RBSE Class 10 Mathematics Chapter 7 Solutions - in Hindi - निर्देशांक ज्यामिति - RajBoardExam

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

प्रश्नावली 7.1

प्रश्न 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :

(i)

(2,3);(4,1)

(ii)

(-5,7);(-1,3)

(iii)

(a,b),(-a,-b)

हल—

(i) प्रश्नुसार बिन्दु हैं : $(2,3);(4,1)$

अभीष्ट दूरी = $\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}$

$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक

उत्तर

(ii) प्रश्नुसार बिन्दु हैं : $(-5,7);(-1,3)$

अभीष्ट दूरी = $\sqrt{(-1+5)^{2}+(3-7)^{2}}$

$=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ मात्रक

उत्तर

(iii) प्रश्नुसार बिन्दु हैं : $(a,b),(-a,-b)$

अभीष्ट दूरी = $\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}$

$=\sqrt{(-2a)^{2}+(-2b)^{2}}$

$=\sqrt{4a^{2}+4b^{2}}$

$=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ मात्रक

उत्तर

गणित-कक्षा 10

145

प्रश्न 2. बिन्दुओं $(0)$ और $(36)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों $A$ और $B$ के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

हल— प्रشناनुसार बिन्दु हैं : $A(0,0)$ और $B(36,15)$

दूरी $AB=\sqrt{(0-36)^{2}+(0-15)^{2}}$

$=\sqrt{1296+225}=\sqrt{1521}$

$=39$ मात्रक

[Cartesian plane showing points A(0,0) and B(36,15) with right triangle ACB]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 1

अनुच्छेद 7.2 के अनुसार, विभिन्न बिन्दु $A(0,0)$ और $B(36,15)$ आकृति में दिखाए अनुसार खींची तथा $BC⟂X$ -अक्ष पर खींचिए।

अब, समकोण $\Delta ACB$ में,

$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$

$=\sqrt{(36)^{2}+(15)^{2}}$

$=\sqrt{1296+225}$

$=\sqrt{1521}=39$ मात्रक

अतः दोनों शहरों $A$ और $B$ के बीच की अभीष्ट दूरी $39 km$ है। उत्तर

प्रश्न 3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु $(1)$ , $(2)$ और $(-2,-11)$ संरेखी हैं।

हल— प्रشناनुसार बिन्दु हैं : $A(1,5)$ ; $B(2,3)$ और $(-2,-11)$

$AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}}$

$=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ मात्रक

$BC=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-11-3)^{2}}$

$=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}$ मात्रक

$CA=\sqrt{(1+2)^{2}+(5+11)^{2}}$

$=\sqrt{9+256}=\sqrt{265}$ मात्रक

उपर्युक्त दूरियों से, यह स्पष्ट है कि किन्हीं दो का योगफल तीसरे के बराबर नहीं है। अतः, दिए गए बिन्दु संरेखी नहीं हैं। उत्तर

प्रश्न 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु $(5,-2)$ ; $(6)$ और $(7,-2)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल— प्रشناनुसार बिन्दु हैं : $A(5,-2)$ ; $B(6,4)$ और $C(7,-2)$

$AB=\sqrt{(5-6)^{2}+(-2-4)^{2}}$

$=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$ मात्रक

$BC=\sqrt{(6-7)^{2}+(4+2)^{2}}$

$=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$ मात्रक

$CA=\sqrt{(7-5)^{2}+(-2+2)^{2}}$

$=\sqrt{4+0}=2$ मात्रक

उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि

$AB=BC=\sqrt{37}$ मात्रक

$∴$ दिए गए बिन्दु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। उत्तर

प्रश्न 5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं $A$ , $B$ , $C$ और $D$ पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा, चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि $ABCD$ एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।

[Grid showing students sitting at points A, B, C, D]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 2

हल— दी गई आकृति में दिए गए बिन्दुओं के शीर्ष हैं : $A(3,4)$ ; $B(6,7)$ ; $C(9,4)$ और $D(6,1)$

अब, $AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}$

$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ मात्रक

$BC=\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}}$

$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ मात्रक

$CD=\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}}$

$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ मात्रक

$DA=\sqrt{(3-6)^{2}+(4-1)^{2}}$

$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ मात्रक

$AC=\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}$

$=\sqrt{36+0}=6$ मात्रक

$BD=\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}}$

$=\sqrt{0+36}=6$ मात्रक

उपर्युक्त दूरियों से यह स्पष्ट है कि

$AB=BC=CD=DA=3\sqrt{2}$ मात्रक और $AC=BD=6$ मात्रक

$∴ABCD$ एक वर्ग बनाता है तथा चंपा का कथन सही है। उत्तर

6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए :

(i) $(-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0)$

(ii) $(-3,5),(3,1),(0,3),(-1,-4)$

(iii) $(4,5),(7,6),(4,3),(1,2)$

हल—(i) प्रश्नानुसार बिन्दु हैं : $A(-1,-2);B(1,0);C(-1,2)$ और $D(-3,0)$

$AB=\sqrt{(1+1)^{2}+(0+2)^{2}}$

$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक

$BC=\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}}$

$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक

$CD=\sqrt{(-3+1)^{2}+(0-2)^{2}}$

$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक

$DA=\sqrt{(-1+3)^{2}+(-2-0)^{2}}$

$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक

$AC=\sqrt{(-1+1)^{2}+(2+2)^{2}}$

$=\sqrt{0+16}=4$ मात्रक

$BD=\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}}$

$=\sqrt{16+0}=4$ मात्रक

उपर्युक्त से यह स्पष्ट है कि

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक और $AC=BD=4$ मात्रक

अतः, दिया गया चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है। उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार बिन्दुओं : $A(-3,5);B(3,1);C(0,3)$ और $D(-1,-4)$

$AB=\sqrt{(-3-3)^{2}+(5-1)^{2}}$

$=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$=2\sqrt{13}$ मात्रक

$BC=\sqrt{(3-0)^{2}+(1-3)^{2}}$

$=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ मात्रक

$CA=\sqrt{(0+3)^{2}+(3-5)^{2}}$

$=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ मात्रक

अब, $BC+CA=\sqrt{13}+\sqrt{13}$

$=2\sqrt{13}=AB$

$∴A,B$ और $C$ संरेखीय हैं तो $A,B,C$ और $D$ चतुर्भुज नहीं बनाते हैं। उत्तर

(iii) प्रश्नानुसार बिन्दुओं : $A(4,5);B(7,6);C(4,3)$ और $D(1,2)$

$AB=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}$

$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ मात्रक

$BC=\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}}$

$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ मात्रक

$CD=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}}$

$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ मात्रक

$DA=\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}}$

$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ मात्रक

$AC=\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}}$

$=\sqrt{0+4}=2$ मात्रक

$BD=\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}}$

गणित-कक्षा 10

147

$=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ मात्रक

उपर्युक्त से यह स्पष्ट है कि

$AB=CD$ और $BC=DA$

और $AC \ne BD$

अर्थात् सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, परन्तु उनके विकर्ण बराबर नहीं हैं।

अतः दिया गया चतुर्भुज $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। उत्तर

प्रश्न 7. $x$ -अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो $(2,-5)$ और $(-2,9)$ से समदूरस्थ है।

हल— माना कि $x$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $P(x,0)$ और दिए गए बिन्दु हैं $A(2,-5)$ और $B(-2,9)$

प्रश्नानुसार, $PA=PB$

या $(PA)^{2}=(PB)^{2}$

या $(2-x)^{2}+(-5-0)^{2}=(-2-x)^{2}+(9-0)^{2}$

या $4+x^{2}-4x+25=4+x^{2}+4x+81$

या $-8x=56$

या $x=\frac{56}{8}=-7$

अतः $x$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $(-7,0)$ है। उत्तर

प्रश्न 8. $y$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु $P(2,-3)$ और $Q(10,y)$ के बीच की दूरी $10$ मात्रक है। (प्रश्न बैंक)

हल— प्रश्नानुसार बिन्दु हैं : $P(2,-3)$ और $Q(10,y)$

$PQ=\sqrt{(10-2)^{2}+(y+3)^{2}}$

$=\sqrt{64+y^{2}+9+6y}$

$=\sqrt{y^{2}+6y+73}$

पुनः प्रश्नानुसार, $PQ=10$

या $\sqrt{y^{2}+6y+73}=10$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

या $y^{2}+6y+73=100$

या $y^{2}+6y-27=0$

या $y^{2}+9y-3y-27=0$

या $y(y+9)-3(y+9)=0$

या $(y+9)(y-3)=0$

या $y+9=0$ या $y-3=0$

या $y=-9$ या $y=3$

अतः $y=-9$ और $3$ उत्तर

प्रश्न 9. यदि $Q(0,1)$ बिन्दुओं $P(5,-3)$ और $R(x,6)$ से समदूरस्थ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ $QR$ और $PR$ भी ज्ञात कीजिए।

हल— प्रश्नानुसार बिन्दु हैं : $Q(0,1);P(5,-3)$ और $R(x,6)$

$QP=\sqrt{(5-0)^{2}+(-3-1)^{2}}$

$=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$

और $QR=\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}}$

$=\sqrt{x^{2}+25}$

पुनः प्रश्नानुसार, $QP=QR$

या $\sqrt{41}=\sqrt{x^{2}+25}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

या $41=x^{2}+25$ या $x^{2}=16$

या $x= \pm \sqrt{16}= \pm 4$

इस प्रकार से $R$ के निर्देशांक होंगे $R(4,6)$ या $R(-4,6)$

जब $x=4$ तो $R(4,6)$

$QR=\sqrt{(4-0)^{2}+(6-1)^{2}}$

$=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$

$PR=\sqrt{(4-5)^{2}+(6+3)^{2}}$

$=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}$

जब $x=-4$ तो $R(-4,6)$

$QR=\sqrt{(-4-0)^{2}+(6-1)^{2}}$

$=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$

$PR=\sqrt{(-4-5)^{2}+(6+3)^{2}}$

$=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}$

अतः $x= \pm 4,QR=\sqrt{41}$ और $PR=9\sqrt{2}$ या $\sqrt{162}$ उत्तर

प्रश्न 10. $x$ और $y$ में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु $(x)$ बिन्दुओं $(3)$ और $(-3,4)$ से समदूरस्थ हो।

हल— माना कि अभीष्ट बिन्दु $P(x,y)$ है। दिए गए बिन्दु हैं : $A(3,6)$ और $B(-3,4)$

$PA=\sqrt{(3-x)^{2}+(6-y)^{2}}$

$=\sqrt{9+x^{2}-6x+36+y^{2}-12y}$

$=\sqrt{x^{2}+y^{2}-6x-12y+45}$

और $PB=\sqrt{(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}}$

$=\sqrt{9+x^{2}+6x+16+y^{2}-8y}$

$=\sqrt{x^{2}+y^{2}+6x-8y+25}$

प्रश्नुसार,

$PA=PB$

$⇒\sqrt{x^{2}+y^{2}-6x-12y+45}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+6x-8y+25}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

या $x^{2}+y^{2}-6x-12y+45=x^{2}+y^{2}+6x-8y+25$

या $-12x-4y+20=0$

$[(-4)$ से दोनों पक्षों में भाग देने पर $]$

या $3x+y-5=0$

यही अभीष्ट सम्बन्ध है। उत्तर

प्रश्नावली 7.2

प्रश्न 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं $(-1,7)$ और $(4,-3)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। (प्रश्न बैंक, माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल— माना कि $P(x,y)$ अभीष्ट बिन्दु है जो दिए गए बिन्दुओं $A(-1,7)$ और $B(4,-3)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।

[Line segment AB with points A(-1,7), B(4,-3) and P(x,y) dividing in ratio 2:3]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 3

विभाजन सूत्र से :

$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

$∴x=\frac{2 \times 4+3 \times (-1)}{2+3}$

$=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1$

और $y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

$y=\frac{2 \times (-3)+3 \times 7}{2+3}$

$=\frac{-6+21}{5}=\frac{15}{5}=3$

अतः अभीष्ट बिन्दु $=P(1,3)$ उत्तर

**2. बिन्दुओं $(4,-1)$ और $(-2,-3)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)**

हल— माना कि $P(x_{1},y_{1})$ और $Q(x_{2},y_{2})$ अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं $A(4,-1)$ और $(-2,-3)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करते हैं अर्थात् $P(x_{1},y_{1})$ $AB$ को $1:2$ के अनुपात में और $Q(x_{2},y_{2})$ $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।

[Line segment AB with points A(4,-1), B(-2,-3), P(x1,y1) at 1:2 and Q(x2,y2) at 2:1]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 4

बिन्दु $P$ के लिये

$∴x_{1}=\frac{1 \times -2+2 \times 4}{1+2}$

$=\frac{-2+8}{3}=\frac{6}{3}=2$

और $y_{1}=\frac{1 \times -3+2 \times -1}{1+2}$

$=\frac{-3-2}{3}=-\frac{5}{3}$

$∴P(x_{1},y_{1})=2,-\frac{5}{3}$

बिन्दु $Q$ के लिये

अब $x_{2}=\frac{2 \times -2+1 \times 4}{2+1}=\frac{-4+4}{3}=0$

और $y_{2}=\frac{2 \times -3+1 \times -1}{2+1}$

$=\frac{-6-1}{3}=-\frac{7}{3}$

$∴Q(x_{2},y_{2})=0,-\frac{7}{3}$

अतः अभीष्ट बिन्दु

$=P2,-\frac{5}{3}$ और $Q0,-\frac{7}{3}$ उत्तर

**3. आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान $ABCD$ में, चूने से परस्पर $1m$ की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गईं हैं। $AD$ के अनुदिश परस्पर $1m$ की दूरी पर $100$ गमले रखे गए हैं,

गणित-कक्षा 10

149

[निहारिका और प्रीत का खेल - समन्वय ज्यामिति का प्रश्न जिसमें 1 से 10 पंक्तियाँ और AD रेखाखंड पर झंडे गाड़े गए हैं]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 5

जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में $AD$ के $\frac{1}{4}$ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में $AD$ के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना चाहिए?

हल— दी गई आकृति में हम $A$ को मूल बिन्दु मान लेते हैं। $AB$ को $x$ -अक्ष और $AD$ को $y$ -अक्ष लेने पर

हरे झण्डे की स्थिति

$=$ निहारिका द्वारा तय की गई दूरी

$=$ निहारिका दूसरी पंक्ति में $AD$ के $\frac{1}{4}$ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है

$=\frac{1}{4} \times 100=25 m$

$∴$ हरे झण्डे के निर्देशांक $=(2,25)$

अब, लाल झण्डे की स्थिति

$=$ प्रीत द्वारा तय की गई दूरी

$=$ प्रीत आठवीं पंक्ति में $AD$ के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर दूरी दौड़ती है

$=\frac{1}{5} \times 100=20 m$

$∴$ लाल झण्डे के निर्देशांक $=(8,20)$

$∴$ हरे और लाल झण्डे के बीच की दूरी

$=\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}$

$=\sqrt{36+25}=\sqrt{61} m$ उत्तर

नीले झण्डे की स्थिति

$=$ हरे झण्डे और लाल झण्डे को मिलाने वाले रेखाखण्ड का आधा

$=\frac{2+8}{2},\frac{25+20}{2}$

$=(5,22.5)$

अतः रश्मि को पाँचवीं पंक्ति में $AD$ के अनुदिश $22.5$ मीटर की दूरी पर झण्डा गाड़ना चाहिए। उत्तर

4. बिन्दुओं $(-3,10)$ और $(6,-8)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु $(-1,6)$ किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल— माना कि बिन्दु $P(-1,6)$ बिन्दुओं $A(-3,10)$ और $B(6,-8)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $K:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

[रेखाखण्ड AB और बिंदु P द्वारा विभाजन]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 6

विभाजन सूत्र से

$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

$∴-1=\frac{K \times 6+1 \times (-3)}{K+1}$

या $-1=\frac{6K-3}{K+1}$

या $-K-1=6K-3$

या $-K-6K=-3+1$

या $-7K=-2$

या $K=\frac{2}{7}$

$∴K:1=\frac{2}{7}:1=2:7$

अतः अभीष्ट अनुपात $=2:7$ उत्तर

5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड $x$ -अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि $x$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $P(x,0)$ है जो $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ को रेखाखण्ड को $K:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

[रेखाखण्ड AB और x-अक्ष पर बिंदु P]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 7

$∴P$ का $y$ निर्देशांक,

क बुक्स

$0=\frac{5 \times K+(-5) \times 1}{K+1}$

या $0=\frac{5K-5}{K+1}$

या $5K-5=0$

या $5K=5$

या $K=\frac{5}{5}=1$

$∴$ अभीष्ट अनुपात $K:1=1:1$ उत्तर

अब, $P$ का $x$ निर्देशांक,

$x=\frac{-4 \times K+1 \times 1}{K+1}$

$K=1$ प्रतिस्थापित करने पर,

$x=\frac{-4 \times 1+1 \times 1}{1+1}=\frac{-4+1}{2}$

$x=-\frac{3}{2}$

अतः अभीष्ट बिन्दु = $-\frac{3}{2},0$ उत्तर

**6. यदि बिन्दु $(1,2);(4,y);(x,6)$ और $(3)$ इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।**

हल— माना कि समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(1,2);B(4,y);C(x,6)$ और $D(3,5)$ हैं।

परन्तु समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।

प्रथम स्थिति— जब $E,A(1,2)$ और $C(x,6)$ का मध्य बिन्दु हो।

$∴E$ के निर्देशांक = $\frac{x+1}{2},\frac{6+2}{2}$

$E=\frac{x+1}{2},4$ .... (i)

[समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 8

द्वितीय स्थिति— जब $E,B(4,y)$ और $D(3,5)$ का मध्य बिन्दु है।

$∴E$ के निर्देशांक = $\frac{3+4}{2},\frac{5+y}{2}$

$E=\frac{7}{2},\frac{5+y}{2}$ .... (ii)

परन्तु (i) और (ii) में $E$ के मान समान हैं, इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर,

$\frac{x+1}{2}=\frac{7}{2}$ और $4=\frac{5+y}{2}$

या $x+1=7$ या $8=5+y$

या $x=6$ या $y=3$

अतः, $x$ और $y$ के मान $6$ और $3$ हैं। उत्तर

**7. बिन्दु $A$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ $AB$ एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र $(2,-3)$ है तथा $B$ के निर्देशांक $(1)$ हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)**

हल— माना कि $A$ के निर्देशांक $(x)$ हैं।

परन्तु, व्यास के शीर्षों का मध्य बिन्दु केन्द्र होता है।

$∴O,A(x,y)$ और $B(1,4)$ का मध्य बिन्दु है।

$∴\frac{x+1}{2},\frac{y+4}{2}=(2,-3)$

[वृत्त का व्यास AB जिसका केन्द्र O(2, -3), B(1, 4) और A(x, y) है]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 9

तुलना करने पर,

$\frac{x+1}{2}=2$ और $\frac{y+4}{2}=-3$

या $x+1=4$ या $y+4=-6$

या $x=3$ या $y=-10$

अतः अभीष्ट बिन्दु $A=(3,-10)$ उत्तर

**8. यदि $A$ और $B$ क्रमशः $(-2,-2)$ और $(2,-4)$ हो तो बिन्दु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि $AP=\frac{3}{7}AB$ हो और $P$ रेखाखण्ड $AB$ पर स्थित हो।**

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर 2024-25 )

हल— माना कि अभीष्ट बिन्दु $P(x,y)$ है।

[रेखाखण्ड AB जिस पर बिन्दु P स्थित है, अनुपात 3:4 दर्शाया गया है]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 10

$A(-2,-2)$

$P(x,y)$

$B(2,-4)$

$3:4$

तथा प्रश्नानुसार $AP=\frac{3}{7}AB$

परन्तु, $PB=AB-AP$

$=AB-\frac{3}{7}AB=\frac{7-3}{7}AB$

$=\frac{4}{7}AB$

$∴\frac{AP}{PB}=\frac{\frac{3}{7}AB}{\frac{4}{7}AB}=\frac{3}{4}$

$∴P(x,y)$ दिए गए बिन्दुओं $A$ और $B$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है:

अन्तःविभाजन सूत्र $x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$ से

अब $x=\frac{3 \times 2+4 \times -2}{3+4}$

या $x=\frac{6-8}{7}=-\frac{2}{7}$

और $y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$ से

$y=\frac{3 \times -4+4 \times -2}{3+4}$

$=\frac{-12-8}{7}=-\frac{20}{7}$

अतः $P$ के निर्देशांक हैं : $-\frac{2}{7},-\frac{20}{7}$ उत्तर

9. बिन्दुओं $A(-2,2)$ और $B(2,8)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड $AB$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि $C,D$ और $E$ अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं $A(-2,2)$ और $B(2,8)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

[A line segment AB with points C, D, E in between]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 11

तब $D,A$ और $B$ का मध्य बिन्दु है; $C,A$ और $D$ का मध्य बिन्दु है; $E,D$ और $B$ का मध्य बिन्दु है, ताकि $AC=CD=DE=EB$

अब, $A$ और $B$ का मध्य बिन्दु (अर्थात् $D$ के निर्देशांक)

$=\frac{-2+2}{2},\frac{2+8}{2}=(0,5)$

$A$ और $D$ का मध्य बिन्दु (अर्थात् $C$ के निर्देशांक)

$=\frac{-2+0}{2},\frac{2+5}{2}=-1,\frac{7}{2}$

$D$ और $B$ का मध्य बिन्दु (अर्थात् $E$ के निर्देशांक)

$=\frac{2+0}{2},\frac{8+5}{2}=1,\frac{13}{2}$

अतः $AB$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक $(0,5),-1,\frac{7}{2}$ और $1,\frac{13}{2}$ हैं। उत्तर

10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में $(3,0),(4,5),(-1,4)$ और $(-2,-1)$ हैं।

[ संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ (उसके विकर्णों का गुणनफल) ]

हल— माना कि समचतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष बिन्दु $A(3,0);B(4,5);C(-1,4)$ और $D(-2,-1)$ हैं।

$∴$ विकर्ण $AC=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}$

$=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$

$=4\sqrt{2}$ मात्रक

[Rhombus ABCD with vertices A(3,0), B(4,5), C(-1,4), D(-2,-1)]

कक्षा 10 गणित पाठ 7 निर्देशांक ज्यामिति चित्र 12

और विकर्ण $BD$

$BD=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}}$

$=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}$

$=6\sqrt{2}$ मात्रक

$∴$ समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}(\text{विकर्णों} \text{का} \text{गुणनफल})$

$=\frac{1}{2} \times AC \times BD$

$=[\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2}] \text{वर्ग} \text{मात्रक}$

$=(\frac{1}{2} \times 24 \times 2) \text{वर्ग} \text{मात्रक}$

$=24 \text{वर्ग} \text{मात्रक}$

अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $24$ वर्ग मात्रक है।

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु
1. निर्देशांक ज्यामिति-इस ज्यामिति में बिन्दु की स्थिति विशिष्ट संख्याओं, जिन्हें निर्देशांक कहते हैं, के द्वारा निरूपित की जाती है तथा उनसे बनी विभिन्न आकृतियों (रेखाओं, वक्रों आदि) को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार ज्यामिति की यह शाखा रेखागणित तथा बीजगणित के सम्मिश्रण से विकसित हुई है। अतः निर्देशांकों के प्रयोग के कारण गणित की इस शाखा को निर्देशांक ज्यामिति (Co-ordinate geometry) कहा जाता है।
2. कार्तीय निर्देशांक (Cartesian co-ordinate)-माना किसी समतल में दो परस्पर लम्बवत् रेखाएँ $XOX^{'}$ और $YOY^{'}$ हैं जो कि बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन्हें निर्देशांक अक्ष (Co-ordinate axis) कहते हैं और $O$ को मूल बिन्दु (origin) कहते हैं। $XOX^{'}$ तथा $YOY^{'}$ परस्पर लम्बवत् हैं, अतः $XOX^{'}$ और $YOY^{'}$ को समकोणीय अक्ष या आयतीय निर्देशांक अक्ष कहते हैं।
[Cartesian coordinate system showing axes XOX' and YOY', origin O, and point P(x, y) with coordinates and quadrants]
3. $x$ -अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का $y$ -निर्देशांक $=0$
4. $y$ -अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का $x$ -निर्देशांक $=0$
$x$ -अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक $(x)$ के रूप के होते हैं तथा $y$ -अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक $(0)$ के रूप के होते हैं।
5. चतुर्थांश में निर्देशांकों के चिह्न-यदि समतल में किसी बिन्दु $p$ के निर्देशांक $(x)$ हों, तो
प्रथम चतुर्थांश में $x>0,y>0$ ; निर्देशांक $(+,+)$
द्वितीय चतुर्थांश में $x 0$ ; निर्देशांक $(-,+)$
तृतीय चतुर्थांश में $x<0,y<0$ ; निर्देशांक $(-,-)$
चतुर्थ चतुर्थांश में $x>0,y<0$ ; निर्देशांक $(+,-)$
स्मरणीय—
(i) किसी बिन्दु $P$ के निर्देशांक $(x)$ हैं, तो इसे $P(x,y)$ लिख सकते हैं।
(ii) किसी बिन्दु का भुज, बिन्दु की $y$ -अक्ष के लम्बवत् दूरी पर होता है।
(iii) किसी बिन्दु की कोटि, बिन्दु की $x$ -अक्ष के लम्बवत् दूरी होती है।
(iv) किसी बिन्दु का भुज, $y$ -अक्ष केदायीं ओर धनात्मक और बायीं ओर ऋणात्मक होता है।
(v) किसी बिन्दु की कोटि $x$ -अक्ष के ऊपर धनात्मक और नीचे ऋणात्मक होती है।
(vi) यदि $y=0$ हो, तो बिन्दु $x$ -अक्ष पर स्थित होता है।
(vii) यदि $x=0$ हो, तो बिन्दु $y$ -अक्ष पर स्थित होता है।
(viii) यदि $x=0,y=0$ हो, तो बिन्दु मूल बिन्दु है।
6. दो बिन्दुओं के बीच की दूरी (Distance between two points)-समतल में स्थित दो बिन्दुओं $P(x_{1},y_{1})$ तथा $Q(x_{2},y_{2})$ के बीच की दूरी
$PQ=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(x-\text{निर्देशांकों} \text{का} \text{अन्तर})^{2}+(y-\text{निर्देशांकों} \text{का} \text{अन्तर})^{2}}$
7. विशेष स्थिति-मूल बिन्दु $O(0,0)$ से किसी बिन्दु $P(x,y)$ की दूरी
$OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
144
8. महत्वपूर्ण तथ्य—यह सिद्ध करने के लिए कि दी हुई आकृति एक :
(i) वर्ग है, सिद्ध करना होता है कि चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं।
(ii) समचतुर्भुज है, सिद्ध करना होता है कि चारों भुजाएँ बराबर हैं।
(iii) आयत है, सिद्ध करना होता है कि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं।
(iv) समान्तर चतुर्भुज है, सिद्ध करना होता है कि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं।
(v) समान्तर चतुर्भुज है लेकिन आयत नहीं है, सिद्ध करना होता है कि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं लेकिन विकर्ण बराबर नहीं हैं।
(vi) समचतुर्भुज है लेकिन वर्ग नहीं है, सिद्ध करना होता है कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं लेकिन विकर्ण बराबर नहीं हैं।
9. तीन बिन्दुओं के संरेख होने के लिए, सिद्ध करना होता है कि बिन्दुओं के दो युग्मों के बीच की दूरियों का योग बिन्दुओं के तीसरे युग्म के बीच की दूरी के बराबर है।
$AC=AB+BC$
[Number line with points A, B, C]
10. दो बिन्दुओं के मध्य दूरी का अन्तःविभाजन—माना समतल में दो बिन्दु $A$ और $B$ हैं, यदि रेखा $AB$ पर कोई बिन्दु $P,A$ व $B$ के मध्य स्थित हो, तो इस प्रकार के विभाजन को अन्तःविभाजन कहते हैं। माना समतल में स्थित दो बिन्दु $A(x_{1},y_{1})$ और $B(x_{2},y_{2})$ हैं और बिन्दु $P(x,y)$ रेखाखण्ड $AB$ को $m_{1}:m_{2}$ में अन्तःविभाजित करता है तो बिन्दु $P$ के अभीष्ट निर्देशांक $\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}},\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$ होंगे। इसे विभाजन सूत्र भी कहते हैं।
[Cartesian plane showing internal division of line segment AB by point P]
11. यदि $P$ रेखाखण्ड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करें तो बिन्दु $P$ के निर्देशांक $\frac{kx_{2}+x_{1}}{k+1},\frac{ky_{2}+y_{1}}{k+1}$ होंगे।
12. यदि बिन्दु $P$ रेखाखण्ड $AB$ का मध्य बिन्दु हो, अर्थात् $P,AB$ को $1:1$ में विभाजित करता हो, तो $P$ के निर्देशांक $\frac{x_{2}+x_{1}}{2},\frac{y_{2}+y_{1}}{2}$ होंगे।
13. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times$ पहला विकर्ण $\times$ दूसरा विकर्ण
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न-
प्रश्न 1. मूल बिन्दु $O(0,0)$ से बिन्दु $P(-3,4)$ की दूरी है - (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

(A) $5$ (B) $\sqrt{7}$ (C) $7$ (D) $1$

(A) $2\sqrt{3}$ (B) $3\sqrt{2}$ (C) $18$ (D) $6$

प्रश्न 3. बिन्दु $P(5,-4)$ की $x$ -अक्ष से दूरी है - (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)

(A) $5$ (B) $0$ (C) $4$ (D) $16$

(A) $(x)$ (B) $(5)$ (C) $(x+5,y+4)$ (D) $(\frac{5}{2})$

प्रश्न 5. बिन्दु $(-3,5)$ कौन से चतुर्थांश में होगा - (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)

(A) प्रथम (B) द्वितीय (C) तृतीय (D) चतुर्थ

(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$

प्रश्न 7. $(-2,1),(2,-2)$ और $(5)$ शीर्ष वाला त्रिभुज है -

(A) समकोण (B) समबाहु (C) समद्विबाहु (D) इनमें से कोई नहीं

(A) $(\frac{3}{8})$ (B) $(1)$ (C) $(\frac{5}{2})$ (D) $(2)$

प्रश्न 9. यदि बिन्दु $(1,2),(-1,x)$ और $(2)$ संरेख हों, तो $x$ का मान होगा -

(A) $2$ (B) $0$ (C) $-1$ (D) $1$

(A) $x+3y=0$ (B) $3x+y=0$ (C) $x+2y=0$ (D) $2y+3x=0$

प्रश्न 11. यदि $A(4,-3),B(3,-2)$ तथा $C(2,8)$ किसी त्रिभुज के शीर्ष हों, तो $y$ -अक्ष से इसके केन्द्रक की दूरी होगी -

(A) $1$ (B) $4$ (C) $3$ (D) $2$

(A) $1$ (B) $sin \theta +cos \theta$ (C) $\frac{1}{2}(sin \theta +cos \theta )$ (D) $0$

प्रश्न 13. बिन्दु $(5,-2)$ की $x$ -अक्ष से दूरी होगी -

(A) $5$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$

(A) $\sqrt{5}$ (B) $\sqrt{13}$ (C) $\sqrt{14}$ (D) $\sqrt{15}$

प्रश्न 15. बिन्दुओं $(-1,1),(0,-3),(5,2)$ और $(4)$ से निर्मित चतुर्भुज होगा -

(A) वर्ग (B) आयत (C) समान्तर चतुर्भुज (D) समचतुर्भुज

(A) $(1)$ (B) $(2)$ (C) $(2)$ (D) $(1)$

प्रश्न 17. यदि बिन्दुओं $(3)$ और $(4)$ के बीच की दूरी $\sqrt{10}$ हो, तो $a$ का मान होगा -

(A) $3,-1$ (B) $2,-2$ (C) $4,-2$ (D) $5,-3$

(A) आयलर (B) यूक्लिड (C) डिकार्टीज (D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 19. किसी बिन्दु से $y$ -अक्ष से दूरी होती है -

(A) बिन्दु की कोटि (B) बिन्दु का भुज (C) एक स्थिरांक (D) इनमें से कोई नहीं

(A) $1$ (B) शून्य (C) $-1$ (D) $+1$

21. बिन्दु $(-x,-y)$ की मूल बिन्दु से दूरी है-

(A) $-x$ (B) $-y$ (C) $x^{2}+y^{2}$ (D) $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

(A) $1:2$ (B) $2:1$ (C) $1:1$ (D) $2:3$

23. यदि $(a,0),(0,b)$ और $(1)$ संरेख हों, तो-

(A) $a+b=1$ (B) $a+b=ab$ (C) $a+b+1=0$ (D) $a+b+ab=0$

(A) $1$ (B) $6$ (C) $10$ (D) $12$

25. बिन्दुओं $(3)$ एवं $(5)$ को मिलाने वाली रेखा को $x$ -अक्ष $λ:1$ के अनुपात में विभाजित करता है, तो $λ$ का मान है-

(A) $\frac{3}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $-\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{4}$

(A) $(1)$ (B) $(1)$ (C) $(-1,1)$ (D) $(0)$

27. यदि बिन्दु $(x)$ बिन्दुओं $(2)$ और $(1,-2)$ से समान दूरी पर हो, तो निम्नलिखित में से सत्य कथन है-

(A) $x+3y=0$ (B) $3x+y=0$ (C) $x+2y=0$ (D) $2y+3x=0$

(A) $1$ (B) $2$ (C) $-2$ (D) $-1$

29. उस बिन्दु के निर्देशांक जो बिन्दु $(-3,5)$ का $x$ -अक्ष में प्रक्षेप है।

(A) $(3)$ (B) $(3,-5)$ (C) $(-3,-5)$ (D) $(-3,5)$

(A) $(0)$ (B) $(2)$ (C) $(2)$ (D) $(-2,-2)$

31. बिन्दु $(0)$ की $x$ -अक्ष से दूरी होगी : (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

(A) $3$ (B) $0$ (C) $2$ (D) $1$

(A) $-4$ (B) $5$ (C) $3$ (D) $4$

33. बिन्दु $(4)$ की $y$ -अक्ष से दूरी होगी- (प्रश्न बैंक)

(A) $4$ (B) $-1$ (C) $1$ (D) $\sqrt{17}$

(A) $(3)$ (B) $(1)$ (C) $(7)$ (D) $(0)$

35. बिन्दुओं $A(x_{1},y_{1})$ तथा $B(x_{2},y_{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $AB$ के मध्य बिंदु का $x$ निर्देशांक होगा- (प्रश्न बैंक)
(A) $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$ (B) $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ (C) $\frac{y_{1}+x_{1}}{2}$ (D) $\frac{x_{1}+y_{2}}{2}$
उत्तरमाला
1. (B)
2. (A)
3. (C)
4. (B)
5. (B)
6. (C)
7. (C)
8. (A)
9. (B)
10. (A)
11. (C)
12. (A)
13. (B)
14. (B)
15. (C)
16. (D)
17. (C)
18. (C)
19. (B)
20. (B)
21. (D)
22. (A)
23. (B)
24. (D)
25. (C)
26. (D)
27. (A)
28. (D)
29. (C)
30. (C)
31. (A)
32. (B)
33. (A)
34. (B)
35. (B)
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
1. बिन्दु $P(7,-3)$ और बिन्दु $Q(3,9)$ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक .................... हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
2. बिन्दुओं $(3)$ और $(4)$ की बीच की दूरी $\sqrt{10}$ हो तो $a$ का मान .................... होगा। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
3. बिन्दुओं $(3,-2)$ तथा $(4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड की लम्बाई .................... है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
4. निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र .................... है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
5. $x$ -अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु की कोटि का मान .................... होता है।
6. बिन्दुओं $(a)$ तथा $(-a,-b)$ के बीच की दूरी .................... मात्रक है।
7. यदि बिन्दु $P$ रेखाखण्ड $AB$ का मध्य बिन्दु हो, अर्थात् $P,AB$ को $1:1$ में विभाजित करता है तो $P$ के निर्देशांक $………$ होंगे।
8. $y$ -अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु के $x$ -निर्देशांक का मान $………$ होता है।
9. यदि $P$ रेखाखण्ड $AB$ को $K:1$ में विभाजित करे तो बिन्दु $P$ के निर्देशांक $………$
10. यदि $(a,0),(0,b)$ तथा $(1)$ संरेख हो तब इसकी शर्त $………$ होगी।
11. बिन्दु $P(-4,5)$ जिस चतुर्थांश में है, वह है $……$
12. यदि किसी समतल में किसी बिन्दु $P$ के निर्देशांक $(x)$ हों तो द्वितीय चतुर्थांश में बिन्दु की स्थिति $………$ होगी।
13. यदि किसी बिन्दु का भुज धनात्मक और कोटि शून्य है, तो वह बिन्दु $………$ पर स्थित होगा।
14. यदि किसी बिन्दु का भुज शून्य और कोटि धनात्मक है, तो वह बिन्दु $………$ पर स्थित होगा।
15. समतल में स्थित बिन्दु $A(x_{1},y_{1})$ और $B(x_{2},y_{2})$ हैं। बिन्दु $P(x,y)$ रेखाखण्ड $AB$ को $m_{1}:m_{2}$ में बाह्य विभाजित करता है, तब $P$ के अभीष्ट निर्देशांक $………$ होंगे।
उत्तर—
1. $4$ या $-2$
2. $(5)$
3. $5\sqrt{2}$ इकाई
4. $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
5. शून्य
6. $2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
7. $(\frac{x_{2}+x_{1}}{2})$
8. शून्य
9. $\frac{Kx_{2}+x_{1}}{K+1},\frac{Ky_{2}+y_{1}}{K+1}$
10. $a+b=ab$
11. द्वितीय चतुर्थांश
12. $x 0$
13. धन $x$ -अक्ष
14. धन $y$ -अक्ष
15. $\frac{m_{1}x_{2}-m_{2}x_{1}}{m_{1}-m_{2}},\frac{m_{1}y_{2}-m_{2}y_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. यदि बिन्दु $Q(0,1)$ , बिन्दुओं $P(5,-4)$ और $R(x,6)$ का मध्यबिन्दु है, तब $x$ का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक, माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— प्रश्नानुसार,
[रेखाखण्ड PR जिसमें Q मध्यबिन्दु है]
$0=\frac{5+x}{2}$
$0=5+x$
$∴x=-5$ उत्तर
प्रश्न 2. निर्देशांक $(4)$ में भुज और कोटि ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल— भुज $=4$ , कोटि $=3$
प्रश्न 3. बिन्दु $(5,-2)$ की $y$ -अक्ष से दूरी लिखिए।
उत्तर— $5$ चूँकि $y$ -अक्ष पर लम्ब दूरी $5$ है।
प्रश्न 4. बिन्दु $(-2,2),(8,-2)$ तथा $(-4,-3)$ किस तरह के त्रिभुज के शीर्ष हैं?
हल— यदि दिये गये बिन्दु क्रमशः $A,B,C$ हों तो
$AB=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}$
$BC=\sqrt{144+1}=\sqrt{145}$
$CA=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
$∵AB^{2}+CA^{2}=BC^{2}$
$⇒A,B,C$ समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। उत्तर
प्रश्न 5. यदि $(4)$ और $(-2,-1)$ किसी समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख शीर्ष हों तथा इसका तीसरा शीर्ष $(1)$ हो तो चौथे शीर्ष के निर्देशांकों का गुणनफल क्या होगा?
उत्तर— दिये गये सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाले विकर्ण का मध्य बिन्दु है : $\frac{4-2}{2},\frac{3-1}{2}$ अर्थात् $(1)$ जो कि दूसरे विकर्ण का भी मध्य-बिन्दु है। अतः यदि चौथा शीर्ष $(x)$ हो तो $\frac{x+1}{2}=1$ तथा $\frac{y+0}{2}=1$
$x=1,y=2$ अतः गुणनफल $1 \times 2=2$ उत्तर
प्रश्न 6. यदि बिन्दु $(k)$ तथा $(3)$ के बीच की दूरी $\sqrt{8}$ हो, तो $k$ का मान लिखिए।
हल— प्रश्नानुसार
$(\sqrt{8})^{2}=(K-3)^{2}+(2-4)^{2}$
$8=(K-3)^{2}+4$
$4=(K-3)^{2}$
$(K-3)= \pm 2$
$K= \pm 2+3∴K=5$ और $K=1$
प्रश्न 7. $(-3,-4)$ तथा $(1,-2)$ बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड को $y$ -अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है? लिखिए।
हल— $y$ -अक्ष पर $x=0$
माना रेखाखण्ड $λ:1$ में विभाजित करता है।
अन्तः विभाजन सूत्र
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$∴0=\frac{λ \times 1+1 \times (-3)}{λ+1}$
$0=λ-3$ $∴λ=3$
अतः अनुपात $3:1$ उत्तर
प्रश्न 8. बिन्दुओं $(6)$ और $(2)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये।
हल— मध्य बिन्दु के निर्देशांक होते हैं।
$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
अतः: $x=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$
$y=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$
अतः मध्य बिन्दु के निर्देशांक $(4)$ होंगे।
प्रश्न 9. किसी वर्ग के सम्मुख शीर्ष $(-5,-4)$ और $(3)$ हैं। इसके विकर्ण की लम्बाई लिखिए।
हल— वर्ग के विकर्ण की लम्बाई
$=\sqrt{(3+5)^{2}+(2+4)^{2}}$
$=\sqrt{(8)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{64+36}$
$=\sqrt{100}=10$ उत्तर
प्रश्न 10. मूल बिन्दु से बिन्दु $(3)$ की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल— मूल बिन्दु से दूरी
$=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}$
$=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ उत्तर
प्रश्न 11. बिन्दुओं $(-2,0),(2,0),(2,2),(0,4),(-2,2)$ को क्रम से मिलाने पर कौनसी आकृति प्राप्त होगी?
हल— दिये गये बिन्दु मिलाने पर पंचभुज प्राप्त होता है।
[Cartesian plane showing a pentagon with vertices at (-2,0), (2,0), (2,2), (0,4), (-2,2)]
प्रश्न 12. बिन्दु $(1)$ और $(6)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु $(3)$ किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल— माना $(1)$ और $(6)$ को मिलाने वाला रेखाखण्ड $m_{1}:m_{2}$ में विभाजित करते हैं।
$3=\frac{m_{1} \times 6+m_{2} \times 1}{m_{1}+m_{2}}$
$3(m_{1}+m_{2})=6m_{1}+m_{2}$
$3m_{1}+3m_{2}=6m_{1}+m_{2}$
$3m_{2}-m_{2}=6m_{1}-3m_{1}$
$2m_{2}=3m_{1}$
$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{3}$
अतः $m_{1}:m_{2}=2:3$ उत्तर
प्रश्न 13. बिन्दु $(-2,9)$ की $x$ -अक्ष से दूरी लिखिये।
हल— $x$ -अक्ष से दूरी $9$ होगी।
चूँकि $x$ -अक्ष से लम्बवत् दूरी $9$ है।
प्रश्न 14. बिन्दुओं $(4,-3)$ और $(8)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $3:1$ में अन्तःविभाजन करने वाले बिन्दु के निर्देशांक लिखिये।
हल— अन्तःविभाजन का सूत्र
$(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}})$
माना वह बिन्दु $P(x,y)$ है।
विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर
$x=\frac{3(8)+1(4)}{3+1}=\frac{24+4}{4}=\frac{28}{4}$
$x=7$ ,
और $y=\frac{3(5)+(-3)}{3+1}=\frac{15-3}{4}=\frac{12}{4}$
$y=3$ प्राप्त होता है।
अतः विभाजन वाला अभीष्ट बिन्दु $P(7,3)$ है। उत्तर
प्रश्न 15. यदि $M(4,5)$ , रेखाखण्ड $AB$ का मध्य बिन्दु है तथा $A$ का निर्देशांक $(3)$ है, तो बिन्दु $B$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि बिन्दु $B$ के निर्देशांक $(x)$ हैं।
[Line segment AB with midpoint M. A=(3,4), M=(4,5), B=(x,y)]
$∴$ मध्य बिन्दु $4=\frac{3+x}{2}$
$3+x=8$
$∴x=8-3=5$
तथा $5=\frac{4+y}{2}$
या $4+y=10$
$∴y=10-4=6$
अतः बिन्दु $B$ के निर्देशांक $(5)$ होंगे। उत्तर
प्रश्न 16. यदि $K(5,4)$ रेखाखण्ड $PQ$ का मध्य बिन्दु है तथा $Q$ के निर्देशांक $(2)$ हैं, तो $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल—माना कि बिन्दु $P$ के निर्देशांक $(x)$ हैं।
[रेखाखण्ड PQ, मध्य बिन्दु K]
$∴$ मध्य बिन्दु $5=\frac{x+2}{2}$
या $x+2=10$ $∴x=10-2=8$
तथा $4=\frac{y+3}{2}$
या $y+3=8$ $∴y=8-3=5$
अतः बिन्दु $P$ के निर्देशांक $(8)$ होंगे। उत्तर
प्रश्न 17. यदि बिन्दुओं $A(-3,b)$ तथा $B(1,b+4)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु $P(-1,1)$ है तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल—प्रश्नानुसार $y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
$1=\frac{b+b+4}{2}$
$2=2b+4$ $∴2b=-2$
$b=-1$ उत्तर
प्रश्न 18. यदि एक वृत्त का केन्द्र $(3)$ है तथा एक व्यास के अन्त बिन्दु $(4)$ तथा $(2)$ है, तो $y$ का मान लिखिए।
हल—प्रश्नानुसार $y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
$5=\frac{7+y}{2}$
$10=7+y$ $∴y=10-7=3$ उत्तर
प्रश्न 19. बिन्दुओं $A(2,-3)$ तथा $B(5,6)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड $x$ -अक्ष को किस अनुपात में बाँटता है?
हल— $x$ -अक्ष पर $y=0$ होता है।
$y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$0=\frac{m_{1}(6)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}$
$0=6m_{1}-3m_{2}$
या $6m_{1}=3m_{2}$
$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$m_{1}:m_{2}=1:2$ उत्तर
प्रश्न 20. यदि एक बिन्दु $R$ बिन्दुओं $P(x_{1},y_{1})$ और $Q(x_{2},y_{2})$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $K:1$ के अनुपात में विभाजित करे तो $R$ के निर्देशांक लिखिये।
हल— $R\frac{Kx_{2}+x_{1}}{K+1},\frac{Ky_{2}+y_{1}}{K+1}$
प्रश्न 21. बिन्दुओं $(0)$ और $(5,-3)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये?
हल—मध्य बिन्दु के निर्देशांक $\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$ होते है।
यहाँ पर $x_{1}=0,y_{1}=0$
$x_{2}=5,y_{2}=-3$
$∴x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$
$y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{0+(-3)}{2}=\frac{-3}{2}$
अतः रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक $\frac{5}{2},\frac{-3}{2}$ होंगे।
प्रश्न 22. बिन्दु $P(3,4)$ की $X$ -अक्ष से दूरी लिखिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— $X$ -अक्ष से दूरी = $4$ इकाई
प्रश्न 23. बिन्दुओं $(-a,a)$ तथा $(-a,-a)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल— $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$d=\sqrt{(-a+a)^{2}+(-a-a)^{2}}$
$=\sqrt{(0)^{2}+(-2a)^{2}}$
$d=\sqrt{4a^{2}}=2a$ इकाई उत्तर
प्रश्न 24. बिन्दुओं $(-2,-1)$ तथा $(-1,1)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल— $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(-1+2)^{2}+(1+1)^{2}}$
$=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ इकाई
प्रश्न 25. बिन्दुओं $A(x_{1},y_{1})$ तथा $B(x_{2},y_{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m_{1}:m_{2}$ में अंत: विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक लिखिए। (प्रश्न बैंक)
हल— $\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}},\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
प्रश्न 26. दो बिन्दुओं $A(x_{1},y_{1})$ तथा $B(x_{2},y_{2})$ है तो उनके बीच की दूरी का सूत्र लिखिए। (प्रश्न बैंक)
हल— $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
लघूत्तरात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. बिन्दुओं $(5,-6)$ और $(-1,-4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को $y$ -अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है, ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2022)
हल— माना कि $y$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $P(0,y)$ है जो बिन्दु $A(5,-6)$ और $B(-1,-4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को $K:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
[रेखाखण्ड A(5, -6), P(0, y), B(-1, -4)]
$∴P$ का $x$ निर्देशांक
$0=\frac{K \times (-1)+1 \times 5}{K+1}$
या $0=-K+5$
$K=5$
अभीष्ट अनुपात $K:1=5:1$
$⇒4+x^{2}+4x+9=9+x^{2}+6x+16$
$⇒4x-6x=16-4$
$⇒-2x=12$
$⇒x=\frac{12}{-2}=-6$
अतः $x$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $(-6,0)$ है।
प्रश्न 3. बिन्दुओं $(11)$ और $(1)$ को मिलाने वाली रेखा को बिन्दु $(7)$ किस अनुपात में विभाजित करता है? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल— माना $C(7,6)$ , रेखाखण्ड $AB$ को $k:1$ में विभाजित करता है, जहाँ $A=(11,8)$ तथा $B=(1,3)$ है। विभाजन सूत्र द्वारा,
$(7,6)=\frac{k(1)+(1)(11)}{k+1},\frac{k(3)+(1)(8)}{k+1}$
$⇒(7,6)=\frac{k+11}{k+1},\frac{3k+8}{k+1}$
$7=\frac{k+11}{k+1}$
$⇒7k+7=k+11$
$⇒7k-k=11-7$
$⇒6k=4$
$⇒k=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$⇒k:1=2:3$
अतः बिन्दुओं $(11)$ और $(1)$ को मिलाने वाली रेखा को बिन्दु $(7)$ , $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 4. बिन्दुओं $(5,-6)$ और $(-1,-4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को $y$ -अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती है? इस प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिये।
हल— माना वांछित अनुपात $k:1$ है। तब विभाजन सूत्र से
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}},y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
अतः $k:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक हैं :
$\frac{-k+5}{k+1},\frac{-4k-6}{k+1}$
प्रश्न 2. $x$ -अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं $(-2,3)$ और $(-3,4)$ से समान दूरी पर स्थित है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2021-22)
हल— माना कि $x$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $P(x,0)$ और दिए गए बिन्दु हैं $A(-2,3)$ और $B(-3,4)$
प्रश्नानुसार, $PA=PB$
$⇒(PA)^{2}=(PB)^{2}$
$⇒(-2-x)^{2}+(3-0)^{2}=(-3-x)^{2}+(4-0)^{2}$
चूँकि दिया गया है कि यह बिन्दु $y$ -अक्ष पर स्थित है और हम जानते हैं कि $y$ -अक्ष पर $x$ का मान शून्य होता है।
अतः: $\frac{-k+5}{k+1}=0$
इसलिए $k=5$
अर्थात् वांछित अनुपात $5:1$ है। $k$ का मान $5$ रखने पर हमें प्रतिच्छेद बिन्दु $(0)$ प्राप्त होता है। उत्तर
प्रश्न 5. $y$ -अक्ष पर एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिये जो बिन्दुओं $A(6,5)$ और $B(-4,3)$ से समदूरस्थ है।
हल— हम जानते हैं कि $y$ -अक्ष पर स्थित कोई भी बिन्दु $(0)$ के रूप का होता है। अतः माना कि बिन्दु $P(0,y)$ बिन्दुओं $A$ और $B$ से समदूरस्थ है। तब
$(6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}$
या $36+25+y^{2}-10y=16+9+y^{2}-6y$
या $4y=36$
या $y=\frac{36}{4}=9$
अतः वांछित बिन्दु $(0)$ है।
प्रश्न 6. एक रेखा का एक सिरा $(4)$ है और मध्य बिन्दु $(4)$ है, तो रेखा के दूसरे सिरे के निर्देशांक क्या होंगे?
हल— माना दूसरे सिरे के निर्देशांक $(x_{2})$ हैं।
[रेखाखण्ड AB, A(4,0), P(4,1), B(x2, y2)]
मध्य बिन्दु $4=\frac{4+x_{2}}{2}$
$⇒4 \times 2=4+x_{2}$
$x_{2}=8-4=4$
और $1=\frac{0+y_{2}}{2}$
$2=0+y_{2}$
$y_{2}=2$
$∴(x_{2},y_{2})=(4,2)$ अतः दूसरे सिरे के निर्देशांक $(4)$ हैं। उत्तर
प्रश्न 7. बिन्दुओं $(6)$ और $(2)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु से बिन्दु $(1)$ की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल— दिए गए बिन्दुओं $(6)$ तथा $(2)$ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
$=(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$
$=(\frac{6+2}{2},\frac{8+4}{2})=(\frac{8}{2},\frac{12}{2})=(4,6)$
अब बिन्दु $(4)$ की बिन्दु $(1)$ से दूरी
$=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-6)^{2}}$
$=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}$
$=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
अतः अभीष्ट बीच की दूरी $5$ होगी। उत्तर
प्रश्न 8. सिद्ध कीजिये कि बिन्दुओं $(5)$ और $(3)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु वही है जो बिन्दुओं $(8)$ तथा $(0)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु है।
हल— बिन्दु $A(5,7)$ तथा $B(3,9)$ का मध्य बिन्दु
$=[\frac{5+3}{2},\frac{7+9}{2}]=(\frac{8}{2},\frac{16}{2})=(4,8)$
तथा बिन्दु $C(8,6)$ तथा $D(0,10)$ का मध्य बिन्दु
$=[\frac{8+0}{2},\frac{6+10}{2}]=(\frac{8}{2},\frac{16}{2})=(4,8)$
अतः दोनों बिन्दुओं के रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु समान है। उत्तर
प्रश्न 9. यदि $A,B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(6,-1),(1,3)$ तथा $(x)$ हैं तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए जबकि $AB=BC$ हो।
हल— दिया गया है $AB=BC$
$∴(AB)^{2}=(BC)^{2}$
$(6-1)^{2}+(-1-3)^{2}=(x-1)^{2}+(8-3)^{2}$
$25+16=(x-1)^{2}+25$
$16=(x-1)^{2}$
$\pm 4=(x-1)$
धनात्मक चिह्न लेने पर
$∴4=x-1$ $∴x=5$
इसी प्रकार ऋणात्मक चिह्न लेने पर
$-4=x-1$ $∴-4+1=x$
$x=-3$
अतः $x$ का मान $-3$ या $5$ होगा। उत्तर
प्रश्न 10. बिन्दुओं $(1,-2)$ तथा $(4)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु $(2)$ किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल— माना दिये हुए बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड को बिन्दु $(2)$ , $λ:1$ में विभाजित करता है।
अतः विभाजन सूत्र से
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$∴2=\frac{λ \times 4+1 \times 1}{λ+1}$
$2λ+2=4λ+1$
$2-1=4λ-2λ$
$1=2λ$
$∴λ=\frac{1}{2}$
अतः अभीष्ट अनुपात $1:2$ है।
नोट : कोटि के मान से भी हमें यही अनुपात प्राप्त होगा।
प्रश्न 11. $x$ -अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिये जो बिन्दुओं $A(6,5)$ व $B(-4,5)$ से समदूरस्थ है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— माना $x$ -अक्ष पर वह बिन्दु $P(x,0)$ है जो बिन्दुओं $A(6,5)$ व $B(-4,5)$ से समदूरस्थ है।
प्रश्नानुसार
$AP=BP∴(AP)^{2}=(BP)^{2}$
दो बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र लगाने पर
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$∴(x-6)^{2}+(0-5)^{2}=(x+4)^{2}+(0-5)^{2}$
$⇒x^{2}-12x+36+25=x^{2}+8x+16+25$
$⇒-12x+36=8x+16$
$⇒-12x-8x=16-36$
$⇒-20x=-20$
$⇒x=\frac{-20}{-20}=1$
$x$ -अक्ष पर वह बिन्दु $P(1,0)$ है। उत्तर
प्रश्न 12. यदि दो बिन्दु $A(-2,5)$ और $B(-5,y)$ का मध्य बिन्दु $(\frac{-7}{2})$ है, तो बिन्दु $A,B$ के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
हल— ]
[A line segment AB with A(-2, 5) at left, B(-5, y) at right, and midpoint (-7/2, 3) in center]
प्रश्नानुसार
$y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
$3=\frac{5+y}{2}$
या $5+y=6$
$∴y=6-5=1$
इस प्रकार दो बिन्दु $A(-2,5)$ तथा $B(-5,1)$ हैं।
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(-5+2)^{2}+(1-5)^{2}}$
$=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}$
$=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
अतः बिन्दु $A,B$ के मध्य की दूरी $=5$ इकाई। उत्तर
प्रश्न 13. बिन्दुओं $(acos \theta +bsin \theta ,0)$ तथा $(0,asin \theta -bsin \theta )$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिये।
हल— दो बिन्दुओं के बीच की दूरी
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(0-acos \theta -bsin \theta )^{2}+(asin \theta -bcos \theta -0)^{2}}$
$=\sqrt{(acos \theta +bsin \theta )^{2}+(asin \theta -bcos \theta )^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}cos^{2} \theta +2absin \theta cos \theta +b^{2}sin^{2} \theta +a^{2}sin^{2} \theta -2absin \theta cos \theta +b^{2}cos^{2} \theta }$
$=\sqrt{a^{2}(sin^{2} \theta +cos^{2} \theta )+b^{2}(sin^{2} \theta +cos^{2} \theta )}$
$=\sqrt{a^{2} \times 1+b^{2} \times 1}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ उत्तर
प्रश्न 14. $x$ और $y$ में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिये, ताकि बिन्दु $(x)$ बिन्दुओं $(7)$ और $(3)$ से समदूरस्थ (Equidistant) हो। (प्रश्न बैंक)
हल— माना कि बिन्दु $P(x,y)$ बिन्दुओं $A(7,1)$ और $B(3,5)$ से समदूरस्थ है।
दिया है : $AP=BP$
या $(AP)^{2}=(BP)^{2}$ है।
अर्थात् $(x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$
या $x^{2}-14x+49+y^{2}-2y+1=x^{2}-6x+9+y^{2}-10y+25$
या $-14x-2y+50=-6x-10y+34$
या $-8x+8y+16=0$
या $-x+y+2=0$
या $x-y-2=0$
या $x-y=2$
प्रश्न 15. $y$ -अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं $A(6,5)$ व $B(-4,3)$ से समदूरस्थ है।
हल— हम जानते हैं कि $y$ -अक्ष पर स्थित कोई बिन्दु $(0)$ के रूप का होता है। माना कि यह बिन्दु $P(0,y)$ बिन्दुओं $A$ और $B$ से समदूरस्थ हो तब
$PA=PB$
या $(PA)^{2}=(PB)^{2}$
$(6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}$
या $36+25+y^{2}-10y=16+9+y^{2}-6y$
या $y^{2}-10y+61=y^{2}-6y+25$
या $-10y+6y=25-61$
या $-4y=-36$
$∴y=\frac{-36}{-4}=9$
अतः वांछित बिन्दु $(0)$ है। उत्तर
प्रश्न 16. बिन्दुओं $A(2,-2)$ और $B(-7,4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
हल— बिन्दु $P$ रेखाखण्ड $AB$ को आन्तरिक रूप से $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
[रेखाखण्ड AB जिस पर P और Q बिन्दु स्थित हैं]
बिन्दु $P$ के निर्देशांक $P\frac{1(-7)+2(2)}{1+2},\frac{1(4)+2(-2)}{1+2}$
अर्थात् $P(-1,0)$
अब बिन्दु $Q$ रेखाखण्ड $AB$ को आन्तरिक रूप से $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$Q\frac{2(-7)+1(2)}{2+1},\frac{2(4)+1(-2)}{2+1}$
अर्थात् $Q(-4,2)$
समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक $(-1,0)$ और $(-4,2)$ है।
प्रश्न 17. बिन्दुओं $(1,-5)$ और $(-4,5)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को $x$ -अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है? ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23)
हल—
[रेखाखण्ड AB जिस पर P बिन्दु स्थित है]
माना कि $x$ -अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $P(x,0)$ है जो $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $K:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$∴P$ का $y$ निर्देशांक
$0=\frac{5 \times K+(-5) \times 1}{K+1}$
$0=\frac{5K-5}{K+1}$
$⇒5K-5=0$
$K=\frac{5}{5}=1$
$∴$ अभीष्ट अनुपात $K:1=1:1$ उत्तर
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिये कि बिन्दु $(2,-2),(-2,1)$ तथा $(5)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2022-23; प्रश्न बैंक)
हल— दूरी सूत्र :
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
[त्रिभुज ABC]
$AB=\sqrt{(-2-2)^{2}+(1+2)^{2}}$
$=\sqrt{(-4)^{2}+(3)^{2}}$
$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
$BC=\sqrt{(5+2)^{2}+(2-1)^{2}}$
$=\sqrt{(7)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{49+1}$
$=\sqrt{50}$
$CA=\sqrt{(2-5)^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}$
$CA=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
अर्थात् $AB^{2}+CA^{2}=BC^{2}$
अतः दिये गये बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
प्रश्न 19. यदि बिन्दु $(x)$ और $(5)$ के बीच की दूरी $5$ इकाई हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल—
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$d=\sqrt{(5-x)^{2}+(7-3)^{2}}$
$=\sqrt{(5-x)^{2}+(4)^{2}}$
$(5)^{2}=(5-x)^{2}+(4)^{2}$
$∴25=25-10x+x^{2}+16$
या $x^{2}-10x+16=0$
$(x-8)(x-2)=0$
$x=8,2$ उत्तर
प्रश्न 20. यदि बिंदुओं $A(3,K)$ , $B(K,5)$ , से बिंदु $P(0,2)$ की दूरियाँ बराबर हैं तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)
हल—प्रश्नानुसार $PA=PB$
या $PA^{2}=PB^{2}$
या $(0-3)^{2}+(2-K)^{2}=(0-K)^{2}+(2-5)^{2}$
या $9+4+K^{2}-4K=K^{2}+9$
या $4K=4⇒K=1$
प्रश्न 21. बिंदुओं $(5)$ और $(-3,-2)$ , को मिलाने वाली रेखाखंड $x$ -अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित होती है? ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
हल—माना $x$ अक्ष पर अभीष्ट बिंदु $P(x,0)$ है जो $A(5,3)$ और $B(-3,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को $K:1$ में विभाजित करता है।
$∴P$ का $y$ निर्देशांक,
या $0=\frac{K(-2)+1(3)}{K+1}$
या $0=-2K+3$
या $K=\frac{3}{2}$
$∴$ अभीष्ट अनुपात $\frac{3}{2}:1=3:2$ उत्तर
दीर्घउत्तरीय प्रश्न—
प्रश्न 1. यदि एक चतुर्भुज के शीर्ष $(1)$ , $(-5,4)$ , $(-5,-3)$ और $(1,-3)$ हों तो चतुर्भुज का प्रकार बताइए।
[Rectangle ABCD with vertices A(1, 4), B(-5, 4), C(-5, -3), D(1, -3)]
हल—
$AB=\sqrt{(-5-1)^{2}+(4-4)^{2}}$
$=\sqrt{(-6)^{2}+0^{2})}$
$=\sqrt{36}=6$
$BC=\sqrt{(-5+5)^{2}+(-3-4)^{2}}$
$=\sqrt{0^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7$
$CD=\sqrt{(1+5)^{2}+(-3+3)^{2}}$
$=\sqrt{(6)^{2})}=\sqrt{36}=6$
$AD=\sqrt{(1-1)^{2}+(4+3)^{2}}=\sqrt{0^{2}+(7)^{2}}$
$=\sqrt{49}=7$
$AC=\sqrt{(-5-1)^{2}+(-3-4)^{2}}$
$=\sqrt{(-6)^{2}+(-7)^{2}}$
$=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}$
$BD=\sqrt{(+1+5)^{2}+(-3-4)^{2}}$
$=\sqrt{6^{2}+(-7)^{2}}$
$=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}$
अतः $AB=CD$ और $BC=AD$ तथा विकर्ण $AC=BD$ अतः दिये गये बिंदु आयत के शीर्ष हैं।
प्रश्न 2. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जबकि बिंदु $(-3,p)$ बिंदुओं $(-5,-4)$ और $(-2,3)$ को अन्त:विभाजित करता है। $p$ का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल—माना $C(-3,p)$ $AB$ को अनुपात $k:1$ में विभाजित करता है।
$∴$ विभाजन के नियम से
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$ और $y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$∴-3=\frac{-2k-5}{k+1}$
या $-3k-3=-2k-5$
या $k=-3+5=2$
अर्थात् अनुपात $k:1$ या $2:1$ होगा। उत्तर
तथा $p=\frac{2 \times 3+1 \times (-4)}{2+1}=\frac{2}{3}$
$∴p=\frac{2}{3}$ उत्तर
प्रश्न 3. यदि बिन्दु $A(6,1)$ , $B(8,2)$ , $C(9,4)$ और $D(x,y)$ क्रम में एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो बिन्दु $D(x,y)$ ज्ञात कीजिये।
हल— हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
[समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं]
अतः: विकर्ण $AC$ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक = विकर्ण $BD$ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
अर्थात्
$(\frac{6+9}{2},\frac{1+4}{2})=(\frac{8+x}{2},\frac{2+y}{2})$
या $(\frac{15}{2},\frac{5}{2})=(\frac{8+x}{2},\frac{2+y}{2})$
अतः: $\frac{15}{2}=\frac{8+x}{2}$
या $15=8+x$
$∴x=7$
इसी तरह से
$\frac{5}{2}=\frac{2+y}{2}$
या $5=2+y$ $∴y=5-2=3$
अतः: बिन्दु $D(7,3)$ होगा।
प्रश्न 4. क्या बिन्दु $(3)$ , $(-2,-3)$ और $(2)$ एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो बताइये कि किस प्रकार का त्रिभुज बनता है।
हल— माना कि दिये गये बिन्दु $P(3,2)$ , $Q(-2,-3)$ तथा $R(2,3)$ हैं।
$PQ=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(-2-3)^{2}+(-3-2)^{2}}$
$=\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25+25}$
$=\sqrt{50}=7.07$
$QR=\sqrt{()^{2}+(3-(-3))^{2}}$
$=\sqrt{(4)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{16+36}$
$=\sqrt{52}=7.21$
$PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}$
$=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}$
$=\sqrt{2}=1.41$
$∴$ यहाँ पर इन तीन दूरियों में से किन्हीं दो का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिये इन बिन्दुओं $P,Q$ और $R$ से एक त्रिभुज बनता है।
और साथ ही यहाँ पर $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$ है। अतः: $\angle P=90^{∘}$ है। इसलिये, $P,Q,R$ एक समकोण त्रिभुज है।
प्रश्न 5. दर्शाइये कि बिन्दु $(1)$ , $(4)$ , $(-1,-1)$ और $(-4,4)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)
हल— माना दिये गये शीर्ष हैं:
$A(1,7)$ , $B(4,2)$ , $C(-1,-1)$ तथा $D(-4,4)$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और उनके विकर्ण भी बराबर होते हैं।
$AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}$
$AB=\sqrt{34}$
$BC=\sqrt{(-1-4)^{2}+(-1-2)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
$CD=\sqrt{()^{2}+(4-(-1))^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
$DA=\sqrt{()^{2}+(7-4)^{2}}$
$=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
$AC=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-1-7)^{2}}$
$=\sqrt{(-2)^{2}+(-8)^{2}}$
$=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$
$BD=\sqrt{(-4-4)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{(-8)^{2}+(2)^{2}}$
$=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$
यहाँ, $AB=BC=CD=DA$ है और $AC=BD$ है, अर्थात् चतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं। अतः चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।
प्रश्न 6. सामने दी गयी आकृति किसी कक्षा में रखे डेस्क (desks) की व्यवस्था दर्शाती है। आशिमा, भारती और कैमिला क्रमशः $A(3,1)$ , $B(6,4)$ और $C(8,6)$ पर बैठी हैं। सिद्ध कीजिये कि वे तीनों एक ही सीध (in a line) में बैठी हैं।
हल— दो बिन्दुओं के बीच की दूरी के सूत्र का प्रयोग करने पर :
[Grid showing points A(3,1), B(6,4), C(8,6)]
$AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}}$
$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
$BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}}$
$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{(5)^{2}+(5)^{2}}$
$=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
यहाँ पर $AB+BC=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}=AC$
अतः $A,B$ तथा $C$ संरेखीय है।
अतः वे तीनों एक ही सीध में बैठी हैं।
प्रश्न 7. यदि बिन्दु $A(6,1)$ , $B(8,2)$ , $C(9,4)$ और $D(p,3)$ एक समांतर-चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
(प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)
हल— हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। अतः विकर्ण $AC$ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक = विकर्ण $BD$ के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक
अर्थात् $\frac{6+9}{2},\frac{1+4}{2}=\frac{8+p}{2},\frac{2+3}{2}$
या $\frac{15}{2},\frac{5}{2}=\frac{8+p}{2},\frac{5}{2}$
अतः: $\frac{15}{2}=\frac{8+p}{2}$
या $p=7$ उत्तर
प्रश्न 8. बिन्दुओं $(4)$ और $(0,-8)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)
हल— माना बिन्दु $P,Q$ व $R$ रेखाखण्ड $AB$ को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
[Line segment AB with points P, Q, R]
अतः बिन्दु $Q$ रेखाखण्ड $AB$ का मध्य बिन्दु होगा।
$∴$ बिन्दु $Q$ के निर्देशांक $=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
$=\frac{4+0}{2},\frac{0-8}{2}=(2,-4)$
बिन्दु $P$ रेखाखण्ड $AQ$ का मध्य बिन्दु है तथा बिन्दु $R$ रेखाखण्ड $QB$ का मध्य बिन्दु है।
$∴$ बिन्दु $P$ के निर्देशांक
$=\frac{4+2}{2},\frac{0-4}{2}=(3,-2)$
तथा बिन्दु $R$ के निर्देशांक
$=\frac{2+0}{2},\frac{-4-8}{2}=(1,-6)$
अतः अभीष्ट बिन्दु $(3,-2),(2,-4)$ तथा $(1,-6)$ हैं।
प्रश्न 9. बिन्दुओं $P(-3,4)$ और $Q(4,5)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— माना कि $R(x_{1},y_{1})$ और $S(x_{2},y_{2})$ अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं $P(-3,4)$ और $Q(4,5)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करते हैं अर्थात् $R(x_{1},y_{1})$ , $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में और $S(x_{2},y_{2})$ , $PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
[Line segment PQ with points R and S dividing it into three equal parts]
बिन्दु R के लिए—
$x_{1}=\frac{1(4)+2(-3)}{1+2}=\frac{4-6}{3}=\frac{-2}{3}$
और $y_{1}=\frac{1(5)+2(4)}{1+2}=\frac{5+8}{3}=\frac{13}{3}$
$∴R(x_{1},y_{1})=-\frac{2}{3},\frac{13}{3}$
बिन्दु S के लिए—
$x_{2}=\frac{2(4)+1(-3)}{2+1}=\frac{8-3}{3}=\frac{5}{3}$
और $y_{2}=\frac{2(5)+1(4)}{2+1}=\frac{10+4}{3}=\frac{14}{3}$
$∴S(x_{2},y_{2})=\frac{5}{3},\frac{14}{3}$
अतः अभीष्ट बिन्दु $=R-\frac{2}{3},\frac{13}{3}$ और $S\frac{5}{3},\frac{14}{3}$ उत्तर
प्रश्न 10. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जबकि बिन्दु $(-3,P)$ , बिन्दुओं $(-5,-4)$ और $(-2,3)$ को अन्तः विभाजित करता है। $P$ का मान भी ज्ञात कीजिए।
(माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)
हल— माना $C(-3,P)$ , $AB$ को अनुपात $k:1$ में विभाजित करता है।
[Line segment AB with point C dividing it in ratio k:1]
$∴$ विभाजन के नियम से
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
और $y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$∴-3=\frac{-2k-5}{k+1}$
या $-3k-3=-2k-5$
या $k=-3+5=2$
अर्थात् अनुपात $k:1$ या $2:1$ होगा। उत्तर
तथा $P=\frac{2(3)+1(-4)}{2+1}=\frac{2}{3}$
$∴P=\frac{2}{3}$ उत्तर
निबन्धात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1. किसी समतल में चार बिन्दु $P(2,-1)$ , $Q(3,4)$ , $R(-2,3)$ और $S(-3,-2)$ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है। (प्रश्न बैंक)
हल— $PQRS$ को समचतुर्भुज सिद्ध करने के लिए हमें सिद्ध करना होगा—
(i) $PQ=QR=RS=SP$ तथा $PR \ne QS$
(ii) $PR$ का मध्य बिन्दु $=QS$ का मध्य बिन्दु
$∴PQ=\sqrt{(3-2)^{2}+(4+1)^{2}}$
$=\sqrt{(1)^{2}+(5)^{2}}$
$=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$
$QR=\sqrt{(-2-3)^{2}+(3-4)^{2}}$
$=\sqrt{(-5)^{2}+(-1)^{2}}$
$=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$
$RS=\sqrt{(-3+2)^{2}+(-2-3)^{2}}$
$=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}$
$=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$
$SP=\sqrt{(2+3)^{2}+(-2+1)^{2}}$
$=\sqrt{(5)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$
$PR$ विकर्ण के बीच की दूरी
$=\sqrt{(2+2)^{2}+(-1-3)^{2}}$
$=\sqrt{16+16}$
$=\sqrt{16 \times 2}=4\sqrt{2}$
$QS$ विकर्ण के बीच की दूरी
$=\sqrt{(3+3)^{2}+(4+2)^{2}}$
$=\sqrt{36+36}=\sqrt{36 \times 2}=6\sqrt{2}$
तथा PR का मध्य बिन्दु $=(\frac{-2+2}{2},\frac{3-1}{2})$
$=(\frac{0}{2},\frac{2}{2})=(0,1)$
तथा QS का मध्य बिन्दु $=(\frac{3-3}{2},\frac{4-2}{2})$
$=(\frac{0}{2},\frac{2}{2})=(0,1)$
इस प्रकार विकर्ण PR का मध्य बिन्दु $=$ विकर्ण QS का मध्य बिन्दु
$⇒$ PQRS के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित हो रहे हैं। अतः ये एक समचतुर्भुज के विकर्ण हैं तथा चारों भुजाएँ भी बराबर हैं तथा विकर्ण आपस में बराबर नहीं हैं। अतः ये वर्ग नहीं हैं।
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज AOB में कर्ण का मध्य बिन्दु C त्रिभुज के शीर्षों O, A और B से बराबर दूरी पर स्थित है।
हल— माना $A=(2a,0)$ तथा $B=(0,2b)$
$∴$ मध्य बिन्दु $=(C)$
[Triangle AOB with hypotenuse AB and midpoint C]
$C=[\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}]$
$=[\frac{2a+0}{2},\frac{0+2b}{2}]=(a,b)$
OC की दूरी $=\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
AC की दूरी $=\sqrt{(a-2a)^{2}+(b-0)^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
BC की दूरी $=\sqrt{(a-0)^{2}+(b-2b)^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$∴OC=AC=BC$
अर्थात् C बिन्दु, O, A व B से बराबर दूरी पर है।
प्रश्न 3. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष $(1,-1),(0,4)$ तथा $(-5,3)$ हैं।
हल— BC के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक
$=[\frac{0-5}{2},\frac{4+3}{2}]=(-\frac{5}{2},\frac{7}{2})$
[Triangle ABC with medians AD, BE, CF]
AC के मध्य बिन्दु E के निर्देशांक
$=[\frac{1-5}{2},\frac{-1+3}{2}]$
$=(\frac{-4}{2},\frac{2}{2})=(-2,1)$
AB के मध्य बिन्दु F के निर्देशांक
$=[\frac{1+0}{2},\frac{-1+4}{2}]=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
$∴$ माध्यिका AD
$=\sqrt{(1+\frac{5}{2})^{2}+(-1-\frac{7}{2})^{2}}$
$=\sqrt{(\frac{7}{2})^{2}+(-\frac{9}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{81}{4}}$
$=\sqrt{\frac{130}{4}}=\frac{\sqrt{130}}{2}$ उत्तर
माध्यिका BE
$=\sqrt{(0+2)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{4+9}$
$=\sqrt{13}$ उत्तर
माध्यिका CF
$=\sqrt{(-5-\frac{1}{2})^{2}+(3-\frac{3}{2})^{2}}$
166
$=\sqrt{(-\frac{11}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}+\frac{9}{4}}$
$=\sqrt{\frac{130}{4}}=\frac{\sqrt{130}}{2}$ उत्तर
अतः माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ $\frac{\sqrt{130}}{2},\frac{\sqrt{130}}{2}$ होंगी।
प्रश्न 4. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु $(1,2),(0,-1)$ तथा $(2,-1)$ हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल— $(x_{1})$ व $(x_{2})$ बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु होगा—
$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ ,
$y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
[त्रिभुज ABC जिसके शीर्ष A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) हैं और भुजाओं के मध्य बिन्दु (0, -1), (1, 2), (2, -1) अंकित हैं]
अतः AC रेखा के लिए—
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=1$ व $\frac{y_{1}+y_{3}}{2}=2$
या $x_{1}+x_{3}=2$ एवं $y_{1}+y_{3}=4$ .... (1)
इसी प्रकार AB रेखा के लिए—
$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=0,\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-1$
या $x_{1}+x_{2}=0$ एवं $y_{1}+y_{2}=-2$ .... (2)
BC रेखा के लिए—
$\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=2,\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=-1$
$x_{2}+x_{3}=4$ एवं $y_{2}+y_{3}=-2$ .... (3)
समीकरण 1, 2 व 3 को हल करने पर—
$2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=6$
या $x_{1}+x_{2}+x_{3}=3$ .... (4)
या $2y_{1}+2y_{2}+2y_{3}=0$
या $y_{1}+y_{2}+y_{3}=\frac{0}{2}=0$
या $y_{1}+y_{2}+y_{3}=0$ .... (5)
समीकरण (4) से
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=3$
$0+x_{3}=3$
$∵$ समी. (1) से $x_{1}+x_{2}=0$
$x_{3}=3$
इसी तरह से $2+x_{2}=3$
$x_{2}=1$
इसी तरह से $x_{1}+4=3$
$∵x_{1}=3-4=-1$
$x_{1}=-1$
समीकरण (5) से $y_{1}+y_{2}+y_{3}=0$
समीकरण (1), (2) तथा (3) के मान समीकरण (5) में रखने पर निम्न मान प्राप्त होते हैं—
$y_{1}+y_{2}+y_{3}=0$
या $4+y_{2}=0∴y_{2}=-4$
या $-2+y_{3}=0∴y_{3}=2$
$y_{1}-2=0∴y_{1}=2$
अतः हमें निम्न मान प्राप्त होते हैं—
$x_{1}=-1,y_{1}=2$
$x_{2}=1,y_{2}=-4$
$x_{3}=3,y_{3}=2$
अतः अभीष्ट बिन्दु है— $(-1,2),(1,-4)$ तथा $(3)$ उत्तर
प्रश्न 5. बिन्दु $(-4,6)$ , बिन्दुओं $A(-6,10)$ और $B(3,-8)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल— माना कि $(-4,6)$ रेखाखण्ड AB के आन्तरिक रूप से $m_{1}:m_{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः विभाजन सूत्र से
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
और $y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
का प्रयोग करने पर
$(-4,6)=\frac{3m_{1}-6m_{2}}{m_{1}+m_{2}},\frac{-8m_{1}+10m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
संगत पद लेने पर
$-4=\frac{3m_{1}-6m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
या $-4m_{1}-4m_{2}=3m_{1}-6m_{2}$
या $-7m_{1}=-2m_{2}$ या $m_{1}:m_{2}=2:7$
हमें इसकी जाँच करनी होगी कि यह अनुपात $y$ -निर्देशांक को भी सन्तुष्ट करता है।
$\frac{-8m_{1}+10m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{-8\frac{m_{1}}{m_{2}}+10}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}$ ( $m_{2}$ से ऊपर-नीचे भाग करने पर)
$=\frac{-8 \times \frac{2}{7}+10}{\frac{2}{7}+1}=6$
अतः बिन्दु $(-4,6)$ , बिन्दुओं $A(-6,10)$ और $B(3,-8)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को $2:7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 6. ज्ञात कीजिए कि रेखा $3x+y=9$ बिन्दुओं $(1)$ तथा $(2)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है?
हल— माना बिन्दु $(1)$ तथा $(2)$ को मिलाने वाला रेखाखण्ड $3x+y=9$ को $λ:1$ में विभाजित करता है। अतः विभाजन बिन्दु के निर्देशांक
$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
तथा $y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$∴x=\frac{λ(2)+1(1)}{λ+1}=\frac{2λ+1}{λ+1}$
इसी प्रकार $y=\frac{λ(7)+1(3)}{λ+1}=\frac{7λ+3}{λ+1}$
अतः विभाजन बिन्दु $=\frac{2λ+1}{λ+1},\frac{7λ+3}{λ+1}$
यह बिन्दु रेखा $3x+y=9$ पर स्थित होंगे और इसको सन्तुष्ट करेंगे। अतः मान रखने पर
$⇒3\frac{2λ+1}{λ+1}+\frac{7λ+3}{λ+1}=9$
$⇒\frac{6λ+3}{λ+1}+\frac{7λ+3}{λ+1}=9$
$⇒6λ+3+7λ+3=9(λ+1)$
$⇒13λ+6=9λ+9$
$⇒13λ-9λ=9-6$
$⇒4λ=3$
$∴λ=\frac{3}{4}$
$∴$ अभीष्ट अनुपात $=\frac{3}{4}:1$ या $3:4$ उत्तर
प्रश्न 7. बिन्दुओं $P(-3,4)$ और $Q(4,5)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि $R(x_{1},y_{1})$ और $S(x_{2},y_{2})$ अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं $P(-3,4)$ और $Q(4,5)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करते हैं अर्थात् $R(x_{1},y_{1})$ $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में और $S(x_{2},y_{2})$ $PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
[रेखाखण्ड PQ, बिन्दु R (1:2) और S (2:1) के साथ]
बिन्दु $R$ के लिए—
$x_{1}=\frac{1 \times (4)+2(-3)}{1+2}=\frac{4-6}{3}=\frac{-2}{3}$
और $y_{1}=\frac{1 \times (5)+2 \times (4)}{1+2}=\frac{5+8}{3}=\frac{13}{3}$
$∴R(x_{1},y_{1})=-\frac{2}{3},\frac{13}{3}$
बिन्दु $S$ के लिए—
$x_{2}=\frac{2 \times (4)+1 \times (-3)}{2+1}=\frac{8-3}{3}=\frac{5}{3}$
और $y_{2}=\frac{2 \times (5)+1 \times (4)}{2+1}=\frac{10+4}{3}=\frac{14}{3}$
$∴S(x_{2},y_{2})=\frac{5}{3},\frac{14}{3}$
अतः अभीष्ट बिन्दु $=R-\frac{2}{3},\frac{13}{3}$ और $S\frac{5}{3},\frac{14}{3}$ उत्तर
प्रश्न 8. बिन्दुओं $P(-3,4)$ और $Q(4,5)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल— माना कि $A(x_{1},y_{1})$ और $B(x_{2},y_{2})$ अभीष्ट बिन्दु हैं, जो बिन्दुओं $P(-3,4)$ और $Q(4,5)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड को समत्रिभाजित करते हैं।
[रेखाखण्ड PQ, बिन्दु A और B के साथ]
माना कि $PA=AB=QB=x$
$AQ=x+x=2x$
$PB=x+x=2x$
$\frac{PA}{AQ}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}=1:2$
$\frac{PB}{BQ}=\frac{2x}{x}=\frac{2}{1}=2:1$
अर्थात् बिन्दु $A,PQ$ को $1:2$ के अनुपात में तथा बिन्दु $B,PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
बिन्दु के लिए
$x_{1}=\frac{1 \times (4)+2 \times (-3)}{1+2}=\frac{4-6}{3}=\frac{-2}{3}$
और
$y_{1}=\frac{1 \times (5)+2 \times (4)}{1+2}=\frac{5+8}{3}=\frac{13}{3}$
$∴A$ के निर्देशांक $\frac{-2}{3},\frac{13}{3}$
बिन्दु $B$ के लिए
$x_{2}=\frac{2 \times 4+1 \times (-3)}{2+1}=\frac{8-3}{3}=\frac{5}{3}$
$y_{2}=\frac{2 \times (5)+1 \times (4)}{2+1}=\frac{10+4}{3}=\frac{14}{3}$
$∴B$ के निर्देशांक $\frac{5}{3},\frac{14}{3}$
अतः $B$ और $A$ के निर्देशांक क्रमशः $\frac{5}{3},\frac{14}{3}$ तथा $\frac{-2}{3},\frac{13}{3}$ है। उत्तर
प्रश्न 9. यदि $A(-2,1),B(a,0),C(4,b)$ तथा $D(1,2)$ एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष बिन्दु हैं, तो $a$ तथा $b$ के मान ज्ञात कीजिए। अतः इस चतुर्भुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।
हल— ज्ञात हैं, $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
[समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं]
विकर्ण $AC$ तथा $BD$ एक-दूसरे को बिन्दु $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$AC$ का मध्यबिन्दु $=\frac{-2+4}{2},\frac{1+b}{2}$
$=\frac{2}{2},\frac{1+b}{2}$
$BD$ का मध्यबिन्दु $=\frac{a+1}{2},\frac{0+2}{2}$
$=\frac{a+1}{2},\frac{2}{2}$
अतः $\frac{2}{2},\frac{1+b}{2}=\frac{a+1}{2},\frac{2}{2}$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर
$\frac{a+1}{2}=\frac{2}{2}$
$a+1=2$
$a=2-1$
$a=1$
$\frac{1+b}{2}=\frac{2}{2}$
$1+b=2$
$b=2-1$
$b=1$
बिन्दु $B(1,0)$ तथा $C(4,1)$ है।
भुजा $CD$ की लम्बाई = भुजा $AB$ की लम्बाई
$=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(-2-1)^{2}+(1-0)^{2}}$
$=\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}$
$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ इकाई
भुजा $DA$ की लम्बाई = भुजा $BC$ की लम्बाई
$=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(1-4)^{2}+(0-1)^{2}}$
$=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}$
$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ इकाई
अतः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं की लम्बाई
$AB=BC=CD=DA=\sqrt{10}$ इकाई उत्तर
प्रश्न 10. बिन्दु $A(4,7),B(P,3)$ तथा $C(7,3)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें $B$ पर समकोण है। $P$ का मान ज्ञात करो।
हल—समकोण $\Delta ABC$ में,
$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
[Right-angled triangle ABC with vertices A(4, 7), B(P, 3), C(7, 3)]
$⇒(P-4)^{2}+(3-7)^{2}+(7-P)^{2}+(3-3)^{2}=(7-4)^{2}+(3-7)^{2}$
$⇒P^{2}-8P+16+16+49-14P+P^{2}=9+16$
$⇒2P^{2}-22P+56=0$
$⇒P^{2}-11P+28=0$
$⇒P^{2}-4P-7P+28=0$
$⇒P(P-4)-7(P-4)=0$
$⇒(P-4)(P-7)=0$
$⇒P=4,7$
अतः $P$ का मान $4$ है।
प्रश्न 11. यदि बिंदु $(x)$ बिंदुओं $(a+b,b-a)$ और $(a-b,a+b)$ से बराबर दूरी पर स्थित है तो सिद्ध कीजिए $bx=ay$ । (प्रश्न बैंक)
हल—बिन्दु $P(x,y)$ बिन्दुओं $A(a+b,b-a)$ और $B(a-b,a+b)$ से समदूरस्थ हैं।
$P(x,y)$
$A(a+b,b-a)$ $B(a-b,a+b)$
$∴PA=PB$
or $PA^{2}=PB^{2}$
(x-(a+b)}^{2}+{y-(b-a)}^{2}={x-(a-b)}^{2}+{y-(a+b))^{2}
$⇒x^{2}+(a+b)^{2}-2x(a+b)+y^{2}+(b-a)^{2}-2y(b-a)=x^{2}+(a-b)^{2}-2x(a-b)+y^{2}+(a+b)^{2}-2y(a+b)$
$⇒-2x(a+b)-2y(b-a)=-2x(a-b)-2y(a+b)$
$⇒-2{x(a+b)+y(b-a)}=-2{x(a-b)+y(a+b)}$
$⇒ax+bx+by-ay=ax-bx+ay+by$
$⇒bx-ay=-bx+ay$
$⇒bx+bx=ay+ay$
$⇒2bx=2ay⇒bx=ay$ (इतिसिद्धम्)
$\square \square \square$
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RBSE Class 10 Maths Chapter 7 Solutions in Hindi — निर्देशांक ज्यामिति | पासबुक हल, नोट्स

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

प्रश्नावली 7.1

प्रश्नावली 7.2

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

मुख्य बिन्दु

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

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उत्तरमाला

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बहुपद

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

द्विघात समीकरण

समान्तर श्रेढ़ियाँ

त्रिभुज

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

1. (B)	2. (A)	3. (C)	4. (B)	5. (B)
6. (C)	7. (C)	8. (A)	9. (B)	10. (A)
11. (C)	12. (A)	13. (B)	14. (B)	15. (C)
16. (D)	17. (C)	18. (C)	19. (B)	20. (B)
21. (D)	22. (A)	23. (B)	24. (D)	25. (C)
26. (D)	27. (A)	28. (D)	29. (C)	30. (C)
31. (A)	32. (B)	33. (A)	34. (B)	35. (B)