हल—(i) माना कि बहुपद ax2+bx+c है तथा इसके शून्यांक α और β हैं।
तब α+β=41=a−b
तथा αβ=−1=4−4=ac
यदि a=4,b=−1 तथा c=−4 हो, तो द्विघात बहुपद 4x2−x−4 होगा। उत्तर
(ii) माना कि बहुपद ax2+bx+c है तथा इसके शून्यांक α और β हैं।
तब α+β=2=332=a−b
तथा αβ=31=ac
यदि a=3,b=−32 तथा c=1 हो, तो द्विघात बहुपद 3x2−32x+1 होगा। उत्तर
(iii) माना कि बहुपद ax2+bx+c है तथा इसके शून्यांक α और β हैं।
तब α+β=0=10=a−b
तथा αβ=5=15=ac
यदि a=1,b=0 तथा c=5 हो, तो द्विघात बहुपद x2−0.x+5 या x2+5 होगा। उत्तर
(iv) माना कि बहुपद ax2+bx+c है तथा इसके शून्यांक α और β हैं।
तब α+β=1=1−(−1)=a−b
तथा αβ=1=11=ac
यदि a=1,b=−1 तथा c=1 हो, तो द्विघात बहुपद x2−x+1 होगा। उत्तर
(v) माना कि बहुपद ax2+bx+c है तथा इसके शून्यांक α और β हैं।
गणित-कक्षा 10
17
तब
α+β=−41=a−b
तथा
αβ=41=ac
यदि a=4,b=1 तथा c=1 हो, तो द्विघात बहुपद 4x2+x+1 होगा। उत्तर
(vi) माना कि बहुपद ax2+bx+c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब
α+β=4=a−b
तथा
αβ=1=11=ac
यदि a=1,b=−4 तथा c=1 हो, तो द्विघात बहुपद x2−4x+1 होगा। उत्तर
भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)
📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)
महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।
मुख्य बिन्दु
1. बीजीय व्यंजक—कुछ निश्चित चर तथा अचर राशियों के योग, अन्तर, गुणन, भाग आदि के संयोग से बने पद को बीजीय व्यंजक कहते हैं।
2. बहुपद—जब कई बीजीय व्यंजक एक साथ जुड़ते हैं और इस तरह किसी पद का निर्माण करते हैं तो वह बहुपद कहलाता है।
यदि p(x)=a0+a1x+a2x2+.....anxn , (जहाँ x एक चर है, a0,a1.....an वास्तविक संख्याएँ हैं तथा n प्राकृतिक संख्या है) तो p(x) चर x में एक बहुपद कहलाता है।
यहाँ a0,a1x,a2x2− बहुपद के पद हैं तथा a0,a1,a2..... उनके गुणांक हैं।
उदाहरण—6x2+5 , 7x3+2x2+5 , −8x2+3x−9 आदि बहुपद हैं क्योंकि इनमें घात धनात्मक पूर्णांक है तथा प्रत्येक पद में चर राशि का गुणांक एक वास्तविक संख्या है।
नोट—2x2+x , x2−x21 , y3+y−2 आदि बहुपद नहीं हैं क्योंकि इनमें चर राशि के घातांक धन पूर्णांक नहीं हैं।
3. बहुपद की घात—किसी भी चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है। जैसे— 5x+2 चर x में घात 1 का बहुपद है। 2y2−3y+4 चर y में घात 2 का बहुपद है। x3−6x2+x+9 चर x में घात 3 का बहुपद है।
4. रैखिक बहुपद—एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं।
उदाहरण—−7x−5 , 2x−3 , −x+1 आदि।
द्विघात बहुपद—दो घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं।
उदाहरण—4x2+x , 5y2+8 आदि।
त्रिघात बहुपद—तीन घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं।
उदाहरण—−5x3+3x2+6 , 2x3−7x2+3 , x3−8 आदि।
5. व्यापक रूप में एक रैखिक बहुपद ax+b , जहाँ a=0 होता है। एक द्विघात बहुपद ax2+bx+c जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं और a=0 है, के रूप का होता है।
त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप ax3+bx2+cx+d होता है, जहाँ a,b,c,d वास्तविक संख्याएँ हैं और a=0 है।
6. बहुपद का मान—यदि p(x) , x में कोई बहुपद है और k कोई वास्तविक संख्या है, तो p(x) में x को k से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या p(x) का x=k पर बहुपद का मान कहलाती है और इसे p(k) से निरूपित करते हैं।
7. बहुपद का शून्यांक—एक वास्तविक संख्या k को बहुपद का शून्यांक कहते हैं, यदि p(k)=0 हो। व्यापक रूप में
p(x)=ax+b
या p(k)=ak+b
या p(k)=0
⇒ak+b=0
या k=a−b
8. बहुपद के शून्यांक का ज्यामितीय अर्थ—एक बहुपद p(x) के शून्यांक उन बिन्दुओं के x -निर्देशांक होते हैं जहाँ y=p(x) का ग्राफ x -अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
9. वास्तव में किसी द्विघात बहुपद ax2+bx+c , a=0 के लिये संगत समीकरण y=ax2+bx+c के ग्राफ का आकार या तो ऊपर की ओर खुला ∪ की तरह अथवा नीचे की ओर खुला ∩ की तरह का होगा, जो इस पर निर्भर करेगा कि a>0 है या a<0 है (इन वक्रों को परवलय कहते हैं)।
10. शून्यांकों से सम्बन्धित महत्त्वपूर्ण तथ्य–
• किसी भी बहुपद p(x) के शूनयक ज्ञात करने का अर्थ होता है समीकरण p(x)=0 को हल करना।
• रैखिक बहुपद का एक और केवल एक शूनयक होता है, द्विघात बहुपद के दो शूनयक व त्रिघात बहुपद के तीन शूनयक होते हैं।
• बहुपद की जितनी घात होती है उतने ही उसके शूनयक होते हैं, जिनमें से कुछ समान या सभी भिन्न-भिन्न भी हो सकते हैं।
• किसी बहुपद का एक शूनयक 0 हो सकता है।
• शूनयक काल्पनिक भी हो सकते हैं।
11. किसी बहुपद के शून्यांकों और गुणांकों में संबंध–
यदि द्विघात बहुपद ax2+bx+c के शूनयक α और β हों, तो
α+β=−ab=−x2कागुणांक(xकागुणांक)
αβ=ac=x2कागुणांकअचरपद
12. यदि α,β,γ त्रिघात बहुपद ax3+bx2+cx+d=0 के शूनयक हों, तो
α+β+γ=a−b=−x3कागुणांक(x2कागुणांक)
αβ+βγ+γα=ac=x3कागुणांकxकागुणांक
और αβγ=a−d=−x3कागुणांकअचरपद
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)
⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।
अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न–
प्रश्न 1. यदि एक द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमश: 5 व 6 हैं, तो द्विघात बहुपद है– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
(A)X2+5X+6
(B)X2+6X+5
(C)X2−6X+5
(D)X2−5X+6
प्रश्न 2. बहुपद x2−x−6 के शून्यक हैं– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
(A)1,6
(B)2,−3
(C)3,−2
(D)1,−6
प्रश्न 3. बहुपद x2−7x+12 के शून्यकों का योग है– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
(A)−7
(B)7
(C)12
(D)−12
प्रश्न 4. बहुपद P(x)=(3−x)(x−4) की घात है– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
(A)2
(B)4
(C)0
(D)3
प्रश्न 5. निम्न में से एक द्विघात बहुपद नहीं है– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
(A)X2
(B)X2−4
(C)X2−4X+4
(D)X3−3X2+3X−1
प्रश्न 6. बहुपद p(x) का शून्यक, जहाँ p(x)=ax+1 है, a=0 है–
(A)1
(B)−a
(C)0
(D)−a1
प्रश्न 7. एक त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक शून्यकों की संख्या होती है–
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
प्रश्न 8. यदि p(x)=ax3+bx2+cx+d तथा p,q,r इसके तीन शून्यक हैं तो p+q+r का मान होगा– (प्रश्न बैंक)
(A)ab
(B)−ab
(C)ac
(D)−ac
प्रश्न 9. बहुपद 3x2+4x−2 में शून्यकों की संख्या होगी– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)
(A)1
(B)2
(C)0
(D)इनमें से कोई नहीं
प्रश्न 10. व्यंजक (x) बहुपद p(x)=x3+x2−17x+5 का गुणनखंड होगा यदि–
(A)p(3)=0
(B)p(−3)=0
(C)p(−3)=3
(D)p(−3)=−3
प्रश्न 11. यदि α,β तथा γ त्रिघात बहुपद ax3+bx2+cx+d=0 के शून्यक हों, तो αβ+βγ+γα का मान होगा–
(A)c
(B)ac
(C)a
(D)ac
प्रश्न 12. यदि x3+a3 में (x) का भाग दिया जाए तो शेषफल होगा–
(A)x2+a2
(B)x+a
(C)0
(D)a
प्रश्न 13. यदि त्रिघात बहुपद ax3+bx2+cx+d=0 के शून्यक α,β तथा γ हों, तो αβγ का मान होगा–
(A)−ad
(B)d
(C)a
(D)ad
प्रश्न 14. एक द्विघात बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या क्या होती है? (प्रश्न बैंक)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)0
प्रश्न 15. द्विघात बहुपद, x2−6x+8 के शून्यक क्या हैं?
(A)2,4
(B)−2,4
(C)−2,−4
(D)2,−4
प्रश्न 16. यदि द्विघात बहुपद, x2−2x+4 के शून्यक P और Q हैं, तो (P) का मान ज्ञात कीजिए–
(A)−2
(B)2
(C)4
(D)−4
प्रश्न 17. द्विघात बहुपद, x2+4x−21 के शून्यक क्या हैं?
(A)7,3
(B)−7,3
(C)−7,−3
(D)7,−3
प्रश्न 18. उस द्विघात बहुपद को ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमश: 3 और −3 हैं–
(A)x2−3x−3
(B)x2+3x+3
(C)x2−3x+3
(D)x2+3x−3
19. यदि बहुपद f(x)=5x2+13x+k का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हो, तो k का मान होगा—
(A)शून्य
(B)51
(C)5
(D)6
20. यदि P और Q एक द्विघात बहुपद ax2+bx+c के शून्यक हैं तो P+Q का मान ज्ञात कीजिए—
(A)ab
(B)−ab
(C)ac
(D)−ac
21. यदि P और Q एक द्विघात बहुपद ax2+bx+c के शून्यक हैं, तो P×Q का मान ज्ञात कीजिए—
(A)ab
(B)−ab
(C)ac
(D)−ac
22. यदि बहुपद 2x2+x+k का एक शून्यक 3 है तो k का मान होगा— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
(A)−12
(B)21
(C)−21
(D)12
23. द्विघात बहुपद, x2−25 के शून्यक क्या हैं?
(A)5,5
(B)−5,5
(C)−5,−5
(D)इनमें से कोई नहीं
24. द्विघात बहुपद, 3x2−x−4 के शून्यक क्या हैं?
(A)−1,−34
(B)−1,34
(C)1,−34
(D)1,34
25. उस द्विघात बहुपद को ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 4 और −4 हैं?
(A)x2−16
(B)x2+16
(C)x2+4x+4
(D)x2−4x−4
26. निम्न आकृति में, बहुपद P(x) का आलेख दिया है। बहुपद के शून्यकों की संख्या है :
[Parabola opening downwards intersecting x-axis at two points]
(A)1
(B)2
(C)3
(D)0
27. चित्र में बहुपद f(x)=ax2+bx+c का आलेख दर्शाया गया हो तो—
[Parabola opening upwards with vertex coordinates at (-b/2a, -D/4a)]
(A)a>0,b>0 तथा c>0
(B)a>0,b<0 तथा c<0
(C)a>0,b<0 तथा c<0
(D)a>0,b>0 तथा c<0
28. त्रिघात बहुपद ax3+bx2+cx+d के दो शून्यक 0 दिये हैं। तीसरा शून्यक है।
(A)a−b
(B)ab
(C)ac
(D)a−d
29. यदि बहुपद 3x2+8x+k का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम है, तो k का मान होगा—
(A)3
(B)−3
(C)31
(D)3−1
30. यदि α और β बहुपद x2+2x+1 के शून्यक हैं, तो α1+β1 का मान होगा—
(A)−2
(B)2
(C)0
(D)1
31. यदि बहुपद p(x)=x2−2x−15 के शून्यार्क a व b हों तो ab का मान होगा— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
(A)15
(B)−15
(C)5
(D)2
32. बहुपद x2−2x−8 के शून्यक हैं : (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
(A)2,4
(B)2,5
(C)−2,4
(D)−2,6
33. बहुपद P(x)=x2−4x+6 के शून्यक a व b हैं तो a+b का मान होगा— (प्रश्न बैंक)
(A)−4
(B)4
(C)6
(D)−6
34. बहुपद P(x)=3x2−5x+6 के शून्यक a व b हैं तो ab का मान होगा— (प्रश्न बैंक)
(A)−35
(B)35
(C)2
(D)−2
गणित-कक्षा 10
19
35. बहुपद P(x)=x2−9 के शून्यक हैं - (प्रश्न बैंक)
(A)2,3
(B)3,3
(C)3,−3
(D)9,−9
36. एक द्विघात बहुपद P(x)=ax2+bx+c जहां a,b,c वास्तविक संख्याएं हैं तो - (प्रश्न बैंक)
(A)a=0
(B)a=0
(C)c=0
(D)b=0
उत्तरमाला
1. (D)
2. (C)
3. (B)
4. (A)
5. (D)
6. (D)
7. (C)
8. (B)
9. (B)
10. (A)
11. (B)
12. (C)
13. (A)
14. (B)
15. (A)
16. (B)
17. (B)
18. (A)
19. (C)
20. (B)
21. (C)
22. (C)
23. (B)
24. (B)
25. (A)
26. (B)
27. (B)
28. (A)
29. (A)
30. (A)
31. (B)
32. (C)
33. (B)
34. (C)
35. (C)
36. (A)
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
1. किसी चर x के बहुपद p(x) में x की ................... घात बहुपद की घात कहलाती है।
2. त्रिघात बहुपद में चर राशि की उच्चतम घात ................... होती है।
3. यदि बहुपद का आरेख x -अक्ष को चार बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो बहुपद के ................... शून्यक होते हैं।
4. बहुपद 2x3+4x2+5x+9 की घात ................... होगी।
5. समीकरण y=ax2+bx+c के ग्राफ का आकार ................... होता है।
6. एक रैखिक बहुपद ax+b,a=0 के लिए, y=ax+b का ग्राफ एक ................... है।
7. एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का एक शून्यक है यदि p(k)=....... है।
8. कुछ निश्चित चर तथा अचर राशियों के योग, अन्तर, गुणन, भाग इत्यादि के संयोग से बने पद को ................... कहते हैं।
9. किसी दिये गये बहुपद में चर राशि की उच्चतम घात वाले पद के गुणांक को बहुपद की ................... कहते हैं।
10. 1 घात के बहुपद के अधिकतम ................... वास्तविक शून्यक हो सकते हैं।
11. ऐसे बहुपद को, जिसमें चर राशि की उच्चतम घात 2 हो ................... बहुपद कहलाता है।
12. बहुपद 6y3+3y2+7y5+y+9 की घात ................... है।
प्रश्न 1. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः −3 और 2 है। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— x2−(शून्यकोंकायोग)x+शून्यकोंकागुणनफल
x2−(−3)x+2
x2+3x+2 उत्तर
प्रश्न 2. बहुपद P(x)=x2−2x−8 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— P(x)=x2−2x−8
P(x)=x2−4x+2x−8
P(x)=x(x−4)+2(x−4)
P(x)=(x−4)(x+2)
अतः शून्यक 4 तथा −2 होंगे।
प्रश्न 3. बहुपद x2−6x+7 में शून्यकों का योग और गुणनफल लिखिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल—
शून्यकोंकायोग=x2कागुणांक−xकागुणांक=1−(−6)=6
शून्यकोंकागुणनफल=x2कागुणांकअचरपद=17=7
प्रश्न 4. यदि बहुपद P(x)=4x2−4x+1 है तो इसके शून्यकों का योग व गुणनफल लिखिए। (प्रश्न बैंक)
हल—
शून्यकोंकायोग=x2कागुणांक−xकागुणांक=4−(−4)=1
शून्यकोंकागुणनफल=x2कागुणांकअचरपद=41
प्रश्न 5. एक रैखिक बहुपद के कितने शून्यक संभव हैं? (प्रश्न बैंक)
हल— एक रैखिक बहुपद का एक और केवल एक शून्य होता है।
प्रश्न 6. द्विघात बहुपद का व्यापक रूप लिखिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— द्विघात बहुपद का व्यापक रूप ax2+bx+c, जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं और a=0 है।
प्रश्न 7. एक बहुपद के ग्राफ निरूपण में ग्राफ रेखा X− अक्ष को दो बार काटती है तथा Y− अक्ष को एक बार काटती है तो बहुपद के कितने शून्यक होंगे? ( प्रश्न बैंक )
हल— बहुपद के ग्राफ निरूपण में ग्राफ रेखा X− अक्ष को दो बार काटती है तो बहुपद के दो शून्यक होंगे।
प्रश्न 8. यदि द्विघात बहुपद x2+3x+k का एक शून्यक 3 है, तो k का मान लिखिये।
हल— माना p(x)=x2+3x+k
∵3,p(x) का एक शून्यक है।
∴P(3)=0
⇒(3)2+3×3+k=0
⇒9+9+k=0
∴k=−18 उत्तर
प्रश्न 9. बहुपद का शून्यक क्या होता है?
उत्तर— एक वास्तविक संख्या a किसी बहुपद p(x) का शून्यक कहलाएगी यदि p(a)=0 हो अर्थात् चर का वह मान जिससे बहुपद का मान शून्य हो जाए।
प्रश्न 10. रैखिक बहुपद का उदाहरण लिखिए।
उत्तर— ax+b, जहाँ a,b∈R तथा a=0
प्रश्न 11. यदि द्विघात बहुपद ax2+bx+c के शून्यक α और β हों तो α+β तथा αβ का मान लिखिए।
उत्तर— α+β=−ab तथा αβ=ac
प्रश्न 12. यदि बहुपद kx2+2x+3k के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k बराबर है।
उत्तर— शून्यकों का योग =a−b=k−2
शून्यकों का गुणनफल =ac=k3k=3
प्रश्नानुसार शून्यकों का योग = शून्यकों का गुणनफल
⇒k−2=3
∴k=3−2
प्रश्न 13. बहुपद किसे कहते हैं?
उत्तर— एक से अधिक पदों के बीजगणितीय व्यंजक बहुपद कहलाते हैं यदि इसके पदों में किसी भी चर की घात ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए।
प्रश्न 14. एक द्विघात बहुपद का उदाहरण लिखिए।
उत्तर— −y2−2
प्रश्न 15. त्रिघात बहुपद की परिभाषा उदाहरण सहित लिखिए।
उत्तर— एक ऐसा बहुपद जिसमें घातों की अधिकतम संख्या तीन हो, त्रिघात बहुपद कहलाता है। जैसे 3x3−2x2+x−1
प्रश्न 16. बहुपद का मान क्या होता है?
उत्तर— यदि x में p(x) कोई बहुपद है और यदि k कोई वास्तविक संख्या है, तो p(x) में x को k से प्रतिस्थापित करने पर जो वास्तविक संख्या प्राप्त होती है, वह p(x) का x=k पर मान कहलाती है और इसे p(k) से निरूपित किया जाता है।
प्रश्न 17. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये, जिसके शून्यक 4 तथा 1 हैं। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023 )
उत्तर— माना कि बहुपद ax2+bx+c तथा इसके शून्यक α और β हैं तब
α=4,β=1
α+β=4+1=15=−b/a
तथा αβ=4×1=14=ac
यदि a=1,b=−5 तथा c=4 हो, तो द्विघात बहुपद x2−5x+4 उत्तर
प्रश्न 18. द्विघात बहुपद x2+7x+10 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल— x2+7x+10
x2+5x+2x+10
x(x+5)+2(x+5)=(x+2)(x+5)
∴x2+7x+10 का मान शून्य है, जब x+2=0 या x+5=0 है अर्थात् जब x=−2 या x=−5 हो।
∴x2+7x+10 के शून्यक −2 और −5 हैं। उत्तर
प्रश्न 19. यदि 2 बहुपद f(x)=x4−x3−4x2+kx+10 का गुणनखंड हो तो k का मान लिखिए।
हल— f(2)=24−23−4×22+k×2+10
या 0=16−8−16+2k+10
0=2k+2
∴k=2−2=−1 उत्तर
प्रश्न 20. यदि (x) व्यंजक x2+2x−a का एक गुणनखंड है तो a का मान लिखिए।
उत्तर— x−2=0 या x=2 व्यंजक में रखने पर इसका मान शून्य होना चाहिए। अतः
गणित-कक्षा 10
21
(2)2+2×2−a=0)
4+4−a=0
a=8 उत्तर
∴
प्रश्न 21. यदि x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2+k) हो, तो k का मान लिखिए।
उत्तर— k=−xy−yz−zx उत्तर
प्रश्न 22. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यांकों के योग और गुणनफल क्रमशः −4 और 3 हों।
हल— x2− (मूलों का योग) x+ मूलों का गुणनफल
x2−(−4)x+3
x2+4x+3 उत्तर
प्रश्न 23. एक n घात वाले बहुपद के अधिकतम शून्यांकों की संख्या लिखिए।
उत्तर— n शूनयक।
प्रश्न 24. द्विघात बहुपद ax2+bx+c के आलेख की आकृति किस प्रकार की प्राप्त होती है?
उत्तर— परवलयाकार आकृति।
प्रश्न 25. वह बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शूनयक −5 और 4 हैं।
हल— [x−(−5)](x−4)
⇒(x+5)(x−4)
⇒x2−4x+5x−20
⇒x2+x−20 उत्तर
प्रश्न 26. यदि बहुपद f(x)=x2−5x+k के शूनयक α तथा β इस प्रकार हों कि α−β=1 तो k का मान लिखिये।
हल— दिया गया है कि α तथा β बहुपद x2−5x+k के शूनयक हैं।
∴α+β=−1−5=5
αβ=1k=k
α−β=1 या (α−β)2=1)
या (α+β)2−4αβ=1)
या 25−4k=1
4k=24∴k=424=6 उत्तर
प्रश्न 27. x2−9 के शूनयक ज्ञात कीजिये।
हल— x2−9=(x)2−(3)2=(x+3)(x−3)
बहुपद के शूनयक के लिये
x+3=0⇒x=−3
तथा x−3=0⇒x=3
अतः बहुपद x2−9 के शूनयक = ±3 उत्तर
प्रश्न 28. यदि बहुपद ax2−6x−6 के शून्यांकों का गुणनफल 6 हो, तो a का मान ज्ञात कीजिये।
हल— दिये गये बहुपद के शूनयक α तथा β हैं। तब शून्यांकों का गुणनफल
αβ=ac से
⇒αβ=a−6
⇒6=a−6∴a=−1 उत्तर
प्रश्न 29. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यांकों का योग −5 तथा गुणनफल 6 है।
प्रश्न 30. यदि बहुपद 2x2+x+k का एक शूनयक 3 है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
(प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— f(x)=2x2+x+k
∴f(3)=2(3)2+3+k=0
2×9+3+k=0
∴k=−21 उत्तर
प्रश्न 31. बहुपद x2−3 के शूनयक ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल— दिया गया बहुपद
x2−3
(x)2−(3)2=(x+3)(x−3)
अतः बहुपद x2−3 के शूनयक −3,3 उत्तर
**लघूत्तरत्त्मक प्रश्न—**
प्रश्न 1. यदि द्विघात बहुपद 3x2−5x+9 के शूनयक α और β हों, तो (α) तथा αβ ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
हल— द्विघात बहुपद 3x2−5x+9 के शूनयक α और β हैं।
∴α+β=a−b=3−(−5)=35
22
तथा αβ=ac=39
प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यांक 3 तथा −3 हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— माना द्विघात बहुपद के शून्यांक α व β हैं।
इसलिए द्विघात बहुपद
=(x−α)(x−β)
=(x−3)(x−(−3))
=(x−3)(x+3)
=(x)2−(3)2=x2−3 उत्तर
प्रश्न 3. द्विघात बहुपद x2−2x−15 के शून्यांक ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल— x2−2x−15=x2−5x+3x−15
=x(x−5)+3(x−5)
=(x−5)(x+3)
अतः x2−2x−15 के शून्यांक x=5 व x=−3 हैं।
प्रश्न 4. वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि बहुपद p(x)=ax2+bx+c के शून्यांक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।
हल— माना बहुपद p(x)=ax2+bx+c का एक शून्यांक α है।
प्रश्नानुसार, दूसरा शून्यांक (β)=α1
शून्यांकों का गुणनफल α×β=x2कागुणांकअचरपद
⇒α×α1=ac
⇒1=ac
⇒c=a
अतः अभीष्ट प्रतिबन्ध c=a है।
प्रश्न 5. द्विघात बहुपद 2x2−6x+4 के शून्यांकों का योग व गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल— दिया गया बहुपद 2x2−6x+4
अतः, शून्यांकों का योग =x2कागुणांक−xकागुणांक
=a−b
=−2−6=26=3
तथा शून्यांकों का गुणनफल =x2कागुणांकअचरपद
=ac=24=2
प्रश्न 6. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यांकों के योग व गुणनफल क्रमश: a तथा a1 हैं।
हल— यहाँ α+β=a तथा αβ=a1
∴ द्विघात बहुपद =x2−(α)x+a1
=aax2−a2x+1
=a1(ax2−a2x+1)
=k(ax2−a2x+1)
अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद =ax2−a2x+1 उत्तर
प्रश्न 7. यदि द्विघात व्यंजक kx2+5x+3k के शून्यांकों का योग उनके गुणनफल के बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल— दिए गए व्यंजक kx2+5x+3k के अनुसार
शून्यांकों का योग (α+β)=−k5
तथा शून्यांकों का गुणनफल (αβ)=k3k=3
अब प्रश्नानुसार
−k5=13
या 3k=−5
∴k=−35 उत्तर
प्रश्न 8. द्विघात बहुपद x2+x−2 के शून्यांक ज्ञात कीजिए और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल— प्रश्नानुसार
x2+x−2=x2+2x−x−2
=x(x+2)−1(x+2)
=(x+2)(x−1)
x2+x−2 का मान शून्य होगा यदि (x+2)(x−1) के मान शून्य हों अर्थात् x+2=0 या x−1=0 अर्थात् x=−2 या x=1
अतः x2+x−2 के शून्यांक −2 और 1 हैं।
अब, शून्यांकों का योग =−2+1
गणित-कक्षा 10
23
=−1=x2कागुणांक−xकागुणांक
तथा शून्योंकों का गुणन =(−2)(1)
=−2=x2कागुणांकअचरपद
प्रश्न 9. बहुपद x2−3 के शून्यांक ज्ञात कीजिये और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिये।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
हल— x2−3=(x)2−(3)2
=(x+3)(x−3)
∵ सर्वसमिका a2−b2=(a−b)(a+b)
अतः x2−3 के शून्यांक 3 और −3 हैं। अब,
शून्यांकों का योग =3−3=0
=x2कागुणांक−(xकागुणांक)
शून्यांकों का गुणनफल =(3)×(−3)
=−3
=x2कागुणांकअचरपद
प्रश्न 10. यदि बहुपद f(x)=x2−8x+k के शून्यांकों के वर्गों का योग 40 है, तब k का मान ज्ञात कीजिये।
हल— दिया है f(x)=x2−8x+k
माना f(x) के शून्यांक α और β हैं।
तब,
α+β=−ab=−1−8
α+β=8
αβ=ac=1k=k
प्रश्मानुसार,
α2+β2=40 (दिया है)
⇒(α+β)2−2αβ=40
⇒(8)2−2×k=40
⇒64−40=2k
⇒24=2k∴k=12 उत्तर
प्रश्न 11. बहुपद x2−x−6 के शून्यांक ज्ञात कीजिये।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)
हल—प्रश्मानुसार
x2−x−6=x2−3x+2x−6
=x(x−3)+2(x−3)
=(x−3)(x+2)
x2−x−6 का मान शून्य होगा यदि (x−3)(x+2) के मान शून्य हों अर्थात् x+2=0 या x−3=0 अर्थात् x=−2 या 3
अतः x2−x−6 के शून्यांक −2 और 3 हैं। उत्तर
प्रश्न 12. यदि बहुपद 6x2−3−7x के शून्यांक 23,−31 हैं, तो शून्यांकों एवं गुणांकों के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिये।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— शून्यांकों का योग =23+−31
=23−31=69−2
=67=6−(−7)
=x2कागुणांक−(xकागुणांक)
शून्यांकों का गुणनफल =23×−31
=6()
=x2कागुणांक(अचरपद) उत्तर
प्रश्न 13. बहुपद 2x2−x−6 के शून्यांक ज्ञात कीजिये।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल— दिया गया बहुपद
2x2−x−6
⇒2x2−4x+3x−6
⇒2x(x−2)+3(x−2)
⇒(2x+3)(x−2)
∴(2x+3)(x−2)=0
x−2=0,∴x=2
2x+3=0,∴x=2−3
अतः 2x2−x−6 के शून्यांक 2,2−3 उत्तर
प्रश्न 14. बहुपद p(x)=(x+7)2−(5x+29) के शून्यांक ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल— (x+7)2−(5x+29)
=x2+14x+49−5x−29
=x2+9x+20
=x2+5x+4x+20
=x(x+5)+4(x+5)
=(x+5)(x+4)
(x+5)(x+4)=0
∴x+5=0⇒x=−5
∴x+4=0⇒x=−4
अतः बहुपद के शून्यांक −5,−4 हैं।
प्रश्न 15. द्विघात बहुपद p(x)=6x2+kx+7x का एक शून्यांक 31 है तो k का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल— ∵−31,p(x)=6x2+kx+7x का एक शून्यांक है।
∴p−31=0
⇒p−312+k+7−31=0
⇒96+k−37=0
⇒k=37−96
⇒k=35 उत्तर
दीर्घउत्तरीय प्रश्न—
प्रश्न 1. यदि (x) तथा (x) बहुपद 2x3+mx2+nx−14 के गुणनखण्ड हैं तो m तथा n के मान ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि f(x)=2x3+mx2+nx−14 है।
अतः (x) तथा (x) , f(x) के गुणनखण्ड होने चाहिए।
अतः f(1)=0 व f(−2)=0
व्यंजक 2x3+mx2+nx−14 में
∴f(1)=2(1)3+m(1)2+n(1)−14=0
⇒m+n−12=0 ...(i)
व्यंजक 2x3+mx2+nx−14 में
f(−2)=2(−2)3+m(−2)2+n(−2)−14=0
⇒4m−2n−30=0 ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
m+n=12 ...(iii)
2m−n=15 ...(iv)
जोड़ने पर 3m=27⇒ अतः m=9
समीकरण (iii) से n=3 उत्तर
प्रश्न 2. द्विघात बहुपद x2+7x+10 के शून्यांक ज्ञात कीजिए और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल— प्रश्नानुसार
x2+7x+10=(x+2)(x+5)
इसलिए x2+7x+10 का मान शून्य है, जब x+2=0 है या x+5=0 है, अर्थात् जब x=−2 या x=−5 हो। इसलिए, x2+7x+10 के शून्यांक −2 और −5 हैं। अब,
शून्यांकों का योग =−2+(−5)=(−7)
=−1(7)=−x2कागुणांक(xकागुणांक)
शून्यांकों का गुणनफल =(−2)×(−5)=10
=110=x2कागुणांकअचरपद उत्तर
अतः शून्यांकों −2 और −5 द्वारा भी योगफल व गुणनफल वही हैं, जो कि इनमें हैं।
∴ बहुपद के शून्यांकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।
प्रश्न 3. यदि α और β द्विघात बहुपद f(x)=x2−px+q के शून्यांक हैं तो निम्न का मान ज्ञात कीजिए।
(i)α2+β2(ii)α1+β1
हल— चूंकि α तथा β बहुपद f(x)=x2−px+q के शून्यांक हैं।
∴α+β=−1−p=p
αβ=1q=q
(i) α2+β2=(α+β)2−2αβ
=(p)2−2q=p2−2q
गणित-कक्षा 10
25
(ii) α1+β1=αββ+α=qp उत्तर
प्रश्न 4. यदि बहुपद p(x)=2x2+5x+k के शून्यांक α तथा β, सम्बन्ध α2+β2+αβ=421 को संतुष्ट करते हैं। तब k का मान लिखिए।
हल— दिया गया बहुपद p(x)=2x2+5x+K
∵α तथा β इसके शूनयक हैं तब
α+β=−ab=2−5
αβ=ac=2k
दिया सम्बन्ध है α2+β2+αβ=421
⇒(α+β)2−2αβ+αβ=421
⇒(α+β)2−αβ=421
⇒2−52−2k=421
⇒425−421=2k
⇒44=2k∴k=2 उत्तर
प्रश्न 5. यदि α तथा β बहुपद f(x)=5x2−7x+1 के शून्यांक हैं, तो βα+αβ का मान ज्ञात कीजिये।
हल— दिया गया है—
f(x)=5x2−7x+1
तब α+β=−ab=−5−7=57
तथा αβ=ac=51
अब βα+αβ=αβα2+β2
=αβ(α+β)2−2αβ)
मान रखने पर
=51572−2×51=512549−52
=512539=2539×15=539 उत्तर
प्रश्न 6. यदि α तथा β द्विघात बहुपद f(x)=ax2+bx+c के शून्यांक हों, तो
(i) α3+β3
(ii) α31+β31
(iii) βα2+αβ2 के मान ज्ञात कीजिये।
हल— ∵α तथा β द्विघात बहुपद के शून्यांक हैं।
f(x)=ax2+bx+c
∴α+β=a−b , और αβ=ac
(i) α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)
=a−b3−3aca−b
=a3−b3+a23bc=a3−b3+3abc
=a33abc−b3 उत्तर
(ii) α31+β31=α3β3β3+α3
=(αβ)3α3+β3=ac3a33abc−b3
⇒c33abc−b3
(iii) βα2+αβ2=αβα3+β3=aca33abc−b3
=a33abc−b3ca
=a2c3abc−b3 उत्तर
निबन्धात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. यदि (x) तथा (x) बहुपद x3+kx2+hx+6 के गुणनखण्ड हों तो h तथा k के मान ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि f(x)=x3+kx2+hx+6
इसके (x+1)(x−2) गुणनखण्ड होने चाहिए।
अतः f(−1)=0 तथा f(2)=0
∴f(−1)=(−1)3+k(−1)2+h(−1)+6=0
=−1+k−h+6=0
⇒k−h+5=0 ...(i)
तथा f(2)=(2)3+k(2)2+h(2)+6=0
=8+4k+2h+6=0
⇒4k+2h+14=0 ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर
समीकरण (i) को 2 से गुणा करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर
2k−2h=−10
4k+2h=−14
6k=−24
k=6−24=−4
k का मान समीकरण (i) में रखने पर
k−h=−5
−4−h=−5
−h=−5+4=−1
h=1
अतः h=1 तथा k=−4 प्राप्त होगा। उत्तर
प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि त्रिघात बहुपद p(x)=3x3−5x2−11x−3 के शून्यक 3,−1 और −31 हैं। इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल— दिए हुए बहुपद की ax3+bx2+cx+d से तुलना करने पर,
a=3,b=−5,c=−11,d=−3 है। पुनः,
p(3)=3×33−(5×32)−(11×3)−3
=81−45−33−3=0
p(−1)=3×(−1)3−5×(−1)2−11×(−1)−3
=−3−5+11−3=0
p−31=3×−313−5×−312−11×−31−3
=−91−95+311−3=−32+32=0
अतः, 3x3−5x2−11x−3 के शून्यक 3,−1 और −31 हैं।
इसलिए, हम α=3,β=−1 और γ=−31 लेते हैं। अब,
α+β+γ=3+(−1)+−31
=2−31=35=3−(−5)=a−b
αβ+βγ+γα=3×(−1)+(−1)×−31+−31×3
=−3+31−1=3−11=ac
और αβγ=3×(−1)×−31=1
=3−(−3)=a−d
अतः शून्यकों 3,−1 और −31 द्वारा भी योगफल व गुणनफल वही है जो कि इनमें है। ∴ बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।
प्रश्न 3. नीचे दी आकृति में y=p(x) के आलेख (ग्राफ) दिए गए हैं। प्रत्येक स्थिति में p(x) के शून्यक ज्ञात कीजिए।
(i) (ii)
गणित-कक्षा 10
27
[चार ग्राफ (iii), (iv), (v), (vi) दिखाए गए हैं जिनमें बहुपद के शून्यकों को x-अक्ष पर प्रतिच्छेदों की संख्या द्वारा दर्शाया गया है]
हल—(i) 1 (ii) 2 (iii) 3 (iv) कोई शून्य नहीं (v) 1 (vi) 4
प्रश्न 4. बहुपद f(x)=43x2+5x−23 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध को सत्यापित कीजिए।
हल—दिया है,
f(x)=43x2+5x−23
⇒f(x)=43x2+8x−3x−23
⇒f(x)=4x(3x+2)−3(3x+2)
⇒f(x)=(3x+2)(4x−3)
बहुपद f(x) के शून्यक ज्ञात करने के लिये f(x)=0 रखने पर
⇒(3x+2)(4x−3)=0
⇒3x+2=0 या 4x−3=0
⇒x=−32 या x=43
अतः बहुपद f(x) के शून्यक α=−32 और β=43 हैं।
∴α+β=−32+43=43−8+3=−435 ...(i)
तथा αβ=3−2×43=−21 ...(ii)
साथ ही, x2कागुणांकxकागुणांक=−435 ...(iii)
और x2कागुणांकअचरपद=43−23=−21 ...(iv)
अतः: शून्याकों का योग =x2कागुणांकxकागुणांक
[समी. (i) और (iii) से]
तथा शून्याकों का गुणनफल =x2कागुणांकअचरपद
[समी. (i) और (iv) से]
प्रश्न 5. द्विघात बहुपद 3x2+5x−2 के शून्यक ज्ञात कीजिये तथा शून्याकों एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध की जाँच कीजिये।
हल—माना f(x)=3x2+5x−2
या f(x)=3x2+6x−x−2
=3x(x+2)−1(x+2)
=(3x−1)(x+2)
अब f(x)=0 लेने पर
0=(3x−1)(x+2)
या 3x−1=0 या x+2=0
या x=31 या x=−2
अतः बहुपद 3x2+5x−2 के शून्यक 31 और −2 होंगे।
यहाँ शून्याकों का योग =31+(−2)=3−5
=x2कागुणांक−xकागुणांक
शून्याकों का गुणनफल =31×(−2)=3−2
=x2कागुणांकअचरपद
अतः बहुपद 3x2+5x−2 के शून्यक एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध सत्य है।
