पाठ 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$2x-3y=8$

और $4x-6y=9$

या $2x-3y-8=0$

$4x-6y-9=0$

यहाँ $a_{1}=2,b_{1}=-3,c_{1}=-8$

$a_{2}=4,b_{2}=-6,c_{2}=-9$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-9}=\frac{8}{9}$

$∵\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है। उत्तर

(iii) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$\frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y=7$

और $9x-10y=14$

या $\frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y-7=0$

और $9x-10y-14=0$

यहाँ $a_{1}=\frac{3}{2},b_{1}=\frac{5}{3},c_{1}=-7$

$a_{2}=9,b_{2}=-10,c_{2}=-14$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{9}=\frac{1}{6}$ ,

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=\frac{5}{3 \times -10}=-\frac{1}{6}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

(iv) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$5x-3y=11$

और $-10x+6y=-22$

या $5x-3y-11=0$

और $-10x+6y+22=0$

यहाँ $a_{1}=5,b_{1}=-3,c_{1}=-11$

$a_{2}=-10,b_{2}=6,c_{2}=22$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2}$ ;

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-11}{22}=\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$ *(Note: text shows $-\frac{1}{2}$ )*

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

(v) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$\frac{4}{3}x+2y=8$

और $2x+3y=12$

और $\frac{4}{3}x+2y-8=0$

या $2x+3y-12=0$

यहाँ $a_{1}=\frac{4}{3},b_{1}=2,c_{1}=-8$

$a_{2}=2,b_{2}=3,c_{2}=-12$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$ ;

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{3},\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$∴$ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं सम्पाती होंगी।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौनसे युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :

(i) $x+y=5,2x+2y=10$

(ii) $x-y=8,3x-3y=16$

(iii) $2x+y-6=0,4x-2y-4=0$

(iv) $2x-2y-2=0,4x-4y-5=0$

हल—(i) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$x+y=5$

और $2x+2y=10$

या $x+y-5=0$

$2x+2y-10=0$

उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=1,b_{1}=1,c_{1}=-5$

$a_{2}=2,b_{2}=2,c_{2}=-10$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2},\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2},\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$∴$ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।

--- | ---

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

$∴$ दी गई रैखिक समीकरण युग्म का आलेख खींचने पर

$x+y=5$

$x=5-y$ ....(1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-0=5$

$y=3$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-3=2$

$y=5$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-5=0$

बिन्दुओं $A(5,0)$ , $D(3,2)$ , $C(0,5)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $2x+2y=10$ का आलेख प्राप्त होता है। आलेख से स्पष्ट है कि दी गई रैखिक समीकरण युग्म संपाती रेखाएँ हैं इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$x-y=8$

और $3x-3y=16$

या $x-y-8=0$

और $3x-3y-16=0$

उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ तथा $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ से करने पर

यहाँ $a_{1}=1,b_{1}=-1,c_{1}=-8$

$a_{2}=3,b_{2}=-3,c_{2}=-16$

अब, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3};\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-16}=\frac{1}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है। उत्तर

(iii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$2x+y-6=0$

और $4x-2y-4=0$

यहाँ $a_{1}=2,b_{1}=1,c_{1}=-6$

$a_{2}=4,b_{2}=-2,c_{2}=-4$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}$ ;

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$

$∴\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

दिये गये समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।

[Cartesian plane showing linear equations x+y=5 and 2x+2y=10 intersecting/coincident with points A(5,0), B(2,3), C(0,5), D(3,2) and scale on axes]

बिन्दुओं $A(5,0)$ , $B(2,3)$ , $C(0,5)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x+y=5$ का आलेख प्राप्त होता है।

पुनः $2x+2y=10$

या $2(x+y)=10$

या $x+y=5$

या $x=5-y$ ....(2)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-0=5$

$y=2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-2=3$

$y=5$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$x=5-5=0$

$∵$ दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर

$2x+y-6=0$

या $2x=6-y$

या $x=\frac{6-y}{2}$ .... (1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3$

$y=2$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{6-2}{2}$

$=\frac{4}{2}=2$

$y=-2$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{6-(-2)}{2}=\frac{6+2}{2}$

$=\frac{8}{2}=4$

बिन्दुओं $A(3,0)$ , $B(2,2)$ , $C(4,-2)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $2x+y-6=0$ का आलेख प्राप्त होता है।

पुनः $4x-2y-4=0$

या $2[2x-y-2]=0$

या $2x-y-2=0$

या $2x=y+2$

या $x=\frac{y+2}{2}$ .... (2)

$y=0$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{0+2}{2}=\frac{2}{2}=1$

$y=2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}=2$

$y=-2$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0$

बिन्दुओं $D(1,0)$ , $B(2,2)$ , $E(0,-2)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $4x-2y-4=0$ का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दी गई समीकरण-युग्म बिन्दु $B(2,2)$ पर मिलती है।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल है। उत्तर

[रैखिक समीकरण युग्म 2x + y - 6 = 0 और 4x - 2y - 4 = 0 का आलेखीय निरूपण]

(iv) दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :

$2x-2y-2=0$

और $4x-4y-5=0$

यहाँ $a_{1}=2,b_{1}=-2,c_{1}=-2$

$a_{2}=4,b_{2}=-4,c_{2}=-5$

अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ , $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

$∵$ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

अतः, दी गई रैखिक समीकरण युग्म असंगत है। उत्तर

**5. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से $4 m$ अधिक है, का अर्ध परिमाप $36 m$ है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।**

हल— माना कि बाग की लम्बाई $=x m$

बाग की चौड़ाई $=y m$

गणित-कक्षा 10 35

$∵$ बाग का परिमाप $=2[x+y]m$

बाग के परिमाप का आधा $=(x+y)m$

प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,

$x=y+4$

प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,

$x+y=36$

$∵$ रैखिक समीकरण-युग्म है :

$x=y+4$

और $x+y=36$

$x=y+4$ ...(1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=0+4=4$

$y=-4$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=-4+4=0$

$y=16$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=16+4=20$

बिन्दुओं $A(4,0)$ , $B(0,-4)$ , $C(20,16)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x=y+4$ का आलेख प्राप्त होता है।

[रैखिक समीकरणों x = y + 4 और x + y = 36 का आलेखीय निरूपण जिसमें बिंदु A(4,0), B(0,-4), C(20,16), D(24,12), E(12,24) दर्शाए गए हैं।]

पुन: $x+y=36$

$x=36-y$ .... (2)

$y=12$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=36-12=24$

$y=24$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=36-24=12$

$y=16$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=36-16=20$

बिन्दुओं $D(24,12)$ , $E(12,24)$ , $C(20,16)$ को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x+y=36$ का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु $C(20,16)$ पर मिलता है।

$∵C(20,16)$ अर्थात् $x=20$ और $y=16$ रैखिक समीकरण युग्म का हल है।

अत:, बाग की लम्बाई $=20 m$

उत्तर

बाग की चौड़ाई $=16 m$

6. एक रैखिक समीकरण $2x+3y-8=0$ दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों

(ii) समान्तर रेखाएँ हों

(iii) संपाती रेखाएँ हों।

हल—दिया गया रैखिक समीकरण

$2x+3y-8=0$

इस समीकरण की व्यापक रैखिक समीकरण $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ से तुलना करने पर,

$a_{1}=2$ , $b_{1}=3$ , $c_{1}=-8$

(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त—

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ne \frac{b_{1}}{b_{2}}$

$⇒\frac{2}{a_{2}} \ne \frac{3}{b_{2}}$

अर्थात् $a_{2}$ का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और $b_{2}$ का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।

जहाँ $a_{2} \ne 2$ अथवा $b_{2} \ne 3$ और $a_{2} \ne 0$ , $b_{2} \ne 0$ है।

अतः सम्भावित रैखिक समीकरण $3x+2y-7=0$ प्रकार की होगी। उत्तर

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त—

क बुक्स

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \ne \frac{c_{1}}{c_{2}}$

$\frac{2}{3}=\frac{3}{b_{2}} \ne \frac{-8}{c_{2}}$

$∴\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}}$

$⇒\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{2}{3}$

अर्थात् $a_{2}$ और $b_{2}$ का मान $2:3$ में होना चाहिए।

माना $a_{2}=2k$ तथा $b_{2}=3k$ , जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।

$∴\frac{3}{b_{2}} \ne \frac{-8}{c_{2}}$

$⇒\frac{3}{3k} \ne \frac{-8}{c_{2}}$

$⇒c_{2} \ne -8k$

अतः अभीष्ट रैखिक समीकरण

$2kx+3ky-mk=0,m \ne -8$

अतः सम्भावित रैखिक समीकरण $2x+3y-12=0$ प्रकार की होगी। उत्तर

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$⇒\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}}=\frac{-8}{c_{2}}=\frac{1}{k}$

$⇒a_{2}=2k,b_{2}=3k$ और $c_{2}=-8k$

अतः अभीष्ट समीकरण $2kx+3ky-8k=0$ , जहाँ $k$ एक आनुपातिक स्थिरांक है।

अतः सम्भावित रैखिक समीकरण $4x+6y-16=0$ प्रकार की होगी।

7. समीकरणों $x-y+1=0$ और $3x+2y-12=0$ का ग्राफ खींचिए। $x$ -अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

हल— रैखिक समीकरण-युग्म लेने पर

$x-y+1=0$

और $3x+2y-12=0$

$x-y+1=0$

या $x=y-1$ .... (1)

$y=0$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=0-1=-1$

$y=3$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=3-1=2$

$y=1$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=1-1=0$

बिन्दुओं $A(-1,0)$ , $B(2,3)$ , $C(0,1)$ को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण $x-y+1=0$ का आलेख प्राप्त होता है।

[Graph showing lines x - y + 1 = 0 and 3x + 2y - 12 = 0 intersecting at B(2, 3) and forming a triangle with x-axis]

$3x+2y-12=0$

या $3x=12-2y$

या $x=\frac{12-2y}{3}$ .... (2)

$y=0$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{12-2 \times 0}{3}=\frac{12}{3}=4$

$y=3$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{12-2 \times 3}{3}=\frac{12-6}{3}$

$=\frac{6}{3}=2$

$y=6$ को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,

गणित-कक्षा 10

37

$x=\frac{12-2 \times 6}{3}$

$x=\frac{12-12}{3}=\frac{0}{3}=0$

बिन्दुओं $D(4,0)$ , $B(2,3)$ , $E(0,6)$ को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण $3x+2y-12=0$ आलेख प्राप्त होता है।

रैखिक समीकरणों के युग्म और $x$ -अक्ष द्वारा बनाए गए त्रिभुज के शीर्षों को आलेख में छायांकित किया गया है। $\Delta ABD$ इस प्रकार बना त्रिभुज है। $\Delta ABD$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं : $A(-1,0)$ , $B(2,3)$ और $D(4,0)$ उत्तर

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

(i) $x+y=14$

$x-y=4$

(ii) $s-t=3$

$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

(iii) $3x-y=3$

$9x-3y=9$

(iv) $0.2x+0.3y=1.3$

$0.4x+0.5y=2.3$

(v) $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0$

$\sqrt{3}x-\sqrt{8}y=0$

(vi) $\frac{3x}{2}-\frac{5y}{3}=-2$

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

हल—(i) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$x+y=14$ ....(1)

और $x-y=4$ ....(2)

(2) से, $x=4+y$ ....(3)

$x$ का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$4+y+y=14$

या $2y=14-4$

या $2y=10$

या $y=\frac{10}{2}=5$

$y$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x=4+5=9$

अतः, $x=9$ और $y=5$ उत्तर

(ii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :

$s-t=3$ ....(1)

और $\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

या $\frac{2s+3t}{6}=6$

या $2s+3t=36$ ....(2)

(1) से, $s=3+t$ ....(3)

$s$ का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2(3+t)+3t=36$

या $6+2t+3t=36$

या $6+5t=36$

या $5t=36-6$

या $5t=30$

या $t=\frac{30}{5}=6$

$t$ का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$s=3+6=9$

अतः, $s=9$ और $t=6$ उत्तर