RBSE कक्षा 10 गणित पाठ 6: त्रिभुज सम्पूर्ण हल

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

प्रश्नावली 6.1

प्रश्न 1. कोष्ठक में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए—

(i) सभी वृत्त ............ होते हैं।

(सर्वांगसम, समरूप)

(ii) सभी वर्ग ............ होते हैं।

(समरूप, सर्वांगसम)

(iii) सभी ............ त्रिभुज समरूप होते हैं।

(समद्विबाहु, समबाहु)

(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण ............ हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ ............ हों।

(बराबर, समानुपाती)

हल— (i) समरूप

(ii) समरूप

(iii) समबाहु

(iv) (i) बराबर (ii) समानुपाती

प्रश्न 2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए—

(i) समरूप आकृतियाँ

(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।

हल— (i) 1. समबाहु त्रिभुजों का युग्म समरूप आकृतियाँ होती हैं।

2. वर्गों का युग्म समरूप आकृतियाँ होती हैं।

(ii) 1. एक त्रिभुज और एक चतुर्भुज ऐसी आकृतियों का युग्म बनाती है जो समरूप नहीं हैं।

2. एक वर्ग और एक सम चतुर्भुज ऐसी आकृतियों का युग्म है जो समरूप नहीं हैं।

प्रश्न 3. बताइये कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

[Two quadrilaterals PQRS and ABCD with given side lengths]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 1

हल— दोनों चतुर्भुज समरूप नहीं हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर नहीं हैं।

प्रश्नावली 6.2

प्रश्न 1. आकृति (i) और (ii) में, $DE \parallel BC$ है।

(i) में $EC$ और (ii) में $AD$ ज्ञात कीजिए :

( माध्यम. शिक्षा बोर्ड, 2024 )

[Two triangles showing parallel lines DE and BC with measurements]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 2

हल—(i) में $\Delta ABC$ में $DE \parallel BC$ .....(दिया है)

$∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

$\frac{1.5}{3}=\frac{1}{EC}$

$EC=\frac{3}{1.5}$

$EC=\frac{3 \times 10}{15}=2$

$∴EC=2 cm$ . उत्तर

(ii) $\Delta ABC$ में,

$DE \parallel BC$ .....(दिया है)

$∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

$\frac{AD}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}$

$AD=\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}$

$=\frac{18}{10} \times \frac{72}{10} \times \frac{10}{54}$

$=\frac{24}{10}$

$∴AD=2.4 cm$ . उत्तर

प्रश्न 2. किसी $\Delta PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर क्रमशः बिन्दु $E$ और $F$ स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या $EF \parallel QR$ है :

(i) $PE=3.9 \text{सेमी}.,EQ=3 \text{सेमी}.,PF=3.6 \text{सेमी}.$ और $FR=2.4 \text{सेमी}.$

(ii) $PE=4 \text{सेमी}.,QE=4.5 \text{सेमी}.,PF=8 \text{सेमी}.$ और $RF=9 \text{सेमी}.$

(iii) $PQ=1.28 \text{सेमी}.,PR=2.56 \text{सेमी}.,PE=0.18 \text{सेमी}.$ और $PF=0.36 \text{सेमी}.$

हल—प्रश्ानुसार $\Delta PQR$ में दो बिन्दु क्रमशः $E$ और $F$ भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर स्थित हैं। अतः

न बुक्स

[Triangle PQR with line EF parallel to base QR]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 3

(i) $PE=3.9$ सेमी., $EQ=3$ सेमी.

$PF=3.6$ सेमी., $FR=2.4$ सेमी.

$\frac{PE}{EQ}=\frac{3.9}{3}=\frac{39}{30}=\frac{13}{10}=1.3$ सेमी. .....(i)

$\frac{PF}{FR}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}=1.5$ सेमी. ..... (ii)

(i) व (ii) से

$\frac{PE}{EQ} \ne \frac{PF}{FR}$

$∴EF$ , $QR$ के समान्तर नहीं है। उत्तर

(ii) $PE=4$ सेमी., $QE=4.5$ सेमी.,

$PF=8$ सेमी. और $RF=9$ सेमी.

$\frac{PE}{QE}=\frac{4}{4.5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}$ ..... (i)

$\frac{PF}{RF}=\frac{8}{9}$ ..... (ii)

(i) और (ii) से,

$\frac{PE}{QE}=\frac{PF}{RF}$

$∴$ आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से

$EF \parallel QR$ . उत्तर

(iii) $PQ=1.28$ सेमी., $PR=2.56$ सेमी.,

$PE=0.18$ सेमी., $PF=0.36$ सेमी.

$EQ=PQ-PE=1.28-0.18=1.10$ सेमी.

$FR=PR-PF=2.56-0.36=2.20$ सेमी.

यहाँ $\frac{PE}{EQ}=\frac{0.18}{1.10}=\frac{18}{110}=\frac{9}{55}$ ..... (i)

और $\frac{PF}{FR}=\frac{0.36}{2.20}=\frac{36}{220}=\frac{9}{55}$ ..... (ii)

(i) और (ii) से, $\frac{PE}{EQ}=\frac{PF}{FR}$

$∴$ आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से

$EF \parallel QR$ उत्तर

3. आकृति में यदि $LM \parallel CB$ और $LN \parallel CD$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$ है।

[Geometric figure showing triangles with parallel lines ML and LN]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 4

हल—प्रश्नानुसार $\Delta ABC$ में,

$ML \parallel BC$ (दिया है)

$∴\frac{AM}{MB}=\frac{AL}{LC}$ ..... (i)

(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

पुनः $\Delta ADC$ में,

$LN \parallel CD$ (दिया है)

$∴\frac{AN}{ND}=\frac{AL}{LC}$ ..... (ii)

(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

(i) और (ii) से,

$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{ND}$

या $\frac{MB}{AM}=\frac{ND}{AN}$

या $\frac{MB}{AM}+1=\frac{ND}{AN}+1$

या $\frac{MB+AM}{AM}=\frac{ND+AN}{AN}$

या $\frac{AB}{AM}=\frac{AD}{AN}$

या $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$ (इतिसिद्धम्)

4. आकृति में $DE \parallel AC$ और $DF \parallel AE$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{BF}{FE}=\frac{BE}{EC}$ है।

[Triangle ABC with lines DE and DF]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 5

हल—प्रश्नानुसार $\Delta ABC$ में,

$DE \parallel AC$ (दिया है)

गणित-कक्षा 10

119

$∴\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}$ ....(i)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

पुनः $\Delta ABE$ में,

$DF \parallel AE$ (दिया है)

$∴\frac{BD}{DA}=\frac{BF}{FE}$ ....(ii)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

(i) और (ii) से,

$\frac{BE}{EC}=\frac{BF}{FE}$ (इतिसिद्धम्)

5. आकृति में $DE \parallel OQ$ और $DF \parallel OR$ है। दर्शाइए कि $EF \parallel QR$ है। (प्रश्न बैंक)

[△ PQR with lines DE parallel OQ and DF parallel OR]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 6

हल—दिया है : $DE \parallel OQ$

$DF \parallel OR$ (दिया है)

सिद्ध करना है : $EF \parallel QR$

उपपत्ति : $\Delta PQO$ में,

$ED \parallel QO$ (दिया है)

$∴\frac{PD}{DO}=\frac{PE}{EQ}$ ....(i)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

पुनः $\Delta POR$ में,

$DF \parallel OR$ (दिया है)

$∴\frac{PD}{DO}=\frac{PF}{FR}$ ....(ii)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

(i) और (ii) से,

$\frac{PE}{EQ}=\frac{PF}{FR}$

$\Delta PQR$ में, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

$\frac{PE}{EQ}=\frac{PF}{FR}$

$∴EF \parallel QR$ (इतिसिद्धम्)

6. आकृति में क्रमशः $OP$ , $OQ$ और $OR$ पर स्थित बिन्दु $A$ , $B$ और $C$ इस प्रकार हैं कि $AB \parallel PQ$ और $AC \parallel PR$ है। दर्शाइए कि $BC \parallel QR$ है।

[△ PQR with points A, B, C on OP, OQ, OR and lines AB parallel PQ, AC parallel PR]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 7

हल—दिया है : $\Delta PQR$ में बिन्दु $A$ , $B$ और $C$ क्रमशः $OP$ , $OQ$ और $OR$ पर इस प्रकार स्थित हैं कि $AB \parallel PQ$ , $AC \parallel PR$

सिद्ध करना है : $BC \parallel QR$

उपपत्ति : $\Delta OPQ$ में,

$AB \parallel PQ$ (दिया है)

$∴\frac{OA}{AP}=\frac{OB}{BQ}$ ....(i)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

पुनः $\Delta OPR$ में,

$AC \parallel PR$ (दिया है)

$∴\frac{OA}{AP}=\frac{OC}{CR}$ ....(ii)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

(i) और (ii) से,

$\frac{OB}{BQ}=\frac{OC}{CR}$

$∴$ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, $\Delta OQR$ में $BC \parallel QR$ है। (इतिसिद्धम्)

7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

हल—दिया है : $\Delta ABC$ में, $D$ , $AB$ का मध्य बिन्दु है अर्थात् $AD=DB$ है।

$BC$ के समान्तर रेखा $l$ , $AC$ को $E$ पर तथा $AB$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करती है अर्थात् $DE \parallel BC$ है।

[△ ABC with line l parallel to BC passing through D on AB and E on AC]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 8

सिद्ध करना है : $E$ , $AC$ का मध्य बिन्दु है।

उपपत्ति : $D$ , $AB$ का मध्य बिन्दु है।

अर्थात् $AD=DB$ (दिया है)

$\frac{AD}{DB}=1$ ....(i)

पुनः $\Delta ABC$ में $DE \parallel BC$

$∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

$∴$ $1=\frac{AE}{EC}$ [(i) से]

$AE=EC$

$∴$ $E, AC$ का मध्य बिन्दु है। (इतिसिद्धम्)

8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

हल—दिया है : $\Delta ABC$ में, $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिन्दु हैं जिससे कि $AD=BD$ और $AE=EC$ हैं। $D$ और $E$ को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : $DE \parallel BC$

उपपत्ति : $D, AB$ का मध्य बिन्दु है। (दिया है)

[त्रिभुज ABC जिसमें D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं और DE को मिलाया गया है]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 9

अर्थात् $AD=BD$

$\frac{AD}{BD}=1$ .... (i)

पुनः $E, AC$ का मध्य बिन्दु है। (दिया है)

$∴$ $AE=EC$

$\frac{AE}{EC}=1$ .... (ii)

(i) और (ii) से, $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के प्रयोग से, $DE \parallel BC$ (इतिसिद्धम्)

**9. ABCD एक समलम्ब है जिसमें $AB \parallel DC$ है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$ है।**

(प्रश्न बैंक; माध्यू. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

हल—दिया है : $ABCD$ एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। विकर्ण $AC$ तथा $BD$ परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है : $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$

रचना : $O$ में से $FO \parallel DC \parallel AB$ खीचिए।

उपपत्ति : अब $\Delta DAB$ में,

$FO \parallel AB$ (रचना से)

$\frac{DF}{FA}=\frac{DO}{OB}$ .... (i)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

पुनः $\Delta DCA$ में,

$FO \parallel DC$ (रचना से)

$\frac{DF}{FA}=\frac{CO}{OA}$ .... (ii)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

(i) और (ii) से, $\frac{DO}{OB}=\frac{CO}{OA}$

या $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$ (इतिसिद्धम्)

**10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$ है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।**

हल—दिया है : चतुर्भुज $ABCD$ में विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर बिन्दु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$ है।

सिद्ध करना है : चतुर्भुज $ABCD$ एक समलम्ब है।

रचना : ' $O$ ' से रेखा $EO \parallel AB$ खींचों, जो $AD$ को $E$ पर मिलती है।

उपपत्ति : $\Delta DAB$ में,

$EO \parallel AB$

$\frac{DE}{EA}=\frac{DO}{OB}$ .... (i)

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

परन्तु $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$ (दिया है)

या $\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$

या $\frac{CO}{DO}=\frac{AO}{BO}$

गणित-कक्षा 10

121

$⇒\frac{DO}{OB}=\frac{CO}{AO}$ .... (ii)

(i) और (ii) से, $\frac{DE}{EA}=\frac{CO}{AO}$

$∵$ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से

$EO \parallel DC$

साथ ही, $EO \parallel AB$

$⇒AB \parallel DC$

$∵$ चतुर्भुज $ABCD$ एक समलम्ब है जिसमें $AB \parallel CD$ (इतिसिद्धम्)

प्रश्नावली 6.3

प्रश्न 1. बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौनसे युग्म समरूप हैं। उस समरूपता की कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

[Triangles ABC and PQR with angles 60, 80, 40]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 10

(i)

[Triangles ABC (sides 2, 3, 2.5) and PQR (sides 6, 5, 4)]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 11

(ii)

[Triangles LMP (sides 2.7, 2, 3) and DEF (sides 4, 5, 6)]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 12

(iii)

[Triangles DNL (sides 2.5, 5, angle 70) and PQR (side 5, 10, angle 70)]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 13

(iv)

[Triangles ABC (side 2.5, 3, angle 80) and DEF (side 5, 6, angle 80)]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 14

(v)

[Triangles DEF (angle 70, 80) and PQR (angle 80, 30)]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 15

(vi)

हल—(i) $\Delta ABC$ तथा $\Delta PQR$ में,

$\angle A= \angle P$ (प्रत्येक $60^{∘}$ )

$\angle B= \angle Q$ (प्रत्येक $80^{∘}$ )

$\angle C= \angle R$ (प्रत्येक $40^{∘}$ )

$∵ \Delta ABC~ \Delta PQR$

अर्थात् दोनों $\Delta$ समरूप हैं।

[AAA समरूपता कसौटी]

(ii) $\Delta ABC$ तथा $\Delta PQR$ में,

$\frac{AB}{RQ}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ .... (i)

$\frac{AC}{PQ}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .... (ii)

$\frac{BC}{RP}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$ .... (iii)

(i), (ii) और (iii) से,

$\frac{AB}{RQ}=\frac{AC}{PQ}=\frac{BC}{RP}=\frac{1}{2}$

$∵ \Delta ABC~ \Delta QRP$

[SSS समरूपता कसौटी से]

अर्थात् दोनों $\Delta$ समरूप हैं।

(iii) $\Delta LMP$ तथा $\Delta DEF$ में,

$\frac{MP}{EF}=\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$ .... (i)

$\frac{PL}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .... (ii)

$\frac{LM}{DE}=\frac{2.7}{4}=\frac{27}{40}$ .... (iii)

(i), (ii) व (iii) से,

यहाँ $\frac{MP}{EF} \ne \frac{PL}{DF} \ne \frac{LM}{DE}$

अर्थात् दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(iv) $\Delta MNL$ तथा $\Delta QPR$ में,

$\frac{ML}{QR}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$\frac{MN}{PQ}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$

$\angle M= \angle Q=70^{∘}$ (प्रत्येक $70^{∘}$ )

SAS समरूपता कसौटी से,

$\Delta MNL~ \Delta QPR$

(v) $\Delta ABC$ और $\Delta DFE$ में,

$\frac{AB}{DF}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$

$\frac{BC}{EF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\angle B \ne \angle F$

अर्थात् $\Delta ABC$ तथा $\Delta DEF$ समरूप नहीं हैं।

(vi) $\Delta DEF$ में,

$\angle D=70^{∘}, \angle E=80^{∘}$

$∵ \angle D+ \angle E+ \angle F=180^{∘}$

या $70^{∘}+80^{∘}+ \angle F=180^{∘}$

$\angle F=180^{∘}-70^{∘}-80^{∘}$

$∴ \angle F=30^{∘}$

$\Delta PQR$ में,

$\angle Q=80^{∘}, \angle R=30^{∘}$

$∵ \angle P+ \angle Q+ \angle R=180^{∘}$

या $\angle P+80^{∘}+30^{∘}=180^{∘}$

या $\angle P=180^{∘}-80^{∘}-30^{∘}$

अतः $\angle P=70^{∘}$

$\Delta DEF$ तथा $\Delta PQR$ में,

$\angle D= \angle P$ (प्रत्येक कोण $70^{∘}$ )

$\angle E= \angle Q$ (प्रत्येक कोण $80^{∘}$ )

$\angle F= \angle R$ (प्रत्येक कोण $30^{∘}$ )

$∴ \Delta DEF~ \Delta PQR$

(AAA समरूपता कसौटी)

अर्थात् दोनों त्रिभुज समरूप हैं।

2. आकृति में, $\Delta ODC~ \Delta OBA$ , $\angle BOC=125^{∘}$ और $\angle CDO=70^{∘}$ है। $\angle DOC$ , $\angle DCO$ और $\angle OAB$ ज्ञात कीजिए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )

[Trapezoid/Intersecting lines with angles 70°, 125°, points D, C, O, A, B]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 16

हल—

$\angle BOC=125^{∘}$

$\angle CDO=70^{∘}$

$DOB$ एक सरल रेखा है।

$∴ \angle DOC+ \angle COB=180^{∘}$

या $\angle DOC+125^{∘}=180^{∘}$

या $\angle DOC=180^{∘}-125^{∘}$

$\angle DOC=55^{∘}$

$\angle DOC= \angle AOB=55^{∘}$

[शीर्षाभिमुख कोण]

$∴ \Delta ODC~ \Delta OBA$

$\angle D= \angle B=70^{∘}$

$\Delta DOC$ में, $\angle D+ \angle O+ \angle C=180^{∘}$

$∴70^{∘}+55^{∘}+ \angle C=180^{∘}$

या $\angle C=180^{∘}-70^{∘}-55^{∘}$

या $\angle C=55^{∘}$

$\angle C= \angle A=55^{∘}$

∠DOC = 55°

∠DCO = 55°

∠OAB = 55° \ उत्तर

3. समलम्ब $ABCD$ , जिसमें $AB \parallel DC$ है, के विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$ है।

हल—

[Trapezoid ABCD with diagonals intersecting at O and numbered angles 1, 2, 3, 4, 5, 6]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 17

दिया है : एक समलम्ब $ABCD$ जिसमें $AB \parallel CD$ है और विकर्ण $AC$ तथा $BD$ परस्पर $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है : $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$

उपपत्ति : $AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।

$\Delta DOC$ और $\Delta BOA$ में,

$\angle 1= \angle 2$ (एकान्तर कोण)

$\angle 5= \angle 6$ (शीर्षाभिमुख कोण)

$\angle 3= \angle 4$ (एकान्तर कोण)

$∴ \Delta ODC~ \Delta BOA$

[AAA समरूपता कसौटी]

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]

$∴\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$ (इतिसिद्धम्)

गणित-कक्षा 10

123

प्रश्न 4. आकृति में, $\frac{QR}{QS}=\frac{QT}{PR}$ तथा $\angle 1= \angle 2$ है। दर्शाइए कि $\Delta PQS~ \Delta TQR$ है।

[त्रिभुज PQR जिसमें रेखाएँ ST और PR दी गई हैं और ∠ 1, ∠ 2 अंकित हैं]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 18

हल—दिया है : एक $\Delta TQR$ है,

$\frac{QR}{QS}=\frac{QT}{PR}$

तथा $\angle 1= \angle 2$

सिद्ध करना है : $\Delta PQS~ \Delta TQR$

उपपत्ति : $\Delta PQR$ में,

$\angle 1= \angle 2$ (दिया है)

$∴PR=PQ$ .... (i)

[बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

$\frac{QR}{QS}=\frac{QT}{PR}$ (दिया है)

$\frac{QR}{QS}=\frac{QT}{PQ}$ [ $PR=PQ$ .... (i) से]

$⇒\frac{QS}{QR}=\frac{PQ}{QT}$

$\Delta PQS$ और $\Delta TQR$ में,

$\frac{QS}{QR}=\frac{PQ}{QT}$

$\angle 1= \angle 1$ (उभयनिष्ठ कोण)

$∴ \Delta PQS~ \Delta TQR$ [SAS समरूपता कसौटी]

(इतिसिद्धम्)

प्रश्न 5. $\Delta PQR$ की भुजाओं $PR$ और $QR$ पर क्रमशः बिन्दु $S$ और $T$ इस प्रकार स्थित हैं कि $\angle P= \angle RTS$ है। दर्शाइए कि $\Delta RPQ~ \Delta RTS$ है।

हल—दिया है : $\Delta PQR$ की भुजाओं $PR$ और $QR$ पर क्रमशः बिन्दु $S$ और $T$ इस प्रकार स्थित हैं कि $\angle P= \angle RTS$ है।

[त्रिभुज PQR जिसके अंदर रेखाखण्ड ST खींचा गया है]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 19

सिद्ध करना है : $\Delta RPQ~ \Delta RTS$

उपपत्ति : $\Delta RPQ$ और $\Delta RTS$ में,

$\angle RPQ= \angle RTS$ (दिया है)

$\angle PRQ= \angle TRS$ (उभयनिष्ठ कोण)

$\frac{RP}{RT}=\frac{PQ}{TS}$

SAS समरूपता कसौटी से

$\Delta RPQ~ \Delta RTS$ (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 6. आकृति में, यदि $\Delta ABE \cong \Delta ACD$ है, तो दर्शाइए कि $\Delta ADE~ \Delta ABC$ है।

[त्रिभुज ABC और उसके अंदर त्रिभुज ADE व ABE]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 20

हल—दिया है : $\Delta ABE \cong \Delta ACD$ है।

सिद्ध करना है : $\Delta ADE~ \Delta ABC$

उपपत्ति : $\Delta ABE \cong \Delta ACD$ (दिया है)

$AB=AC$ (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)

और $AE=AD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)

$\frac{AB}{AC}=1$ .... (i)

तथा $\frac{AD}{AE}=1$ .... (ii)

(i) और (ii) से, $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$

$\Delta ADE$ और $\Delta ABC$ में, $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$

$\angle A= \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)

$∴ \Delta ADE~ \Delta ABC$ [SAS समरूपता कसौटी]

प्रश्न 7. आकृति में, $\Delta ABC$ के शीर्षलम्ब $AD$ और $CE$ परस्पर बिन्दु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :

(i)

\Delta AEP~ \Delta CDP

(ii)

\Delta ABD~ \Delta CBE

(iii)

\Delta AEP~ \Delta AADB

(iv)

\Delta PDC~ \Delta BEC

हल—दिया है : $\Delta ABC$ , $AD⟂BC$ $CE⟂AB$

[△ ABC with altitudes AD perp BC and CE perp AB intersecting at P]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 21

सिद्ध करना है :

(i) $\Delta AEP~\Delta CDP$ (ii) $\Delta ABD~\Delta CBE$

(iii) $\Delta AEP~\Delta ADB$ (iv) $\Delta PDC~\Delta BEC$

उपपत्ति : (i) $\Delta AEP$ और $\Delta CDP$ में,

$\angle E= \angle D$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$\angle APE= \angle CPD$ (शीर्षोभिमुख कोण)

$∴\Delta AEP~\Delta CDP$ [AA समरूपता कसौटी]

(ii) $\Delta ABD$ और $\Delta CBE$ में,

$\angle D= \angle E$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$\angle B= \angle B$ (उभयनिष्ठ कोण)

$∴\Delta ABD~\Delta CBE$ [AA समरूपता कसौटी]

(iii) $\Delta AEP$ और $\Delta ADB$ में,

$\angle E= \angle D$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$\angle A= \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)

$∴\Delta AEP~\Delta ADB$ [AA समरूपता कसौटी]

(iv) $\Delta PDC$ और $\Delta BEC$ में,

$\angle C= \angle C$ (उभयनिष्ठ कोण)

$\angle D= \angle E$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$∴\Delta PDC~\Delta BEC$ [AA समरूपता कसौटी]

प्रश्न 8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $\Delta ABE~\Delta CFB$ है।

हल—दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।

[Parallelogram ABCD with side AD extended to E, and line BE intersecting CD at F]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 22

सिद्ध करना है : $\Delta ABE~\Delta CFB$

उपपत्ति : $\Delta ABE$ और $\Delta CFB$ में,

$\angle A= \angle C$ (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

$\angle ABE= \angle CFB$ (एकान्तर कोण)

$∴\Delta ABE~\Delta CFB$ (AA समरूपता कसौटी)

(इतिसिद्धम्)

9. आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i)

\Delta ABC~\Delta AMP

(ii)

\frac{CA}{PA}=\frac{BC}{MP}

[Right-angled triangles ABC and AMP with right angles at B and M]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 23

हल—दिया है : $\Delta ABC$ और $\Delta AMP$ दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं।

सिद्ध करना है :

(i)

\Delta ABC~\Delta AMP

(ii)

\frac{CA}{PA}=\frac{BC}{MP}

उपपत्ति : (i) $\Delta ABC$ और $\Delta AMP$ में,

$\angle A= \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)

$\angle B= \angle M$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$∴\Delta ABC~\Delta AMP$

(AA समरूपता कसौटी से)

(ii) $∵\frac{AC}{AP}=\frac{BC}{MP}$

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं]

अतः $\frac{CA}{PA}=\frac{BC}{MP}$ (इतिसिद्धम्)

10. CD और GH क्रमशः $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta FEG$ की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि $\Delta ABC~\Delta FEG$ हैं, तो दर्शाइए कि :

(i) $\frac{CD}{GH}=\frac{AC}{FG}$

(ii) $\Delta DCB~\Delta HGE$

(iii) $\Delta ADCA~\Delta AHGF$ (अशुद्ध छपा है, $\Delta ACD~\Delta HGF$ )

हल—

[Two similar triangles ABC and FEG with angle bisectors CD and GH]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 24

दिया है : $\Delta ABC$ और $\Delta EFG$ में, CD और GH क्रमशः $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के समद्विभाजक हैं अर्थात् $\angle 1= \angle 2$ और $\angle 3= \angle 4$ तथा $\Delta ABC~\Delta AFEG$ हैं।

गणित-कक्षा 10

125

सिद्ध करना है : (i) $\frac{CD}{GH}=\frac{AC}{FG}$

(ii)

\Delta DCB~ \Delta HGE

(iii)

\Delta DCA~ \Delta HGF

उपपत्ति : (i) $\Delta ABC~ \Delta FEG$ (दिया है)

$\angle C= \angle G$

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो संगत कोण बराबर होते हैं।]

$\frac{1}{2} \angle C=\frac{1}{2} \angle G$

$\angle 1= \angle 3$ या $\angle 2= \angle 4$

अथवा $\angle 1= \angle 4$

$\angle 2= \angle 3$

अब, $\Delta ACD$ और $\Delta FGH$ में,

$\angle A= \angle F$ ( $\Delta ABC~ \Delta FEG$ )

$\angle 2= \angle 4$ (सिद्ध कर चुके हैं।)

$∴ \Delta ACD~ \Delta AFGH$

$()$

अतः $\frac{CD}{GH}=\frac{AC}{FG}$

$()$

(ii) अब, $\Delta DCB$ और $\Delta HGE$ में,

$\angle B= \angle E$ ( $∵ \Delta ABC~ \Delta FEG$ )

$\angle 1= \angle 4$ (ऊपर सिद्ध कर चुके हैं।)

$∴ \Delta DCB~ \Delta HGE$

$()$

(iii) अब, $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में,

$\angle A= \angle F$ ( $∵ \Delta ABC~ \Delta FEG$ )

$\angle 2= \angle 3$ (सिद्ध कर चुके हैं।)

$∴ \Delta DCA~ \Delta HGF$

$()$

(इतिसिद्धम्)

11. आकृति में, $AB=AC$ वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ की बढ़ाई गई भुजा $CB$ पर स्थित $E$ एक बिन्दु है। यदि $AD⟂BC$ और $EF⟂AC$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta ABD~ \Delta ECF$ है।

[समद्विबाहु त्रिभुज ABC और भुजा CB पर बिन्दु E, साथ में लंब AD और EF]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 25

हल—दिया है : $AB=AC$ वाले एक समद्विबाहु $\Delta ABC$ की बढ़ाई गई भुजा $CB$ पर स्थित $E$ एक बिन्दु है। $AD⟂BC$ और $EF⟂AC$ है।

सिद्ध करना है : $\Delta ABD~ \Delta ECF$

उपपत्ति : $\Delta ABC$ समद्विबाहु त्रिभुज है (दिया है)

$AB=AC$

(क्योंकि त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)

$∴ \angle B= \angle C$ (समान कोण)

$\Delta ABD$ और $\Delta ECF$ में,

$\angle ABD= \angle ECF$ (सिद्ध कर चुके हैं)

$\angle ADB= \angle EFC$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$∴ \Delta ABD~ \Delta ECF$

$(AA \text{समरूपता})$ (इतिसिद्धम्)

12. एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $BC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की क्रमशः भुजाओं $PQ$ और $QR$ तथा माध्यिका $PM$ के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\Delta ABC~ \Delta PQR$ है। (प्रश्न बैंक)

[त्रिभुज ABC और PQR तथा उनकी माध्यिकाएँ AD और PM]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 26

हल—दिया है : $\Delta ABC$ की माध्यिका $AD$ और $\Delta PQR$ की माध्यिका $PM$ इस तरह से है कि

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AD}{PM}$

सिद्ध करना है : $\Delta ABC~ \Delta PQR$

उपपत्ति : $BD=\frac{1}{2}BC$ (दिया है)

और $QM=\frac{1}{2}QR$ (दिया है)

और साथ में, $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AD}{PM}$ (दिया है)

$⇒\frac{AB}{PQ}=\frac{2BD}{2QM}=\frac{AD}{PM}$

$⇒\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$

$SSS$ समरूपता कसौटी से हम रख सकते हैं कि

$\Delta ABD~ \Delta PQM$

$⇒ \angle B= \angle Q$ (समरूप त्रिभुज के संगत कोण)

और $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}$ (दिया है)

126

$∴$ SAS समरूपता कसौटी से हम रख सकते हैं कि

$\Delta ABC~ \Delta PQR$ (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि $\angle ADC= \angle BAC$ है। दर्शाइए कि $CA^{2}=CB·CD$ है।

हल— दिया है : $\Delta ABC$ की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि $\angle ADC= \angle BAC$

सिद्ध करना है : $CA^{2}=BC·CD$

उपपत्ति : $\Delta ABC$ व $\Delta DAC$ में,

$\angle C= \angle C$ (उभयनिष्ठ कोण)

$\angle BAC= \angle ADC$ (दिया है)

$∴ \Delta ABC~ \Delta DAC$ [AA समरूपता कसौटी से]

[दो समरूप त्रिभुजों Delta ABC और Delta DAC का रेखाचित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 27

$∴\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]

$AC^{2}=BC·DC$ (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\Delta ABC~ \Delta PQR$ है।

हल— दिया है : दो त्रिभुज ABC और PQR में D, BC का मध्य-बिन्दु है और M, QR का मध्य-बिन्दु है।

और $\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{AD}{PM}$ .... (i)

[त्रिभुज ABC और PQR तथा उनकी माध्यिकाएँ AD और PM]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 28

सिद्ध करना है : $\Delta ABC~ \Delta PQR$

रचना : AD को E तक बढ़ाइए ताकि $AD=DE$ हो। BE और CE को मिलाइए।

PM को N तक बढ़ाइए ताकि $PM=MN$ हो। QN और NR को मिलाइए।

उपपत्ति : चतुर्भुज ABEC के विकर्ण AE और BC परस्पर D पर समद्विभाजित करते हैं। अतः चतुर्भुज ABEC एक समान्तर चतुर्भुज है।

इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि चतुर्भुज PQNR एक समान्तर चतुर्भुज है।

चूँकि ABEC एक समान्तर चतुर्भुज है।

$∴BE=AC$ .... (ii)

इसी प्रकार चूँकि PQNR एक $‖gm$ है।

$∴QN=PR$ .... (iii)

(ii) को (iii) से विभाजित करने पर

$\frac{BE}{QN}=\frac{AC}{PR}$ .... (iv)

अब, $\frac{AD}{PM}=\frac{2AD}{2PM}=\frac{AE}{PN}$ .... (v)

(i), (iv) और (v) से

$\frac{AD}{PQ}=\frac{BE}{QN}=\frac{AE}{PN}$

अतः, $\Delta ABE$ और $\Delta PQN$ से

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BE}{QN}=\frac{AE}{PN}$

$∴ \Delta ABE~ \Delta PQN$

$∴ \angle BAE= \angle QPN$ .... (vi)

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\Delta AEC~ \Delta PNR$

$∴ \angle EAC= \angle NPR$ .... (vii)

अब (vi) और (vii) को जोड़ने पर

$\angle BAE+ \angle EAC= \angle QPN+ \angle NPR$

अर्थात् $\angle BAC= \angle QPR$

अब $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में

$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}$

$\angle A= \angle P$

$∴ \Delta ABC~ \Delta PQR$

[SAS समरूपता कसौटी से] (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 15. लम्बाई $6 m$ वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई $4 m$ है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई $28 m$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

गणित-कक्षा 10

127

हल—

[Two right triangles ABC and PMN]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 29

ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की लम्बाई = $6 m$

स्तम्भ की छाया की लम्बाई = $4 m$

माना कि मीनार की ऊँचाई = $H m$

मीनार की छाया की लम्बाई = $28 m$

$\Delta ABC$ और $\angle PMN$ में,

$\angle C= \angle N$ (मीनार की छाया की लम्बाई)

$\angle B= \angle M$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )

$∴ \Delta ABC~ \Delta PMN$ [AA समरूपता कसौटी]

$∴\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}$

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]

$∴\frac{6}{H}=\frac{4}{28}$

$⇒H=\frac{6 \times 28}{4}$

$H=6 \times 7$

$H=42 m$

अतः मीनार की ऊँचाई = $42 m$ उत्तर

16. $AD$ और $PM$ त्रिभुजों $ABC$ और $PQR$ की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि $\Delta ABC~ \Delta PQR$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$ है।

हल—दिया है : $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं तथा $\Delta ABC~ \Delta PQR$ है।

[Two triangles ABC and PQR with medians AD and PM]

कक्षा 10 गणित पाठ 6 त्रिभुज चित्र 30

सिद्ध करना है : $\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$

उपपत्ति : $\Delta ABC~ \Delta PQR$ (दिया है)

$∴\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$ ...(i)

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]

$\angle A= \angle P$

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं।]

$\angle B= \angle Q$

$\angle C= \angle R$

$D, BC$ का मध्य बिन्दु है।

$∴BD=DC=\frac{1}{2}BC$ ...(ii)

$M, OR$ का मध्य बिन्दु है।

$∴QM=MR=\frac{1}{2}QR$ ...(iii)

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}$

$\frac{AB}{PQ}=\frac{2BD}{2QM}$ [(ii) और (iii) से]

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$

$\angle B= \angle Q$

$\angle ABD= \angle PQM$ (दिया है)

$\Delta ABD~ \Delta PQM$ (SAS समरूपता कसौटी से)

$⇒\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$

$⇒\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$

[यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।] (इतिसिद्धम्)

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
1. समरूप आकृतियाँ—दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों, परन्तु आवश्यक रूप से आमाप समान न हों, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
2. समरूप बहुभुज—भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों। बहुभुजों के लिए संगत भुजाओं के इस एक ही अनुपात को स्केल गुणक (Scale factor) कहा जाता है।
3. त्रिभुज—समतल पर तीन सरल रेखाओं से घिरी आकृति को त्रिभुज कहते हैं। त्रिभुज के लिए संकेत $\Delta$ का प्रयोग करते हैं। जिन रेखाओं से त्रिभुज बनता है, उन्हें इसकी भुजाएँ तथा जिन बिन्दुओं पर ये भुजाएँ परस्पर मिलती हैं, उन्हें त्रिभुज के शीर्ष कहते हैं।
4. दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहे जाते हैं जब उनके समान आकार तथा समान आमाप हों।
5. सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं परन्तु सभी समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।
6. त्रिभुजों की समरूपता—दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि-(i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों।
$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,
(i) $\angle A= \angle D$ , $\angle B= \angle E$ , $\angle C= \angle F$ है तथा
(ii) $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$ है तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि $\Delta ABC$ व $\Delta DEF$ समरूप हों तो इसे हम $\Delta ABC~ \Delta DEF$ लिखते हैं।
त्रिभुजों की समरूपता को सांकेतिक रूप से व्यक्त करने के लिए उनके शीर्षों की संगतताओं को सही क्रम में लिखा जाना चाहिए जिससे संगत शीर्ष कोण समान स्थिति में हो जाएँ।
7. आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय—यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए, एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
8. यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
9. यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (AAA समरूपता कसौटी)।
10. यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (AA समरूपता कसौटी)।
11. यदि दो त्रिभुजों में, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (SSS समरूपता कसौटी)।
12. यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अन्तर्ग्रस्त करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (SAS समरूपता कसौटी)।
गणित-कक्षा 10
117
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न—
1. यदि $\Delta ABC~ \Delta DEF$ हो एवं $AB=10 \text{सेमी}.,DE=8 \text{सेमी}. \text{हो}, \text{तो} BC:EF$ है—
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025 )

(A) $8:18$

(B) $4:5$

(C) $9:4$

(D) $5:4$

2. दी गई आकृति में $DE \parallel BC,AD=1.5 cm,DB=3 cm$ तथा $AE=2 cm$ है तो $EC$ का मान है—
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25 )
[Triangle ABC with line DE parallel to BC]

(A) $6 \text{सेमी}$

(B) $4 \text{सेमी}$

(C) $4.5 \text{सेमी}$

(D) $3.5 \text{सेमी}$

3. $AD$ और $PM$ त्रिभुजों $ABC$ और $PQR$ की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि $\Delta ABC~ \Delta PQR$ है यदि $AB:PQ=3:5$ है तो $AD:PM$ है– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) $5:3$

(B) $9:25$

(C) $3:5$

(D) $25:9$

4. ]
[Two triangles ABC and DEF with side lengths and angles]
दिए गए चित्र में $AB=2$ सेमी, $\angle A=50^{∘}$ , $AC=4$ सेमी, $DE=3$ सेमी, $\angle D=50^{∘}$ और $DF=6$ सेमी है। यदि $BC=3$ सेमी हो, तो $EF$ का माप है– (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

(A) $4.5$ सेमी

(B) $6$ सेमी

(C) $8$ सेमी

(D) $5$ सेमी

5. दो सरल रेखाएँ जो एक ही रेखा के लम्बवत् हों, परस्पर कहलाती हैं–

(A) लम्ब रेखाएँ

(B) समान्तर रेखाएँ

(C) समद्विभाजित रेखाएँ

(D) समान रेखाएँ

6. दी गई आकृति में $AD$ , $\angle A$ का अन्तः समद्विभाजक है। यदि $AB=6$ सेमी., $BD=4$ सेमी. और $DC=3$ सेमी., हो तो $AC$ का मान है–

(A) $3$ सेमी.

(B) $4$ सेमी.

(C) $4.5$ सेमी.

(D) $5$ सेमी.

[Triangle ABC with angle bisector AD]
7. संलग्न आकृति में यदि $AB \parallel CD$ हो तो $x$ का मान है–

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

[Intersecting lines AB and CD with lengths expressed in x]
8. चित्र में, $ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $C$ है। अतः:

(A) $AB^{2}=2AC^{2}$

(B) $BC^{2}=2AB^{2}$

(C) $AC^{2}=2AB^{2}$

(D) $AB^{2}=4AC^{2}$

[Right-angled isosceles triangle ABC with right angle at C]
9. दी गई आकृति में $QA$ और $PB$ , $AB$ पर लम्बवत् हैं। यदि $AO=10$ सेमी., $BO=6$ सेमी. तथा $PB=9$ सेमी. हो तो $AQ$ की लम्बाई है–

(A) $12$ सेमी.

(B) $15$ सेमी.

(C) $18$ सेमी.

(D) $21$ सेमी.

[Two parallel lines with a transversal forming intersecting triangles]
10. $\Delta ABC~ \Delta DEF$ है, यदि $\angle A=40^{∘}, \angle E=80^{∘}$ है तो $\angle C$ का मान है–

(A) $70^{∘}$

(B) $60^{∘}$

(C) $50^{∘}$

(D) $40^{∘}$

11. यदि $\Delta ABC$ में $D$ भुजा $BC$ का मध्य बिन्दु हो और $AB^{2}+AC^{2}=x(BD^{2}+AD^{2})$ तो $x$ का मान होगा–

(A) $1$

(B) $2$

(C) $4$

(D) शून्य

12. चित्र में $ABC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $\angle B=90^{∘}$ है। यदि $BC=8$ सेमी. है तो $AD$ की लम्बाई क्या होगी? जहाँ $D$ , $BC$ का मध्य बिन्दु है–

(A) $20$ सेमी.

(B) $\sqrt{20}$ सेमी.

(C) $2\sqrt{20}$ सेमी.

(D) $4\sqrt{20}$ सेमी.

[Right-angled triangle ABC with point D on BC]
13. $\Delta ABC$ में $AB$ व $AC$ पर बिन्दु $D$ व $E$ स्थित हैं। यदि $DE \parallel BC$ एवं $AD=4$ सेमी., $AB=10$ सेमी., $AE=5$ सेमी., हो तो $AC=$

(A) $12$ सेमी.

(B) $12.5$ सेमी.

(C) $10$ सेमी.

(D) $8$ सेमी.

गणित-कक्षा 10
129
प्रश्न 14. यदि $\Delta ABC$ में यदि $AB=3$ सेमी., $BC=4$ सेमी. तथा $AC=5$ सेमी. हो तो $\angle B$ का मान होगा-

(A) $120^{∘}$

(B) $90^{∘}$

(C) $60^{∘}$

(D) $45^{∘}$

प्रश्न 15. दिये गये चित्र में, $DE \parallel BC$ है। यदि $AD=x$ , $DB=x-2$ , $AE=x+2$ तथा $EC=x-1$ हो, तो $x$ का मान होगा-
[Triangle ABC with DE parallel to BC, AD=x, DB=x-2, AE=x+2, EC=x-1]

(A) $3$

(B) $2$

(C) $4$

(D) $1$

प्रश्न 16. संलग्न आकृति में $DE \parallel BC$ है। यदि $\frac{AB}{DB}=\frac{3}{2}$ तथा $AE=2.7$ सेमी. है तो $EC$ बराबर है-
[Triangle ABC with DE parallel to BC, AD, AE=2.7 cm]

(A) $2.0$ सेमी.

(B) $1.8$ सेमी.

(C) $4.0$ सेमी.

(D) $2.7$ सेमी.

प्रश्न 17. दी गई आकृति में $\Delta ACB~ \Delta APQ$ है यदि $BC=8$ सेमी., $BA=6.5$ सेमी. $PQ=4$ सेमी. और $AP=2.8$ सेमी. हो, तो $AQ$ का मान होगा-
[Two intersecting triangles ACB and APQ]

(A) $5.6$ सेमी.

(B) $6.8$ सेमी.

(C) $10.5$ सेमी.

(D) $3.25$ सेमी.

प्रश्न 18. आकृति में $DE \parallel BC$ हो, $AD=4$ सेमी. $DB=6$ सेमी. एवं $AE=5$ सेमी. हो, तो $EC$ का मान होगा-
[Triangle ABC with line DE parallel to BC]

(A) $6.5$ सेमी.

(B) $7.0$ सेमी.

(C) $7.5$ सेमी.

(D) $8.0$ सेमी.

प्रश्न 19. आकृति में $AD$ , $\angle A$ का समद्विभाजक है, $AB=6$ सेमी., $BD=8$ सेमी. $DC=6$ सेमी. हो, तो $AC$ का मान होगा-
[Triangle ABC with angle bisector AD]

(A) $4.0$ सेमी.

(B) $4.5$ सेमी.

(C) $5$ सेमी.

(D) $5.5$ सेमी.

प्रश्न 20. $\Delta PQR$ व $DEF$ में $\angle D= \angle Q$ और $\angle R= \angle E$ तो निम्न में कौन सत्य है?

(A) $\frac{EF}{PR}=\frac{DF}{PQ}$

(B) $\frac{DF}{PQ}=\frac{EF}{RQ}$

(C) $\frac{DE}{QR}=\frac{DF}{PQ}$

(D) $\frac{EF}{RP}=\frac{DE}{QR}$

प्रश्न 21. दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए निम्नलिखित में से कौनसी प्रतिबंधाता पर्याप्त नहीं है?

(A) SSA

(B) SAS

(C) ASA

(D) SSS

प्रश्न 22. दी गई आकृति में, यदि $DE \parallel BC$ हो, तो $x$ का मान होगा-
[Triangle ABC with parallel line DE, side lengths marked with x expressions]

(A) $4.5$ सेमी.

(B) $4.0$ सेमी.

(C) $5$ सेमी.

(D) $5.5$ सेमी.

प्रश्न 23. यदि त्रिभुजों $ABC$ व $DEF$ में $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{FD}$ हैं तो ये समरूप होंगे जब-

(A) $\angle B= \angle E$

(B) $\angle A= \angle D$

(C) $\angle B= \angle D$

(D) $\angle A= \angle F$

प्रश्न 24. दी गई आकृति में यदि $AB=3.4$ सेमी. $BD=4$ सेमी. $BC=10$ सेमी. हो, तो $AC$ का मान होगा-
[Triangle ABC with altitude AD]

(A) $5.1$ सेमी.

(B) $3.4$ सेमी.

(C) $6$ सेमी.

(D) $5.3$ सेमी.

25. यदि $\Delta ABC$ एवं $\Delta DEF$ में $\angle A=50^{∘}, \angle B=70^{∘}, \angle C=60^{∘}, \angle D=60^{∘}, \angle E=70^{∘}$ एवं $\angle F=50^{∘}$ हो तो निम्नलिखित में सही है—

(A) $\Delta ABC~ \Delta DEF$

(B) $\Delta ABC~ \Delta EDF$

(C) $\Delta BCA~ \Delta DEF$

(D) $\Delta AABC~ \Delta FED$

26. $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ एवं $AC$ पर बिन्दु $D$ और $E$ इस प्रकार है कि $DE \parallel BC$ हैं एवं $AD=8$ सेमी., $AB=12$ सेमी. तथा $AE=12$ सेमी. हो, तो $CE$ का माप होगा—

(A) $6$ सेमी.

(B) $18$ सेमी.

(C) $9$ सेमी.

(D) $15$ सेमी.

27. एक $12$ सेमी. लम्बी ऊर्ध्वाधर छड़ की जमीन पर छाया की लम्बाई $8$ सेमी. लम्बी है। यदि इसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई $40$ मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई होगी—

(A) $60$ मीटर

(B) $60$ सेमी.

(C) $40$ सेमी.

(D) $80$ सेमी.

28. यदि $\Delta ABC$ में $AB=5$ सेमी., $BC=12$ सेमी. और $AC=13$ सेमी. है, तो $\angle B$ का मान होगा—

(A) $120^{∘}$

(B) $60^{∘}$

(C) $90^{∘}$

(D) $45^{∘}$

29. $\Delta ABC$ में यदि $D,BC$ का मध्य-बिन्दु इस प्रकार है कि $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ हो एवं $\angle B=70^{∘}, \angle C=70^{∘}$ हो, तो $\angle BAD$ की माप होगी—

(A) $60^{∘}$

(B) $30^{∘}$

(C) $20^{∘}$

(D) $50^{∘}$

30. निम्न में से कौनसी समरूपता की कसौटी नहीं है— (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक )

(A) कोण-कोण-कोण

(B) भुजा-कोण-भुजा

(C) भुजा-भुजा-भुजा

(D) कोण-भुजा-भुजा

31. यदि किसी त्रिभुज $PQR$ में $PQ^{2}+QR^{2}=PR^{2}$ हो, तो कौन सा कोण समकोण होगा? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) $\angle P$

(B) $\angle Q$

(C) $\angle R$

(D) इनमें से कोई नहीं

32. भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि— (प्रश्न बैंक )

(A) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों

(B) उनके संगत कोण बराबर हों

(C) 'A' व 'B' दोनों

(D) केवल 'A'

33. दी गई आकृतियों में $\angle D$ व $\angle F$ क्रमशः होंगे— (प्रश्न बैंक )
[Two triangles ABC and DEF with side lengths and angles marked]

(A) $70^{∘},50^{∘}$

(B) $50^{∘},70^{∘}$

(C) $60^{∘},50^{∘}$

(D) $70^{∘},60^{∘}$

34. यदि आकृति में $DE \parallel BC$ है तो— (प्रश्न बैंक )
[Triangle ABC with line DE parallel to BC]

(A) $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$

(B) $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

(C) $\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$

(D) उपर्युक्त सभी

35. यदि $\Delta ABC~ \Delta DEF$ के लिए सही होगा— (प्रश्न बैंक )

(A) $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$

(B) $\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{BC}{EF}$

(C) $\angle A= \angle E, \angle B= \angle F, \angle C= \angle D$

(D) इनमें से कोई नहीं

36. आकृति में $AB \parallel DC$ है तो $AP=$ ( प्रश्न बैंक )
[Trapezoid ABCD with diagonals intersecting at P]

(A) $7 cm$

(B) $6 cm$

(C) $5 cm$

(D) $5.5 cm$

गणित-कक्षा 10
131
उत्तरमाला
1. (D)
2. (B)
3. (C)
4. (A)
5. (B)
6. (C)
7. (C)
8. (A)
9. (B)
10. (B)
11. (B)
12. (C)
13. (B)
14. (B)
15. (C)
16. (B)
17. (D)
18. (C)
19. (B)
20. (C)
21. (A)
22. (B)
23. (C)
24. (A)
25.(D)
26. (A)
27.(A)
28. (C)
29. (C)
30. (D)
31. (B)
32. (C)
33.(A)
34. (D)
35. (A)
36. (C)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
1. दो त्रिभुज सर्वांगसम कहे जाते हैं जब उनके आकार तथा आमाप $………………$ होते हैं।
2. यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो यह रेखा तीसरी भुजा के $………………$ होती है।
3. यदि एक त्रिभुज में, किसी एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण $………………$ होता है।
4. एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का $………………$ होता है।
5. एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के $………………$ के बराबर होता है।
6. यदि दो त्रिभुजिनों में संगत कोण बराबर हों तो ये त्रिभुज $………………$ होते हैं।
7. दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ परस्पर $………………$ हों तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
8. सभी वृत्त $………………$ होते हैं।
( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23 )
9. त्रिभुजों की समरूपता को प्रकट करने के लिये उनके शीर्षों की संगतताओं की सही $………………$ में लिखना आवश्यक है।
10. दो आकृतियाँ, जिनके आकार समान हों परन्तु उनकी आमाप समान न हो $………………$ कहलाती हैं।
11. किसी त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण $………………$ होते हैं।
उत्तर—1. समान 2. समान्तर 3. समकोण 4. आधा 5. योग 6. समरूप 7. समानुपाती 8. समरूप 9. क्रम 10. समरूप 11. समान।
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. $\Delta ABC$ में $AD$ कोण $\angle BAC$ का समद्विभाजक है। यदि $AB=4 cm, AC=6 cm, BD=2 cm$ है तो $BC$ का मान ज्ञात कीजिए।
[त्रिभुज ABC जिसमें AD कोण A का समद्विभाजक है, AB=4 cm, AC=6 cm, BD=2 cm]
हल—आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
या $DC=\frac{BD \times AC}{AB}$
मान रखने पर
$=\frac{6 \times 2}{4}=3 cm$
$∴BC=BD+DC$
$=2+3=5 cm$ उत्तर
प्रश्न 2. दी गई आकृति में $AD, \angle A$ का अन्तः समद्विभाजक है। यदि $AB=4 \text{सेमी}., AC=6 \text{सेमी}.$ है तो $BD:DC$ लिखिए।
हल— $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$
अतः: $\frac{4}{6}=\frac{BD}{DC}$
अतः: $BD:DC=4:6=2:3$ उत्तर
[त्रिभुज ABC जिसमें AD कोण A का समद्विभाजक है, AB=4 सेमी., AC=6 सेमी.]
प्रश्न 3. संलग्न आकृति में $BC \parallel PQ$ यदि $AP=4 \text{सेमी}., AQ=5 \text{सेमी}.$ तथा $QC=2.5 \text{सेमी}.$ तो $PB$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल— $\frac{AQ}{QC}=\frac{AP}{PB}$
$=\frac{5}{2.5}=\frac{4}{PB}$
अतः, $PB=\frac{4}{2}=2$ सेमी. उत्तर
[त्रिभुज ABC जिसके अंदर Q और P बिंदु क्रमशः AC और BC पर स्थित हैं]
प्रश्न 4. उपर्युक्त प्रश्न के चित्र में यदि $AB=7$ सेमी., $AP=5$ सेमी. तथा $AC=10.5$ सेमी. तो $AQ$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल— $\frac{AC}{AQ}=\frac{AB}{AP}$
$⇒\frac{10.5}{AQ}=\frac{7}{5}$
अतः: $AQ=\frac{10.5 \times 5}{7}=7.5$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 5. दो समरूप त्रिभुज $ABC$ तथा $PQR$ के परिमाप क्रमशः $36$ सेमी. तथा $24$ सेमी. हैं। यदि $PQ=10$ सेमी. हो तो $AB$ ज्ञात कीजिए।
हल — $\frac{ \Delta ABC \text{का} \text{परिमाप}}{ \Delta PQR \text{का} \text{परिमाप}}=\frac{AB}{PQ}$
$\frac{AB}{PQ}=\frac{36}{24}$
$\frac{AB}{10}=\frac{36}{24}$
अतः: $AB=15$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 6. यदि दो त्रिभुज $ABC$ और $XYZ$ में $\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{ZX}$ हो तो $\Delta ABC$ के कोण $A$ का मान त्रिभुज $XYZ$ के किस कोण के बराबर होगा?
उत्तर— $\angle X$ के समान।
प्रश्न 7. यदि $\Delta ABC$ व $\Delta DEF$ में $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$ हो, तो वे आपस में कैसे त्रिभुज होंगे?
उत्तर—समरूप त्रिभुज।
प्रश्न 8. त्रिभुज की समरूपता के नियम लिखिए। ( प्रश्न बैंक )
उत्तर—दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि—
(i) उनके संगत कोण समान हों।
(ii) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
प्रश्न 9. $SSS$ नियम लिखिए।
उत्तर— $SSS$ नियम—यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हैं, तो वे दोनों समरूप होते हैं।
प्रश्न 10. चित्र में $EF \parallel BC$ , यदि $AE:BE=4:1$ और $CF=1.5$ सेमी. हो, तो $AF$ की लम्बाई क्या होगी?
[त्रिभुज ABC जिसमें EF रेखा BC के समांतर है]
हल—चित्र में $EF \parallel BC$
$∴\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{CF}$
$\frac{4}{1}=\frac{AF}{1.5}$
$⇒AF=4 \times 1.5$
$=6.0$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 11. दो वृत्त समरूप आकृतियाँ होती हैं। क्या वे दोनों वृत्त सर्वांगसम होंगे?
हल—इनका सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है। यदि इन वृत्तों की त्रिज्याएँ आपस में बराबर होती हैं तब वृत्त आपस में सर्वांगसम होंगे।
प्रश्न 12. दो वर्ग हमेशा आपस में किस तरह के होते हैं?
हल—दो वर्ग हमेशा आपस में समरूप होते हैं।
प्रश्न 13. दो बहुभुज एक दूसरे के समरूप कब कहलाते हैं?
हल—(1) उनके संगत कोण समान हों।
(2) उनकी संगत भुजाओं की लम्बाइयाँ समानुपाती हों।
प्रश्न 14. यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती हो, तो वह रेखा तीसरी भुजा के साथ क्या सम्बन्ध होता है?
हल—समान्तर का सम्बन्ध होता है।
प्रश्न 15. दो समरूप त्रिभुजूर के परिमाप क्रमशः $25$ सेमी. तथा $15$ सेमी. है यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा की लम्बाई $9$ सेमी. है, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल—माना दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई $x$ सेमी. है।
गणित-कक्षा 10
133
$∵$ समरूप त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई का अनुपात उनके परिमाप के अनुपात के बराबर होता है।
$∴\frac{25}{15}=\frac{9}{x}$
$⇒x=\frac{15 \times 9}{25}=5.4$ सेमी. उत्तर
[त्रिभुज ABC]
¥ì Ñì ãÚçã¢ ·seâ»ì ÖÉææ = 5.4 सेमी. उत्तर
प्रश्न 16. सामने दी गई आकृति में $DE \parallel BC$ है यदि $AD=x,DB=x-2,AE=x+2$ और $EC=x-1$ हो तो $x$ का मान ज्ञात कीजिये।
हल— $\Delta ABC$ में $DE \parallel BC$
अतः $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ [आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय द्वारा]
या $\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x-1}$
या $x(x-1)=(x+2)(x-2)$
या $x^{2}-x=x^{2}-4$
या $x=4$ उत्तर
प्रश्न 17. सामने दी गई आकृति में दर्शाये गये त्रिभुज युग्म समरूप हैं या नहीं, बताइये।
[त्रिभुज ABC और त्रिभुज PQR]
हल— $\Delta BCA~ \Delta QRP$
$∵ \angle B= \angle P=60^{∘}$
$\angle C= \angle R=40^{∘}$
$\angle A=180^{∘}-(60^{∘}+40^{∘})=80^{∘}$
अतः AAA समरूपता प्रमेय द्वारा
$\Delta BCA~ \Delta QRP$ होगा।
प्रश्न 18. सामने दी गई आकृति में दर्शाये गये त्रिभुज युग्म समरूप हैं या नहीं, बताइये।
[त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF]
हल— $\Delta ABC$ व $\Delta DEF$ में
$\frac{AB}{DF}=\frac{BC}{FE}=\frac{CA}{ED}=\frac{1}{2}$
अतः SSS समरूपता प्रमेय से
$\Delta ABC~ \Delta DEF$
प्रश्न 19. थेल्स प्रमेय (आधारभूत आनुपातिक प्रमेय) का कथन लिखिये। (प्रश्न बैंक)
हल— यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को काटते हुये कोई रेखा खींची जाये तो वह त्रिभुज की अन्य दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
प्रश्न 20. कोण-कोण समरूपता को परिभाषित कीजिये।
हल— यदि एक त्रिभुज के दो कोण, दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों के समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
प्रश्न 21. समरूप आकृतियों को परिभाषित कीजिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)
हल— समरूप आकृतियाँ जिनके समान आकार हों (परन्तु समान आमाप होना आवश्यक न हो) समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
प्रश्न 22. चित्र में $DE \parallel BC$ है यदि $\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$ तथा $AD=2.7 cm$ है तो $DB$ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक)
[त्रिभुज ABC with DE parallel to BC]
हल— $∵DE \parallel BC$
$∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
$\frac{2.7}{DB}=\frac{3}{2}$
$∴DB=\frac{2.7 \times 2}{3}=1.8 cm$ उत्तर
134 संजय बुक्स
प्रश्न 23. चित्र में $MN \parallel PR$ तो $x$ का मान लिखिए। (प्रश्न बैंक)
हल— प्रश्नानुसार $MN \parallel PR$ अतः:
$\frac{QN}{NR}=\frac{QM}{MP}$
या $\frac{3}{9}=\frac{5}{x}$
या $x=\frac{9 \times 5}{3}=15 cm$ उत्तर
[समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC, EF को G बिंदु पर काटता है]
प्रश्न 24. आकृति में $AB \parallel ES$ तथा $\frac{AR}{AE}=\frac{4}{5}$ तथा $RB=8cm$ तो $RS$ ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल—
$\frac{AR}{AE}=\frac{RB}{BS}$
या $\frac{4}{5}=\frac{8}{BS}$
या $BS=\frac{8 \times 5}{4}=10 cm$
अतः: $RS=RB+BS$
या $RS=8+10=18 cm$
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1.
दी गई आकृति में $DE \parallel BC$ हो, तो $X$ का मान ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
हल— $DE \parallel BC$
अतः: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
$⇒\frac{(x)}{6}=\frac{4}{8}$
$⇒(x+2)=\frac{4 \times 6}{8}$
$⇒x+2=3⇒x=3-2=1$
प्रश्न 2. $ABCD$ एक समलम्ब है जिसमें $AB \parallel DC$ है। असमान्तर भुजाओं $AD$ और $BC$ पर क्रमशः बिन्दु $E$ और $F$ इस प्रकार स्थित हैं कि $EF$ भुजा $AB$ के समान्तर है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\frac{AE}{ED}=\frac{BE}{FC}$ है।
हल— $A$ और $C$ को मिलाएँ जो $EF$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करे (देखिए आकृति)।
$AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$ (दिया है)
इसलिए $EF \parallel DC$ (एक ही रेखा के समान्तर रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं)
अब $\Delta ADC$ में,
$EG \parallel DC$ (क्योंकि $EF \parallel DC$ )
अतः: $\frac{AE}{ED}=\frac{AG}{GC}$ (प्रमेय $6.1$ के अनुसार) ...(i)
इसी प्रकार $\Delta CAB$ में,
$\frac{CG}{AG}=\frac{CF}{BF}$
अर्थात् $\frac{AG}{GC}=\frac{BF}{FC}$ ...(ii)
अतः: (i) और (ii) से,
$\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 3. आकृति में $\frac{PS}{SQ}=\frac{PT}{TR}$ है तथा $\angle PST= \angle PRQ$ है। सिद्ध कीजिए कि $\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (प्रश्न बैंक)
गणित-कक्षा 10
135
[दो प्रतिच्छेदी त्रिभुज POQ और SOR]
हल— यह दिया है कि,
$\frac{PS}{SQ}=\frac{PT}{TR}$
अतः $ST \parallel QR$ (प्रमेय 6.2 के अनुसार)
इसलिए $\angle PST= \angle PQR$ (संगत कोण) ....(i)
साथ ही यह दिया है कि
$\angle PST= \angle PRQ$ ....(ii)
अतः $\angle PRQ= \angle PQR$ [(i) और (ii) से]
इसलिए $PQ=PR$
(समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात् $\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
(इतिसिद्धम्)
प्रश्न 4. दी गयी आकृति में, यदि $PQ \parallel RS$ है, तो सिद्ध कीजिये कि $\Delta POQ~ \Delta SOR$ है।
[AOB और COD रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिन्दु O]
हल— $PQ \parallel RS$ (दिया है)
अतः $\angle P= \angle S$ (एकान्तर कोण)
और $\angle Q= \angle R$ (एकान्तर कोण)
साथ ही $\angle POQ= \angle SOR$ (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए $\Delta POQ~ \Delta SOR$
(AAA समरूपता कसौटी)
(इतिसिद्धम्)
प्रश्न 5. दी गयी आकृति में, $OA·OB=OC·OD$ है। दर्शाइये कि $\angle A= \angle C$ और $\angle B= \angle D$ है। (प्रश्न बैंक)
[मीनार और छात्र की छाया दर्शाने वाला त्रिभुज]
हल— $OA·OB=OC·OD$ (दिया है)
अतः $\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$ ....(1)
साथ ही, हमें प्राप्त है
$\angle AOD= \angle COB$ (शीर्षाभिमुख कोण) ....(2)
समीकरण (1) और (2) से
$\Delta AOD~ \Delta COB$ (SAS समरूपता कसौटी)
इसलिये $\angle A= \angle C$ और $\angle D= \angle B$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
प्रश्न 6. एक समतल जमीन पर $2$ मी. लम्बे छात्र की छाया की लम्बाई $1$ मी. है। उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई $5$ मी. हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि मीनार की ऊँचाई $h m$ है। चित्रानुसार हम देखते हैं कि $\Delta ABC$ तथा $\Delta DEC$ समरूप हैं अर्थात्
$\Delta ABC~ \Delta DEC$
अतः $\frac{AB}{DE}=\frac{CB}{CE}$
[त्रिभुज ABC और बिन्दु D]
$⇒\frac{2}{h}=\frac{1}{5}$
या $h=5 \times 2=10 m$ . उत्तर
प्रश्न 7. $\Delta ABC$ में यदि $D,BC$ पर कोई बिन्दु इस प्रकार है कि $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ , $\angle B=70^{∘}$ तथा $\angle C=50^{∘}$ हो तो $\angle BAD$ का माप लिखिए।
हल— दिया है : $\Delta ABC$ जिसमें $D,BC$ पर बिन्दु इस प्रकार है कि $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ तथा $\angle B=70^{∘}$ व $\angle C=50^{∘}$
ज्ञात करना है : $\angle BAD$
उपपत्ति : यहाँ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ (दिया है)
अतः $\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$ (लिख सकते हैं)
$∵ \Delta ABD~ \Delta ADC$
$\angle A=[180-(70+50)]=60^{∘}$
अतः $\angle BAD=\frac{1}{2} \angle A=\frac{60}{2}=30^{∘}$ उत्तर
प्रश्न 8. दी गई आकृति में $\angle ABC=90^{∘}$ तथा $BD⟂AC$ है। यदि $BD=8$ सेमी. तथा $AD=4$ सेमी. हो तो $CD$ का माप लिखिए।
हल— $\Delta ABD$ व $\Delta BDC$ में
[त्रिभुज ABC जिसमें BD परपेंडिकुलर AC है, AD = 4 सेमी, BD = 8 सेमी]
$\angle BDC= \angle BDA$ (प्रत्येक $90^{∘}$ )
$\angle DBC= \angle BAD$
अतः $\Delta AABD~ \Delta BDC$
$∵\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}$
$\frac{4}{8}=\frac{8}{CD}$ या $4CD=64$
अतः $CD=\frac{64}{4}=16$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 9. $\Delta ABC$ में $DE \parallel BC$ है यदि $AD:DB=3:5$ , $AC=5.6$ इकाई हो तो $AE$ का मान ज्ञात कीजिये।
हल— $\Delta ABC$ में $DE \parallel BC$ दिया हुआ है।
$∵\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
[आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से]
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{(AC)}$
या $\frac{3}{5}=\frac{AE}{5.6-AE}$
$∵\frac{AD}{DB}=\frac{3}{5}$ एवं $AC=5.6$ इकाई
या $3(5.6-AE)=5AE$
या $16.8-3AE=5AE$
या $5AE+3AE=16.8$
या $8AE=16.8$
या $AE=\frac{16.8}{8}=2.1$ इकाई
प्रश्न 10. निम्न आकृति में यदि $DE \parallel BC$ , $AD=x$ , $DB=x-2$ , $AE=x+2$ तथा $EC=x-1$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
[त्रिभुज ABC जिसमें DE समांतर है BC के, भुजाओं पर मान अंकित हैं]
हल— $DE \parallel BC$
$∵\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x-1}$
$⇒x(x-1)=(x-2)(x+2)$
$⇒x^{2}-x=(x)^{2}-(2)^{2}$
$⇒x^{2}-x=x^{2}-4$
$∴x=4$ उत्तर
दीर्घउत्तरी प्रश्न—
प्रश्न 1. यदि कोई रेखा एक $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा $BC$ के समान्तर हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ होगा (देखिए आकृति)।
[त्रिभुज ABC जिसमें DE समांतर है BC के]
हल— $DE \parallel BC$ (दिया है)
अतः $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ (प्रमेय 6.1 के अनुसार)
गणित-कक्षा 10
137
अर्थात् $\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$
या $\frac{DB}{AD}+1=\frac{EC}{AE}+1$
या $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
अतः $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ (इतिसिद्धम्)
**प्रश्न 2. दी गयी आकृति में $\angle P$ ज्ञात कीजिये।**
[triangles ABC and PQR]
हल— $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,
$\frac{AB}{RQ}=\frac{3.8}{7.6}=\frac{1}{2}$ , $\frac{BC}{QP}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
और $\frac{CA}{PR}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
अर्थात् $\frac{AB}{RQ}=\frac{BC}{QP}=\frac{CA}{PR}$
इसलिये $\Delta ABC~ \Delta RQP$ (SSS समरूपता)
इसलिये $\angle C= \angle P$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
लेकिन $\angle C=180^{∘}- \angle A- \angle B$ ( $\Delta$ का कोण योग गुणधर्म)
$\angle C=180^{∘}-80^{∘}-40^{∘}=40^{∘}$
अतः $\angle P=40^{∘}$ उत्तर
**प्रश्न 3. आकृति में कोणों $\angle OKS$ व $\angle ROP$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि त्रिभुज $\Delta OPR~ \Delta OSK$ तथा $\angle POS=125^{∘}$ और $\angle PRO=70^{∘}$ है।**
[two intersecting lines forming angles with R, P, K, S and O]
हल— प्रश्नानुसार $\angle POS=125^{∘}$
तथा $\angle PRO=70^{∘}$
[two intersecting lines forming angles with R, P, K, S and O]
चित्रानुसार $ROS$ एक सरल रेखा है।
$∴ \angle ROP+ \angle POS=180^{∘}$
या $\angle ROP+125^{∘}=180^{∘}$
या $\angle ROP=180^{∘}-125^{∘}=55^{∘}$
जब $\angle ROP=55^{∘}$ तो $\angle KOS$ भी $55^{∘}$ का होगा क्योंकि ये शीर्षाभिमुख कोण या सम्मुख कोण है।
$∴ \Delta OPR~ \Delta OSK$ $∴ \angle R= \angle S=70^{∘}$
अतः $\Delta ROP$ में $\angle R+ \angle O+ \angle P=180^{∘}$
या $70^{∘}+55^{∘}+ \angle P=180^{∘}$
या $\angle P=180^{∘}-70^{∘}-55^{∘}$
$∴ \angle P=55^{∘}$
$∴ \angle P= \angle K=55^{∘}$
अतः $\angle OKS=55^{∘}$ तथा $\angle ROP=55^{∘}$ उत्तर
**प्रश्न 4. $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर बिन्दु D और E इस प्रकार हैं कि $DE \parallel BC$ यदि $AD=8$ सेमी., $AB=12$ सेमी. तथा $AE=12$ सेमी. हो तो $CE$ का माप लिखिए।**
[triangle ABC with line DE parallel to BC]
हल— आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$
यहाँ $AD=8$ सेमी., $BD=(12-8)=4$ सेमी. तथा $AE=12$ सेमी. है।
अतः मान रखने पर
$\frac{8}{4}=\frac{12}{CE}$
$CE=\frac{12}{8} \times 4=6$ सेमी. उत्तर
138 संजीब बुक्स
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। ( प्रश्न बैंक )
हल— $\Delta ABC$ में हम एक रेखा $DE$ इस प्रकार लेते हैं कि $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ हो तथा $DE$ भुजा $BC$ के समांतर न हो। हम $BC$ के समान्तर एक रेखा $DE^{'}$ खींचते हैं।
[त्रिभुज ABC और रेखा DE' का ज्यामितीय आरेख]
चित्रानुसार, $\frac{AD}{DB}=\frac{AE^{'}}{E^{'}C}$ ...(1) $BC \parallel DE^{'}$
परन्तु $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ ...(2)
(1) व (2) को बराबर करने पर—
$\frac{AE^{'}}{E^{'}C}=\frac{AE}{EC}$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर
$\frac{AE^{'}}{E^{'}C}+1=\frac{AE}{EC}+1$
या $\frac{AE^{'}+E^{'}C}{E^{'}C}=\frac{AE+EC}{EC}$
या $\frac{AC}{E^{'}C}=\frac{AC}{EC}$
यह तभी संभव है जब $E^{'}$ व $E$ संपाती हों अर्थात् $DE^{'}$ व $DE$ संपाती रेखाएँ हों।
अतः $DE \parallel BC$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 6. निम्न में से दी गई आकृति में $\frac{PK}{KS}=\frac{PT}{TR}$ हैं तथा $\angle PKT= \angle PRS$ है। सिद्ध कीजिए कि $\Delta PSR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
[त्रिभुज PQR और रेखा KT का ज्यामितीय आरेख]
हल–प्रश्मानुसार दिया गया है $\frac{PK}{KS}=\frac{PT}{TR}$
अतः $KT \parallel SR$
$∴ \angle PKT= \angle PSR$ (संगत कोण) ....(i)
[त्रिभुज PQR और रेखा KT का ज्यामितीय आरेख]
साथ ही यह दिया हुआ है कि $\angle PKT= \angle PRS$ ....(ii)
अतः $\angle PRS= \angle PSR$ [(i) व (ii) से]
इसलिए $PS=PR$ (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात् $\Delta PSR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (इतिसिद्धम्)
निबन्धात्मक प्रश्न–
प्रश्न 1. किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए।
अथवा
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
हल– दिया है— $\Delta ABC$ में $DE \parallel BC$ खींची गई है और यह $AB$ को $D$ पर तथा $AC$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है।
[त्रिभुज ABC और समांतर रेखा DE का ज्यामितीय आरेख]
गणित-कक्षा 10
सिद्ध करना है— $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
रचना— $B$ को $E$ से तथा $C$ को $D$ से मिलाइए और $EF⟂BA$ तथा $DG⟂AC$ खींचिए।
उपपत्ति— $∵ \Delta BDE$ तथा $\Delta CED$ एक ही आधार $DE$ पर तथा समान्तर रेखाओं $DE$ तथा $BC$ के बीच स्थित हैं।
$∴ \Delta BDE$ का क्षेत्रफल $= \Delta CED$ का क्षेत्रफल
....(1)
$∵ \Delta ADE$ तथा $\Delta BDE$ की उभयनिष्ठ ऊँचाई $EF$ है।
$∴\frac{ \Delta ADE \text{का} \text{क्षेत्रफल}}{ \Delta BDE \text{का} \text{क्षेत्रफल}}=\frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF}$
$=\frac{AD}{DB}$ ....(2)
$∵ \Delta ADE$ तथा $\Delta CED$ की उभयनिष्ठ ऊँचाई $DG$ है।
$∴\frac{ \Delta ADE \text{का} \text{क्षेत्रफल}}{ \Delta CED \text{का} \text{क्षेत्रफल}}=\frac{\frac{1}{2} \times AE \times DG}{\frac{1}{2} \times EC \times DG}$
$=\frac{AE}{EC}$ ....(3)
अब समीकरण (1), (2) व (3) से
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ इतिसिद्धम्।
प्रश्न 2. $90 cm$ की लम्बाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खम्भे के आधार से परे $1.2 m/s$ की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से $3.6 m$ की ऊँचाई पर है, तो $4$ सेकण्ड बाद उस लड़की की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल— मान लीजिए $AB$ बल्ब लगे खम्भे को तथा $CD$ लड़की द्वारा खम्भे के आधार से परे $4$ सेकण्ड चलने के बाद उसकी स्थिति को प्रकट करते हैं (देखिए आकृति)।
[Lamp post and walking girl forming similar triangles DeltamathrmABE and DeltamathrmCDE]
आकृति के अनुसार $DE$ लड़की की छाया की लम्बाई है। माना कि $DE$ , $x m$ है।
अब, $BD=1.2 m \times 4=4.8 m$
अब $\Delta ABE$ और $\Delta CDE$ में,
$\angle B= \angle D$ (प्रत्येक $90^{∘}$ का है, क्योंकि बल्ब लगा खम्भा और लड़की दोनों ही भूमि से ऊर्ध्वाधर खड़े हैं)
तथा $\angle E= \angle E$ (समान कोण)
अतः, $\Delta ABE~ \Delta CDE$
( $AA$ समरूपता कसौटी)
इसलिए $\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}$
(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
अर्थात् $\frac{4.8+x}{x}=\frac{3.6}{0.9}$
$90 cm=\frac{90}{100} m=0.9 m$
अर्थात् $4.8+x=4x$
अर्थात् $3x=4.8$
अर्थात् $x=1.6$
अतः, $4$ सेकण्ड चलने के बाद लड़की की छाया की लम्बाई $1.6 m$ है। उत्तर
प्रश्न 3. आकृति में $CM$ और $RN$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $\Delta ABC~ \Delta PQR$ है तो सिद्ध कीजिए कि—
(i) $\Delta AMC~ \Delta PNR$ (ii) $\frac{CM}{RN}=\frac{AB}{PQ}$ (iii) $\Delta CMB~ \Delta RNQ$

[Two similar triangles DeltamathrmABC and DeltamathrmPQR with medians mathrmCM and mathrmRN]
हल—(i) $\Delta ABC~ \Delta PQR$ (दिया है)
अतः: $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}$ ....(i)
तथा $\angle A= \angle P, \angle B= \angle Q$ और
$\angle C= \angle R$ ...(ii)
परन्तु $AB=2AM$ और $PQ=2PN$
(क्योंकि $CM$ और $RN$ माध्यिकाएँ हैं)
इसलिए (i) से $\frac{2AM}{2PN}=\frac{CA}{RP}$
अर्थात् $\frac{AM}{PN}=\frac{CA}{RP}$ ...(iii)
साथ ही $\angle MAC= \angle NPR$ [(ii) से] ...(iv)
इसलिए (iii) और (iv) से,
$\Delta AMC~ \Delta PNR$
(SAS समरूपता) ...(v)
(ii) (v) से, $\frac{CM}{RN}=\frac{CA}{RP}$ ...(vi)
परन्तु $\frac{CA}{RP}=\frac{AB}{PQ}$ [(i) से] ...(vii)
अतः: $\frac{CM}{RN}=\frac{AB}{PQ}$
[(vi) और (vii) से] ...(viii)
(iii) पुनः: $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}$ [(i) से]
अतः: $\frac{CM}{RN}=\frac{BC}{QR}$ [(viii) से] ...(ix)
साथ ही $\frac{CM}{RN}=\frac{AB}{PQ}=\frac{2BM}{2QN}$
अर्थात् $\frac{CM}{RN}=\frac{BM}{QN}$ ...(x)
अर्थात् $\frac{CM}{RN}=\frac{BC}{QR}=\frac{BM}{QN}$
[(ix) और (x) से]
अतः: $\Delta CMB~ \Delta RNQ$ (SSS समरूपता)
(इतिसिद्धम्)
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।
हल—
दिया है—एक त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
सिद्ध करना है— $\angle ABC=90^{∘}$
रचना—एक अन्य त्रिभुज $DEF$ इस प्रकार बनाया कि $DE=AB$ , $EF=BC$ तथा $\angle E=90^{∘}$
[Two right-angled triangles ABC and DEF]
उपपत्ति—यह सिद्ध करने के लिए कि $\angle ABC=90^{∘}$ है, हमें केवल यह सिद्ध करना होगा कि $\Delta ABC~ \Delta DEF$ है।
$∴ \Delta DEF$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle DEF$ समकोण है।
अतः पाइथागोरस प्रमेय से
$DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$
$⇒DF^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
[ $∵DE=AB$ तथा $EF=BC$ (रचना से)]
$⇒DF^{2}=AC^{2}$
[ $∵$ दिया है कि $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$ ]
$⇒DF=AC$ ...(i)
अतः $\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में
$AB=DE$ (रचना से)
$BC=EF$ (रचना से)
तथा $AC=DF$ [(i) से]
अतः सर्वांगसमता की SSS कसौटी से
$\Delta ABC \cong \Delta DEF$
$⇒ \angle B= \angle E$
[ $∵$ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं।]
$⇒ \angle B= \angle E=90^{∘}$
[ $∵ \angle E=90^{∘}$ (रचना से)]
अतः $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 5. दी गई आकृति में $ABC$ एक त्रिभुज है। यदि $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ , तो सिद्ध कीजिए $DE \parallel BC$
गणित-कक्षा 10
141
[त्रिभुज ABC जिसमें रेखा DF, E बिंदु से गुजरती है]
हल-दिया है -
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
या $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
दोनों पक्षों में $1$ घटाने पर
या $\frac{AB}{AD}-1=\frac{AC}{AE}-1$
या $\frac{AB-AD}{AD}=\frac{AC-AE}{AE}$
या $\frac{BD}{AD}=\frac{EC}{AE}$
या $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
अतः एक त्रिभुज की भुजाओं $AB$ एवं $AC$ को $DE$ समान अनुपात में विभाजित करती है।
सिद्ध करना है— $DE \parallel BC$
रचना— $D$ से जाने वाली एक अन्य रेखा $DF$ खींची।
उपपत्ति—माना कि रेखा $DE$ भुजा $BC$ के समान्तर नहीं है तथा $D$ से होकर जाने वाली एक अन्य रेखा $DF$ भुजा $BC$ के समान्तर है।
अर्थात् $DF \parallel BC$
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FC}$ ...(1)
लेकिन दिया हुआ है
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ ...(2)
समी. (1) तथा (2) को बराबर करने पर
$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EC}$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर
$\frac{AF}{FC}+1=\frac{AE}{EC}+1$
या $\frac{AF+FC}{FC}=\frac{AE+EC}{EC}$
या $\frac{AC}{FC}=\frac{AC}{EC}$
या $FC=EC$
यह तब ही सम्भव है जब $F$ एवं $E$ दोनों बिन्दु सम्पाती हों, अर्थात् $DF$ एवं $DE$ सम्पाती रेखाएँ हैं। अतः $DE \parallel BC$ इतिसिद्धम्।
प्रश्न 6. एक चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण परस्पर $O$ बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{PO}{QO}=\frac{RO}{SO}$ हैं। दर्शाइए कि $PQRS$ एक समलम्ब है।
हल—दिया है—चतुर्भुज $PQRS$ में विकर्ण $PR$ और $QS$ परस्पर बिन्दु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{PO}{QO}=\frac{RO}{SO}$ है।
सिद्ध करना है—चतुर्भुज $PQRS$ एक समलम्ब है।
रचना— $O$ से रेखा $EO \parallel PQ$ खींची, जो $PS$ को $E$ पर मिलती है।
उपपत्ति— $\Delta SPQ$ में,
$EO \parallel PQ$
$∴\frac{SE}{EP}=\frac{SO}{OQ}$ ...(i)
142 संजीब बुक्स
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]
परन्तु $\frac{PO}{QO}=\frac{RO}{SO}$ (दिया है)
या $\frac{PO}{RO}=\frac{QO}{SO}$
या $\frac{RO}{PO}=\frac{SO}{QO}$
$⇒\frac{SO}{OQ}=\frac{RO}{PO}$ ...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
$\frac{SE}{EP}=\frac{RO}{OP}$
$∴$ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से
$EO \parallel SR$
साथ ही, $EO \parallel PQ$
$∴$ चतुर्भुज PQRS एक समलम्ब है जिसमें $PQ \parallel SR$ (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 7. चित्र में $\Delta ABC$ में, $DE \parallel BC$ है तथा $AD=2.4$ सेमी., $AB=3.2$ सेमी. और $AC=8$ सेमी. है, तो $AE$ की लम्बाई क्या है?
[Delta ABC with line DE parallel BC where D is on AB and E is on AC]
हल—चित्र में $DE \parallel BC$ तथा $AD=2.4$ सेमी., $AB=3.2$ सेमी., $AC=8$ सेमी.
अब $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
$⇒\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
$⇒1+\frac{BD}{AD}=1+\frac{CE}{AE}$ (दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर)
$⇒\frac{AD+BD}{AD}=\frac{AE+CE}{AE}$
$⇒\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
$⇒\frac{3.2}{2.4}=\frac{8}{AE}$
$⇒AE=\frac{8 \times 2.4}{3.2}=6$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 8. सामने दिये गये चित्र में $\Delta ABC$ तथा $\Delta XYZ$ दर्शाए गये हैं। यदि $AB=3.8$ सेमी., $AC=3\sqrt{3}$ सेमी., $BC=6$ सेमी., $XY=6\sqrt{3}$ सेमी., $XY=7.6$ सेमी., $YZ=12$ सेमी. और $\angle A=65^{∘}, \angle B=70^{∘}$ हों, तो $\angle Y$ का मान ज्ञात कीजिये।
[Two triangles Delta ABC and Delta XYZ with given dimensions and angles]
हल— $\Delta ABC$ में,
$\angle A+ \angle B+ \angle C=180^{∘}$
$⇒65^{∘}+70^{∘}+ \angle C=180^{∘}$
या $\angle C=180^{∘}-(65^{∘}+70^{∘})$
$=180^{∘}-135^{∘}=45^{∘}$
अब $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में
$\frac{AB}{XZ}=\frac{3.8}{7.6}=\frac{1}{2}$
और $\frac{BC}{YZ}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
तथा $\frac{AC}{XY}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
$∴\frac{AB}{XZ}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XY}$
अर्थात् $\Delta ABC~ \Delta XZY$
$∴ \angle A= \angle X=65^{∘}, \angle B= \angle Z=70^{∘}$
तथा $\angle C= \angle Y=45^{∘}$ उत्तर
गणित-कक्षा 10
143

पाठ 6: त्रिभुज

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

प्रश्नावली 6.1

प्रश्नावली 6.2

प्रश्नावली 6.3

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

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वास्तविक संख्याएँ

बहुपद

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

द्विघात समीकरण

समान्तर श्रेढ़ियाँ

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

1. (D)	2. (B)	3. (C)	4. (A)	5. (B)
6. (C)	7. (C)	8. (A)	9. (B)	10. (B)
11. (B)	12. (C)	13. (B)	14. (B)	15. (C)
16. (B)	17. (D)	18. (C)	19. (B)	20. (C)
21. (A)	22. (B)	23. (C)	24. (A)	25.(D)
26. (A)	27.(A)	28. (C)	29. (C)	30. (D)
31. (B)	32. (C)	33.(A)	34. (D)	35. (A)
36. (C)