RBSE Class 10 Mathematics Chapter 3 Solutions - in Hindi - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म - RajBoardExam

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

#### प्रश्नावली 3.1

प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइये और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए—

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिये लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

गणित-कक्षा 10

(ii) 5 पेंसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य $50$ रु. है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य $46$ रु. है। एक पेंसिल का मूल्य और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल— (i) माना कि प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या $=x$ और प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या $=y$ प्रतियोगिता में भाग लेने वाले कुल विद्यार्थी $=10$

$∴$ $x+y=10$

या $x+y-10=0$

प्रश्मानुसार $y=x+4$

या $x=y-4$

अब रैखिक समीकरणों $x+y=10$ और $x-y+4=0$ का आलेख खींचने पर $x+y=10$

या $x=10-y$ .... (1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर $x=10-0=10$

$y=7$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर $x=10-7=3$

$y=10$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर $x=10-10=0$

$x$	$10$	$3$	$0$
$y$	$0$	$7$	$10$

बिन्दुओं A $(10)$ , B $(3)$ , C $(0)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x+y=10$ का आलेख प्राप्त होता है।

$x-y+4=0$

या $x=y-4$ .... (2)

$y=0$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर $x=0-4=-4$

$y=7$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर $x=7-4=3$

$y=4$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर $x=4-4=0$

$x$	$-4$	$3$	$0$
$y$	$0$	$7$	$4$

बिन्दुओं D $(-4,0)$ , B $(3)$ , E $(0)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x-y+4=0$ का आलेख प्राप्त होता है। आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिन्दु B $(3)$ पर मिलते हैं।

$∴$ बिन्दु B $(3)$ आलेखीय स्थिति है।

अतः, प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या $=3$ प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या $=7$ उत्तर

(ii) माना कि $1$ पेंसिल का मूल्य $=x$ रु. और $1$ कलम का मूल्य $=y$ रु.

पहली शर्त के अनुसार,

$5x+7y=50$

दूसरी शर्त के अनुसार,

$7x+5y=46$

$∴$ रैखिक समीकरण युग्म है :

$5x+7y=50$

$7x+5y=46$

अब इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर

$5x+7y=50$

या $5x=50-7y$

या $x=\frac{50-7y}{5}$ .... (1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{50-7 \times 0}{5}=\frac{50}{5}$

$x=10$

$y=5$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

[Graph showing lines x+y=10 and x-y+4=0 intersecting at (3,7)]

कक्षा 10 गणित पाठ 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म चित्र 1

$x=\frac{50-7 \times 5}{5}=\frac{50-35}{5}$

$=\frac{15}{5}=3$

$y=10$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{50-7 \times 10}{5}$

$=\frac{50-70}{5}=\frac{-20}{5}$

$=-4$

$x$	$10$	$3$	$-4$
$y$	$0$	$5$	$10$

बिन्दुओं $A(10,0)$ , $B(3,5)$ , $C(-4,10)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $5x+7y=50$ का आलेख प्राप्त होता है।

अब दूसरे समीकरण से

$7x+5y=46$

या $7x=46-5y$

या $x=\frac{46-5y}{7}$ .... (2)

$y=12$ रखने पर,

$x=\frac{46-5 \times 12}{7}$

$x=\frac{46-60}{7}=\frac{-14}{7}$

$x=-2$

$y=5$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{46-5 \times 5}{7}=\frac{46-25}{7}$

$=\frac{21}{7}=3$

$y=-2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{46-5 \times (-2)}{7}$

$=\frac{46+10}{7}$

$x=\frac{56}{7}=8$

$x$	$-2$	$3$	$8$
$y$	$12$	$5$	$-2$

बिन्दुओं $D(-2,12)$ , $B(3,5)$ , $E(8,-2)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $7x+5y=46$ का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिन्दु $B(3,5)$ पर मिलते हैं।

$∴$ बिन्दु $B(3,5)$ आलेखीय स्थिति है।

अतः, एक पेंसिल का मूल्य $=3$ रु.

एक कलम का मूल्य $=5$ रु. उत्तर

[ग्राफ पेपर जिस पर दो रेखाएँ 5x + 7y = 50 और 7x + 5y = 46 खींची गई हैं, जो बिन्दु B(3, 5) पर प्रतिच्छेद करती हैं।]

कक्षा 10 गणित पाठ 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म चित्र 2

2. अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ , $\frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती हैं :

(i) $5x-4y+8=0$

$7x+6y-9=0$

(ii)

9x+3y+12=0

(iii)

6x-3y+10=0

$2x-y+9=0$

गणित-कक्षा 10 31

हल-(i) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$5x-4y+8=0$

और $7x+6y-9=0$

उक्त समीकरणों की तुलना $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=5,b_{1}=-4,c_{1}=8$

$a_{2}=7,b_{2}=6,c_{2}=-9$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}$ , $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}$ , $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}$

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती है। उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$9x+3y+12=0$

और $18x+6y+24=0$

उक्त समीकरणों की तुलना $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=9,b_{1}=3,c_{1}=12$

$a_{2}=18,b_{2}=6,c_{2}=24$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$ , $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई समीकरण-युग्म संपाती है। उत्तर

(iii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$6x-3y+10=0$

और $2x-y+9=0$

उक्त समीकरणों की तुलना $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=6,b_{1}=-3,c_{1}=10$

$a_{2}=2,b_{2}=-1,c_{2}=9$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{2}=3$ ; $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-1}=3$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{10}{9}$

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म एक-दूसरे के समान्तर है।

3. अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}},\frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :

(i) $3x+2y=5$ ; $2x-3y=7$

(ii) $2x-3y=8$ ; $4x-6y=9$

(iii) $\frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y=7$ ; $9x-10y=14$

(iv) $5x-3y=11$ ; $-10x+6y=-22$

(v) $\frac{4}{3}x+2y=8$ ; $2x+3y=12$

हल-(i) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$3x+2y=5$

और $2x-3y=7$

या $3x+2y-5=0$

और $2x-3y-7=0$

यहाँ $a_{1}=3,b_{1}=2,c_{1}=-5$

$a_{2}=2,b_{2}=-3,c_{2}=-7$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2},\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{-3},\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7}$

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$2x-3y=8$

और $4x-6y=9$

या $2x-3y-8=0$

$4x-6y-9=0$

यहाँ $a_{1}=2,b_{1}=-3,c_{1}=-8$

$a_{2}=4,b_{2}=-6,c_{2}=-9$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-9}=\frac{8}{9}$

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है। उत्तर

(iii) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$\frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y=7$

और $9x-10y=14$

या $\frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y-7=0$

और $9x-10y-14=0$

यहाँ $a_{1}=\frac{3}{2},b_{1}=\frac{5}{3},c_{1}=-7$

$a_{2}=9,b_{2}=-10,c_{2}=-14$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{9}=\frac{1}{6}$ ,

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=\frac{5}{3 \times -10}=-\frac{1}{6}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

(iv) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$5x-3y=11$

और $-10x+6y=-22$

या $5x-3y-11=0$

और $-10x+6y+22=0$

यहाँ $a_{1}=5,b_{1}=-3,c_{1}=-11$

$a_{2}=-10,b_{2}=6,c_{2}=22$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2}$ ;

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-11}{22}=\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$ *(Note: text shows $-\frac{1}{2}$ )*

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

(v) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$\frac{4}{3}x+2y=8$

और $2x+3y=12$

और $\frac{4}{3}x+2y-8=0$

या $2x+3y-12=0$

यहाँ $a_{1}=\frac{4}{3},b_{1}=2,c_{1}=-8$

$a_{2}=2,b_{2}=3,c_{2}=-12$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$ ;

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{3},\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$∴$ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं सम्पाती होंगी।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौनसे युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :

(i) $x+y=5,2x+2y=10$

(ii) $x-y=8,3x-3y=16$

(iii) $2x+y-6=0,4x-2y-4=0$

(iv) $2x-2y-2=0,4x-4y-5=0$

हल—(i) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$x+y=5$

और $2x+2y=10$

या $x+y-5=0$

$2x+2y-10=0$

उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=1,b_{1}=1,c_{1}=-5$

$a_{2}=2,b_{2}=2,c_{2}=-10$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2},\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2},\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$∴$ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।

--- | ---

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

$∴$ दी गई रैखिक समीकरण युग्म का आलेख खींचने पर

$x+y=5$

$x=5-y$ ....(1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-0=5$

$y=3$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-3=2$

$y=5$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-5=0$

$x$	5	3	0
$y$	0	2	5

बिन्दुओं $A(5,0)$ , $D(3,2)$ , $C(0,5)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $2x+2y=10$ का आलेख प्राप्त होता है। आलेख से स्पष्ट है कि दी गई रैखिक समीकरण युग्म संपाती रेखाएँ हैं इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$x-y=8$

और $3x-3y=16$

या $x-y-8=0$

और $3x-3y-16=0$

उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=1,b_{1}=-1,c_{1}=-8$

$a_{2}=3,b_{2}=-3,c_{2}=-16$

अब, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3};\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-16}=\frac{1}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है। उत्तर

(iii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$2x+y-6=0$

और $4x-2y-4=0$

यहाँ $a_{1}=2,b_{1}=1,c_{1}=-6$

$a_{2}=4,b_{2}=-2,c_{2}=-4$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

दिये गये समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।

$x$	5	2	0
$y$	0	3	5

[Cartesian plane showing linear equations x+y=5 and 2x+2y=10 intersecting/coincident with points A(5,0), B(2,3), C(0,5), D(3,2) and scale on axes]

कक्षा 10 गणित पाठ 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म चित्र 3

बिन्दुओं $A(5,0)$ , $B(2,3)$ , $C(0,5)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x+y=5$ का आलेख प्राप्त होता है।

पुनः $2x+2y=10$

या $2(x+y)=10$

या $x+y=5$

या $x=5-y$ ....(2)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-0=5$

$y=2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-2=3$

$y=5$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-5=0$

$∵$ दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर

$2x+y-6=0$

या $2x=6-y$

या $x=\frac{6-y}{2}$ .... (1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3$

$y=2$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{6-2}{2}$

$=\frac{4}{2}=2$

$y=-2$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{6-(-2)}{2}=\frac{6+2}{2}$

$=\frac{8}{2}=4$

$x$	$3$	$2$	$4$
$y$	$0$	$2$	$-2$

बिन्दुओं $A(3,0)$ , $B(2,2)$ , $C(4,-2)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $2x+y-6=0$ का आलेख प्राप्त होता है।

पुनः $4x-2y-4=0$

या $2[2x-y-2]=0$

या $2x-y-2=0$

या $2x=y+2$

या $x=\frac{y+2}{2}$ .... (2)

$y=0$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{0+2}{2}=\frac{2}{2}=1$

$y=2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}=2$

$y=-2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0$

$x$	$1$	$2$	$0$
$y$	$0$	$2$	$-2$

बिन्दुओं $D(1,0)$ , $B(2,2)$ , $E(0,-2)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $4x-2y-4=0$ का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दी गई समीकरण-युग्म बिन्दु $B(2,2)$ पर मिलती है।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल है। उत्तर

[रैखिक समीकरण युग्म 2x + y - 6 = 0 और 4x - 2y - 4 = 0 का आलेखीय निरूपण]

कक्षा 10 गणित पाठ 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म चित्र 4

(iv) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$2x-2y-2=0$

और $4x-4y-5=0$

यहाँ $a_{1}=2,b_{1}=-2,c_{1}=-2$

$a_{2}=4,b_{2}=-4,c_{2}=-5$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ , $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

$∵$ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण युग्म असंगत है। उत्तर

**5. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से $4 m$ अधिक है, का अर्ध परिमाप $36 m$ है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।**

हल— माना कि बाग की लम्बाई $=x m$

बाग की चौड़ाई $=y m$

गणित-कक्षा 10 35

$∵$ बाग का परिमाप $=2[x+y]m$

बाग के परिमाप का आधा $=(x+y)m$

प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,

$x=y+4$

प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,

$x+y=36$

$∵$ रैखिक समीकरण-युग्म है :

$x=y+4$

और $x+y=36$

$x=y+4$ ...(1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=0+4=4$

$y=-4$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=-4+4=0$

$y=16$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=16+4=20$

$x$	$4$	$0$	$20$
$y$	$0$	$-4$	$16$

बिन्दुओं $A(4,0)$ , $B(0,-4)$ , $C(20,16)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x=y+4$ का आलेख प्राप्त होता है।

[रैखिक समीकरणों x = y + 4 और x + y = 36 का आलेखीय निरूपण जिसमें बिंदु A(4,0), B(0,-4), C(20,16), D(24,12), E(12,24) दर्शाए गए हैं।]

कक्षा 10 गणित पाठ 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म चित्र 5

पुन: $x+y=36$

$x=36-y$ .... (2)

$y=12$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=36-12=24$

$y=24$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=36-24=12$

$y=16$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=36-16=20$

$x$	$24$	$12$	$20$
$y$	$12$	$24$	$16$

बिन्दुओं $D(24,12)$ , $E(12,24)$ , $C(20,16)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x+y=36$ का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु $C(20,16)$ पर मिलता है।

$∵C(20,16)$ अर्थात् $x=20$ और $y=16$ रैखिक समीकरण युग्म का हल है।

अत:, बाग की लम्बाई $=20 m$

उत्तर

बाग की चौड़ाई $=16 m$

6. एक रैखिक समीकरण $2x+3y-8=0$ दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों

(ii) समान्तर रेखाएँ हों

(iii) संपाती रेखाएँ हों।

हल—दिया गया रैखिक समीकरण

$2x+3y-8=0$

इस समीकरण की व्यापक रैखिक समीकरण $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ से तुलना करने पर,

$a_{1}=2$ , $b_{1}=3$ , $c_{1}=-8$

(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त—

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}}$

$⇒\frac{2}{a_{2}} \ne \frac{3}{b_{2}}$

अर्थात् $a_{2}$ का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और $b_{2}$ का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।

जहाँ $a_{2} \ne 2$ अथवा $b_{2} \ne 3$ और $a_{2} \ne 0$ , $b_{2} \ne 0$ है।

अतः सम्भावित रैखिक समीकरण $3x+2y-7=0$ प्रकार की होगी। उत्तर

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त—

क बुक्स

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

$\frac{2}{3}=\frac{3}{b_{2}} \ne \frac{-8}{c_{2}}$

$∴\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}}$

$⇒\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{2}{3}$

अर्थात् $a_{2}$ और $b_{2}$ का मान $2:3$ में होना चाहिए।

माना $a_{2}=2k$ तथा $b_{2}=3k$ , जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।

$∴\frac{3}{b_{2}} \ne \frac{-8}{c_{2}}$

$⇒\frac{3}{3k} \ne \frac{-8}{c_{2}}$

$⇒c_{2} \ne -8k$

अतः अभीष्ट रैखिक समीकरण

$2kx+3ky-mk=0,m \ne -8$

अतः सम्भावित रैखिक समीकरण $2x+3y-12=0$ प्रकार की होगी। उत्तर

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$⇒\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}}=\frac{-8}{c_{2}}=\frac{1}{k}$

$⇒a_{2}=2k,b_{2}=3k$ और $c_{2}=-8k$

अतः अभीष्ट समीकरण $2kx+3ky-8k=0$ , जहाँ $k$ एक आनुपातिक स्थिरांक है।

अतः सम्भावित रैखिक समीकरण $4x+6y-16=0$ प्रकार की होगी।

7. समीकरणों $x-y+1=0$ और $3x+2y-12=0$ का ग्राफ खींचिए। $x$ -अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

हल— रैखिक समीकरण-युग्म लेने पर

$x-y+1=0$

और $3x+2y-12=0$

$x-y+1=0$

या $x=y-1$ .... (1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=0-1=-1$

$y=3$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=3-1=2$

$y=1$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=1-1=0$

$x$	$-1$	$2$	$0$
$y$	$0$	$3$	$1$

बिन्दुओं $A(-1,0)$ , $B(2,3)$ , $C(0,1)$ को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x-y+1=0$ का आलेख प्राप्त होता है।

[Graph showing lines x - y + 1 = 0 and 3x + 2y - 12 = 0 intersecting at B(2, 3) and forming a triangle with x-axis]

कक्षा 10 गणित पाठ 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म चित्र 6

$3x+2y-12=0$

या $3x=12-2y$

या $x=\frac{12-2y}{3}$ .... (2)

$y=0$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{12-2 \times 0}{3}=\frac{12}{3}=4$

$y=3$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{12-2 \times 3}{3}=\frac{12-6}{3}$

$=\frac{6}{3}=2$

$y=6$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

गणित-कक्षा 10

$x=\frac{12-2 \times 6}{3}$

$x=\frac{12-12}{3}=\frac{0}{3}=0$

$x$	$4$	$2$	$0$
$y$	$0$	$3$	$6$

बिन्दुओं $D(4,0)$ , $B(2,3)$ , $E(0,6)$ को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण $3x+2y-12=0$ आलेख प्राप्त होता है।

रैखिक समीकरणों के युग्म और $x$ -अक्ष द्वारा बनाए गए त्रिभुज के शीर्षों को आलेख में छायांकित किया गया है। $\Delta ABD$ इस प्रकार बना त्रिभुज है। $\Delta ABD$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं : $A(-1,0)$ , $B(2,3)$ और $D(4,0)$ उत्तर

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

(i) $x+y=14$

$x-y=4$

(ii)

s-t=3

(iii)

3x-y=3

$9x-3y=9$

(iv)

0.2x+0.3y=1.3

(v)

\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0

$\sqrt{3}x-\sqrt{8}y=0$

(vi) $\frac{3x}{2}-\frac{5y}{3}=-2$

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

हल—(i) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$x+y=14$ ....(1)

और $x-y=4$ ....(2)

(2) से, $x=4+y$ ....(3)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$4+y+y=14$

या $2y=14-4$

या $2y=10$

या $y=\frac{10}{2}=5$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=4+5=9$

अतः, $x=9$ और $y=5$ उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$s-t=3$ ....(1)

और $\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

या $\frac{2s+3t}{6}=6$

या $2s+3t=36$ ....(2)

(1) से, $s=3+t$ ....(3)

$s$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2(3+t)+3t=36$

या $6+2t+3t=36$

या $6+5t=36$

या $5t=36-6$

या $5t=30$

या $t=\frac{30}{5}=6$

$t$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$s=3+6=9$

अतः, $s=9$ और $t=6$ उत्तर

(iii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$3x-y=3$ ....(1)

और $9x-3y=9$ ....(2)

(1) से,

$3x-3=y$

या $y=3x-3$ ....(3)

$y$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$9x-3(3x-3)=9$

या $9x-9x+9=9$

या $9=9$

यह कथन $x$ के सभी मानों के लिए सत्य है। फिर भी हम $x$ का कोई विशेष मान हल के रूप में प्राप्त नहीं कर सकते। इसलिए हम $y$ का भी कोई मान प्राप्त नहीं कर सकते। यह स्थिति इसलिए पैदा हुई क्योंकि दी गई दोनों समीकरण एक ही हैं।

अतः, समीकरण (1) और (2) के असीमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$0.2x+0.3y=1.3$

या $\frac{2}{10}x+\frac{3}{10}y=\frac{13}{10}$

या $2x+3y=13$ .... (1)

या $0.4x+0.5y=2.3$

या $\frac{4}{10}x+\frac{5}{10}y=\frac{23}{10}$

या $4x+5y=23$ .... (2)

(1) से, $2x=13-3y$

या $x=\frac{13-3y}{2}$ .... (3)

$x$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$4\frac{13-3y}{2}+5y=23$

$26-6y+5y=23$

$-y=23-26=-3$

$y=3$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{13-3 \times 3}{2}$

$=\frac{13-9}{2}=\frac{4}{2}=2$

अतः, $x=2$ और $y=3$ उत्तर

(v) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$ .... (1)

और $\sqrt{3}x-\sqrt{8}y=0$ .... (2)

(2) से, $\sqrt{3}x=\sqrt{8}y$

या $x=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}y$ .... (3)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$\sqrt{2}\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}y+\sqrt{3}y=0$

या $\frac{4}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}y=0$

या $y=0$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} \times 0=0$

अतः, $x=0$ और $y=0$ उत्तर

(vi) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$\frac{3}{2}x-\frac{5}{3}y=-2$

$\frac{9x-10y}{6}=-2$

या $9x-10y=-12$ .... (1)

या $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

या $\frac{2x+3y}{6}=\frac{13}{6}$

या $2x+3y=\frac{13}{6} \times 6$

या $2x+3y=13$ .... (2)

(1) से, $9x=10y-12$

या $x=\frac{10y-12}{9}$ .... (3)

$x$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2\frac{10y-12}{9}+3y=13$

या $\frac{20y-24}{9}+3y=13$

या $\frac{20y-24+27y}{9}=13$

या $47y-24=13 \times 9=117$

या $47y=117+24=141$

या $y=\frac{141}{47}=3$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{10 \times 3-12}{9}=\frac{30-12}{9}$

$=\frac{18}{9}=2$

अतः, $x=2$ और $y=3$ उत्तर

2. $2x+3y=11$ और $2x-4y=-24$ को हल कीजिए और इससे ' $m$ ' का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $y=mx+3$ हो।

हल— दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$2x+3y=11$ .... (1)

और $2x-4y=-24$ .... (2)

(2) से,

$2x=4y-24$

गणित-कक्षा 10

या $2x=2[2y-12]$

या $x=2y-12$ .... (3)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$2(2y-12)+3y=11$

या $4y-24+3y=11$

या $7y=11+24$

या $7y=35$

या $y=\frac{35}{7}=5$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=2(5)-12$

$=10-12=-2$

अब $y=mx+3$ लीजिए।

$x=-2,y=5$ प्रतिस्थापित करने पर

$5=m(-2)+3$

या $5-3=-2m$

या $2=-2m$

या $-2m=2$

या $m=-1$

अतः, $x=-2,y=5$ और $m=-1$ उत्तर

3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए—

(i) दो संख्याओं का अन्तर $26$ है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से $18$ डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने $7$ बल्ले तथा $6$ गेंदें $3800$ रु. में खरीदें। बाद में, उसने $3$ बल्ले और $5$ गेंदें $1750$ रु. में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। $10 km.$ की दूरी के लिए भाड़ा $105$ रु. है तथा $15 km.$ के लिए भाड़ा $155$ रु. है। नियत भाड़ा तथा प्रति $km.$ भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को $25 km.$ यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में $2$ जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{9}{11}$ हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में $3$ जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{5}{6}$ हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?

उत्तर—(i) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं, पहली शर्त के अनुसार,

$x-y=26$ ....(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$x=3y$ ....(2)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3y-y=26$

या $2y=26$

या $y=\frac{26}{2}=13$

$y$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=3 \times 13=39$

अतः दो संख्याएँ $39,13$ हैं। उत्तर

(ii) माना कि दो संपूरक कोण $x^{∘},y^{∘}$ हैं और $x^{∘}>y^{∘}$

पहली शर्त के अनुसार,

$x+y=180^{∘}$ ....(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$x=y+18^{∘}$ ....(2)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$y+18^{∘}+y=180^{∘}$

या $2y=180^{∘}-18^{∘}$

या $2y=162^{∘}$

या $y=\frac{162^{∘}}{2}=81^{∘}$

$y$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=81^{∘}+18^{∘}=99^{∘}$

अतः अभीष्ट कोण $99^{∘},81^{∘}$ हैं। उत्तर

(iii) माना कि एक बल्ले का मूल्य $=x$ रु. और एक गेंद का मूल्य $=y$ रु.

पहली शर्त के अनुसार,

$7x+6y=3800$ रु. ....(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$3x+5y=1750$ रु. ....(2)

(1) से, $7x=3800-6y$

या $x=\frac{3800-6y}{7}$ ....(3)

$x$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$3\frac{3800-6y}{7}+5y=1750$

या $\frac{11400-18y+35y}{7}=1750$

या $11400+17y=1750 \times 7$

या $11400+17y=12250$

या $17y=12250-11400$

या $17y=850$

या $y=\frac{850}{17}=50$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{3800-6 \times 50}{7}$

$x=\frac{3800-300}{7}$

$x=\frac{3500}{7}$

$x=500$

अतः, एक बल्ले का मूल्य $=500$ रु. और एक गेंद का मूल्य $=50$ रु. उत्तर

(iv) माना कि टैक्सी का निश्चित किराया $=x$ रु. और एक km यात्रा का किराया $=y$ रु.

पहली शर्त के अनुसार,

$x+10y=105$ .... (1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$x+15y=155$ .... (2)

(1) से,

$x=105-10y$ .... (3)

$x$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$105-10y+15y=155$

या $5y=155-105$

या $5y=50$

या $y=\frac{50}{5}=10$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=105-10 \times 10$

$x=105-100=5$

अतः, टैक्सी का निश्चित किराया $=5$ रु. और $1$ किमी. यात्रा का किराया $=10$ रु.

साथ ही $25$ किमी. यात्रा का किराया $=x+25y$

$=(10 \times 25)$ रु. $+5$ रु.

$=[250+5]$ रु.

$=255$ रु. उत्तर

(v) माना भिन्न का अंश $x$ तथा हर $y$ है।

$∴$ अभीष्ट भिन्न $=\frac{x}{y}$

पहली शर्त के अनुसार,

$\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}$

या $11(x+2)=9(y+2)$

या $11x+22=9y+18$

या $11x=9y+18-22$

या $11x=9y-4$

या $x=\frac{9y-4}{11}$ .... (1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}$

या $6(x+3)=5(y+3)$

या $6x+18=5y+15$

या $6x-5y=15-18$

या $6x-5y=-3$ .... (2)

$x$ का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$6\frac{9y-4}{11}-5y=-3$

या $\frac{54y-24}{11}-5y=-3$

या $\frac{54y-24-55y}{11}=-3$

या $-y-24=-3 \times 11$

या $-y=-33+24$

या $-y=-9$

या $y=9$

$y$ का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{9 \times 9-4}{11}=\frac{81-4}{11}$

$=\frac{77}{11}=7$

अतः, अभीष्ट भिन्न $\frac{7}{9}$ है। उत्तर

(vi) माना कि जैकब की वर्तमान आयु $=x$ वर्ष और जैकब के बेटे की वर्तमान आयु $=y$ वर्ष

गणित-कक्षा 10 41

पाँच वर्ष पश्चात् जैकब की आयु $=(x+5)$ वर्ष

उसके पुत्र की आयु $=(y+5)$ वर्ष

पहली शर्त के अनुसार,

$x+5=3(y+5)$

या $x+5=3y+15$

या $x=3y+15-5$

या $x=3y+10$ .... (1)

पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु $=(x-5)$ वर्ष

उसके पुत्र की आयु $=(y-5)$ वर्ष

दूसरी शर्त के अनुसार,

$x-5=7(y-5)$

या $x-5=7y-35$

या $x-7y=-35+5$

या $x-7y=-30$ .... (2)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3y+10-7y=-30$

या $-4y=-30-10$

या $-4y=-40$

या $y=10$

$y$ का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=3(10)+10$

$=30+10=40$

अतः जैकब की वर्तमान आयु $=40$ वर्ष

तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु $=10$ वर्ष ${}$ उत्तर

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिये। कौनसी विधि अधिक उपयुक्त है?

(i) $x+y=5$ और $2x-3y=4$

(ii) $3x+4y=10$ और $2x-2y=2$

(iii) $3x-5y-4=0$ और $9x=2y+7$

(iv) $\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$ और $x-\frac{y}{3}=3$

हल—(i) दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है :

$x+y=5$ .... (1)

और $2x-3y=4$ .... (2)

विलोपन विधि—

(1) को 2 से गुणा करने पर

$2x+2y=10$ .... (3)

समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर

$2x+2y=10$

$2x-3y=4$

$-(+)(-)$

$5y=6$

या $y=\frac{6}{5}$

$y$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x+\frac{6}{5}=5$

या $x=5-\frac{6}{5}$

$=\frac{25-6}{5}=\frac{19}{5}$

अतः, $x=\frac{19}{5}$ और $\frac{6}{5}$ उत्तर

प्रतिस्थापन विधि—

(2) से, $2x=4+3y$

या $x=\frac{4+3y}{2}$ .... (4)

$x$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$\frac{4+3y}{2}+y=5$

या $\frac{4+3y+2y}{2}=5$

या $4+5y=10$

या $5y=10-4=6$

या $y=\frac{6}{5}$

$y$ का यह मान (4) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{4+3 \times \frac{6}{5}}{2}=\frac{4+\frac{18}{5}}{2}$

$=\frac{\frac{20+18}{5}}{2}=\frac{\frac{38}{5}}{2}$

$=\frac{20+18}{5 \times 2}=\frac{38}{5 \times 2}$

$=\frac{19}{5}$

अतः $x=\frac{19}{5}$ और $y=\frac{6}{5}$ उत्तर

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :

$3x+4y=10$ .... (1)

और $2x-2y=2$ .... (2)

विलोपन विधि—

समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर

क बुक्स

$4x-4y=4$ ....(3)

समीकरण (3) और (1) को जोड़ने पर

$4x-4y=4$

3x + 4y = 10

$7x=14$

या $x=\frac{14}{7}=2$

$x$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3(2)+4y=10$

या $6+4y=10$

या $4y=10-6$

या $4y=4$

या $y=\frac{4}{4}=1$

अतः, $x=2$ और $y=1$ उत्तर

प्रतिस्थापन विधि—

(2) से, $2x=2+2y$

या $x=y+1$ ....(3)

$x$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3(y+1)+4y=10$

या $3y+3+4y=10$

या $7y=10-3$

या $7y=7$

या $y=1$

$y$ का यह मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=1+1=2$

अतः, $x=2$ और $y=1$ उत्तर

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :

$3x-5y-4=0$ .... (1)

और $9x=2y+7$

या $9x-2y-7=0$ .... (2)

विलोपन् विधि—

समीकरण (1) को $3$ से गुणा करने पर

$9x-15y-12=0$ .... (3)

समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर

$9x-15y-12=0$

9x - 2y - 7 = 0

$-++$

- 13y - 5 = 0

या $-13y=5$

या $y=-\frac{5}{13}$

$y$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3x-5-\frac{5}{13}-4=0$

या $3x+\frac{25}{13}-4=0$

या $3x=4-\frac{25}{13}$

या $3x=\frac{52-25}{13}=\frac{27}{13}$

या $x=\frac{27}{13} \times \frac{1}{3}=\frac{9}{13}$

अतः, $x=\frac{9}{13}$ और $y=\frac{-5}{13}$ उत्तर

प्रतिस्थापन विधि—

(2) से, $x=\frac{2y+7}{9}$ ....(4)

$x$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3\frac{2y+7}{9}-5y-4=0$

या $\frac{2y+7-15y-12}{3}=0$

या $-13y-5=0$

या $-13y=5$

या $y=-\frac{5}{13}$

$y$ का यह मान (4) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=\frac{1}{9}2-\frac{5}{13}+7$

$=\frac{1}{9}\frac{-10}{13}+7$

$=\frac{1}{9}\frac{-10+91}{13}=\frac{81}{13}$

$=\frac{1}{9} \times \frac{81}{13}=\frac{9}{13}$

अतः, $x=\frac{9}{13}$ और $y=\frac{-5}{13}$ उत्तर

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :

गणित-कक्षा 10

$\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$

या $\frac{3x+4y}{6}=-1$

या $3x+4y=-6$ ....(1)

या $x-\frac{y}{3}=3$

या $\frac{3x-y}{3}=3$

या $3x-y=9$ ....(2)

विलोपन विधि–

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर

$3x+4y=-6$

$3x-y=9$

$-+-$

$5y=-15$

या $y=\frac{-15}{5}=-3$

$y$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3x+4(-3)=-6$

या $3x-12=-6$

या $3x=-6+12$

या $3x=6$

या $x=\frac{6}{3}=2$

अतः, $x=2,y=-3$ उत्तर

प्रतिस्थापन विधि–

(2) से, $y=3x-9$ ....(3)

$y$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$3x+4(3x-9)=-6$

या $3x+12x-36=-6$

या $15x=-6+36$

या $15x=30$

या $x=\frac{30}{15}=2$

$x$ का यह मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$y=3(2)-9$

$=6-9=-3$

अतः, $x=2,y=-3$ उत्तर

2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह $\frac{1}{2}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी, दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?

(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

(iv) मीना 2000 रु. निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांजी से 50 रु. तथा 100 रु. के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु. और 100 रु. के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।

(v) किराये पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु. अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रु. अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

हल—(i) माना कि भिन्न का अंश $=x$

भिन्न का हर $=y$

$∴$ अभीष्ट भिन्न $=\frac{x}{y}$

पहली शर्त के अनुसार,

$\frac{x+1}{y-1}=1$

या $x+1=y-1$

या $x-y+2=0$ ....(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}$

या $2x=y+1$

या $2x-y-1=0$ ....(2)

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर

$2x-y-1=0$

$x-y+2=0$

$-+-$

$x-3=0$

या $x=3$

$x$ का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2 \times 3-y-1=0$

या $6-y-1=0$

या $5-y=0$

या $y=5$

अतः, अभीष्ट भिन्न $\frac{3}{5}$ है। उत्तर

(ii) माना कि नूरी की वर्तमान आयु $=x$ वर्ष

सोनू की वर्तमान आयु $=y$ वर्ष

पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु $=(x-5)$ वर्ष

सोनू की आयु $=(y-5)$ वर्ष

पहली शर्त के अनुसार,

$x-5=3(y-5)$

या $x-5=3y-15$

या $x-3y+10=0$ .... (1)

दस वर्ष पश्चात् नूरी की आयु $=(x+10)$ वर्ष

सोनू की आयु $=(y+10)$ वर्ष

दूसरी शर्त के अनुसार,

$x+10=2(y+10)$

या $x+10=2y+20$

या $x-2y-10=0$ .... (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर

$x-3y+10=0$

$x-2y-10=0$

$()$ $()$ $()$

$-y+20=0$

या $-y=-20$

या $y=20$

$y$ का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x-2(20)-10=0$

या $x-40-10=0$

या $x=50$

अतः, नूरी की वर्तमान आयु $=50$ वर्ष

सोनू की वर्तमान आयु $=20$ वर्ष उत्तर

(iii) माना कि इकाई का अंक $=x$

दहाई का अंक $=y$

$∴$ अभीष्ट संख्या $=10y+x$

पहली शर्त के अनुसार,

$x+9=9$ .... (1)

संख्याएँ पलटने पर

इकाई का अंक $=y$

दहाई का अंक $=x$

$∴$ संख्या $=10x+y$

दूसरी शर्त के अनुसार,

$9[10y+x]=2[10x+y]$

या $90y+9x=20x+2y$

या $90y+9x-20x-2y=0$

या $-11x+88y=0$

या $x-8y=0$ .... (2)

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर

$x-8y=0$

$x+y=9$

$()$ $()$ $()$

$-9y=-9$

$y=1$

$y$ का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x-8 \times 1=0$

या $x=8$

अतः, अभीष्ट संख्या $=10y+x$

$=10 \times 1+8$

$=18$ उत्तर

(iv) माना कि मीना को मिले $50$ रु. के नोटों की संख्या $=x$

साथ ही, मीना को प्राप्त $100$ रु. के नोटों की संख्या $=y$

पहली शर्त के अनुसार,

$x+y=25$ .... (1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$50x+100y=2000$

या $x+2y=40$ .... (2)

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर

$x+2y=40$

$x+y=25$

$()$ $()$ $()$

$y=15$

$y$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x+15=25$

या $x=25-15=10$

अतः, मीना को मिले $50$ और $100$ के नोटों की संख्या क्रमशः $10$ और $15$ है। उत्तर

(v) माना कि पहले तीन दिन के लिए निश्चित किराया $=x$ रु.

गणित-कक्षा 10 45

उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त किराया $=y$ रु.

सरिता की स्थिति में

$x+4y=27$ ....(1)

सूसी की स्थिति में,

$x+2y=21$ ....(2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर

$x+4y=27$

$x+2y=21$

$---$

$2y=6$

या $y=\frac{6}{2}=3$

$y$ का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x+2 (3)=21$

या $x+6=21$

या $x=21-6=15$

अतः पहले तीन दिन के लिए नियत किराया और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त किराया क्रमशः $15$ रु. और $3$ रु. है। उत्तर

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि—हम एक रैखिक समीकरण युग्म के हल ज्ञात करने की निम्नांकित विधियों को जानते हैं-
(i) प्रतिस्थापन विधि—इस विधि में हम एक चर का मान दूसरे चर के पद में व्यक्त करके रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं। इसलिये इस विधि को प्रतिस्थापन विधि कहते हैं।
इस विधि में प्रक्रिया पद निम्न प्रकार हैं—
पद I—माना कि दिये गये समीकरण :
$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0............(1)$
तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0............(2)$
पद II—उपरोक्त दोनों समीकरणों में से कोई एक समीकरण चुनते हैं माना कि समी. (1) किसी चर राशि का मान दूसरी चर राशि के पदों में प्राप्त करते हैं, माना कि $y$ का मान $x$ के पदों में लेते हैं।
पद III—अब $y$ का मान जो कि पद II में प्राप्त किया गया है, दूसरे समीकरण में अर्थात् समीकरण (2) में रखते हैं ताकि $x$ के मान में समीकरण प्राप्त हो जाये।
पद IV—पद III द्वारा प्राप्त समीकरण को हल करके $x$ का मान प्राप्त करते हैं।
पद V—पद IV द्वारा प्राप्त $x$ का मान पद II द्वारा प्राप्त समीकरण में रखते हैं। इससे हमें $y$ का मान प्राप्त हो जायेगा।
पद VI—इस प्रकार पद IV व पद V द्वारा प्राप्त क्रमशः $x$ व $y$ के मान ही दिये गये युगपत समीकरण का हल होता है।
(ii) विलोपन विधि—इस विधि में हम किसी भी एक चर को विलुप्त करके, एक चर में एक रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं। उस रैखिक समीकरण को हल करके किसी भी एक चर राशि का मान प्राप्त करते हैं। उस मान को किसी भी समीकरण में रखकर दूसरी चर राशि का मान निकाला जा सकता है।
विलोपन विधि में प्रक्रिया पद निम्न प्रकार हैं—
पद I—दोनों समीकरणों को ऐसी उपयुक्त संख्याओं से गुणा करते हैं ताकि प्राप्त दोनों समीकरणों के दो चर राशियों में से किसी एक चर राशि के गुणांक समान हो जायें।
पद II—अब पद I द्वारा प्राप्त दोनों समीकरणों को आवश्यकतानुसार जोड़कर या घटाकर समान गुणांकों वाली राशि को विलुप्त करते हैं।
पद III—पद II द्वारा प्राप्त एक चर राशि के समीकरण को हल करके अज्ञात चर राशि का मान प्राप्त करते हैं।
पद IV—पद III द्वारा प्राप्त चर राशि का मान किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरी अज्ञात चर राशि का मान प्राप्त करते हैं।
पद V—इस प्रकार पद III व पद IV द्वारा प्राप्त चर राशि के मान दिये गये युगपत समीकरण के हल होते हैं।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
#### बहुविकल्पीय प्रश्न—
प्रश्न 1. $k$ के किस मान के लिए समीकरण युग्म $x+y-4=0$ , $2x+ky-3=0$ का कोई हल नहीं होगा?
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

(A) $0$

(B) $2$

(C) $6$

(D) $8$

प्रश्न 2. समीकरण $3x+2y=7$ में यदि $x$ का मान $5$ हो तो $y$ का मान है-
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

(A) $4$

(B) $-8$

(C) $-4$

(D) $0$

प्रश्न 3. समीकरण $3x-5y+K=0$ में यदि $x=2$ तथा $y=-2$ हो तो $K$ का मान है-
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

(A) $16$

(B) $-6$

(C) $6$

(D) $-16$

प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म के हल हैं-
$X+Y=4$ , $X-Y=2$
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )

(A) $X=3,Y=1$

(B) $X=1,Y=3$

(C) $X=Y=2$

(D) $X=4,Y=0$

प्रश्न 5. यदि $2x+y=6$ हो तो इसको सन्तुष्ट करने वाला युग्म है-
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23 )

(A) $(1)$

(B) $(2)$

(C) $(2)$

(D) $(1)$

प्रश्न 6. यदि $\frac{4}{x}+5y=7$ तथा $x=-\frac{4}{3}$ हो, तो $y$ का मान होगा-

(A) $\frac{37}{15}$

(B) $2$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{1}{3}$

प्रश्न 7. समीकरण $\frac{y-3}{7}-\frac{x}{2}=1$ में यदि $y=10$ हो, तो $x$ बराबर है-

(A) $0$

(B) $1$

(C) $-2$

(D) $2$

प्रश्न 8. पिता की आयु पुत्र की आयु की तिगुनी है, यदि पिता की आयु $x$ वर्ष है, तो $5$ वर्ष बाद पुत्र की आयु होगी-

(A) $3x+5$

(B) $x+5$

(C) $\frac{x}{3}+5$

(D) $\frac{x+5}{3}$

प्रश्न 9. यदि किसी संख्या में इकाई का अंक $a$ तथा दहाई का अंक $b$ हो, तो वह संख्या है-

(A) $10a+b$

(B) $a+10b$

(C) $a+b$

(D) $ab$

प्रश्न 10. आश्रित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण $-5x+7y=2$ है। दूसरा समीकरण हो सकता है-

(A) $10x+14y+4=0$

(B) $-10x-14y+4=0$

(C) $-10x+14y+4=0$

(D) $10x-14y=-4$

प्रश्न 11. समीकरण $3x+2y-12=0$ में यदि $x=4$ है तब $y$ का मान होगा-

(A) शून्य

(B) $-4$

(C) $4$

(D) $2$

प्रश्न 12. समीकरण $y=mx+3$ में $x=-2,y=5$ प्रतिस्थापित करने पर $m$ का मान होगा-

(A) $1$

(B) $-1$

(C) शून्य

(D) $2$

प्रश्न 13. समीकरण $\frac{y-5}{7}-\frac{x}{3}=1$ में यदि $y=12$ हो, तो $x$ बराबर है।

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $0$

क बुक्स
14. यदि $\frac{6}{x}+6y=7$ तथा $x=-2$ हो, तो $y$ का मान होगा-

(A) $\frac{3}{5}$

(B) $\frac{5}{3}$

(C) $6$

(D) $-1$

15. यदि $6x+y=10$ हो तो इसको सन्तुष्ट करने वाला युग्म है।

(A) $(1)$

(B) $4,1$

(C) $(2)$

(D) $(2,-2)$

16. दो संख्याओं का योग $35$ तथा उनका अन्तर $13$ है। संख्यायें होंगी-

(A) $24,11$

(B) $18,17$

(C) $28,7$

(D) $21,14$

17. समीकरण $3x-9y=17$ में यदि $x=0$ है तब $y$ का मान होगा-

(A) $\frac{-17}{9}$

(B) $\frac{-9}{17}$

(C) $\frac{17}{9}$

(D) $\frac{9}{17}$

18. समीकरण $\frac{x}{-6}+10y=10$ में यदि $x=12$ है तब $y$ का मान होगा-

(A) $\frac{-6}{5}$

(B) $\frac{6}{5}$

(C) $\frac{-5}{6}$

(D) $\frac{5}{6}$

19. यदि समीकरण $2x-y=17$ में यदि $y=-1$ तब $x$ का मान होगा-

(A) $-8$

(B) $8$

(C) $16$

(D) $-16$

20. $3x+2y=11$ को सन्तुष्ट करने वाला युग्म है-

(A) $(1)$

(B) $(2)$

(C) $(3)$

(D) $(1)$

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023 )
21. यदि $2x+y=6$ हो तो इसे सन्तुष्ट करने वाला युग्म होगा-
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )

(A) $(1)$ (B) $(2)$ (C) $(2)$ (D) $(1)$

(A) $2x=7y+5$

(B) $5x=7y+2$

(C) $7x=2y-5$

(D) $2x=7y-5$

(A) केवल एक हल

(B) अपरिमित हल

(C) कोई हल विद्यमान नहीं

(D) केवल दो हल

(A) $\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}}$

(B) $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

(C) $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

(D) $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

(A) $2,3$

(B) $3,2$

(C) $2,1$

(D) $2,-1$

(A) $y=\frac{2x-11}{3}$

(B) $y=\frac{11-2x}{3}$

(C) $y=\frac{3x-3}{11}$

(D) $y=\frac{-2x-11}{3}$

(A) $11$

(B) $-6$

(C) $6$

(D) $-11$

(A) $5x+15y=6$

(B) $15x+y=5$

(C) $x+5y=15$

(D) $x-5y-15=0$

(A) एक चर को दूसरे चर के पद में व्यक्त किया जाता है।

(B) एक चर को विलुप्त किया जाता है।

(C) युग्म का ग्राफ बनाकर हल किया जाता है।

(D) उपर्युक्त सभी

(A) $(1)$

(B) $(2)$

(C) $(2,-5)$

(D) $(-1,1)$

(A) $3$

(B) $2$

(C) $4$

(D) $-1$
उत्तर—1. $15$
2. $4$
3. $2$
4. $7$
5. $-1$
6. $x+5$
7. $\frac{x+2}{y+2}$
8. $x+10y$
9. $x+5,y+5$
10. $\frac{-2}{5}$
उत्तरमाला
1. (B)
2. (C)
3. (D)
4. (A)
5. (C)
6. (B)
7. (A)
8. (C)
9. (B)
10. (D)
11. (A)
12. (B)
13. (D)
14. (B)
15. (A)
16. (A)
17. (A)
18. (B)
19. (B)
20. (A)
21. (C)
22. (D)
23. (B)
24. (A)
25. (C)
26. (B)
27. (C)
28. (C)
29. (B)
30. (B)
31. (D)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
1. समीकरण $2x+y=13$ में यदि $x=-1$ है तब $y$ का मान .................... होगा।
2. समीकरण $y=mx+6$ में यदि $x=-1$ और $y=2$ रखने पर $m=$ ....................।
3. समीकरण $5x-3y=16$ में $y=-2$ रखने पर $x=$ ....................।
4. $y=\frac{23-4x}{5}$ में यदि $x=-3$ रखने पर $y=$ ....................।
5. $y=mx+3$ में यदि $x=-2$ और $y=5$ रखने पर $m=$ ....................।
6. राम की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है। 5 वर्ष बाद राम की आयु .................... होगी।
7. यदि किसी भिन्न के अंश तथा हर में 2 जोड़ दिया जाये तब भिन्न = ....................।
8. किसी संख्या का इकाई अंक $x$ व दहाई अंक $y$ है तब संख्या = ....................।
9. जैकब की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है। 5 वर्ष बाद दोनों की आयु = ....................।
10. समीकरण $3x-5y=-1$ में यदि $x=-1$ है तब $y=$ ....................।
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. 5 पेन्सिल और 7 पेन का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेन्सिल और 5 पेन का कुल मूल्य ₹ 46 है। इस समस्या को रैखिक समीकरणों के युग्म द्वारा प्रदर्शित कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक)
हल— माना एक पेन्सिल का मूल्य = $x$ रु. और एक पेन का मूल्य = $y$ रु.।
प्रश्नुसार,
$5x+7y=50$ .....(1)
$7x+5y=46$ .....(2)
उत्तर
प्रश्न 2. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए। $x-3y=7;x+4y=14$ (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल—
$x-3y=7$ .....(1)
$x+4y=14$ .....(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
$-7y=-7$
$∴y=\frac{-7}{-7}=1$
$y=1$ का मान समीकरण (1) में रखने पर
$x-3(1)=7$
$x-3=7$
या $x=7+3=10$
अतः समीकरण युग्म का हल $x=10,y=1$ है।
उत्तर
प्रश्न 3. एक संख्या $x$ का दुगुना $y$ से 24 अधिक है। इस वाक्य को प्रकट करने वाला समीकरण लिखिए।
हल— $2x-y=24$
उत्तर
प्रश्न 4. राम की आयु $x$ वर्ष तथा श्याम की आयु $y$ वर्ष है। पाँच वर्ष पूर्व राम की आयु श्याम की आयु की दुगुनी थी। इस कथन को प्रकट करने वाले समीकरण को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखिए।
हल— $x-2y+5=0$
उत्तर
48
प्रश्न 5. यदि एक भिन्न के अंश और हर में 1 जोड़ते हैं तो भिन्न का मान $\frac{1}{2}$ हो जाता है। इसे समीकरण में कैसे लिखेंगे?
हल— माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
$\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}$ उत्तर
प्रश्न 6. निम्न समीकरण निकाय में $x$ का मान ज्ञात कीजिए—
$2x+3y=4$
$3x+4y=5$
हल— दिये गये समीकरण से
$2x+3y-4=0$ ....(1)
$3x+4y-5=0$ ....(2)
समीकरण (1) में 4 से और समीकरण (2) में 3 से गुणा करने पर
$8x+12y-16=0$
$9x+12y-15=0$
घटाने पर $--+$
$-x-1=0$
$-x=1$
या $x=-1$ उत्तर
प्रश्न 7. समीकरण $x+y=2xy$ तथा $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=10$ को हल करके केवल $y$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल— $x+y=2xy$
दोनों तरफ $xy$ से भाग देने पर
$\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{2xy}{xy}$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=2$
दूसरे समीकरण से
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=10$
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर
$-\frac{1}{y}=-8$
$∴y=\frac{1}{8}$ उत्तर
प्रश्न 8. समीकरण $5y-3x-10=0$ में $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल— समीकरण $5y-3x-10=0$
या $5y=3x+10$
$∴y=\frac{3x+10}{5}$ उत्तर
प्रश्न 9. रैखिक समीकरण युग्म $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$ तथा $\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$ का हल लिखिये।
हल— दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$ .... (1)
$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$ .... (2)
समीकरण (2) से
$\sqrt{3}x=\sqrt{2}y$
$∴x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y$
$x$ का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
$\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y+\sqrt{3}y=0$
$⇒\frac{2}{\sqrt{3}}y+\sqrt{3}y=0$
$2y+3y=0 \times \sqrt{3}=0$
$5y=0$
$∴y=\frac{0}{5}=0$
अतः $x=0,y=0$ उत्तर
प्रश्न 10. 7 पेंसिल तथा 5 पेन का कुल मूल्य 29 रु. है। इसको बीजगणितीय रूप में लिखिए।
हल— माना कि 1 पेंसिल का मूल्य $=x$ रु. और 1 पेन का मूल्य $=y$ रु.
अतः प्रश्नानुसार $7x+5y=29$ उत्तर
प्रश्न 11. रैखिक समीकरण युग्म $3x+4y=0$ तथा $2x-y=0$ का हल लिखिए।
हल— $x=0$ तथा $y=0$ उत्तर
प्रश्न 12. रैखिक समीकरण युग्म $4x+2y=5$ तथा $x-2y=0$ का हल लिखिए।
हल— समीकरण युग्म $4x+2y=5$ .... (1)
तथा $x-2y=0$ .... (2)
समीकरण (2) से $x=2y$ मान समीकरण (1) में रखने पर
$4(2y)+2y=5$
$8y+2y=5$
$∴10y=5$ या $y=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
गणित-कक्षा 10
49
$y$ का यह मान समीकरण (2) में रखने पर
$x-2·\frac{1}{2}=0$
या $x-1=0∴x=1$
अतः $x=1$ तथा $y=\frac{1}{2}$ उत्तर
प्रश्न 13. समीकरण $2x-3y=12$ में यदि $y=-2$ है तब $x$ का मान लिखिये।
हल— $2x-3y=12$
$y=-2$ रखने पर,
$2x-3(-2)=12$
$2x+6=12∴2x=12-6=6$
$x=\frac{6}{2}=3$ उत्तर
प्रश्न 14. समीकरण $\frac{2x}{a}+\frac{y}{b}=2$ में यदि $y=-2b$ है तब $x$ का मान लिखिये।
हल— $\frac{2x}{a}+\frac{y}{b}=2$
$y=-2b$ रखने पर,
$\frac{2x}{a}+\frac{()}{b}=2$
$⇒\frac{2x}{a}-2=2$
या $\frac{2x}{a}=4∴x=\frac{4a}{2}$
$x=2a$ उत्तर
प्रश्न 15. समीकरण $5x-3y=16$ में यदि $x=5$ है तब $y$ का मान लिखिये।
हल— $5x-3y=16$
$x=5$ रखने पर
$5 \times 5-3y=16$
$25-3y=16$
या $-3y=16-25=-9$
$∴y=\frac{-9}{-3}=3$ उत्तर
प्रश्न 16. समीकरण $21x-36y=-2$ में यदि $y=\frac{1}{4}$ है तब $x$ का मान लिखिये।
हल— $21x-36y=-2$
$y=\frac{1}{4}$ रखने पर
$21x-36\frac{1}{4}=-2$
$⇒21x-9=-2$
या $21x=-2+9=7$
$x=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$
प्रश्न 17. समीकरण $-2x+7y+51=0$ में यदि $y=-7$ है तब $x$ का मान लिखिये।
हल— $-2x+7y+51=0$
$y=-7$ रखने पर
या $-2x+7(-7)+51=0$
या $-2x-49+51=0$
या $-2x+2=0$
$-2x=-2$
$∴x=\frac{-2}{-2}=1$
$y=-7$ उत्तर
प्रश्न 18. समीकरण $4x-5y-39=0$ में यदि $x=1$ है तब $y$ का मान लिखिये।
हल— $4x-5y-39=0$
$x=1$ रखने पर
$4(1)-5y-39=0$
या $4-5y-39=0$
या $-5y-35=0$
$-5y=35$
$∴y=\frac{35}{-5}=-7$ उत्तर
प्रश्न 19. 9 पेंसिल तथा 8 पेन का मूल्य 54 रु. है। इसे बीजगणितीय समीकरण के रूप में लिखिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— माना एक पेंसिल का मूल्य $=x$ रु. है। और एक पेन का मूल्य $=y$ रु. है।
तब प्रश्नानुसार $9x+8y=54$ उत्तर
प्रश्न 20. रैखिक समीकरण युग्म $x+y=14$ व $x-y=4$ को हल कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल—
$x+y=14$ ....(1)
$x-y=4$ ....(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
$2x=18∴x=9$
$x$ का मान समी. (1) में रखने पर
$9+y=14$
$∴y=14-9=5$
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल $x=9,y=5$ है।
प्रश्न 21. एक टैक्सी का किराया प्रथम किमी. के लिए $25$ रु. तथा उसके बाद प्रति किमी. $17$ रु. है। यदि एक व्यक्ति $x$ किमी. दूरी तय करने पर $y$ रु. किराया देता है तो इसे बीजगणितीय रूप में व्यक्त कीजिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— $17(x-1)+25=y$
प्रश्न 22. दो संख्याओं का अंतर $26$ है। इसे बीजगणितीय रूप में लिखिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— $x-y=26$
प्रश्न 23. $3x+2y=5$ के लिए $x$ व $y$ के दो हल लिखिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— $3x+2y=5⇒y=\frac{5-3x}{2}$
जब $x=1$ तो $y=\frac{5-3(1)}{2}=1$
जब $x=3$ तो $y=\frac{5-3(3)}{2}=-2$
अतः $x$ व $y$ के दो हल $(1)$ तथा $(3,-2)$ हैं।
प्रश्न 24. $2x+y-6=0,4x-2y-4=0$ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं की प्रकृति लिखिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
$2x+y-6=0$ , और $4x-2y-4=0$
यहाँ, $a_{1}=2,b_{1}=1,c_{1}=-6$
$a_{2}=4,b_{2}=-2,c_{2}=-4$
अब, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2},\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिये गये समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
प्रश्न 25. एक आयताकार बाग की लंबाई चौड़ाई से $4$ मीटर अधिक है तथा अर्ध परिमाप $40$ मीटर है। इसे बीजगणितीय रूप में लिखिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— माना बाग की लंबाई व चौड़ाई क्रमशः $x$ मीटर तथा $y$ मीटर है।
प्रश्मानुसार $x-y=4$
तथा $x+y=40$
$∵$ परिमाप $=2(x+y)$
$∴$ अर्ध परिमाप $=x+y$
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. विलोपन विधि का प्रयोग करके, निम्न रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभव हल ज्ञात कीजिए:
$3x+5y=7$
$6x+y=-4$ ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )
हल—
$3x+5y=7$ .....(1)
$6x+y=-4$ .....(2)
समीकरण (1) को $2$ से गुणा करने पर—
$6x+10y=14$ .....(3)
समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर—
$6x+10y=14$
$-(6x \pm y=∓4)$
$9y=18$
या $y=\frac{18}{9}=2$
$y$ का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर—
$3x+5(2)=7$
$⇒3x=7-10=-3$
$⇒x=\frac{-3}{3}=-1$
अतः $x=-1$ और $y=2$
प्रश्न 2. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए—
$2x+y=6,2x-y=2$
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )
हल— दिए गए रैखिक समीकरण हैं—
$2x+y=6$ .....(1)
$2x-y=2$ .....(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
$(2x+y)+(2x-y)=6+2$
$⇒4x=8$
$⇒x=\frac{8}{4}=2$
समीकरण (1) में $x=2$ रखने पर
$2(2)+y=6$
$⇒4+y=6$
$⇒y=6-4=2$
अभीष्ट हल $x=2,y=2$
प्रश्न 3. दो अंकों की एक संख्या ऐसी है कि इसके अंकों का गुणनफल $12$ है। जब इस संख्या में $36$ जोड़ दिया जाये तो संख्या के अंक परस्पर बदल लेते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल— माना अंक $x$ व $y$ हैं।
प्रश्मानुसार $x \times y=12$ .....(i)
तथा $10x+y+36=10y+x$ .....(ii)
गणित-कक्षा 10 $\hfill$ 51
या $9x-9y=-36$
$x-y=-4$ ....(iii)
समीकरण (iii) से
$(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy)$
$(-4)^{2}=x^{2}+y^{2}-2 \times 12)$
$x^{2}+y^{2}=16+24=40$
पुनः: $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy)$
$=40+2 \times 12$
$(x+y)^{2}=64)$
$x+y=\sqrt{64}= \pm 8$ ....(iv)
समीकरण (iii) तथा (iv) से
$x=2$ तथा $y=6$
अतः संख्या 26 होगी। उत्तर
प्रश्न 4. एक कस्बे के एक राजकीय विद्यालय तथा प्राइवेट विद्यालय में अध्यापकों की संख्या $210$ है। जब $10$ अध्यापक प्राइवेट विद्यालय से इस्तीफा देकर राजकीय विद्यालय में चले जाते हैं तो दोनों विद्यालयों में अध्यापकों की संख्या समान हो जाती है। प्रत्येक विद्यालय में अध्यापकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल—माना राजकीय विद्यालय में अध्यापकों की संख्या = $x$ तथा प्राइवेट में अध्यापकों की संख्या = $y$ है।
अतः प्रश्नानुसार $x+y=210$ ....(i)
तथा $(x+10)=(y-10)$
$x-y=-20$ ....(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर
$2x=190$
$x=\frac{190}{2}=95$
$x$ का मान समीकरण (i) में रखने पर
$95+y=210$
$y=210-95=115$
अतः राजकीय विद्यालय में संख्या $95$ व प्राइवेट में $115$ उत्तर
प्रश्न 5. दो संख्याओं का अन्तर $26$ है तथा बड़ी संख्या छोटी संख्या के तीन गुने से $4$ अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल—माना बड़ी संख्या $x$ तथा छोटी संख्या $y$ है।
प्रश्नानुसार, $x-y=26$ .....(i)
तथा $x-3y=4$ .....(ii)
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर
$x-y=26$
$x-3y=4$
$-+-$
$2y=22⇒y=11$
समीकरण (i) में $y$ का मान रखने पर—
$x-11=26⇒x=37$
अतः संख्याएँ $37$ व $11$ हैं।
प्रश्न 6. दो रेल पटरियाँ समीकरणों $x+2y-4=0$ और $2x+4y-12=0$ द्वारा निरूपित की गई हैं। क्या रेल पटरियाँ एक-दूसरे को काटेंगी?
हल—प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण
$x+2y-4=0$ ....(1)
$2x+4y-12=0$ ....(2)
समीकरण (1) से $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर
$x=4-2y$
अब, $x$ के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
$2(4-2y)+4y-12=0$
अर्थात् $8-12=0$
अर्थात् $-4=0$
जो कि एक असत्य कथन है।
अतः, दिए गए समीकरणों का कोई सार्व हल नहीं है। इसलिए, दोनों पटरियाँ एक-दूसरे को नहीं काटेंगी। उत्तर
प्रश्न 7. प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिये।
$7x-15y=2$
$x+2y=3$
हल—दिये गये समीकरण
$7x-15y=2$ (1)
$x+2y=3$ (2)
समीकरण (2) से $x=3-2y$ (3)
यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
$7(3-2y)-15y=2$
अर्थात् $21-14y-15y=2$
$-29y=2-21=-19$
$y=\frac{19}{29}$
$y$ का मान समीकरण (3) में रखने पर
$x=3-2\frac{19}{29}$
$=3-\frac{38}{29}=\frac{49}{29}$
अतः समीकरण का हल है।
$x=\frac{49}{29}$ , $y=\frac{19}{29}$
प्रश्न 8. विलोपन विधि का प्रयोग करके, निम्न रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभव हल ज्ञात कीजिये।
( प्रश्न बैंक )
क बुक्स
$2x+3y=8$
$4x+6y=7$
हल— दिये गये रैखिक समीकरण युग्म
$2x+3y=8$ $…(1)$
$4x+6y=7$ $…(2)$
समीकरण (1) में $2$ से गुणा करने पर
$4x+6y=16$ $…(3)$
$4x+6y=7$ $…(2)$
घटाने पर $0=16-7$
$0=9$ जो एक असत्य कथन है। अतः समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।
प्रश्न 9. निम्न समीकरणों को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिये।
$2x+y=13$
$5x-3y=16$
हल— दिये गये समीकरण हैं
$2x+y=13$ $…(1)$
$5x-3y=16$ $…(2)$
समीकरण (1) से $y$ का मान
$y=13-2x$ $…(3)$
समीकरण (3) से $y$ का मान समीकरण (2) में रखने पर
$5x-3(13-2x)=16$
$⇒5x-39+6x=16$
$11x=55$
$x=\frac{55}{11}=5$
$x$ का मान समीकरण (3) में रखने पर
$y=13-2(5)=3$
अतः दिये गये समीकरणों के हल हैं—
$x=5,y=3$
प्रश्न 10. विलोपन विधि से निम्न रैखिक समीकरणों का हल ज्ञात कीजिये।
$4x+3y=25$
$5x-2y=14$
हल— दिये समीकरण हैं—
$4x+3y=25$ $…(1)$
$5x-2y=14$ $…(2)$
समीकरण (1) में $2$ से गुणा व समीकरण (2) में $3$ से गुणा करने पर
$8x+6y=50$
$15x-6y=42$
जोड़ने पर $23x=92$
$∴x=\frac{92}{23}=4$
प्रश्न 11. समीकरण निकाय $x-y+1=0$ और $3x+2y-12=0$ को हल कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— $x-y+1=0$ $…(1)$
$3x+2y-12=0$ $…(2)$
समीकरण (1) से $y=x+1$
$y$ का मान समीकरण (2) में रखने पर
$3x+2(x+1)-12=0$
$3x+2x+2-12=0$
$5x=10∴x=2$
तब, $y=2+1=3$
अतः समीकरण निकाय का हल $x=2,y=3$ उत्तर
प्रश्न 12. समीकरण निकाय $3x-y=3,9x-3y=9$ का हल कीजिए। ( प्रश्न बैंक )
हल—
$3x-y=3$ $…(1)$
$9x-3y=9$ $…(2)$
समीकरण (1) को $3$ से गुणा करने पर, हम पाते हैं:
$9x-3y=9$
परन्तु यह वही है जो समीकरण (2) है। इसलिए समीकरणों (1) व (2) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
प्रश्न 13. दो संख्याओं का अंतर $26$ है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )
हल— माना दोनों संख्याएँ, क्रमशः $x$ तथा $y$ हैं।
प्रश्नानुसार,
$x-y=26$ $…(1)$
$x=3y$ $…(2)$
समीकरण (2) से $x$ का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर :
$3y-y=26$
$2y=26⇒y=13$
$y$ का यह मान समीकरण (1) में रखने पर—
$x-13=26⇒x=39$
अतः संख्याएँ $39$ व $13$ हैं।
प्रश्न 14. यश ने एक टेस्ट में $40$ अंक अर्जित किए। जब उसे सही उत्तर पर $3$ अंक मिले तथा गलत उत्तर पर $1$ अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर $4$ अंक मिलते तथा गलत पर $2$ अंक कटते तो यश $50$ अंक अर्जित करता। टेस्ट में कुल कितने प्रश्न थे? ( प्रश्न बैंक )
गणित-कक्षा 10
53
हल— माना सही उत्तरों की संख्या $=x$
तथा गलत उत्तरों की संख्या $=y$
पहली शर्त के अनुसार, $3x-y=40$ ............(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, $4x-2y=50$ ............(2)
समीकरण (1) को $2$ से गुणा कर, समीकरण (2) में से घटाने पर—
$(6x-2y)-(4x-2y)=80-50$
$⇒2x=30⇒x=15$
$x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर $-y=5$
$∴$ कुल प्रश्नों की संख्या $=x+y=15+5=20$
प्रश्न 15. $2x+3y=11,2x-4y=-24$ को हल कीजिए तथा $y=mx+3$ के लिए $m$ का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल—
$2x+3y=11$ ............(1)
$2x-4y=-24$ ............(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर
$7y=35⇒y=5$
$y$ का मान समीकरण (1) में रखने पर—
$2x+3(5)=11$
$⇒2x=-4⇒x=-2$
$x$ तथा $y$ के मान $y=mx+3$ में रखने पर—
$5=m(-2)+3$
$⇒2m=-2$
$⇒m=-1$
दीर्घउत्तरी प्रश्न—
प्रश्न 1. दो अंकों वाली संख्या के अंकों का योग $9$ है। इस संख्या का चार गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का सात गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिये।
हल— माना दहाई का अंक $x$ तथा इकाई का अंक $y$ है।
तब अभीष्ट संख्या $=10x+y$
प्रश्नुसार $x+y=9$ ............(i)
पुनः प्रश्नुसार
$4(10x+y)=7(10y+x)$
$⇒40x+4y=70y+7x$
$⇒33x-66y=0$
$⇒x-2y=0$ ............(ii)
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर
$x+y=9$
$x-2y=0$
- + -
$3y=9$
$∴y=\frac{9}{3}=3$
$y$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर
$x-2 \times 3=0$
$⇒x=6$
अतः अभीष्ट संख्या $=10x+y$
$=10 \times 6+3=60+3$
$=63$ उत्तर
प्रश्न 2. दो अंकों वाली संख्या के अंकों का योगफल $7$ है। अंकों का क्रम उलट देने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से $9$ अधिक होती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
हल— माना संख्या में दहाई अंक $=x$
और इकाई अंक $=y$
तब दी हुई संख्या $=(10x+y)$
अंकों का क्रम उलट करने पर संख्या $=(10y+x)$
प्रश्नुसार— $x+y=7$
या $x+y-7=0$ ............(1)
और $(10x+y)+9=10y+x$
या $10x+y+9=10y+x$
या $9x+9=9y$
या $x-y+1=0$ ............(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर—
$x+y-7=0$
$x-y+1=0$
+ - +
$2y-8=0$
$⇒2y=8$
$∴y=\frac{8}{2}=4$
$y=4$ मान को समीकरण (1) में रखने पर
$x+4-7=0$
$x-3=0$
$⇒x=3$
संख्या $=10x+y=10 \times 3+4=30+4=34$ उत्तर
प्रश्न 3. $6$ वर्ष बाद एक आदमी की आयु उसके पुत्र की आयु की $3$ गुना हो जायेगी और $3$ वर्ष पूर्व वह अपने पुत्र की आयु का $9$ गुना था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल— माना आदमी एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः $x$ वर्ष व $y$ वर्ष है। $6$ वर्ष बाद पिता की आयु $=x+6$
तथा $6$ वर्ष बाद पुत्र की आयु $=y+6$
अतः प्रश्नुसार
$x+6=3(y+6)$
$⇒x+6=3y+18$
या $x-3y=12$ ............(i)
पुनः $3$ वर्ष पूर्व पिता एवं पुत्र की आयु क्रमशः $(x)$ व $(y)$ होगी।
अतः प्रश्नानुसार
$x-3=9(y-3)$
$⇒x-3=9y-27$
या $x-9y=-24$ ....(ii)
अतः दोनों समीकरणों को लिखने पर
$x-3y=12$
$x-9y=-24$
$-++$
_____________________
$6y=36$
_____________________
$y=\frac{36}{6}=6$
$y$ का मान $(i)$ में रखने पर
$x-3 \times 6=12$
$x-18=12$
$⇒x=12+18=30$
अतः पिता की आयु = 30 वर्ष
तथा पुत्र की आयु = 6 वर्ष \ उत्तर
प्रश्न 4. प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिये।
$\frac{2x}{a}+\frac{y}{b}=2$
$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=4$
हल—दिये गये समीकरण हैं
$\frac{2x}{a}+\frac{y}{b}=2$ ....(1)
$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=4$ ....(2)
समीकरण $(1)$ तथा $(2)$ को जोड़ने पर
$\frac{3x}{a}=6$
$∴x=\frac{6a}{3}=2a$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर
$\frac{2(2a)}{a}+\frac{y}{b}=2$
$4+\frac{y}{b}=2$
$⇒\frac{y}{b}=2-4=-2$
$∴y=-2b$
अतः दिये गये समीकरणों के हल हैं
$x=2a,y=-2b$
प्रश्न 5. दो संख्याओं का अन्तर $36$ है तथा बड़ी संख्या छोटी संख्या के तीन गुने से $4$ अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिये।
हल—माना दो संख्याएँ $x$ तथा $y$ हैं जिसमें $x>y$ है।
प्रश्नानुसार $x-y=36$ .....(1)
तथा $x=3y+4$ .....(2)
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर
$3y+4-y=36$
$⇒2y=36-4=32$
$∴y=\frac{32}{2}=16$
समीकरण $(2)$ में $y$ मान रखने पर
$x=3(16)+4$
$=48+4=52$
अतः संख्याएँ $48$ और $16$ हैं।
निबन्धात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1. दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलट्ने पर बनी संख्या का योग $66$ है। यदि संख्या के अंकों का अन्तर $2$ हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी संख्याएँ कितनी हैं?
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25; प्रश्न बैंक )
हल—माना प्रथम संख्या की दहाई तथा इकाई के अंक क्रमशः $x$ और $y$ हैं। इसलिए, प्रथम संख्या को प्रसारित रूप में $10x+y$ लिख सकते हैं। जब अंक उलट जाते हैं, तो $x$ इकाई का अंक बन जाता है तथा $y$ दहाई का अंक। यह संख्या प्रसारित रूप में $10y+x$ है।
दिए हुए प्रतिबंधों के अनुसार,
$(10x+y)+(10y+x)=66$
अर्थात् $11(x+y)=66$
अर्थात् $x+y=6$ ....(1)
हमें यह भी दिया गया है कि अंकों का अन्तर $2$ है। इसलिए,
या तो $x-y=2$ ....(2)
या $y-x=2$ ....(3)
यदि $x-y=2$ है, तो $(1)$ और $(2)$ को विलोपन विधि से हल करने पर $x=4$ और $y=2$ इस स्थिति में, हमें संख्या $42$ प्राप्त होती है।
यदि $y-x=2$ है, तो $(1)$ और $(3)$ को विलोपन विधि से हल करने पर, हमें $x=2$ और $y=4$ इस स्थिति में, हमें संख्या $24$ प्राप्त होती है।
गणित-कक्षा 10
55
इस प्रकार ऐसी दो संख्याएँ $42$ और $24$ हैं। उत्तर सत्यापन : यहाँ $42+24=66$ और $4-2=2$ है तथा $24+42=66$ और $4-2=2$ है।
प्रश्न 2. बेंगलोर के एक बस स्टैण्ड से यदि हम दो टिकट मल्लेश्वरम के तथा $3$ टिकट यशवंतपुर के खरीदें, तो कुल लागत $46$ रु. है। परन्तु यदि हम $3$ टिकट मल्लेश्वरम के और $5$ टिकट यशवंतपुर के खरीदें, तो कुल लागत $74$ रु. है। बस स्टैण्ड से मल्लेश्वरम का किराया तथा बस स्टैण्ड से यशवंतपुर का किराया ज्ञात कीजिए।
हल— माना बेंगलोर के बस स्टैण्ड से, मल्लेश्वरम का किराया $x$ रु. तथा यशवंतपुर का किराया $y$ रु. है। दी गई सूचनाओं से,
$2x+3y=46$ , ....(1)
$3x+5y=74$ , ....(2)
समीकरण (1) में $3$ से गुणा व समीकरण (2) में $2$ से गुणा करने पर
$6x+9y=138$ .....(3)
$6x+10y=148$ .....(4)
घटाने पर $-y=-10$
$∴y=10$
$y=10$ समीकरण (1) में रखने पर
$2x+3(10)=46$
$⇒2x+30=46$
या $2x=46-30=16$
$∴x=\frac{16}{2}=8$
अतः बेंगलोर के बस स्टैण्ड से, मल्लेश्वरम का किराया $8$ रु. तथा यशवंतपुर का किराया $10$ रु. है।
प्रश्न 3. दो व्यक्तियों की आय का अनुपात $9:7$ है और उनके खर्चों का अनुपात $4:3$ है। यदि प्रत्येक व्यक्ति प्रति महीने में $2000$ रु. बचा लेता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि दोनों व्यक्तियों की मासिक आय क्रमशः $9x$ रु. तथा $7x$ रु. और उनके खर्चे क्रमशः $4y$ रु. और $3y$ रु. हैं। तब, उस स्थिति में बने समीकरण हैं :
$9x-4y=2000$ ....(1)
और $7x-3y=2000$ ....(2)
$y$ के गुणांकों को समान करने के समीकरण (1) को $3$ से तथा समीकरण (2) को $4$ से गुणा करने पर
$27x-12y=6000$ ....(3)
$28x-12y=8000$ ....(4)
$y$ को विलុप्त करने के लिए समीकरण (3) को समीकरण (4) में से घटाने पर क्योंकि $y$ के गुणांक समान हैं, इसलिए
$(28x-27x)-(12y-12y)=8000-6000$
अर्थात् $x=2000$
$x$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
$9(2000)-4y=2000$
अर्थात् $y=4000$
अतः समीकरणों के युग्म का हल $x=2000$ , $y=4000$ है। इसलिए, व्यक्तियों की मासिक आय क्रमशः $18000$ रु. तथा $14000$ रु. है।
प्रश्न 4. आफताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से $3$ वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। इस स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापन विधि से इसका हल ज्ञात कीजिये।’’
हल— माना आफताब और उसकी पुत्री की आयु (वर्षों में) क्रमशः $x$ और $y$ है। तब उस स्थिति को निरूपित करने के लिये रैखिक समीकरण युग्म है-
$x-7=7(y-7)$
अर्थात् $x-7y+42=0$ .......(1)
$x+3=3(y+3)$
अर्थात् $x-3y=6$ .......(2)
समीकरण (2) से $x=6+3y$ .......(3)
समीकरण (3) से $x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर
$(6+3y)-7y+42=0$
$⇒6-3y+42=0$
$⇒-4y+48=0$
या $-4y=-48$
$y=\frac{-48}{-4}=12$
$y$ का मान समीकरण (3) में रखने पर
$x=6+3 \times 12=6+36$
$x=42$
अतः आफताब की पुत्री क्रमशः $42$ वर्ष और $12$ वर्ष के हैं।
प्रश्न 5. एक पिता की आयु अपने दो बच्चों की आयु के योग के तीन गुне के समान है। $5$ वर्ष के पश्चात् उसकी आयु बच्चों की आयु के योग के दुगुने के समान होगी। पिता की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिये।
हल— माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है तथा उसके दोनों बच्चों की वर्तमान आयु का योग $y$ वर्ष है।
56
प्रश्नुसार,
$x=3y$ ...... (1)
दूसरी शर्त के अनुसार
पाँच वर्ष बाद, पिता की आयु = $x+5$
पाँच वर्ष बाद, पुत्रों की आयु = $(y)$
प्रश्नुसार,
$x+5=2(y+5+5)$
$x+5=2(y+10)$ ....(2)
समीकरण (1) से $x$ का मान समीकरण (2) में रखने पर
$3y+5=2(y+10)$
$⇒$ $3y+5=2y+20$
$∴3y-2y=20-5$
$y=15$
अब, $y=15$ समीकरण (1) में रखने पर
$x=3 \times 15=45$
अतः पिता की वर्तमान आयु = $45$ वर्ष है।
प्रश्न 6. $5$ पेंसिल तथा $7$ पेनों का कुल मूल्य ₹ $250$ है जबकि $7$ पेंसिलों तथा $5$ पेनों का कुल मूल्य ₹ $302$ है। एक पेंसिल तथा एक पेन का मूल्य ज्ञात कीजिये।
हल— माना एक पेंसिल का मूल्य ₹ $x$ तथा एक पेन का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्नुसार,
$5x+7y=250$ ......(1)
$7x+5y=302$ ......(2)
समीकरण (1) में $7$ से व समीकरण (2) में $5$ से गुणा करने पर
$35x+49y=1750$
$35x+25y=1510$
घटाने पर
$24y=240$
$∴y=\frac{240}{24}=10$
$y$ का मान समीकरण (1) में रखने पर
$5x+7(10)=250$
$⇒$ $5x+70=250$
$5x=250-70=180$
$x=\frac{180}{5}=36$
अतः एक पेंसिल का मूल्य = ₹ $36$
तथा एक पेन का मूल्य = ₹ $10$ उत्तर
प्रश्न 7. एक भिन्न $\frac{1}{3}$ हो जाती है, यदि उसके अंश से $2$ घटाया जाता है, और $\frac{1}{2}$ हो जाती है यदि उसके हर में से $1$ घटाया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिये।
हल— माना कि वह भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रश्नुसार
$\frac{x-2}{y}=\frac{1}{3}$
या $3x-6=y$
या $3x-y=6$ ......(1)
दूसरी शर्त के अनुसार
$\frac{x}{y-1}=\frac{1}{2}$
या $2x=y-1$
या $2x-y=-1$ ......(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर
$(3x-y)-(2x-y)=6-(-1)$
$3x-y-2x+y=7$
$∴x=7$
$x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर
$3(7)-y=6$
$⇒$ $21-y=6$
या $-y=6-21=-15$
या $y=15$
अतः अभीष्ट भिन्न = $\frac{7}{15}$ है।
प्रश्न 8. दो संपूरक कोणों में से बड़े कोण का मान छोटे कोण के मान से $18^{∘}$ अधिक है। दोनों कोणों के मान ज्ञात कीजिये।
हल— माना दिये गये कोण A तथा B हैं।
प्रश्नुसार
$\angle A= \angle B+18^{∘}$ ....(1)
$∵ \angle A$ व $\angle B$ संपूरक कोण हैं।
$\angle A+ \angle B=180^{∘}$ .....(2)
समीकरण (1) से मान रखने पर
$\angle B+18^{∘}+ \angle B=180^{∘}$
$2 \angle B=180^{∘}-18^{∘}=162^{∘}$
$∴ \angle B=\frac{162^{∘}}{2}=81^{∘}$
$∴ \angle A=81^{∘}+18^{∘}=99^{∘}$
अतः अभीष्ट कोण $99^{∘}$ और $81^{∘}$ होंगे।
गणित-कक्षा 10

RBSE Class 10 Maths Chapter 3 Solutions in Hindi — दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म | पासबुक हल, नोट्स

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

प्रश्नावली 3.2

प्रश्नावली 3.3

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

उत्तरमाला

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—

दीर्घउत्तरी प्रश्न—

निबन्धात्मक प्रश्न-

और अध्याय देखें / Explore More Chapters

वास्तविक संख्याएँ

बहुपद

द्विघात समीकरण

समान्तर श्रेढ़ियाँ

त्रिभुज

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

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26. (B)	27. (C)	28. (C)	29. (B)	30. (B)
31. (D)