश्न 14. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के $40$ विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है-

भार किग्रा में	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75
विद्यार्थियों की संख्या	3	5	10	8	7	4	3

विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

हल—

भार किग्रा में	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	संचयी बारंबारता
40-45	3	3
45-50	5	$3+5=8$
50-55	10	$8+10=18$
55-60	8	$18+8=26$
60-65	7	$26+7=33$
65-70	4	$33+4=37$
70-75	3	$37+3=40$
योग	$\sum f_{i}=n=40$

यहाँ, $\sum f_{i}=n=40$

तो, $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ , जो कि अन्तराल $55-60$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=55-60$

इसलिए $l=55,n=40,f=8,cf=18$ और $h=5$

माध्यक $=l+\frac{\frac{n}{2}-cf}{f} \times h$

$=55+\frac{20-18}{8} \times 5$

$=55+\frac{5}{4}=55+1.25$

$=56.25$ उत्तर

प्रश्न 15. निम्न बारम्बारता बंटन का पग-विचलन विधि से माध्य ज्ञात कीजिए- ( प्रश्न बैंक )

वर्ग अन्तराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता	7	10	15	8	10

हल—

वर्ग अन्तराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}=x_{i}-a$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$	$f_{i}u_{i}$
0-10	7	5	-20	-2	-14
10-20	10	15	-10	-1	-10
20-30	15	25	0	0	0
30-40	8	35	10	1	8
40-50	10	45	20	2	20
	$\sum f_{i}=50$				$\sum f_{i}u_{i}=4$

यहाँ कल्पित माध्य $=25,h=10$

माध्य $x=a+h\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}$

$=25+10 \times \frac{4}{50}$

$=25+0.8=25.8$ उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. निम्न बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात कीजिए-

प्राप्तांक	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
छात्रों की संख्या	4	28	42	20	6

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता $42$ है अतः बहुलक वर्ग $=40-50$

अतः $l=40,f_{1}=42,f_{0}=28,f_{2}=20,h=10$

अतः बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=40+\frac{42-28}{2 \times 42-28-20} \times 10$

$=40+\frac{14}{84-48} \times 10$

$=40+\frac{140}{36}$

$=40+3.88$

$=43.88$ (लगभग) उत्तर

प्रश्न 2. 100 परिवारों में बच्चों की संख्या निम्न प्रकार है, इनका माध्यक ज्ञात कीजिए-

बच्चों की संख्या	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10
परिवारों की संख्या	38	36	18	5	3

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल—

बच्चों की संख्या	परिवारों की संख्या $(f_{i})$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
0-2	38	38
2-4	36	74
4-6	18	92
6-8	5	97
8-10	3	100
	$\sum f_{i}=100$

अतः $N=100$ , $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$

50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता = 74

अतः माध्यक वर्ग = 2-4

माध्यक सूत्र $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$ में

$l=2$ , $\frac{N}{2}=50$ , $cf=38$ , $f=36$ , $h=2$ रखने पर

माध्यक $=2+\frac{50-38}{36} \times 2$

$=2+\frac{12}{36} \times 2$

$=2+\frac{1}{3} \times 2$

$=2+\frac{2}{3}$

$=2+0.67$

$=2.67$ (लगभग) उत्तर

प्रश्न 3. नीचे दिये गये बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-

वर्ग अन्तराल	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19
बारम्बारता	6	30	40	16	4	4

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022 )

हल—

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता $(f)$	संचयी बारम्बारता
1-4	6	6
4-7	30	36
7-10	40	76
10-13	16	92
13-16	4	96
16-19	4	100
	$\sum f_{i}=100$

यहाँ पर $\sum f_{i}=100=N$

तो, $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$ जो कि अन्तराल 7-10 में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग = 7-10

$∴$ $l=7$ , $N=100$ , $f=40$ , $c.f.=36$ और $h=3$

$∴$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-c.f.}{f} \times h$

$=7+\frac{\frac{100}{2}-36}{40} \times 3$

$=7+\frac{50-36}{40} \times 3$

$=7+\frac{14 \times 3}{40}=7+1.05$

$=8.05$ उत्तर

प्रश्न 4. एक पौधे की 75 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिली मीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है-

लम्बाई (mm)	1-9	11-19	21-29	31-39	41-49	51-59
पत्तियों की संख्या	6	10	12	22	17	8

पत्तियों की लम्बाई का बहुलक ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

लम्बाइ (mm)	पत्तियों की संख्या
1-9	6
11-19	10
21-29	12
31-39	22
41-49	17
51-59	18

दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $22$ है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल $31-39$ है।

इसलिए बहुलक वर्ग $=31-39$

अतः $l=31,f_{1}=22,f_{0}=12,f_{2}=17$ और $h=8$

बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

मान रखने पर,

बहुलक $=31+\frac{22-12}{2(22)-12-17} \times 8$

$=31+\frac{10 \times 8}{44-29}$

$=31+\frac{80}{15}$

$=31+5.33=36.33$ mm उत्तर

प्रश्न 5. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

वर्ग	7-17	17-27	27-37	37-47	47-57	57-67
बारम्बारता	22	18	20	12	15	13

हल—

वर्ग	बारम्बारता $(f)$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
7-17	22	22
17-27	18	40
27-37	20	60
37-47	12	72
47-57	15	87
57-67	13	100
योग	$\sum f_{i}=N=100$

यहाँ $N=100$ अतः $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$ , जो कि वर्ग अन्तराल $27-37$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=27-37$

अतः $l=27,N=100,f=20,cf=40$ और $h=10$

$∴$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$

$=27+\frac{50-40}{20} \times 10$

$=27+5=32$ उत्तर

प्रश्न 6. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

वर्ग	2-11	11-20	20-29	29-38	38-47
बारम्बारता	15	16	17	12	11

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $17$ है तथा इसके संगत वर्ग $20-29$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=20-29$

अतः $f_{1}=17,f_{0}=16,f_{2}=12$ तथा $h=9$

बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=20+\frac{17-16}{2 \times 17-16-12} \times 9$

$=20+\frac{1}{6} \times 9$

$=20+1.5=21.5$ उत्तर

प्रश्न 7. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग	10-25	25-40	40-55	55-70	70-85	85-100
$f_{i}$	6	20	44	26	3	1

हल—

वर्ग	$f_{i}$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
10 - 25	6	6
25 - 40	20	26
40 - 55	44	70
55 - 70	26	96
70 - 85	3	99
85 - 100	1	100
योग	$\sum f_{i}=100$

यहाँ $\sum f_{i}=N=100$ तो $\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$

जो कि वर्ग अन्तराल $40-55$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=40-55$

अतः $l=40,N=100,f=44,cf=26,h=15$

$∴$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$

$=40+\frac{50-26}{44} \times 15$

$=40+\frac{24}{44} \times 15$

$=40+8.18=48.18$ उत्तर

प्रश्न 8. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
$f_{i}$	6	10	13	7	4

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल—

वर्ग	$f_{i}$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-25}{10}$	$f_{i}u_{i}$
0-10	6	5	-2	-12
10-20	10	15	-1	-10
20-30	13	25	0	0
30-40	7	35	1	7
40-50	4	45	2	8
	$\sum f_{i}=40$			$\sum f_{i}u_{i}=-7$

माना कि कल्पित मान $(a)=25$ वर्गमाप $(h)=10$

$u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-7}{40}$

माध्य $(X)=a+hu$

$=25+10 \times \frac{-7}{40}$

$=25-\frac{7}{4}=\frac{100-7}{4}=\frac{93}{4}$

$=23.25$ उत्तर

प्रश्न 9. निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

वर्ग अन्तराल	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100	100-120
बारंबारता	10	35	52	61	38	20

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

$∴$ बहुलक वर्ग $=60-80$

अतः $l=60;f_{1}=61;f_{0}=52;f_{2}=38$ और $h=20$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=60+\frac{61-52}{2(61)-52-38} \times 20$

$=60+\frac{9}{122-52-38} \times 20$

$=60+\frac{9}{32} \times 20$

$=60+\frac{180}{32}=60+5.625$

$=65.625$ उत्तर

प्रश्न 10. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

प्राप्तांक	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
छात्रों की संख्या	5	10	12	6	3

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $12$ है तथा इसके संगत वर्ग अंतराल $40-60$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=40-60$

इसलिए $l=40,f_{1}=12,f_{0}=10,f_{2}=6$ और $h=20$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=40+\frac{12-10}{2 \times 12-10-6} \times 20$

$=40+\frac{2}{24-16} \times 20$

$=40+\frac{40}{8}$

$=40+5=45$ उत्तर

प्रश्न 11. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

ऊँचाई (सेमी.)	50-55	55-60	60-65	65-70
छात्र संख्या	10	20	25	10

हल— यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता $25$ वर्ग $60-65$ की है अतः बहुलक वर्ग $=(60-65)$ है

अतः $l=60,f_{1}=25,f_{2}=10,f_{0}=20,h=5$

अतः बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=60+\frac{25-20}{2 \times 25-20-10} \times 5$

$=60+\frac{5}{50-30} \times 5=60+1.25$

अतः बहुलक $=61.25$ सेमी. उत्तर

प्रश्न 12. निम्नलिखित आँकड़ों की माध्यिका $525$ है। यदि बारम्बारताओं का योग $100$ है, तो $x$ और $y$ का मान ज्ञात कीजिए : (प्रश्न बैंक)

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता
0 - 100	2
100 - 200	5
200 - 300	$x$
300 - 400	12
400 - 500	17
500 - 600	20
600 - 700	$y$
700 - 800	9
800 - 900	7
900 - 1000	4

हल—

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता	संचयी बारम्बारता
0 - 100	2	2
100 - 200	5	7
200 - 300	$x$	$7+x$
300 - 400	12	$19+x$
400 - 500	17	$36+x$
500 - 600	20	$56+x$
600 - 700	$y$	$56+x+y$
700 - 800	9	$65+x+y$
800 - 900	7	$72+x+y$
900 - 1000	4	$76+x+y$

यह दिया है कि $N=100$ है।

अतः $76+x+y=100$

अर्थात् $x+y=24$ ....(i)

माध्यिका $525$ है, जो वर्ग $500-600$ में स्थित है।

अतः $l=500,f=20,cf=36+x,h=100$ है।

$∵$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$

$525=500+\frac{50-36-x}{20} \times 100$

या $525-500=(14-x) \times 5$

या $25=70-5x$

या $5x=70-25=45$

अतः $x=9$ उत्तर

इसलिए (i) से $9+y=24$

$∴y=15$ उत्तर

प्रश्न 13. निम्न आँकड़े किसी विद्यालय में कक्षा-X के $100$ छात्रों के एक विशेष सत्र में दिये गये हैं। इस बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

अंक	छात्रों की संख्या
10 से कम	7
20 से कम	21
30 से कम	34
40 से कम	46
50 से कम	66
60 से कम	77
70 से कम	92
80 से कम	100

हल—सही वर्गीकृत सारणी बनाने पर

अंक	छात्रों की संख्या
0–10	7
10–20	$21-7=14$
20–30	$34-21=13$
30–40	$46-34=12$
40–50	$66-46=20$
50–60	$77-66=11$
60–70	$92-77=15$
70–80	$100-92=08$

यहाँ पर स्पष्ट है कि सबसे अधिकतम बारम्बारता (छात्रों की संख्या) 20 है, जिसका वर्ग अन्तराल $40-50$ है। अतः यहाँ पर बहुलक वर्ग अन्तराल $(40-50)$ होगा और यहाँ पर $f_{1}=20,f_{0}=12,f_{2}=11,l=40$ तथा $h=10$

बहुलक का सूत्र $Z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=40+\frac{20-12}{40-12-11} \times 10$

$=40+\frac{8}{17} \times 10$

$=40+\frac{80}{17}=40+4.7$

$=44.7$ उत्तर

प्रश्न 14. यदि नीचे दिये हुए बंटन का माध्य 50 हो, तो $x$ व $y$ के मान ज्ञात करें—

वर्ग अन्तराल	0–20	20–40	40–60	60–80	80–100	योग
बारम्बारता	17	$x$	32	$y$	19	120

हल—

S.N.	वर्ग अन्तराल	बारम्बारता $(f)$	मध्य बिन्दु $(x)$	$f \times x$
1.	0–20	17	10	170
2.	20–40	$x$	30	$30x$
3.	40–60	32	50	1600
4.	60–80	$y$	70	$70y$
5.	80–100	19	90	1710
योग		120		$30x+70y+3480$

माध्य का योग करने पर $=170+30x+1600+70y+1710=30x+70y+3480$

बारम्बारता का योग करने पर $=17+x+32+y+19=120$

$=x+y+68=120$

या $x+y=120-68=52$

$∴x+y=52$ ...(1)

$∴X=\frac{ \sum f \times x}{N}$

$∴\frac{50}{1}=\frac{30x+70y+3480}{120}$

या $6000=30x+70y+3480$

या $30x+70y=6000-3480=2520$

या $3x+7y=252$ ...(2)

$x+y=52$ ...(1)

समीकरण (1) में 7 का गुणा करने पर

$3x+7y=252$ ...(3)

$7x+7y=364$ ...(4)

घटाने पर

$-4x=-112$

$∴x=\frac{112}{4}=28$

$x$ का यह मान समीकरण (1) में रखने पर

$x+y=52$

$28+y=52$

$y=52-28=24$

$∴x=28$ तथा $y=24$ उत्तर

प्रश्न 15. निम्न बंटन का कल्पित माध्य मानकर माध्य $x$ ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग अन्तराल	10–25	25–40	40–55	55–70	70–85	85–100
बारम्बारता	2	3	7	5	6	7

अथवा

निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

वर्ग अन्तराल	0–20	20–40	40–60	60–80	80–100	100–120
बारम्बारता	10	35	52	61	38	20

हल—

वर्ग अन्तराल	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i}=x_{i}-47.5$	$f_{i}d_{i}$
10–25	2	17.5	$-30$	$-60$
25–40	3	32.5	$-15$	$-45$
40–55	7	47.5	0	0
55–70	5	62.5	15	75
70–85	6	77.5	30	180
85–100	7	92.5	45	315
योग	$\sum f_{i}=30$			$\sum f_{i}d_{i}=465$

$∴$ माध्य $(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}$

[यहाँ कल्पित माध्य $=47.5$ ]

$=47.5+\frac{465}{30}$

$=47.5+15.5$

माध्य $(X)=63$

अतः कल्पित माध्य की विधि से माध्य $(X)=63$ उत्तर

अथवा

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता $61$ है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल $60-80$ है।

$∴$ बहुलक वर्ग $=60-80$

अतः यहाँ $l=60,f_{1}=61,f_{0}=52,f_{2}=38$ और $h=20$

$∴$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=60+\frac{61-52}{2(61)-52-38} \times 20$

$=60+\frac{9}{122-52-38} \times 20$

$=60+\frac{9}{32} \times 20$

$=60+\frac{180}{32}=60+5.625$

$=65.625$

$=65.62$

अर्थात् बहुलक $=65.62$ उत्तर

प्रश्न 16. निम्नलिखित सारिणी एक स्कूल की कक्षा $X$ के $50$ विद्यार्थियों के गणित में प्राप्त अंकों को दर्शाती है। माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

प्राप्तांक (अंक)	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
विद्यार्थियों की संख्या	5	9	8	12	13	3

हल—

प्राप्तांक अंक	विद्यार्थियों की संख्या $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
20-30	5	5
30-40	9	14
40-50	8	22
50-60	12	34
60-70	13	47
70-80	3	50
योग	$\sum f=50$

अतः $N=50$ है अतः $\frac{N}{2}=\frac{50}{2}=25$

यह प्रेक्षण अन्तराल $50-60$ में आता है। तब, $l=50$

माध्यक वर्ग $50-60$ के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)=22$ ,

माध्यक वर्ग $50-60$ की बारंबारता $f=12$ तथा वर्ग माप $h=10$ है।

सूत्र, माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$ का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

माध्यक $=50+\frac{25-22}{12} \times 10$

$=50+\frac{3 \times 10}{12}$

$=50+\frac{30}{12}$

$=50+2.5$

$=52.5$

अतः माध्यक $=52.5$ अंक है। उत्तर

प्रश्न 17. निम्नलिखित सारिणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ग में भर्ती रोगियों की आयु को दर्शाती है -

आयु (वर्षों में)	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65
रोगियों की संख्या	6	11	21	23	14	5

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

हल—बहुलक के लिए—दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $23$ है और इसके संगत वर्ग अन्तराल $35-45$ है-

$∴$ बहुलक वर्ग $=35-45$

अतः: $l=35$ ; $f_{1}=23$ ; $f_{0}=21$ ; $f_{2}=14$ और $h=10$

$∵$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=35+\frac{23-21}{2(23)-21-14} \times 10$

$=35+\frac{2}{46-35} \times 10$

$=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8$ उत्तर

माध्य के लिए :

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$ या $u_{i}=\frac{x_{i}-30}{10}$	$f_{i}u_{i}$
5-15	6	10	$-2$	$-12$
15-25	11	20	$-1$	$-11$
25-35	21	30	0	0
35-45	23	40	1	23
45-55	14	50	2	18
55-65	5	60	3	15
योग	$\sum f_{i}=80$			$\sum f_{i}u_{i}=43$

यहाँ कल्पित माध्य $(a)=30$ तथा वर्ग माप $(h)=10$

$∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{43}{80}=0.5375$

$∵$ माध्य $(X)=a+hu$

$X=30+10(0.5375)$

$=30+5.375$

$=35.375=35.37$

अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक $36.8$ वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य $35.37$ वर्ष है।

प्रश्न 18. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के $68$ उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या
65 - 85	4
85 - 105	5
105 - 125	13
125 - 145	20
145 - 165	14
165 - 185	8
185 - 205	4

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23 )

हल—माध्यक के लिए :

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या $(f_{i})$	संचयी बारम्बारता $(cf)$
65 - 85	4	4
85 - 105	5	9
105 - 125	13	22
125 - 145	20	42
145 - 165	14	56
165 - 185	8	64
185 - 205	4	68
योग	$\sum f_{i}=N=68$

यहाँ, $\sum f_{i}=N=68$ तो $\frac{n}{2}=\frac{68}{2}=34$

जो कि वर्ग अन्तराल $125-145$ में स्थित है।

$∴$ माध्यक वर्ग $=125-145$

अतः, $l=125$ ; $N=68$ ; $f=20$ ; $cf=22$ और $h=20$

$∵$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h$

$=125+\frac{\frac{68}{2}-22}{20} \times 20$

$=125+\frac{34-22}{20} \times 20$

$=125+12=137$ इकाई उत्तर

बहुलक-दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता $20$ है तथा इसके संगत वर्ग $125-145$ है।

इसलिए $l=125;f_{1}=20;f_{0}=13;f_{2}=14$ और $h=20$

$∵$ बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

बहुलक $=125+\frac{20-13}{2(20)-13-14} \times 20$

$=125+\frac{7}{40-27} \times 20$

$=125+\frac{140}{13}$

$=125+10.76923$

$=125+10.77=135.77$ इकाई

अतः, दिए गए आँकड़ों का माध्यक और बहुलक है : $137$ मात्रक और $135.77$ मात्रक। उत्तर

प्रश्न 19. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

वर्ग	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
बारम्बारता	6	10	13	7	4

हल—

वर्ग	$f_{i}$	वर्ग चिन्ह $(x_{i})$	$u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$	$f_{i}u_{i}$
0-20	6	10	$-2$	$-12$
20-40	10	30	$-1$	$-10$
40-60	13	50	0	0
60-80	7	70	1	7
80-100	4	90	2	8
	$\sum f_{i}=40$			$\sum f_{i}u_{i}=-7$

माना कि कल्पित माध्य $(a)=50$ तथा वर्ग माप $(h)=20$

$u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-7}{40}$

माध्य $(x)=a+hu$

$=50+20 \times \frac{-7}{40}$

$=50-3.5=46.50$ उत्तर

प्रश्न 20. निम्न बंटन का $17.5$ कल्पित माध्य मानकर माध्य ज्ञात कीजिए-

वर्ग	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
बारम्बारता	3	7	15	24	16	5

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )

हल—

वर्ग	वर्ग चिन्ह $(x)$	बारम्बारता $f_{i}$	$\frac{x-17.5}{5}=u_{i}$	$f_{i}u_{i}$
0-5	2.5	3	$-3$	$-9$
5-10	7.5	7	$-2$	$-14$
10-15	12.5	15	$-1$	$-15$
15-20	17.5	24	0	0
20-25	22.5	16	$+1$	16
25-30	27.5	5	$+2$	10
		$\sum f_{i}=70$		$\sum f_{i}u_{i}=-12$

दिया गया है—कल्पित माध्य $a=17.5$

पग-विचलन विधि के प्रयोग से

माध्य $(x)=a+\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}} \times h$

यहाँ पर $h=5$ लिया गया है

$x=17.5+\frac{-12 \times 5}{70}$

$=17.5-\frac{60}{70}=17.5-0.857=16.643$ उत्तर

प्रश्न 21. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

वर्ग	$1-3$	$3-5$	$5-7$	$7-9$	$9-11$
बारंबारता	$7$	$8$	$2$	$2$	$1$

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; प्रश्न बैंक )

हल— यहाँ, अधिकतम वर्ग बारंबारता $8$ है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग $3-5$ है।

अतः बहुलक वर्ग $3-5$ है।

अब बहुलक वर्ग $=3-5$

बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(l)=3$

तथा वर्ग माप $(h)=2$ है।

बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_{1})=8$

बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_{0})=7$ तथा बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता $(f_{2})=2$ है।

बहुलक $=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h$

$=3+\frac{8-7}{2 \times 8-7-2} \times 2$

$=3+\frac{2}{7}=3.286$

अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक $3.286$ है। उत्तर

प्रश्न 22. निम्न बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए— ( प्रश्न बैंक )

वर्ग	$0-8$	$8-16$	$16-24$	$24-32$	$32-40$
बारंबारता	$10$	$15$	$25$	$22$	$12$

हल—

वर्ग	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$0-8$	$10$	$10$
$8-16$	$15$	$25$
$16-24$	$25$	$50$
$24-32$	$22$	$72$
$32-40$	$12$	$84$
	$\sum f_{i}=84$

यहाँ $N=84$ अतः $\frac{N}{2}=42$ अतः माध्यक वर्ग $16-24$ है।

$∴l=16,N=84,cf=25,h=8$

$∴$ माध्यक $=l+\frac{\frac{N}{2}-c.f.}{f} \times h$

$=16+\frac{42-25}{25} \times 8$

$=16+\frac{17}{25} \times 8$

$=16+5.44=21.44$ उत्तर

$\square \square \square$

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

RBSE Class 10 Maths Chapter 13 Solutions in Hindi — सांख्यिकी | पासबुक हल, नोट्स

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

अध्याय-13 सांख्यिकी

SECTION_SOLUTIONS_START: 1. समाधान: प्रश्नावली हल (Complete Solutions)

प्रश्नावली 13.2

प्रश्नावली 13.3

SECTION_NOTES_START: 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं नियम (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

उत्तरमाला

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

और अध्याय देखें / Explore More Chapters

वास्तविक संख्याएँ

बहुपद

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

द्विघात समीकरण

समान्तर श्रेढ़ियाँ

त्रिभुज

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिकोणमिति का परिचय