पाठ 4: द्विघात समीकरण

या $2x(x+2)-3(x+2)=0$ | $=-12$

या $(x+2)(2x-3)=0$

अर्थात् $x+2=0$ या $2x-3=0$

$x=-2$ या $x=\frac{3}{2}$

अर्थात् $-2$ और $\frac{3}{2}$ दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं। उत्तर

(iii) प्रश्नानुसार समीकरण—

$\sqrt{2}x^{2}+7x+5\sqrt{2}=0$ | $S=7$

या $\sqrt{2}x^{2}+2x+5x+5\sqrt{2}=0$ | $P=\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}$

या $\sqrt{2}x(x+\sqrt{2})+5(x+\sqrt{2})=0$ | $=10$

या $(x+\sqrt{2})(\sqrt{2}x+5)=0$

अर्थात् $x+\sqrt{2}=0$ या $\sqrt{2}x+5=0$

$x=-\sqrt{2}$ या $x=\frac{-5}{\sqrt{2}}$

अतः $-\sqrt{2}$ और $\frac{-5}{\sqrt{2}}$ दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं। उत्तर

(iv) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है :

$2x^{2}-x+\frac{1}{8}=0$

या $\frac{16x^{2}-8x+1}{8}=0$ | $S=-8$

या $16x^{2}-8x+1=0$ | $P=16 \times 1=16$

या $16x^{2}-4x-4x+1=0$

या $4x(4x-1)-1(4x-1)=0$

या $(4x-1)(4x-1)=0$

अर्थात् $4x-1=0$

या $4x-1=0$

$x=\frac{1}{4}$ या $x=\frac{1}{4}$

अतः $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ दी गई समीकरण के मूल हैं। उत्तर

(v) प्रश्नानुसार समीकरण है :

$100x^{2}-20x+1=0$

या $100x^{2}-10x-10x+1=0$ | $S=-20$

| $P=100 \times 1$

| $=100$

या $10x(10x-1)-1(10x-1)=0$

या $(10x-1)(10x-1)=0$

अर्थात् $10x-1=0$ या $10x-1=0$

$x=\frac{1}{10}$ या $x=\frac{1}{10}$

अतः $\frac{1}{10}$ और $\frac{1}{10}$ दी गई समीकरण के मूल हैं। उत्तर

2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए। इन समस्याओं का कथन नीचे दिया गया है :

(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर $45$ कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल $124$ है। हम जानना चाहेंगे कि आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है, प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रुपयों में) $55$ में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत $750$ रु. थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल—(i) माना कि जॉन के पास कंचों की संख्या थी $=x$

गणित-कक्षा 10

61

तब जीवंती के कंचों की संख्या थी $=45-x$

जॉन के पास, $5$ कंचे खो देने के बाद बचे कंचों की संख्या $=x-5$

जीवंती के पास, $5$ कंचों को खो देने के बाद बचे कंचों की संख्या

$=45-x-5$

$=40-x$

अतः, उनका गुणनफल $=(x-5)(40-x)$

$=40x-x^{2}-200+5x$

$=-x^{2}+45x-200$

प्रश्मानुसार

$-x^{2}+45x-200=124$

या $-x^{2}+45x-324=0$ | $S=-45,$

या $x^{2}-45x+324=0$ | $P=324$

या $x^{2}-36x-9x+324=0$

या $x(x-36)-9(x-36)=0$

या $(x-36)(x-9)=0$

अर्थात् $x-36=0$ या $x-9=0$

$x=36$ या $x=9$

$∴x=36,9$

अतः कंचों की संख्या जो उनके पास आरम्भ में थी $36$ और $9$ या $9$ और $36$ है। उत्तर

(ii) माना कि उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या $=x$

इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (रूपयों में) $=55-x$

अतः, उस दिन कुल निर्माण लागत (रूपयों में) $=x(55-x)$

प्रश्मानुसार

$x(55-x)=750$

या $55x-x^{2}=750$

या $-x^{2}+55x-750=0$ | $S=-55,$

या $x^{2}-55x+750=0$ | $P=750$

या $x^{2}-30x-25x+750=0$

या $x(x-30)-25(x-30)=0$

या $(x-30)(x-25)=0$

अर्थात् $x-30=0$ या $x-25=0$

$x=30$ या $x=25$

$∴x=30,25$

अतः, उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या $30$ या $25$ है। उत्तर

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग $27$ हो और गुणनफल $182$ हो।

हल— माना कि पहली संख्या $=x$

दूसरी संख्या $=27-x$

अतः: उनका गुणनफल $=x(27-x)$

$=27x-x^{2}$

प्रश्मानुसार—

$27x-x^{2}=182$

या $-x^{2}+27x-182=0$ | $S=-27$

या $x^{2}-27x+182=0$ | $P=182$

या $x^{2}-13x-14x+182=0$

या $x(x-13)-14(x-13)=0$

या $(x-13)(x-14)=0$

अर्थात् $x-13=0$ या $x-14=0$

$x=13$ या $x=14$

$∴x=13,14$

अतः: दो संख्याएँ $13$ और $14$ या $14$ और $13$ हैं। उत्तर

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग $365$ हो।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024, 2025; मॉडल पेपर, 2023-24)

हल— माना कि पहला धनात्मक पूर्णांक $=x$

दूसरा धनात्मक पूर्णांक $=x+1$

प्रश्मानुसार

$(x)^{2}+(x+1)^{2}=365)$

या $x^{2}+x^{2}+1+2x=365$

या $2x^{2}+2x+1-365=0$

या $2x^{2}+2x-364=0$

या $x^{2}+x-182=0$

या $x^{2}+14x-13x-182=0$

या $x(x+14)-13(x+14)=0$

या $(x+14)(x-13)=0$

अर्थात् $x+14=0$ या $x-13=0$

$x=-14$ या $x=13$

$∵$ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।

इसलिए $x=-14$ सम्भव नहीं है।

$∴x=13$

$∴$ पहला धनात्मक पूर्णांक $=13$

और दूसरा धनात्मक पूर्णांक है $=13+1=14$

अतः: दो अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $13$ और $14$ हैं। उत्तर

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से $7 cm$ कम है। यदि कर्ण $13 cm$ का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024; मॉडल पेपर, 2024-25)

हल—माना कि समकोण त्रिभुज का आधार $=x cm.$

इसलिए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) $=(x-7) cm.$

और समकोण त्रिभुज का कर्ण $=13 cm.$ ....(दिया है)

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

$(\text{आधार})^{2}+(\text{लम्ब})^{2}=(\text{कर्ण})^{2}$

$(x)^{2}+(x-7)^{2}=(13)^{2}$

या $x^{2}+x^{2}+49-14x=169$

या $2x^{2}-14x+49-169=0$

या $2x^{2}-14x-120=0$

या $2[x^{2}-7x-60]=0$

या $x^{2}-7x-60=0$ | $S=-7$

या $x^{2}-12x+5x-60=0$ | $P=-60$

या $x(x-12)+5(x-12)=0$

या $(x-12)(x+5)=0$

अर्थात् $x-12=0$ या $x+5=0$

$x=12$ या $x=-5$

$∵$ त्रिभुज की लम्बाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।

इसलिए $x=-5$ को छोड़ने पर

$∴x=12$

अतः, समकोण त्रिभुज का आधार $=12 cm.$

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) $=(12-7) cm.$ $=5 cm.$ उत्तर

6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रूपयों में) उस दिन निर्माण किये बर्तनों की संख्या के दुगुने से $3$ अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत $90$ रु. थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

हल—माना कि एक दिन में उद्योग द्वारा निर्मित बर्तनों की संख्या $=x$

प्रत्येक नग की निर्माण लागत $=(2x+3)$ रु.

$∴$ एक विशेष दिन की कुल निर्माण लागत

$=[x(2x+3)]$ रु.

$=(2x^{2}+3x)$ रु.

प्रश्नमानुसार

$2x^{2}+3x=90$

या $2x^{2}+3x-90=0$ | $S=3$ , $P=2 \times -90=-180$

या $2x^{2}-12x+15x-90=0$

या $2x(x-6)+15(x-6)=0$

या $(x-6)(2x+15)=0$

अर्थात् $x-6=0$ या $2x+15=0$

$x=6$ या $x=\frac{-15}{2}$

$∵$ बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।

इसलिए $x=\frac{-15}{2}$ को छोड़ने पर

$∴x=6$

अतः, विशेष दिन निर्मित बर्तनों की संख्या $=6$

और प्रत्येक नग की निर्माण लागत

$=[2 \times 6+3]$ रु.

$=15$ रु. उत्तर

प्रश्नावली 4.3

1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए :

**(i) $2x^{2}-3x+5=0$

**(ii) $3x^{2}-4\sqrt{3}x+4=0$ ( प्रश्न बैंक )**

**(iii) $2x^{2}-6x+3=0$

हल—(i) प्रश्मानुसार

$2x^{2}-3x+5=0$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=2,b=-3,c=5$

विविक्तकर $(D)=b^{2}-4ac$

$=(-3)^{2}-4 \times 2 \times 5$

$=9-40$

$=-31<0$

अतः दी गयी द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है। उत्तर

(ii) प्रश्मानुसार

$3x^{2}-4\sqrt{3}x+4=0$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=3,b=-4\sqrt{3},c=4$

विविक्तकर $(D)=b^{2}-4ac$

$=(-4\sqrt{3})^{2}-4 \times 3 \times 4$

$=48-48=0$

अतः दी गई समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं। उत्तर

अब, $x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

गणित-कक्षा 10

63

$=\frac{-(-4\sqrt{3}) \pm \sqrt{0}}{2 \times 3}$

$=\frac{4\sqrt{3}}{2 \times 3}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल $\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं। उत्तर

(iii) प्रश्मानुसार

$2x^{2}-6x+3=0$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=2,b=-6,c=3$

विविक्तकर $(D)=b^{2}-4ac$

$=(-6)^{2}-4 \times 2 \times 3$

$=36-24$

$=12>0$

$∴$ दी गई द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

अब, $x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$=\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2 \times 2}$

$=\frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$

$=\frac{2[3 \pm \sqrt{3}]}{4}=\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

$=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ और $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ और $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ हैं। उत्तर

प्रश्न 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में $k$ का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।

हल—(i) प्रश्मानुसार $2x^{2}+kx+3=0$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=2,b=k,c=3$

$∵$ दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं।

$∴$ विविक्तकर $(D)=0$

$b^{2}-4ac=0$

या $(k)^{2}-4 \times 2 \times 3=0)$

या $k^{2}-24=0$

या $k^{2}=24$

या $k= \pm \sqrt{24}$

या $k= \pm 2\sqrt{6}$

अतः मूल बराबर होने के लिये $k= \pm 2\sqrt{6}$ होना चाहिये। उत्तर

(ii) प्रश्मानुसार $kx(x-2)+6=0$

या $kx^{2}-2kx+6=0$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=k,b=-2k,c=6$

$∵$ दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं।

$∴D=0$

$b^{2}-4ac=0$

या $(-2k)^{2}-4 \times k \times 6=0)$

या $4k^{2}-24k=0$

या $4k[k-6]=0$

अर्थात् $4k=0$

या $k-6=0$

$k=0$ या $k=6$

$k=0$ द्विघात समीकरण में रखने पर $6=0$ प्राप्त होता है जो कि असम्भव है।

अतः $k$ का सही मान $k=6$ ही है। उत्तर

3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल $800 m^{2}$ हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

हल—माना कि आयताकार बगिया की चौड़ाई $=x m$ और आयताकार बगिया की लम्बाई $=2x m$

आयताकार बगिया का क्षेत्रफल $=$ लम्बाई $\times$ चौड़ाई

$=[2x \times x] m^{2}$

$=2x^{2} m^{2}$

प्रश्मानुसार

$2x^{2}=800$

$x^{2}=\frac{800}{2}=400$

$x= \pm \sqrt{400}$

$x= \pm 20$

$∵$ आयताकार बगिया की लम्बाई ऋनात्मक नहीं हो सकती।

इसलिए $x=-20$ को छोड़ने पर

$∴x=20$

यहाँ पर $x$ का मान वास्तविक प्राप्त हुआ है। इस कारण से ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है। उत्तर

$∴$ आयताकार बगिया की चौड़ाई $=20 m$

और आयताकार बगिया की लम्बाई $=(2 \times 20) m$

$=40 m$ उत्तर

प्रश्न 4. क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग $20$ वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल $48$ था।

हल— माना कि पहले मित्र की आयु $=x$ वर्ष

और दूसरे मित्र की आयु $=(20-x)$ वर्ष

चार वर्ष पूर्व,

पहले मित्र की आयु $=(x-4)$ वर्ष

और दूसरे मित्र की आयु $=(20-x-4)$ वर्ष

$=(16-x)$ वर्ष

$∴$ उनका गुणनफल $=(x-4)(16-x)$

$=16x-x^{2}-64+4x$

$=-x^{2}+20x-64$

प्रश्नानुसार

$-x^{2}+20x-64=48$

या $-x^{2}+20x-64-48=0$

या $-x^{2}+20x-112=0$

या $x^{2}-20x+112=0…(1)$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=1,b=-20,c=112$

विविक्तिकर $(D)=b^{2}-4ac$

$=(-20)^{2}-4 \times 1 \times 112$

$=400-448$

$=-48<0$

$∵$ मूल वास्तविक नहीं हैं।

इसलिए, $x$ का कोई मान द्विघात समीकरण (1) को सन्तुष्ट नहीं कर सकता।

अतः दी गई स्थिति सम्भव नहीं है। उत्तर

प्रश्न 5. क्या परिमाप $80 m$ तथा क्षेत्रफल $400 m^{2}$ के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— माना कि

आयताकार पार्क की लम्बाई $=x m$

आयताकार पार्क की चौड़ाई $=y m$

$∴$ आयताकार पार्क का परिमाप $=2(x+y) m$

और आयताकार पार्क का क्षेत्रफल $=xy m^{2}$

पहली शर्त के अनुसार, $2(x+y)=80$

$x+y=\frac{80}{2}=40$

$y=40-x…(1)$

दूसरी शर्त के अनुसार, $xy=400$

$x(40-x)=400$

[(1) का प्रयोग करने पर]

या $40x-x^{2}=400$

या $40x-x^{2}-400=0$

या $x^{2}-40x+400=0$

इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,

$∴a=1,b=-40,c=400$

विविक्तिकर $(D)=b^{2}-4ac$

$=(-40)^{2}-4 \times 1 \times 400$

$=1600-1600=0$

अतः इस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।

अब, $x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$=\frac{-(-40) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1}$

$=\frac{40}{2}=20$

जब $x=20$ , तो (1) से

$y=40-20=20$

$∴$ आयताकार पार्क की लम्बाई और चौड़ाई का माप $20 m$ के बराबर है।

अतः दी गई आयताकार पार्क का अस्तित्व सम्भव है और यह एक वर्ग है। उत्तर