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📚 कक्षा 10 गणित (Mathematics)हिंदी माध्यमसत्र 2026-27 सम्पूर्ण हल

पाठ 13: सांख्यिकी

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📅 शैक्षणिक सत्र: 2026-27•📖 RBSE/NCERT डिजिटल पासबुक•🎯 संपूर्ण प्रश्नोत्तर
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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

#### प्रश्नावली 13.1

1. विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पौधों की संख्या

0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

10-12

12-14

घरों की संख्या

1

2

1

5

6

2

3

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?

हल— क्योंकि पौधों की संख्या और घरों की संख्या मानों में कम है, इसलिए हमें प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करना चाहिए।

पौधों की संख्या

घरों की संख्या ( fif_{i} )

वर्ग चिह्न ( xix_{i} )

fixif_{i}x_{i}

0-2

1

1

1

2-4

2

3

6

4-6

1

5

5

6-8

5

7

35

8-10

6

9

54

10-12

2

11

22

12-14

3

13

39

योग

∑fi=20\sum f_{i}=20

 

∑fixi=162\sum f_{i}x_{i}=162

∵∵ माध्य (X)=∑fixi∑fi(X)=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

∴(X)=16220=8.1∴(X)=\frac{162}{20}=8.1

अतः, प्रति घर पौधों की संख्या का माध्य 8.18.1 पौधे है। उत्तर

2. किसी फैक्टरी के 5050 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

दैनिक मजदूरी (रूपयों में)

500−520500-520

520−540520-540

540−560540-560

560−580560-580

580−600580-600

श्रमिकों की संख्या

1212

1414

88

66

1010

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।

हल—

दैनिक मजदूरी (रूपयों में)

श्रमिकों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−55020u_{i}=\frac{x_{i}-550}{20}

fiuif_{i}u_{i}

500−520500-520

1212

510510

−2-2

−24-24

520−540520-540

1414

530530

−1-1

−14-14

540−560540-560

88

550550

00

00

560−580560-580

66

570570

11

66

580−600580-600

1010

590590

22

2020

 

∑fi=50\sum f_{i}=50

  

∑fiui=−12\sum f_{i}u_{i}=-12

माना कि कल्पित मान (a)=550(a)=550 और वर्ग माप (h)=20(h)=20

∴u=∑fiui∑fi=−1250=−0.24∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-12}{50}=-0.24

∵∵ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

=550+(20)(−0.24)=550+(20)(-0.24)

=550−4.8=545.2=550-4.8=545.2

अतः फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी 545.20545.20 रु. है। उत्तर

3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों का दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च 1818 रु. है। लुप्त बारम्बारता ff ज्ञात कीजिए।

दैनिक जेब भत्ता (रूपयों में)

11−1311-13

13−1513-15

15−1715-17

17−1917-19

19−2119-21

21−2321-23

23−2523-25

बच्चों की संख्या

77

66

99

1313

ff

55

44

हल—

दैनिक जेब भत्ता (रूपयों में)

बच्चों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

di=xi−ad_{i}=x_{i}-a या di=xi−18d_{i}=x_{i}-18

fidif_{i}d_{i}

11−1311-13

77

1212

−6-6

−42-42

13−1513-15

66

1414

−4-4

−24-24

15−1715-17

99

1616

−2-2

−18-18

17−1917-19

1313

1818

00

00

19−2119-21

ff

2020

22

2f2f

21−2321-23

55

2222

44

2020

23−2523-25

44

2424

66

2424

योग

∑fi=f+44\sum f_{i}=f+44

  

∑fidi=2f−40\sum f_{i}d_{i}=2f-40

यहाँ कल्पित माध्य (a)=18(a)=18

∵∵ माध्य (X)=a+∑fidi∑fi(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}

X=18+2f−4044+fX=18+\frac{2f-40}{44+f}

परन्तु आँकड़ों का माध्य X=18X=18 (प्रश्नानुसार)

∴18=18+2f−4044+f∴18=18+\frac{2f-40}{44+f}

या 2f−4044+f=18−18=0\frac{2f-40}{44+f}=18-18=0

या 2f−40=02f-40=0

या 2f=402f=40

या f=402=20f=\frac{40}{2}=20

अतः, लुप्त बारम्बारता f=20f=20 है। उत्तर

4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 3030 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या

65−6865-68

68−7168-71

71−7471-74

74−7774-77

77−8077-80

80−8380-83

83−8683-86

महिलाओं की संख्या

22

44

33

88

77

44

22

हल— प्रति मिनट हृदय स्पन्दन के माध्य हेतु गणना सारणी—

माना स्पन्दन का कल्पित माध्य a=75.5a=75.5 है।

( प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या

महिलाओं की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−75.53u_{i}=\frac{x_{i}-75.5}{3}

fiuif_{i}u_{i}

65 - 68

2

66.5

−3-3

−6-6

68 - 71

4

69.5

−2-2

−8-8

71 - 74

3

72.5

−1-1

−3-3

74 - 77

8

75.5

0

0

77 - 80

7

78.5

1

7

80 - 83

4

81.5

2

8

83 - 85

2

84.5

3

6

योग

∑fi=30\sum f_{i}=30

  

∑fiui=4\sum f_{i}u_{i}=4

यहाँ कल्पित माध्य (a)=75.5(a)=75.5 तथा वर्ग माप (h)=3(h)=3

∴u=∑fiui∑fi∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}

=430=0.13=\frac{4}{30}=0.13 (लगभग)

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

=75.5+3(0.13)=75.5+3(0.13)

=75.5+0.39=75.5+0.39

X=75.89X=75.89

अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या 75.8975.89 है। उत्तर

5. किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

आमों की संख्या

50-52

53-55

56-58

59-61

62-64

पेटियों की संख्या

15

110

135

115

25

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?

हल— क्योंकि आमों की संख्या और पेटियों की संख्या के मान संख्यात्मक रूप से बड़े हैं इसलिए हम पद विचलन विधि का प्रयोग करेंगे।

यहाँ कल्पित माध्य (a)=57(a)=57 तथा वर्ग माप (h)=3(h)=3 ( ∵∵ वर्ग अन्तराल समावेशी है)

आमों की संख्या

पेटियों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−573u_{i}=\frac{x_{i}-57}{3}

fiuif_{i}u_{i}

50 - 52

15

51

−2-2

−30-30

53 - 55

110

54

−1-1

−110-110

56 - 58

135

57

0

0

59 - 61

115

60

1

115

62 - 64

25

63

2

50

योग

∑fi=400\sum f_{i}=400

  

∑fiui=25\sum f_{i}u_{i}=25

∴u=∑fiui∑fi=25400=0.0625∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{25}{400}=0.0625

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=57+3(0.0625)=57+0.1875=57.1875=57.19X=57+3(0.0625)=57+0.1875=57.1875=57.19 (लगभग)

अतः, पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या 57.1957.19 है। उत्तर

6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 2525 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

दैनिक व्यय (रूपयों में)

100-150

150-200

200-250

250-300

300-350

परिवारों की संख्या

4

5

12

2

2

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

हल—

दैनिक व्यय (रूपयों में)

परिवारों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−22550u_{i}=\frac{x_{i}-225}{50}

fiuif_{i}u_{i}

100 - 150

4

125

−2-2

−8-8

150 - 200

5

175

−1-1

−5-5

200 - 250

12

225

0

0

250 - 300

2

275

1

2

300 - 350

2

325

2

4

योग

∑fi=25\sum f_{i}=25

  

∑fiui=−7\sum f_{i}u_{i}=-7

यहाँ कल्पित माध्य (a)=225(a)=225 तथा वर्ग माप (h)=50(h)=50

∴u=∑fiui∑fi=−725=−0.28∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-7}{25}=-0.28

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=225+50(−0.28)X=225+50(-0.28)

X=225−14X=225-14

X=211X=211

अतः, भोजन पर हुआ माध्य व्यय 211211 रु. है। उत्तर

7. वायु में सल्फर डाइऑक्साइड (SO2)(SO_{2}) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 3030 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

SO2SO_{2} की सान्द्रता

बारम्बारता

0.00−0.040.00-0.04

44

0.04−0.080.04-0.08

99

0.08−0.120.08-0.12

99

0.12−0.160.12-0.16

22

0.16−0.200.16-0.20

44

0.20−0.240.20-0.24

22

वायु में SO2SO_{2} की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल— वायु में सल्फर डाइऑक्साइड (SO2)(SO_{2}) की सान्द्रता ज्ञात करने के लिए सारणी—

SO2SO_{2} की सान्द्रता

बारम्बारता (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−0.100.04u_{i}=\frac{x_{i}-0.10}{0.04}

fiuif_{i}u_{i}

0.00−0.040.00-0.04

44

0.020.02

−2-2

−8-8

0.04−0.080.04-0.08

99

0.060.06

−1-1

−9-9

0.08−0.120.08-0.12

99

0.10=a0.10=a

00

00

0.12−0.160.12-0.16

22

0.140.14

11

22

0.16−0.200.16-0.20

44

0.180.18

22

88

0.20−0.240.20-0.24

22

0.220.22

33

66

योग

∑fi=30\sum f_{i}=30

  

∑fiui=−1\sum f_{i}u_{i}=-1

यहाँ कल्पित माध्य (a)=0.10(a)=0.10 तथा वर्ग माप (h)=0.04(h)=0.04

∴u=∑fiui∑fi=−130=−0.03∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-1}{30}=-0.03 (लगभग)

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=0.10+0.04(−0.03)X=0.10+0.04(-0.03)

=0.10−0.0012=0.099=0.10-0.0012=0.099 (लगभग)

वायु में SO2SO_{2} की सान्द्रता का माध्य 0.0990.099 ppm है। उत्तर

8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 4040 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा, उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

दिनों की संख्या

0−60-6

6−106-10

10−1410-14

14−2014-20

20−2820-28

28−3828-38

38−4038-40

विद्यार्थियों की संख्या

1111

1010

77

44

44

33

11

हल— विद्यार्थियों की अनुपस्थिति के लिये माध्य गणना सारणी—

दिनों की संख्या

विद्यार्थियों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

di=xi−ad_{i}=x_{i}-a या di=xi−17d_{i}=x_{i}-17

fidif_{i}d_{i}

0−60-6

1111

33

−14-14

−154-154

6−106-10

1010

88

−9-9

−90-90

10−1410-14

77

1212

−5-5

−35-35

14−2014-20

44

1717

00

00

20−2820-28

44

2424

77

2828

28−3828-38

33

3333

1616

4848

38−4038-40

11

3939

2222

2222

योग

∑fi=40\sum f_{i}=40

  

∑fidi=−181\sum f_{i}d_{i}=-181

यहाँ कल्पित माध्य (a)=17(a)=17

∴∴ माध्य (X)=a+∑fidi∑fi(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}

X=17+()40=17−4.52=12.48X=17+\frac{()}{40}=17-4.52=12.48

अतः, एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य 12.4812.48 दिन है। उत्तर

9. निम्नलिखित सारणी 3535 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

साक्षरता दर (% में)

45−5545-55

55−6555-65

65−7565-75

75−8575-85

85−9585-95

नगरों की संख्या

33

1010

1111

88

33

हल— माध्य साक्षरता दर की गणना सारणी—

साक्षरता दर

नगरों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−7010u_{i}=\frac{x_{i}-70}{10}

fiuif_{i}u_{i}

45−5545-55

33

5050

−2-2

−6-6

55−6555-65

1010

6060

−1-1

−10-10

65−7565-75

1111

7070

00

00

75−8575-85

88

8080

11

88

85−9585-95

33

9090

22

66

योग

∑fi=35\sum f_{i}=35

  

∑fiui=−2\sum f_{i}u_{i}=-2

यहाँ कल्पित माध्य (a)=70(a)=70

तथा वर्ग माप (h)=10(h)=10

u=∑fiui∑fi=−235=−0.057u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-2}{35}=-0.057

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=70+10(−0.057)X=70+10(-0.057)

=70−0.57=69.43=70-0.57=69.43

अतः, माध्य साक्षरता दर 69.4369.43% है। उत्तर

प्रश्नावली 13.2

1. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ग में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

आयु (वर्षों में)

5-15

15-25

25-35

35-45

45-55

55-65

रोगियों की संख्या

6

11

21

23

14

5

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2323 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 35−4535-45 है :

∴∴ बहुलक वर्ग =35−45=35-45

अतः: l=35;f1=23;f0=21;f2=14l=35;f_{1}=23;f_{0}=21;f_{2}=14 और h=10h=10

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =35+23−212(23)−21−14×10=35+\frac{23-21}{2(23)-21-14} \times 10

=35+246−35×10=35+\frac{2}{46-35} \times 10

=35+2011=35+1.8=36.8=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8 उत्तर

माध्य के लिए :

आयु (वर्षों में)

रोगियों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−3010u_{i}=\frac{x_{i}-30}{10}

fiuif_{i}u_{i}

5-15

6

10

-2

-12

15-25

11

20

-1

-11

25-35

21

30

0

0

35-45

23

40

1

23

45-55

14

50

2

28

55-65

5

60

3

15

योग

∑fi=80\sum f_{i}=80

  

∑fiui=43\sum f_{i}u_{i}=43

यहाँ कल्पित माध्य (a)=30(a)=30 तथा वर्ग माप (h)=10(h)=10

∴u=∑fiui∑fi=4380=0.5375∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{43}{80}=0.5375

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=30+10(0.5375)X=30+10(0.5375)

=30+5.375=35.375=35.37=30+5.375=35.375=35.37

अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक 36.836.8 वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य 35.3735.37 वर्ष है।

साथ ही, उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि अस्पताल में भर्ती हुए रोगियों की औसत आयु 35.3735.37 वर्ष है और अस्पताल में भर्ती हुए अधिकतम रोगियों की आयु 36.836.8 वर्ष है। उत्तर

2. निम्नलिखित आँकड़े, 225225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :

जीवन काल (घंटों में)

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

100-120

बारम्बारता

10

35

52

61

38

29

उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 6161 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 60−8060-80 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =60−80=60-80

अतः: l=60;f1=61;f0=52;f2=38l=60;f_{1}=61;f_{0}=52;f_{2}=38 और h=20h=20

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =60+61−522(61)−52−38×20=60+\frac{61-52}{2(61)-52-38} \times 20

=60+9122−52−38×20=60+\frac{9}{122-52-38} \times 20

=60+932×20=60+\frac{9}{32} \times 20

=60+18032=60+5.625=65.625=60+\frac{180}{32}=60+5.625=65.625

अतः, उपकरणों का बहुलक जीवन काल 65.62565.625 घण्टे है। उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

व्यय (रुपयों में)

परिवारों की संख्या

1000−15001000-1500

2424

1500−20001500-2000

4040

2000−25002000-2500

3333

2500−30002500-3000

2828

3000−35003000-3500

3030

3500−40003500-4000

2222

4000−45004000-4500

1616

4500−50004500-5000

77

हल— बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 4040 है तथा इस बारम्बारता के संगत वर्ग 1500−20001500-2000 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =1500−2000=1500-2000

अतः: l=1500;f1=40;f0=24;f2=33l=1500;f_{1}=40;f_{0}=24;f_{2}=33 और h=500h=500

∵∵ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=1500+40−242(40)−24−33×500=1500+{\frac{40-24}{2(40)-24-33}} \times 500

=1500+1680−24−33×500=1500+{\frac{16}{80-24-33}} \times 500

=1500+16×50023=1500+\frac{16 \times 500}{23}

=1500+800023=1500+\frac{8000}{23}

=1500+347.83=1847.83=1500+347.83=1847.83

अतः बहुलक =1847.83=1847.83 रु. उत्तर

माध्य के लिए :

व्यय (रुपयों में)

परिवारों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−2750500u_{i}=\frac{x_{i}-2750}{500}

fiuif_{i}u_{i}

1000−15001000-1500

2424

12501250

−3-3

−72-72

1500−20001500-2000

4040

17501750

−2-2

−80-80

2000−25002000-2500

3333

22502250

−1-1

−33-33

2500−30002500-3000

2828

27502750

00

00

3000−35003000-3500

3030

32503250

11

3030

3500−40003500-4000

2222

37503750

22

4444

4000−45004000-4500

1616

42504250

33

4848

4500−50004500-5000

77

47504750

44

2828

योग

∑fi=200\sum f_{i}=200

  

∑fiui=−35\sum f_{i}u_{i}=-35

यहाँ कल्पित माध्य (a)=2750(a)=2750 तथा वर्ग माप (h)=500(h)=500

∴u=∑fiui∑fi=−35200=−0.175∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=-\frac{35}{200}=-0.175

∵∵ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=2750+500(−0.175)X=2750+500(-0.175)

=2750−87.50=2662.50=2750-87.50=2662.50

अतः परिवारों का बहुलक मासिक व्यय 1847.831847.83 रु. है और माध्य मासिक व्यय 2662.502662.50 रु. है। उत्तर

प्रश्न 4. निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या

राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या

15−2015-20

33

20−2520-25

88

25−3025-30

99

30−3530-35

1010

35−4035-40

33

40−4540-45

00

45−5045-50

00

50−5550-55

22

हल— बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 1010 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 30−3530-35 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =30−35=30-35

अतः: l=30;f1=10;f0=9;f2=3l=30;f_{1}=10;f_{0}=9;f_{2}=3 और h=5h=5

∵∵ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =30+10−92(10)−9−3×5=30+\frac{10-9}{2(10)-9-3} \times 5

=30+120−12×5=30+\frac{1}{20-12} \times 5

=30+58=30+0.625=30+\frac{5}{8}=30+0.625

=30.625=30.63=30.625=30.63 (लगभग)

माध्य के लिए :

प्रति शिक्षक शिक्षार्थियों की संख्या

राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−32.55u_{i}=\frac{x_{i}-32.5}{5}

fiuif_{i}u_{i}

15 - 20

3

17.5

−3-3

−9-9

20 - 25

8

22.5

−2-2

−16-16

25 - 30

9

27.5

−1-1

−9-9

30 - 35

10

32.5

0

0

35 - 40

3

37.5

1

3

40 - 45

0

42.5

2

0

45 - 50

0

47.5

3

0

50 - 55

2

52.5

4

8

योग

∑fi=35\sum f_{i}=35

  

∑fiui=−23\sum f_{i}u_{i}=-23

यहाँ कल्पित माध्य (a)=32.5(a)=32.5 तथा वर्ग माप (h)=5(h)=5

∴u=∑fiui∑fi=2335=−0.657∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{23}{35}=-0.657

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=32.5+5(−0.657)X=32.5+5(-0.657)

=32.5−3.285=29.215=32.5-3.285=29.215 (लगभग)

अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक और माध्य 30.6330.63 और 29.21529.215 है। साथ ही, उपर्युक्त से यह स्पष्ट है कि राज्यों/संघीय क्षेत्र में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.6330.63 है और औसत के अनुसार यह अनुपात 29.21529.215 है। उत्तर

प्रश्न 5. दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

बनाए गए रन

बल्लेबाजों की संख्या

3000 - 4000

4

4000 - 5000

18

5000 - 6000

9

6000 - 7000

7

7000 - 8000

6

8000 - 9000

3

9000 - 10000

1

10000 - 11000

1

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल—दिए गए आँकड़ों में, अधिकतम बारम्बारता 1818 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 4000−50004000-5000 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =4000−5000=4000-5000

अतः: l=4000;f1=18;f0=4;f2=9l=4000;f_{1}=18;f_{0}=4;f_{2}=9 और h=1000h=1000

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =4000+18−42(18)−4−9×1000=4000+\frac{18-4}{2(18)-4-9} \times 1000

=4000+1436−13×1000=4000+\frac{14}{36-13} \times 1000

=4000+1400023=4000+\frac{14000}{23}

=4000+608.6956=4000+608.6956

=4000+608.7=4608.7=4000+608.7=4608.7 (लगभग)

अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक 4608.74608.7 रन है। उत्तर

प्रश्न 6. एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उन्हें नीचे दी हुई सारणी में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 33 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे 100100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

कारों की संख्या

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

बारम्बारता

7

14

13

12

20

11

15

8

हल—दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2020 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 40−5040-50 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =40−50=40-50

अतः: l=40;f1=20;f0=12;f2=11l=40;f_{1}=20;f_{0}=12;f_{2}=11 और h=10h=10

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =40+20−122(20)−12−11×10=40+\frac{20-12}{2(20)-12-11} \times 10

=40+840−23×10=40+\frac{8}{40-23} \times 10

=40+8017=40+4.70588=40+\frac{80}{17}=40+4.70588

=40+4.7=44.7=40+4.7=44.7 (लगभग)

अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक 44.744.7 कारें। उत्तर

प्रश्नावली 13.3

1. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आंकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या

65−8565-85

44

85−10585-105

55

105−125105-125

1313

125−145125-145

2020

145−165145-165

1414

165−185165-185

88

185−205185-205

44

हल—माध्यक के लिए :

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या (fi)(f_{i})

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

65−8565-85

44

44

85−10585-105

55

99

105−125105-125

1313

2222

125−145125-145

2020

4242

145−165145-165

1414

5656

165−185165-185

88

6464

185−205185-205

44

6868

योग

∑fi=N=68\sum f_{i}=N=68

 

यहाँ, ∑fi=N=68\sum f_{i}=N=68 तो N2=682=34\frac{N}{2}=\frac{68}{2}=34

जो कि वर्ग अन्तराल 125−145125-145 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =125−145=125-145

अतः, l=125;N=68;f=20;cf=22l=125;N=68;f=20;cf=22 और h=20h=20

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h

=125+682−2220×20=125+\frac{\frac{68}{2}-22}{20} \times 20

=125+34−2220×20=125+\frac{34-22}{20} \times 20

=125+12=137=125+12=137 इकाई उत्तर

माध्य के लिए :

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−13520u_{i}=\frac{x_{i}-135}{20}

fiuif_{i}u_{i}

65−8565-85

44

7575

−3-3

−12-12

85−10585-105

55

9595

−2-2

−10-10

105−125105-125

1313

115115

−1-1

−13-13

125−145125-145

2020

135135

00

00

145−165145-165

1414

155155

11

1414

165−185165-185

88

175175

22

1616

185−205185-205

44

195195

33

1212

योग

∑fi=68\sum f_{i}=68

  

∑fiui=7\sum f_{i}u_{i}=7

यहाँ कल्पित माध्य (a)=135(a)=135 तथा वर्ग माप (h)=20(h)=20

∴u=∑fiui∑fi=768=0.103∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{7}{68}=0.103

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=135+20(0.103)X=135+20(0.103)

=135+2.06=137.06=135+2.06=137.06 इकाई

बहुलक के लिए :

दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2020 है तथा इसके संगत वर्ग 125−145125-145 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =125−145=125-145

इसलिए l=125;f1=20;f0=13;f2=14l=125;f_{1}=20;f_{0}=13;f_{2}=14 और h=20h=20

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =125+20−132(20)−13−14×20=125+\frac{20-13}{2(20)-13-14} \times 20

=125+740−27×20=125+\frac{7}{40-27} \times 20

=125+14013=125+\frac{140}{13}

=125+10.76923=125+10.76923

=125+10.77=135.77=125+10.77=135.77 इकाई

अतः, दिए गए आंकड़ों का माध्यक, माध्य और बहुलक है : 137137 मात्रक, 137.06137.06 मात्रक और 135.77135.77 मात्रक। उत्तर

प्रश्न 2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.528.5 हो, तो xx और yy के मान ज्ञात कीजिए : (प्रश्न बैंक)

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता

0−100-10

55

10−2010-20

xx

20−3020-30

2020

30−4030-40

1515

40−5040-50

yy

50−6050-60

55

योग

6060

हल—

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता (fi)(f_{i})

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

0−100-10

55

55

10−2010-20

xx

5+x5+x

20−3020-30

2020

25+x25+x

30−4030-40

1515

40+x40+x

40−5040-50

yy

40+x+y40+x+y

50−6050-60

55

45+x+y45+x+y

योग

∑fi=N=60\sum f_{i}=N=60

 

दिए गए आँकड़ों में, ∑fi=N=60\sum f_{i}=N=60

∴N2=602=30∴\frac{N}{2}=\frac{60}{2}=30

साथ ही, बंटन का माध्यक =28.5=28.5

जो कि वर्ग अन्तराल 20−3020-30 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =20−30=20-30

इसलिए, l=20;f=20;cf=5+x;h=10l=20;f=20;cf=5+x;h=10

सारणी से 45+x+y=6045+x+y=60

या x+y=60−45=15x+y=60-45=15

या x+y=15x+y=15 ....(i)

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h

28.5=20+30−(5+x)20×1028.5=20+{\frac{30-(5+x)}{20}} \times 10

या 28.5=20+30−5−x228.5=20+\frac{30-5-x}{2}

या 28.5=40+25−x228.5=\frac{40+25-x}{2}

या 2(28.5)=65−x2(28.5)=65-x

या 57.0=65−x57.0=65-x

या x=65−57=8x=65-57=8

∴x=8∴x=8

xx के इस मान को (i) में प्रतिस्थापित करने पर

8+y=158+y=15

y=15−8=7y=15-8=7

अतः, xx और yy के मान 88 व 77 हैं। उत्तर

प्रश्न 3. एक जीवन बीमा एजेंट 100100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिसकी आयु 1818 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 6060 वर्ष से कम हो।

आयु (वर्षों में)

पॉलिसी धारकों की संख्या

2020 से कम

22

2525 से कम

66

3030 से कम

2424

3535 से कम

4545

4040 से कम

7878

4545 से कम

8989

5050 से कम

9292

5555 से कम

9898

6060 से कम

100100

हल—

आयु (वर्षों में)

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

पॉलिसी धारकों की संख्या (fi)(f_{i})

2020 से कम

22

22

20−2520-25

66

6−2=46-2=4

25−3025-30

2424

24−6=1824-6=18

30−3530-35

4545

45−24=2145-24=21

35−4035-40

7878

78−45=3378-45=33

40−4540-45

8989

89−78=1189-78=11

45−5045-50

9292

92−89=392-89=3

50−5550-55

9898

98−92=698-92=6

55−6055-60

100100

100−98=2100-98=2

योग

 

∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100

यहाँ, ∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100

तो, N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50 , जो कि अन्तराल 35−4035-40 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =35−40=35-40

इसलिए, l=35;N=100;f=33;cf=45l=35;N=100;f=33;cf=45 और h=5h=5

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h

=35+1002−4533×5=35+{\frac{\frac{100}{2}-45}{33}} \times 5

=35+50−4533×5=35+{\frac{50-45}{33}} \times 5

=35+2533=35+0.7575=35+\frac{25}{33}=35+0.7575

=35+0.76=35+0.76 (लगभग)

=35.76=35.76

अतः, दिए गए आँकड़ों की माध्यक आयु 35.7635.76 वर्ष है। उत्तर

प्रश्न 4. एक पौधे की 4040 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :

लम्बाई (mm में)

पत्तियों की संख्या

118−126118-126

33

127−135127-135

55

136−144136-144

99

145−153145-153

1212

154−162154-162

55

163−171163-171

44

172−180172-180

22

पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।

संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को सतत वर्ग अन्तरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अन्तरालों को सतत माना गया है। तब ये वर्ग 117.5−126.5,126.5−135.5,…,171.5−180.5117.5-126.5,126.5-135.5,…,171.5-180.5 में बदल जाते हैं।

हल— क्योंकि बारम्बारता बंटन लगातार नहीं है। हम इसे पहले सतत बंटन में परिवर्तित करेंगे :

लम्बाई (mm में)

पत्तियों की संख्या ( fif_{i} )

संचयी बारम्बारता

117.5−126.5117.5-126.5

33

3=33=3

126.5−135.5126.5-135.5

55

(3+5)=8(3+5)=8

135.5−144.5135.5-144.5

99

(8+9)=17(8+9)=17

144.5−153.5144.5-153.5

1212

(17+12)=29(17+12)=29

153.5−162.5153.5-162.5

55

(29+5)=34(29+5)=34

162.5−171.5162.5-171.5

44

(34+4)=38(34+4)=38

171.5−180.5171.5-180.5

22

(38+2)=40(38+2)=40

योग

∑fi=N=40\sum f_{i}=N=40

 

यहाँ, ∑fi=N=40\sum f_{i}=N=40

तो, N2=402=20\frac{N}{2}=\frac{40}{2}=20 , जो कि अन्तराल 144.5−153.5144.5-153.5 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =144.5−153.5=144.5-153.5

इसलिए l=144.5;f=12;cf=17l=144.5;f=12;cf=17 और h=9h=9

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h

माध्यक =144.5+20−1712×9=144.5+{\frac{20-17}{12}} \times 9

=144.5+3×912=144.5+\frac{3 \times 9}{12}

=144.5+2.25=146.75=144.5+2.25=146.75

अतः, पत्तियों की माध्यक लम्बाई 146.75mm146.75 mm है। उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित सारणी 400400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

जीवन काल (घंटों में)

लैंपों की संख्या

1500−20001500-2000

1414

2000−25002000-2500

5656

2500−30002500-3000

6060

3000−35003000-3500

8686

3500−40003500-4000

7474

4000−45004000-4500

6262

4500−50004500-5000

4848

एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।

हल—

जीवन काल (घंटों में)

लैंपों की संख्या ( fif_{i} )

संचयी बारम्बारता

1500−20001500-2000

1414

14=1414=14

2000−25002000-2500

5656

(14+56)=70(14+56)=70

2500−30002500-3000

6060

(70+60)=130(70+60)=130

3000−35003000-3500

8686

(130+86)=216(130+86)=216

3500−40003500-4000

7474

(216+74)=290(216+74)=290

4000−45004000-4500

6262

(290+62)=352(290+62)=352

4500−50004500-5000

4848

(352+48)=400(352+48)=400

योग

∑fi=N=400\sum f_{i}=N=400

 

यहाँ, ∑fi=N=400\sum f_{i}=N=400

N2=4002=200\frac{N}{2}=\frac{400}{2}=200 , जो कि अन्तराल 3000−35003000-3500 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =3000−3500=3000-3500

इसलिए l=3000;N=400;f=86;l=3000;N=400;f=86;

cf=130cf=130 और h=500h=500

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h

माध्यक =3000+4002−13086×500=3000+{\frac{\frac{400}{2}-130}{86}} \times 500

=3000+200−13086×500=3000+\frac{200-130}{86} \times 500

=3000+70×50086=3000+\frac{70 \times 500}{86}

=3000+406.9767441=3000+406.9767441

=3000+406.98=3000+406.98 (लगभग)

=3406.98=3406.98

अतः, लैंप का जीवन काल 3406.983406.98 घण्टे है। उत्तर

प्रश्न 6. एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100100 कुल नाम (surnames) लिए गए उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ : (प्रश्न बैंक)

अक्षरों की संख्या

1-4

4-7

7-10

10-13

13-16

16-19

कुल नामों की संख्या

6

30

40

16

4

4

कुल नामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुल नामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुल नामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल—माध्यक के लिए :

अक्षरों की संख्या

कुल नामों की संख्या (fi)(f_{i})

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

1 - 4

6

6=66=6

4 - 7

30

6+30=366+30=36

7 - 10

40

36+40=7636+40=76

10 - 13

16

76+16=9276+16=92

13 - 16

4

92+4=9692+4=96

16 - 19

4

96+4=10096+4=100

योग

∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100

 

यहाँ, ∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100

तो, N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50 , जो कि अन्तराल 7−107-10 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =7−10=7-10

इसलिए l=7;N=100;f=40;l=7;N=100;f=40;

cf=36cf=36 और h=3h=3

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+{\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}} \times h

माध्यक =7+1002−3640×3=7+{\frac{\frac{100}{2}-36}{40}} \times 3

=7+50−3640×3=7+{\frac{50-36}{40}} \times 3

=7+14×340=7+2120=7+\frac{14 \times 3}{40}=7+\frac{21}{20}

=7+1.05=8.05=7+1.05=8.05

अतः, माध्यक अक्षरों की संख्या 8.058.05 है। उत्तर

माध्य के लिए :

अक्षरों की संख्या

fif_{i}

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−8.53u_{i}=\frac{x_{i}-8.5}{3}

fiuif_{i}u_{i}

1 - 4

6

2.5

-2

-12

4 - 7

30

5.5

-1

-30

7 - 10

40

8.5=a8.5=a

0

0

10 - 13

16

11.5

1

16

13 - 16

4

14.5

2

8

16 - 19

4

17.5

3

12

योग

∑fi=100\sum f_{i}=100

  

∑fiui=−6\sum f_{i}u_{i}=-6

यहाँ कल्पित माध्य (a)=8.5(a)=8.5

तथा वर्ग माप (h)=3(h)=3

u=∑fiui∑fi⇒u=−6100=−0.06u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}⇒u=\frac{-6}{100}=-0.06

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=8.5+3(−0.06)X=8.5+3(-0.06)

=8.5−0.18=8.32=8.5-0.18=8.32

अतः, कुल नामों में माध्य अक्षरों की संख्या 8.328.32 अक्षर है। उत्तर

बहुलक के लिए :

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 4040 है तथा इसका संगत अन्तराल 7−107-10 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =7−10=7-10

इसलिए l=7;f1=40;f0=30;f2=16l=7;f_{1}=40;f_{0}=30;f_{2}=16 और h=3h=3

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =7+40−302(40)−30−16×3=7+\frac{40-30}{2(40)-30-16} \times 3

=7+1080−46×3=7+\frac{10}{80-46} \times 3

=7+3034=7+0.882352941=7+\frac{30}{34}=7+0.882352941

=7+0.88=7+0.88 (लगभग) =7.88=7.88

अतः, कुल नामों का बहुलक माप 7.887.88 अक्षर है। उत्तर

7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए :

भार (किग्रा में)

40-45

45-50

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

विद्यार्थियों की संख्या

2

3

8

6

6

3

2

हल—

भार (किलोग्राम में)

विद्यार्थियों की संख्या ( fif_{i} )

संचयी बारम्बारता

40 - 45

2

2=22=2

45 - 50

3

2+3=52+3=5

50 - 55

8

5+8=135+8=13

55 - 60

6

13+6=1913+6=19

60 - 65

6

19+6=2519+6=25

65 - 70

3

25+3=2825+3=28

70 - 75

2

28+2=3028+2=30

योग

∑fi=N=30\sum f_{i}=N=30

 

यहाँ, ∑fi=N=30\sum f_{i}=N=30

तो, N2=302=15\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15 , जो कि अन्तराल 55−6055-60 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =55−60=55-60

इसलिए l=55;N=30;f=6;cf=13l=55;N=30;f=6;cf=13 और h=5h=5

माध्यक =l+n2−cff×h=l+\frac{\frac{n}{2}-cf}{f} \times h

माध्यक =55+302−136×5=55+\frac{\frac{30}{2}-13}{6} \times 5

=55+15−136×5=55+\frac{15-13}{6} \times 5

=55+2×56=55+53=55+\frac{2 \times 5}{6}=55+\frac{5}{3}

=55+1.66666=55+1.66666

=55+1.67=55+1.67 (लगभग)

=56.67=56.67

अतः, माध्यक भार 56.6756.67 किलोग्राम है। उत्तर

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु

1. केन्द्रीय प्रवृत्ति- दिए गए आँकड़ों में से श्रेणी के अधिकांश पद जिस आँकड़े के आस-पास केन्द्रित होते हैं, उसे आँकड़ों की केन्द्रीय प्रवृत्ति कहते हैं। इसे ही केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप अथवा माध्य भी कहा जाता है। ये तीन प्रकार के होते हैं-

(i) माध्य (ii) बहुलक (iii) माध्यक।

2. समान्तर माध्य- यदि किसी चर राशि के xx मान क्रमशः x1,x2,x3,……xnx_{1},x_{2},x_{3},……x_{n} हों तो उनका समान्तर माध्य होगा-

(x)=x1+x2+x3+………xnn(x)=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+………x_{n}}{n}

या x=i=1nxinx=\frac{i=1nx_{i}}{n}

यहाँ पर प्रतीक ∑\sum (सिग्मा) योग की प्रक्रिया को दर्शाने के लिये किया गया है।

3. माध्य- यदि प्रेक्षणों x1,x2,x3,………xnx_{1},x_{2},x_{3},………x_{n} की बारम्बारताएँ क्रमशः f1,f2,f3………fnf_{1},f_{2},f_{3}………f_{n} हों, तो इन सभी प्रेक्षणों के मानों का योग =f1x1+f2x2+f3x3+………+fnxn=f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+………+f_{n}x_{n} है तथा प्रेक्षणों की संख्या f1+f2+………+fnf_{1}+f_{2}+………+f_{n} है तब

माध्य (x)=f1x1+f2x2+f3x3+………fnxnf1+f2+f3+………fn(x)=\frac{f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+………f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+………f_{n}}

या (x)=i=1nfixii=1nfi(x)=\frac{i=1nf_{i}x_{i}}{i=1nf_{i}}

या x=∑fixi∑fix=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

यहाँ ii का मान 11 से nn तक विचरण करता है। यह विधि प्रत्यक्ष विधि कहलाती है।

अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य क्रिया पद-

(i) प्रत्येक विचर को उसकी बारम्बारता से गुणा करके (fi)(f_{i}) का योग ज्ञात करते हैं।

(ii) योगफल में बारम्बारता के योगफल का भाग देते हैं।

(iii) इस प्रकार प्राप्त भागफल समान्तर माध्य होगा।

4. वर्ग चिह्न या मध्य-बिन्दु- किसी भी अन्तराल का मध्य-बिन्दु या वर्ग-चिह्न उसकी ऊपरी सीमा और निचली सीमाओं का औसत निकालकर ज्ञात करते हैं। अर्थात्

वर्ग चिह्न =ऊपरीवर्गसीमा+निचलीवर्गसीमा2=\frac{\text{ऊपरी} \text{वर्ग} \text{सीमा}+\text{निचली} \text{वर्ग} \text{सीमा}}{2}

5. कल्पित माध्य विधि (x)=a+∑fidi∑fi(x)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}

जहाँ पर di=xi−ad_{i}=x_{i}-a , a=a= कल्पित माध्य

∑fi=N=\sum f_{i}=N= बारम्बारताओं का योग

नोट—कल्पित माध्य विचर (x)(x) का वह मान लिया जाता है जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो। ऐसा करने पर गणितीय परिकलन आसान हो जाता है।

6. पग-विचलन विधि— इस विधि में विचलनों di=xi−ad_{i}=x_{i}-a के सभी मानों को किसी एक उभयनिष्ठ संख्या (माना hh ) से भाग देते हैं। ऐसी स्थिति में इन सभी विचलनों को hh से विभाजित करते हुए नये विचलन ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} के रूप में लेते हैं,

समान्तर माध्य (x)=a+∑fiui∑fi×h(x)=a+\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}} \times h

या x=a+hux=a+hu

जहाँ u=∑fiui∑fiu=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}

जहाँ ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}

a=a= कल्पित माध्य

h=h= वर्ग माप

∑fi=N=\sum f_{i}=N= बारम्बारताओं का योग

पग-विचलन विधि तभी सुविधाजनक होगी, जबकि सभी did_{i} में कोई सार्व गुणनखंड होगा।

टिप्पणी— जब xx के मानों में अन्तर अधिक तथा मान बड़ा हो या बारंबारता अधिक हो तो गणना की सरलता के लिये पद विचलन u=x−anu=\frac{x-a}{n} काम में लेना सुविधाजनक होता है।

7. बहुलक— दिए हुए प्रेक्षणों में बहुलक का वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है अर्थात् उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो, बहुलक कहलाता है।

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक इसी सूत्र से ज्ञात करते हैं। यहाँ

l=l= बहुलक वर्ग की निम्न सीमा

h=h= वर्ग अन्तराल की माप

f1=f_{1}= बहुलक वर्ग की बारम्बारता

f0=f_{0}= बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता तथा

f2=f_{2}= बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता है।

8. माध्यक या माध्यिका—

(A) यदि किसी चर राशि xx के मानों को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में रखा जाये, तो इस श्रेणी के मध्य के पद को श्रेणी की माध्यिका या माध्यक कहते हैं।

(i) यदि पदों की संख्या विषम है—

इस स्थिति में मध्य पद एक ही होगा—

∴∴ माध्यक (M)=n+12(M)=\frac{n+1}{2} वाँ पद

(ii) यदि पदों की संख्या सम है, तो

माध्यक (M) = n2वाँपद+(n2+1)वाँपद2\frac{\frac{n}{2}\text{वाँ} \text{पद}+(\frac{n}{2}+1)\text{वाँ} \text{पद}}{2} होगी।

(B) अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करना—अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करने की निम्न विधि है-

(i) संचयी बारम्बारता सारणी को तैयार कीजिये।

(ii) N2\frac{N}{2} का मान ज्ञात करना, जहाँ पर N=∑fiN= \sum f_{i}

(iii) N2\frac{N}{2} से ठीक अधिक संचयी बारम्बारता वाला चर मान माध्यक होगा।

(C) वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक—वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करने के लिये निम्न बिन्दु हैं-

(i) संचयी बारम्बारता सारणी तैयार कीजिये।

(ii) N2\frac{N}{2} ज्ञात कर ठीक अधिक संचयी बारम्बारता वाले वर्ग-अन्तराल को ज्ञात कीजिये।

(iii) अब इस वर्ग-अन्तराल के लिये निम्न सूत्र की सहायता से माध्यक ज्ञात कीजिये-

माध्यक = l+N2−c.f.f×hl+\frac{\frac{N}{2}-c.f.}{f} \times h

यहाँ ll = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा

NN = प्रेक्षणों की संख्या

c.f.c.f. = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता

ff = माध्यक वर्ग की बारम्बारता तथा

hh = वर्ग माप है।

9. तीनों केन्द्रीय प्रवृत्ति के मापकों में निम्नलिखित सम्बन्ध होता है-

3×माध्यक=बहुलक+2×माध्य3 \times \text{माध्यक}=\text{बहुलक}+2 \times \text{माध्य}

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न-

**1. आँकड़ों 2,0,7,3,4,8,12,0,7,3,4,8,1 का माध्यक है-** (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)

(A) 3
(B) 4
(C) 7
(D) 2

**2. यदि निम्नलिखित आँकड़ों की बारम्बारताओं का योग 6060 है, तो xx का मान है-** (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)

वर्ग

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

बारम्बारता

5

xx

20

15

7

5

(A) 7
(B) 8
(C) 15
(D) 20

3. निम्न में से एक माध्य ज्ञात करने का सूत्र नहीं है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

(A) ∑xn\frac{ \sum x}{n}
(B) ∑x+ahn\frac{ \sum x+ah}{n}
(C) ∑fxN\frac{ \sum fx}{N}
(D) ∑fdN\frac{ \sum fd}{N}

4. निम्न का बहुलक ज्ञात करो- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

xx

5

7

9

11

ff

4

8

6

2

(A) 9
(B) 5
(C) 7
(D) 11

5. किसी श्रेणी का बहुलक मूल्य होता है-

(A) मध्यवर्ती मूल्य
(B) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य
(C) न्यूनतम बारम्बारता मूल्य
(D) सीमान्त मूल्य

6. निम्न श्रेणी का माध्यक मूल्य है-

520,20,340,190,35,800,1210,50,80520,20,340,190,35,800,1210,50,80

(A) 12101210
(B) 520520
(C) 190190
(D) 3535

7. यदि 5,7,9,x5,7,9,x का माध्य 99 हो, तो xx का मान है-

(प्रश्न बैंक)

(A) 1111
(B) 1515
(C) 1818
(D) 1616

8. बंटन 2,3,4,7,5,12,3,4,7,5,1 का माध्यक है-

(A) 44
(B) 77
(C) 1111
(D) 3.53.5

9. किसी स्कूल के छात्रों की संख्या उनकी आयु के अनुसार निम्न प्रकार है-

आयु वर्षों में

88

99

1010

1111

1212

1313

1414

1515

1616

1717

छात्रों की संख्या

1515

2525

4040

3636

4141

3737

2020

1313

55

33

इनका बहुलक होगा-

(A) 4141
(B) 1212
(C) 33
(D) 1717

10. यदि निम्न बंटन का माध्य 55 है, तो PP का मान है-

xx

22

44

66

PP

ff

33

22

11

44

(A) 88
(B) 7.57.5
(C) 77
(D) 6.56.5

11. प्रथम पाँच विषम संख्याओं का माध्य है-

(A) 66
(B) 44
(C) 55
(D) 88

12. यदि 6,8,9,x6,8,9,x तथा 1313 का माध्य 1010 हो, तो xx का मान होगा-

(A) 1212
(B) 1313
(C) 1414
(D) 1515

13. x,x+3,x+6,x+9x,x+3,x+6,x+9 तथा x+12x+12 का समान्तर माध्य है-

(A) x+6x+6
(B) x+5x+5
(C) x+7x+7
(D) x+8x+8

14. वर्ग अन्तराल 24−3024-30 का वर्ग चिह्न क्या होगा?

(A) 1616
(B) 2727
(C) 3030
(D) 2424

15. माध्य (x)(x) , माध्यिका (y)(y) और बहुलक (z)(z) के बीच सम्बन्ध है-

(A) x−y=3(z−y)x-y=3(z-y)
(B) x−z=3(x−y)x-z=3(x-y)
(C) x−y=z−yx-y=z-y
(D) 3(x−z)=x−y3(x-z)=x-y

16. प्रथम 1010 समप्राकृतिक संख्याओं का माध्य है-

(A) 110110
(B) 100100
(C) 1111
(D) 1010

17. 6,4,3,6,4,3,4,6,56,4,3,6,4,3,4,6,5 तथा xx का बहुलक हो सकता है-

(A) सिर्फ 55
(B) 44 तथा 66 दोनों
(C) 33 तथा 66 दोनों
(D) 3,43,4 तथा 66

18. यदि 44 लगातार विषम संख्याओं का माध्य 66 है, तो सबसे बड़ी संख्या है-

(A) 55
(B) 1515
(C) 2121
(D) 99

19. संख्याओं 1,2,3,.........n1,2,3,.........n का माध्य है-

(A) n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
(B) n2\frac{n}{2}
(C) n+12\frac{n+1}{2}
(D) कोई नहीं

20. बंटन 7,4,5,3,4,3,4,1,27,4,5,3,4,3,4,1,2 का बहुलक है-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

(A) 77
(B) 44
(C) 33
(D) 22

21. आँकड़ों 8,6,12,4,13,20,7,2,3,3,108,6,12,4,13,20,7,2,3,3,10 में परिसर होगा-

(A) 2020
(B) 66
(C) 1818
(D) 33

22. प्राप्तांकों 7,3,5,12,10,97,3,5,12,10,9 की माध्यिका निम्नलिखित में कौन है?

(A) 88
(B) 77
(C) 1010
(D) 55

23. एक बंटन का माध्य तथा माध्यक क्रमशः 1414 तथा 1515 है। अतः बहुलक का मान होगा-

(A) 1616
(B) 1717
(C) 1818
(D) 1313

24. संचयी बारम्बारता सारणी का उपयोग होता है, ज्ञात करने में-

(A) माध्य
(B) बहुलक
(C) माध्यक
(D) सभी में

25. यदि xix_{i} वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु हैं, fif_{i} इनकी संगत बारम्बारतायें हैं तथा xx माध्य है, तो ∑(fixi−x)\sum (f_{i}x_{i}-x) बराबर है-

(A) शून्य
(B) −1-1
(C) 11
(D) 22

26. दिये गये सूत्र x=a+h∑fiui∑fix=a+h\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}} में uiu_{i} का मान होगा-

(A) h(xi−a)h(x_{i}-a)
(B) xi−ah\frac{x_{i}-a}{h}
(C) a−xih\frac{a-x_{i}}{h}
(D) xi+ah\frac{x_{i}+a}{h}

27. बंटन 3,5,7,4,2,1,4,33,5,7,4,2,1,4,3 , और 44 का बहुलक है -

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

(A) 11
(B) 33
(C) 44
(D) 77

28. 2,3,4,5,62,3,4,5,6 का औसत (माध्य) होगा-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023-24)

(A) 22
(B) 33
(C) 44
(D) 55

29. वर्ग अन्तराल 10−2510-25 का वर्ग चिह्न है-

(प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

(A) 1010
(B) 1515
(C) 17.517.5
(D) 2525

30. प्रथम 1111 पूर्ण संख्याओं का माध्य होगा-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) 44
(B) 55
(C) 5.55.5
(D) 66

31. बंटन 3,3,5,3,4,2,8,4,3,4,33,3,5,3,4,2,8,4,3,4,3 का बहुलक है - (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) 77
(B) 33
(C) 44
(D) 55

32. आँकड़े 7,4,5,3,5,4,57,4,5,3,5,4,5 और 77 का माध्य होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 55
(B) 66
(C) 77
(D) 88

33. किसी समूह बारम्बारता बंटन में किसी वर्ग का माध्य बिन्दु 1111 है तथा उसकी चौड़ाई 88 है। इस वर्ग की निम्न सीमा है - (प्रश्न बैंक)

(A) 77
(B) 33
(C) 1111
(D) 1919

34. किसी कक्षा के 99 विद्यार्थियों की ऊँचाई (सेमी) में निम्नानुसार है - 149,128,153,135,150,138,152,142,140149,128,153,135,150,138,152,142,140 , तो माध्यक ऊँचाई है - (प्रश्न बैंक)

(A) 142142
(B) 140140
(C) 150150
(D) 149149

35. 2,3,4,5,62,3,4,5,6 का औसत (माध्य) होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 22
(B) 33
(C) 44
(D) 55

36. 4,3,2,6,54,3,2,6,5 का माध्यक होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 22
(B) 33
(C) 44
(D) 55

37. किसी गेंदबाज द्वारा 1010 क्रिकेट मैचों में लिए गए विकटों की संख्याएँ निम्नलिखित हैं - 2,6,4,5,0,2,1,3,2,32,6,4,5,0,2,1,3,2,3 इन आँकड़ों का बहुलक होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 33
(B) 44
(C) 66
(D) 22

38. दिए गए आँकड़ों का परिसर होगा - 3,5,4,3,9,7,123,5,4,3,9,7,12 (प्रश्न बैंक)

(A) 33
(B) 1212
(C) 99
(D) 1010

39. प्रथम 77 प्राकृत संख्याओं का माध्य होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 44
(B) 55
(C) 33
(D) 77

40. 1,10,12,4,8,3,111,10,12,4,8,3,11 का माध्यक होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 11
(B) 77
(C) 1111
(D) 88

41. ∑\sum (सिग्मा) का चिह्न क्या प्रदर्शित करता है - (प्रश्न बैंक)

(A) योग

(B) गुणा

(स) भाग

(D) माध्य

42. केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप हैं - (प्रश्न बैंक)

(A) माध्य
(B) माध्यक
(C) बहुलक
(D) उपरोक्त सभी

43. इस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है, कहलाता है - (प्रश्न बैंक)

(A) माध्य
(B) बहुलक
(C) माध्यक
(D) संचयी बारम्बारता

44. आँकड़े 2,5,3,7,6,12,5,3,7,6,1 का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए - (प्रश्न बैंक)

(A) 11
(B) 55
(C) 44
(D) 77

45. आँकड़ों 7,4,5,5,4,3,4,1,27,4,5,5,4,3,4,1,2 का बहुलक होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 11
(B) 55
(C) 77
(D) 44

46. यदि 6,8,9,K6,8,9,K तथा 1313 का माध्य 1010 हो तो KK का मान होगा - (प्रश्न बैंक)

(A) 1212
(B) 1313
(C) 1414
(D) 1515

47. प्रथम पांच पूर्ण संख्याओं का माध्य है - (प्रश्न बैंक)

(A) 11
(B) 22
(C) 33
(D) 44

48. बहुलक (z)=18+15−630−6−9×5(z)=18+\frac{15-6}{30-6-9} \times 5 में बहुलक वर्ग की बारम्बारता है - (प्रश्न बैंक)

(A) 66
(B) 99
(C) 1515
(D) 1818

उत्तरमाला

1. (A)

2. (B)

3. (B)

4. (C)

5. (B)

6. (C)

7. (B)

8. (D)

9. (B)

10. (B)

11. (C)

12. (C)

13. (A)

14. (B)

15. (B)

16. (C)

17. (B)

18. (D)

19. (C)

20. (B)

21. (C)

22. (A)

23. (B)

24. (C)

25. (A)

26. (B)

27. (C)

28. (C)

29. (C)

30. (B)

31. (B)

32. (A)

33. (A)

34. (A)

35. (C)

36. (C)

37. (D)

38. (C)

39. (A)

40. (D)

41. (A)

42. (D)

43. (B)

44. (C)

45. (D)

46. (C)

47. (C)

48. (C)

  

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए -

1. बंटन 1,4,5,6,4,7,9,2,4,3,51,4,5,6,4,7,9,2,4,3,5 का बहुलक ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

2. किसी वर्ग अन्तराल के लिए वर्ग चिह्न 1717 है। यदि उपरि वर्ग सीमा 2424 है, तो निचली वर्ग सीमा ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

3. यदि 3,7,9,x,53,7,9,x,5 का समान्तर माध्य 66 हो तो xx का मान ............. होगा। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25) | 19. 33 माध्यक =2=2 माध्य +………………+……………… । (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

4. बंटन 3,5,7,4,2,1,4,3,43,5,7,4,2,1,4,3,4 का बहुलक ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25) | 20. वर्ग अन्तराल 60−7560-75 का वर्ग चिह्न ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

5. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ............. है। 2,6,4,5,0,2,1,3,2,32,6,4,5,0,2,1,3,2,3 (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक) | 21. बंटन 2,3,2,4,2,3,2,52,3,2,4,2,3,2,5 का माध्यक ............. है। (प्रश्न बैंक)

6. यदि प्रेक्षणों x1,x2,x3,……xnx_{1},x_{2},x_{3},……x_{n} की बारम्बारताएँ क्रमशः f1,f2,f3,……fnf_{1},f_{2},f_{3},……f_{n} हों तब समान्तर माध्य =∑fixi∑fi=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}} | 22. किसी वर्ग की उच्च सीमा तथा निम्न सीमा का अंतर ............. कहलाता है। (प्रश्न बैंक)

7. यदि xix_{i} वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु हैं, fif_{i} इनकी संगत बारम्बारताएँ हैं तथा xx माध्य है, तो ∑(fixi−x)\sum (f_{i}x_{i}-x) का मान ............. होगा। | 23. किसी बारम्बारता बंटन में किसी वर्ग की संचयी बारम्बारता उस वर्ग से पहले वाले सभी वर्गों की बारम्बारता का ............. होता है। (प्रश्न बैंक)

8. प्रथम दस सम प्राकृत संख्याओं का माध्य ............. होगा। | 24. सांख्यिकी आँकड़ों का प्रत्येक पद ............. कहलाता है। (प्रश्न बैंक)

9. संचयी बारम्बारता का उपयोग ............. ज्ञात करने में होता है। (प्रश्न बैंक) | 25. यदि किसी बंटन का माध्य 1616 तथा बहुलक 1313 हो, तो माध्यक ............. होगा। (प्रश्न बैंक)

10. बारम्बारता बंटन के माध्य, माध्यिका तथा बहुलक के बीच सम्बन्ध ............. होता है। (प्रश्न बैंक) | 26. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र =………=……… है।

11. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र x=………x=……… है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23) | उत्तर—1. 44 2. 1010 3. 66 4. 44 5. 22 6. ∑fixi\sum f_{i}x_{i} 7. 00 8. 1111 9. माध्यक 10. बहुलक =3=3 माध्यिका −2-2 माध्य 11. ∑fixi∑fi\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}} 12. 1515 13. 66 14. बहुलक 15. अन्तराल 16. x=15x=15 17. l+n2−cff×hl+\frac{\frac{n}{2}-cf}{f} \times h 18. बहुलक 19. बहुलक 20. 67.567.5 21. 2.52.5 22. वर्ग अन्तराल 23. योग 24. प्रेक्षण 25. 1515 26. ∑fi∑xi\frac{ \sum f_{i}}{ \sum x_{i}}

12. एक बंटन का बहुलक तथा माध्य क्रमशः 1717 व 1414 है तो माध्यक का मान ............. होगा। |

13. बंटन 7,4,6,3,8,5,97,4,6,3,8,5,9 की माध्यिका ............. होगी। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2021-22) |

14. जिस प्रेक्षण की बारम्बारता अधिकतम होती है वह उन प्रेक्षणों का ............. कहलाता है। | अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—

15. यदि कोई प्रेक्षण वर्ग की उच्च सीमा में आता है, तो उसे अगले ............. में लेते हैं। | प्रश्न 1. बंटन 1,3,2,5,9,111,3,2,5,9,11 का माध्यक ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

16. यदि 5,7,9,x5,7,9,x का समान्तर माध्य 99 हो, तो xx का मान ............. होगा। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023) | हल— बंटन को बढ़ते क्रम में लिखने पर, 1,2,3,5,9,111,2,3,5,9,11

17. वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र ............. है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24) | कुल प्रेक्षण =6=6 (सम संख्या)

18. उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है ............. कहलाता है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक) | अभीष्ट माध्यक =3+52=4=\frac{3+5}{2}=4 उत्तर

| | प्रश्न 2. बंटन 3,7,5,2,63,7,5,2,6 का माध्य ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल— अभीष्ट माध्य

=3+7+5+2+65=235=4.6=\frac{3+7+5+2+6}{5}=\frac{23}{5}=4.6 उत्तर

प्रश्न 3. वर्ग अन्तराल (10)(10) का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— वर्ग चिह्न =10+252=352=17.5=\frac{10+25}{2}=\frac{35}{2}=17.5 उत्तर

प्रश्न 4. प्रथम 1010 धनात्मक विषम प्राकृत संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025; मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— प्रथम 1010 धनात्मक विषम प्राकृत संख्याएँ हैं :

1,3,5,7,9,11,13,15,17,191,3,5,7,9,11,13,15,17,19

इनका समान्तर माध्य

=1+3+5+7+9+11+13+15+17+1910=\frac{1+3+5+7+9+11+13+15+17+19}{10}

=10010=\frac{100}{10} [ ∵∵ प्रथम nn धनात्मक विषम प्राकृत संख्याओं का योग =n2=n^{2} ]

=10=10 उत्तर

प्रश्न 5. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

xx

33

55

77

99

ff

66

77

55

66

हल—

xx

ff

cfcf

33

66

66

55

77

1313

77

55

1818

99

66

2424

यहाँ N=24⇒N2=12N=24⇒\frac{N}{2}=12

अतः cfcf 1313 के संगत मान =5=5

अतः माध्यिका =5=5 उत्तर

प्रश्न 6. निम्न आँकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए— 19,17,25,27,18,20,2919,17,25,27,18,20,29

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

हल— आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

17,18,19,20,25,27,2917,18,19,20,25,27,29

यहाँ पदों की संख्या =7=7 जो कि विषम संख्या है।

अतः माध्यक =7+12=\frac{7+1}{2} वां पद =4=4 वां पद

=20=20 उत्तर

प्रश्न 7. यदि 5,7,9,4,3,(x+2)5,7,9,4,3,(x+2) का समान्तर माध्य 66 हो, तो xx का मान ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

हल— समान्तर माध्य =राशियोंकायोगराशियोंकीसंख्या=\frac{\text{राशियों} \text{का} \text{योग}}{\text{राशियों} \text{की} \text{संख्या}}

⇒6=5+7+9+4+3+(x+2)6⇒6=\frac{5+7+9+4+3+(x+2)}{6}

⇒36=30+x⇒x=36−30=6⇒36=30+x⇒x=36-30=6 उत्तर

प्रश्न 8. बंटन 6,11,21,23,14,56,11,21,23,14,5 का माध्य ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल— माध्य (x)=x1+x2+x3+……xnn(x)=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+……x_{n}}{n}

माध्य (x)=6+11+21+23+14+56(x)=\frac{6+11+21+23+14+5}{6}

=806=13.33=\frac{80}{6}=13.33 उत्तर

प्रश्न 9. बंटन 10,12,8,7,1310,12,8,7,13 का माध्य ज्ञात करो। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )

हल— अभीष्ट माध्य =10+12+8+7+135=10=\frac{10+12+8+7+13}{5}=10

प्रश्न 10. प्रथम दस सम प्राकृत संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल— प्रथम दस सम संख्याएँ =2,4,6,8,10,12,14,16,18,20=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 हैं

अतः माध्य (x)=2+4+6+8+10+12+14+16+18+202(x)=\frac{2+4+6+8+10+12+14+16+18+20}{2}

=11010=11=\frac{110}{10}=11 उत्तर

प्रश्न 11. बंटन 3,5,7,4,2,1,4,3,43,5,7,4,2,1,4,3,4 का बहुलक लिखिए।

उत्तर— उपर्युक्त बंटन में 44 सर्वाधिक 33 बार आया है

अतः बहुलक =4=4 उत्तर

प्रश्न 12. निम्न बंटन का माध्यक लिखिए— ( प्रश्न बैंक )

xx

5

6

7

8

c.f.c.f.

2

5

8

10

हल— n2=102=5\frac{n}{2}=\frac{10}{2}=5

यहाँ 5 संचयी बारम्बारता 5 में आता है जिसका मूल्य 6 है।

अतः माध्यक = 6 उत्तर

प्रश्न 13. निम्न बंटन में PP का मान लिखिए—

xx

10

15

20

25

30

ff

2

5

P

3

2

c.f.c.f.

2

7

10

13

15

हल— 10−P=710-P=7 अतः P=3P=3 उत्तर

प्रश्न 14. निम्न तालिका से aa का मान लिखिए—

xx

20

25

30

35

40

45

50

बारम्बारता ff

2

8

10

13

5

3

1

संचयी बारम्बारता c.f.c.f.

2

10

20

33

aa

41

42

हल— a=33+5=38a=33+5=38 उत्तर

प्रश्न 15. निम्न बारम्बारता बंटन का प्रत्यक्ष विधि से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिये—

चर

2

4

6

8

10

बारम्बारता

1

2

3

2

1

हल—

चर xx

बारम्बारता ff

f×xf \times x

2

1

2

4

2

8

6

3

18

8

2

16

10

1

10

योग

∑f=9\sum f=9

∑fx=54\sum fx=54

∴∴ समान्तर माध्य = ∑fx∑f=549=6\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{54}{9}=6 उत्तर

प्रश्न 16. पदों 5,6,7,9,k5,6,7,9,k और 2020 का समान्तर माध्य 1111 है तो kk का मान ज्ञात कीजिये।

हल— समान्तर माध्य = पदोंकायोगकुलपद\frac{\text{पदों} \text{का} \text{योग}}{\text{कुल} \text{पद}}

11=5+6+7+9+k+20611=\frac{5+6+7+9+k+20}{6}

⇒66=47+k⇒66=47+k

⇒k=66−47=19⇒k=66-47=19 उत्तर

प्रश्न 17. एक गाँव के 32 परिवारों में उसके सदस्यों की संख्या निम्न सारणी के अनुसार है—

सदस्य संख्या

2

3

4

5

6

7

8

परिवार

1

2

4

7

10

3

5

बंटन का बहुलक लिखिए।

उत्तर— बहुलक = 6

∵∵ 6 की बारम्बारता का मान सबसे अधिक है।

प्रश्न 18. बहुलक के किसी प्रश्न को हल करने की एक स्थिति निम्न है—

Z=18+15−830−8−7×5Z=18+\frac{15-8}{30-8-7} \times 5

बहुलक वर्ग की बारम्बारता लिखिए।

उत्तर— 15

प्रश्न 19. निम्नलिखित बारम्बारता सारणी को ध्यान से पढ़िये तथा bb और dd के मान ज्ञात कीजिये—

अंक

बारम्बारता

संचयी बारम्बारता

15-20

4

4

20-25

5

9

25-30

bb

15

30-35

7

22

35-40

4

dd

40-45

3

29

45-50

1

30

हल— सारणी से स्पष्ट है कि

9+b=159+b=15

b=15−9=6b=15-9=6

तथा 22+4=d22+4=d

d=26d=26 उत्तर

प्रश्न 20. बंटन 1,6,3,5,7,9,11,4,91,6,3,5,7,9,11,4,9 का माध्यक तथा बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल— आरोही क्रम में लिखने पर 1,3,4,5,6,7,9,9,111,3,4,5,6,7,9,9,11

पदों की संख्या = 9 है जो कि विषम संख्या है।

अतः माध्यक = 9+12\frac{9+1}{2} वाँ पद = 5वाँ पद = 6 उत्तर

दिये गये बंटन में 9 की बारम्बारता 2 है जो कि सबसे अधिक है।

अतः दिये गये बंटन का बहुलक = 9 उत्तर

प्रश्न 21. a1,a2,a3………ana_{1},a_{2},a_{3}………a_{n} का माध्य AA है, तो AA का मान ज्ञात कीजिये।

हल— समान्तर माध्य = सभीपदोंकायोगकुलपद\frac{\text{सभी} \text{पदों} \text{का} \text{योग}}{\text{कुल} \text{पद}}

A=a1+a2+a3+…+annA=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}}{n}

A=i=1nainA=\frac{i=1na_{i}}{n} उत्तर

प्रश्न 22. यदि आँकड़ों का बहुलक और समान्तर माध्य क्रमशः 7070 और 100100 है तो माध्यिका (Median) ज्ञात कीजिये।

हल— बहुलक =70=70

समान्तर माध्य =100=100

3×माध्यिका=बहुलक+2×माध्य3 \times \text{माध्यिका}=\text{बहुलक}+2 \times \text{माध्य}

3×माध्यिका=70+2×1003 \times \text{माध्यिका}=70+2 \times 100

3×माध्यिका=70+200=2703 \times \text{माध्यिका}=70+200=270

∴माध्यिका=2703=90∴\text{माध्यिका}=\frac{270}{3}=90

अतः: माध्यिका =90=90 उत्तर

प्रश्न 23. निम्न बंटन पर विचार कीजिये।

वर्ग

0-5

5-10

10-15

15-20

20-25

बारम्बारता

10

15

12

20

9

माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का योग लिखिये।

हल— ∑f=66∴N2=33\sum f=66∴\frac{N}{2}=33

∴माध्यकवर्ग=10−15∴\text{माध्यक} \text{वर्ग}=10-15

तथा बहुलक वर्ग =15−20=15-20

अतः माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमाओं का योग =10+15=25=10+15=25

∴∴ माध्यक वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर =145−125=20=145-125=20 उत्तर

प्रश्न 25. दी गई बारम्बारता बंटन में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या लिखिये।

आयु (वर्षों) में

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

विद्यार्थियों की संख्या

3

6

8

8

2

हल— उपर्युक्त सारणी में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या =3+6+8+8=25=3+6+8+8=25 उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये—

xx

0

4

8

12

16

20

ff

1

3

5

4

2

1

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

xx

ff

fxfx

0

1

0

4

3

12

8

5

40

12

4

48

16

2

32

20

1

20

योग

∑f=16\sum f=16

∑fx=152\sum fx=152

माध्य (x)=∑fx∑f=15216=9.5(x)=\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{152}{16}=9.5 उत्तर

प्रश्न 2. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये—

प्राप्तांक

25

35

45

55

65

छात्रों की संख्या

4

28

42

20

6

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )

हल—

xix_{i}

fif_{i}

ui=xi−4510u_{i}=\frac{x_{i}-45}{10}

fiuif_{i}u_{i}

25

4

−2-2

−8-8

35

28

−1-1

−28-28

45

42

0

0

55

20

1

20

65

6

2

12

 

∑fi=100\sum f_{i}=100

 

∑fiui=−4\sum f_{i}u_{i}=-4

प्रश्न 24. बंटन

वर्ग

65-85

85-105

105-125

125-145

145-165

165-185

185-205

बारम्बारता

4

5

13

20

14

7

4

के लिये, माध्यक वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर लिखिये।

हल— दिये गये आंकड़ों में अधिकतम 20 है। इसके संगत वर्ग अन्तराल (125)(125) है। अतः बहुलक वर्ग (125)(125) होगा।

यहाँ पर ∑f=67∴N2=672=33.5\sum f=67∴\frac{N}{2}=\frac{67}{2}=33.5

33.533.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 42 के संगत वर्ग अन्तराल 125−145125-145 है। अतः माध्यक वर्ग =125−145=125-145

माना कि कल्पित माध्य (a)=45(a)=45

अन्तराल h=10h=10

ui=xi−ah=xi−4510u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-45}{10}

u=∑fiui∑fi=−4100=−0.04u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-4}{100}=-0.04

माध्य =a+hu=a+hu

=45+10(−0.04)=45+10(-0.04)

=45−0.4=45-0.4

=44.6=44.6

प्रश्न 3. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

वर्ग

10-25

25-40

40-55

55-70

70-85

85-100

fif_{i}

6

20

44

26

3

1

( माध्य. शिक्षा बोर्ड 2023; मॉडल पेपर, 2021-22 )

हल—दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 4444 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 40−5540-55 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =40−55=40-55

अतः l=40,f1=44,f0=20,f2=26l=40,f_{1}=44,f_{0}=20,f_{2}=26 और h=15h=15

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=40+44−202×44−20−26×15=40+\frac{44-20}{2 \times 44-20-26} \times 15

=40+2488−46×15=40+\frac{24}{88-46} \times 15

=40+36042=40+\frac{360}{42}

=40+8.57=48.57=40+8.57=48.57

प्रश्न 4. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए-

xx

5

6

7

8

9

ff

4

8

14

11

3

हल—

xx

ff

fxfx

5

4

20

6

8

48

7

14

98

8

11

88

9

3

27

 

∑f=40\sum f=40

∑fx=281\sum fx=281

माध्य =∑fx∑f=28140=7.025=\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{281}{40}=7.025 उत्तर

प्रश्न 5. निम्न बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-

जूतों की नाप

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

बारम्बारता

1

2

4

5

15

30

60

95

82

75

हल—

xx

ff

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

4.5

1

1

5.0

2

3

5.5

4

7

6.0

5

12

6.5

15

27

7.0

30

57

7.5

60

117

8.0

95

212

8.5

82

294

9.0

75

369

 

∑f=369\sum f=369

 

माध्यक =N2=3692=184.5=\frac{N}{2}=\frac{369}{2}=184.5

184.5184.5 संचयी बारम्बारता 212212 के अन्तर्गत आती है जो कि विचर 8.08.0 में है। अतः माध्यक =8.0=8.0 उत्तर

प्रश्न 6. क्रिकेट की एक टीम के खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों की संख्या निम्न प्रकार है-

57,17,26,91,115,26,83,41,57,0,2657,17,26,91,115,26,83,41,57,0,26

इसका माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल—(i) माध्य X=∑xnX=\frac{ \sum x}{n}

=57+17+26+91+115+26+83+41+57+0+2611=\frac{57+17+26+91+115+26+83+41+57+0+26}{11}

=53911=49=\frac{539}{11}=49 रन उत्तर

(ii) विचर की संख्याओं को आरोही क्रम में रखने पर 0,17,26,26,26,41,57,57,83,91,1150,17,26,26,26,41,57,57,83,91,115

यहाँ n=11n=11

अतः माध्यक M=n+12M=\frac{n+1}{2} वीं संख्या =11+12=\frac{11+1}{2} वीं संख्या =6=6 वीं संख्या

अतः माध्यक M=41M=41 रन उत्तर

(iii)

विचर

0

17

26

41

57

83

91

115

         

गणना चिह्न

                 

बारम्बारता

1

1

3

1

2

1

1

1

         

यहाँ पर बारम्बारता 33 अधिकतम है। इसके संगत विचर का मान 2626 है।

अतः बहुलक =26=26 रन उत्तर

प्रश्न 7. निम्न बारम्बारता बंटन के लिये माध्य ज्ञात कीजिये-

प्रेक्षक

प्रेक्षकों की संख्या

10 से कम

0

15 से कम

5

20 से कम

11

25 से कम

19

30 से कम

31

35 से कम

37

40 से कम

40

हल- दी गई बारम्बारता बंटन को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-

प्रेक्षक (वर्ग अन्तराल)

बारम्बारता ff

मध्यमान (x)(x)

f×xf \times x

5-10

0

7.5

0

10-15

5

12.5

62.5

15-20

6

17.5

105.0

20-25

8

22.5

180.0

25-30

12

27.5

330.0

30-35

6

32.5

195.0

35-40

3

37.5

112.5

 

∑f=40\sum f=40

 

∑fx=985\sum fx=985

∴∴ समान्तर माध्य =∑fx∑f=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

=98540=24.63=\frac{985}{40}=24.63 उत्तर

प्रश्न 8. एक गाँव की ढाणी के 25 परिवारों का प्रतिदिन व्यय निम्न बारम्बारता बंटन द्वारा दिया गया है।

प्रतिदिन व्यय (रूपयों में)

25-35

35-45

45-55

55-65

65-75

परिवारों की संख्या

3

7

6

6

3

प्रत्यक्ष विधि द्वारा परिवारों का माध्य व्यय ज्ञात कीजिये। (प्रश्न बैंक)

हल-

प्रतिदिन व्यय (रूपयों में)

परिवारों की संख्या fif_{i}

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

fixif_{i}x_{i}

25-35

3

30

90

35-45

7

40

280

45-55

6

50

300

55-65

6

60

360

65-75

3

70

210

योग

∑fi=25\sum f_{i}=25

 

∑fixi=1240\sum f_{i}x_{i}=1240

समान्तर माध्य x=∑fixi∑fix=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

=124025=49.6=\frac{1240}{25}=49.6 रुपये

अतः प्रत्यक्ष विधि द्वारा परिवारों का माध्य =49.6=49.6 रुपये उत्तर

प्रश्न 9. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये- (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

xx

20

30

40

50

60

70

80

ff

6

11

7

4

4

2

1

हल-

xx (चर)

(बारम्बारता ff )

f×xf \times x

20

6

120

30

11

330

40

7

280

50

4

200

60

4

240

70

2

140

80

1

80

योग

∑f=25\sum f=25

∑fx=1390\sum fx=1390

∴∴ समान्तर माध्य =∑fx∑f=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

=139035=39.71=\frac{1390}{35}=39.71 (लगभग) उत्तर

प्रश्न 10. निम्नलिखित वर्गीकृत आँकड़ों का कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिये- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23; प्रश्न बैंक)

वर्ग

11-13

13-15

15-17

17-19

19-21

21-23

23-25

बारम्बारता

7

6

9

13

20

5

4

हल—

वर्ग

बारम्बारता fif_{i}

वर्ग चिह्न xix_{i}

di=xi−ad_{i}=x_{i}-a या di=xi−18d_{i}=x_{i}-18

fidif_{i}d_{i}

11-13

7

12

-6

-42

13-15

6

14

-4

-24

15-17

9

16

-2

-18

17-19

13

18

0

0

19-21

20

20

2

40

21-23

5

22

4

20

23-25

4

24

6

24

योग

∑fi=64\sum f_{i}=64

  

∑fidi=0\sum f_{i}d_{i}=0

यहाँ कल्पित माध्य (a)=18(a)=18

∴∴ माध्य (x)=a+∑fidi∑fi(x)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}

=18+064=18=18+\frac{0}{64}=18 उत्तर

प्रश्न 11. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये— (प्रश्न बैंक)

xx

1

2

3

4

5

6

ff

2

4

5

4

2

2

हल—

xx (चर)

(बारम्बारता ff )

fxfx

1

2

2

2

4

8

3

5

15

4

4

16

5

2

10

6

2

12

योग

∑f=19\sum f=19

∑fx=63\sum fx=63

माध्य =∑fx∑f=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

=6319=3.315=\frac{63}{19}=3.315 (लगभग) उत्तर

प्रश्न 12. निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिये—

xx

20

25

28

29

33

38

42

43

बारम्बारता

6

20

24

28

15

4

2

1

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक)

हल—

xx

बारम्बारता (f)(f)

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

20

6

6

25

20

26

28

24

50

29

28

78

33

15

93

38

4

97

42

2

99

43

1

100

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि

5050 वाँ प्रेक्षण 2828 है ∵1002=50∵\frac{100}{2}=50

5151 वाँ प्रेक्षण 2929 है

∴∴ माध्यक =28+292=28.5=\frac{28+29}{2}=28.5 उत्तर

प्रश्न 13. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये—

xx

5

6

7

8

9

10

ff

8

6

12

7

5

6

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल—

xx

ff

fxfx

5

8

40

6

6

36

7

12

84

8

7

56

9

5

45

10

6

60

 

∑fi=44\sum f_{i}=44

∑fixi=321\sum f_{i}x_{i}=321

यहाँ पर ∑fi=44\sum f_{i}=44

∑fixi=321\sum f_{i}x_{i}=321

∴∴ बारम्बारता बंटन का माध्य x=∑fixi∑fix=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

x=32144=7.295x=\frac{321}{44}=7.295

x=7.295x=7.295 उत्तर

प्रश्न 14. एक विद्यालय की कक्षा 10 में वर्ग A के 25 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का माध्य 40 है, जबकि

वर्ग B के 26 विद्यार्थियों का माध्य 42 है, तो कक्षा 10 के 51 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य अंक ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— 51 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य

=n1x1+n2x2n1+n2=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}}{n_{1}+n_{2}}

=(25×40)+(26×42)25+26=\frac{(25 \times 40)+(26 \times 42)}{25+26}

=1000+109251=\frac{1000+1092}{51}

=209251=41.019=\frac{2092}{51}=41.019 उत्तर

प्रश्न 15. निम्नलिखित सारणी 50 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए - (प्रश्न बैंक)

साक्षरता दर प्रतिशत में

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

नगरों की संख्या

3

4

12

14

10

हल—

साक्षरता दर प्रतिशत में

नगरों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

fixif_{i}x_{i}

0-10

3

5

15

10-20

4

15

60

20-30

12

25

300

30-40

14

35

490

40-50

10

45

450

योग

∑fi=43\sum f_{i}=43

 

∑fixi=1315\sum f_{i}x_{i}=1315

∴∴ समान्तर माध्य =∑fixi∑fi=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

=131543=30.58=\frac{1315}{43}=30.58 उत्तर

प्रश्न 16. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन को 'अधिक के' प्रकार के बंटन में बदलिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग अंतराल

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

75-80

बारम्बारता

2

8

12

24

38

16

हल—

वर्ग अन्तराल

संचयी बारम्बारता

50 से अधिक

100

55 से अधिक

98

60 से अधिक

90

65 से अधिक

78

70 से अधिक

54

75 से अधिक

16

प्रश्न 17. निम्न चरों का मान 8,11,12,16,16+x,20,25,308,11,12,16,16+x,20,25,30 का माध्यक 1818 हो तो xx का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— माध्यक =4वाँपद+5वाँपद2=\frac{4\text{वाँ} \text{पद}+5\text{वाँ} \text{पद}}{2}

या 18=16+16+x218=\frac{16+16+x}{2}

या 36=32+x⇒x=436=32+x⇒x=4 उत्तर

प्रश्न 18. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

xx

5

10

15

20

25

30

ff

3

4

5

4

5

2

हल—

xx

ff

fxfx

5

3

15

10

4

40

15

5

75

20

4

80

25

5

125

30

2

60

योग

∑f=23\sum f=23

∑fx=395\sum fx=395

माध्य (x)=∑fx∑f(x)=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

=39523=17.173=\frac{395}{23}=17.173 उत्तर

प्रश्न 19. यदि x+6,x+2,x+5x+6,x+2,x+5 व x+7x+7 का समान्तर माध्य 1010 हो तो xx का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— समान्तर माध्य

(x)=x1+x2……xnn(x)=\frac{x_{1}+x_{2}……x_{n}}{n}

⇒10=(x+6)+(x+2)+(x+5)+(x+7)4⇒10=\frac{(x+6)+(x+2)+(x+5)+(x+7)}{4}

⇒10=4x+204⇒10=\frac{4x+20}{4}

⇒4x=40−20=20⇒4x=40-20=20

⇒x=204=5⇒x=\frac{20}{4}=5 उत्तर

प्रश्न 20. निम्न बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात कीजिए- (प्रश्न बैंक)

ऊँचाई (सेमी में)

52-55

55-58

58-61

61-64

छात्रों की संख्या

10

20

25

10

हल— यहाँ अधिकतम बारम्बारता 2525 है। इसकी संगत वर्ग अन्तराल 58−6158-61 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =58−61=58-61 है।

∴l=58,h=3,f1=25,f0=20,f2=10∴l=58,h=3,f_{1}=25,f_{0}=20,f_{2}=10

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=58+25−202(25)−20−10×3=58+\frac{25-20}{2(25)-20-10} \times 3

=58+520×3=58+\frac{5}{20} \times 3

=58+0.75=58.75=58+0.75=58.75 उत्तर

प्रश्न 21. निम्न बंटन का माध्य 55 है तो PP का मान ज्ञात कीजिए- (प्रश्न बैंक)

xx

2

4

6

P

ff

3

2

1

4

हल—

माध्य =(2×3)+(4×2)+(6×1)+(p×4)3+2+1+4=\frac{(2 \times 3)+(4 \times 2)+(6 \times 1)+(p \times 4)}{3+2+1+4}

5=6+8+6+4p105=\frac{6+8+6+4p}{10}

⇒4p=50−20⇒4p=50-20

⇒4p=30⇒p=304=7.5⇒4p=30⇒p=\frac{30}{4}=7.5

अतः PP का मान 7.57.5 है। उत्तर

प्रश्न 22. निम्नलिखित आंकड़ों की बारम्बारताओं का योग 6060 है, तो xx का मान ज्ञात होगा- (प्रश्न बैंक)

वर्ग

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

बारम्बारता

5

xx

20

15

7

5

हल— बारम्बारताओं का योग =60=60

⇒5+x+20+15+7+5=60⇒5+x+20+15+7+5=60

⇒x+52=60⇒x+52=60

⇒x=60−52=8⇒x=60-52=8 उत्तर

प्रश्न 23. किसी गेंदबाज द्वारा 1010 क्रिकेट मैचों में लिए गए विकेटों की संख्याएं निम्न हैं- 2,6,4,5,0,2,1,3,2,32,6,4,5,0,2,1,3,2,3 इन आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— आंकड़ों की बारम्बारता बंटन सारणी बनाने पर-

विकेटों की संख्या

0

1

2

3

4

5

6

मैचों की संख्या

1

1

3

2

1

1

1

सारणी से स्पष्ट है कि गेंदबाज ने अधिकतम मैचों (3)(3) में 22 विकेट लिए हैं। इसलिए दिए गए आंकड़ों का बहुलक 22 है।

दीर्घउत्तरीय प्रश्न—

प्रश्न 1. एक कक्षा के छात्रों के भार निम्न सारणी में दिये गये हैं-

भार (किग्रा में)

20

21

22

23

24

25

26

27

28

छात्रों की संख्या

1

2

6

7

4

2

3

2

3

इनका समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल—

xx (चर)

बारम्बारता (f)(f)

fxfx

20

1

20

21

2

42

22

6

132

23

7

161

24

4

96

25

2

50

26

3

78

27

2

54

28

3

84

 

∑f=30\sum f=30

∑fx=717\sum fx=717

∴∴ समान्तर माध्य =∑fx∑f=71730=23.9=\frac{ \sum fx}{ \sum f}=\frac{717}{30}=23.9 उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित वर्गीकृत आँकड़ों का कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिए-

वर्ग अन्तराल

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

बारम्बारता

2

5

8

4

1

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता (f)(f)

मध्यमान (x)(x)

d=x−ad=x-a

f×df \times d

0-10

2

5

−20-20

−40-40

10-20

5

15

−10-10

−50-50

20-30

8

25

0

0

30-40

4

35

10

40

40-50

1

45

20

20

 

∑f=20\sum f=20

  

∑fd=−30\sum fd=-30

माना कल्पित माध्य a=25a=25

कल्पित माध्य की सहायता से समान्तर माध्य

x=a+∑fd∑fx=a+\frac{ \sum fd}{ \sum f}

=25+−3020=25+\frac{-30}{20}

=25−32=25−1.5=25-\frac{3}{2}=25-1.5

=23.5=23.5 उत्तर

प्रश्न 3. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

वर्ग अन्तराल

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

बारम्बारता

12

20

25

22

10

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता

10-20

12

20-30

20

30-40

25

40-50

22

50-60

10

दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2525 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 30−4030-40 है।

∴∴ बहुलक वर्ग 30−4030-40 है।

अतः l=30,f1=25,f0=20,f2=22l=30,f_{1}=25,f_{0}=20,f_{2}=22 और h=10h=10

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=30+25−202(25)−20−22×10=30+\frac{25-20}{2(25)-20-22} \times 10

=30+5×1050−42=30+\frac{5 \times 10}{50-42}

=30+508=30+6.25=30+\frac{50}{8}=30+6.25

=36.25=36.25 उत्तर

प्रश्न 4. निम्न बारम्बारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए-

भार (किग्रा. में)

40-44

44-48

48-52

52-56

56-60

60-64

व्यक्तियों की संख्या

5

6

5

9

3

2

हल—

भार (किग्रा. में)

(f)(f)

मध्यमान (x)(x)

fxfx

40 - 44

5

42

210

44 - 48

6

46

276

48 - 52

5

50

250

52 - 56

9

54

486

56 - 60

3

58

174

60 - 64

2

62

124

 

∑f=30\sum f=30

 

∑fx=1520\sum fx=1520

माध्य X=∑fx∑fX=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

X=152030=50.67X=\frac{1520}{30}=50.67 किग्रा. (लगभग) उत्तर

प्रश्न 5. यदि निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य 7.57.5 हो, तो pp का मान ज्ञात करो-

xx :

3

5

7

9

11

13

ff :

6

8

15

pp

8

4

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल—

xix_{i}

fif_{i}

fixif_{i}x_{i}

3

6

18

xx

ff

fxfx

5

8

40

7

15

105

9

pp

9p9p

11

8

88

13

4

52

योग

∑fi=N=41+p\sum f_{i}=N=41+p

∑fixi=303+9p\sum f_{i}x_{i}=303+9p

∵∑fi=41+p∵ \sum f_{i}=41+p तथा ∑fixi=303+9p\sum f_{i}x_{i}=303+9p

∴∴ समान्तर माध्य =∑fixi∑fi=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

⇒7.5=303+9p41+p⇒7.5=\frac{303+9p}{41+p}

⇒7.5×(41+p)=303+9p⇒7.5 \times (41+p)=303+9p

⇒307.5+7.5p=303+9p⇒307.5+7.5p=303+9p

1.5p=4.51.5p=4.5

p=3p=3 उत्तर

प्रश्न 6. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

बारम्बारता

12

20

30

25

13

हल— दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 30 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 20-30 है।

अतः बहुलक वर्ग =20−30=20-30

∴l=20,f1=30,f0=20,f2=25,h=10∴l=20,f_{1}=30,f_{0}=20,f_{2}=25,h=10

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=20+30−202(30)−20−25×10=20+\frac{30-20}{2(30)-20-25} \times 10

=20+1015×10=20+\frac{10}{15} \times 10

=20+6.66=26.66=20+6.66=26.66 उत्तर

प्रश्न 7. यदि निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 21.5 हो, तो kk का मान ज्ञात कीजिये— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

xx

5

15

25

35

45

ff

6

4

3

kk

2

हल—

xx

ff

fxfx

5

6

30

15

4

60

25

3

75

35

kk

35k35k

45

3

90

योग

∑f=15+k\sum f=15+k

∑fx=255+35k\sum fx=255+35k

दिया गया है— माध्य =21.5=21.5

समान्तर माध्य x=∑fixi∑fix=\frac{ \sum f_{i}x_{i}}{ \sum f_{i}}

21.5=255+35k15+k21.5=\frac{255+35k}{15+k}

⇒21.5(15+k)=255+35k⇒21.5(15+k)=255+35k

⇒322.5+21.5k=255+35k⇒322.5+21.5k=255+35k

⇒322.5−255=35k−21.5k⇒322.5-255=35k-21.5k

⇒67.5=13.5k⇒67.5=13.5k

∴k=67.513.5=5∴k=\frac{67.5}{13.5}=5

k=5k=5 उत्तर

प्रश्न 8. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

xx

5

6

7

8

9

10

11

ff

5

8

9

12

6

6

4

हल—

xx

ff

fxfx

5

5

25

6

8

48

7

9

63

8

12

96

9

6

54

10

6

60

11

4

44

योग

∑f=50\sum f=50

∑fx=390\sum fx=390

माध्य x=∑fx∑fx=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

=39050=7.8=\frac{390}{50}=7.8 उत्तर

प्रश्न 9. यदि निम्न बंटन का माध्य 7 हो, तो PP का मान ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

xx

22

55

pp

99

1010

ff

11

55

44

77

33

हल—

xx

ff

fxfx

22

11

22

55

55

2525

pp

44

4p4p

99

77

6363

1010

33

3030

योग

∑f=20\sum f=20

∑fx=4p+120\sum fx=4p+120

माध्य x=∑fx∑fx=\frac{ \sum fx}{ \sum f}

⇒7=120+4p20⇒7=\frac{120+4p}{20}

⇒4p=140−120=20⇒4p=140-120=20

⇒p=204=5⇒p=\frac{20}{4}=5 उत्तर

प्रश्न 10. निम्न समूहिक बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए—

वर्ग अन्तराल

0−80-8

8−168-16

16−2416-24

24−3224-32

32−4032-40

बारम्बारता

1212

2020

3030

2525

1313

हल—

वर्ग

बारम्बारता

संचयी बारम्बारता

0−80-8

1212

1212

8−168-16

2020

3232

16−2416-24

3030

6262

24−3224-32

2525

8787

32−4032-40

1313

100100

माध्यक वर्ग =100/2=50=100/2=50 अतः माध्यक वर्ग =(16−24)=(16-24)

l=16,f=30,C=32,h=8l=16,f=30,C=32,h=8

M=l+N2−Cf×hM=l+\frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h

=16+(100/2−32)30×8=16+\frac{(100/2-32)}{30} \times 8

=16+50−3230×8=16+\frac{50-32}{30} \times 8

=16+1830×8=16+\frac{18}{30} \times 8

=16+4.8=20.8=16+4.8=20.8 उत्तर

प्रश्न 11. किसी कक्षा के 3030 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किये गये। छात्रों का माध्य भार ज्ञात कीजिये।

भार (किग्रा में)

40−4540-45

45−5045-50

50−5550-55

55−6055-60

60−6560-65

65−7065-70

70−7570-75

विद्यार्थियों की संख्या

22

33

88

66

66

33

22

हल— माना कल्पित माध्य (a)=57.5(a)=57.5 और वर्ग माप h=5h=5

भार (किग्रा में)

माध्यमान (xi)(x_{i})

विद्यार्थियों की संख्या (fi)(f_{i})

ui=xi−57.55u_{i}=\frac{x_{i}-57.5}{5}

fiuif_{i}u_{i}

40−4540-45

42.542.5

22

42.5−57.55=−3\frac{42.5-57.5}{5}=-3

−6-6

45−5045-50

47.547.5

33

47.5−57.55=−2\frac{47.5-57.5}{5}=-2

−6-6

50−5550-55

52.552.5

88

52.5−57.55=−1\frac{52.5-57.5}{5}=-1

−8-8

55−6055-60

57.557.5

66

57.5−57.55=0\frac{57.5-57.5}{5}=0

00

60−6560-65

62.562.5

66

62.5−57.55=1\frac{62.5-57.5}{5}=1

66

65−7065-70

67.567.5

33

67.5−57.55=2\frac{67.5-57.5}{5}=2

66

70−7570-75

72.572.5

22

72.5−57.55=3\frac{72.5-57.5}{5}=3

66

  

∑fi=30\sum f_{i}=30

 

∑fiui=−2\sum f_{i}u_{i}=-2

∑fiui=−2\sum f_{i}u_{i}=-2

यहाँ पर कल्पित माध्य (a)=57.5(a)=57.5 तथा वर्ग माप h=5h=5

∴u=∑fiui∑fi∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}

=−230=−0.0666=\frac{-2}{30}=-0.0666

∴∴ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

=57.5+5×(−0.0666)=57.5+5 \times (-0.0666)

=57.5−0.333=57.5-0.333

=57.167kg=57.167 kg

अतः छात्रों का माध्य भार =57.167kg=57.167 kg उत्तर

--- | ---

प्रश्न 12. गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किये गए अंकों का बंटन निम्नलिखित हैं- ( प्रश्न बैंक )

प्राप्तांकों का वर्ग अन्तराल

10-25

25-40

40-55

55-70

70-85

85-100

विद्यार्थियों की संख्या

2

3

7

6

6

6

इन आँकड़ों से कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात कीजिए एवं बहुलक भी ज्ञात कीजिए।

अथवा

निम्नलिखित बंटन का समान्तर माध्य कल्पित माध्य विधि से ज्ञात कीजिए-

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

वर्ग अन्तराल

10-25

25-40

40-55

55-70

70-85

85-100

बारम्बारता

2

3

7

6

6

6

हल—

वर्ग अन्तराल

विद्यार्थियों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

di=xi−47.5d_{i}=x_{i}-47.5

fidif_{i}d_{i}

10-25

2

17.5

−30-30

−60-60

25-40

3

32.5

−15-15

−45-45

40-55

7

47.5

0

0

55-70

6

62.5

15

90

70-85

6

77.5

30

180

85-100

6

92.5

45

270

योग

∑fi=30\sum f_{i}=30

  

∑fidi=435\sum f_{i}d_{i}=435

∴∴ माध्य (X)=a+∑fidi∑fi(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}

=47.5+43530=47.5+\frac{435}{30}

=47.5+14.5=47.5+14.5

माध्य (X)=62(X)=62

अतः विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का माध्य 62 है। उत्तर

दी गई बारंबारता सारणी से अधिकतम बारंबारता 7 है।

अतः बहुलक वर्ग =40−55=40-55

बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l)=40(l)=40 , वर्गमाप (h)=15(h)=15 , बहुलक वर्ग की बारंबारता (f1)=7(f_{1})=7 , बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f0)=3(f_{0})=3 , तथा बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f2)=6(f_{2})=6

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=40+7−32×7−3−6×15=40+\frac{7-3}{2 \times 7-3-6} \times 15

=40+414−9×15=40+\frac{4}{14-9} \times 15

=40+605=40+\frac{60}{5}

=40+12=40+12

बहुलक =52=52

अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक 52 है। उत्तर

प्रश्न 13. एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांक निम्न बंटन में दिये हुये हैं। इनका माध्यक ज्ञात कीजिये-

( प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023, 2024 )

प्राप्तांक

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

छात्रों की संख्या

4

28

42

20

6

हल—

प्राप्तांक

छात्रों की संख्या बारम्बारता (fi)(f_{i})

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

0-10

4

4

10-20

28

32

20-30

42

74

30-40

20

94

40-50

6

100

योग

∑fi=100\sum f_{i}=100

 

यहाँ पर ∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100

तो N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50

जो कि वर्ग अन्तराल 20-30 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =20−30=20-30

अतः l=20,N=100,f=42,cf=32l=20,N=100,f=42,cf=32 और h=10h=10

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h

=20+50−3242×10=20+\frac{50-32}{42} \times 10

=20+18×1042=20+\frac{18 \times 10}{42}

=20+4.28=24.28=20+4.28=24.28 उत्तर

प्रश्न 14. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 4040 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है-

भार किग्रा में

40-45

45-50

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

विद्यार्थियों की संख्या

3

5

10

8

7

4

3

विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

हल—

भार किग्रा में

विद्यार्थियों की संख्या (fi)(f_{i})

संचयी बारंबारता

40-45

3

3

45-50

5

3+5=83+5=8

50-55

10

8+10=188+10=18

55-60

8

18+8=2618+8=26

60-65

7

26+7=3326+7=33

65-70

4

33+4=3733+4=37

70-75

3

37+3=4037+3=40

योग

∑fi=n=40\sum f_{i}=n=40

 

यहाँ, ∑fi=n=40\sum f_{i}=n=40

तो, n2=402=20\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20 , जो कि अन्तराल 55−6055-60 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =55−60=55-60

इसलिए l=55,n=40,f=8,cf=18l=55,n=40,f=8,cf=18 और h=5h=5

माध्यक =l+n2−cff×h=l+\frac{\frac{n}{2}-cf}{f} \times h

=55+20−188×5=55+\frac{20-18}{8} \times 5

=55+54=55+1.25=55+\frac{5}{4}=55+1.25

=56.25=56.25 उत्तर

प्रश्न 15. निम्न बारम्बारता बंटन का पग-विचलन विधि से माध्य ज्ञात कीजिए- ( प्रश्न बैंक )

वर्ग अन्तराल

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

बारम्बारता

7

10

15

8

10

हल—

वर्ग अन्तराल

fif_{i}

xix_{i}

di=xi−ad_{i}=x_{i}-a

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}

fiuif_{i}u_{i}

0-10

7

5

-20

-2

-14

10-20

10

15

-10

-1

-10

20-30

15

25

0

0

0

30-40

8

35

10

1

8

40-50

10

45

20

2

20

 

∑fi=50\sum f_{i}=50

   

∑fiui=4\sum f_{i}u_{i}=4

यहाँ कल्पित माध्य =25,h=10=25,h=10

माध्य x=a+h∑fiui∑fix=a+h\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}

=25+10×450=25+10 \times \frac{4}{50}

=25+0.8=25.8=25+0.8=25.8 उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. निम्न बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात कीजिए-

प्राप्तांक

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

छात्रों की संख्या

4

28

42

20

6

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 4242 है अतः बहुलक वर्ग =40−50=40-50

अतः l=40,f1=42,f0=28,f2=20,h=10l=40,f_{1}=42,f_{0}=28,f_{2}=20,h=10

अतः बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=40+42−282×42−28−20×10=40+\frac{42-28}{2 \times 42-28-20} \times 10

=40+1484−48×10=40+\frac{14}{84-48} \times 10

=40+14036=40+\frac{140}{36}

=40+3.88=40+3.88

=43.88=43.88 (लगभग) उत्तर

प्रश्न 2. 100 परिवारों में बच्चों की संख्या निम्न प्रकार है, इनका माध्यक ज्ञात कीजिए-

बच्चों की संख्या

0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

परिवारों की संख्या

38

36

18

5

3

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल—

बच्चों की संख्या

परिवारों की संख्या (fi)(f_{i})

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

0-2

38

38

2-4

36

74

4-6

18

92

6-8

5

97

8-10

3

100

 

∑fi=100\sum f_{i}=100

 

अतः N=100N=100 , N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50

50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता = 74

अतः माध्यक वर्ग = 2-4

माध्यक सूत्र =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h में

l=2l=2 , N2=50\frac{N}{2}=50 , cf=38cf=38 , f=36f=36 , h=2h=2 रखने पर

माध्यक =2+50−3836×2=2+\frac{50-38}{36} \times 2

=2+1236×2=2+\frac{12}{36} \times 2

=2+13×2=2+\frac{1}{3} \times 2

=2+23=2+\frac{2}{3}

=2+0.67=2+0.67

=2.67=2.67 (लगभग) उत्तर

प्रश्न 3. नीचे दिये गये बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-

वर्ग अन्तराल

1-4

4-7

7-10

10-13

13-16

16-19

बारम्बारता

6

30

40

16

4

4

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022 )

हल—

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता (f)(f)

संचयी बारम्बारता

1-4

6

6

4-7

30

36

7-10

40

76

10-13

16

92

13-16

4

96

16-19

4

100

 

∑fi=100\sum f_{i}=100

 

यहाँ पर ∑fi=100=N\sum f_{i}=100=N

तो, N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50 जो कि अन्तराल 7-10 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग = 7-10

∴∴ l=7l=7 , N=100N=100 , f=40f=40 , c.f.=36c.f.=36 और h=3h=3

∴∴ माध्यक =l+N2−c.f.f×h=l+\frac{\frac{N}{2}-c.f.}{f} \times h

=7+1002−3640×3=7+\frac{\frac{100}{2}-36}{40} \times 3

=7+50−3640×3=7+\frac{50-36}{40} \times 3

=7+14×340=7+1.05=7+\frac{14 \times 3}{40}=7+1.05

=8.05=8.05 उत्तर

प्रश्न 4. एक पौधे की 75 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिली मीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है-

लम्बाई (mm)

1-9

11-19

21-29

31-39

41-49

51-59

पत्तियों की संख्या

6

10

12

22

17

8

पत्तियों की लम्बाई का बहुलक ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक )

हल—

लम्बाइ (mm)

पत्तियों की संख्या

1-9

6

11-19

10

21-29

12

31-39

22

41-49

17

51-59

18

दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2222 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 31−3931-39 है।

इसलिए बहुलक वर्ग =31−39=31-39

अतः l=31,f1=22,f0=12,f2=17l=31,f_{1}=22,f_{0}=12,f_{2}=17 और h=8h=8

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

मान रखने पर,

बहुलक =31+22−122(22)−12−17×8=31+\frac{22-12}{2(22)-12-17} \times 8

=31+10×844−29=31+\frac{10 \times 8}{44-29}

=31+8015=31+\frac{80}{15}

=31+5.33=36.33=31+5.33=36.33 mm उत्तर

प्रश्न 5. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

वर्ग

7-17

17-27

27-37

37-47

47-57

57-67

बारम्बारता

22

18

20

12

15

13

हल—

वर्ग

बारम्बारता (f)(f)

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

7-17

22

22

17-27

18

40

27-37

20

60

37-47

12

72

47-57

15

87

57-67

13

100

योग

∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100

 

यहाँ N=100N=100 अतः N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50 , जो कि वर्ग अन्तराल 27−3727-37 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =27−37=27-37

अतः l=27,N=100,f=20,cf=40l=27,N=100,f=20,cf=40 और h=10h=10

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h

=27+50−4020×10=27+\frac{50-40}{20} \times 10

=27+5=32=27+5=32 उत्तर

प्रश्न 6. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

वर्ग

2-11

11-20

20-29

29-38

38-47

बारम्बारता

15

16

17

12

11

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 1717 है तथा इसके संगत वर्ग 20−2920-29 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =20−29=20-29

अतः f1=17,f0=16,f2=12f_{1}=17,f_{0}=16,f_{2}=12 तथा h=9h=9

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=20+17−162×17−16−12×9=20+\frac{17-16}{2 \times 17-16-12} \times 9

=20+16×9=20+\frac{1}{6} \times 9

=20+1.5=21.5=20+1.5=21.5 उत्तर

प्रश्न 7. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग

10-25

25-40

40-55

55-70

70-85

85-100

fif_{i}

6

20

44

26

3

1

हल—

वर्ग

fif_{i}

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

10 - 25

6

6

25 - 40

20

26

40 - 55

44

70

55 - 70

26

96

70 - 85

3

99

85 - 100

1

100

योग

∑fi=100\sum f_{i}=100

 

यहाँ ∑fi=N=100\sum f_{i}=N=100 तो N2=1002=50\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50

जो कि वर्ग अन्तराल 40−5540-55 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =40−55=40-55

अतः l=40,N=100,f=44,cf=26,h=15l=40,N=100,f=44,cf=26,h=15

∴∴ माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h

=40+50−2644×15=40+\frac{50-26}{44} \times 15

=40+2444×15=40+\frac{24}{44} \times 15

=40+8.18=48.18=40+8.18=48.18 उत्तर

प्रश्न 8. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

fif_{i}

6

10

13

7

4

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल—

वर्ग

fif_{i}

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ah=xi−2510u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-25}{10}

fiuif_{i}u_{i}

0-10

6

5

-2

-12

10-20

10

15

-1

-10

20-30

13

25

0

0

30-40

7

35

1

7

40-50

4

45

2

8

 

∑fi=40\sum f_{i}=40

  

∑fiui=−7\sum f_{i}u_{i}=-7

माना कि कल्पित मान (a)=25(a)=25 वर्गमाप (h)=10(h)=10

u=∑fiui∑fi=−740u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-7}{40}

माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

=25+10×−740=25+10 \times \frac{-7}{40}

=25−74=100−74=934=25-\frac{7}{4}=\frac{100-7}{4}=\frac{93}{4}

=23.25=23.25 उत्तर

प्रश्न 9. निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

वर्ग अन्तराल

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

100-120

बारंबारता

10

35

52

61

38

20

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 6161 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 60−8060-80 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =60−80=60-80

अतः l=60;f1=61;f0=52;f2=38l=60;f_{1}=61;f_{0}=52;f_{2}=38 और h=20h=20

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=60+61−522(61)−52−38×20=60+\frac{61-52}{2(61)-52-38} \times 20

=60+9122−52−38×20=60+\frac{9}{122-52-38} \times 20

=60+932×20=60+\frac{9}{32} \times 20

=60+18032=60+5.625=60+\frac{180}{32}=60+5.625

=65.625=65.625 उत्तर

प्रश्न 10. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

प्राप्तांक

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

छात्रों की संख्या

5

10

12

6

3

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल— दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 1212 है तथा इसके संगत वर्ग अंतराल 40−6040-60 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =40−60=40-60

इसलिए l=40,f1=12,f0=10,f2=6l=40,f_{1}=12,f_{0}=10,f_{2}=6 और h=20h=20

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=40+12−102×12−10−6×20=40+\frac{12-10}{2 \times 12-10-6} \times 20

=40+224−16×20=40+\frac{2}{24-16} \times 20

=40+408=40+\frac{40}{8}

=40+5=45=40+5=45 उत्तर

प्रश्न 11. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

ऊँचाई (सेमी.)

50-55

55-60

60-65

65-70

छात्र संख्या

10

20

25

10

हल— यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 2525 वर्ग 60−6560-65 की है अतः बहुलक वर्ग =(60−65)=(60-65) है

अतः l=60,f1=25,f2=10,f0=20,h=5l=60,f_{1}=25,f_{2}=10,f_{0}=20,h=5

अतः बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=60+25−202×25−20−10×5=60+\frac{25-20}{2 \times 25-20-10} \times 5

=60+550−30×5=60+1.25=60+\frac{5}{50-30} \times 5=60+1.25

अतः बहुलक =61.25=61.25 सेमी. उत्तर

प्रश्न 12. निम्नलिखित आँकड़ों की माध्यिका 525525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100100 है, तो xx और yy का मान ज्ञात कीजिए : (प्रश्न बैंक)

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता

0 - 100

2

100 - 200

5

200 - 300

xx

300 - 400

12

400 - 500

17

500 - 600

20

600 - 700

yy

700 - 800

9

800 - 900

7

900 - 1000

4

हल—

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता

संचयी बारम्बारता

0 - 100

2

2

100 - 200

5

7

200 - 300

xx

7+x7+x

300 - 400

12

19+x19+x

400 - 500

17

36+x36+x

500 - 600

20

56+x56+x

600 - 700

yy

56+x+y56+x+y

700 - 800

9

65+x+y65+x+y

800 - 900

7

72+x+y72+x+y

900 - 1000

4

76+x+y76+x+y

यह दिया है कि N=100N=100 है।

अतः 76+x+y=10076+x+y=100

अर्थात् x+y=24x+y=24 ....(i)

माध्यिका 525525 है, जो वर्ग 500−600500-600 में स्थित है।

अतः l=500,f=20,cf=36+x,h=100l=500,f=20,cf=36+x,h=100 है।

∵∵ माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h

525=500+50−36−x20×100525=500+\frac{50-36-x}{20} \times 100

या 525−500=(14−x)×5525-500=(14-x) \times 5

या 25=70−5x25=70-5x

या 5x=70−25=455x=70-25=45

अतः x=9x=9 उत्तर

इसलिए (i) से 9+y=249+y=24

∴y=15∴y=15 उत्तर

प्रश्न 13. निम्न आँकड़े किसी विद्यालय में कक्षा-X के 100100 छात्रों के एक विशेष सत्र में दिये गये हैं। इस बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

अंक

छात्रों की संख्या

10 से कम

7

20 से कम

21

30 से कम

34

40 से कम

46

50 से कम

66

60 से कम

77

70 से कम

92

80 से कम

100

हल—सही वर्गीकृत सारणी बनाने पर

अंक

छात्रों की संख्या

0–10

7

10–20

21−7=1421-7=14

20–30

34−21=1334-21=13

30–40

46−34=1246-34=12

40–50

66−46=2066-46=20

50–60

77−66=1177-66=11

60–70

92−77=1592-77=15

70–80

100−92=08100-92=08

यहाँ पर स्पष्ट है कि सबसे अधिकतम बारम्बारता (छात्रों की संख्या) 20 है, जिसका वर्ग अन्तराल 40−5040-50 है। अतः यहाँ पर बहुलक वर्ग अन्तराल (40−50)(40-50) होगा और यहाँ पर f1=20,f0=12,f2=11,l=40f_{1}=20,f_{0}=12,f_{2}=11,l=40 तथा h=10h=10

बहुलक का सूत्र Z=l+f1−f02f1−f0−f2×hZ=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=40+20−1240−12−11×10=40+\frac{20-12}{40-12-11} \times 10

=40+817×10=40+\frac{8}{17} \times 10

=40+8017=40+4.7=40+\frac{80}{17}=40+4.7

=44.7=44.7 उत्तर

प्रश्न 14. यदि नीचे दिये हुए बंटन का माध्य 50 हो, तो xx व yy के मान ज्ञात करें—

वर्ग अन्तराल

0–20

20–40

40–60

60–80

80–100

योग

बारम्बारता

17

xx

32

yy

19

120

हल—

S.N.

वर्ग अन्तराल

बारम्बारता (f)(f)

मध्य बिन्दु (x)(x)

f×xf \times x

1.

0–20

17

10

170

2.

20–40

xx

30

30x30x

3.

40–60

32

50

1600

4.

60–80

yy

70

70y70y

5.

80–100

19

90

1710

योग

 

120

 

30x+70y+348030x+70y+3480

माध्य का योग करने पर =170+30x+1600+70y+1710=30x+70y+3480=170+30x+1600+70y+1710=30x+70y+3480

बारम्बारता का योग करने पर =17+x+32+y+19=120=17+x+32+y+19=120

=x+y+68=120=x+y+68=120

या x+y=120−68=52x+y=120-68=52

∴x+y=52∴x+y=52 ...(1)

∴X=∑f×xN∴X=\frac{ \sum f \times x}{N}

∴501=30x+70y+3480120∴\frac{50}{1}=\frac{30x+70y+3480}{120}

या 6000=30x+70y+34806000=30x+70y+3480

या 30x+70y=6000−3480=252030x+70y=6000-3480=2520

या 3x+7y=2523x+7y=252 ...(2)

x+y=52x+y=52 ...(1)

समीकरण (1) में 7 का गुणा करने पर

3x+7y=2523x+7y=252 ...(3)

7x+7y=3647x+7y=364 ...(4)

घटाने पर

−4x=−112-4x=-112

∴x=1124=28∴x=\frac{112}{4}=28

xx का यह मान समीकरण (1) में रखने पर

x+y=52x+y=52

28+y=5228+y=52

y=52−28=24y=52-28=24

∴x=28∴x=28 तथा y=24y=24 उत्तर

प्रश्न 15. निम्न बंटन का कल्पित माध्य मानकर माध्य xx ज्ञात कीजिए— (प्रश्न बैंक)

वर्ग अन्तराल

10–25

25–40

40–55

55–70

70–85

85–100

बारम्बारता

2

3

7

5

6

7

अथवा

निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए—

वर्ग अन्तराल

0–20

20–40

40–60

60–80

80–100

100–120

बारम्बारता

10

35

52

61

38

20

हल—

वर्ग अन्तराल

विद्यार्थियों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

di=xi−47.5d_{i}=x_{i}-47.5

fidif_{i}d_{i}

10–25

2

17.5

−30-30

−60-60

25–40

3

32.5

−15-15

−45-45

40–55

7

47.5

0

0

55–70

5

62.5

15

75

70–85

6

77.5

30

180

85–100

7

92.5

45

315

योग

∑fi=30\sum f_{i}=30

  

∑fidi=465\sum f_{i}d_{i}=465

∴∴ माध्य (X)=a+∑fidi∑fi(X)=a+\frac{ \sum f_{i}d_{i}}{ \sum f_{i}}

[यहाँ कल्पित माध्य =47.5=47.5 ]

=47.5+46530=47.5+\frac{465}{30}

=47.5+15.5=47.5+15.5

माध्य (X)=63(X)=63

अतः कल्पित माध्य की विधि से माध्य (X)=63(X)=63 उत्तर

अथवा

दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 6161 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 60−8060-80 है।

∴∴ बहुलक वर्ग =60−80=60-80

अतः यहाँ l=60,f1=61,f0=52,f2=38l=60,f_{1}=61,f_{0}=52,f_{2}=38 और h=20h=20

∴∴ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=60+61−522(61)−52−38×20=60+\frac{61-52}{2(61)-52-38} \times 20

=60+9122−52−38×20=60+\frac{9}{122-52-38} \times 20

=60+932×20=60+\frac{9}{32} \times 20

=60+18032=60+5.625=60+\frac{180}{32}=60+5.625

=65.625=65.625

=65.62=65.62

अर्थात् बहुलक =65.62=65.62 उत्तर

प्रश्न 16. निम्नलिखित सारिणी एक स्कूल की कक्षा XX के 5050 विद्यार्थियों के गणित में प्राप्त अंकों को दर्शाती है। माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

प्राप्तांक (अंक)

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

विद्यार्थियों की संख्या

5

9

8

12

13

3

हल—

प्राप्तांक अंक

विद्यार्थियों की संख्या (f)(f)

संचयी बारंबारता (cf)(cf)

20-30

5

5

30-40

9

14

40-50

8

22

50-60

12

34

60-70

13

47

70-80

3

50

योग

∑f=50\sum f=50

 

अतः N=50N=50 है अतः N2=502=25\frac{N}{2}=\frac{50}{2}=25

यह प्रेक्षण अन्तराल 50−6050-60 में आता है। तब, l=50l=50

माध्यक वर्ग 50−6050-60 के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf)=22(cf)=22 ,

माध्यक वर्ग 50−6050-60 की बारंबारता f=12f=12 तथा वर्ग माप h=10h=10 है।

सूत्र, माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

माध्यक =50+25−2212×10=50+\frac{25-22}{12} \times 10

=50+3×1012=50+\frac{3 \times 10}{12}

=50+3012=50+\frac{30}{12}

=50+2.5=50+2.5

=52.5=52.5

अतः माध्यक =52.5=52.5 अंक है। उत्तर

प्रश्न 17. निम्नलिखित सारिणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ग में भर्ती रोगियों की आयु को दर्शाती है -

आयु (वर्षों में)

5-15

15-25

25-35

35-45

45-55

55-65

रोगियों की संख्या

6

11

21

23

14

5

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

हल—बहुलक के लिए—दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2323 है और इसके संगत वर्ग अन्तराल 35−4535-45 है-

∴∴ बहुलक वर्ग =35−45=35-45

अतः: l=35l=35 ; f1=23f_{1}=23 ; f0=21f_{0}=21 ; f2=14f_{2}=14 और h=10h=10

∵∵ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =35+23−212(23)−21−14×10=35+\frac{23-21}{2(23)-21-14} \times 10

=35+246−35×10=35+\frac{2}{46-35} \times 10

=35+2011=35+1.8=36.8=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8 उत्तर

माध्य के लिए :

आयु (वर्षों में)

रोगियों की संख्या (fi)(f_{i})

वर्ग चिह्न (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h} या ui=xi−3010u_{i}=\frac{x_{i}-30}{10}

fiuif_{i}u_{i}

5-15

6

10

−2-2

−12-12

15-25

11

20

−1-1

−11-11

25-35

21

30

0

0

35-45

23

40

1

23

45-55

14

50

2

18

55-65

5

60

3

15

योग

∑fi=80\sum f_{i}=80

  

∑fiui=43\sum f_{i}u_{i}=43

यहाँ कल्पित माध्य (a)=30(a)=30 तथा वर्ग माप (h)=10(h)=10

∴u=∑fiui∑fi=4380=0.5375∴u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{43}{80}=0.5375

∵∵ माध्य (X)=a+hu(X)=a+hu

X=30+10(0.5375)X=30+10(0.5375)

=30+5.375=30+5.375

=35.375=35.37=35.375=35.37

अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक 36.836.8 वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य 35.3735.37 वर्ष है।

प्रश्न 18. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 6868 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या

65 - 85

4

85 - 105

5

105 - 125

13

125 - 145

20

145 - 165

14

165 - 185

8

185 - 205

4

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23 )

हल—माध्यक के लिए :

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या (fi)(f_{i})

संचयी बारम्बारता (cf)(cf)

65 - 85

4

4

85 - 105

5

9

105 - 125

13

22

125 - 145

20

42

145 - 165

14

56

165 - 185

8

64

185 - 205

4

68

योग

∑fi=N=68\sum f_{i}=N=68

 

यहाँ, ∑fi=N=68\sum f_{i}=N=68 तो n2=682=34\frac{n}{2}=\frac{68}{2}=34

जो कि वर्ग अन्तराल 125−145125-145 में स्थित है।

∴∴ माध्यक वर्ग =125−145=125-145

अतः, l=125l=125 ; N=68N=68 ; f=20f=20 ; cf=22cf=22 और h=20h=20

∵∵ माध्यक =l+N2−cff×h=l+\frac{\frac{N}{2}-cf}{f} \times h

=125+682−2220×20=125+\frac{\frac{68}{2}-22}{20} \times 20

=125+34−2220×20=125+\frac{34-22}{20} \times 20

=125+12=137=125+12=137 इकाई उत्तर

बहुलक-दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 2020 है तथा इसके संगत वर्ग 125−145125-145 है।

इसलिए l=125;f1=20;f0=13;f2=14l=125;f_{1}=20;f_{0}=13;f_{2}=14 और h=20h=20

∵∵ बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

बहुलक =125+20−132(20)−13−14×20=125+\frac{20-13}{2(20)-13-14} \times 20

=125+740−27×20=125+\frac{7}{40-27} \times 20

=125+14013=125+\frac{140}{13}

=125+10.76923=125+10.76923

=125+10.77=135.77=125+10.77=135.77 इकाई

अतः, दिए गए आँकड़ों का माध्यक और बहुलक है : 137137 मात्रक और 135.77135.77 मात्रक। उत्तर

प्रश्न 19. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिये- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

वर्ग

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

बारम्बारता

6

10

13

7

4

हल—

वर्ग

fif_{i}

वर्ग चिन्ह (xi)(x_{i})

ui=xi−ahu_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}

fiuif_{i}u_{i}

0-20

6

10

−2-2

−12-12

20-40

10

30

−1-1

−10-10

40-60

13

50

0

0

60-80

7

70

1

7

80-100

4

90

2

8

 

∑fi=40\sum f_{i}=40

  

∑fiui=−7\sum f_{i}u_{i}=-7

माना कि कल्पित माध्य (a)=50(a)=50 तथा वर्ग माप (h)=20(h)=20

u=∑fiui∑fi=−740u=\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}}=\frac{-7}{40}

माध्य (x)=a+hu(x)=a+hu

=50+20×−740=50+20 \times \frac{-7}{40}

=50−3.5=46.50=50-3.5=46.50 उत्तर

प्रश्न 20. निम्न बंटन का 17.517.5 कल्पित माध्य मानकर माध्य ज्ञात कीजिए-

वर्ग

0-5

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

बारम्बारता

3

7

15

24

16

5

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024 )

हल—

वर्ग

वर्ग चिन्ह (x)(x)

बारम्बारता fif_{i}

x−17.55=ui\frac{x-17.5}{5}=u_{i}

fiuif_{i}u_{i}

0-5

2.5

3

−3-3

−9-9

5-10

7.5

7

−2-2

−14-14

10-15

12.5

15

−1-1

−15-15

15-20

17.5

24

0

0

20-25

22.5

16

+1+1

16

25-30

27.5

5

+2+2

10

  

∑fi=70\sum f_{i}=70

 

∑fiui=−12\sum f_{i}u_{i}=-12

दिया गया है—कल्पित माध्य a=17.5a=17.5

पग-विचलन विधि के प्रयोग से

माध्य (x)=a+∑fiui∑fi×h(x)=a+\frac{ \sum f_{i}u_{i}}{ \sum f_{i}} \times h

यहाँ पर h=5h=5 लिया गया है

x=17.5+−12×570x=17.5+\frac{-12 \times 5}{70}

=17.5−6070=17.5−0.857=16.643=17.5-\frac{60}{70}=17.5-0.857=16.643 उत्तर

प्रश्न 21. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

वर्ग

1−31-3

3−53-5

5−75-7

7−97-9

9−119-11

बारंबारता

77

88

22

22

11

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; प्रश्न बैंक )

हल— यहाँ, अधिकतम वर्ग बारंबारता 88 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 3−53-5 है।

अतः बहुलक वर्ग 3−53-5 है।

अब बहुलक वर्ग =3−5=3-5

बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l)=3(l)=3

तथा वर्ग माप (h)=2(h)=2 है।

बहुलक वर्ग की बारंबारता (f1)=8(f_{1})=8

बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f0)=7(f_{0})=7 तथा बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f2)=2(f_{2})=2 है।

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h

=3+8−72×8−7−2×2=3+\frac{8-7}{2 \times 8-7-2} \times 2

=3+27=3.286=3+\frac{2}{7}=3.286

अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक 3.2863.286 है। उत्तर

प्रश्न 22. निम्न बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए— ( प्रश्न बैंक )

वर्ग

0−80-8

8−168-16

16−2416-24

24−3224-32

32−4032-40

बारंबारता

1010

1515

2525

2222

1212

हल—

वर्ग

बारंबारता (f)(f)

संचयी बारंबारता (cf)(cf)

0−80-8

1010

1010

8−168-16

1515

2525

16−2416-24

2525

5050

24−3224-32

2222

7272

32−4032-40

1212

8484

 

∑fi=84\sum f_{i}=84

 

यहाँ N=84N=84 अतः N2=42\frac{N}{2}=42 अतः माध्यक वर्ग 16−2416-24 है।

∴l=16,N=84,cf=25,h=8∴l=16,N=84,cf=25,h=8

∴∴ माध्यक =l+N2−c.f.f×h=l+\frac{\frac{N}{2}-c.f.}{f} \times h

=16+42−2525×8=16+\frac{42-25}{25} \times 8

=16+1725×8=16+\frac{17}{25} \times 8

=16+5.44=21.44=16+5.44=21.44 उत्तर

□□□\square \square \square

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