RajBoardExam
गणित (Mathematics)हिंदी माध्यम2026-27

RBSE Class 10 Maths Chapter 14 Solutions in Hindi — प्रायिकता | पासबुक हल, नोट्स

📅 अंतिम अपडेट: 2026-09-10•📖 RBSE/NCERT Solutions
⚡ त्वरित नेविगेशन (Jump Directly to Section)
📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

अध्याय-14 प्रायिकता

SECTION_SOLUTIONS_START: 1. समाधान: प्रश्नावली हल (Complete Solutions)

प्रश्नावली 14.1

1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना EE की प्रायिकता + घटना ' EE नहीं' की प्रायिकता = ............. है। (प्रश्न बैंक)

(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ............. है। ऐसी घटना ............. कहलाती है।

(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ............. है। ऐसी घटना ............. कहलाती है।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ............. है। (प्रश्न बैंक)

(v) किसी घटना की प्रायिकता ............. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ............. से छोटी या उसके बराबर होती है।

हल— (i) 11 (ii) 00 , असम्भव घटना (iii) 11 , अवश्य, या निश्चित घटना (iv) 11 (v) 0,10,1

2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए :

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।

(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।

उत्तर— (i) जब एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है तो सामान्य स्थिति में कार चलने लगती है परन्तु यदि कार में कोई दोष हो, तो कार नहीं चलती इसलिए परिणाम समप्रायिक नहीं है।

(ii) जब एक खिलाड़ी बास्केट बॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है, तो इस स्थिति में परिणाम समप्रायिक नहीं है क्योंकि परिणाम कई तथ्यों पर निर्भर करता है तथा सफलता व असफलता समान नहीं होती है।

(iii) एक प्रश्न के लिए दो सम्भावनाएँ या तो सही या गलत हैं। सत्य-असत्य के इस प्रश्न के इस अभिप्राय में एक ही परिणाम हो सकता है : सत्य या असत्य अर्थात् इस घटना के होने का एक ही अवसर है इसलिए दो परिणाम समप्रायिक हैं।

(iv) एक नव जन्मा बच्चा (जिसका जन्म इसी क्षण हुआ है) एक लड़का भी हो सकता है और एक लड़की भी हो सकती है और दोनों पर परिणाम समप्रायिक हैं।

3. फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौनसी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

उत्तर— जब सिक्के को उछाला जाता है तो केवल दो ही सम्भावनाएँ होती हैं अर्थात् परिणाम चित या पट दो समप्रायिक हैं। एक सिक्का उछालने के परिणाम की पूर्व भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।

4. निम्नलिखित में से कौनसी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

(A) 23\frac{2}{3}
(B) −1.5-1.5
(C) 1515%
(D) 0.70.7

हल— हम जानते हैं कि एक घटना की प्रायिकता 00 से कम और 11 से अधिक नहीं हो सकती अर्थात् 0≤P(E)≤10 \le P(E) \le 1

∴∴ (B) −1.5-1.5 सम्भव नहीं है।

**5. यदि P(E)=0.05P(E)=0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?**

हल— हम जानते हैं कि

P(E)+P(E)=1P(E)+P(E)=1

P(E)=1−P(E)P(E)=1-P(E)

=1−0.05=1-0.05

=0.95=0.95 उत्तर

6. एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली

(i) संतरे की महक वाली है?

(ii) नींबू की महक वाली है?

हल— (i) क्योंकि एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। अतः यहाँ संतरे की महक वाली कोई गोली नहीं है।

अतः, यह एक असम्भव घटना है।

∴∴ संतरे की महक वाली गोली की प्रायिकता =0=0 उत्तर

(ii) क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली ही गोलियाँ हैं। इसलिए यह एक निश्चित घटना है।

∴∴ नींबू की महक वाली गोलियाँ निकालने की प्रायिकता =11=1=\frac{1}{1}=1 उत्तर

प्रश्न 7. यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.9920.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

हल— दो विद्यार्थियों के एक ही दिन होने की घटना को EE मान लीजिए।

∴∴ दो विद्यार्थियों के जन्म एक ही दिन न होने की घटना (E)(E) है।

∴P(E)=0.992∴P(E)=0.992

∴P(E)=1−P(E)∴P(E)=1-P(E)

∵(P(E)+P(E)=1)∵(P(E)+P(E)=1)

=1−0.992=0.008=1-0.992=0.008

∴∴ दो विद्यार्थियों का जन्म एक ही दिन होने की प्रायिकता 0.0080.008 है। उत्तर

प्रश्न 8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद

(i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

हल— लाल गेंदों की संख्या =3=3

काली गेंदों की संख्या =5=5

गेंदों की कुल संख्या =3+5=8=3+5=8

एक गेंद यादृच्छया निकाली गई है

(i) लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

P(लालगेंद)=38P(\text{लाल} \text{गेंद})=\frac{3}{8} उत्तर

(ii) लाल गेंद न प्राप्त करने की प्रायिकता

=1−P(लालगेंद)=1-P(\text{लाल} \text{गेंद})

=1−38=58=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} उत्तर

(P(A)=1−P(E))(P(A)=1-P(E))

प्रश्न 9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा

(i) लाल है? (ii) सफेद है? (iii) हरा नहीं है?

हल— लाल कंचों की संख्या =5=5

सफेद कंचों की संख्या =8=8

हरे कंचों की संख्या =4=4

कंचों की कुल संख्या =5+8+4=17=5+8+4=17

क्योंकि एक कंचा निकाला गया है।

(i) लाल कंचे 5 हैं।

लाल कंचा निकालने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

=517=\frac{5}{17} उत्तर

(ii) क्योंकि सफेद कंचे 8 हैं।

सफेद कंचा निकालने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

=817=\frac{8}{17} उत्तर

(iii) हरे कंचे 4 हैं।

हरा कंचा निकालने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

=417=\frac{4}{17}

∴∴ हरा कंचा न निकालने की प्रायिकता =1−हराकंचानिकालनेकीप्रायिकता=1-\text{हरा} \text{कंचा} \text{निकालने} \text{की} \text{प्रायिकता}

=1−417=17−417=1317=1-\frac{4}{17}=\frac{17-4}{17}=\frac{13}{17} उत्तर

प्रश्न 10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, 1 रु. के पचास सिक्के हैं, 2 रु. के बीस सिक्के और 5 रु. के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा? (ii) 5 रु. का नहीं होगा?

हल— 50 पैसे के सिक्कों की संख्या =100=100

1 रु. के सिक्कों की संख्या =50=50

2 रु. के सिक्कों की संख्या =20=20

5 रु. के सिक्कों की संख्या =10=10

∴∴ सिक्कों की कुल संख्या

=100+50+20+10=180=100+50+20+10=180

(i) चूँकि 50 पैसे के 100 सिक्के हैं

50 पैसे के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

=100180=\frac{100}{180}

P(50Pकेसिक्के)=59P(50P \text{के} \text{सिक्के})=\frac{5}{9} उत्तर

(ii) 5 रु. के सिक्कों की संख्या =10=10

∴∴ 5 रु. के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

P(5रु.केसिक्के)=10180=118P(5 \text{रु}. \text{के} \text{सिक्के})=\frac{10}{180}=\frac{1}{18}

5रु.केसिक्केप्राप्तनकरनेकीप्रायिकता5 \text{रु}. \text{के} \text{सिक्के} \text{प्राप्त} \text{न} \text{करने} \text{की} \text{प्रायिकता}

=1−P(5रु.केसिक्के)=1-P(5 \text{रु}. \text{के} \text{सिक्के})

=1−118=18−118=1718=1-\frac{1}{18}=\frac{18-1}{18}=\frac{17}{18} उत्तर

**11. गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 55 नर मछली और 88 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?**

[Aquarium with fish]

कक्षा 10 गणित पाठ 14 प्रायिकता चित्र 1

हल— नर मछलियों की संख्या =5=5

मादा मछलियों की संख्या =8=8

जल जीव कुण्ड में मछलियों की कुल संख्या =5+8=13=5+8=13

नर मछली प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

P(नरमछली)=513P(\text{नर} \text{मछली})=\frac{5}{13} उत्तर

**12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7 और 88 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित**

[Circular spinner with numbers 1-8]

कक्षा 10 गणित पाठ 14 प्रायिकता चित्र 2

(i) 88 को करेगा?

(ii) एक विषम संख्या को करेगा?

(iii) 22 से बड़ी संख्या को करेगा?

(iv) 99 से छोटी संख्या को करेगा?

हल— (i) परिणामों की कुल संख्या =1,2,3,4,5,6,7,8={1,2,3,4,5,6,7,8}

तीर द्वारा संख्या 88 को इंगित करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यासंभवकुलपरिणामोंकीसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{संभव} \text{कुल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}

′8′प्राप्तकरनेकीप्रायिकता=18^{'}8^{'} \text{प्राप्त} \text{करने} \text{की} \text{प्रायिकता}=\frac{1}{8} उत्तर

(ii) विषम संख्याएँ हैं =1,3,5,7={1,3,5,7}

तीर द्वारा एक विषम संख्या इंगित करने के परिणामों की संख्या =4=4

∴विषमसंख्याइंगितहोनेकीप्रायिकता∴\text{विषम} \text{संख्या} \text{इंगित} \text{होने} \text{की} \text{प्रायिकता}

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्याकुलसंभवपरिणामोंकीसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{कुल} \text{संभव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}

विषमसंख्याप्राप्तकरनेकीप्रायिकता=48=12\text{विषम} \text{संख्या} \text{प्राप्त} \text{करने} \text{की} \text{प्रायिकता}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} उत्तर

(iii) 22 से बड़ी संख्याएँ हैं =3,4,5,6,7,8={3,4,5,6,7,8}

22 से बड़ी संख्या को इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या =6=6

∴2∴2 से बड़ी संख्या को इंगित करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्याकुलसंभवपरिणामोंकीसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{कुल} \text{संभव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}

∴2∴2 से बड़ी संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता =68=34=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}

P(2सेबड़ीसंख्या)=34P(2 \text{से} \text{बड़ी} \text{संख्या})=\frac{3}{4} उत्तर

(iv) 99 से छोटी संख्याएँ हैं =1,2,3,4,5,6,7,8={1,2,3,4,5,6,7,8}

99 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या =8=8

अतः 99 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्याकुलसंभवपरिणामोंकीसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{कुल} \text{संभव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}

∴9∴9 से छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता =88=\frac{8}{8}

P(9सेछोटीसंख्या)=1P(9 \text{से} \text{छोटी} \text{संख्या})=1 उत्तर

13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) एक अभाज्य संख्या, (प्रश्न बैंक)

(ii) 22 और 66 के बीच स्थित कोई संख्या,

(iii) एक विषम संख्या।

हल— जब पासे को एक बार फेंका जाता है तो सम्भव परिणाम

S=1,2,3,4,5,6S={1,2,3,4,5,6}

(i) अभाज्य संख्याएँ हैं : (2)(2)

∴अभाज्यसंख्याप्राप्तकरनेकीप्रायिकता=36=12∴\text{अभाज्य} \text{संख्या} \text{प्राप्त} \text{करने} \text{की} \text{प्रायिकता}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} उत्तर

(ii) 22 और 66 के बीच स्थित संख्याएँ =3,4,5={3,4,5}

22 और 66 के बीच स्थित संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता

=36=12=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} उत्तर

(iii) विषम संख्याएँ हैं =1,3,5={1,3,5}

एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता

=36=12=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

P(एकविषमसंख्या)=12P(\text{एक} \text{विषम} \text{संख्या})=\frac{1}{2} उत्तर

14. 5252 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता

(iii) लाल रंग की तस्वीर वाला पत्ता

(iv) पान का गुलाम

(v) हुकुम का पत्ता

(vi) एक ईंट की बेगम।

हल— 5252 पत्तों की एक गड्डी में पत्तों की संख्या 5252 है।

(i) लाल रंग के दो बादशाह हैं अर्थात् पान का बादशाह और ईंट का बादशाह

लाल रंग का बादशाह प्राप्त करने की प्रायिकता

=252=126=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}

P(लालरंगकाबादशाह)=126P(\text{लाल} \text{रंग} \text{का} \text{बादशाह})=\frac{1}{26} उत्तर

(ii) 1212 फेस कार्ड हैं अर्थात् 44 गुलाम, 44 बेगम और 44 बादशाह

तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता =1252=\frac{12}{52}

∴P(एकफेसकार्ड)=313∴P(\text{एक} \text{फेस} \text{कार्ड})=\frac{3}{13} उत्तर

(iii) क्योंकि लाल रंग के 66 पत्ते हैं अर्थात् 22 गुलाम, 22 बेगम और 22 बादशाह हैं।

∴6∴6 लाल रंग के फेस कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता

=652=\frac{6}{52}

P(लालरंगकाफेसकार्ड)=326P(\text{लाल} \text{रंग} \text{का} \text{फेस} \text{कार्ड})=\frac{3}{26} उत्तर

(iv) पान का केवल एक ही गुलाम है।

∴∴ एक पान का गुलाम प्राप्त करने की प्रायिकता =152=\frac{1}{52}

P(एकपानकागुलाम)=152P(\text{एक} \text{पान} \text{का} \text{गुलाम})=\frac{1}{52} उत्तर

(v) चूँकि हुकुम के 1313 पत्ते हैं

∴∴ हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता =1352=\frac{13}{52}

P(एकहुकुमकापत्ता)=14P(\text{एक} \text{हुकुम} \text{का} \text{पत्ता})=\frac{1}{4} उत्तर

(vi) चूँकि ईंट की बेगम केवल एक ही है

∴∴ ईंट की बेगम प्राप्त करने की प्रायिकता =152=\frac{1}{52}

P(ईंटकीप्रायिकता)=152P(\text{ईंट} \text{की} \text{प्रायिकता})=\frac{1}{52} उत्तर

15. ताश के पाँच पत्तों—ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का, को पलट कर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है :

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?

(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता

(a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
(a) इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता =14=\frac{1}{4}

P(एकइक्का)=14P(\text{एक} \text{इक्का})=\frac{1}{4} उत्तर

कोई बेगम नहीं बची।

(b) बेगम प्राप्त करने की प्रायिकता =04=0=\frac{0}{4}=0
(A) 23\frac{2}{3} (B) 32\frac{3}{2} (C) 0.70.7 (D) 0.50.5

2. एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) 12\frac{1}{2} (B) 12\frac{1}{2} (C) 34\frac{3}{4} (D) 11
(A) 12\frac{1}{2} (B) 23\frac{2}{3} (C) 00 (D) 11

4. 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाए तो उसके राजा या ईंट का पत्ता होने की प्रायिकता है -

(A) 126\frac{1}{26} (B) 326\frac{3}{26} (C) 413\frac{4}{13} (D) 313\frac{3}{13}
(A) 177\frac{1}{77} (B) 4377\frac{43}{77} (C) 3477\frac{34}{77} (D) इनमें से कोई नहीं

6. यदि P(A)P(A) , घटना A के होने की प्रायिकता को दर्शाता हो तो-

(A) P(A)<0P(A)<0 (B) P(A)>1P(A)>1 (C) 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 (D) −1≤P(A)≤1-1 \le P(A) \le 1
(A) 13\frac{1}{3} (B) 23\frac{2}{3}
(C) 12\frac{1}{2} (D) इनमें से कोई नहीं

8. एक पासे को फेंकने पर एक विषम अंक आने की प्रायिकता होगी-

(A) 23\frac{2}{3} (B) 34\frac{3}{4} (C) 14\frac{1}{4} (D) 12\frac{1}{2}
(A) 16\frac{1}{6} (B) 118\frac{1}{18} (C) 29\frac{2}{9} (D) 23108\frac{23}{108}

10. ताश के 5252 पत्तों में यादृच्छिक रूप से एक पत्ता चुने जाने पर उसके हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता है-

(A) 113\frac{1}{13} (B) 12\frac{1}{2} (C) 34\frac{3}{4} (D) 14\frac{1}{4}
(A) 22 (B) 11 (C) −1-1 (D) इनमें से कोई नहीं

12. एक लाल पासा व एक नीला पासा एक साथ फेंका जाता है, सम्भव परिणामों की संख्या है- (प्रश्न बैंक)

(A) 1212 (B) 2020 (C) 3636 (D) 66
(A) 12\frac{1}{2} (B) 13\frac{1}{3} (C) 35\frac{3}{5} (D) 16\frac{1}{6}

14. यदि अंकों 1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9 में से एक अंक चुना जाए तो उसके सम होने की प्रायिकता है-

(A) 12\frac{1}{2} (B) 49\frac{4}{9} (C) 35\frac{3}{5} (D) 16\frac{1}{6}
(A) 00 (B) 00 से 11 के मध्य (C) 11 (D) 11 से बड़ी

16. निम्न में से कौनसी किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती? (प्रश्न बैंक)

(A) 1.11.1 (B) 55% (C) 0.90.9 (D) 0.10.1
(A) 12\frac{1}{2} (B) 13\frac{1}{3} (C) 14\frac{1}{4} (D) 18\frac{1}{8}

18. एक थैले में 88 लाल, 22 काली एवं 55 सफेद गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। उस गेंद के काला न होने की प्रायिकता क्या है?

(A) 215\frac{2}{15} (B) 1315\frac{13}{15} (C) 815\frac{8}{15} (D) 13\frac{1}{3}
(A) 14\frac{1}{4} (B) 15\frac{1}{5} (C) 25\frac{2}{5} (D) 35\frac{3}{5}

20. एक लॉटरी में 44 पुरस्कार हैं और 1616 खाली हैं। एक पुरस्कार पाने की प्रायिकता क्या है?

(A) 14\frac{1}{4} (B) 13\frac{1}{3} (C) 12\frac{1}{2} (D) 15\frac{1}{5}
(A) 16\frac{1}{6} (B) 23\frac{2}{3} (C) 12\frac{1}{2} (D) 13\frac{1}{3}

22. एक साथ दो पासों को उछाला जाता है। संख्याओं का योग 77 होने की प्रायिकता है-

(A) 14\frac{1}{4} (B) 16\frac{1}{6} (C) 23\frac{2}{3} (D) 34\frac{3}{4}
(A) 415\frac{4}{15} (B) 215\frac{2}{15} (C) 115\frac{1}{15} (D) 15\frac{1}{5}

24. यदि दो पासों को एक साथ फेंका जाता है तो दोनों पासों पर एक ही संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी-

(A) 16\frac{1}{6} (B) 56\frac{5}{6} (C) 136\frac{1}{36} (D) इनमें से कोई नहीं
(A) 44 (B) 1313 (C) 4848 (D) 5151

26. दो सिक्के एक साथ उछाले गये। अधिक से अधिक एक चित आने की प्रायिकता है।

(A) 14\frac{1}{4} (B) 12\frac{1}{2} (C) 23\frac{2}{3} (D) 34\frac{3}{4}
(A) 12\frac{1}{2} (B) 13\frac{1}{3} (C) 34\frac{3}{4} (D) 11

28. एक पासे को उछाले जाने पर 66 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता है— (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

(A) 00 (B) 14\frac{1}{4} (C) 12\frac{1}{2} (D) 11
(A) 0.900.90 (B) 0.590.59 (C) 0.500.50 (D) 0.950.95

30. दो सिक्कों को एक-एक करके फेंका जाता है तो कुल संभावित परिणामों की संख्या होगी— (प्रश्न बैंक)

(A) 22 (B) 44 (C) 88 (D) 3636
(A) 9.09.0 (B) 0.90.9 (C) 0.090.09 (D) 0.010.01

32. एक पासे को एक बार उछाला जाता है। पासे पर 55 या 55 से छोटी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी— (प्रश्न बैंक)

(A) 56\frac{5}{6} (B) 46\frac{4}{6} (C) 11 (D) 12\frac{1}{2}
(A) 113\frac{1}{13} (B) 5152\frac{51}{52} (C) 152\frac{1}{52} (D) 11

उत्तरमाला

1. (B)

2. (C)

3. (A)

4. (B)

5. (C)

6. (C)

7. (C)

8. (D)

9. (C)

10. (D)

11. (B)

12. (C)

13. (C)

14. (B)

15. (C)

16. (A)

17. (A)

18. (B)

19. (B)

20. (D)

21. (D)

22. (B)

23. (D)

24. (A)

25. (D)

26. (D)

27. (B)

28. (A)

29. (D)

30. (B)

31. (B)

32. (C)

33. (A)

  

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—

1. एक निश्चित घटने वाली घटना की प्रायिकता ……………… होती है।

2. यदि P(E′)P(E^{'}) 'नहीं की' प्रायिकता 0.900.90 है तो P(E)P(E) की प्रायिकता ……………… होगी।

3. एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। इसे चित नहीं आने की प्रायिकता ……………… होगी।

4. दो सिक्के एक साथ उछाले गए। अधिक से अधिक एक पट आने की प्रायिकता ……………… होगी।

5. संख्याओं 1,2,3,…,151,2,3,…,15 से यादृच्छया 44 का एक गुणज चुने जाने की प्रायिकता ……………… है।

6. एक पासे को एक बार फेंका जाता है तो सम संख्या के आने की प्रायिकता ……………… होगी। (प्रश्न बैंक)

7. 5252 ताशों की एक गड्डी में से एक कार्ड निकाला जाता है, इसके काले रंग का मुख कार्ड होने की प्रायिकता ……………… है।

8. किसी असम्भव घटना के होने की प्रायिकता ……………… होती है। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23, 2023-24)

9. एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। इसे पट नहीं आने की प्रायिकता ……………… है।

10. अंग्रेजी वर्णमाला में से एक अक्षर यादृच्छया चुने जाने पर उसके व्यंजक होने की प्रायिकता ……………… है।

11. दो पासों को एक साथ फेंकने पर अंकों का योग 77 आने की प्रायिकता ……………… होगी। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

12. एक पासे को उछाले जाने पर 66 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ……………… होती है। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

13. यदि P(E)P(E) की प्रायिकता 0.850.85 है तो P(E)P(E) नहीं की प्रायिकता ……………… है। (प्रश्न बैंक)

उत्तर—

1. 11

2. 0.10.1

3. 12\frac{1}{2}

4. 12\frac{1}{2}

5. 15\frac{1}{5}

6. 12\frac{1}{2}

7. 326\frac{3}{26}

8. 00

9. 12\frac{1}{2}

10. 2126\frac{21}{26}

11. 16\frac{1}{6}

12. शून्य

13. 0.150.15

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. एक पासे को एक बार फेंकने पर 55 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

हल—एक पासे को एक बार फेंकने पर संभव परिणाम है—

S=1,2,3,4,5,6S={1,2,3,4,5,6}

55 से बड़ा अंक है (6)(6)

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =16=\frac{1}{6} उत्तर

प्रश्न 2. यदि P(A)=0.65P(A)=0.65 है, तो ' AA नहीं' की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल— P(Aनहीं)=P(A)=1−P(A)P(A \text{नहीं})=P(A)=1-P(A)

=1−0.65=0.35=1-0.65=0.35 उत्तर

प्रश्न 3. एक बक्से में 77 नीले तथा 33 सफेद कंचे हैं। यदि इस बक्से में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह कंचा "सफेद" है?

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल— बक्से में कुल कंचे =7+3=10=7+3=10

सफेद कंचा होने की प्रायिकता

=सफेदकंचोंकीसंख्याकुलकंचोंकीसंख्या=310=\frac{\text{सफेद} \text{कंचों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{कुल} \text{कंचों} \text{की} \text{संख्या}}=\frac{3}{10} उत्तर

प्रश्न 4. दो खिलाड़ी राम और श्याम शतरंज का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि राम द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 45\frac{4}{5} है। श्याम के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

हल—राम द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता P(A)=45P(A)=\frac{4}{5}

∴∴ श्याम के जीतने की प्रायिकता P(A)=1−P(A)P(A)=1-P(A)

=1−45=15=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} उत्तर

प्रश्न 5. एक थैले में 66 लाल व 77 सफेद गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। निकाली गई गेंद की सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

हल— लाल गेंदों की संख्या =6=6

सफेद गेंदों की संख्या =7=7

गेंदों की कुल संख्या =6+7=13=6+7=13

∴∴ सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्याकुलसंभवपरिणामोंकीसंख्या=713=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{कुल} \text{संभव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}=\frac{7}{13} उत्तर

प्रश्न 6. एक थैले में 33 लाल और 55 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह गेंद लाल होगी?

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)

हल—थैले में गेंदों की कुल संख्या =3लाल+5काली=8=3 \text{लाल}+5 \text{काली}=8

थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम =8=8

गेंद लाल (R)(R) होने की घटना के अनुकूल परिणाम =3=3

गेंद लाल (R)(R) होने की प्रायिकता P(R)P(R)

=घटना(R)केअनुकूलपरिणामकुलसम्भवपरिणाम=\frac{\text{घटना} (R) \text{के} \text{अनुकूल} \text{परिणाम}}{\text{कुल} \text{सम्भव} \text{परिणाम}}

=38=\frac{3}{8} उत्तर

प्रश्न 7. यदि एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है तो चित और पट आने की संभावना क्या होगी?

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल—अभीष्ट प्रायिकता (सम्भावना) =12=\frac{1}{2}

प्रश्न 8. एक पासे के उछाल में 33 से छोटा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर—एक पासा फेंकने पर 11 से 66 तक कोई भी अंक आ सकता है। अतः कुल निःशेष स्थितियाँ 66 होंगी। यहाँ पर घटना 33 से छोटा अंक आना है। स्पष्ट है कि पासे की फेंक में 11 या 22 अंक आना है अर्थात् 22 अनुकूल स्थितियाँ होंगी।

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =26=13=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

प्रश्न 9. दो पासों के एक फेंक में कम से कम एक पासे में 66 अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर—यहाँ पर निःशेष स्थितियाँ 62=366^{2}=36 है। घटना कम से कम एक पासे में 66 अंक प्राप्त होना दी गई है। अतः अनुकूल स्थितियाँ हैं— (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) अर्थात् कुल अनुकूल स्थितियाँ 1111 हैं।

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =1136=\frac{11}{36}

प्रश्न 10. एक पासे के फेंकने पर सम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल—अनुकूल स्थितियाँ (2,4,6)=3(2,4,6)=3

कुल स्थितियाँ =6=6

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =36=12=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 11. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग कितना होता है?

उत्तर— किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 11 होता है। यह व्यापक रूप में भी सत्य है।

=610=35=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} उत्तर

प्रश्न 12. एक पासे को एक बार फेंका जाता है, तो अभाज्य संख्या आने की क्या प्रायिकता है?

हल— एक पासे को यादृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव परिणामों की संख्या =1,2,3,4,5,6=6={1,2,3,4,5,6}=6

यहाँ पर अभाज्य संख्याएँ =2,3,5=3={2,3,5}=3

∴∴ अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता =36=12=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 13. एक थैले में 33 लाल और 55 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद काली नहीं है?

हल— थैले में गेंदों की कुल संख्या =3=3 लाल +5+5 काली =8=8

थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम =8=8

गेंद काली (B) होने की घटना के अनुकूल परिणाम =5=5

गेंद काली होने की प्रायिकता P(B)=घटना(B)केअनुकूलपरिणामकुलसम्भवपरिणामP(B)=\frac{\text{घटना} (B) \text{के} \text{अनुकूल} \text{परिणाम}}{\text{कुल} \text{सम्भव} \text{परिणाम}}

=58=\frac{5}{8}

अतः गेंद काली होने की प्रायिकता =58=\frac{5}{8}

तब गेंद काली न होने की प्रायिकता =1−गेंदकालीहोनेकीप्रायिकता=1-\text{गेंद} \text{काली} \text{होने} \text{की} \text{प्रायिकता}

=1−58=38=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} उत्तर

प्रश्न 14. एक थैले में 44 लाल और 66 काली गेंदें हैं। इस थैले में एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद काली हो?

हल— थैले में कुल गेंद =4+6=10=4+6=10

एक गेंद निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम =10=10

गेंद काली होने की घटना के अनुकूल परिणाम =6=6

∴∴ काली गेंद होने की प्रायिकता =अनुकूलपरिणामकुलसम्भावितपरिणाम=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणाम}}{\text{कुल} \text{सम्भावित} \text{परिणाम}}

प्रश्न 15. एक थैले में एक से लेकर दस अंक तक के दस टिकट हैं। थैले से यादृच्छया एक टिकट निकाला जाता है। निकाले गये टिकट पर विषम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— थैले में विषम अंकों के कुल टिकट होंगे =1,3,5,7,9=1,3,5,7,9

अर्थात् 55

कुल सम्भावित परिणाम =10=10

अतः विषम अंक आने की प्रायिकता =510=12=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 16. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.70.7 है तो उस घटना के घटित नहीं होने की प्रायिकता क्या है?

हल— घटना घटित होने की प्रायिकता P(E)=0.7P(E)=0.7

इसलिये घटना घटित न होने की प्रायिकता =1−P(E)=1−0.7=0.3=1-P(E)=1-0.7=0.3 उत्तर

प्रश्न 17. यदि P(E)=0.05P(E)=0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?

हल— हम जानते हैं—

P(E)+P(E)=1P(E)+P(E)=1

∴P(E)=1−P(E)=1−0.05=0.95∴P(E)=1-P(E)=1-0.05=0.95 उत्तर

प्रश्न 18. 5252 ताशों की एक गड्डी को फेंट कर एक पत्ता खींचा जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए—

(i) वह लाल रंग का पत्ता है।

(ii) वह बादशाह का पत्ता है।

हल— (i) कुल सम्भावित परिणाम =52=52

तथा अनुकूल परिणाम =26=26 (चूँकि गड्डी में लाल पत्तों की संख्या =26=26 )

∴∴ गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर लाल पत्ता आने की प्रायिकता =2652=12=\frac{26}{52}=\frac{1}{2} उत्तर

(ii) गड्डी में बादशाह की संख्या =4=4

∴∴ अनुकूल परिणाम =4=4

∴∴ बादशाह का पत्ता आने की प्रायिकता =अनुकूलपरिणामकुलपरिणाम=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणाम}}{\text{कुल} \text{परिणाम}}

=452=113=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} उत्तर

प्रश्न 19. यदि एक पासा एक बार फेंका जाता है तो उसे छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— पासा फेंकने पर कुल स्थितियाँ =6=6

छोटी संख्या प्राप्त करने की अनुकूल स्थितियाँ =1=1

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =अनुकूलस्थितियाँकुलस्थितियाँ=\frac{\text{अनुकूल} \text{स्थितियाँ}}{\text{कुल} \text{स्थितियाँ}}

=16=\frac{1}{6} उत्तर

प्रश्न 20. अच्छी तरह फेंटी हुई ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। इस पत्ते के बादशाह या हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता क्या होगी?

हल— एक पत्ता 5252 तरह का निकल सकता है।

अतः निःशेष स्थितियाँ =52=52

अनुकूल पत्तों की संख्या =13+4−1=16=13+4-1=16 है।

प्रायिकता =1652=413=\frac{16}{52}=\frac{4}{13} उत्तर

प्रश्न 21. यदि किसी छात्र द्वारा एक प्रश्न को हल करने की प्रायिकता 23\frac{2}{3} है, तो छात्र द्वारा प्रश्न हल नहीं करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल— ∵∵ प्रश्न हल करने की प्रायिकता =23=\frac{2}{3}

∴∴ प्रश्न हल नहीं करने की प्रायिकता =1−23=1-\frac{2}{3}

=13=\frac{1}{3} उत्तर

प्रश्न 22. अच्छी प्रकार से फेंटी गई 5252 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता इक्का नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल— गड्डी को अच्छी प्रकार से फेंकने से परिणामों का सम्प्रायिक होना सुनिश्चित हो जाता है।

माना कि घटना FF एक इक्का नहीं है।

माना FF के अनुकूल परिणामों की संख्या =52−4=48=52-4=48

सभी संभव परिणामों की संख्या =52=52

अतः P(F)=4852=1213P(F)=\frac{48}{52}=\frac{12}{13} उत्तर

प्रश्न 23. एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। इसके पट नहीं आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल— जब हम सिक्के को उछालते हैं तो केवल दो ही सम्भावनाएँ होती हैं अर्थात् परिणाम चित या पट दो सम्प्रायिक हैं। इसलिए सिक्के के पट प्राप्त होने की प्रायिकता =12=\frac{1}{2}

सिक्का पट प्राप्त न होने की प्रायिकता अर्थात् सिक्के के चित प्राप्त होने की प्रायिकता =1−12=12=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 24. एक बक्से में 33 नीली, 22 सफेद और 44 लाल गेंद है। इस बक्से में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद नीली है?

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

हल— सभी सम्भव परिणामों की संख्या =3+2+4=9=3+2+4=9

निकाली गई गेंद नीली होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या =3=3

अतः अभीष्ट प्रायिकता =39=13=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} उत्तर

प्रश्न 25. एक थैले में 33 लाल, 55 काली तथा 77 सफेद गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद को यादृच्छया निकाला जाता है। निकाली गई गेंद काली नहीं है, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— कुल गेंदों की संख्या =3+5+7=15=3+5+7=15

कुल परिणामों की संख्या =15=15

अनुकूल परिणामों की संख्या =5=5

काली गेंद निकालने की प्रायिकता =515=13=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}

निकाली गई गेंद काली नहीं है, इसकी प्रायिकता =1−13=23=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} उत्तर

प्रश्न 26. अच्छी प्रकार से फेंटी गई 5252 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इस पत्ते के दहला होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— कुल सम्भावित परिणाम =52=52

तथा अनुकूल परिणाम =4=4 ( ∵∵ गड्डी में 44 पत्ते दहला के होते हैं)

∴∴ गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता दहला आने की प्रायिकता =452=113=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. दो खिलाड़ी AA और BB टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि AA के मैच जीतने की प्रायिकता 0.620.62 है। BB के मैच जीतने की क्या प्रायिकता है?

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक)

हल— P(A)=0.62P(A)=0.62

P(B)=?P(B)=?

यदि मैच AA हारता है तब BB मैच जीत जायेगा इसलिए

P(A)=1−0.62P(A)=1-0.62

=0.38=0.38

यह प्रायिकता BB के मैच जीतने की है।

अतः: P(B)=0.38P(B)=0.38 उत्तर

प्रश्न 2. एक थैले में 55 सफेद व 22 लाल गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद होगी-

(i) सफेद (ii) लाल?

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

हल— सफेद गेंद =5=5 , लाल गेंद =2=2

कुल गेंद =5+2=7=5+2=7

(i) सफेद गेंद होने की प्रायिकता =57=\frac{5}{7}

(ii) लाल गेंद होने की प्रायिकता =27=\frac{2}{7}

प्रश्न 3. एक थैले में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है तथा सभी गेंदें एक ही साइज की हैं। कृतिका बिना थैले के अन्दर झाँके, इसमें से एक गेंद निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद

(i) पीली होगी? (ii) लाल होगी? (iii) नीली होगी?

हल— कृतिका थैले में से, उसमें बिना झाँके, गेंद निकालती है। अतः, उसके द्वारा कोई भी गेंद निकालना समप्रायिक है।

माना कि 'पीली गेंद निकालना' घटना YY है, 'लाल गेंद निकालना' घटना RR है तथा 'नीली गेंद निकालना' घटना BB है।

अब, सभी सम्भव परिणामों की संख्या =3=3 है।

(i) घटना YY के अनुकूल परिणामों की संख्या =1=1

अतः: P(Y)=13P(Y)=\frac{1}{3}

इसी प्रकार, P(R)=13P(R)=\frac{1}{3} और P(B)=13P(B)=\frac{1}{3} उत्तर

प्रश्न 4. दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि संगीता द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.620.62 है। रेशमा के जीतने की क्या प्रायिकता है?

हल— माना कि SS और RR क्रमशः संगीता के जीतने और रेशमा के जीतने की घटनाएँ व्यक्त करते हैं।

संगीता के जीतने की प्रायिकता =P(S)=0.62=P(S)=0.62 (दिया है)

रेशमा के जीतने की प्रायिकता =P(R)=1−P(S)=P(R)=1-P(S)

[चूँकि घटनाएँ RR और SS पूरक हैं]

=1−0.62=0.38=1-0.62=0.38 उत्तर

प्रश्न 5. एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। साथ ही, एक पट प्राप्त करने की भी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल— एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग में, सम्भव परिणामों की संख्या 22 है-चित (H)(H) और पट (T)(T) । मान लीजिए घटना EE 'चित प्राप्त करना' है। तब, EE के अनुकूल (अर्थात् चित प्राप्त करने के अनुकूल) परिणाम 11 है। अतः,

P(E)=P(चित)=Eकेअनुकूलपरिणामोंकीसंख्यासभीसम्भवपरिणामोंकीसंख्या=12P(E)=P(\text{चित})=\frac{E \text{के} \text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{सभी} \text{सम्भव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}=\frac{1}{2}

इसी प्रकार, यदि घटना FF पट प्राप्त करना है, तो

P(F)=P(पट)=12P(F)=P(\text{पट})=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 6. किसी अलीप वर्ष में 5353 रविवार आने की प्रायिकता बताइए।

हल— एक अलीप वर्ष में 365365 दिन होते हैं अर्थात् एक अलीप वर्ष में 3657=52\frac{365}{7}=52 सप्ताह व 11 दिन होते हैं।

इससे यह अर्थ निकलता है कि 5252 सप्ताह में 5252 रविवार तो होंगे ही, अब 11 दिन जो बचा है वह निम्न में से एक हो सकता है-

[रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार]

अतः कुल निःशेष स्थितियाँ =7=7

रविवार के पक्ष में अनुकूल स्थिति =1=1

अतः अभीष्ट प्रायिकता =17=\frac{1}{7} उत्तर

प्रश्न 7. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग 77 है?

हल— जब दो पासों को एक साथ फेंका जाता है तब सम्भावित परिणामों की संख्या =6×6=36=6 \times 6=36 है।

EE द्वारा योग घटना 'संख्याओं का योग 77 ' के अनुकूल परिणाम

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2) और (6)(6)

अर्थात् EE के अनुकूल परिणाम =6=6

इसलिये P(E)=636=16P(E)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} उत्तर

प्रश्न 8. एक अच्छी प्रकार से फेंटी गई 5252 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— एक गड्डी में 44 बादशाह होते हैं। माना घटना 'E' एक बादशाह होना है। इसलिये E के अनुकूल परिणामों की संख्या =4=4 होगी और सभी सम्भव परिणामों की संख्या =52=52

∴∴ प्रायिकता P(E)=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यासभीसम्भवपरिणामोंकीसंख्याP(E)=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{सभी} \text{सम्भव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}

=452=113=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} उत्तर

प्रश्न 9. दो खिलाड़ी A और B टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि A के मैच जीतने की प्रायिकता 0.380.38 है। B के मैच जीतने की क्या प्रायिकता है?

(प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)

हल— A के मैच जीतने की प्रायिकता =P(A)=0.38=P(A)=0.38

B के मैच जीतने की प्रायिकता =P(B)=1−P(A)=P(B)=1-P(A)

()() घटनाएँ A व B पूरक हैं ]]

P(B)=1−0.38=0.62P(B)=1-0.38=0.62

अतः B के मैच जीतने की प्रायिकता =0.62=0.62 उत्तर

प्रश्न 10. एक थैले में कार्ड हैं जिन पर 2,3,4,…,112,3,4,…,11 संख्याएँ अंकित हैं। थैले में से यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। निकाले गये कार्ड पर एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— थैले में कार्डों पर अंकित संख्याएँ निम्न हैं।

2,3,4,…,112,3,4,…,11

अतः कार्डों पर अंकित अभाज्य संख्याएँ हैं।

2,3,5,7,112,3,5,7,11

अतः अनुकूल परिणामों की संख्या =5=5

∴∴ कार्ड पर एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता =510=12=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 11. एक थैले में कार्ड हैं जिन पर 66 से 5050 तक की संख्याएँ अंकित हैं। थैले में से यादृच्छया एक कार्ड निकाला गया। इस कार्ड पर अंकित संख्या के एक पूर्ण वर्ग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— थैले में कुल कार्ड =45=45

66 से 5050 तक पूर्ण वर्ग संख्याएँ =9,16,25,36,49=9,16,25,36,49

अतः पूर्ण वर्ग संख्याओं वाले कुल कार्ड =5=5

अभीष्ट प्रायिकता =अनुकूलपरिणामकुलसम्भवपरिणाम=545=19=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणाम}}{\text{कुल} \text{सम्भव} \text{परिणाम}}=\frac{5}{45}=\frac{1}{9} उत्तर

प्रश्न 12. एक डिब्बे में 88 लाल कंचे, 55 सफेद कंचे और 22 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा—

(i) लाल है? (ii) हरा नहीं है? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— लाल कंचों की संख्या =8=8

सफेद कंचों की संख्या =5=5

हरे कंचों की संख्या =2=2

कंचों की कुल संख्या =8+5+2=15=8+5+2=15

चूंकि एक कंचा निकाला गया है।

(i) लाल कंचा निकालने की प्रायिकता =अनुकूलपरिणामपरिणामोंकीकुलसंख्या=815=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणाम}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}=\frac{8}{15} उत्तर

(ii) हरा कंचा निकालने की प्रायिकता =215=\frac{2}{15}

हरा कंचा नहीं निकालने की प्रायिकता =1−215=1315=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15} उत्तर

प्रश्न 13. दो सिक्कों को एक साथ फेंका जाता है, तो कम से कम एक चित (Head) आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये। (प्रश्न बैंक)

हल— दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर कुल 44 संभावित परिणाम (H,H),(H,T),(T,H),(T,T)(H,H),(H,T),(T,H),(T,T) प्राप्त होते हैं। यहाँ 'चित' के लिए 'H' व 'पट' के लिए 'T' लिखा गया है।

कम से कम एक चित आने के 33 अनुकूल परिणाम (H,H),(H,T),(T,H)(H,H),(H,T),(T,H) हैं।

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =34=\frac{3}{4} उत्तर

प्रश्न 14. अच्छी तरह फेंटी गई ताश के 5252 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि यह पत्ता लाल रंग का नहीं है। (प्रश्न बैंक)

--- | ---

हल—ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी में लाल रंग के 26 पत्ते होते हैं। | (i) दो अंकों की एक संख्या <br> (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या <br> हल—पेटी में रखी डिस्क पर 1 से 30 तक कुल 30 संख्याएँ हैं और 10 से 30 तक 21 संख्याएँ दो अंकों वाली हैं। <br> (i) दो अंकों वाली संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता <br> =2130=\frac{21}{30} <br> ∴P(दोअंकोंकीएकसंख्या)=2130=710∴P(\text{दो} \text{अंकों} \text{की} \text{एक} \text{संख्या})=\frac{21}{30}=\frac{7}{10} उत्तर <br> (ii) 1 से 30 तक आने वाली पूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी— <br> (1)(1) <br> अर्थात् 1 से 30 तक आने वाली कुल पूर्ण वर्ग संख्याएँ 5 (पाँच) होंगी। अतः 1 से 30 तक आने वाली पूर्ण वर्ग संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता <br> =530=16=\frac{5}{30}=\frac{1}{6} उत्तर

∴∴ लाल रंग का पत्ता आने की प्रायिकता =2652=12=\frac{26}{52}=\frac{1}{2} <br> ∴∴ लाल रंग का पत्ता नहीं आने की प्रायिकता <br> =1−12=12=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} उत्तर

प्रश्न 15. यदि P(E)=0.15P(E)=0.15 है तो नहीं की प्रायिकता क्या होगी? (प्रश्न बैंक) <br> हल— P(E)=1−P(E)P(E)=1-P(E) <br> ⇒P(E)=1−0.15=0.85⇒P(E)=1-0.15=0.85

प्रश्न 16. विरेन्द्र के पेन बॉक्स में 5 नीले, 3 काले व 2 लाल पेन हैं। यदि इस बॉक्स में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता होगी? <br> (i) नीला होगा <br> (ii) हरा नहीं होगा (प्रश्न बैंक) <br> हल— बॉक्स में कुल पेन =5नीले+3काले+2लाल=10=5 \text{नीले}+3 \text{काले}+2 \text{लाल}=10 <br> (i) नीला पेन होने की प्रायिकता =510=12=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} <br> (ii) हरा पेन नहीं होने की प्रायिकता =1010=1=\frac{10}{10}=1 (निश्चित घटना)

प्रश्न 17. एक सलेटी पासे और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। इसमें निम्न संभावित परिणाम आने की प्रायिकता लिखिए। जब दोनों पासों की संख्या का योग 8 है या 13 है। (प्रश्न बैंक) <br> हल— दो पासों को एक साथ फेंकने पर कुल संभावित परिणाम n(S)=36n(S)=36 <br> योग 8 प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम =5=5 <br> ∴∴ योग 8 प्राप्त करने की प्रायिकता =536=\frac{5}{36} <br> पासे पर 1 से 6 तक अंक होते हैं अतः दो पासों को एक साथ फेंकने पर योग 13 नहीं प्राप्त होगा। <br> ∴∴ योग 13 प्राप्त करने की प्रायिकता =0=0 (असंभव घटना) | प्रश्न 2. एक लीप वर्ष (Leap Year) का यादृच्छक चुनाव करने पर उसमें 53 रविवार आने की प्रायिकता बताइए। <br> हल—एक लीप वर्ष में 366 दिन अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन होते हैं। अतः प्रत्येक लीप वर्ष में 52 रविवार तो आवश्यक रूप से आते ही हैं। 53 रविवार आने की प्रायिकता हेतु शेष 2 दिनों में रविवार के आने की प्रायिकता ज्ञात करनी चाहिए। <br> सप्ताह के दो दिनों के आने की कुल निम्न सात सम्भावनाएँ निम्न प्रकार से हो सकती हैं— <br> (सोम, मंगल), (मंगल, बुध), (बुध, बृहस्पति), (बृहस्पति, शुक्र), (शुक्र, शनि), (शनि, रवि) और (रवि, सोम) रविवार आने की कुल अनुकूल स्थितियाँ =2=2 <br> निःशेष स्थितियाँ =7=7 <br> ∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =27=\frac{2}{7} उत्तर

दीर्घउत्तरीय प्रश्न— <br> प्रश्न 1. एक पेटी में 30 डिस्क है, जिन पर 1 से 30 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी— | प्रश्न 3. दो पासों को एक साथ फेंकने पर इस बात की प्रायिकता है कि उन पर न तो समान अंक आये और न ही अंकों का योग 9 आये। <br> हल—यहाँ समस्त संभावित स्थितियाँ— <br> =(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),} <br> (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), <br> (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), <br> (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), <br> (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), <br> (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6){(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

कुल निःशेष स्थितियाँ =36=36

समान अंक व 99 योग आने की स्थितियाँ-

=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)}

कुल प्रतिकूल स्थितियाँ =10=10

अतः अनुकूल स्थितियाँ =36−10=26=36-10=26

∴∴ अभीष्ट प्रायिकता =2636=1318=\frac{26}{36}=\frac{13}{18} उत्तर

प्रश्न 4. मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं। (i) 44 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है? (ii) 44 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

हल— (i) यहाँ माना कि ' 44 से बड़ी संख्या प्राप्त करना' घटना EE है। सभी सम्भव परिणाम 66 हैं, ये 1,2,3,4,51,2,3,4,5 और 66 हैं। स्पष्टतः, घटना EE के अनुकूल परिणाम 55 और 66 हैं। अतः EE के अनुकूल परिणामों की संख्या 22 है। इसलिए

P(E)=P(4सेबड़ीसंख्या)=26=13P(E)=P(4 \text{से} \text{बड़ी} \text{संख्या})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

(ii) माना कि ' 44 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करना' घटना FF है।

सभी सम्भव परिणाम चार हैं जो कि इस प्रकार से हैं- 1,2,3,41,2,3,4

P(F)=46=23P(F)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} उत्तर

प्रश्न 5. कोई लड़की यह परिकलित करती है कि उसके द्वारा एक लाटरी में प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता 0.080.08 है। यदि 60006000 टिकट बेचे गये हैं तो उस लड़की ने कितने टिकट खरीदे हैं।

हल— दिया है

बेचे गये टिकटों की संख्या =6000=6000

∴∴ कुल सम्भव परिणामों की संख्या =6000=6000

माना कि लड़की द्वारा खरीदे गये टिकटों की संख्या =x=x

इसलिये घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या =x=x

प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता =अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यासभीसम्भवपरिणामोंकीसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{सभी} \text{सम्भव} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}

⇒0.08=x6000⇒0.08=\frac{x}{6000}

⇒x=0.08×6000=480⇒x=0.08 \times 6000=480

अतः लड़की द्वारा खरीदे गये टिकटों की संख्या =480=480

प्रश्न 6. किसी स्कूल में पाँच सदन A,B,C,DA,B,C,D और EE हैं। किसी कक्षा में 2323 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 44 सदन AA से, 88 सदन BB से, 55 सदन CC से, 22 सदन DD से तथा शेष सदन EE से हैं। इनमें से एक विद्यार्थी को कक्षा का मॉनीटर बनाने के लिये चुना जाता है। चुने गये इस विद्यार्थी के सदनों A,BA,B और CC से न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

हल— कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या =23=23

सदन A,BA,B तथा CC में विद्यार्थियों की संख्या का योग =4+8+5=17=4+8+5=17

कुल सम्भव परिणामों की संख्या =23=23

घटना के अनुकूल परिणाम =17=17

विद्यार्थी के सदनों A,BA,B और CC से होने की प्रायिकता =1723=\frac{17}{23}

विद्यार्थी के सदनों A,BA,B और CC से न होने की प्रायिकता =1−1723=623=1-\frac{17}{23}=\frac{6}{23} उत्तर

प्रश्न 7. एक डिब्बे में 100100 कमीजें हैं, जिसमें से 8888 अच्छी हैं तथा 88 में थोड़ी-सी खराबी है और 44 में अधिक खराबी है। एक व्यापारी जिम्मी वे ही कमीजें स्वीकार करता है जो अच्छी हैं, जबकि एक अन्य व्यापारी सुजाता उन्हीं कमीजों को अस्वीकार करती है जिनमें खराबी अधिक है। इस डिब्बे में से एक कमीज को यादृच्छया रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कमीज

(i) जिम्मी को स्वीकार हो?

(ii) सुजाता को स्वीकार हो?

हल— 100100 कमीजों के डिब्बे में से एक कमीज यादृच्छया रूप से निकाली जाती है। अतः यहाँ 100100 सम्प्रायिक परिणाम हैं।

(i) जिम्मी के अनुकूल (को स्वीकार) परिणामों की संख्या =88=88

अतः, P(कमीजजिम्मीकोस्वीकारहै)=88100=0.88P(\text{कमीज} \text{जिम्मी} \text{को} \text{स्वीकार} \text{है})=\frac{88}{100}=0.88 उत्तर

(ii) सुजाता के अनुकूल परिणामों की संख्या =88+8=96=88+8=96

अतः, P(कमीजसुजाताकोस्वीकारहै)=96100=0.96P(\text{कमीज} \text{सुजाता} \text{को} \text{स्वीकार} \text{है})=\frac{96}{100}=0.96 उत्तर

=96100=0.96=\frac{96}{100}=0.96 उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. नीरज और धीरज मित्र हैं। उनके जन्मदिन की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए :

(i) जब जन्म दिवस भिन्न-भिन्न हों।

(ii) जब जन्म दिवस समान हो।

हल— दोनों मित्रों में से किसी एक लड़के, मान लीजिये नीरज का जन्मदिन वर्ष का कोई भी दिन हो सकता है।

इसी प्रकार से दूसरे लड़के धीरज का जन्मदिन भी वर्ष के 365365 दिनों में से कोई एक दिन हो सकता है।

(i) यदि धीरज का जन्मदिन नीरज के जन्मदिन से भिन्न है, तो उसके जन्मदिन के अनुकूल परिणामों की संख्या 365−1=364365-1=364 होगी।

अतः P(धीरजकाजन्मदिननीरजकेजन्मदिनसेभिन्नहै)=364365P(\text{धीरज} \text{का} \text{जन्मदिन} \text{नीरज} \text{के} \text{जन्मदिन} \text{से} \text{भिन्न} \text{है})=\frac{364}{365}

(ii) P(नीरजऔरधीरजकाजन्मदिनएकहीहो)=1−P(दोनोंकाजन्मदिनभिन्नहै)P(\text{नीरज} \text{और} \text{धीरज} \text{का} \text{जन्मदिन} \text{एक} \text{ही} \text{हो})=1-P(\text{दोनों} \text{का} \text{जन्मदिन} \text{भिन्न} \text{है})

=1−364365=1-\frac{364}{365} [P(E)=1−P(E)[P(E)=1-P(E) के प्रयोग से ]]

=1365=\frac{1}{365} उत्तर

प्रश्न 2. किसी स्कूल की कक्षा XX में 4040 विद्यार्थी हैं जिनमें से 2525 लड़कियाँ हैं और 1515 लड़के हैं। कक्षा अध्यापिका को एक विद्यार्थी कक्षा-प्रतिनिधि के रूप में चुनना है। वह प्रत्येक विद्यार्थी का नाम एक अलग कार्ड पर लिखती है, जबकि कार्ड एक जैसे हैं। फिर वह इन कार्डों को एक थैले में डालकर अच्छी तरह से हिला देती है। इसके बाद वह थैले में से एक कार्ड निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड पर लिखा हुआ नाम एक (i) लड़की का है? (ii) लड़के का है?

हल— (i) सभी सम्भव परिणामों की संख्या =40=40

कार्ड पर लड़की का नाम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =25=25

∴P(लड़की)=2540=58∴P(\text{लड़की})=\frac{25}{40}=\frac{5}{8} उत्तर

(ii) कार्ड पर लड़के का नाम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =15=15

अतः P(लड़का)=1540=38P(\text{लड़का})=\frac{15}{40}=\frac{3}{8} उत्तर

प्रश्न 3. अच्छी प्रकार से फेंटी गई 5252 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता परिकलित कीजिए कि यह पत्ता :

(i) एक इक्का होगा।

(ii) एक इक्का नहीं होगा।

हल— गड्डी को अच्छी प्रकार से फेंटने से परिणामों का समप्रायिक होना सुनिश्चित हो जाता है।

(i) एक गड्डी में 44 इक्के होते हैं। मान लीजिए घटना EE 'एक इक्का होना' है।

EE के अनुकूल परिणामों की संख्या =4=4

सभी सम्भव परिणामों की संख्या =52=52

अतः P(E)=452=113P(E)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} उत्तर

(ii) माना कि घटना FF 'एक इक्का नहीं' है।

माना FF के अनुकूल परिणामों की संख्या =52−4=48=52-4=48

सभी सम्भव परिणामों की संख्या =52=52

अतः P(F)=4852=1213P(F)=\frac{48}{52}=\frac{12}{13} उत्तर

प्रश्न 4. हरप्रीत दो भिन्न-भिन्न सिक्कों को एक साथ उछालती है (मान लीजिए एक सिक्का 11 रु. का है और दूसरा सिक्का 22 रु. का है)। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कम से कम एक चित प्राप्त करेगी?

हल— हम 'चित' के लिए HH और 'पट' के लिए TT लिखते हैं। जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो सम्भावित परिणाम (H,H),(H,T),(T,H),(T,T)(H,H),(H,T),(T,H),(T,T) हैं तथा ये सभी समप्रायिक हैं। यहाँ (H)(H) का अर्थ है कि पहले सिक्के (मान लीजिए 11 रु. के सिक्के) पर 'चित' आएगा और दूसरे सिक्के ( 22 रु. के सिक्के) पर 'चित' आएगा। इसी प्रकार, (H)(H) का अर्थ है कि पहले सिक्के पर 'चित' आएगा और दूसरे सिक्के पर 'पट' आएगा, इत्यादि।

घटना EE 'कम से कम एक चित आना' के अनुकूल परिणाम (H,H),(H,T)(H,H),(H,T) और (T)(T) हैं।

अतः EE के अनुकूल परिणामों की संख्या =3=3

∴P(E)=34∴P(E)=\frac{3}{4}

अर्थात् हरप्रीत द्वारा कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता =34=\frac{3}{4} उत्तर

प्रश्न 5. दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि ऊपर आने वाले अंकों का योगफल 33 का गुणाज हो।

हल— दो पासों को एक साथ फेंकने पर कुल परिणाम =6×6=36=6 \times 6=36

अंकों का योग 3 का गुणज निम्नलिखित प्रकार से हो सकता है-

(i) अंकों का योग 3 हो, इसके पक्ष में परिणाम क्रमशः (1)(1) तथा (2)(2) हैं।

(ii) अंकों का योग 6 हो, इसके पक्ष में परिणाम क्रमशः (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) हैं।

(iii) अंकों का योग 9 हो, इसके पक्ष में परिणाम क्रमशः (6,3),(5,4),(4,5),(3,6)(6,3),(5,4),(4,5),(3,6) हैं।

(iv) अंकों का योग 12 हो, इसके पक्ष में परिणाम केवल (6)(6) हैं।

अतः अंकों के योग के 3 के गुणज होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =2+5+4+1=12=2+5+4+1=12

अतः अभीष्ट प्रायिकता

=योग3कागुणजहोनेकीअनुकूलस्थितियाँनिःशेषस्थितियाँ=\frac{\text{योग} 3 \text{का} \text{गुणज} \text{होने} \text{की} \text{अनुकूल} \text{स्थितियाँ}}{\text{निःशेष} \text{स्थितियाँ}}

=1236=13=\frac{12}{36}=\frac{1}{3} उत्तर

प्रश्न 6. एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे (marbles) हैं। यदि इस बक्से में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह कंचा (i) सफेद है? (ii) नीला है? (iii) लाल है?

हल— यहाँ पर सभी परिणाम समप्रायिक हैं।

अतः सभी सम्भव परिणामों की संख्या =3+2+4=9=3+2+4=9

माना कि घटना W 'कंचा सफेद है' को, घटना B 'कंचा नीला है' को तथा घटना R 'कंचा लाल है' को व्यक्त करता है।

(i) घटना W के अनुकूल परिणामों की संख्या =2=2

अतः P(W)=29P(W)=\frac{2}{9} उत्तर

इसी प्रकार से

(ii) P(B)=39=13P(B)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} उत्तर

और (iii) P(R)=49P(R)=\frac{4}{9} उत्तर

प्रश्न 7. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। सभी सम्भावित परिणामों को लिखिये। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों पासों की संख्याओं का योग (i) 8 है? (ii) 13 है? (iii) 12 से छोटी या उसके बराबर?

हल— जब एक पासा '1' दर्शाता है, तो दूसरे पासे पर संख्याओं 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही तब भी होगा, जब एक पासे पर '2', '3', '4', '5' या '6' होगा। इस प्रयोग के सम्भावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या पहले पासे पर आने वाली संख्या है तथा दूसरी संख्या दूसरे पासे पर आने वाली संख्या है।

यहाँ पर युग्म (1)(1) युग्म (4)(4) से भिन्न है। इस कारण से सम्भावित परिणामों की संख्या =6×6=36=6 \times 6=36 है।

अतः सम्भावित परिणामों की संख्या =6×6=36=6 \times 6=36 है।

(i) E द्वारा व्यक्त घटना 'संख्याओं का योग 8 है' के अनुकूल परिणाम (2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) और (6)(6) हैं (देखिए आकृति)।

अर्थात् E के अनुकूल परिणाम =5=5

इसलिए P(E)=536P(E)=\frac{5}{36}

(ii) जैसा कि आप आकृति से देख सकते हैं, घटना F, 'संख्याओं का योग 13 है' के अनुकूल कोई भी परिणाम नहीं है।

अतः P(F)=036=0P(F)=\frac{0}{36}=0 उत्तर

(iii) जैसा कि आप आकृति से देख सकते हैं, घटना G 'संख्याओं का योग ≤12\le 12 से छोटा या उसके बराबर है' के अनुकूल सभी परिणाम हैं।

अतः P(G)=3636=1P(G)=\frac{36}{36}=1 उत्तर

[6x6 grid showing outcomes (1,1) to (6,6) with a diagonal line drawn through (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)]

कक्षा 10 गणित पाठ 14 प्रायिकता चित्र 4

 

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

प्रश्न 8. एक पिग्गी बैंक में, 1 रु. के सौ सिक्के, 2 रु. के 25 सिक्के, 5 रु. के 15 सिक्के और 10 रु. के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का-

(i) 2 रु. का होगा।

(ii) 5 रु. का नहीं होगा?

हल— 1 रु. के सिक्कों की संख्या =100=100

2 रु. के सिक्कों की संख्या =25=25

5 रु. के सिक्कों की संख्या =15=15

10 रु. के सिक्कों की संख्या =10=10

इसलिए सिक्कों की कुल संख्या

=100+25+15+10=100+25+15+10

=150=150

(i) चूँकि 2 रु. के सिक्कों की संख्या =25=25 हैं।

2 रु. के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

=25150=16=\frac{25}{150}=\frac{1}{6}

P(2रु.केसिक्के)=16P(2 \text{रु}. \text{के} \text{सिक्के})=\frac{1}{6} उत्तर

(ii) 5 रु. के सिक्कों की संख्या =15=15

∴∴ 5 रु. के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलपरिणामोंकीसंख्यापरिणामोंकीकुलसंख्या=\frac{\text{अनुकूल} \text{परिणामों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{परिणामों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या}}

=15150=110=\frac{15}{150}=\frac{1}{10}

P(5रु.केसिक्के)=110P(5 \text{रु}. \text{के} \text{सिक्के})=\frac{1}{10}

5 रु. के सिक्के प्राप्त न करने की प्रायिकता

=1−P(5रु.केसिक्के)=1-P(5 \text{रु}. \text{के} \text{सिक्के})

=1−110=10−110=910=1-\frac{1}{10}=\frac{10-1}{10}=\frac{9}{10} उत्तर

प्रश्न 9. अच्छी तरह से फेंटी गई एक ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि निकाला गया पत्ता—

(i) हुकुम का पत्ता है या एक इक्का है।

(ii) एक काले रंग का बादशाह है।

(iii) न तो गुलाम है तथा न ही बादशाह है।

(iv) या तो बादशाह है या बेगम है।

हल—ताश की गड्डी में कुल पत्ते =52=52

(i) हुकुम और इक्का के पत्तों की संख्या

=13+3=16=13+3=16

हुकुम और इक्का के निकलने की प्रायिकता

=1652=413=\frac{16}{52}=\frac{4}{13} उत्तर

(ii) गड्डी में काले रंग के बादशाहों की संख्या

=2=2

काले रंग के बादशाह की प्रायिकता

=252=126=\frac{2}{52}=\frac{1}{26} उत्तर

(iii) गुलाम और बादशाह के पत्तों की संख्या

=4+4=8=4+4=8

एक गड्डी में न तो गुलाम है तथा न ही बादशाह के पत्तों की संख्या

=52−8=44=52-8=44

न गुलाम न बादशाह होने की प्रायिकता =4452=\frac{44}{52}

=1113=\frac{11}{13} उत्तर

(iv) एक गड्डी में बादशाह और बेगम के पत्तों की संख्या

=4+4=8=4+4=8

या तो बादशाह या बेगम होने की प्रायिकता

=852=213=\frac{8}{52}=\frac{2}{13} उत्तर

प्रश्न 10. एक जार में केवल लाल, नीली तथा नारंगी रंग की गेंदें हैं। यादृच्छया एक लाल रंग की गेंद के निकालने की प्रायिकता 14\frac{1}{4} है। इसी प्रकार उसी जार से यादृच्छया एक नीली गेंद निकालने की प्रायिकता 13\frac{1}{3} है। यदि नारंगी की कुल गेंदें 10 हैं, तो बताइये कि जार में कुल कितनी गेंदें हैं।

हल—माना लाल, नीली तथा नारंगी गेंद निकालने की प्रायिकता क्रमशः A,BA,B तथा CC है।

इसलिये P(A)=14P(A)=\frac{1}{4}

P(B)=13P(B)=\frac{1}{3}

∴P(C)=1−P(A)−P(B)∴P(C)=1-P(A)-P(B)

=1−14−13=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}

P(C)=512P(C)=\frac{5}{12}

P(C)=नारंगीगेंदोंकीसंख्याकुलगेंदोंकीसंख्याP(C)=\frac{\text{नारंगी} \text{गेंदों} \text{की} \text{संख्या}}{\text{कुल} \text{गेंदों} \text{की} \text{संख्या}}

⇒512=10x⇒\frac{5}{12}=\frac{10}{x}

∵∵ नारंगी गेंदों की संख्या =10=10

तथा कुल गेंदों की संख्या =x=x (माना)

⇒5x=12×10⇒5x=12 \times 10

⇒x=12×105=12×2=24⇒x=\frac{12 \times 10}{5}=12 \times 2=24

अतः जार में गेंदों की कुल संख्या =24=24

प्रश्न 11. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि- (प्रश्न बैंक)

(i) दोनों पासों में समान अंक प्राप्त होंगे।

(ii) दोनों पासों के अंकों का योग 77 प्राप्त होगा।

( माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

हल— यहाँ समस्त सम्भावित स्थितियाँ-

=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),}

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6){(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

कुल निःशेष स्थितियाँ =36=36

समान अंक आने की स्थितियाँ

=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

अतः अनुकूल स्थितियाँ =6=6

(i) ∴∴ दोनों पासों में समान अंक प्राप्त होने की प्रायिकता

=अनुकूलस्थितियाँकुलनिःशेषस्थितियाँ=\frac{\text{अनुकूल} \text{स्थितियाँ}}{\text{कुल} \text{निःशेष} \text{स्थितियाँ}}

=636=16=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} उत्तर

(ii) ∴∴ दोनों पासों के अंकों का योग 77 प्राप्त निम्न प्रकार से हो सकते हैं-

((4,3),(3,4),(5,2),(2,5),(6,1),(1,6))((4,3),(3,4),(5,2),(2,5),(6,1),(1,6))

अतः अंकों का योग 77 प्राप्त होने की अनुकूल स्थितियाँ =6=6 होंगी

अतः दोनों पासों के अंकों का योग 77 प्राप्त करने की प्रायिकता

=अनुकूलस्थितियाँकुलनिःशेषस्थितियाँ=\frac{\text{अनुकूल} \text{स्थितियाँ}}{\text{कुल} \text{निःशेष} \text{स्थितियाँ}}

=636=16=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} उत्तर

परिशिष्ट-1

गणितीय उपपत्तियाँ

मुख्य बिन्दु

1. उपपत्ति गणितीय कथनों का एक उत्तरोत्तर अनुक्रम होती है। उपपत्ति का प्रत्येक कथन पहले से ज्ञात कथन से, या पहले सिद्ध किए गए प्रमेय से, या एक अभिगृहीत से, या परिकल्पनाओं से तार्किक रूप से निगमित किया जाता है।

2. कथन एक अर्थपूर्ण वाक्य होता है, जो न तो आदेश होता है, न विस्मयादिबोधक होता है और न ही प्रश्न होता है।

3. गणित में कथन केवल तभी स्वीकार्य होता है जबकि वह या तो सत्य हो या असत्य हो।

4. किसी कथन का निषेध-माना कि pp एक कथन है और  p~p इसका निषेध है। तब  p~p असत्य होता है जब कभी pp सत्य होता है और  p~p सत्य होता है जब कभी pp असत्य होता है।

5. कथन का विलोम-व्यापक रूप में p⇒qp⇒q का विलोम q⇒pq⇒p होता है जहाँ pp और qq कथन हैं। स्पष्ट है कि p⇒qp⇒q और q⇒pq⇒p एक-दूसरे के विलोम हैं।

6. विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति-परिणामों की सत्यता स्थापित करने के लिए जब प्रत्यक्ष तर्कों के स्थान पर परोक्ष तर्कों का उपयोग किया जाता है तब यह विधि विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति कही जाती है।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

#### प्रश्नावली A 1.1

प्रश्न 1. बताइए कि निम्नलिखित वाक्य कथन हैं या नहीं। यदि कथन हैं, तो बताइए कि वे सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए :

(i) गणित की सभी पाठ्यपुस्तकें रोचक होती हैं।

(ii) पृथ्वी से सूर्य की दूरी लगभग 1.5×1081.5 \times 10^{8} km. है।

(iii) सभी मानव वृद्ध हो जाते हैं।

(iv) उत्तरकाशी से हर्षिल की यात्रा थकाने वाली होती है।

(v) महिला ने बाइनकुलर से एक हाथी देखा।

हल—

(i) दिया गया कथन संदिग्ध है, क्योंकि यह प्रत्येक व्यक्ति (या विद्यार्थी) पर निर्भर करता है।

(ii) दिया गया कथन सदैव सत्य है, क्योंकि यह भौतिक विज्ञानियों द्वारा सत्यापित है।

(iii) दिया गया कथन सदैव सत्य है, क्योंकि सभी मनुष्य वृद्ध होते हैं।

(iv) दिया गया कथन संदिग्ध है, क्योंकि यह व्यक्ति से व्यक्ति पर निर्भर करती है।

(v) दिया गया कथन संदिग्ध है, क्योंकि हाथी नंगी आँखों से भी देखा जा सकता है।

प्रश्न 2. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए :

(i) सभी षट्भुज बहुभुज होते हैं।

(ii) कुछ बहुभुज पंचभुज होते हैं।

(iii) सभी सम संख्याएँ 22 से भाज्य नहीं हैं।

(iv) कुछ वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।

(v) सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय नहीं होतीं।

हल—

(i) क्योंकि प्रत्येक षट्भुज एक बहुभुज होता है।

∴∴ दिया गया कथन 'सत्य' है।

(ii) क्योंकि कुछ बहुभुज पंचभुज हो सकते हैं।

∴∴ दिया गया कथन 'सत्य' है।

(iii) क्योंकि सभी सम संख्याएँ 22 से विभाज्य होती हैं।

∴∴ दिया गया कथन 'असत्य' है।

(iv) क्योंकि 2\sqrt{2} वास्तविक भी है और अपरिमेय भी।

∴∴ दिया गया कथन 'सत्य' है।

(v) क्योंकि कुछ वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय भी होती हैं। जैसे कि 2\sqrt{2} वास्तविक भी है और अपरिमेय भी है।

∴∴ दिया गया कथन 'सत्य' है।

प्रश्न 3. मान लीजिये ' aa ' और ' bb ' वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ ab≠0ab \ne 0 है, तब बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से कौनसे सत्य हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए :

(i) ' aa ' और ' bb ' दोनों अनिवार्यतः शून्य होने चाहिए।

(ii) ' aa ' और ' bb ' दोनों शून्येतर होने चाहिए।

(iii) या तो ' aa ' या ' bb ' शून्येतर होना चाहिए।

हल— दिया है कि ' aa ' और ' bb ' दो वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ ab≠0ab \ne 0

⇒a≠0⇒a \ne 0 और b≠0b \ne 0

(i) क्योंकि a≠0a \ne 0 और b≠0b \ne 0

∴∴ ' aa ' और ' bb ' दोनों शून्य नहीं हैं या दिया गया कथन असत्य है।

(ii) दिया गया कथन सत्य है।

∵∵ दिए गए कथन में a≠0a \ne 0 और b≠0b \ne 0

(iii) दिया गया कथन असत्य है।

∵∵ दिए गए कथनों में a≠0a \ne 0 और b≠0b \ne 0

4. उपयुक्त प्रतिबन्धों के साथ निम्नलिखित कथनों का ऐसा पुनः कथन दीजिए जिससे कि वे सत्य हो जाएँ :

(i) यदि a2>b2a^{2}>b^{2} , तब a>ba>b .

(ii) यदि x2=y2x^{2}=y^{2} , तब x=yx=y .

(iii) यदि (x+y)2=x2+y2)(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}) , तो x=0x=0 .

(iv) चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

हल— उपयुक्त प्रतिबन्धों के साथ निम्नलिखित कथनों का ऐसा पुनः कथन, ताकि ये कथन सत्य हो जाएँ :

(i) यदि a>0a>0 और a2>b2a^{2}>b^{2} , तब a>ba>b

(ii) यदि xy≥0xy \ge 0 और x2=y2x^{2}=y^{2} तब x=yx=y

(iii) यदि (x+y)2=x2+y2)(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}) और y≠0y \ne 0 तब x=0x=0

(iv) समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्नावली A 1.2

1. दिया हुआ है कि सभी महिलाएँ नश्वर हैं और मान लीजिए कि AA एक महिला है, AA के बारे में हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल— प्रश्नानुसार सभी महिलाएँ नश्वर हैं और मान लीजिए AA एक महिला है, तब हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AA नश्वर है।

2. दिया हुआ है कि दो परिमेय संख्या का गुणनफल परिमेय है और मान लीजिए ' aa ' और ' bb ' परिमेय हैं तब abab के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल— प्रश्नानुसार दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है और मान लीजिए ' aa ' और ' bb ' दो परिमेय संख्याएँ हैं।

∵∵ दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है।

∴ab∴ab परिमेय है।

3. दिया हुआ है कि अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनवसानी (non-terminating) और अनावर्ती (non-recurring) है और 17\sqrt{17} एक अपरिमेय संख्या है। 17\sqrt{17} के दशमलव प्रसार के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल— प्रश्नानुसार अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है और 17\sqrt{17} अपरिमेय है।

⇒17⇒\sqrt{17} का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।

4. दिया हुआ है कि y=x2+6y=x^{2}+6 और x=−1x=-1 , तब yy के मान के बारे में हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल— प्रश्नानुसार y=x2+6y=x^{2}+6

उपर्युक्त में x=−1x=-1 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

y=(−1)2+6y=(-1)^{2}+6

y=1+6=7y=1+6=7

अतः yy का मान 77 है।

5. दिया हुआ है कि ABCDABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा ∠B=80∘\angle B=80^{∘} तब समान्तर चतुर्भुज के अन्य कोणों के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल— प्रश्नानुसार ABCDABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा ∠B=80∘\angle B=80^{∘} ।

[समान्तर चतुर्भुज ABCD]

कक्षा 10 गणित पाठ 14 प्रायिकता चित्र 5

∵AD∥BC∵AD \parallel BC और ABAB उन्हें काटती है।

∴∠A+∠B=180∘∴ \angle A+ \angle B=180^{∘}

या ∠A+80∘=180∘\angle A+80^{∘}=180^{∘}

या ∠A=180∘−80∘\angle A=180^{∘}-80^{∘}

या ∠A=100∘\angle A=100^{∘}

अब, ∠B=∠D=80∘\angle B= \angle D=80^{∘} [समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

इसी प्रकार ∠A=∠C=100∘\angle A= \angle C=100^{∘} [समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

अतः, ∠A=∠C=100∘\angle A= \angle C=100^{∘} और ∠B=∠D=80∘\angle B= \angle D=80^{∘} उत्तर

6. दिया हुआ है कि PQRSPQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है और इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। चतुर्भुज के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल— प्रश्नानुसार PQRSPQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है और इसके विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

[चक्रीय चतुर्भुज PQRS]

कक्षा 10 गणित पाठ 14 प्रायिकता चित्र 6

हम जानते हैं कि जब किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, तो यह ‖gm‖gm होता है।

∴PQRS∴PQRS एक ‖gm‖gm है।

∴∠P=∠R∴ \angle P= \angle R तथा ∠Q=∠S\angle Q= \angle S

परन्तु PQRSPQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है।

∴∠Q+∠S=180∘∴ \angle Q+ \angle S=180^{∘}

या ∠Q+∠Q=180∘[∵∠Q=∠S]\angle Q+ \angle Q=180^{∘}[∵ \angle Q= \angle S]

या 2∠Q=90∘2 \angle Q=90^{∘}

या ∠Q=∠S=90∘\angle Q= \angle S=90^{∘}

इसी प्रकार, ∠P=∠R=90∘\angle P= \angle R=90^{∘}

∴‖gm∴‖gm PQRSPQRS एक आयत है।

अतः: PQRSPQRS एक आयत है। उत्तर

7. दिया हुआ है कि सभी अभाज्य संख्या pp के लिए p\sqrt{p} अपरिमेय है और यह भी मान लीजिए कि 37213721 एक अभाज्य संख्या है। क्या आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 3721\sqrt{3721} एक अपरिमेय संख्या है? क्या आपका निष्कर्ष सही है? क्यों या क्यों नहीं?

हल— प्रश्नानुसार सभी अभाज्य संख्या pp के लिए p\sqrt{p} अपरिमेय है और मान लीजिए कि 37213721 अभाज्य है।

परन्तु 3721=61\sqrt{3721}=61 ; जो कि एक अपरिमेय संख्या नहीं है।

∴∴ हमारा निष्कर्ष सही नहीं है।

प्रश्नावली A 1.3

नीचे दिये गये प्रत्येक प्रश्न में, आपको एक कथन सिद्ध करने के लिए कहा गया है। प्रत्येक उपपत्ति में प्रयोग किये गये सभी चरण बताइये और प्रत्येक चरण के लिए कारण बताइये:

1. सिद्ध कीजिए कि दो क्रमागत विषम संख्याओं का योगफल, 4 से भाज्य होता है।

हल—

क्र. सं.

कथन

वाक्य विश्लेषण/टिप्पणी

1.

माना दो क्रमागत विषम संख्याएँ 2x+12x+1 और 2x+32x+3 हैं।

क्योंकि हम 2n+12n+1 प्रकार की दो क्रमागत विषम संख्याएँ ले रहे हैं, जहाँ nn कोई पूर्णांक है।

2.

दोनों संख्याओं का योगफल =2x+1+2x+3=4x+4=4(x+1)=2x+1+2x+3=4x+4=4(x+1)

दो संख्याओं को जोड़ने का प्रयोग करने पर

3.

दोनों संख्याओं का योगफल =4k=4k ; जहाँ k=x+1k=x+1 जो कि 4 से विभाज्य है।

क्योंकि दो संख्याओं का योगफल अर्थात् 4,44,4 का गुणज है। जहाँ kk कोई पूर्णांक है।

2. दो क्रमागत विषम संख्याएँ लीजिए। उनके वर्गों का योगफल ज्ञात कीजिए और तब प्राप्त परिणाम में 6 जोड़ दीजिए। सिद्ध कीजिए कि इस तरह प्राप्त की गई नई संख्या सदा ही 8 से भाज्य होती है।

हल—

क्र. सं.

कथन

वाक्य विश्लेषण/टिप्पणी

1.

माना दो क्रमागत विषम संख्याएँ 2x+12x+1 और 2x+32x+3 हैं।

क्योंकि हम 2n+12n+1 प्रकार की दो क्रमागत विषम संख्याएँ ले रहे हैं। जहाँ nn पूर्णांक है।

2.

दोनों संख्याओं के वर्गों का योगफल =(2x+1)2+(2x+3)2=(2x)2+(1)2+2×2x×1+(2x)2+(3)2+2×2x×3=4x2+1+4x+4x2+9+12x=8x2+16x+10=(2x+1)^{2}+(2x+3)^{2}=(2x)^{2}+(1)^{2}+2 \times 2x \times 1+(2x)^{2}+(3)^{2}+2 \times 2x \times 3=4x^{2}+1+4x+4x^{2}+9+12x=8x^{2}+16x+10

क्योंकि हम दो संख्याओं के वर्गों का योगफल ज्ञात कर रहे हैं।

3.

दो संख्याओं के वर्गों के योगफल में 6 जोड़िए =8x2+16x+10+6=8x2+16x+16=8(2x2+2x+2)=8x^{2}+16x+10+6=8x^{2}+16x+16=8(2x^{2}+2x+2)

क्योंकि हमें दो संख्याओं के योगफल में 6 जोड़ना है।

4.

दो संख्याओं के वर्गों का योगफल = नई संख्या =8k=8k

क्योंकि दो संख्याओं के वर्गों का योगफल अर्थात् 8k,88k,8 का गुणज है जहाँ kk कोई पूर्णांक है।

 

जब k=x2+2x+2k=x^{2}+2x+2 जो कि 8 से विभाज्य है।

 

**3. यदि p≥5p \ge 5 एक अभाज्य संख्या हो, तो दिखाइए कि p2+2p^{2}+2 संख्या 3 से भाज्य है।**

[संकेत: उदाहरण 11 का प्रयोग कीजिए।]

हल—

क्र. सं.

कथन

वाक्य विश्लेषण/टिप्पणी

1.

p≥5p \ge 5 एक अभाज्य संख्या है।

क्योंकि यह दिया गया है कि p≥5p \ge 5 एक अभाज्य संख्या है।

2.

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (P)2≥(5)2(P)^{2} \ge (5)^{2} या P2≥25P^{2} \ge 25

क्योंकि p2p^{2} ज्ञात करना है इसलिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं।

3. संख्या में दोनों ओर 2 जोड़िए अर्थात् P2+2≥25+2P^{2}+2 \ge 25+2 या P2+2≥27P^{2}+2 \ge 27

4. P2+2≥27P^{2}+2 \ge 27 जो कि 1,3,91,3,9 और 2727 का गुणज है। क्योंकि हमने P2+2P^{2}+2 लेना है। क्योंकि 2727 तीन से भाज्य है। ∴P2+2∴P^{2}+2 संख्या 33 से भाज्य है।

**4. मान लीजिये xx और yy परिमेय संख्याएँ हैं। दिखाइए कि xyxy एक परिमेय संख्या है।**

हल—

क्र. सं.

कथन

वाक्य विश्लेषण/टिप्पणी

1.

माना xx और yy परिमेय संख्याएँ हैं।

क्योंकि परिणाम परिमेय संख्याओं xx और yy के बारे में है।

2.

माना x=mn,n≠0x=\frac{m}{n},n \ne 0 , y=pq,q≠0y=\frac{p}{q},q \ne 0 जहाँ m,n,p,qm,n,p,q पूर्णांक हैं।

परिमेय संख्याओं की परिभाषा से

3.

xx और yy को गुणा कीजिए। xy=(mn)×(pq)xy=(\frac{m}{n}) \times (\frac{p}{q})

परिणाम परिमेय संख्याओं की गुणा से सम्बन्धित है इसलिए हम xyxy लेते हैं।

4.

xy=mpnqxy=\frac{mp}{nq}

 

5.

पूर्णांकों के गुण को प्रयोग करने पर mpmp और nqnq पूर्णांक हैं।

पूर्णांकों के गुण को प्रयोग करने पर

6.

क्योंकि n≠0,q≠0n \ne 0,q \ne 0 इसलिए nq≠0nq \ne 0

परिमेयों के गुणों का प्रयोग करने पर

7.

∴xy=mpnq∴xy=\frac{mp}{nq} एक परिमेय संख्या है।

एक परिमेय संख्या की परिभाषा का प्रयोग करने पर

**5. यदि aa और bb धन पूर्णांक हों तो आप जानते हैं कि a=bq+r,0≤r<ba=bq+r,0 \le r<b , जहाँ qq एक पूर्ण संख्या है। सिद्ध कीजिए H.C.F.(a,b)=H.C.F.(b,r)H.C.F.(a,b)=H.C.F.(b,r) ।**

[संकेत : मान लीजिए HCF(b,r)=hHCF(b,r)=h है। अतः b=k1hb=k_{1}h और r=k2hr=k_{2}h , जहाँ k1k_{1} और k2k_{2} असहभाज्य (Co-prime) है।]

हल—

क्र. सं.

कथन

वाक्य विश्लेषण/टिप्पणी

1.

माना aa और bb धनात्मक संख्याएँ हैं।

क्योंकि परिणाम धनात्मक पूर्णांकों के बारे में हैं।

2.

माना H.C.F.(b,r)=hH.C.F.(b,r)=h

क्योंकि हमने H.C.F.(b,r)H.C.F.(b,r) ज्ञात करना है।

3.

b=k1hb=k_{1}h और r=k2hr=k_{2}h

विभाजन सिद्धान्त का प्रयोग करने पर

4.

a=k1hq+k2ha=k_{1}hq+k_{2}h a=(k1q+k2)ha=(k_{1}q+k_{2})h

a=bq+r,0≤r<ba=bq+r,0 \le r<b में bb और rr के मान प्रतिस्थापित करने के पश्चात्

5.

a=h(k1q+k2)a=h(k_{1}q+k_{2}) अर्थात् a=hk3=k3ha=hk_{3}=k_{3}h जहाँ k3=k1q+k2k_{3}=k_{1}q+k_{2} एक पूर्णांक है।

विभाजन सिद्धान्त का प्रयोग करने पर H.C.F.H.C.F. के गुण का प्रयोग करने पर

6.

⇒a=k3h⇒a=k_{3}h ⇒(a,b)=h⇒(a,b)=h

 

7.

H.C.F.(b,r)=h=H.C.F.(a,b)H.C.F.(b,r)=h=H.C.F.(a,b)

चरण (2) और (5) से

**6. त्रिभुज ABC की भुजा BC की एक समान्तर रेखा भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिन्दुओं D और E पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि ADDB=AEEC\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} ।**

[त्रिभुज ABC जिसमें BC के समान्तर रेखा DE है]

कक्षा 10 गणित पाठ 14 प्रायिकता चित्र 7

हल—

क्र. सं.

कथन

वाक्य विश्लेषण/टिप्पणी

1.

एक त्रिभुज ABC की भुजा BC के समान्तर एक रेखा भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिन्दुओं D और E पर काटती हैं।

क्योंकि एक त्रिभुज के बारे में कथन में सिद्ध कर रहे हैं, हम यह लेकर आरम्भ कर रहे हैं।

2.

BE और CD को मिलाइए और EP⊥ABEP⟂AB और DQ⊥ACDQ⟂AC खींचिए।

यह अन्तर्ज्ञान द्वारा प्राप्त चरण है जिसे हम प्रमेय को सिद्ध करने के लिए लेते हैं।

3.

क्षे. ( ΔADE\Delta ADE ) क्षे. ( ΔBDE\Delta BDE ) =12×AD×EP=12×BD×EP=\frac{1}{2} \times AD \times EP=\frac{1}{2} \times BD \times EP

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल वाले सूत्र का प्रयोग करने पर, क्षेत्रफल ( Δ\Delta ) =12×=\frac{1}{2} \times आधार ×\times ऊँचाई

4.

क्षे.(ΔADE)क्षे.(ΔBDE)=ADDB\frac{\text{क्षे}. ( \Delta ADE)}{\text{क्षे}. ( \Delta BDE)}=\frac{AD}{DB}

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लेने पर

 

क्षे.(ΔADE)क्षे.(ΔDCE)=12×AE×DQ12×EC×DQ\frac{\text{क्षे}. ( \Delta ADE)}{\text{क्षे}. ( \Delta DCE)}=\frac{\frac{1}{2} \times AE \times DQ}{\frac{1}{2} \times EC \times DQ}

क्षेत्रफल(Δ)=12×आधार×ऊँचाई\text{क्षेत्रफल} ( \Delta )=\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}

5.

क्षे.(ΔADE)क्षे.(ΔBDE)=AEEC\frac{\text{क्षे}. ( \Delta ADE)}{\text{क्षे}. ( \Delta BDE)}=\frac{AE}{EC}

 
 

क्षे.ΔBDE=क्षे.ΔDCE\text{क्षे}. \Delta BDE=\text{क्षे}. \Delta DCE

एक ही आधार और दो समान्तर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं।

6.

अतः ADDB=AEEC\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

(3), (4) और (5) का प्रयोग करने पर।

 p:~p: सभी बिल्लियाँ काली हैं।

(viii) माना p:p: कोई वास्तविक संख्या xx ऐसी नहीं है कि x=−1\sqrt{x}=-1 ।

 p:~p: कम से कम एक वास्तविक संख्या xx ऐसी है कि x=−1\sqrt{x}=-1 ।

(ix) माना p:2p:2 धनात्मक पूर्णांक xx को विभाजित करता है।

 p:2~p:2 धनात्मक पूर्णांक aa को 2 विभाजित नहीं करता है।

(x) माना p:p: पूर्णांक aa और bb असह-अभाज्य है।

 p:~p: पूर्णांक aa और bb सहअविभाज्य है।

2. नीचे दिये गये प्रत्येक प्रश्न में दो कथन हैं, बताइए कि दूसरा कथन पहले कथन का निषेध है या नहीं :

(i) मुमताज भूखी है।

मुमताज भूखी नहीं है।

(ii) कुछ बिल्लियाँ काली हैं।

कुछ बिल्लियाँ भूरी हैं।

(iii) सभी हाथी विशाल हैं।

एक हाथी विशाल नहीं है।

(iv) सभी अग्निशामक यंत्र लाल हैं।

सभी अग्निशामक यंत्र लाल नहीं हैं।

(v) कोई आदमी गाय नहीं है।

कुछ आदमी गाय हैं।

हल— (i) हाँ, (ii) नहीं, (iii) नहीं, (iv) हाँ, (v) हाँ।

प्रश्नावली A 1.4

1. निम्न कथनों के निषेध लिखिए—

(i) मनुष्य नश्वर (mortal) है।

(ii) रेखा ' ll ' रेखा ' mm ' के समान्तर है।

(iii) इस अध्याय में अनेक प्रश्नावलीयाँ हैं।

(iv) सभी पूर्णांक परिमेय संख्या हैं।

(v) कुछ अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

(vi) कोई छात्र आलसी नहीं है।

(vii) कुछ बिल्लियाँ काली नहीं हैं।

(viii) ऐसी कोई संख्या xx नहीं है जिससे कि x=−1\sqrt{x}=-1 ।

(ix) संख्या 2 धन पूर्णांक ' aa ' को विभाजित करती है।

(x) पूर्णांक ' aa ' और ' bb ' असहभाज्य है।

हल—

(i) माना p:p: मनुष्य नश्वर है।

 p:~p: मनुष्य नश्वर नहीं है।

(ii) माना p:p: रेखा ' ll ' रेखा ' mm ' के समान्तर है।

 p:~p: रेखा ' ll ' रेखा ' mm ' के समान्तर नहीं है।

(iii) माना p:p: इस अध्याय में अनेक प्रश्नावलीयाँ हैं।

 p:~p: इस अध्याय में अनेक प्रश्नावलीयाँ नहीं हैं।

(iv) माना p:p: सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं।

 p:~p: सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ नहीं हैं।

(v) माना p:p: कुछ अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

 p:~p: कुछ अभाज्य संख्याएँ विषम नहीं हैं।

(vi) माना p:p: कोई छात्र आलसी नहीं है।

 p:~p: कुछ छात्र आलसी हैं।

(vii) माना p:p: कुछ बिल्लियाँ काली नहीं हैं।

प्रश्नावली A 1.5

1. निम्नलिखित कथनों के विलोम लिखिए :

(i) यदि टोकियो में गर्मी हो, तो शरन के शरीर से अधिक पसीना निकलने लगता है।

(ii) यदि शालिनी भूखी हो, तो उसका पेट कुड़कुड़ाने लगता है।

(iii) यदि यशवन्त को छात्रवृत्ति मिल रही हो, तो उसे एक डिग्री मिल सकती है।

(iv) यदि पौधे में फूल लगे हों, तो वह सजीव होता है।

(v) यदि जानवर एक बिल्ली है तो इसकी एक पूँछ होती है।

हल— प्रत्येक कथन का विलोम नीचे दिया गया है—

(i) p:p: यदि टोकियो में गर्मी है, तो शरन के शरीर से अधिक पसीना निकलने लगता है।

इसका विलोम है—

q:q: यदि शरन के शरीर से अधिक पसीना निकलने लगता है, तो टोकियो में गर्मी है।

निकलने लगता है, तो टोक्यो में गर्मी है।

(ii) pp : यदि शालिनी भूखी हो, तब उसका पेट कुड़कुड़ाने लगता है।

इसका विलोम-

qq : यदि शालिनी का पेट कुड़कुड़ाने लगता है, तब वह भूखी है।

(iii) pp : यदि यशवन्त को छात्रवृत्ति मिलती है, तो उसे डिग्री मिल सकती है।

इसका विलोम-

qq : यदि यशवन्त डिग्री प्राप्त कर सकता है, तो वह छात्रवृत्ति पाता है।

(iv) pp : यदि पौधे में फूल लगे हुए हों, तो वह सजीव होता है।

इसका विलोम-

qq : यदि पौधा सजीव होता है, तब इसमें फूल लगे हुए होते हैं।

(v) pp : यदि जानवर बिल्ली है, तो उसकी पूँछ होती है।

इसका विलोम-

qq : यदि जानवर के पूँछ है, तब यह बिल्ली है।

2. निम्नलिखित कथनों के विलोम लिखिए। प्रत्येक स्थिति में यह बताइए कि विलोम सत्य है या असत्य :

(i) यदि त्रिभुज ABCABC समद्विबाहु हो, तो इसके आधार कोण बराबर होते हैं।

(ii) यदि एक पूर्णांक विषम हो, तो इसका वर्ग एक विषम पूर्णांक होता है।

(iii) यदि x2=1x^{2}=1 , तो x=1x=1 ।

(iv) यदि ABCDABCD एक समान्तर चतुर्भुज हो, तो ACAC तथा BDBD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(v) यदि a,ba,b और cc पूर्ण संख्याएँ हैं, तो a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c ।

(vi) यदि xx और yy दो विषम संख्याएँ हैं, तो x+yx+y एक सम संख्या होती है।

(vii) यदि एक समान्तर चतुर्भुज PQRSPQRS के शीर्ष बिन्दु एक वृत्त पर स्थित हों, तो वह एक आयत होता है।

हल-

(i) pp : यदि त्रिभुज ABCABC समद्विबाहु है, तो इसके आधार कोण बराबर हैं।

इसका विलोम-

qq : यदि त्रिभुज ABCABC के आधार पर बने कोण बराबर हों तो यह समद्विबाहु त्रिभुज है।

∴∴ दिए गए कथन का विलोम सत्य है।

(ii) pp : यदि एक पूर्णांक विषम है, तब इसका वर्ग एक पूर्णांक है।

इसका विलोम-

qq : यदि किसी पूर्णांक का वर्ग विषम है, तो पूर्णांक विषम है।

∴∴ दिए गए कथन का विलोम सत्य है।

(iii) pp : यदि x2=1x^{2}=1 , तब x=1x=1 ।

इसका विलोम-

qq : यदि x=1x=1 तब x2=1x^{2}=1

∴∴ दिए गए कथन का विलोम सत्य है।

(iv) pp : यदि ABCDABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

इसका विलोम-

qq : यदि चतुर्भुज ABCDABCD के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो ABCDABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

∴∴ दिए गए कथन का विलोम सत्य है।

(v) pp : यदि a,ba,b और cc पूर्ण संख्याएँ हैं, तो a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c ।

इसका विलोम-

qq : यदि a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c , तब a,ba,b और cc पूर्ण संख्याएँ हैं।

∴∴ दिए गए कथन का विलोम असत्य है।

(vi) pp : यदि xx और yy दो विषम संख्याएँ हैं, तो उनका योग एक सम संख्या है।

इसका विलोम-

qq : यदि x+yx+y एक सम संख्या है तब xx और yy विषम संख्याएँ हैं।

∴∴ दिए गए कथन का विलोम असत्य है।

(vii) pp : समान्तर चतुर्भुज PQRSPQRS के शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं, तो यह एक आयत है।

इसका विलोम-

qq : यदि समान्तर चतुर्भुज एक आयत है तब इसके शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं।

∴∴ दिए गए कथन का विलोम सत्य है।

प्रश्नावली A 1.6

**1. मान लीजिए a+b=c+da+b=c+d , तथा a<ca<c तो विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति का प्रयोग करके यह दिखाइए कि b>db>d ।**

हल— माना कि b<db<d

∵∵ a<ca<c तथा b<db<d

इनको जोड़ने पर a+b<c+da+b<c+d

परन्तु a+b=c+da+b=c+d (दिया है)

जो कि हमारी परिकल्पना के प्रतिकूल है।

∴∴ हमारी परिकल्पना अर्थात् b<db<d गलत है

∴∴ b>db>d उत्तर

2. मान लीजिए ' rr ' एक परिमेय संख्या है और xx एक अपरिमेय संख्या है। विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति का प्रयोग करके दिखाइए कि r+xr+x एक अपरिमेय संख्या है।

हल— माना कि rr एक परिमेय संख्या है और xx एक अपरिमेय संख्या है।

हम दिखाना चाहते हैं कि r+xr+x एक अपरिमेय संख्या है।

माना कि r+xr+x एक परिमेय संख्या है।

तब यह इस रूप में है pq=r+x\frac{p}{q}=r+x ; जहाँ q≠0q \ne 0

या x=pq−rx=\frac{p}{q}-r

परन्तु rr परिमेय संख्या है।

∴∴ x=pq−p′q′x=\frac{p}{q}-\frac{p^{'}}{q^{'}} जहाँ q′≠0q^{'} \ne 0

या x=pq′−p′qqq′x=\frac{pq^{'}-p^{'}q}{qq^{'}}

यहाँ pq′−p′qpq^{'}-p^{'}q एक पूर्णांक है = PP (माना)

और qq′qq^{'} एक पूर्णांक है = QQ माना।

तब x=PQx=\frac{P}{Q} ; जहाँ Q≠0Q \ne 0

∵∵ qq तथा q′≠0q^{'} \ne 0

⇒x⇒x एक परिमेय संख्या है, यह हमें दिए गए के प्रतिकूल है।

या यह हमारी परिकल्पना का अन्तर्विरोध है।

∴∴ हमारी कल्पना गलत है कि r+xr+x एक परिमेय संख्या है।

अतः, r+xr+x एक अपरिमेय संख्या है। उत्तर

3. विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति का प्रयोग करके यह सिद्ध कीजिए कि यदि किसी पूर्णांक aa के लिए a2a^{2} सम है, तो ' aa ' भी सम होता है।

[संकेत: मान लीजिए aa सम नहीं है अर्थात् यह 2n+12n+1 के रूप का है, जहाँ nn एक पूर्णांक है और तब आगे बढ़िये।]

हल— यदि सम्भव हो, तो मान लीजिए ' aa ' सम नहीं है।

∴∴ a=2n+1a=2n+1 , जहाँ nn कोई पूर्णांक है।

∴∴ a2=(2n+1)2a^{2}=(2n+1)^{2}

या a2=4n2+4n+1a^{2}=4n^{2}+4n+1

या a2=4n(n+1)+1a^{2}=4n(n+1)+1

या a2=2n′+1a^{2}=2n^{'}+1

जहाँ n′=2n(n+1)n^{'}=2n(n+1) या a2a^{2} सम नहीं है।

जो कि हमारी परिकल्पना के प्रतिकूल है।

∴∴ हमारी परिकल्पना गलत है अर्थात् aa सम नहीं है।

अतः, aa सम है। उत्तर

4. विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति का प्रयोग करके यह सिद्ध कीजिए कि यदि पूर्णांक ' aa ' के लिए a2a^{2} , 33 से भाज्य हो तो ' aa ' भी 33 से भाज्य है।

हल— यदि सम्भव हो, तो मान लीजिए कि पूर्णांक ' aa ', 33 से विभाज्य नहीं है।

∴∴ a=3k+1a=3k+1 जहाँ kk एक पूर्णांक है,

तब a2=(3k+1)2a^{2}=(3k+1)^{2}

=9k2+6k+1=9k^{2}+6k+1

=3k(3k+2)+1=3k(3k+2)+1

=3k′+1=3k^{'}+1 जहाँ k′=k(3k+2)k^{'}=k(3k+2)

⇒a2⇒a^{2} , 33 से विभाज्य नहीं है, यह हमारी कल्पना के प्रतिकूल है अर्थात् a2a^{2} , 33 से विभाज्य है।

∴∴ हमारी कल्पना गलत है।

अतः, aa , 33 से विभाज्य है। उत्तर

5. विरोधाक्ति द्वारा उपपत्ति का प्रयोग करके यह दिखाइए कि nn का ऐसा कोई मान नहीं होता जिसके लिए 6n6^{n} का अन्तिम अंक शून्य हो।

हल— यदि सम्भव हो, तो nn का एक मान है जिसके लिए 6n6^{n} का अन्त अंक शून्य से होता है और वह मान है n=mn=m

∴6×6×6×………m∴6 \times 6 \times 6 \times ………m बार

== एक संख्या जिसका अन्त अंक शून्य से होता है।

=10k=10k (माना) जहाँ kk एक पूर्णांक है।

[ ∵∵ एक संख्या जिसका अन्त का अंक शून्य वह 1010 का गुणज]

या 66 , संख्या 10k10k को विभाजित करता है।

या 66 विभाजित करता है 1010 को, अथवा 3,53,5 को विभाजित करता है जो कि असम्भव है।

या जो कि हमारी कल्पना के प्रतिकूल है।

∴∴ हमारी कल्पना गलत है।

अतः, यहाँ nn का कोई भी मान नहीं है जिसके लिए 6n6^{n} का अन्त अंक शून्य होता है। उत्तर

356

6. विरोधाक्ति का प्रयोग करके यह सिद्ध कीजिए कि एक समतल की दो रेखाएँ एक से अधिक बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

हल— यदि सम्भव हो, तो कल्पना कीजिए कि दो रेखाएँ ll और mm परस्पर एक से अधिक बिन्दुओं माना AA और BB पर प्रतिच्छेद करती हैं।

∴∴ रेखाओं ll और mm पर दो बिन्दु AA और BB हैं।

यह केवल तभी सम्भव है यदि रेखा ll और mm संपाती हैं।

⇒⇒ यहाँ केवल एक ही रेखा सम्भव है जो हमारी कल्पना के प्रतिकूल है।

∴∴ हमारी कल्पना गलत है।

अतः, एक समतल में दो रेखाएँ एक से अधिक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद नहीं करतीं। उत्तर

□□□\square \square \square

परिशिष्ट-2

गणितीय निदर्शन

मुख्य बिन्दु

1. गणितीय निदर्शन (प्रतिरूप) एक गणितीय सम्बन्ध होता है, जो वास्तविक जीवन से जुड़ी किसी भी स्थिति की व्याख्या करता है।

2. एक गणितीय निदर्शन वास्तविक जीवन से जुड़ी स्थिति का गणितीय विवरण होता है। गणितीय निदर्शन वास्तविक जीवन से जुड़ी समस्याओं को हल करने और इसे प्रयोग करने के लिए गणितीय निदर्शन का निर्माण करने का प्रक्रम है।

3. गणितीय निदर्शन के निम्नलिखित चरण होते हैं-

(i) समस्या को समझना।

(ii) गणितीय विवरण और सूत्रण।

(iii) गणितीय समस्या हल करना।

(iv) हल की व्याख्या करना।

(v) निदर्शन का मान्यकरण।

4. गणितीय निदर्शन का महत्त्व निम्नलिखित कारणों से होता है-

(i) समझदारी बढ़ाने के रूप से।

(ii) प्रागुक्ति या पूर्वानुमान या अनुकरण करने से।

(iii) आकलन करने से।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

#### प्रश्नावली A 2.1

1. निम्नलिखित स्थिति पर विचार कीजिए:

तेरहवीं शताब्दी के प्रारम्भ में लियोनार्ड फिबोन्शी ने एक प्रश्न किया कि उस स्थिति में कितने खरगोश हो जाएँगे जबकि आपने केवल दो खरगोशों से प्रारम्भ किया था और यहाँ यह मान लीजिए कि एक जोड़ा खरगोश हर महीने शिशुओं का एक जोड़ा पैदा करता है और खरगोश का प्रत्येक जोड़ा अपना पहला शिशु 2 महीने की आयु पर पैदा करता है। माह-प्रतिमाह खरगोशों के जोड़ों की संख्या शून्य और पहले महीने को छोड़कर पिछले दो महीनों में खरगोशों का योग होता है।

महीना

खरगोशों के जोड़े

0

1

1

1

2

2

3

3

4

5

5

8

6

13

7

21

8

34

9

55

10

89

11

144

12

233

13

377

14

610

15

987

16

1597

ठीक 16 महीने बाद आपके पास खरगोशों के 1600 जोड़े प्राप्त हो जाते हैं। इस स्थिति में समस्या का और गणितीय निदर्शन के विभिन्न चरणों का स्पष्ट कथन दीजिए।

हल—चरण 1. समस्या को समझना

लियोनार्ड फिबोन्शी के लिए वास्तविक समस्या है कि 16 महीने के बाद कितने खरगोशों के जोड़े प्राप्त होते हैं। क्या यह लगभग 16001600 जोड़े हैं?

चरण 2. गणितीय विवरण

दी गई शर्तों के अनुसार विभिन्न महीनों में सम्भावनाओं को ज्ञात करने के लिए समस्या को गणितीय पदों में परिवर्तित किया जाता है।

शून्य महीने के लिए =1=1

पहले महीने के लिए =1=1

दूसरे महीने के लिए =1+1=2=1+1=2

तीसरे महीने के लिए =2+1=3=2+1=3

चौथे महीने के लिए =3+2=5=3+2=5

5वें महीने के लिए =5+3=8=5+3=8

6वें महीने के लिए =8+5=13=8+5=13

7वें महीने के लिए =13+8=21=13+8=21

8वें महीने के लिए =21+13=34=21+13=34

9वें महीने के लिए =34+21=55=34+21=55

10वें महीने के लिए =55+34=89=55+34=89

11वें महीने के लिए =89+55=144=89+55=144

12वें महीने के लिए =144+89=233=144+89=233

13वें महीने के लिए =233+144=377=233+144=377

14वें महीने के लिए =377+233=610=377+233=610

15वें महीने के लिए =610+377=987=610+377=987

16वें महीने के लिए =987+610=1597=987+610=1597

चरण 3. समस्या का हल—

(1) से यह स्पष्ट है कि 16वें महीने में खरगोशों की संख्या 15971597 है, जो कि खरगोशों के 16001600 जोड़ों के निकट है।

चरण 4. समस्या का निर्वचन—

खरगोशों की जोड़ों की संख्या 15971597 है, जो 16001600 से 33 कम है।

चरण 5. निदर्श का मान्यकरण—

जैसा कि हमने चरण 2 में पहले ही सिद्ध किया है कि खरगोशों की संख्या 15971597 है जो कि 16001600 के निकट है। इसलिए दिया गया निदर्श दी गई स्थितियों में दी गई शर्तों के लिए मान्य है। उत्तर

प्रश्नावली A 2.2

नीचे दी गई प्रत्येक समस्या में समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय निदर्शन की विभिन्न अवस्थाओं को दर्शाइए—

1. एक ऑर्निथोलॉजिस्ट (Ornithologist) एक बड़े क्षेत्र में तोतों की संख्या आकलित करना चाहती है। इनमें से कुछ को पकड़ने के लिए वह एक जाल बिछाती है और 3232 तोते पकड़ लेती है। जिन्हें वह रिंग पहना कर आजाद छोड़ देती है। अगले सप्ताह में वह 4040 तोतों के लिए जाल बिछाती है जिनमें 88 रिंगित हो जाते हैं।

(i) उसके दूसरे पकड़ का कितना अंश रिंगित होता है?

(ii) क्षेत्र में तोतों की कुल संख्या का एक आकलन ज्ञात कीजिए।

हल—तोतों की कुल संख्या =40=40

रिंग पहनाए गए तोतों की संख्या =8=8

(i) दूसरी पकड़ में रिंग पहनाए गए का अंश =840=15=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}

(ii) चरण 1. समस्या को समझना

वास्तविक समस्या क्षेत्र में तोतों की संख्या का आकलन है।

चरण 2. गणितीय विवरण

पकड़े गए तोतों की संख्या =32=32

एक विशेष सप्ताह में जाल में आए तोते =40=40

जिसमें पहले रिंग डाले गए 88 भी उपस्थित हैं।

चरण 3. समस्या को हल करना

भाग (i) से

15\frac{1}{5} (तोतों की कुल संख्या) =32=32

या तोतों की कुल संख्या =32×5=160=32 \times 5=160

चरण 4. हल का निर्वचन

चरण 3 से यह स्पष्ट है कि तोतों की कुल संख्या 160160 है।

चरण 5. निदर्श का मान्यकरण

चरण 3 में हमने सिद्ध किया है कि क्षेत्र में तोतों की संख्या 160160 है। दी गई स्थिति के मान्यकरण का यह एक बहुत अच्छा आकलन है।

2. मान लीजिए (पाठ्यपुस्तक में पेज 276276 पर दी गयी आकृति A 2.2) संलग्न आकृति एक जंगल के एक हवाई जहाज से खींची गई फोटो को दर्शाता है, जिसमें प्रत्येक बिन्दु एक पेड़ निरूपित करता है। आपका उद्देश्य पर्यावरण सर्वेक्षण के एक अंश के रूप में इस मार्ग पर पेड़ों की संख्या ज्ञात करना है।

हल—खींचे गए फोटो में सभी बिन्दुओं को गिनना सम्भव नहीं है। इन बिन्दुओं को तभी गिना जा सकता है जबकि सैम्पल के रूप में उसका क्षेत्रफल 1cm21 cm^{2} का हो।

3. एक टी.वी. को या तो 2400024000 रु. नकद देकर या 80008000 रु. नकद और 28002800 रु. की छ: मासिक किस्तों में भुगतान करके खरीदा जा सकता है। एक टी.वी. खरीदने के लिए अली बाजार जाता है और इसके लिए उसके पास 80008000 रु. हैं। इस समय उसके पास दो विकल्प हैं। एक विकल्प यह है कि वह किस्त योजना के अन्तर्गत टी.वी. खरीदे और दूसरा विकल्प यह है कि किसी वित्तीय सोसायटी से ऋण लेकर नकद भुगतान करके टी.वी. खरीदे। सोसायटी 1818% की वार्षिक साधारण ब्याज की दर से ब्याज लगाती है। अली के लिए कौनसा विकल्प अधिक उत्तम है?

हल—चरण 1. समस्या को समझना

पहले विकल्प में अली को वित्तीय सोसायटी को 1818% की दर से साधारण ब्याज देना है और दूसरे विकल्प में शेष धन उसने 28002800 रु. की छ: मासिक किस्तों में देना है। हम यह ज्ञात करना चाहते हैं कि उसके लिए कौनसा विकल्प बेहतर है।

चरण 2. गणितीय विवरण

माना कि मूलधन PP रु. के लिए ब्याज की दर 11 महीने के लिए rr% है। तो

साधारण ब्याज =P×r×1100×12=\frac{P \times r \times 1}{100 \times 12}

=Pr1200=\frac{Pr}{1200} रु. .... (i)

चरण 3. समस्या का हल करना

टी.वी. का मूल्य =24000=24000 रु.

नकद भुगतान =8000=8000 रु.

शेष राशि =(24000−8000)=(24000-8000) रु.

=16000=16000 रु.

प्रत्येक किस्त में दी गई राशि =2800=2800 रु.

किस्तों की संख्या =6=6

किस्तों में दी गई कुल राशि =16800=16800 रु.

दिया गया ब्याज =(16800−16000)=(16800-16000) रु.

=800=800 रु.

प्रथम माह का मूलधन =16000=16000 रु.

द्वितीय माह का मूलधन =(16000−2800)=(16000-2800) रु.

=13200=13200 रु.

तृतीय माह का मूलधन =(13200−2800)=(13200-2800) रु.

=10400=10400 रु.

चतुर्थ माह का मूलधन =(10400−2800)=(10400-2800) रु.

=7600=7600 रु.

पंचम माह का मूलधन =(7600−2800)=(7600-2800) रु.

=4800=4800 रु.

षष्ठ माह का मूलधन =(4800−2800)=(4800-2800) रु.

=2000=2000 रु.

एक माह का समेकित मूलधन =[16000+13200+10400+7600+4800+2000]=[16000+13200+10400+7600+4800+2000] रु.

=54000=54000 रु.

सूत्र (i) का प्रयोग करने पर

साधारण ब्याज =Pr1200=\frac{Pr}{1200} रु.

800=54000×r1200800=\frac{54000 \times r}{1200} रु.

या 800×1200=54000×r800 \times 1200=54000 \times r

या r=96000054000r=\frac{960000}{54000}

या r=17.777r=17.777%

या r=17.78r=17.78% (लगभग)

चरण 4. हल का निर्वचन और निदर्श का मान्यकरण

अतः दुकानदार द्वारा लिए गए ब्याज की दर 17.7817.78% है जबकि वित्तीय सोसायटी की दर 1818% वार्षिक है। इसलिए दुकानदार द्वारा दिया गया विकल्प लाभप्रद है।

प्रश्नावली A 2.3

1. पिछले पाँच वर्षों के आँकड़ों के आधार पर वर्ष के अन्त में दसवीं कक्षा के बोर्ड परीक्षा में आपके स्कूल द्वारा गणित में प्राप्त किए जाने वाले औसत प्रतिशत अंकों का पूर्वानुमान लगाइए।

हल— छात्र इस समस्या के हल के लिए अपने कक्षा और पूर्व कक्षा की तिथियों का संकलन करके अपने शिक्षक की सहायता से हल कर सकते हैं।

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

पिछला अध्याय / Previous
सांख्यिकी

और अध्याय देखें / Explore More Chapters

Mathematics

वास्तविक संख्याएँ

पढ़ें वास्तविक संख्याएँ
Mathematics

बहुपद

पढ़ें बहुपद
Mathematics

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

पढ़ें दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
Mathematics

द्विघात समीकरण

पढ़ें द्विघात समीकरण
Mathematics

समान्तर श्रेढ़ियाँ

पढ़ें समान्तर श्रेढ़ियाँ
Mathematics

त्रिभुज

पढ़ें त्रिभुज
Mathematics

निर्देशांक ज्यामिति

पढ़ें निर्देशांक ज्यामिति
Mathematics

त्रिकोणमिति का परिचय

पढ़ें त्रिकोणमिति का परिचय