RBSE Class 10 Mathematics Chapter 5 Solutions - in Hindi - समान्तर श्रेढ़ियाँ - RajBoardExam

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?

(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया $15$ रु. है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया $8$ रु. है।

(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है।

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत $150$ रु. है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत $50$ रु. बढ़ती जाती है।

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि $10000$ रु. की राशि $8%$ वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

हल—(i) माना कि टैक्सी का $n$ वें किलोमीटर का किराया $a_{n}$ से व्यक्त किया जाता है। अतः प्रश्नानुसार

$a_{1}=15$ km, $a_{2}=15+8=23$ ,

$a_{3}=23+8=31……$

अब $a_{3}-a_{2}=31-23=8$

$a_{2}-a_{1}=23-15=8$

यहाँ $a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}=8$

अतः दी गई स्थिति A.P. के रूप की है। उत्तर

(ii) माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को $a_{n}$ से व्यक्त किया जाता है।

प्रश्नानुसार

$a_{1}=x$ तब $a_{2}=x-\frac{1}{4}x$

$=\frac{4-1}{4}x=\frac{3}{4}x$ ;

$a_{3}=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}x-\frac{3}{16}x$

$=\frac{12-3}{16}x=\frac{9}{16}x$ और आगे भी

अब, $a_{3}-a_{2}=\frac{9}{16}x-\frac{3}{4}x$

$=\frac{9-12}{16}x=-\frac{3}{16}x$

$a_{2}-a_{1}=\frac{3}{4}x-x$

$=\frac{3-4}{4}x=-\frac{1}{4}x$

यहाँ $a_{3}-a_{2} \ne a_{2}-a_{1}$

$∴$ दी गई स्थिति A.P. का रूप नहीं है। उत्तर

(iii) माना कि एक कुआँ खोदने के $n$ वें मीटर की लागत को $a_{n}$ से व्यक्त किया जाता है।

प्रश्नानुसार

$a_{1}=150$ रु.

$a_{2}=(150+50)$ रु.

$=200$ रु.

$a_{3}=(200+50)$ रु.

$=250$ रु. और आगे भी

अब $a_{3}-a_{2}=(250-200)$ रु. $=50$ रु.

$a_{2}-a_{1}=(200-150)$ रु. $=50$ रु.

यहाँ $a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}=50$

$∴$ दी गई स्थिति A.P. का ही रूप है। उत्तर

(iv) माना कि $n$ वें वर्ष के मिश्रधन को $a_{n}$ से व्यक्त किया जाता है।

प्रश्नानुसार $a_{1}=10,000$ रु.

$a_{2}=10,000+\frac{10,000 \times 8 \times 1}{100}$ रु.

$=10,000+800=10,800$ रु.

$a_{3}=10,800+\frac{10,800 \times 8 \times 1}{100}$ रु.

$=10,800+864$ रु.

$=11,664$ रु. और इसी तरह आगे भी

अब $a_{3}-a_{2}=(11,664-10,800)$ रु.

$=864$ रु.

$a_{2}-a_{1}=(10,800-10,000)$ रु.

$=800$ रु.

यहाँ $a_{3}-a_{2} \ne a_{2}-a_{1}$

$∴$ दी गई स्थिति A.P. के रूप की नहीं है। उत्तर

2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद $a$ और सार्व अन्तर $d$ निम्नलिखित है :

(i)

a=10

d=10

(ii)

a=-2

d=0

(iii)

a=4

d=-3

गणित-कक्षा 10

(iv)

a=-1,d=\frac{1}{2}

(v)

a=-1.25,d=-0.25

हल—(i) प्रश्नुसार प्रथम पद $=a=10$

और सार्व अन्तर $=d=10$

$∴a_{1}=a=10$ ;

$a_{2}=a+d$

$=10+10=20$ ;

$a_{3}=a+2d=10+2 \times 10$

$=10+20=30$ ;

$a_{4}=a+3d=10+3 \times 10$

$=10+30=40$

अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं—

$10,20,30,40$ उत्तर

(ii) प्रश्नुसार

प्रथम पद $=a=-2$

और सार्व अन्तर $=d=0$

$∴a_{1}=a=-2$

$a_{2}=a+d=-2+0=-2$

$a_{3}=a+2d=-2+2 \times 0=-2$

$a_{4}=a+3d$

$=-2+3 \times 0=-2$

अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं—

$-2,-2,-2,-2$ , उत्तर

(iii) प्रश्नुसार

प्रथम पद $=a=4$

और सार्व अन्तर $=d=-3$

$∴a_{1}=a=4;a_{2}=a+d=4-3=1$

$a_{3}=a+2d=4+2(-3)=4-6=-2$

$a_{4}=a+3d=4+3(-3)=4-9=-5$

अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं—

$4,1,-2,-5$ , उत्तर

(iv) प्रश्नुसार

प्रथम पद $=a=-1$

और सार्व अन्तर $=d=\frac{1}{2}$

$∴a_{1}=a=-1;a_{2}=a+d$

$=-1+\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}$

$a_{3}=a+2d=-1+2\frac{1}{2}$

$=-1+1=0$

$a_{4}=a+3d=-1+3\frac{1}{2}$

$=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$

अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं—

$-1,\frac{-1}{2},0,\frac{1}{2}$ , उत्तर

(v) प्रश्नुसार

प्रथम पद $=a=-1.25$

और सार्व अन्तर $=d=-0.25$

$∴a_{1}=a=-1.25$

$a_{2}=a+d=-1.25-0.25=-1.50$

$a_{3}=a+2d=-1.25+2(-0.25)$

$=-1.25-0.50$

$=-1.75$

$a_{4}=a+3d=-1.25+3(-0.25)$

$=-1.25-0.75=-2$

अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं—

$-1.25,-1.50,-1.75,-2$ , उत्तर

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अन्तर लिखिए—

(i) $3,1,-1,-3,……$

(ii) $-5,-1,3,7,……$

(iii) $\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{13}{3},……$

(iv) $0.6,1.7,2.8,3.9,……$

हल—(i) प्रश्नुसार A.P. है, $3,1,-1,-3,……$

यहाँ $a_{1}=3,a_{2}=1,a_{3}=-1,a_{4}=-3……$

प्रथम पद $=a_{1}=3$

अब, $a_{2}-a_{1}=1-3=-2$

$a_{3}-a_{2}=-1-1=-2$

$a_{4}-a_{3}=-3+1=-2$

$∴a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=-2$

अतः, सार्व अन्तर $=-2$ और प्रथम पद $=3$ उत्तर

(ii) प्रश्नुसार A.P. है— $-5,-1,3,7,……$

यहाँ $a_{1}=-5,a_{2}=-1,a_{3}=3,a_{4}=7$

प्रथम पद $=a_{1}=-5$

अब, $a_{2}-a_{1}=-1+5=4$

$a_{3}-a_{2}=3+1=4$

$a_{4}-a_{3}=7-3=4$

$∴a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=4$

ा बुक्स

अतः, सार्व अन्तर $=4$

और प्रथम पद $=-5$ उत्तर

(iii) प्रश्नानुसार A.P. है : $\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{13}{3},……$

यहाँ $a_{1}=\frac{1}{3},a_{2}=\frac{5}{3},a_{3}=\frac{9}{3},a_{4}=\frac{13}{3}$

प्रथम पद $=a_{1}=\frac{1}{3}$

अब, $a_{2}-a_{1}=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}$

$a_{3}-a_{2}=\frac{9}{3}-\frac{5}{3}=\frac{9-5}{3}=\frac{4}{3}$

$a_{4}-a_{3}=\frac{13}{3}-\frac{9}{3}=\frac{13-9}{3}=\frac{4}{3}$

$∴a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=\frac{4}{3}$

अतः, सार्व अन्तर $=\frac{4}{3}$

और प्रथम पद $=\frac{1}{3}$ उत्तर

(iv) प्रश्नानुसार A.P. है– $0.6,1.7,2.8,3.9,……$

यहाँ $a_{1}=0.6,a_{2}=1.7,a_{3}=2.8,a_{4}=3.9$

प्रथम पद $=a_{1}=0.6$

अब, $a_{2}-a_{1}=1.7-0.6=1.1$

$a_{3}-a_{2}=2.8-1.7=1.1$

$a_{4}-a_{3}=3.9-2.8=1.1$

अतः, सार्व अन्तर $=1.1$

और प्रथम पद $=0.6$ उत्तर

4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए–

(i) $2,4,8,16,……………$

(ii) $2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},……$

(iii) $-1.2,-3.2,-5.2,-7.2,……$

(iv) $-10,-6,-2,2,……$

(v) $3,3+\sqrt{2},3+2\sqrt{2},3+3\sqrt{2},……$

(vi) $0.2,0.22,0.222,0.2222,……$

(vii) $0,-4,-8,-12,……$

(viii) $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},……$

(ix) $1,3,9,27,……$

(x) $a,2a,3a,4a,……$

(xi) $a,a^{2},a^{3},a^{4},……$

(xii) $\sqrt{2},\sqrt{8},\sqrt{18},\sqrt{32},……$

(xiii) $\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{9},\sqrt{12},……$

(xiv) $1^{2},3^{2},5^{2},7^{2},……$

(xv) $1^{2},5^{2},7^{2},73,……$

हल—(i) दिए गए पद हैं : $2,4,8,16,……$

यहाँ $a_{1}=2,a_{2}=4,a_{3}=8,a_{4}=16$

$a_{2}-a_{1}=4-2=2$

$a_{3}-a_{2}=8-4=4$

$∵a_{2}-a_{1} \ne a_{3}-a_{2}$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।

उत्तर

(ii) दिए गए पद हैं : $2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},……$

यहाँ $a_{1}=2,a_{2}=5/2,a_{3}=3,a_{4}=7/2$

$a_{2}-a_{1}=\frac{5}{2}-2=\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}$

$a_{3}-a_{2}=3-\frac{5}{2}=\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}$

$a_{4}-a_{3}=\frac{7}{2}-3=\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=\frac{1}{2}$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।

$∴$ सार्व अन्तर $=d=\frac{1}{2}$

अब, $a_{5}=a+4d=2+4\frac{1}{2}=4$

$a_{6}=a+5d=2+5\frac{1}{2}=\frac{5+4}{2}=\frac{9}{2}$

$a_{7}=a+6d=2+6\frac{1}{2}=2+3=5$

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $4,\frac{9}{2}$ और $5$ हैं। उत्तर

(iii) दिए गए पद हैं : $-1.2,-3.2,-5.2,-7.2,…$

यहाँ $a_{1}=-1.2,a_{2}=-3.2,$

गणित-कक्षा 10

$a_{3}=-5.2,a_{4}=-7.2$

$a_{2}-a_{1}=-3.2+1.2=-2$

$a_{3}-a_{2}=-5.2+3.2=-2$

$a_{4}-a_{3}=-7.2+5.2=-2$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=-2$

$∴$ सार्व अन्तर $=d=-2$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

अब, $a_{5}=a+4d$

$=-1.2+4(-2)$

$=-1.2-8=-9.2$

$a_{6}=a+5d=-1.2+5(-2)$

$=-1.2-10=-11.2$

$a_{7}=a+6d=-1.2+6(-2)$

$=-1.2-12=-13.2$

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $-9.2$ ,

$-11.2,-13.2$ हैं। उत्तर

(iv) दिए गए पद हैं : $-10,-6,-2,2,……$

यहाँ $a_{1}=-10,a_{2}=-6$ ,

$a_{3}=-2,a_{4}=2$

$a_{2}-a_{1}=-6+10=4$

$a_{3}-a_{2}=-2+6=4$

$a_{4}-a_{3}=2+2=4$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=4$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∴$ सार्व अन्तर $=d=4$

अब, $a_{5}=a+4d=-10+4(4)$

$=-10+16=6$

$a_{6}=a+5d=-10+5(4)$

$=-10+20=10$

$a_{7}=a+6d=-10+6(4)$

$=-10+24=14$

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $6,10$ ,

$14$ हैं। उत्तर

(v) दिए गए पद हैं : $3,3+\sqrt{2},3+2\sqrt{2}$ ,

$3+3\sqrt{2},……$

यहाँ $a_{1}=3,a_{2}=3+\sqrt{2}$ ,

$a_{3}=3+2\sqrt{2},a_{4}=3+3\sqrt{2}$

$a_{2}-a_{1}=3+\sqrt{2}-3=\sqrt{2}$

$a_{3}-a_{2}=3+2\sqrt{2}-(3+\sqrt{2})$

$=3+2\sqrt{2}-3-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$a_{4}-a_{3}=3+3\sqrt{2}-(3+2\sqrt{2})$

$=3+3\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=\sqrt{2}$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∴$ सार्व अन्तर $=d=\sqrt{2}$

अब, $a_{5}=a+4d=3+4(\sqrt{2})$

$=3+4\sqrt{2}$

$a_{6}=a+5d=3+5\sqrt{2}$

$a_{7}=a+6d=3+6\sqrt{2}$

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $3+4\sqrt{2}$ ,

$3+5\sqrt{2},3+6\sqrt{2}$ हैं। उत्तर

(vi) दिए गए पद हैं : $0.2,0.22,0.222,0.2222,……$

यहाँ $a_{1}=0.2,a_{2}=0.22$ ,

$a_{3}=0.222,a_{4}=0.2222$

$a_{2}-a_{1}=0.22-0.2=0.02$

$a_{3}-a_{2}=0.222-0.22=0.002$

$a_{4}-a_{3}=0.2222-0.222=0.0002$

$∵a_{2}-a_{1} \ne a_{3}-a_{2} \ne a_{4}-a_{3}$

$∴$ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं। उत्तर

(vii) दिए गए पद हैं : $0,-4,-8,-12,……$

यहाँ $a_{1}=0,a_{2}=-4$ ,

$a_{3}=-8,a_{4}=-12$

$a_{2}-a_{1}=-4-0=-4$

$a_{3}-a_{2}=-8+4=-4$

$a_{4}-a_{3}=-12+8=-4$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∴$ सार्व अन्तर $=d=-4$

अब, $a_{5}=a+4d=0+4(-4)=-16$

$a_{6}=a+5d=0+5(-4)=-20$

$a_{7}=a+6d=0+6(-4)=-24$

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $-16,-20$

और $-24$ हैं। उत्तर

(viii) दिए गए पद हैं : $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},……$

यहाँ $a_{1}=-\frac{1}{2},a_{2}=-\frac{1}{2}$ ,

$a_{3}=-\frac{1}{2},a_{4}=-\frac{1}{2}$

$a_{2}-a_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$

$a_{3}-a_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$

$a_{4}-a_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=0$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∵$ सार्व अन्तर $=d=0$

अब, $a_{5}=a_{6}=a_{7}=-\frac{1}{2}$

$∵a=-\frac{1}{2},d=0$

दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ उत्तर

(ix) दिए गए पद हैं : $1,3,9,27,……$

यहाँ $a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=9,a_{4}=27$

$a_{2}-a_{1}=3-1=2$

$a_{3}-a_{2}=9-3=6$

$a_{4}-a_{3}=27-9=18$

$∵a_{2}-a_{1} \ne a_{3}-a_{2} \ne a_{4}-a_{3}$

$∵$ दिए गए पद A.P. नहीं हैं।

(x) दिए गए पद हैं : $a,2a,3a,4a,……$

यहाँ $a_{1}=a,a_{2}=2a,a_{3}=3a,a_{4}=4a$

$a_{2}-a_{1}=2a-a=a$

$a_{3}-a_{2}=3a-2a=a$

$a_{4}-a_{3}=4a-3a=a$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=a$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∵$ सार्व अन्तर $=d=a$

अब, $a_{5}=a+4d=a+4(a)=a+4a=5a$

$a_{6}=a+5d=a+5a=6a$

$a_{7}=a+6d=a+6a=7a$

अतः दिए गये अनुक्रम के अगले तीन पद $5a,6a,7a$ उत्तर

(xi) दिए गए पद हैं : $a,a^{2},a^{3},a^{4},……$

यहाँ $a_{1}=a,a_{2}=a^{2},a_{3}=a^{3},a_{4}=a^{4}$

$a_{2}-a_{1}=a^{2}-a=a(a-1)$

$a_{3}-a_{2}=a^{3}-a^{2}=a^{2}(a-1)$

$∵a_{2}-a_{1} \ne a_{3}-a_{2}$

$∵$ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं। उत्तर

(xii) दिए गए पद हैं : $\sqrt{2},\sqrt{8},\sqrt{18},\sqrt{32},……$

यहाँ $a_{1}=\sqrt{2},a_{2}=\sqrt{8}$ ,

$a_{3}=\sqrt{18},a_{4}=\sqrt{32}$

या $a_{1}=\sqrt{2},a_{2}=2\sqrt{2}$ ,

$a_{3}=3\sqrt{2},a_{4}=4\sqrt{2}$

$a_{2}-a_{1}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$a_{3}-a_{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$a_{4}-a_{3}=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=\sqrt{2}$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∵$ सार्व अन्तर $=d=\sqrt{2}$

अब, $a_{5}=a+4d=\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

$a_{6}=a+5d=\sqrt{2}+5\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

$a_{7}=a+6d=\sqrt{2}+6\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

अतः दिए गये अनुक्रम के अगले तीन पद $5\sqrt{2}$ , $6\sqrt{2}$ और $7\sqrt{2}$ हैं। उत्तर

(xiii) दिए गए पद हैं : $\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{9},\sqrt{12},……$

यहाँ $a_{1}=\sqrt{3},a_{2}=\sqrt{6}$ ,

$a_{3}=\sqrt{9},a_{4}=\sqrt{12}$

या $a_{1}=\sqrt{3},a_{2}=\sqrt{6}$ ,

$a_{3}=3,a_{4}=2\sqrt{3}$

$a_{2}-a_{1}=\sqrt{6}-\sqrt{3}=\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)$

अतः, $a_{3}-a_{2}=\sqrt{9}-\sqrt{6}=\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$∵$ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

$∵a_{2}-a_{1} \ne a_{3}-a_{2}$

अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. नहीं है। उत्तर

(xiv) दिए गए पद हैं : $1^{2},3^{2},5^{2},7^{2},……$

यहाँ $a_{1}=1^{2},a_{2}=3^{2},a_{3}=5^{2},a_{4}=7^{2}$

या $a_{1}=1,a_{2}=9,a_{3}=25,a_{4}=49$

$a_{2}-a_{1}=9-1=8$

$a_{3}-a_{2}=25-9=16$

$∵a_{2}-a_{1} \ne a_{3}-a_{2}$

$∵$ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं। उत्तर

(xv) दिए गए पद हैं : $1^{2},5^{2},7^{2},73,……$

यहाँ $a_{1}=1^{2},a_{2}=5^{2},a_{3}=7^{2},a_{4}=73$

या $a_{1}=1,a_{2}=25,a_{3}=49,a_{4}=73$

$a_{2}-a_{1}=25-1=24$

$a_{3}-a_{2}=49-25=24$

गणित-कक्षा 10

$a_{4}-a_{3}=73-49=24$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=24$

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।

$∴$ सार्व अन्तर $=d=24$

अब, $a_{5}=a+4d=1+4(24)=1+96=97$

$a_{6}=a+5d=1+5(24)=1+120=121$

$a_{7}=a+6d=1+6(24)=1+144=145$

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद $97,121$ और $145$ हैं। उत्तर

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद $a$ , सार्व अन्तर $d$ और $n$ वाँ पद $a_{n}$ है :

	$a$	$d$	$n$	$a_{n}$
(i)	$7$	$3$	$8$	$…$
(ii)	$-18$	$…$	$10$	$0$
(iii)	$…$	$-3$	$18$	$-5$
(iv)	$-18.9$	$2.5$	$…$	$3.6$
(v)	$3.5$	$0$	$105$	$…$

हल—(i) $a=7,d=3,n=8$

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

$∴a_{8}=7+(8-1)3$

$=7+21=28$ उत्तर

(ii) $a=-18,n=10,a_{n}=0$

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

$∴a_{10}=-18+(10-1)d$

या $0=-18+9d$

या $9d=18$

या $d=\frac{18}{9}=2$ उत्तर

(iii) $d=-3,n=18,a_{n}=-5$

$a_{n}=a+(n-1)d$

$∴a_{18}=a+(18-1)(-3)$

या $-5=a-51$

या $a=-5+51=46$ उत्तर

(iv) $a=-18.9,d=2.5,a_{n}=3.6$

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

$∴3.6=-18.9+(n-1)2.5$

या $3.6+18.9=(n-1)2.5$

या $(n-1)2.5=22.5$

या $n-1=\frac{22.5}{2.5}=9$

या $n=9+1=10$ उत्तर

(v) $a=3.5,d=0,n=105$

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

$∴a_{n}=3.5+(105-1)0$

$a_{n}=3.5+0=3.5$ उत्तर

2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :

**(i) A.P. : $10,7,4,……$ , का $30$ वाँ पद है :**

**(A) $97$

**(B) $77$

**(C) $-77$

**(D) $-87$

**(ii) A.P. : $-3,-\frac{1}{2},2,……$ , का $11$ वाँ पद है :**

**(A) $28$

**(B) $22$

**(C) $-38$

**(D) $-48\frac{1}{2}$

हल—(i) दी गई A.P. है $10,7,4,……$

यहाँ $a_{1}=10,a_{2}=7,a_{3}=4$

$a_{2}-a_{1}=7-10=-3$

$a_{3}-a_{2}=4-7=-3$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=-3=d$ (माना)

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

अब $a_{30}=10+(30-1)(-3)$

$=10-87=-77$

$∴$ सही उत्तर (C) है। उत्तर

हल—(ii) दी गई A.P. है $-3,-\frac{1}{2},2,……$

यहाँ $a_{1}=-3,a_{2}=-\frac{1}{2},a_{3}=2,……$

$a_{2}-a_{1}=-\frac{1}{2}+3=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}$

$a_{3}-a_{2}=2+\frac{1}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\frac{5}{2}=d$ (माना)

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

अब $a_{11}=-3+(11-1)\frac{5}{2}$

$=-3+10 \times \frac{5}{2}=-3+25$

$=22$

$∴$ सही उत्तर (B) है। उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित समान्तर श्रेणियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

(i) $2,\square ,26$

(ii) $\square ,13,\square ,3$

(iii) $5,\square ,\square ,9\frac{1}{2}$

(iv) $-4,\square ,\square ,\square ,\square ,6$

(v) $\square ,38,\square ,\square ,\square ,-22$

हल— मान लीजिए दी गई A.P. का प्रथम पद $a$ तथा सार्व अन्तर $d$ है।

(i) यहाँ $a_{1}=a=2$

और $a_{3}=a+2d=26$

या $2+2d=26$

या $2d=26-2=24$

या $d=\frac{24}{2}=12$

$∴$ लुप्त पद $a_{2}=a+d$

$=2+12=14$

अतः रिक्त बॉक्स का पद $a_{2}=14$ उत्तर

(ii) यहाँ $a_{2}=a+d=13$ .... (1)

और $a_{4}=a+3d=3$ .... (2)

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर

$a+3d=3$

$a+d=13$

$2d=-10$

$d=\frac{-10}{2}=-5$

$d$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a-5=13$

$a=13+5=18$

$∴a_{1}=a=18$

$a_{3}=a+2d=18+2(-5)$

$=18-10=8$

अतः रिक्त बॉक्स के पद क्रमशः $18$ व $8$ हैं। उत्तर

(iii) यहाँ $a_{1}=a=5$

और $a_{4}=a+3d=9\frac{1}{2}$

या $a+3d=\frac{19}{2}$

या $5+3d=\frac{19}{2}$

या $3d=\frac{19}{2}-5$

या $3d=\frac{19-10}{2}=\frac{9}{2}$

या $d=\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}$

$a_{2}=a+d=5+\frac{3}{2}$

$=\frac{10+3}{2}=\frac{13}{2}=6\frac{1}{2}$

$a_{3}=a+2d=5+2\frac{3}{2}$

$=5+3=8$

अतः रिक्त बॉक्सों के पद क्रमशः $6\frac{1}{2}$ और $8$ हैं। उत्तर

(iv) यहाँ $a_{1}=a=-4$

$a_{6}=a+5d=6$

या $-4+5d=6$

या $5d=6+4$

या $5d=10$

या $d=\frac{10}{5}=2$

अब, $a_{2}=a+d=-4+2=-2$

$a_{3}=a+2d=-4+2(2)$

$=-4+4=0$

$a_{4}=a+3d=-4+3(2)$

$=-4+6=2$

$a_{5}=a+4d=-4+4(2)$

$=-4+8=4$

अतः रिक्त बॉक्सों में प्रविष्टियाँ $-2,0,2$ एवं $4$ होंगी। उत्तर

(v) यहाँ $a_{2}=a+d=38$ .... (1)

और $a_{6}=a+5d=-22$ .... (2)

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर

$a+5d=-22$

$a+d=38$

$\frac{---}{4d=-60}$

या $d=-\frac{60}{4}=-15$

$d$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a+(-15)=38$

$a=38+15=53$

$∴a_{1}=a=53$

$a_{3}=a+2d=53+2(-15)$

$=53-30=23$

$a_{4}=a+3d=53+3(-15)$

$=53-45=8$

$a_{5}=a+4d=53+4(-15)$

$=53-60=-7$

अतः रिक्त बॉक्सों में प्रविष्टियाँ $53,23,8$ तथा $-7$ होंगी।

प्रश्न 4. A.P. $3,8,13,18,.....$ का कौनसा पद 78 है?

हल— दी गई A.P. है : $3,8,13,18,.....$

$a_{1}=3,a_{2}=8,a_{3}=13,a_{4}=18$

$a_{2}-a_{1}=8-3=5$

$a_{3}-a_{2}=13-8=5$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=5=d$ (माना)

सूत्र $a_{n}=a+(n-1)d$ का प्रयोग करने पर,

या $78=3+(n-1)5$

या $5(n-1)=78-3$

या $n-1=\frac{75}{5}=15$

या $n=15+1=16$

अतः, दी गई A.P. का 16वाँ पद 78 है। उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित समान्तर श्रेणियों में से प्रत्येक श्रेणी में कितने पद हैं?

**(i) $7,13,19,.....,205$

**(ii) $18,15\frac{1}{2},13,.....,-47$

हल—(i) दी गई A.P. है $7,13,19,.....$

$a_{1}=7,a_{2}=13,a_{3}=19$

$a_{2}-a_{1}=13-7=6$

$a_{3}-a_{2}=19-13=6$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=6=d$ (माना)

सूत्र $a_{n}=a+(n-1)d$ का प्रयोग करने पर,

$205=7+(n-1)6$

या $(n-1)6=205-7$

या $(n-1)=\frac{198}{6}$

या $n-1=33$

या $n=33+1=34$

अतः, दी गई A.P. में 34 पद हैं। उत्तर

(ii) दी गई A.P. है $18,15\frac{1}{2},13,.....,-47$

$a_{1}=18,a_{2}=15\frac{1}{2}=\frac{31}{2},a_{3}=13$

$a_{2}-a_{1}=\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}=\frac{-5}{2}$

$a_{3}-a_{2}=13-\frac{31}{2}=\frac{26-31}{2}=-\frac{5}{2}$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\frac{-5}{2}=d$ (माना)

सूत्र $a_{n}=a+(n-1)d$ का प्रयोग करने पर,

$-47=18+(n-1)\frac{-5}{2}$

या $(n-1)\frac{-5}{2}=-47-18$

या $(n-1)\frac{-5}{2}=-65$

या $n-1=-65 \times -\frac{2}{5}$

या $n-1=26$

या $n=26+1=27$

अतः, दी गई श्रेढ़ी (A.P.) 27 पद हैं। उत्तर

प्रश्न 6. क्या A.P. $11,8,5,2,.....$ का एक पद $-150$ है? क्यों?

हल— दिया गया अनुक्रम है :

$11,8,5,2,.....$

$a_{1}=11,a_{2}=8,a_{3}=5,a_{4}=2$

$a_{2}-a_{1}=8-11=-3$

$a_{3}-a_{2}=5-8=-3$

$a_{4}-a_{3}=2-5=-3$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=-3=d$ (माना)

माना $-150$ दी गई A.P. का $n$ वाँ पद है।

$∴a_{n}=-150$

$a+(n-1)d=-150$

या $11+(n-1)(-3)=-150$

या $(n-1)(-3)=-150-11=-161$

या $n-1=\frac{161}{3}$

या $n=\frac{161}{3}+1=\frac{161+3}{3}$

या $n=\frac{164}{3}=54\frac{2}{3}$

जो कि एक प्राकृत संख्या नहीं है।

अतः, $-150$ दी गई A.P. का पद नहीं है। उत्तर

7. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

हल— माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

दिया है कि $a_{11}=38$

$a+(11-1)d=38$ $(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

$a+10d=38$ ....(1)

और $a_{16}=73$

$a+(16-1)d=73$ $(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

$a+15d=73$ ....(2)

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर

$a+15d=73$

$a+10d=38$

$---$

$5d=35$

$d=\frac{35}{5}=7$

$d$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a+10(7)=38$

या $a+70=38$

या $a=38-70=-32$

अब $a_{31}=a+(31-1)d=-32+30(7)$

$=-32+210=178$

अतः A.P. का 31वाँ पद का मान 178 होगा। उत्तर

8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

दिया है कि, $a_{3}=12$

$a+(3-1)d=12$ $(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $a+2d=12$ ....(1)

और अन्तिम पद $=a_{50}=106$

$a+(50-1)d=106$ $(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

$a+49d=106$ ....(2)

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर

$a+49d=106$

$a+2d=12$

$---$

$47d=94$

$d=\frac{94}{47}=2$

$d$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a+2(2)=12$

या $a+4=12$

या $a=12-4=8$

अब, $a_{29}=a+(29-1)d$

$=8+28(2)$

$=8+56=64$

अतः A.P. का 29वाँ पद का मान 64 होगा। उत्तर

**9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और $-8$ हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा?** (प्रश्न बैंक)

हल— माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

दिया है कि $a_{3}=4$

$a+(3-1)d=4$ $(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

$a+2d=4$ ....(1)

और $a_{9}=-8$

$a+(9-1)d=-8$ $(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $a+8d=-8$ ....(2)

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर

$a+8d=-8$

$a+2d=4$

$---$

$6d=-12$

$d=\frac{-12}{6}=-2$

$d$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a+2(-2)=4$

या $a-4=4$

या $a=4+4=8$

अब, $a_{n}=0$ (दिया है)

$a+(n-1)d=0$

या $8+(n-1)(-2)=0$

या $-2(n-1)=-8$

या $n-1=4$

या $n=4+1=5$

अतः, A.P. का 5वाँ पद शून्य है। उत्तर

10. किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

अब, $a_{17}=a+(17-1)d$

गणित-कक्षा 10

$=a+16d$

और $a_{10}=a+(10-1)d$

$=a+9d$

प्रश्नानुसार

$a_{17}-a_{10}=7$

$(a+16d)-(a+9d)=7$

या $a+16d-a-9d=7$

या $7d=7$

या $d=\frac{7}{7}=1$

अतः, सार्व अन्तर $1$ है। उत्तर

**11. A.P. : $3,15,27,39,……$ का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?**

हल— माना कि 'a' और 'd' क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

दी गई A.P. है : $3,15,27,39,……$

$a_{1}=3,a_{2}=15,a_{3}=27,a_{4}=39$

$a_{2}-a_{1}=15-3=12$

$a_{3}-a_{2}=27-15=12$

$∴d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=12$

अतः, $a_{54}=a+(54-1)d$

$=3+53(12)$

$=3+636=639$

प्रश्नानुसार

$a_{n}=a_{54}+132$

$a+(n-1)d=639+132$

$3+(n-1)(12)=771$

$(n-1)12=771-3=768$

या $n-1=\frac{768}{12}=64$

या $n=64+1=65$

अतः, श्रेणी का $65$ वाँ पद $54$ वें पद से $132$ अधिक है। उत्तर

**12. दो समान्तर श्रेणियों का सार्व अन्तर समान है। यदि इनके $100$ वें पदों का अन्तर $100$ है, तो इनके $1000$ वें पदों का अन्तर क्या होगा?**

हल— माना कि 'a' और 'd' पहली A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

साथ ही, 'A' और 'd' दूसरी A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

चूँकि यहाँ पर सार्व अन्तर दोनों श्रेणियों का समान है।

प्रश्नानुसार

[दूसरी A.P. का $a_{100}$ ] - [पहली A.P. का $a_{100}$ ] = $100$

या $[A+(100-1)d]-[a+(100-1)d]=100$

या $A+99d-a-99d=100$

या $A-a=100$ .... (1)

अब, [दूसरी A.P. का $a_{1000}$ ] - [पहली A.P. का $a_{1000}$ ]

$=[A+(1000-1)d]-[a+(1000-1)d]$

$=A+999d-a-999d$

$=A-a$

$=100$ [(1) का प्रयोग करने से]

अतः $1000$ वें पदों का अन्तर $=100$ उत्तर

**13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ $7$ से विभाज्य हैं?**

हल— $7$ से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याएँ :

$105,112,119,……,994$

यहाँ $a=a_{1}=105,a_{2}=112,a_{3}=119$ और $a_{n}=994$

$a_{2}-a_{1}=112-105=7$

$a_{3}-a_{2}=119-112=7$

$∴d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=7$

दिया है कि $a_{n}=994$

$a+(n-1)d=994$

या $105+(n-1)7=994$

या $(n-1)7=994-105$

या $(n-1)7=889$

या $n-1=\frac{889}{7}=127$

या $n=127+1=128$

अतः, तीन अंकों वाली $128$ संख्याएँ $7$ से विभाज्य हैं। उत्तर

**14. $10$ और $250$ के बीच में $4$ के कितने गुणज हैं?** (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल— $10$ से बड़ा $4$ का पहला गुणज $=12$

$250$ से छोटा $4$ का पहला गुणज $=248$

$∴10$ और $250$ के बीच $4$ के गुणजों की श्रेणी निम्न होगी : $12,16,20,24,……,248$

यहाँ $a=a_{1}=12,a_{2}=16,a_{3}=20$ और $a_{n}=248$

$a_{2}-a_{1}=16-12=4$

$a_{3}-a_{2}=20-16=4$

$∴d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=4$

दिया है कि $a_{n}=248$

$a+(n-1)d=248$

या $12+(n-1)4=248$

या $4(n-1)=248-12=236$

$n-1=\frac{236}{4}=59$

या $n=59+1=60$

अतः, 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं। उत्तर

15. $n$ के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढ़ियों $63,65,67,.....$ और $3,10,17,.....$ के $n$ वें पद बराबर होंगे?

हल— दी गई A.P. है : $63,65,67,.....$

यहाँ $a=a_{1}=63,a_{2}=65,a_{3}=67$

$a_{2}-a_{1}=65-63=2$

$a_{3}-a_{2}=67-65=2$

$∵d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=2$

और दूसरी A.P. है : $3,10,17,.....$

यहाँ $a=a_{1}=3,a_{2}=10,a_{3}=17$

$a_{2}-a_{1}=10-3=7$

$a_{3}-a_{2}=17-10=7$

प्रश्नानुसार

$(\text{पहली} A.P. \text{का} n\text{वाँ} \text{पद}]=[\text{दूसरी} A.P. \text{का} n\text{वाँ} \text{पद})$

$63+(n-1)2=3+(n-1)7$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $63+2n-2=3+7n-7$

या $61+2n=7n-4$

या $2n-7n=-4-61$

या $-5n=-65$

या $n=\frac{65}{5}=13$

अतः, दोनों समान्तर श्रेणियों के 13वें पद बराबर होंगे।

उत्तर

16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

हल— माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' क्रमशः दी गई A.P. के प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

दिया है कि $a_{3}=16$

$a+(3-1)d=16$

$a+2d=16$ .... (1)

प्रश्नानुसार

$a_{7}-a_{5}=12$

$[a+(7-1)d]-[a+(5-1)d]=12$

$a+6d-a-4d=12$

$2d=12$

$d=\frac{12}{2}=6$

$d$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a+2(6)=16$

$a=16-12=4$

$A.P.=a,a+d,a+2d,.........................$

अतः, दी गई A.P. हैं : $4,10,16,22,28,.....$ उत्तर

**17. A.P. : $3,8,13,.....,253$ में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।**

हल— दी गई A.P. है : $3,8,13,.....,253$

यहाँ $a=a_{1}=3,a_{2}=8,a_{3}=13$ और $a_{n}=253$

$a_{2}-a_{1}=8-3=5$

$a_{3}-a_{2}=13-8=5$

$∵d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=5$

अब $a_{n}=253$

$3+(n-1)5=253$

$(n-1)5=250$

$n-1=\frac{250}{5}=50$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

$n=50+1=51$

$AP \text{के} \text{अन्तिम} \text{पद} \text{से} 20\text{वाँ} \text{पद}$

$=(\text{पदों} \text{की} \text{कुल} \text{संख्या})-20+1$

$=51-20+1=32\text{वाँ} \text{पद}$

$∴AP \text{के} \text{अन्तिम} \text{पद} \text{से} 20\text{वाँ} \text{पद}=\text{आरम्भ} \text{से} 32\text{वाँ} \text{पद}$

$=3+(32-1)5$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

$=3+31 \times 5$

$=3+155=158$

अतः, A.P. के अन्तिम पद से 20वाँ पद $=158$ उत्तर

द्वितीय विधि

दिया है, $a=3$ , सार्व अन्तर $d=8-3=5$

अन्तिम पद $a_{n}=l=253$

सूत्र समान्तर श्रेणी में अन्तिम पद से $n$ वाँ पद

$=l-(n-1)d$

$=253-(20-1) \times 5$

$=253-19 \times 5$

$=253-95=158$

अतः, A.P. के अन्तिम पद से 20वाँ पद $158$ है। उत्तर

18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

गणित-कक्षा 10

हल—माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' क्रमशः दी गई A.P. के प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।

प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,

$a_{4}+a_{8}=24$

$a+(4-1)d+a+(8-1)d=24$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $2a+3d+7d=24$

या $2a+10d=24$

या $a+5d=12…(1)$

प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,

$a_{6}+a_{10}=44$

$a+(6-1)d+a+(10-1)d=44$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $2a+5d+9d=44$

या $2a+14d=44$

या $a+7d=22…(2)$

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर

$a+7d=22$

$a+5d=12$

$---$

$2d=10$

$d=\frac{10}{2}=5$

$d$ का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a+5(5)=12$

$a+25=12$

$a=12-25=-13$

$∴a_{1}=a=-13$

$a_{2}=a+d$

$=-13+5=-8$

$a_{3}=a+2d=-13+2(5)$

$=-13+10=-3$

अतः, वांछित A.P. के प्रथम तीन पद :

$=-13,-8,-3$ उत्तर

19. सुब्बाराव ने 1995 में 5000 रु. के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु. की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु. हो गया?

हल— सुब्बाराव का आरंभिक वेतन $=5000$ रु.

वार्षिक वृद्धि $=200$ रु.

मान लीजिए ' $n$ ' वर्षों की संख्या को निरूपित करता है।

$∴$ प्रथम पद $=a=5000$ रु.

सार्व अन्तर $=d=200$ रु.

और $a_{n}=7000$ रु.

$5000+(n-1)200=7000$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $(n-1)200=7000-5000$

या $(n-1)200=2000$

या $n-1=\frac{2000}{200}=10$

या $n=10+1$

$=11$

अतः 11वें वर्ष में अर्थात् 2006 में सुब्बाराव का वेतन 7000 रु. होगा। उत्तर

**20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 50 रु. की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 17.5 रु. बढ़ाती गई। यदि $n$ वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 207.5 रु. हो जाती है, तो $n$ ज्ञात कीजिए।**

हल— प्रथम सप्ताह में बचत $=50$ रु.

प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि $=17.5$ रु.

यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है जिसके पद हैं :

$a_{1}=50,d=17.5$

$∴a_{2}=50+17.5=67.5$

$a_{3}=67.5+17.5=85$

साथ ही, $a_{n}=207.5$ (दिया है)

$50+(n-1)17.5=207.5$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $(n-1)17.5=207.5-50$

या $(n-1)17.5=157.5$

या $(n-1)=\frac{15750}{100} \times \frac{100}{1750}$

या $n-1=9$

या $n=9+1=10$

अतः, 10वें सप्ताह में रामकली की बचत 207.5 रु. हो जाती है। उत्तर

प्रश्नावली 5.3

1. निम्नलिखित समान्तर श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) $2,7,12,………,10$ पदों तक।

(ii) $-37,-33,-29,………,12$ पदों तक।

(iii) $0.6,1.7,2.8,………,100$ पदों तक।

(iv) $\frac{1}{15},\frac{1}{12},\frac{1}{10},………,11$ पदों तक।

हल—(i) दी गई A.P. है : $2,7,12,.....$ $10$ पदों तक

यहाँ $a=2,d=7-2=5$

और $n=10$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर

$∴S_{10}=\frac{10}{2}[2 \times 2+(10-1)5]$

$=5[4+45]=5 \times 49=245$

अतः $10$ पदों तक का योग $=245$ उत्तर

(ii) दी गई A.P. है : $-37,-33,-29,.....$ $12$ पदों तक

यहाँ $a=-37,d=-33+37=4$

और $n=12$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर

$∴S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times (-37)+(12-1)4]$

$=6[-74+44]=6 \times (-30)$

$=-180$

अतः $12$ पदों तक योग $=-180$ उत्तर

(iii) दी गई A.P. है : $0.6,1.7,2.8,.....$ $100$ पदों तक

यहाँ $a=0.6,d=1.7-0.6=1.1$

और $n=100$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर

$∴S_{100}=\frac{100}{2}[2(0.6)+(100-1)1.1]$

$=50[1.2+108.9]=50 \times 110.1$

$=5505$

अतः $100$ पदों तक योग $=5505$ उत्तर

(iv) दी गई A.P. है : $\frac{1}{15},\frac{1}{12},\frac{1}{10},.....$

यहाँ $a=\frac{1}{15}$ ,

$d=\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{5-4}{60}$

$d=\frac{1}{60}$

और $n=11$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर

$∴S_{11}=\frac{11}{2}2\frac{1}{15}+(11-1)\frac{1}{60}$

$=\frac{11}{2}\frac{2}{15}+\frac{10}{60}=\frac{11}{2}\frac{2}{15}+\frac{1}{6}$

$=\frac{11}{2}\frac{4+5}{30}=\frac{33}{20}$

अतः श्रेणी के $11$ पदों तक योग $=\frac{33}{20}$ उत्तर

2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :

(i) $7+10\frac{1}{2}+14+.....+84$

(ii) $34+32+30+.....+10$

(iii) $-5+(-8)+(-11)+.....+(-230)$

हल—(i) दी गई A.P. है :

$7+10\frac{1}{2}+14+.....+84$

यहाँ $a=7,d=10\frac{1}{2}-7=\frac{21}{2}-7$

$=\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}$

और $l=a_{n}=84$

$a+(n-1)d=84$

या $7+(n-1)\frac{7}{2}=84$

या $(n-1)\frac{7}{2}=84-7=77$

या $n-1=77 \times \frac{2}{7}=22$

या $n=22+1=23$

अतः अनुक्रम में $23$ पद हैं।

अब, $S_{23}=\frac{23}{2}[7+84]$ [ $∵S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$ ]

$=\frac{23}{2} \times 91=\frac{2093}{2}=1046\frac{1}{2}$

गणित-कक्षा 10

अतः $7+10\frac{1}{2}+14+....+84=1046\frac{1}{2}$ उत्तर

(ii) दी गई A.P. है : $34+32+30+.....+10$

यहाँ $a=34,d=32-34=-2$

और $l=a_{n}=10$

$a+(n-1)d=10$

या $34+(n-1)(-2)=10$

या $-2(n-1)=10-34=-24$

या $n-1=\frac{24}{2}=12$

या $n=12+1=13$

अब, $S_{13}=\frac{13}{2}[34+10]$

$(∵S_{n}=\frac{n}{2}[a+l)$

$=\frac{13}{2} \times 44=286$

अतः $34+32+30+..........+10=286$ उत्तर

(iii) दी गई A.P. है :

$-5+(-8)+(-11)+.....+(-230)$

यहाँ $a=-5,d=-8+5=-3$

और $l=a_{n}=230$

$a+(n-1)d=-230$

या $-5+(n-1)(-3)=-230$

या $-3(n-1)=-230+5=-225$

या $n-1=\frac{225}{3}=75$

या $n=75+1=76$

अब, $S_{76}=\frac{76}{2}[-5+(-230)]$

$(∵S_{n}=\frac{n}{2}[a+l)$

$=38(-235)$

$=-8930$

अतः $-5+(-8)+(-11)+..........+(-230)=-8930$ उत्तर

3. एक A.P. में

(i) $a=5,d=3,a_{n}=50$ दिया है। $n$ और $S_{n}$ ज्ञात कीजिए,

(ii) $a=7,a_{13}=35$ दिया है। $d$ और $S_{13}$ ज्ञात कीजिए,

(iii) $a_{12}=37,d=3$ दिया है। $a$ और $S_{12}$ ज्ञात कीजिए,

(iv) $a_{3}=15,S_{10}=125$ दिया है। $d$ और $a_{10}$ ज्ञात कीजिए,

(v) $d=5,S_{9}=75$ , दिया है। $a$ और $a_{9}$ ज्ञात कीजिए,

(vi) $a=2,d=8,S_{n}=90$ दिया है। $n$ और $a_{n}$ ज्ञात कीजिए,

(vii) $a=8,a_{n}=62,S_{n}=210$ दिया है। $n$ और $d$ ज्ञात कीजिए,

(viii) $a_{n}=4,d=2,S_{n}=-14$ दिया है। $n$ और $a$ ज्ञात कीजिए,

(ix) $a=3,n=8,S=192$ दिया है। $d$ ज्ञात कीजिए,

(x) $l=28,S=144$ दिया है। और कुल पद 9 हैं। $a$ ज्ञात कीजिए।

हल—(i) दिया है $a=5,d=3,a_{n}=50$

$∵a+(n-1)d=50$

या $5+(n-1)3=50$

या $3(n-1)=50-5=45$

या $n-1=\frac{45}{3}=15$

या $n=15+1=16$

अब, $S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$

$=\frac{16}{2}[5+50]=8 \times 55$

$=440$

अतः $n=16$ तथा $S_{n}=440$ उत्तर

(ii) दिया है $a=7,a_{13}=35$

$a+(n-1)d=35$

या $7+(13-1)d=35$

या $12d=35-7=28$

या $d=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$

अब, $S_{13}=\frac{13}{2}[7+35]$

$(∵S_{n}=\frac{n}{2}[a+l)$

$=\frac{13}{2} \times 42=13 \times 21$

$=273$

अतः $d=\frac{7}{3}$ तथा $S_{13}=273$ उत्तर

(iii) दिया है $a_{12}=37,d=3$

$a+(n-1)d=37$

या $a+(12-1)3=37$

$a+11 \times 3=37$

या $a=37-33=4$

अब, $S_{12}=\frac{12}{2}[4+37]$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$

$=6 \times 41=246$

अतः $a=4$ तथा $S_{12}=246$ उत्तर

(iv) दिया है $a_{3}=15,S_{10}=125$

$a+(n-1)d=35$

या $a+(3-1)d=15$

या $a+2d=15$ .... (1)

$\frac{10}{2}[2a+(10-1)d]=125$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

या $5[2a+9d]=125$

या $2a+9d=\frac{125}{5}$

या $2a+9d=25$ .... (2)

(1) से $a=15-2d$ .... (3)

$a$ का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2(15-2d)+9d=25$

या $30-4d+9d=25$

या $5d=25-30$

या $d=\frac{-5}{5}=-1$

$d$ का मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$a=15-2(-1)$

$a=15+2=17$

अब, $a_{10}=17+(10-1)(-1)$

$∵S_{n}=a+(n-1)d$

$=17-9=8$

अतः $d=-1$ तथा $a_{10}=8$ उत्तर

(v) दिया है $d=5,S_{9}=75$

$\frac{9}{2}[2a+(9-1)5]=75$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

या $\frac{9}{2}[2a+40]=75$

या $2a+40=\frac{75 \times 2}{9}=\frac{50}{3}$

या $2a=\frac{50}{3}-40=\frac{50-120}{3}$

या $a=-\frac{70}{3} \times \frac{1}{2}$

या $a=-\frac{35}{3}$

अब, $a_{9}=a+(n-1)d$

$=\frac{-35}{3}+(9-1) \times 5$

$=\frac{-35}{3}+40$

$=\frac{-35+120}{3}$

$a_{9}=\frac{85}{3}$

अतः $a=\frac{-35}{3}$ तथा $a_{9}=\frac{85}{3}$ उत्तर

(vi) दिया है $a=2,d=8,S_{n}=90$

$∵\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=90$

या $\frac{n}{2}[2 \times 2+(n-1)8]=90$

या $n[2+4n-4]=90$

या $n(4n-2)=90$

या $4n^{2}-2n-90=0$

या $2n^{2}-n-45=0$

| S = -1

P = -45 × 2 = -90

या $2n(n-5)+9(n-5)=0$

या $(2n+9)(n-5)=0$

अर्थात् $2n+9=0$

या $n-5=0$

अर्थात् $n=-\frac{9}{2}$ or $n=5$

$∵n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए $n=\frac{-9}{2}$ को छोड़ने पर,

गणित-कक्षा 10

$∵$ $n=5$

अब, $a_{n}=a_{5}=a+(n-1)d$

$=2+(5-1)8$

$=2+32=34$

अतः $n=5$ तथा $a_{n}=34$ उत्तर

(vii) दिया है $a=8,a_{n}=62,S_{n}=210$

$∵$ $\frac{n}{2}[a+a_{n}]=210$

या $\frac{n}{2}[8+62]=210$

या $\frac{n}{2} \times 70=210$

या $n=\frac{210}{35}=6$

अब, $a_{n}=62$

$8+(6-1)d=62$

[ $∵T_{n}=a+(n-1)d$ ]

या $5d=62-8=54$

या $d=\frac{54}{5}$

अतः $n=6$ तथा $d=\frac{54}{5}$ उत्तर

(viii) दिया है $a_{n}=4,d=2,S_{n}=-14$

$∵$ $a+(n-1)d=4$

या $a+(n-1)2=4$

या $a+2n-2=4$

या $a=6-2n$ .... (1)

और $S_{n}=-14$

या $\frac{n}{2}[a+a_{n}]=-14$

या $\frac{n}{2}[6-2n+4]=-14$

[(1) के प्रयोग से]

या $\frac{n}{2}[10-2n]=-14$

या $5n-n^{2}+14=0$

या $n^{2}-5n-14=0$ | $S=-5$

या $n^{2}-7n+2n-14=0$ | $P=1 \times -14$

या $n(n-7)+2(n-7)=0$ | $=-14$

या $(n-7)(n+2)=0$

अर्थात् $n-7=0$ या $n+2=0$

$n=7$ या $n=-2$

$∵$ $n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता।

$∵$ $n=-2$ को छोड़ने पर

$∴$ $n=7$

$n$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a=6-2 \times 7$

$a=6-14=-8$

अतः $a=-8$ तथा $n=7$ उत्तर

(ix) दिया है $a=3,n=8,S=192$

$⇒$ $S_{8}=192$ [ $∵n=8$ ]

या $\frac{8}{2}[2 \times 3+(8-1)d]=192$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

या $4[6+7d]=192$

या $6+7d=\frac{192}{4}=48$

या $7d=48-6=42$

या $d=\frac{42}{7}=6$ उत्तर

(x) दिया है $l=28,S=144$ और कुल पद $9$ हैं।

$∴$ $n=9;l=a_{9}=28;S_{9}=144$

या $a+(9-1)d=28$

[ $∵a_{n}=a_{9}=9+(n-1)d$ ]

या $a+8d=28$ .... (1)

और $S_{9}=144$

$\frac{9}{2}[a+28]=144$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[a+a_{n}]$

या $a+28=\frac{144 \times 2}{9}=32$

$a=32-28=4$ उत्तर

4. $636$ योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : $9,17,25,.....$ के कितने पद लेने चाहिए?

हल—दिया है : A.P. $9,17,25,.....$

यहाँ $a=9,d=17-9=8$

क्योंकि $S_{n}=636$

$\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=636$

या $\frac{n}{2}[2 (9)+(n-1) 8]=636$

या $\frac{n}{2}[18+8n-8]=636$

या $n[4n+5]=636$

या $4n^{2}+5n-636=0$

व्यापक द्विघात समीकरण से तुलना करने पर—

या $a=4,b=5,c=-636$

$D=(5)^{2}-4 \times 4 \times (-636)$

$=25+10176$

$=10201$

$∴n=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$=\frac{-5 \pm \sqrt{10201}}{2 \times 4}=\frac{-5 \pm 101}{8}$

$=\frac{-106}{8}$ या $\frac{96}{8}=-\frac{53}{4}$ या $12$

$∵n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता।

अतः: $n=-\frac{53}{4}$ को छोड़ने पर

$∴n=12$

अतः दी गई A.P. के $12$ पदों का योग $636$ है। उत्तर

5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।

हल—दिया है $a=5;l=a_{n}=45$

और $S_{n}=400$

$a+(n-1) d=45$

या $5+(n-1) d=45$

या $(n-1) d=45-5$

या $(n-1) d=40$ ....(1)

और $S_{n}=400$

$\frac{n}{2}[a+a_{n}]=400$

या $\frac{n}{2}[5+45]=400$

या $25n=400$

या $n=\frac{400}{25}=16$

$n$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$(16-1) d=40$

या $15d=40$

या $d=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}$

अतः, $n=16$ और $d=\frac{8}{3}$ उत्तर

6. किसी A.P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है? ( प्रश्न बैंक )

हल—दिया है कि

प्रथम पद $=a=17$ ;

अन्तिम पद $=l=a_{n}=350$

और सार्व अन्तर $=d=9$

$∵l=a_{n}=350$

$a+(n-1) d=350$

$17+(n-1) 9=350$

या $9 (n-1)=350-17=333$

या $n-1=\frac{333}{9}=37$

या $n=37+1=38$

अब, $S_{38}=\frac{n}{2}[a+l]$

$=\frac{38}{2}[17+350]$

$=19 \times 367=6973$

अतः दी गई A.P. के $38$ पदों का योग $6973$ है। उत्तर

**7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें $d=7$ और $22$ वाँ पद $149$ है।**

हल—दिया है कि $d=7,a_{22}=149$

और $n=22$

$∵a_{22}=149$

$∴a+(n-1) d=149$

या $a+(22-1) 7=149$

या $a+147=149$

या $a=149-147=2$

अब, $S_{22}=\frac{n}{2}[a+a_{22}]$

$=\frac{22}{2}[2+149]$

$=11 \times 151=1661$

अतः, दी गई A.P. के प्रथम 22 पदों का योग $1661$ है। उत्तर

8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

गणित-कक्षा 10

हल—माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' प्रथम पद और सार्व अन्तर है।

दिया गया है कि $a_{2}=14;a_{3}=18$

और $n=51$

$∵a_{2}=14$

$a+(2-1)d=14$

या $a+d=14$

$a=14-d$ .... (1)

और $a_{3}=18$ (दिया है)

$∵a+(3-1)d=18$

या $a+2d=18$

या $14-d+2d=18$

या $d=18-14=4$

या $d=4$

$d$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$a=14-4=10$

अब, $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$∴S_{51}=\frac{51}{2}[2 \times 10+(51-1)4]$

$=\frac{51}{2}[20+200]$

$=\frac{51}{2} \times 220=51 \times 110=5610$

अतः, दी गई A.P. के प्रथम $51$ पदों का योग $5610$ है। उत्तर

9. यदि किसी A.P. के प्रथम $7$ पदों का योग $49$ है और प्रथम $17$ पदों का योग $289$ है, तो इसके प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

हल— माना कि ' $a$ ' और ' $d$ ' दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर है।

पहली शर्त के अनुसार,

$S_{7}=49$

$\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=S_{n}$

या $\frac{7}{2}[2a+(7-1)d]=49$

या $\frac{7}{2}[2a+6d]=49$

या $a+3d=7$

या $a=7-3d$ .... (1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

$S_{17}=289$

$∴\frac{17}{2}[2a+(17-1)d]=289$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$a+8d=\frac{289}{17}=17$

$a$ का मान (1) से प्रतिस्थापित करने पर,

$7-3d+8d=17$

$5d=17-7=10$

$d=\frac{10}{5}=2$

$d$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$a=7-3 \times 2$

$a=7-6=1$

अब, $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{n}{2}[2 \times 1+(n-1) \times 2]$

$=\frac{n}{2}[2+2n-2]=\frac{n}{2} \times 2n=n^{2}$

अतः, दी गई A.P. की प्रथम $n$ पदों का योग $n^{2}$ है। उत्तर

10. दर्शाइए कि $a_{1},a_{2},......,a_{n},.....$ से एक A.P. बनती है, यदि $a_{n}$ नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :

(i) $a_{n}=3+4n$

( प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

(ii) $a_{n}=9-5n$

साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम $15$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल—(i) दिया है कि $a_{n}=3+4n$ .... (1)

$n$ के विभिन्न मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a_{1}=3+4(1)=7;$

$a_{2}=3+4(2)=11$

$a_{3}=3+4(3)=15,.....$

अब $a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2}$ का मान ज्ञात करेंगे

$∵a_{2}-a_{1}=11-7=4$

और $a_{3}-a_{2}=4=d$ (मान लीजिए)

$∴$ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।

यहाँ $a=7,d=4$ और $n=15$

$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[2(7)+(15-1)4]$

96 संजय बुक्स

$=\frac{15}{2}[14+56]=\frac{15}{2} \times 70$

$=15 \times 35=525$ उत्तर

(ii) दिया है कि $a_{n}=9-5n$ .... (1)

$n$ के विभिन्न मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$a_{1}=9-5(1)=4$ ;

$a_{2}=9-5(2)=-1$ ;

$a_{3}=9-5(3)=-6$

अब, $a_{2}-a_{1}=-1-4=-5$

और $a_{3}-a_{2}=-6+1=-5$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=-5=d$ (मान लीजिए)

$∵$ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।

यहाँ $a=4,d=-5$ और $n=15$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[2(4)+(15-1)(-5)]$

$=\frac{15}{2}[8-70]$

$=\frac{15}{2}(-62)=15 \times (-31)$

$=-465$

अतः अनुक्रम $=4,-1,-6,........$ तथा योगफल $=-465$ उत्तर

प्रश्न 11. यदि किसी A.P. के प्रथम $n$ पदों का योग $4n-n^{2}$ है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् $S_{1}$ ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और $n$ वें पद ज्ञात कीजिए।

हल— दिया है कि A.P. के $n$ पदों का योग

$S_{n}=4n-n^{2}$ .... (1)

$n=1$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$S_{1}=4(1)-(1)^{2}=4-1$

$S_{1}=3$

$∵a=a_{1}=S_{1}=3$

$n=2$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$S_{2}=4(2)-(2)^{2}=8-4$

$S_{2}=4$

या $a_{1}+a_{2}=4$

या $3+a_{2}=4$

या $a_{2}=4-3=1$

$n=3$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

$S_{3}=4(3)-(3)^{2}=12-9$

या $S_{3}=3$

या $S_{2}+a_{3}=3$

या $4+a_{3}=3$

या $a_{3}=3-4=-1$

अब, $d=a_{2}-a_{1}$

$=1-3=-2$

$∵a_{10}=a+(n-1)d$

$=3+(10-1)(-2)$

$a_{10}=3-18=-15$

और $a_{n}=a+(n-1)d$

$=3+(n-1)(-2)$

$=3-2n+2$

$=5-2n$

अतः $S_{1}=3$

प्रथम दो पदों का योग $S_{2}=4$

दूसरा पद $a_{2}=1$

तीसरा पद $a_{3}=-1$

10वाँ पद $a_{10}=-15$

तथा $n$ वाँ पद $a_{n}=5-2n$ उत्तर

प्रश्न 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— 6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं :

$6,12,18,24,30,36,42,.....$

यहाँ $a=a_{1}=6,a_{2}=12,a_{3}=18,a_{4}=24$

$a_{2}-a_{1}=12-6=6$

$a_{3}-a_{2}=18-12=6$

$a_{4}-a_{3}=24-18=6$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=6=d$ (मान लीजिए)

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर,

$S_{40}=\frac{40}{2}[2(6)+(40-1)6]$

$=20[12+234]$

$=20(246)=4920$

अतः, 6 से विभाज्य 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है। उत्तर

प्रश्न 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

हल— 8 के गुणज हैं : $8,16,24,32,40,48,.....$

15 पदों तक

यहाँ $a=a_{1}=8,a_{2}=16,a_{3}=24,a_{4}=32$

$a_{2}-a_{1}=16-8=8$

गणित-कक्षा 10

$a_{3}-a_{2}=24-16=8$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=8=d$ (मान लीजिए)

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर,

$S_{15}=\frac{15}{2}[2 (8)+(15-1) 8]$

$=\frac{15}{2}[16+112]$

$=\frac{15}{2} \times 128=960$

अतः, $8$ के प्रथम $15$ गुणजों का योग $960$ है। उत्तर

**14. $0$ और $50$ के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।** (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल— $0$ और $50$ के बीच की विषम संख्याएँ हैं :

$1,3,5,7,9,……,49$

यहाँ $a=a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=5,a_{4}=7$

और $l=a_{n}=49$

$a_{2}-a_{1}=3-1=2$

$a_{3}-a_{2}=5-3=2$

$∵a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=2=d$ (मान लीजिए)

साथ ही $l=a_{n}=49$

$a+(n-1) d=49$

$1+(n-1) 2=49$

या $2 (n-1)=49-1=48$

या $n-1=\frac{48}{2}=24$

या $n=24+1=25$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1) d]$ का प्रयोग करने पर,

$S_{25}=\frac{25}{2}[2 (1)+(25-1) 2]$

$=\frac{25}{2}[2+48]$

$=\frac{25}{2} \times 50=625$

अतः, $0$ और $50$ के बीच की विषम संख्याओं का योग $625$ है। उत्तर

**15. निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए $200$ रु., दूसरे दिन के $250$ रु., तीसरे दिन के लिए $300$ रु. इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से $50$ रु. अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में $30$ दिन का विलम्ब् कर देता है?**

हल— पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना है : $200$ रु., $250$ रु., $300$ रु.

अब, जुर्माना अगले दिन $50$ रु. के अन्तर से बढ़ता जाता है।

$∴$ अभीष्ट A.P. है :

$200$ रु., $250$ रु., $300$ रु., $350$ रु $……$

यहाँ $a=a_{1}=200;d=50$ और $n=30$

$30$ दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुर्माने की राशि $=S_{30}$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1) d]$

$∴S_{30}=\frac{30}{2}[2 (200)+(30-1) 50]$

$=15 [400+1450]$

$=15 (1850)=27750$

अतः, यदि ठेकेदार कार्य में $30$ दिन विलम्ब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में $27,750$ रु. देने होंगे। उत्तर

**16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए $7$ नकद पुरस्कार देने के लिए $700$ रु. की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से $20$ रु. कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।**

हल— मान लीजिए पहले विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि $=x$ रु.

दूसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि $=(x-20)$ रु.

तीसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि $=[x-20-20]$ रु.

$=(x-40)$ रु.

$∴$ अभीष्ट अनुक्रम है :

$x$ रु., $(x)$ रु., $(x)$ रु. $……$

जो कि एक A.P. बनाती है, जिसमें

$a=x$ रु., $d=-20$ और $n=7$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1) d]$ का प्रयोग करने पर,

$S_{7}=\frac{7}{2} [2 (x)+(7-1) (-20)]$

$S_{7}=\frac{7}{2}[2x-120]=7(x-60)$

प्रश्न के अनुसार,

$7(x-60)=700$

$x-60=\frac{700}{7}=100$

$x=100+60$

$x=160$

अतः 7 पुरस्कार हैं : $160$ रु., $140$ रु., $120$ रु., $100$ रु., $80$ रु., $60$ रु., $40$ रु। उत्तर

17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

हल— कक्षा I के तीन अनुभागों द्वारा लगाये गये पेड़ों की संख्या $=3 \times 1=3$

कक्षा II के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या $=3 \times 2=6$

कक्षा III के तीन भागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या $=3 \times 3=9$

.......................................................................................

कक्षा XII के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या $=3 \times 12=36$

$∴$ अभीष्ट A.P. है : $3,6,9,……,36$

यहाँ, $a=a_{1}=3;a_{2}=6;a_{3}=9$ और $l=a_{n}=36;n=12$

$d=a_{2}-a_{1}=6-3=3$

विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या $=S_{12}$

विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ $=\frac{n}{2}[a+l]$

$S_{12}=\frac{12}{2}[3+36]=6 \times 39=234$

अतः, वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा 234 पेड़ लगाए जाएँगे। उत्तर

18. केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं $0.5 cm,1.0 cm,1.5 cm,2.0 cm,……$ वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (प्रश्न बैंक)

( $\pi =\frac{22}{7}$ लीजिये)

[ संकेत : क्रमशः केन्द्रों A, B, A, B, $……$ वाले अर्धवृत्तों की लम्बाइयाँ $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$ हैं।]

[अर्धवृत्तों से बना सर्पिल (Spiral) जिसमें केन्द्र A और B तथा अर्धवृत्त l_1, l_2, l_3, l_4 दर्शाए गए हैं]

कक्षा 10 गणित पाठ 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ चित्र 1

हल— मान लीजिए $l_{1}=$ प्रथम अर्धवृत्त की लम्बाई

$= \pi r_{1}= \pi (0.5)=\frac{ \pi }{2}$

$l_{2}=$ दूसरे अर्धवृत्त की लम्बाई

$= \pi r_{2}= \pi (1)= \pi$

$l_{3}=$ तीसरे अर्धवृत्त की लम्बाई

$= \pi r_{3}= \pi (1.5)=\frac{3 \pi }{2}$

और $l_{4}=$ चौथे अर्धवृत्त की लम्बाई

$= \pi r_{4}= \pi (2)=2 \pi$

इसी तरह आगे भी

$∵$ प्रत्येक उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों की लम्बाई एक A.P. बनाती है।

यहाँ $a=a_{1}=\frac{ \pi }{2};a_{2}= \pi ;$

$a_{3}=\frac{3 \pi }{2};a_{4}=2 \pi ……$ और $n=13$

$d=a_{2}-a_{1}= \pi -\frac{ \pi }{2}$

$=\frac{2 \pi - \pi }{2}=\frac{ \pi }{2}$

$d=a_{3}-a_{2}$

$=\frac{3 \pi }{2}- \pi =\frac{ \pi }{2}$

गणित-कक्षा 10

सर्पिल की कुल लम्बाई $=S_{13}$

$=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{13}{2}2\frac{ \pi }{2}+(13-1)\frac{ \pi }{2}$

$=\frac{13}{2}[ \pi +6 \pi ]$

$=\frac{13}{2} \times 7 \pi =\frac{13}{2} \times 7 \times \frac{22}{7}=143$

अतः, तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लम्बाई $143 cm$ है। उत्तर

प्रश्न 19. $200$ लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में $20$ लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में $19$ लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में $18$ लट्ठे, इत्यादि ( देखिए आकृति )। ये $200$ लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

[लट्ठों की ढेरी का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ चित्र 2

हल— सबसे नीचे वाली पहली पंक्ति में (लट्ठों की संख्या) $=20$

दूसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या $=19$

तीसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या $=18$

इसी प्रकार आगे भी

$∴$ प्रत्येक पंक्ति में रखे गए लट्ठों की संख्या एक A.P. बनाती है।

यहाँ $a=a_{1}=20$ ;

$a_{2}=19;a_{3}=18……$

$d=a_{2}-a_{1}$

$=19-20=-1$

मान लीजिए $S_{n}$ लट्ठों की कुल संख्या को व्यक्त करता है।

सूत्र का प्रयोग करने पर,

$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$∴S_{n}=\frac{n}{2}[2(20)+(n-1)(-1)]$

$=\frac{n}{2}[40-n+1]$

$=\frac{n}{2}[41-n]$

प्रश्नुसार

$\frac{n}{2}[41-n]=200$

या $41n-n^{2}=400$

या $n^{2}-41n+400=0∣S=-41$

या $n^{2}-16n-25n+400=0∣P=400$

या $n(n-16)-25(n-16)=0$

या $(n-16)(n-25)=0$

अर्थात् $n-16=0$ या $n-25=0$

अथवा $n=16$ या $n=25$

$n=16,25$ .

**स्थिति I. जब $n=25$

$a_{25}=a+(n-1)d$

$=20+(25-1)(-1)$

$=20-24=-4$ ; जो कि असम्भव है

$∴n=25$ छोड़ देते हैं

**स्थिति II. जब $n=16$

$a_{16}=a+(n-1)d$

$=20+(16-1)(-1)$

$=20-15=5$

अतः, कुल $16$ पंक्तियाँ हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में $5$ लट्ठे हैं। उत्तर

प्रश्न 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से $5 m$ की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर $3 m$ की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर $10$ आलू रखे गए हैं ( देखिए आकृति )।

[आलू दौड़ का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ चित्र 3

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

[ संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी $=2 \times 5+2 \times (5+3)$ है।]

हल— पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी

$=2(5) m=10 m$

क बुक्स

उत्तरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी $=3 m$

$∵$ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी

$=2(5+3) m=16 m$

तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी

$=2(5+3+3) m=22 m$

चौथा आलू उठाने के लिये तय की गई दूरी

$=2(5+3+3+3) m=28 m$

और यह प्रतिक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A.P. बन जाती है।

$10 m,16 m,22 m,28 m,……$ $10$ पदों तक

यहाँ $a=a_{1}=10;a_{2}=16;a_{3}=22,……$

$d=a_{2}-a_{1}=16-10=6$

और $n=10$

$∵$ प्रतियोगी को कुल जितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी

$=S_{10}$

$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$∵S_{10}=\frac{10}{2}[2(10)+(10-1)6]$

$=5[20+54]$

$5 \times 74=370$

अतः, प्रतियोगी को कुल $370 \text{मी}.$ की दूरी दौड़नी पड़ेगी। उत्तर

प्रश्नावली 5.4 (ऐच्छिक)

प्रश्न 1. A.P. : $121,117,113,……$ का कौनसा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा? [संकेत : $a_{n}<0$ के लिए $n$ ज्ञात कीजिये।]

हल— प्रश्नानुसार A.P. : $121,117,113,……$

यहाँ $a=a_{1}=121,a_{2}=117,a_{3}=113,……$

$d=a_{2}-a_{1}=117-121=-4$

$∵a_{n}=a+(n-1)d$

$a_{n}=121+(n-1)(-4)$

$=121-4n+4$

$=125-4n$

$a_{n}<0$

या $125-4n<0$

या $4n>125$

या $n>\frac{125}{4}$

या $n>31.25$

क्योंकि $n$ एक पूर्णांक है।

अतः पहले ऋणात्मक पद के लिए $n$ एक पूर्णांक होगा।

$∵n=32$

अतः, दी गई A.P. का $32$ वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा। उत्तर

प्रश्न 2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग $6$ है और उनका गुणनफल $8$ है। इस A.P. के प्रथम $16$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल— मान लीजिए ' $a$ ' और ' $d$ ' दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर है।

पहली शर्त के अनुसार,

$a_{3}+a_{7}=6$

$[a+(3-1)d]+[a+(7-1)d]=6$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $a+2d+a+6d=6$

या $2a+8d=6$

या $a+4d=3……(1)$

दूसरी शर्त के अनुसार,

$a_{3}(a_{7})=8$

$[a+(3-1)d][a+(7-1)d]=8$

$(∵a_{n}=a+(n-1)d)$

या $(a+2d)(a+6d)=8$

या $[3-4d+2d][3-4d+6d]=8$

$( \text{समीकरण} (1) \text{से} a=3-4d)$

या $(3-2d)(3+2d)=8$

या $9-4d^{2}=8$

या $4d^{2}=9-8$

या $d^{2}=\frac{1}{4}$

या $d= \pm \frac{1}{2}$

स्थिति I. जब $d=\frac{1}{2}$

$d=\frac{1}{2}$ का मान $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर

$a+4\frac{1}{2}=3$

या $a+2=3$

या $a=3-2=1$

सूत्र का प्रयोग करने पर, $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$∴S_{16}=\frac{16}{2}2(1)+(16-1)\frac{1}{2}$

गणित-कक्षा 10

101

$=82+\frac{15}{2}$

$=8\frac{4+15}{2}=\frac{19}{2}$

$S_{16}=76$ उत्तर

स्थिति II. जब $d=-\frac{1}{2}$

$d=-\frac{1}{2}$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$a+4-\frac{1}{2}=3$

या $a-2=3$

या $a=3+2=5$

सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ का प्रयोग करने पर,

$S_{16}=\frac{16}{2}2(5)+(16-1)-\frac{1}{2}$

$=810-\frac{15}{2}$

$=8\frac{20-15}{2}=\frac{5}{2}$

$S_{16}=20$

अतः 16 पदों का योगफल $=20,76$ उत्तर

प्रश्न 3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर $25 cm$ की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डंडों की लम्बाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लम्बाई $45 cm$ है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लम्बाई $25 cm$ है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी $2\frac{1}{2} m$ है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?

[संकेत : डंडों की संख्या $=\frac{250}{25}+1$ है।]

हल—प्रथम व अन्तिम डंडे के बीच की दूरी

$=2\frac{1}{2} m=\frac{5}{2} m$

[सीढ़ी और उसके डंडों की लम्बाई दर्शाने वाली आकृति]

कक्षा 10 गणित पाठ 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ चित्र 4

$=\frac{5}{2} \times 100 \text{सेमी}.$

$=250 \text{सेमी}.$

और दो क्रमागत डंडों के बीच की दूरी $=25 \text{सेमी}.$

$∴$ सीढ़ी में डंडों की संख्या

$=\frac{\text{प्रथम} \text{व} \text{अन्तिम} \text{डण्डे} \text{के} \text{बीच} \text{की} \text{दूरी}}{\text{दो} \text{क्रमागत} \text{डण्डों} \text{के} \text{बीच} \text{की} \text{दूरी}}+1$

$=\frac{250}{25}+1=10+1=11$

$∴$ प्रथम डण्डे की लम्बाई $(a)=25 \text{सेमी}.$ और अन्तिम डण्डे की लम्बाई $(l)=45 \text{सेमी}.$

$∴$ $11$ डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप

$=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{11}{2}(25+45)$

$=\frac{11}{2} \times 70=11 \times 35$

$=385 \text{सेमी}.$

$=3.85 \text{मीटर}$

अतः सीढ़ी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई $=385 \text{सेमी}.$ या $3.85 \text{मीटर}$ उत्तर

प्रश्न 4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या $1$ से $49$ तक अंकित किया गया है। दर्शाइये कि $x$ का एक ऐसा मान है कि $x$ से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए। [संकेत : $S_{x-1}=S_{49}-S_{x}$ है।]

हल—मान लीजिए ' $x$ ' किसी मकान की संख्या को व्यक्त करता है।

यहाँ $a=a_{1}=1;d=1$

प्रश्न के अनुसार,

$S_{x-1}=S_{49}-S_{x}$

$\frac{x-1}{2}[2(1)+(x-1-1)(1)]=\frac{49}{2}[1+49]-\frac{x}{2}[2(1)+(x-1)(1)]$

$\text{सूत्रों} S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d] \text{और} S_{n}=\frac{n}{2}(a+l) \text{का} \text{प्रयोग} \text{करने} \text{पर}$

या $\frac{x-1}{2}[2+x-2]$

$=\frac{49}{2}(50)-\frac{x}{2}[2+x-1]$

या $\frac{x(x-1)}{2}=49(25)-\frac{x(x+1)}{2}$

या $\frac{x}{2}[x-1+x+1]=1225$

$\frac{x}{2} \times 2x=1225$

या $x^{2}=1225$

या $x=35$

अतः $x$ का मान $35$ है। उत्तर

प्रश्न 5. एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें $15$ सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई $50 m$ है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी हैं। प्रत्येक सीढ़ी में $\frac{1}{4} m$ की चढ़ाई है और $\frac{1}{2} m$ का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

[ संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 m^{3}$ है।]

[सीढ़ियों का आरेख जिसमें चढ़ाई 1/4 m, चौड़ाई 1/2 m तथा लम्बाई 50 m दर्शायी गई है।]

कक्षा 10 गणित पाठ 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ चित्र 5

हल— पहली सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 m^{3}$

$=\frac{25}{4} m^{3}$

दूसरी सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

$=\frac{2}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 m^{3}$

$=\frac{25}{2} m^{3}$

तीसरी सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

$=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 m^{3}$

$=\frac{75}{4} m^{3}$

इसी प्रकार आगे $15$ सीढ़ियों तक।

यहाँ $a=a_{1}=\frac{25}{4}$ ; $a_{2}=\frac{25}{2}$ ; $a_{3}=\frac{75}{4}$

और $n=15$

$d=a_{2}-a_{1}=\frac{25}{2}-\frac{25}{4}$

$=\frac{50-25}{4}=\frac{25}{4}$

इसी तरह से $d=a_{3}-a_{2}$

$=\frac{75}{4}-\frac{25}{2}=\frac{75-50}{4}=\frac{25}{4}$

चबूतरा बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन

$=S_{15}$

$=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{15}{2}2\frac{25}{4}+(15-1)\frac{25}{4}$

$=\frac{15}{2}\frac{25}{2}+\frac{14 \times 25}{4}$

$=\frac{15}{2}\frac{25}{2}+\frac{175}{2}$

$=\frac{15}{2} \times \frac{200}{2}=750 m^{3}$

अतः, चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का कुल आयतन $750 m^{3}$ है। उत्तर

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
1. समान्तर श्रेढ़ी- एक समान्तर श्रेढ़ी संख्याओं की ऐसी सूची होती है, जिसमें प्रत्येक पद (प्रथम पद के अतिरिक्त) अपने से ठीक पहले पद में एक निश्चित संख्या $d$ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह निश्चित संख्या $d$ इस समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अन्तर कहलाती है। सार्व अन्तर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
2. $a,a+d,a+2d,a+3d,.......$ एक समान्तर श्रेढ़ी को निरूपित करती है, जहाँ $a$ पहला पद है और $d$ सार्व अन्तर है। इसे A.P. का व्यापक रूप कहते हैं।
3. संख्याओं की एक दी हुई सूची A.P. होती है। यदि अन्तरों $a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2},a_{4}-a_{3}.......$ से एक ही (समान) मान प्राप्त हो, अर्थात् $k$ के विभिन्न मानों के लिए $a_{k+1}-a_{k}$ एक ही हो।
परिमित समान्तर श्रेढ़ी- एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें पदों की संख्या परिमित (finite) हो, परिमित समान्तर श्रेढ़ी कहलाती है।
अपरिमित समान्तर श्रेढ़ी- एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें पदों की संख्या अपरिमित हो, अपरिमित समान्तर श्रेढ़ी कहलाती है।
4. व्यापक पद- प्रथम पद $a$ और सार्व अन्तर $d$ वाली A.P. का $n$ वाँ पद (या व्यापक पद) $a_{n}$ निम्नांकित सूत्र से ज्ञात करते हैं-
व्यापक पद = प्रथम पद + (पदों की संख्या $-1) \times$ सार्व अन्तर
$a_{n}=a+(n-1)d$
अन्तिम पद $a_{n},l$ के बराबर होता है।
5. **किसी A.P. के प्रथम $n$ पदों का योग**
$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ से प्राप्त किया जाता है।
उदाहरण- माना $S_{n}=1+2+3+.....n$ है।
यहाँ $a=1$ और अन्तिम पद $l=n$
अतः: $S_{n}=\frac{n(1+n)}{2}$ या $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$
इस प्रकार प्रथम $n$ धन पूर्णांकों का योग सूत्र $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ है।
6. **यदि एक परिमित, A.P. का अन्तिम पद (माना कि $n$ वाँ पद) $l$ है, तो A.P. के सभी पदों का योग**
$S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ से प्राप्त किया जाता है। यहाँ अन्तिम पद $l=a+(n-1)d$ है।
किसी A.P. का $n$ वाँ पद उसके प्रथम $n$ पदों के योग और प्रथम $(n)$ पदों के योग के अन्तर के बराबर होता है।
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
7. **यदि $a,b,c$ , A.P. में हों तब $b=\frac{a+c}{2}$ और $b,a$ तथा $c$ का समान्तर माध्य कहलाता है।**
• **समान्तर श्रेणी में अन्तिम पद से $n$ वाँ पद**- किसी A.P. का प्रथम पद $a$ , सार्व अन्तर $d$ तथा $l$ अन्तिम पद हो तो अन्तिम पद से $n$ वाँ पद $=l-(n-1)d$
• A.P. में पदों का चयन-
(i) $3$ पद $arrowa-d,a,a+d$ (सार्व अन्तर $=d$ )
(ii) $4$ पद $arrowa-3d,a-d,a+d,a+3d$ (सार्व अन्तर $=2d$ )
(iii) $5$ पद $arrowa-2d,a-d,a,a+d,a+2d$ (सार्व अन्तर $=d$ )
ा बुक्स
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
#### बहुविकल्पीय प्रश्न—
1. यदि $6$ पदों वाली एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम तथा अन्तिम पद क्रमशः $2$ तथा $10$ है, तब समान्तर श्रेढ़ी का योगफल है—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक)

(A) $72$

(B) $36$

(C) $135$

(D) $24$

2. समान्तर श्रेढ़ी $4,10,16,22……………$ का प्रथम पद और सार्वअन्तर क्या होगा—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
गणित-कक्षा 10
103

(A) $(10)$

(B) $(4)$

(C) $(4)$

(D) $(6)$

3. किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $2$ तथा सार्व अन्तर $3$ हो, तो समान्तर श्रेढ़ी होगी-

(A) $2,5,8,11,.....$

(B) $2,6,18,54,.....$

(C) $2,4,-1,3,.....$

(D) $2,2,3,3,4,4,.....$

4. $16$ पदों वाली समान्तर श्रेढ़ी $2,5,8,11,.....$ का अन्तिम पद होगा-

(A) $47$

(B) $48$

(C) $49$

(D) $46$

5. यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $5$ और पाँचवाँ पद $17$ हो, तो पाँच पदों का योग होगा-

(A) $55$

(B) $56$

(C) $57$

(D) $58$

6. श्रेढ़ी $72,70,68,66$ का कौन-सा पद $40$ होगा-

(A) $16$ वाँ

(B) $15$ वाँ

(C) $17$ वाँ

(D) $20$ वाँ

7. श्रेढ़ी $a+b,a-b,a-3b,.....$ के $22$ पदों का योग होगा-

(A) $22(a-20b)$

(B) $22(20b-a)$

(C) $22(20a-b)$

(D) $22(a-b)$

8. श्रेढ़ी $-4,-1,2,5,.....$ का $10$ वाँ पद है-

(A) $23$

(B) $-23$

(C) $32$

(D) $-32$

9. समान्तर श्रेढ़ी $7,10,13,.....,43$ में पदों की संख्या है -

(A) $13$

(B) $12$

(C) $17$

(D) $11$

10. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $5$ , अन्तिम पद $45$ तथा पदों का योगफल $400$ हो, तो पदों की संख्या होगी-

(A) $8$

(B) $10$

(C) $16$

(D) $20$

11. $3$ के प्रथम पाँच गुणों (गुणजों) का योगफल है-

(A) $45$

(B) $55$

(C) $65$

(D) $75$

12. समान्तर श्रेढ़ी $21,42,63,85,.....$ का कौन-सा पद $210$ है?

(A) $9th$

(B) $10th$

(C) $11th$

(D) $12th$

13. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $2$ एवं सार्वअन्तर $8$ है तथा $n$ पदों का योग $90$ है, तो $n$ का मान होगा-

(A) $3$

(B) $4$

(C) $5$

(D) $6$

14. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योगफल $3n^{2}+5n$ है, तो $164$ इसका कौन-सा पद है-

(A) $12$ वाँ

(B) $15$ वाँ

(C) $27$ वाँ

(D) $20$ वाँ

15. एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः $1$ तथा $11$ है। यदि इसके पदों का योगफल $36$ है, तो इसके पदों की संख्या होगी-

(A) $5$

(B) $6$

(C) $9$

(D) $11$

16. दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वअन्तर समान है। उनमें से एक का पहला पद $8$ है और दूसरे का $3$ है। उनके $30$ वें पदों के बीच का अन्तर है-

(A) $5$

(B) $8$

(C) $11$

(D) $13$

17. निम्नलिखित A.P. के लिए सार्वअन्तर है-
$\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{-1}{4},\frac{-3}{4},.....$

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $\frac{2}{4}$

(C) $-\frac{1}{2}$

(D) $\frac{3}{2}$

18. $m$ के किस मान के लिये $10,m,-2$ समान्तर श्रेढ़ी में होंगे-

(A) $m=4$

(B) $m=3$

(C) $m=2$

(D) $m=1$

19. यदि $a_{12}=29$ और $d=3$ हो तो $a$ का मान होगा-

(A) $4$

(B) $-4$

(C) $3$

(D) $-3$

20. समान्तर श्रेढ़ी $\frac{1}{b},\frac{3-b}{3b},\frac{3-2b}{3b},.....$ का सार्वअन्तर है-

(A) $\frac{1}{3}$

(B) $\frac{-1}{3}$

(C) $1$

(D) $-1$

21. यदि $a_{n}=9-5n$ एक समान्तर श्रेढ़ी का $n$ वाँ पद है, तो सार्वअन्तर होगा-

(A) $5$

(B) $4$

(C) $-5$

(D) $-4$

22. एक समान्तर श्रेढ़ी $3,7,11,15,.....$ के लिये सार्वअन्तर होगा—
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23 )

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

23. उस समान्तर श्रेढ़ी, जिसका $n$ वाँ पद $a_{n}=(3n+7)$ है, का सार्वअन्तर है।

(A) $10$

(B) $7$

(C) $6$

(D) $3$

24. समान्तर श्रेढ़ी $\frac{1}{p},\frac{1-p}{p},\frac{1-2p}{p},.....$ का सार्वअन्तर है।

(A) $\frac{1}{p}$

(B) $-\frac{1}{p}$

(C) $1$

(D) $-1$

25. समान्तर श्रेढ़ी $a,3a,5a,.....$ का $n$ वाँ पद है।

(A) $na$

(B) $a(2n-1)$

(C) $2na$

(D) $a(2n+1)$

26. निम्नलिखित में से कौन-सी समान्तर श्रेढ़ी नहीं है?

(A) $-1.2,0.8,2.8,…………$

(B) $3,3+\sqrt{2},3+2\sqrt{2},3+3\sqrt{2},…………$

(C) $\frac{4}{3},\frac{7}{3},\frac{9}{3},\frac{12}{3},…………$

(D) $\frac{-1}{5},\frac{-2}{5},\frac{-3}{5},…………$

27. यदि $18,a,b,-3$ समान्तर श्रेढ़ी में है तो $a+b$ का मान होगा— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

(A) $7$

(B) $11$

(C) $15$

(D) $19$

28. समान्तर श्रेढ़ी $-3,-\frac{1}{2},2,………$ का $11$ वाँ पद है—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक)

(A) $22$

(B) $30$

(C) $25$

(D) $32$

29. यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $2$ और सार्व अन्तर $3$ हो, तो $n$ वाँ पद होगा—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) $3n+2$

(B) $3n-1$

(C) $2n-1$

(D) $3n-2$

30. $3$ के प्रथम पाँच गुणजों का योगफल है—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) $42$

(B) $39$

(C) $45$

(D) $33$

31. यदि AP का प्रथम पद $6$ और सार्व अन्तर $3$ हो तो AP होगी—
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

(A) $6,9,12,15,…………$

(B) $-6,-9,-12,-15,…………$

(C) $3,6,9,…………$

(D) $-4,-6,-9,…………$

32. $3,3+\sqrt{2},3+2\sqrt{2},………$ एक समान्तर श्रेढ़ी है तो अगला पद होगा — (प्रश्न बैंक)

(A) $6+2\sqrt{2}$

(B) $3+3\sqrt{2}$

(C) $5+\sqrt{2}$

(D) $3+6\sqrt{2}$

33. किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $a$ व सार्व अन्तर $d$ है तो $n$ वाँ पद होगा— (प्रश्न बैंक)

(A) $a+(n-1)d$

(B) $2a+(n-1)d$

(C) $\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

(D) $\frac{n}{2}[a+l]$

34. किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम पद $a$ , सार्व अन्तर $d$ व अंतिम पद $l$ है तो $n$ पदों का योग होगा—
(प्रश्न बैंक)

(A) $a+(n-1)d$

(B) $2a+(n-1)d$

(C) $\frac{l}{2}[2a+(n-1)d]$

(D) $\frac{n}{2}[a+l]$

35. समान्तर श्रेढ़ी $2,………,26$ में रिक्त पद होगा—
(प्रश्न बैंक)

(A) $14$

(B) $12$

(C) $10$

(D) $13$

36. समान्तर श्रेढ़ी $-5,-1,3,7……$ के लिए प्रथम पद व सार्व अन्तर क्रमशः होंगे— (प्रश्न बैंक)

(A) $-5,3$

(B) $-5,4$

(C) $-5,-4$

(D) $-5,-3$

37. किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $-2$ व सार्व अन्तर $2$ है तो पाँचवाँ पद होगा— (प्रश्न बैंक)

(A) $-6$

(B) $6$

(C) $-4$

(D) $0$

38. किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $4$ व सार्व अन्तर $3$ है तो समान्तर श्रेढ़ी होगी— (प्रश्न बैंक)

(A) $3,7,11,14,………$

(B) $4,7,10,13,………$

(C) $44,-1,-4,-7,………$

(D) $3,-4,-8,-12,………$

उत्तरमाला
1. (B)
2. (B)
3. (A)
4. (A)
5. (A)
6. (C)
7. (A)
8. (A)
9. (A)
10. (C)
11. (A)
12. (B)
13. (C)
14. (C)
15. (B)
16. (A)
17. (C)
18. (A)
19. (B)
20. (B)
21. (C)
22. (D)
23. (D)
24. (D)
25. (B)
26. (C)
27. (C)
28. (A)
29. (B)
30. (C)
31. (A)
32. (B)
33. (B)
34. (D)
35. (A)
36. (B)
37. (B)
38. (B)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
1. यदि $18,a,10$ समान्तर श्रेढ़ी में है, तो $……………………l$ (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
2. $10$ और $250$ के बीच में $……………………$ संख्याएँ, $4$ के गुणज हैं।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
3. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी में, रिक्त स्थानों के पदों को लिखिए— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022, प्रश्न बैंक)
5. $5,\square ,\square ,9\frac{1}{2}$
गणित-कक्षा 10
105
4. स.श्रे. $10,8,6,4$ का $7$ वाँ पद $……………………$ है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
5. प्रथम पद $a$ और सार्व अन्तर $d$ वाली एक A.P. का $n$ वाँ पद $a_{n}=…………………$ होता है।
6. यदि एक परिमित A.P. का अंतिम पद $l$ है तो इस A.P. के सभी पदों का योग सूत्र $…………………$ से प्राप्त होता है।
7. किसी स.श्रे. का प्रथम पद $2$ तथा सार्व अन्तर $3$ हो तो स.श्रे. $…………………$ होगी।
8. $2$ के प्रथम पाँच गुणों का योगफल $……………$ होता है।
9. यदि $a,b,c$ A.P. में हो तो $b=……………$ होता है।
10. यदि किसी A.P. का प्रथम पद $(a)=5$ तथा सार्व अन्तर $(d)=-2$ हो तो तीसरा पद $……………$ होगा।
11. समान्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $a_{n}=(3n+7)$ हो तो सार्व अन्तर $d=……………$ है।
12. समान्तर श्रेणी $7,5,3,1,-1,-3$ का सार्वअन्तर $……………$ है।
13. $a_{n}=n^{2}+1$ के तीन पद $……………$ हैं।
14. समान्तर श्रेणी $7,4,1,-2$ का $26$ वाँ पद $……………$ है।
15. एक समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $p$ है तथा सार्व अन्तर $q$ है, तो उसका $10$ वाँ पद $……………$ होगा।
16. A.P. $3,1,-1,-3$ का प्रथम पद $……………$ एवं सार्व अंतर $……………$ है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक)
17. समांतर श्रेणी $-3,-\frac{1}{2},2,…$ का $11$ वाँ पद $……………$ है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
18. यदि $18,a,b,-3$ समांतर श्रेणी में है तो $a+b$ का मान $……………$ होगा। (प्रश्न बैंक)
19. प्रथम $n$ धन पूर्णांकों का योग $S_{n}=……………$ होता है। (प्रश्न बैंक)
20. यदि एक कार का किराया प्रथम किलोमीटर के लिए $20$ रुपए है तथा उसके बाद प्रति किलोमीटर $11$ रुपए है तो $15$ किलोमीटर का कुल किराया $……………$ होगा। (प्रश्न बैंक)
21. यदि समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ एवं सार्व अंतर $d$ है तो पांचवां पद $……………$ होता है। (प्रश्न बैंक)
22. A.P. $-10,-6,-2,2,……………$ (प्रश्न बैंक)
23. समांतर श्रेणी $10,7,4,……………$ का $30$ वां पद $……………$ होता है। (प्रश्न बैंक)
24. समांतर श्रेणी $3,8,13,18,……………$ का $……………$ वां पद $78$ है। (प्रश्न बैंक)
उत्तर—1. $14$
2. $30$
3. $6\frac{1}{2},8$
4. $-2$
5. $a+(n-1)d$
6. $S=\frac{n}{2}(a+l)$
7. $2,5,8,11,……$
8. $30$
9. $\frac{a+c}{2}$
10. $1$
11. $3$
12. $-2$
13. $2,5,10$
14. $-68$
15. $p+9q$
16. $3,-2$
17. $22$
18. $15$
19. $\frac{n(n+1)}{2}$
20. $174$
21. $a+4d$
22. $6,10$
23. $77$
24. $16$
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. समान्तर श्रेढ़ी $3,7,11,15,……$ का कौन सा पद $499$ होगा?
हल—
$a=3,d=7-3=4$ , $a_{n}=499$
अब $a_{n}=a+(n-1) \times d$
$⇒499=3+(n-1) \times 4$
$⇒\frac{496}{4}=n-1$
$⇒124=n-1$
$∴n=124+1=125$ उत्तर
प्रश्न 2. समान्तर श्रेढ़ी $18,16,14,……$ के कितने पद लिए जाएँ कि योगफल शून्य हो।
हल— माना $n$ पद लिये जायें
$a=18,d=16-18=-2$ , $S_{n}=0$ (दिया है)
$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$0=\frac{n}{2}[2 \times 18+(n-1) \times (-2)]$
$⇒0=36-2n+2$
$⇒2n=38$
$∴n=\frac{38}{2}=19$ उत्तर
प्रश्न 3. श्रेढ़ी $a+b,a-b,a-3b,………$ का $20$ पदों का योग बताइए।
हल— दिया गया है—
प्रथम पद $(A)=a+b$
सार्व अन्तर $(d)=a-b-a-b$
$=-2b$
अब $S_{20}=\frac{20}{2}[2(a+b)+(20-1) \times (-2b)]$
$=10(2a+2b-40b+2b)$
$=10(2a-36b)=20(a-18b)$
उत्तर
प्रश्न 4. समान्तर श्रेणी $1,-2,-5,-8,……$ का सार्व अन्तर तथा अगले तीन पद लिखिए।
हल— सार्व अन्तर $(d)=-2-1=-3$
अगले पद $a_{5}=-11,a_{6}=-14,a_{7}=-17$
प्रश्न 5. समान्तर श्रेणी $8,6,4,……$ का $9$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए।
हल— प्रथम पद $(a)=8$
सार्व अन्तर $(d)=6-8=-2$
$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$∴S_{9}=\frac{9}{2}[2 \times 8+(9-1) \times (-2)]$
$=\frac{9}{2}[16-16]=0$ उत्तर
प्रश्न 6. संख्याएँ $2x,(x+10),(3x+2)$ एक समान्तर श्रेणी में हैं। तो $x$ का मान लिखिए।
हल— समान्तर श्रेणी के लिये
$(x+10)-2x=(3x+2)-(x+10)$
$⇒10-x=2x-8$
या $3x=18∴x=6$ उत्तर
प्रश्न 7. समान्तर श्रेणी में वे तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योगफल $-3$ और गुणनफल $8$ है।
हल— समान्तर श्रेणी के तीन पद $a+d,a,a-d$ होंगे।
प्रश्नानुसार
$a+d+a+a-d=-3$
$a=-1$
$(a+d) \times a \times (a-d)=8$
$(-1+d) \times (-1) \times (-1-d)=8$
$⇒(1+d)(d-1)=8$
$∴d^{2}-1=8$
$d^{2}=9$ या $d= \pm 3$
अतः वे संख्याएँ $2,-1,-4$ होंगी। उत्तर
प्रश्न 8. समान्तर श्रेणी का व्यापक पद ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
उत्तर— $a_{n}=a+(n-1)d$
प्रश्न 9. यदि किसी समान्तर श्रेणी का चौथा पद $64$ तथा $54$ वाँ पद $-61$ हो, तो उसका सार्व अन्तर कितना होगा?
उत्तर–प्रश्नानुसार
$a_{4}=a+3d$
$64=a+3d$ .... (i)
इसी प्रकार $a_{54}=a+53d$
$-61=a+53d$ .... (ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर
$125=-50d$
$d=\frac{-125}{50}=\frac{-5}{2}$ उत्तर
प्रश्न 10. समान्तर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
उत्तर— $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
प्रश्न 11. समान्तर श्रेणी $5,9,13,…………,185$ में कितने पद होंगे?
उत्तर— $a=5,d=9-5=4$
$a_{n}=185$
$a_{n}=a+(n-1)d$
$185=5+(n-1)4$
$\frac{180}{4}=n-1$
$45=n-1∴n=46$ उत्तर
प्रश्न 12. $a$ और $b$ का समान्तर माध्य लिखिए।
उत्तर— समान्तर माध्य $=\frac{a+b}{2}$
प्रश्न 13. $m$ के किस मान के लिए $10,m,-2$ समान्तर श्रेणी में होंगे?
हल— हम जानते हैं यदि तीन संख्याएँ $a,b$ तथा $c$ समान्तर श्रेणी में होती हैं, तब $b=\frac{a+c}{2}$ होता है।
$⇒m=\frac{10+(-2)}{2}$
$=\frac{10-2}{2}=\frac{8}{2}=4$
$∴m=4$ उत्तर
प्रश्न 14. यदि $a_{n}=9-5n$ एक समान्तर (A.P.) का $n$ वाँ पद है, तो सार्व अन्तर लिखिये।
हल— दिया गया है :
$a_{n}=9-5n$
$n=1,2,3,………$ रखने पर
$a_{1}=9-5(1)=4$
$a_{2}=9-5(2)=9-10=-1$
$a_{3}=9-5(3)=9-15=-6$
गणित-कक्षा 10
107
A.P. के लिये सार्व अन्तर
$(d)=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$
$∴d=-1-4=-5$ उत्तर
प्रश्न 15. समान्तर श्रेढ़ी $4,1,-2,-5......$ के अगले दो पद लिखिए।
हल— दी गई श्रेढ़ी $4,1,-2,-5......$
श्रेढ़ी का सार्वअन्तर $d=1-4=-3$
अतः 5वाँ पद
$(a_{5})=-5+(-3)=-5-3=-8$
6ठा पद $(a_{6})=-8+(-3)=-8-3=-11$
अर्थात् $a_{5}=-8$ व $a_{6}=-11$ उत्तर
प्रश्न 16. समान्तर श्रेढ़ी $7,5,3,1,-1,-3,......$ का सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल— समान्तर श्रेढ़ी $7,5,3,1,-1,-3,......$
$∴$ सार्वअन्तर $=a_{2}-a_{1}$
यहाँ $a_{1}=7,a_{2}=5$
$∴$ सार्वअन्तर $(d)=5-7=-2$ उत्तर
प्रश्न 17. A.P. $-17,-12,-7,...............$ में 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल— यहाँ $a=-17,d=-12-(-17)$
$=-12+17=5$
और $n=11$
चूँकि $a_{n}=a+(n-1)d$ है
इसलिए $a_{11}=-17+(11-1) \times 5$
$=-17+10 \times 5$
$=-17+50=33$
अतः दी हुई A.P. का 11वाँ पद $33$ है। उत्तर
प्रश्न 18. 3 के प्रथम पाँच गुणज लिखकर उनका योग लिखिये।
हल— $3,6,9,12,15$
$Sn=\frac{n}{2}[a+l]$
$S_{5}=\frac{5}{2}[3+15]=\frac{5 \times 18}{2}$
$=45$
प्रश्न 19. समान्तर श्रेढ़ी $2,5,8,11,.............$ के 12 पदों का योग ज्ञात करो। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)
हल— यहाँ $a=2,d=5-2=3,n=12$
$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times 2+(12-1) \times 3]$
$=6[4+33]=6 \times 37$
$=222$ उत्तर
प्रश्न 20. समान्तर श्रेढ़ी $5,8,11,.........47$ का अन्तिम पद से (प्रथम पद की ओर) दूसरा पद है।
हल— $a=5,d=8-5=3$ , $l=47$ तथा $n=2$
समान्तर श्रेढ़ी का अन्त से $n$ वाँ पद
$=l-(n-1)d$
$=47-(2-1) \times 3$
$=47-3=44$ उत्तर
प्रश्न 21. किसी समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) का प्रथम पद "a" एवं सार्वअन्तर "d" हो, तो पाँचवा पद क्या होगा? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)
हल— किसी समान्तर श्रेढ़ी का $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र
$a_{n}=a+(n-1)d$ यहाँ पर प्रथम पद $=a$ , सार्वअन्तर $=d$
$n$ पदों की संख्या है
इसलिये पाँचवा पद $a_{5}=a+4d$ होगा उत्तर
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. समान्तर श्रेढ़ी : $10,7,4,.......,-32$ के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— दिया है—
प्रथम पद $(a)=10$
सार्व अन्तर $(d)=7-10=-3$
अन्तिम पद $(a_{n})=-32$
पदों की संख्या $(n)=?$
$a_{n}=a+(n-1)d$
मान रखने पर— $-32=10+(n-1) \times (-3)$
$-32=10-3n+3$
$3n=13+32=45$
$∴n=\frac{45}{3}=15$ उत्तर
प्रश्न 2. प्रथम 200 धन पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— माना $S=1+2+3+4+...+200$ है।
A.P. के प्रथम $n$ पदों के योग के सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
$S_{200}=\frac{200}{2}(1+200)$
$=100 \times 201=20100$
अतः, प्रथम 200 धन पूर्णांकों का योग 20100 है।
108 संजी बुक्स
प्रश्न 3. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम $16$ पदों का योग $728$ है तथा प्रथम पद $8$ है, तब $20$ वाँ पद ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल—दिया है— $S_{16}=728$
$n=16$
$a=8$
$a_{20}=?$
$∵S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$∵728=\frac{16}{2}[2(8)+(16-1)d]$
$728=8[16+15d]$
$\frac{728}{8}=16+15d$
$⇒91=16+15d$
$15d=91-16$
$15d=75$
$∵d=\frac{75}{15}=5$
$a_{20}=a+(19)d$
$=8+19 \times 5$
$=8+95$
$=103$ उत्तर
प्रश्न 4. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम $n$ पदों का योगफल $4n-n^{2}$ है, तब इसका $10$ वाँ पद ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022; प्रश्न बैंक)
हल—दिया है कि A.P. के $n$ पदों का योग
$S_{n}=4n-n^{2}$ .....(1)
$n=1$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
$S_{1}=4(1)-(1)^{2}=4-1=3$
$∵a=a_{1}=S_{1}=3$
$n=2$ का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
$S_{2}=4(2)-2^{2}=8-4=4$
$S_{2}=4$
या $a_{1}+a_{2}=4$
या $3+a_{2}=4$
या $a_{2}=4-3=1$
$d=a_{2}-a_{1}$
$=1-3=-2$
$a_{n}=a+(n-1)d$
$∵a_{10}=3+(10-1)(-2)$
$=3+9 \times (-2)$
$=3-18=-15$ उत्तर
प्रश्न 5. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
$7,13,19,.....205$
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
हल—माना समान्तर श्रेढ़ी में $n$ पद हैं तब $n$ वाँ पद $=205$
प्रथम पद $(a)=7$ , सार्वअन्तर $(d)=13-7=6$
$a_{n}=a+(n-1)d$
$⇒205=7+(n-1)6$
$⇒205-7=(n-1)6$
$⇒198=(n-1)6$
$⇒\frac{198}{6}=n-1$
$⇒33=n-1$
$⇒n=33+1=34$
प्रश्न 6. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ $7$ से विभाज्य हैं?
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल—तीन अंकों की वे संख्याएँ जो $7$ से विभाज्य हैं— $105,112,119.....994$
यह एक समान्तर श्रेढ़ी है।
प्रथम पद $(a)=105$ , सार्वअन्तर $(d)=7$ , $n$ वाँ पद $(a_{n})=994$
तब $a_{n}=a+(n-1)d$
$994=105+(n-1)7$
$⇒994-105=(n-1)7$
$⇒889=(n-1)7$
$⇒n-1=\frac{889}{7}=127$
$⇒n=127+1=128$
अतः तीन अंकों वाली $128$ संख्याएँ $7$ से विभाज्य हैं।
प्रश्न 7. वह A.P. निर्धारित कीजिए जिसका तीसरा पद $5$ और $7$ वाँ पद $9$ है।
हल—प्रश्नानुसार,
$a_{3}=a+(3-1)d=a+2d=5$ .....(1)
और $a_{7}=a+(7-1)d=a+6d=9$ .....(2)
समीकरणों (1) और (2) के युग्म को हल करने पर,
$a=3,d=1$
अतः वांछित A.P. : $3,4,5,6,7,.....$ है। उत्तर
प्रश्न 8. $28$ पदों वाली समान्तर श्रेढ़ी $7,16,25,34,.....$ का अन्तिम पद ज्ञात कीजिए।
गणित-कक्षा 10
109
हल-दिया हुआ है : प्रथम पद $(a)=7$
सार्व अन्तर $(d)=16-7=9$
ज्ञात करना है-अन्तिम पद अर्थात् $28$ वाँ पद $=a_{28}$
सूत्र-
$a_{n}=a+(n-1)d$
$a_{28}=7+(28-1)9$
$=7+(27 \times 9)$
$=7+243=250$
अतः: अन्तिम पद $=250$ उत्तर
प्रश्न 9. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं?
हल— $3$ से विभाज्य होने वाली दो अंकों की संख्याओं की सूची है-
$12,15,18,…,99$
यह एक A.P. है। यहाँ $a=12,d=3$ तथा $a_{n}=99$ है।
चूँकि $a_{n}=a+(n-1)d$
इसलिए $99=12+(n-1) \times 3$
अर्थात् $87=(n-1) \times 3$
अर्थात् $n-1=\frac{87}{3}=29$
अर्थात् $n=29+1=30$
अतः, $3$ से विभाज्य दो अंकों वाली $30$ संख्याएँ हैं।
उत्तर
प्रश्न 10. किसी समान्तर श्रेढ़ी के $11$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जबकि उसके प्रथम व अन्तिम पद का योग $40$ है।
हल— दिया हुआ है-
प्रथम व अन्तिम पद का योग $(a+l)=40$
पदों की संख्या $n=11$
ज्ञात करना है : $11$ पदों का योग $(S_{11})$
$S_{n}=\frac{n(a+l)}{2}$
$S_{11}=\frac{11(40)}{2}=11 \times 20=220$ उत्तर
प्रश्न 11. A.P. : $8,3,-2,…$ के प्रथम $22$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल— यहाँ $a=8,d=3-8=-5$ और $n=22$ है।
हम जानते हैं कि
$S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
अतः: $S_{22}=\frac{22}{2}[16+21(-5)]=11(16-105)$
$=11(-89)=-979$
इसलिए दी हुई A.P. के प्रथम $22$ पदों का योग $979$ है। उत्तर
प्रश्न 12. A.P. : $17,15,13,………$ के कितने पद लिये जाएँ ताकि उनका योग $81$ हो?
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)
हल— प्रश्नानुसार A.P. $17,15,13$ ,
यहाँ $a=17,d=15-17=-2$
तथा $S_{n}=81$
$∴81=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
या $\frac{n}{2}[2(17)+(n-1)(-2)]=81$
या $\frac{n}{2}[34-2n+2]=81$
या $\frac{n}{2}[36-2n]=81$
या $n[-n+18]=81$
या $-n^{2}+18n-81=0$
या $n^{2}-18n+81=0$
या $(n-9)^{2}=0)$
या $(n-9)=0$
$n=9$
अर्थात् A.P. का योग $81$ प्राप्त करने के लिये $9$ पद लिये जायें। उत्तर
प्रश्न 13. किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद $18$ तथा सातवाँ पद $30$ हो, तो इसका $15$ वाँ पद लिखिए।
हल— प्रश्नानुसार
$18=a_{3}=a+2d$ $…$ (i)
$30=a_{7}=a+6d$ $…$ (ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर
$-12=-4d$
$∴d=3$
समीकरण (i) से
$18=a+2 \times 3$
$∴a=12$
$a_{15}=a+14d=12+14 \times 3$
$=12+42=54$ उत्तर
प्रश्न 14. एक समान्तर श्रेढ़ी का $14$ वाँ पद उसके $8$ वें पद का दुगुना है। यदि उसका छठा पद $-8$ है, तो उसके प्रथम $20$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिये।
हल— माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $=a$ तथा सार्वअन्तर $=d$
इसलिये $a_{n}=a+(n-1)d$
$a_{14}=a+(14-1)d$
$a_{14}=a+13d$ $………$ (1)
$a_{8}=a+(8-1)d$
$a_{8}=a+7d$ ........(2)
$a_{6}=a+(6-1)d=a+5d$
$-8=a+5d$ ........(3)
प्रश्नुसार,
$a_{14}=2a_{8}$
$⇒a+13d=2(a+7d)$
$⇒a+d=0$ ........(4)
समीकरण (3) तथा (4) को हल करने पर,
$a=2,d=-2$
$∴S_{20}=\frac{20}{2}[2 \times 2+(20-1)(-2)]$
$=10[4-38]$
$=10 \times (-34)$
$=-340$ उत्तर
प्रश्न 15. दर्शाइए कि $(a-b)^{2}$ , $(a^{2})$ , $(a+b)^{2}$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है।
हल— माना $a_{1}=(a-b)^{2}$
$=a^{2}-2ab+b^{2}$
$a_{2}=a^{2}+b^{2}$
तथा $a_{3}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$a_{2}-a_{1}=(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})$
$=a^{2}+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}$
$=2ab$
$a_{3}-a_{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-b^{2}$
तथा $=2ab$
अतः स्पष्ट है कि $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$
अतः $(a-b)^{2}$ , $(a^{2})$ तथा $(a+b)^{2}$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है।
प्रश्न 16. एक समान्तर श्रेढ़ी के सभी 11 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका मध्य पद $30$ है।
हल— समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $a$ तथा सार्वअन्तर $d$ है। चूकि समान्तर श्रेढ़ी में 11 पद दिये गये हैं। इसलिये
$\text{मध्य} \text{पद}=\frac{n+1}{2}\text{वाँ} \text{पद}=\frac{11+1}{2}\text{वाँ} \text{पद}$
$=6\text{वाँ} \text{पद}$
$a_{6}=a+(6-1)d$
$30=a+5d$ ........(1)
$∴S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$S_{11}=\frac{11}{2}[2a+(11-1)d]$
$=\frac{11}{2}[2a+10d]$
$=11[a+5d]$
समीकरण (1) से मान रखने पर
$S_{11}=11 \times 30=330$ उत्तर
दीर्घउत्तरी प्रश्न—
प्रश्न 1. किसी समान्तर श्रेढ़ी का $n$ वाँ पद $2n+5$ है तो श्रेढ़ी के सात पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल— चूकि दिया गया है :
$a_{n}=2n+5$
$n=1,2,3$ ............ रखने पर
$a_{1}=2 \times 1+5=2+5=7$
$a_{2}=2 \times 2+5=4+5=9$
$a_{3}=2 \times 3+5=6+5=11$
$∴$ श्रेढ़ी होगी
$7,9,11$ ............
$∴d=a_{2}-a_{1}=9-7=2$
$∴S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$S_{7}=\frac{7}{2}[2 \times 7+(7-1) \times 2]$
$=\frac{7}{2}[14+12]=\frac{7}{2} \times 26$
$=7 \times 13=91$ उत्तर
प्रश्न 2. यदि किसी A.P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्वअन्तर 6 है तो 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल— प्रश्नुसार यहाँ $S_{12}=468,n=12$ तथा सार्वअन्तर $(d)=6$
$∴S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$⇒468=\frac{12}{2}[2a+(12-1)6]$
या $468=6[2a+66]$
या $2a+66=\frac{468}{6}=78$
या $2a=78-66=12$
$∴a=\frac{12}{2}=6$
अब $10$ वाँ पद $a_{10}=a+(n-1)d$
$=6+(10-1)6$
$=6+9 \times 6$
$=6+54$
$=60$
अर्थात् $10$ वाँ पद $60$ है। उत्तर
गणित-कक्षा 10
111
प्रश्न 3. यदि दो समानान्तर श्रेणियों के प्रथम $n$ पदों के योगफलों का अनुपात $(7n+1):(4n+27)$ है, तो उनके 9वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिये।
हल— दिया है, समानान्तर श्रेणियों के प्रथम $n$ पदों के योगफलों का अनुपात :
$\frac{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}{\frac{n}{2}[2A+(n-1)D]}=\frac{7n+1}{4n+27}$
$n=17$ रखने पर
$\frac{2a+(16)d}{2A+(16)D}=\frac{7 \times 17+1}{4 \times 17+27}$
$⇒\frac{2(a+8d)}{2(A+8D)}=\frac{120}{95}$
$⇒\frac{a+8d}{A+8D}=\frac{24}{19}$
अतः दो समानान्तर श्रेणियों के 9 पदों का अनुपात $=\frac{24}{19}$ उत्तर
प्रश्न 4. A.P. का प्रथम पद एवं अंतिम पद क्रमशः 1 तथा 11 हैं, यदि इसके पदों का योगफल 36 है तो पदों की संख्या ज्ञात करो।
( माध्यम. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )
हल— दिया गया है
प्रथम पद $(a)=1$
अन्तिम पद $(a_{n})=11$
$S_{n}=36$
$n=?$
हम जानते हैं
$S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$
$36=\frac{n}{2}(1+11)$
$36=\frac{n}{2} \times 12=6n$
$∴n=\frac{36}{6}=6$
अतः पदों की संख्या $=6$ उत्तर
प्रश्न 5. प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
( माध्यम. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24 )
हल— माना $S=1+2+3+4+............+100$ है।
A.P. के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र
$S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$
$∴S_{100}=\frac{100}{2}(1+100)$
$=\frac{100 \times 101}{2}$
$S_{100}=50 \times 101=5050$ उत्तर
प्रश्न 6. A.P. : $21,18,15,.....$ का कौन सा पद $-81$ है? साथ ही क्या इस A.P. का कोई पद शून्य है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल— यहाँ, $a=21,d=18-21=-3$ और $a_{n}=-81$ है। हमें $n$ ज्ञात करना है।
चूँकि $a_{n}=a+(n-1)d$
अतः $-81=21+(n-1)(-3)$
या $-81=24-3n$
या $-105=-3n$
अतः $n=35$
इसलिए दी हुई A.P. का 35वाँ पद $-81$ है।
अब, हम यह जानना चाहते हैं कि क्या कोई $n$ ऐसा है कि $a_{n}=0$ हो। यदि ऐसा कोई $n$ है तो
$21+(n-1)(-3)=0$
अर्थात् $3(n-1)=21$
या $n=8$
अतः, 8वाँ पद $0$ है। उत्तर
प्रश्न 7. क्या संख्याओं की सूची $5,11,17,23,.....$ का कोई पद 301 है? क्यों?
हल— हमें प्राप्त है :
$a_{2}-a_{1}=11-5=6,a_{3}-a_{2}=17-11=6,$
$a_{4}-a_{3}=23-17=6$
चूँकि $k=1,2,3,$ आदि के लिए $a_{k+1}-a_{k}$ एक समान संख्या होती है, इसलिए दी हुई सूची एक A.P. है।
यहाँ $a=5$ और $d=6$
मान लीजिए इस A.P. का $n$ वाँ पद 301 है।
हम जानते हैं कि
$a_{n}=a+(n-1)d$
इसलिए $301=5+(n-1) \times 6$
अर्थात् $301=6n-1$
अतः $n=\frac{302}{6}=\frac{151}{3}$
परन्तु $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। अतः, 301 संख्याओं की दी हुई सूची का पद नहीं है। उत्तर
निबन्धात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के दूसरे और तीसरे पद क्रमशः $24$ तथा $28$ हों तो, श्रेढ़ी के पहले $61$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल— माना स.श्रे. का प्रथम पद $a$ तथा सार्वअन्तर $d$ है। तब स.श्रे. का $n$ वाँ पद
$a_{n}=a+(n-1)d$
प्रश्मानुसार, $a_{2}=24$
$⇒a+(2-1)d=24$
$⇒a+d=24$ .....(1)
पुनः $a_{3}=28$
$⇒a+(3-1)d=28$
$⇒a+2d=28$ .....(2)
समीकरण (1) व (2) से, $a=20,d=4$
स.श्रे. के प्रथम $n$ पदों का योगफल,
$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
तब अभीष्ट $61$ पदों का योगफल,
$S_{61}=\frac{61}{2}[2 \times 20+(61-1)4]$
$=\frac{61}{2}[40+240]$
$=\frac{61}{2} \times 280$
$=10[5+100]=1050$
प्रश्न 2. $2$ और $101$ के मध्य $5$ से विभाजित (भाज्य) होने वाली सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक, माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22 )
हल— $2$ और $101$ के मध्य $5$ से विभाजित होने वाली प्राकृत संख्याएँ हैं-
$5,10,15,......,100$
यह एक स.श्रे. है, जिसमें प्रथम पद $a=5$ , सार्वअन्तर $(d)=5$
यदि $100,n$ वाँ पद है तब
$a_{n}=a+(n-1)d$
$⇒100=5+(n-1)5$
$⇒100-5=(n-1)5$
$⇒95=(n-1)5$
$⇒\frac{95}{5}=n-1$
$⇒n=19+1=20$
तब इस स.श्रे. के प्रथम $20$ पदों का योगफल
$S_{n}=\frac{n}{2}[a+a_{n}]=\frac{20}{2}[5+a_{20}]$
$=10[5+100]=1050$
प्रश्न 3. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का $p$ वाँ पद $\frac{1}{q}$ है तथा $q$ वाँ पद $\frac{1}{p}$ है, तो सिद्ध कीजिये कि प्रथम $pq$ पदों का योग $\frac{1}{2}(pq+1)$ होना चाहिए।
हल— माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $A$ तथा सार्वअन्तर $d$ है।
$∴$ प्रश्मानुसार,
$a_{p}=A+(p-1)d=\frac{1}{q}$ .... (i)
तथा $a_{q}=A+(q-1)d=\frac{1}{p}$ .... (ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
$(q-1-p+1)d=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\frac{q-p}{pq}$
$⇒(q-p)d=\frac{q-p}{pq}$
या $d=\frac{(q)}{pq} \times \frac{1}{(q)}=\frac{1}{pq}$
$d=\frac{1}{pq}$ समीकरण (i) में रखने पर
$A+(p-1) \times \frac{1}{pq}=\frac{1}{q}$
$⇒A+\frac{p}{pq}-\frac{1}{pq}=\frac{1}{q}$
$⇒A+\frac{1}{q}-\frac{1}{pq}=\frac{1}{q}$
अर्थात् $A=\frac{1}{pq}$
$⇒$ हम जानते हैं
$S_{n}=\frac{n}{2}[2A+(n-1)d]$
$∴S_{pq}=\frac{pq}{2}2 \times \frac{1}{pq}+(pq-1) \times \frac{1}{pq}$
$=\frac{pq}{2}\frac{2+pq-1}{pq}$
$=\frac{1}{2}(pq+1)$ (इतिसिद्धम्)
गणित-कक्षा 10
113
प्रश्न 4. यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग $1050$ है तथा इसका प्रथम पद $10$ है तो $20$ वाँ पद ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर 2024-25)
हल— यहाँ $S_{14}=1050$ , $n=14$ और $a=10$ है।
चूँकि $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
इसलिए $1050=\frac{14}{2}[20+13d]=140+91d$
अर्थात् $910=91d$
या $d=10$
अतः: $a_{20}=10+(20-1) \times 10=200$
अर्थात् $20$ वाँ पद $200$ है।
प्रश्न 5. A.P. : $24,21,18,……$ के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग $78$ हो?
हल— यहाँ $a=24$ , $d=21-24=-3$ और $S_{n}=78$ है। हमें $n$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
अतः: $78=\frac{n}{2}[48+(n-1)(-3)]$
$=\frac{n}{2}[51-3n]$
या $3n^{2}-51n+156=0$
या $n^{2}-17n+52=0$
या $n^{2}-4n-13n+52=0$
या $n(n-4)-13(n-4)=0$
या $(n-4)(n-13)=0$
अतः: $n=4$ या $13$
$n$ के ये दोनों मान सम्भव हैं और स्वीकार किए जा सकते हैं। अतः पदों की वांछित संख्या या तो $4$ है या $13$ है। उत्तर
प्रश्न 6. निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :
(i) प्रथम $1000$ धन पूर्णांक
(ii) प्रथम $n$ धन पूर्णांक।
हल—(i) मान लीजिए $S=1+2+3+……+1000$ है।
A.P. के प्रथम $n$ पदों के योग के सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ का प्रयोग करने पर
$S_{1000}=\frac{1000}{2}(1+1000)$
$=500 \times 1001=500500$
अतः, प्रथम $1000$ धन पूर्णांकों का योग $500500$ है।
(ii) मान लीजिए $S_{n}=1+2+3+……+n$ है।
यहाँ $a=1$ और अन्तिम पद $l=n$ है।
अतः: $S_{n}=\frac{n(1+n)}{2}$ या $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$
प्रश्न 7. $1000$ रु. की एक धनराशि $8%$ वार्षिक साधारण ब्याज पर निवेश की जाती है। प्रत्येक वर्ष के अन्त में ब्याज परिकलित कीजिए। क्या ये ब्याज एक A.P. बनाते हैं? यदि ऐसा है, तो इस तथ्य का प्रयोग करते हुए $30$ वर्षों के अन्त में ब्याज परिकलित कीजिए।
(प्रश्न बैंक)
हल— हम जानते हैं कि साधारण ब्याज परिकलित करने के लिए सूत्र निम्नलिखित है :
साधारण ब्याज = $\frac{P \times R \times T}{100}$
अतः प्रथम वर्ष के अन्त में ब्याज = $\frac{1000 \times 8 \times 1}{100}$ रु.
$=80$ रु.
दूसरे वर्ष के अन्त में ब्याज = $\frac{1000 \times 8 \times 2}{100}$ रु.
$=160$ रु.
तीसरे वर्ष के अन्त में ब्याज = $\frac{1000 \times 8 \times 3}{100}$ रु.
$=240$ रु.
इसी प्रकार, हम चौथे, पाँचवें, इत्यादि वर्षों के अन्त में ब्याज परिकलित कर सकते हैं।
अतः पहले, दूसरे, तीसरे, $……$ वर्षों के अन्त (रुपयों में) क्रमशः हैं :
$80,160,240,……$
यह एक A.P. है, क्योंकि किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर $80$ है, अर्थात् $d=80$ है। साथ ही, इसमें $a=80$ है।
अतः $30$ वर्षों के अन्त में ब्याज ज्ञात करने के लिए हम $a_{30}$ ज्ञात करेंगे।
अब $a_{30}=a+(30-1)d=80+29 \times 80=2400$
अतः $30$ वर्षों के अन्त में ब्याज $2400$ रु. होगा। उत्तर
प्रश्न 8. फूलों की एक क्यारी की पहली पंक्ति में $23$ गुलाब के पौधे हैं, दूसरी पंक्ति में $21$ गुलाब के पौधे हैं, तीसरी पंक्ति में $19$ गुलाब के पौधे हैं, इत्यादि। उसकी अन्तिम पंक्ति में $5$ गुलाब के पौधे हैं। इस क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?
हल— पहली, दूसरी, तीसरी, $……$ पंक्तियों में गुलाब के पौधों की संख्याएँ क्रमशः $23,21,19,……,5$ हैं। ये एक A.P. बनाती हैं। माना कि पंक्तियों की संख्या $n$ है।
अतः $a=23,d=21-23=-2$ तथा $a_{n}=5$
$a_{n}=a+(n-1)d$
114 संजी बुक्स
$∴5=23+(n-1)(-2)$
या $-18=(n-1)(-2)$
या $n=10$
अतः फूलों की क्यारी में 10 पंक्तियाँ हैं। उत्तर
प्रश्न 9. संख्याओं की उस सूची के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका $n$ वाँ पद $a_{n}=3+2n$ से दिया जाता है।
हल— चूँकि $a_{n}=3+2n$ है
इसलिए $a_{1}=3+2=5$
$a_{2}=3+2 \times 2=7$
$a_{3}=3+2 \times 3=9$
इस प्रकार प्राप्त संख्याओं की सूची $5,7,9,11,……$ है।
यहाँ $7-5=9-7=11-9=2$ इत्यादि हैं।
अतः इनसे एक A.P. बनती है, जिसका सार्व अन्तर $2$ है।
$S_{24}$ ज्ञात करने के लिए यहाँ $n=24,a=5,d=2$
अतः $S_{24}=\frac{24}{2}[2 \times 5+(24-1) \times 2]$
$=12[10+46]=672$
इसलिए संख्याओं की दी हुई सूची के प्रथम 24 पदों का योग $672$ है। उत्तर
प्रश्न 10. टी.वी. सेटों का निर्माता तीसरे वर्ष में $600$ टी.वी. तथा 7वें वर्ष में $700$ टी.वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए :
(i) प्रथम वर्ष में उत्पादन
(ii) 10वें वर्ष में उत्पादन
(iii) प्रथम 7 वर्षों में कुल उत्पादन।
हल— (i) चूँकि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, इसलिए पहले, दूसरे, तीसरे, $……$ वर्षों में उत्पादित टी.वी. सेटों की संख्याएँ एक A.P. में होंगी। यदि $n$ वें वर्ष में उत्पादित टी.वी. सेटों की संख्या को $a_{n}$ से व्यक्त करें, तो
अतः $a_{3}=600$ और $a_{7}=700$
या $a+2d=600$
और $a+6d=700$
इन्हें हल करने पर, हमें $d=25$ और $a=550$ प्राप्त होता है।
अतः प्रथम वर्ष में उत्पादित टी.वी. सेटों की संख्या $550$ है।
(ii) अब $a_{10}=a+9d=550+9 \times 25$
$=550+225=775$
अतः 10वें वर्ष में उत्पादित टी.वी. सेटों की संख्या $775$ है।
(iii) साथ ही $S_{7}=\frac{7}{2}[2 \times 550+(7-1)25]$
$=\frac{7}{2}[1100+150]$
$=4375$
अतः प्रथम 7 वर्षों में कुल उत्पादित हुए सभी टी.वी. सेटों की संख्या $4375$ है। उत्तर
प्रश्न 11. 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल— 1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली धन पूर्णांकों की सूची $6,12,18,24,30,………,96$
उपर्युक्त संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी क्रम में हैं।
प्रथम पद $a=6$ तथा सार्व अन्तर $d=12-6=6$
अन्तिम पद $a_{n}=96$
पदों का योग $S_{n}=?$
अब $a_{n}=a+(n-1)d$
$96=6+(n-1) \times 6$
$⇒96-6=(n-1) \times 6$
$⇒90=(n-1) \times 6$
$⇒(n-1)=\frac{90}{6}=15$
$⇒∴n=15+1=16$
हम जानते हैं $S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$
$∴S_{16}=\frac{16}{2}(6+96)$
$=\frac{16 \times 102}{2}=8 \times 102=816$
उत्तर
प्रश्न 12. उस A.P. के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका पाँचवाँ और नवाँ पद क्रमशः 26 और 42 है।
हल— माना कि $a$ और $d$ प्रथम पद और सार्वअन्तर है।
दिया गया है कि $a_{5}=26,a_{9}=42$
$S_{15}=?,n=15$
प्रश्नुसार
$a_{5}=a+(5-1)d$
$26=a+4d$ ...(1)
$a_{9}=a+(9-1)d$
$42=a+8d$ ...(2)
समीकरण (1)—समीकरण (2)
$26-42=a+4d-a-8d$
गणित-कक्षा 10
115
$⇒-16=-4d$
$∴d=\frac{-16}{-4}=4$
$d$ का मान समी. (1) में रखने पर
$26=a+4 \times 4$
$26=a+16$
$∴a=26-16=10$
$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
मान रखने पर
$S_{15}=\frac{15}{2}[2 \times 10+(15-1) \times 4]$
$=\frac{15}{2}[20+14 \times 4]$
$=\frac{15}{2}[20+56]=\frac{15 \times 76}{2}$
$S_{15}=570$ उत्तर
प्रश्न 13. एक मोटर कार A स्थान से B स्थान तक $175$ किमी. दूरी $70$ किमी./घण्टा समान गति से सभी $10$ हरे यातायात सिग्नलों को पार करती है, भारी यातायात के कारण यह प्रथम सिग्नल पर एक मिनट, दूसरे सिग्नल पर $3$ मिनट, तीसरे सिग्널 पर $5$ मिनट एवं इसी प्रकार दसवें सिग्नल पर $19$ मिनट रुकती है, स्थान B तक पहुँचने में इसे कुल कितना समय लगेगा? उपयुक्त गणितीय विधि से हल कीजिये।
हल— $10$ सिग्नलों पर लगा समय (A.P.) में है।
[Number line showing points 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]
प्रथम पद $a=1$
सार्वअन्तर $(d)=3-1=2$
$∴10$ सिग्नलों को पार करने में लगा समय
$=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$
$=\frac{10}{2}[2 \times 1+(10-1) \times 2]$
$=5[2+9 \times 2]=5(2+18)$
$=5 \times 20=100$ मिनट
$=\frac{100}{60}$ घण्टे $=\frac{5}{3}$ घण्टे
$∴$ A से B तक पहुँचने में लगा कुल समय
$=\frac{175}{70}+\frac{5}{3}$ घण्टे
$=\frac{35}{14}+\frac{5}{3}$ घण्टे
$=\frac{35 \times 3+5 \times 14}{42}=\frac{175}{42}$
$=4\frac{1}{6}$ घण्टे
$=4$ घण्टे $10$ मिनट उत्तर
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RBSE Class 10 Maths Chapter 5 Solutions in Hindi — समान्तर श्रेढ़ियाँ | पासबुक हल, नोट्स

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प्रश्नावली 5.2

प्रश्नावली 5.3

प्रश्नावली 5.4 (ऐच्छिक)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

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बहुपद

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

द्विघात समीकरण

त्रिभुज

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

1. (B)	2. (B)	3. (A)	4. (A)	5. (A)
6. (C)	7. (A)	8. (A)	9. (A)	10. (C)
11. (A)	12. (B)	13. (C)	14. (C)	15. (B)
16. (A)	17. (C)	18. (A)	19. (B)	20. (B)
21. (C)	22. (D)	23. (D)	24. (D)	25. (B)
26. (C)	27. (C)	28. (A)	29. (B)	30. (C)
31. (A)	32. (B)	33. (B)	34. (D)	35. (A)
36. (B)	37. (B)	38. (B)