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RBSE Class 10 Maths Chapter 9 Solutions in Hindi — त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग | पासबुक हल, नोट्स

📅 अंतिम अपडेट: 2026-09-10•📖 RBSE/NCERT Solutions
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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं प्रश्नावली के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित — सभी अभ्यास एवं प्रश्नावली के चरण-दर-चरण सटीक हल।

#### प्रश्नावली 9.1

**1. सर्कस का एक कलाकार एक 20m20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30∘30^{∘} का हो तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।**

[समकोण त्रिभुज ABC, जहाँ AB खम्भा है, AC डोर है (20m), और कोण C = 30°]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 1

हल— माना कि ABAB खम्भे की ऊँचाई है।

AC=20mAC=20 m डोर की लम्बाई है।

इस स्थिति में, उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है।

अब समकोण ΔABC\Delta ABC में,

लम्बकर्ण=ABAC=sin30∘\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}=\frac{AB}{AC}=sin30^{∘} ∵sinθ=लम्बकर्ण∵sin \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}

या AB20=12\frac{AB}{20}=\frac{1}{2}

या AB=12×20=10AB=\frac{1}{2} \times 20=10

अतः खम्भे की ऊँचाई =10m=10 m उत्तर

**2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30∘30^{∘} का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8m8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।**

हल— माना कि आँधी से पहले पेड़ की लम्बाई BDBD है।

आँधी के पश्चात् AD=AC=AD=AC= टूटे हुए पेड़ के भाग की लम्बाई।

[समकोण त्रिभुज ABC, जहाँ AB = h1, AC = h2, BC = 8m, कोण C = 30°]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 2

अब समकोण ΔABC\Delta ABC में,

ABBC=tan30∘\frac{AB}{BC}=tan30^{∘} ∵tanθ=लम्बआधार∵tan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}

या h18=13\frac{h_{1}}{8}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या h1=83h_{1}=\frac{8}{\sqrt{3}}

अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर

या h1=83×33=833mh_{1}=\frac{8}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{8}{3}\sqrt{3} m ....(i)

तथा BCAC=cos30∘\frac{BC}{AC}=cos30^{∘} ∵cosθ=आधारकर्ण∵cos \theta =\frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}

या 8h2=32\frac{8}{h_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

या h2=8×23=163×33h_{2}=\frac{8 \times 2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

(अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर)

h2=1633h_{2}=\frac{16}{3}\sqrt{3} ....(ii)

∴∴ पेड़ की कुल लम्बाई BD=h1+h2BD=h_{1}+h_{2}

=833+1633=\frac{8}{3}\sqrt{3}+\frac{16}{3}\sqrt{3}

[(i) और (ii) के प्रयोग से]

=8+1633=2433=\frac{8+16}{3}\sqrt{3}=\frac{24}{3}\sqrt{3}

=83m=8\sqrt{3} m

अतः वृक्ष की ऊँचाई =83m=8\sqrt{3} m उत्तर

या वृक्ष की ऊँचाई =8×1.732=8 \times 1.732

=13.856=13.856

=13.86m=13.86 m उत्तर

**3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5m1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30∘30^{∘} के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3m3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60∘60^{∘} का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?**

हल—प्रथम स्थिति—5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए—

माना कि AC=l1AC=l_{1} m फिसलनपट्टी की लम्बाई है और BC=1.5BC=1.5 m फिसलनपट्टी की ऊँचाई है। इस स्थिति में उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है।

[Right-angled triangle ABC with angle A = 30 degrees, BC = 1.5m, AC = l1]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 3

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

BCAC=sin30∘\frac{BC}{AC}=sin30^{∘}

∵sinθ=लम्बकर्ण∵sin \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}

या 1.5l1=12\frac{1.5}{l_{1}}=\frac{1}{2}

या l1=1.5×2=3l_{1}=1.5 \times 2=3 m

द्वितीय स्थिति—अधिक उम्र के बच्चों के लिए—

माना कि AC=l2AC=l_{2} m फिसलनपट्टी की लम्बाई है और BC=3BC=3 m फिसलनपट्टी की ऊँचाई है। इस स्थिति में उन्नयन कोण 60∘60^{∘} का है।

[Right-angled triangle ABC with angle A = 60 degrees, BC = 3m, AC = l2]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 4

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

BCAC=sin60∘\frac{BC}{AC}=sin60^{∘}

∵sinθ=लम्बकर्ण∵sin \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}

या 3l2=32\frac{3}{l_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

या l2=3×23=63l_{2}=\frac{3 \times 2}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}

अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर

=63×33=633=23=\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}

अतः: 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिये फिसलनपट्टी की लम्बाई =3=3 मीटर तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिये फिसलनपट्टी की लम्बाई =23=2\sqrt{3} मीटर उत्तर

प्रश्न 4. भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 3030 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि QR=hQR=h m मीनार की ऊँचाई है और PQ=30PQ=30 m भूमि स्तर पर दूरी है।

[Right-angled triangle PQR with angle P = 30 degrees, QR = h, PQ = 30m]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 5

समकोण ΔPQR\Delta PQR में,

QRPQ=tan30∘\frac{QR}{PQ}=tan30^{∘}

∵tanθ=लम्बआधार∵tan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}

या h30=13\frac{h}{30}=\frac{1}{\sqrt{3}}

h=303h=\frac{30}{\sqrt{3}} अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर

या h=303×33=3033h=\frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{30\sqrt{3}}{3}

=103=10\sqrt{3} m =10×1.732=10 \times 1.732

h=17.32h=17.32 m (लगभग)

अतः, मीनार की ऊँचाई =17.32=17.32 m उत्तर

प्रश्न 5. भूमि से 6060 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60∘60^{∘} है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढाल नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि RR बिन्दु पर पतंग की स्थिति है। PR=lPR=l m पतंग के साथ लगी डोरी की लम्बाई है। इस स्थिति में उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है।

समकोण ΔPQR\Delta PQR में,

RQRP=sin60∘\frac{RQ}{RP}=sin60^{∘}

या 60l=32\frac{60}{l}=\frac{\sqrt{3}}{2} या 3l=60×2\sqrt{3}l=60 \times 2

या l=60×23=1203×33l=\frac{60 \times 2}{\sqrt{3}}=\frac{120}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर

=12033=403m=\frac{120\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3} m

[पतंग की ऊँचाई का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 6

अतः: डोरी की लम्बाई =40×1.732=40 \times 1.732

=69.28m=69.28 m उत्तर

प्रश्न 6. 1.5m1.5 m लम्बा एक लड़का 30m30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} से 60∘60^{∘} हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?

हल— माना कि ED=30mED=30 m भवन की ऊँचाई है और EC=1.5mEC=1.5 m लड़के की ऊँचाई है। विभिन्न स्थितियों में उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} है और यहाँ पर DC=DE−EC=30−1.5=28.5mDC=DE-EC=30-1.5=28.5 m ।

[लड़के का भवन की ओर चलना]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 7

समकोण ΔACD\Delta ACD में,

DCAC=tan30∘\frac{DC}{AC}=tan30^{∘} ∵tanθ=लम्बआधार∵tan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}

या 28.5x+y=13\frac{28.5}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या x+y=28.5×3mx+y=28.5 \times \sqrt{3} m ....(i)

अब, समकोण ΔBCD\Delta BCD में,

DCBC=tan60∘\frac{DC}{BC}=tan60^{∘}

या 28.5y=3\frac{28.5}{y}=\sqrt{3} या y=28.53y=\frac{28.5}{\sqrt{3}}

अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर

या y=28.53×33=28.5×33y=\frac{28.5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{28.5 \times \sqrt{3}}{3} ....(ii)

भवन की ओर चली गई दूरी =AB=AC−BC=AB=AC-BC

=(x+y)−y=(x+y)-y

=(28.5×3)−28.5×33m=(28.5 \times \sqrt{3})-\frac{28.5 \times \sqrt{3}}{3} m

[(i) और (ii) का प्रयोग करने से]

=28.51−133m=28.51-\frac{1}{3}\sqrt{3} m

=28.53−133m=28.5\frac{3-1}{3}\sqrt{3} m

=28.5×233m=193m=28.5 \times \frac{2}{3}\sqrt{3} m=19\sqrt{3} m

अतः, लड़के द्वारा भवन की ओर चली गई दूरी =193m=19\sqrt{3} m उत्तर

प्रश्न 7. भूमि के एक बिन्दु से एक 20m20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45∘45^{∘} और 60∘60^{∘} हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि BC=20mBC=20 m भवन की ऊँचाई है और DC=hmDC=h m संचार मीनार की ऊँचाई है। भवन के शिखर पर लगी संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45∘45^{∘} और 60∘60^{∘} है।

[संचार मीनार का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 8

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

ABBC=cot45∘\frac{AB}{BC}=cot45^{∘} ∵cotθ=आधारलम्ब∵cot \theta =\frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}}

या AB20=1\frac{AB}{20}=1

या AB=20mAB=20 m .... (i)

तथा, समकोण ΔABD\Delta ABD में,

ABBD=cot60∘\frac{AB}{BD}=cot60^{∘}

या AB20+h=13\frac{AB}{20+h}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या AB=(20)3AB=\frac{(20)}{\sqrt{3}} .... (ii)

(i) और (ii) से,

20=(20)320=\frac{(20)}{\sqrt{3}}

या 203=20+h20\sqrt{3}=20+h

या h=203−20h=20\sqrt{3}-20

या h=20(3−1)mh=20(\sqrt{3}-1) m

या =20(1.732−1)m=20(1.732-1) m

या h=20×0.732=14.64mh=20 \times 0.732=14.64 m

अतः संचार मीनार की ऊँचाई =20(3−1)m=14.64m=20(\sqrt{3}-1) m=14.64 m उत्तर

**8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6m1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45∘45^{∘} है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)**

हल—माना कि BC=hmBC=h m पेडस्टल की ऊँचाई है और CD=1.6mCD=1.6 m मूर्ति की ऊँचाई है। भूमि के बिन्दु से मूर्ति के शिखर और पेडस्टल के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60∘60^{∘} और 45∘45^{∘} हैं।

[Right-angled triangle ABC and ABD with common base AB, height BC=h, CD=1.6, angle CAB=45, angle DAB=60]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 9

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

ABBC=cot45∘\frac{AB}{BC}=cot45^{∘}

या ABh=1\frac{AB}{h}=1

या AB=hmAB=h m .... (i)

तथा समकोण ΔABD\Delta ABD में,

ABBD=cot60∘\frac{AB}{BD}=cot60^{∘}

या ABh+1.6=13\frac{AB}{h+1.6}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या AB=h+1.63AB=\frac{h+1.6}{\sqrt{3}} .... (ii)

(i) और (ii) से,

h=h+1.63h=\frac{h+1.6}{\sqrt{3}}

या 3h=h+1.6\sqrt{3}h=h+1.6

या (3−1)h=1.6(\sqrt{3}-1)h=1.6

या h=1.6(3)h=\frac{1.6}{(\sqrt{3})}

अंश तथा हर में (3)(\sqrt{3}) से गुणा करने पर

h=1.6×(3+1)(3−1)(3+1)h=\frac{1.6 \times (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}

=1.6×(3+1)(3)2−(1)2=\frac{1.6 \times (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}

=1.6×(3+1)3−1=\frac{1.6 \times (\sqrt{3}+1)}{3-1}

=1.6×(3+1)2=\frac{1.6 \times (\sqrt{3}+1)}{2}

=0.8×(3+1)m=0.8 \times (\sqrt{3}+1) m

अतः पेडस्टल की ऊँचाई =0.8×(3+1)m=0.8 \times (\sqrt{3}+1) m उत्तर

या पेडस्टल की ऊँचाई =0.8(1.732+1)=0.8(1.732+1)

=0.8×2.732≈2.20m=0.8 \times 2.732≈2.20 m उत्तर

**9. एक मीनार के पाद-बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। यदि मीनार 50m50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।**

हल—माना कि BC=50mBC=50 m मीनार की ऊँचाई है और AD=hmAD=h m भवन की ऊँचाई है। मीनार के पाद-बिन्दु से भवन के शिखर का और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} हैं।

[Right-angled triangle ABC with height 50m and triangle DAB with height h. Angles are 60° and 30° respectively.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 10

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

ABBC=cot60∘\frac{AB}{BC}=cot60^{∘}

या AB50=13\frac{AB}{50}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या AB=503AB=\frac{50}{\sqrt{3}} .... (i)

साथ ही, समकोण ΔDAB\Delta DAB में,

ABDA=cot30∘\frac{AB}{DA}=cot30^{∘}

या ABh=3\frac{AB}{h}=\sqrt{3}

या AB=h3AB=h\sqrt{3} .... (ii)

(i) और (ii) से,

503=h3\frac{50}{\sqrt{3}}=h\sqrt{3}

या 503×13=h\frac{50}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=h

या h=503=1623mh=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3} m

अतः, भवन की ऊँचाई =1623m=16\frac{2}{3} m उत्तर

**10. एक 80m80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60∘60^{∘} और 30∘30^{∘} हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।**

हल—माना कि BC=DE=hmBC=DE=h m दो बराबर खम्भों की ऊँचाई और बिन्दु AA अभीष्ट बिन्दु है जहाँ से दोनों खम्भों के उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} हैं।

[Two poles of height h at points D and B. Point A is on the line segment DB. Angles of elevation are 30° and 60°. Total distance DB = 80m.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 11

समकोण ΔADE\Delta ADE में,

EDDA=tan30∘\frac{ED}{DA}=tan30^{∘} ∵tanθ=लम्बआधार∵tan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}

या hx=13\frac{h}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या h=x3h=\frac{x}{\sqrt{3}} .... (i)

तथा समकोण ΔABC\Delta ABC में,

BCAB=tan60∘\frac{BC}{AB}=tan60^{∘} ∵tanθ=लम्बआधार∵tan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}

या h80−x=3\frac{h}{80-x}=\sqrt{3}

या h=(80−x)3h=(80-x)\sqrt{3} .... (ii)

(i) और (ii) से,

x3=(80−x)3\frac{x}{\sqrt{3}}=(80-x)\sqrt{3}

या x=(80−x)3×3x=(80-x)\sqrt{3} \times \sqrt{3}

या x=(80−x)3x=(80-x)3

या x=240−3xx=240-3x

या 4x=2404x=240

या x=2404=60mx=\frac{240}{4}=60 m

xx का मूल्य (i) में प्रतिस्थापित करने पर

h=603=603×33h=\frac{60}{\sqrt{3}}=\frac{60}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

(अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर)

=6033=203m=\frac{60\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3} m

अतः खम्भों की ऊँचाई =(20×1.732)m=34.64m=(20 \times 1.732) m=34.64 m

∴DA=x=60m∴DA=x=60 m

और AB=80−x=(80−60)m=20mAB=80-x=(80-60) m=20 m

अतः, खम्भे की ऊँचाई 34.64m34.64 m है और बिन्दु की खम्भों से दूरी क्रमशः 20m20 m और 60m60 m है। उत्तर

11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20m20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है। (देखिए आकृति)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

[A triangle ABC with height AB and base BC=x, and a point D such that DC=20m. Angle at C is 60 degrees and angle at D is 30 degrees.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 12

हल—माना कि BC=xmBC=x m नहर की चौड़ाई है और AB=hmAB=h m टीवी टॉवर की ऊँचाई है। भिन्न-भिन्न स्थितियों में टॉवर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} हैं।

[A right-angled triangle ABC with height AB=h, base BC=x, and a point D extending the base such that DC=20m. Angle at C is 60 degrees, angle at D is 30 degrees.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 13

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

ABBC=tan60∘\frac{AB}{BC}=tan60^{∘}

या hx=3\frac{h}{x}=\sqrt{3}

या h=3xh=\sqrt{3}x .... (i)

तथा समकोण ΔABD\Delta ABD में,

ABBD=tan30∘\frac{AB}{BD}=tan30^{∘}

या h20+x=13\frac{h}{20+x}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या h=20+x3h=\frac{20+x}{\sqrt{3}} .... (ii)

(i) और (ii) से,

3x=20+x3\sqrt{3}x=\frac{20+x}{\sqrt{3}}

या 3(3x)=20+x\sqrt{3}(\sqrt{3}x)=20+x

या 3x=20+x3x=20+x

या 2x=202x=20

या x=202=10x=\frac{20}{2}=10

xx का मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर

h=10(3)h=10(\sqrt{3})

=10×1.732=10 \times 1.732

h=17.32mh=17.32 m

अतः टीवी टॉवर की ऊँचाई 17.32m17.32 m है और नहर की चौड़ाई 10m10 m है। उत्तर

12. 7m7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है और इसके पाद का अवनमन कोण 45∘45^{∘} है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल—माना कि BD=hmBD=h m केबल टॉवर की ऊँचाई है और AE=7mAE=7 m भवन की ऊँचाई है। केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमशः 60∘60^{∘} और 45∘45^{∘} है।

[A building AE of height 7m and a tower BD of height h. A horizontal line from E meets BD at C. Angle at E is 60 degrees for point D, and angle at E is 45 degrees for point B.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 14

अर्थात् ∠DEC=60∘\angle DEC=60^{∘}

और ∠CEB=45∘\angle CEB=45^{∘}

BA∥EC,EA∥BCBA \parallel EC,EA \parallel BC

∴EA=BC=7m∴EA=BC=7 m

समकोण ΔBAE\Delta BAE में,

ABAE=cot45∘\frac{AB}{AE}=cot45^{∘}

या AB7=1\frac{AB}{7}=1

या AB=7mAB=7 m .... (i)

तथा समकोण ΔDCE\Delta DCE में,

ECDC=cot60∘\frac{EC}{DC}=cot60^{∘}

या ECh−7=13\frac{EC}{h-7}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या EC=h−73EC=\frac{h-7}{\sqrt{3}} .... (ii)

परन्तु AB=ECAB=EC (दिया है)

7=h−737=\frac{h-7}{\sqrt{3}} [(i) और (ii) के प्रयोग से]

या 73=h−77\sqrt{3}=h-7

या h=73+7=7(3+1)mh=7\sqrt{3}+7=7(\sqrt{3}+1) m

अतः केबल टॉवर की ऊँचाई =7(3+1)m=7(\sqrt{3}+1) m उत्तर

या h=7(1.732+1)=7(2.732)h=7(1.732+1)=7(2.732)

या h=19.124mh=19.124 m

अतः, केबल टॉवर की ऊँचाई =19.124m=19.124 m उत्तर

13. समुद्र-तल से 75m75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि CD=75mCD=75 m लाइट हाउस की ऊँचाई है और लाइट हाउस के शिखर के बिन्दु DD से दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} हैं।

[Geometry diagram showing lighthouse CD, two ships at A and B, angles of depression 30 and 45 degrees, distances x and y]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 15

समकोण ΔBCD\Delta BCD में,

BCCD=cot45∘\frac{BC}{CD}=cot45^{∘}

या y75=1\frac{y}{75}=1

या y=75my=75 m .... (i)

तथा समकोण ΔACD\Delta ACD में,

ACCD=cot30∘\frac{AC}{CD}=cot30^{∘}

या x+y75=3\frac{x+y}{75}=\sqrt{3}

या x+y=753x+y=75\sqrt{3}

या x+75=753x+75=75\sqrt{3} [(i) का प्रयोग करने पर]

या x=753−75x=75\sqrt{3}-75

या =75(3−1)m=75(\sqrt{3}-1) m

या =75(1.732−1)=75(1.732-1)

या =75(0.732)=75(0.732)

या x=54.90mx=54.90 m

अतः दो जहाजों के बीच की दूरी =75(3−1)m=75(\sqrt{3}-1) m या 54.90m54.90 m उत्तर

14. 1.2m1.2 m लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2m88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30∘30^{∘} हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

[Diagram showing a girl at A, balloon moving from E to D, heights 88.2m and 1.2m, angles 60 and 30 degrees]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 16

हल— माना कि 1.2m1.2 m लम्बी लड़की की स्थिति 'A' है। इस बिन्दु से विभिन्न दूरियों पर गुब्बारे के उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} हैं। साथ ही, BE=CD=87mBE=CD=87 m गुब्बारे की ऊँचाई है।

[Geometric representation of the balloon movement with coordinates and labels]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 17

समकोण ΔABE\Delta ABE में,

ABBE=cot60∘\frac{AB}{BE}=cot60^{∘}

या x87=13\frac{x}{87}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या x=873mx=\frac{87}{\sqrt{3}} m .... (i)

तथा समकोण ΔACD\Delta ACD में,

ACCD=cot30∘\frac{AC}{CD}=cot30^{∘}

या x+y87=3\frac{x+y}{87}=\sqrt{3}

या x+y=873x+y=87\sqrt{3} .... (ii)

या 873+y=873\frac{87}{\sqrt{3}}+y=87\sqrt{3} [(i) का प्रयोग करने पर]

या y=873−873y=87\sqrt{3}-\frac{87}{\sqrt{3}}

या y=873−13y=87\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}

या y=873−13×33y=87\frac{3-1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर

या y=87×2×33y=\frac{87 \times 2 \times \sqrt{3}}{3}

या y=583my=58\sqrt{3} m

अतः, इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी =583m=58\sqrt{3} m उत्तर

15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30∘30^{∘} के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छ: सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60∘60^{∘} हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि CD=hmCD=h m मीनार की ऊँचाई है तथा 'A' कार की प्रारम्भिक स्थिति है और छ: सेकण्ड के बाद कार B पर पहुँच जाती है। A और B पर कार के अवनमन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} हैं।

पुनः माना कि कार की चाल vv मीटर प्रति सेकण्ड है।

[A right-angled triangle ACD with a vertical tower CD of height h. Point A is the starting position, B is the position after 6 seconds. Angles of depression from top D are 30° at A and 60° at B.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 18

∵∵ दूरी == चाल ×\times समय

AB=AB= कार द्वारा 6 सेकण्ड में तय की गई दूरी

AB=6vमीटरAB=6v \text{मीटर}

तथा कार द्वारा मीनार तक पहुँचने में लिया गया समय ' nn ' सेकण्ड है।

∴BC=nvमीटर∴BC=nv \text{मीटर}

समकोण ΔACD\Delta ACD में,

CDAC=tan30∘\frac{CD}{AC}=tan30^{∘}

या h6v+nv=13\frac{h}{6v+nv}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या h=6v+nv3h=\frac{6v+nv}{\sqrt{3}} .... (i)

तथा समकोण ΔBCD\Delta BCD में,

CDBC=tan60∘\frac{CD}{BC}=tan60^{∘}

या hnv=3\frac{h}{nv}=\sqrt{3}

या h=nv(3)h=nv(\sqrt{3}) .... (ii)

(i) और (ii) से,

6v+nv3=nv(3)\frac{6v+nv}{\sqrt{3}}=nv(\sqrt{3})

या 6v+nv=nv(3×3)6v+nv=nv(\sqrt{3} \times \sqrt{3})

या 6v+nv=3nv6v+nv=3nv या 6v=2nv6v=2nv

या n=6v2v=3n=\frac{6v}{2v}=3

अतः: मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय =3सेकण्ड=3 \text{सेकण्ड} उत्तर

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, सूत्र एवं प्रमेय (Key Formulas & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र, परिभाषाएं, प्रमेय, नियम एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

मुख्य बिन्दु

1. दृष्टि-रेखा प्रेक्षक की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु के बिन्दु को मिलाने वाली रेखा होती है।

2. पूरक कोण-ऐसे दो कोण जिनके माप का योगफल 90∘90^{∘} के बराबर हो, तो वे एक-दूसरे के पूरक कोण कहलाते हैं।

3. एकान्तर कोण-यदि दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है तो दोनों रेखाओं के अन्दर तिर्यक रेखा के विपरीत दिशा में बने कोण एकान्तर कोण कहलाते हैं।

4. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)-जब भी कोई व्यक्ति/दर्शक अथवा अन्वेषक अपनी आँख से स्वाभाविक क्षैतिज तल से ऊपर की ओर स्थित वस्तु को देखता है, उस वक्त उस व्यक्ति की आँख के स्वाभाविक क्षैतिज तल और देखी जाने वाली वस्तु के मध्य जो कोण बनता है उसे उन्नयन कोण (Angle of Elevation) कहते हैं। जैसे-

यदि PP उड़ती हुई पतंग को जब उड़ाने वाला देखता है तो उसकी आँख का स्वाभाविक तल अर्थात् क्षैतिज अक्ष 'OX' होगा और PMPM पतंग की क्षैतिज अक्ष 'OX' से ऊर्ध्वाधर दूरी तथा OPOP आँख से पतंग तक की सीधी दूरी कहलाएगी।

[समकोण त्रिभुज OMP जिसमें O पर कोण θ है, P शीर्ष पर है और M आधार पर है।]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 19

इस प्रकार एक समकोण त्रिभुज OMPOMP आकृति बनती है। जहाँ ∠PMO=90∘\angle PMO=90^{∘} (समकोण) तथा ∠POM=θ\angle POM= \theta उन्नयन कोण कहलाएगा। उन्नयन कोण क्षैतिज से ऊपर की ओर नापे जाते हैं। अर्थात् देखी गई वस्तु का उन्नयन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है जबकि यह क्षैतिज स्तर से ऊपर होता है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें सिर को ऊपर उठाना पड़ता है।

और फिर समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए त्रिकोणमिति की सहायता से OPOP , OMOM या PMPM दूरी ज्ञात करना सम्भव हो जाता है।

5. अवनमन कोण (Angle of Depression)-जब कोई व्यक्ति स्वयं उच्च तल पर हो और आँख के स्वाभाविक क्षैतिज तल से नीचे स्थापित किसी वस्तु को नेत्र से देखता है, अर्थात् जब वस्तु को देखने के लिए व्यक्ति को नीचे की ओर देखना पड़ता है, उस अवस्था में आँख के स्वाभाविक क्षैतिज तल और वस्तु के मध्य जो कोण बनता है उसे अवनमन कोण कहते हैं।

[O से नीचे की ओर जाती हुई दृष्टि रेखा P तक, क्षैतिज रेखा OX के साथ अवनमन कोण बनाती है।]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 20

जैसे-जब कोई दर्शक जो बिन्दु OO पर स्थित है, बिन्दु PP को देखता है तो दृश्य रेखा OPOP तथा क्षैतिज रेखा OXOX के बीच का कोण ∠XOP\angle XOP , PP का OO के सापेक्ष अवनमन कोण कहलाता है। देखी गई वस्तु का अवनमन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है जबकि क्षैतिज रेखा क्षैतिज स्तर से नीचे होती है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें सिर को झुकाना पड़ता है।

6. ** OO का PP के सापेक्ष उन्नयन कोण = PP का OO के सापेक्ष अवनमन कोण**

जैसा कि दिए गए चित्र में दर्शाया गया है कि अवनमन कोण व उन्नयन कोण बराबर हैं।

[दो समानांतर क्षैतिज रेखाओं के बीच अवनमन कोण और उन्नयन कोण का संबंध।]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 21

7. त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लम्बाई या दो सुदूर वस्तुओं के बीच की दूरी ज्ञात की जा सकती है।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs), अतिलघूत्तरात्मक, लघूत्तरात्मक एवं निबंधात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न—

1. एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की परछाई, खम्भे की ऊँचाई के बराबर है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा-

(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025; मॉडल पेपर 2024-25)

(A) 45∘45^{∘} (B) 30∘30^{∘} (C) 60∘60^{∘} (D) 50∘50^{∘}
(A) 30∘30^{∘} (B) 45∘45^{∘} (C) 60∘60^{∘} (D) 90∘90^{∘}

प्रश्न 3. 1010 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की छाया 10310\sqrt{3} मीटर लम्बी हो, तो सूर्य का उन्नतांश कोण है-

(A) 90∘90^{∘} (B) 60∘60^{∘} (C) 45∘45^{∘} (D) 30∘30^{∘}
(A) 90∘90^{∘} (B) 60∘60^{∘} (C) 45∘45^{∘} (D) 30∘30^{∘}

प्रश्न 5. एक पहाड़ी का ढलान क्षैतिज से 60∘60^{∘} कोण बनाता है। यदि शिखर तक पहुँचने में 500500 मीटर चलना पड़ता है, तो पहाड़ी की ऊँचाई है-

(A) 5003500\sqrt{3} मीटर (B) 5003\frac{500}{\sqrt{3}} मीटर (C) 2503250\sqrt{3} मीटर (D) 2503\frac{250}{\sqrt{3}} मीटर
(A) 30∘30^{∘} (B) 45∘45^{∘} (C) 75∘75^{∘} (D) 60∘60^{∘}

प्रश्न 7. 5050 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ के शिखर से किसी नाव का अवनमन कोण 60∘60^{∘} है। नाव की प्रकाश स्तम्भ से दूरी होगी-

(A) 50350\sqrt{3} मीटर (B) 503\frac{50}{\sqrt{3}} मीटर (C) 50×350 \times 3 मीटर (D) 5050 मीटर
(A) 30∘30^{∘} (B) 60∘60^{∘} (C) 45∘45^{∘} (D) 90∘90^{∘}

प्रश्न 9. 66 मीटर ऊँचे एक खम्भे की छाया 232\sqrt{3} मीटर लम्बी हो तो सूर्य का उन्नतांश कोण है-

(A) 60∘60^{∘} (B) 45∘45^{∘} (C) 30∘30^{∘} (D) 90∘90^{∘}
(A) 45∘45^{∘} (B) 30∘30^{∘} (C) 60∘60^{∘} (D) 90∘90^{∘}

प्रश्न 11. एक मीनार का उसके तल से 100100 मी. की दूरी पर उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है तो मीनार की ऊँचाई है-

(A) 503\frac{50}{\sqrt{3}} मी. (B) 50350\sqrt{3} मी. (C) 1003\frac{100}{\sqrt{3}} मी. (D) 1003100\sqrt{3} मी.
(A) 30∘30^{∘} (B) 45∘45^{∘} (C) 60∘60^{∘} (D) 90∘90^{∘}

प्रश्न 13. एक समतल भूमि पर 77 मी. व 1212 मी. लम्बाई के दो खम्भे लगे हैं। यदि उनके तल से परस्पर दूरी 1212 मी. है तो उनके शीर्ष से परस्पर दूरी कितनी होगी?

(A) 1313 मी. (B) 1919 मी. (C) 1717 मी. (D) 1515 मी.
(A) 15315\sqrt{3} मी. (B) 1532\frac{15\sqrt{3}}{2} मी. (C) 152\frac{15}{2} मी. (D) 1515 मी.

प्रश्न 15. एक मीनार की ऊँचाई 1003100\sqrt{3} मी. है। मीनार की तली से 100100 मी. की दूरी पर स्थित एक बिन्दु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण होगा-

(A) 30∘30^{∘} (B) 45∘45^{∘} (C) 60∘60^{∘} (D) 90∘90^{∘}
(A) 1003100\sqrt{3} मी. (B) 50350\sqrt{3} मी. (C) 1003\frac{100}{\sqrt{3}} मी. (D) 5050 मी.

प्रश्न 17. किसी समय एक 66 मी. ऊँचे व्यक्ति की परछाई 232\sqrt{3} मी. लम्बी है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण होगा-

(A) 15∘15^{∘} (B) 30∘30^{∘} (C) 45∘45^{∘} (D) 60∘60^{∘}
(A) 15∘15^{∘} (B) 30∘30^{∘} (C) 45∘45^{∘} (D) 60∘60^{∘}

प्रश्न 19. 2020 मी. व 1414 मी. ऊँचे दो खम्भों के ऊपरी सिरों से एक तार बँधा हुआ है। अगर तार क्षैतिज के साथ...

30∘30^{∘} का कोण बनाता है तो तार की लम्बाई है-

(A) 1212 मी. (B) 1010 मी.
(C) 88 मी. (D) 66 मी.

प्रश्न 20. दीवार के सहारे टिकी हुई एक सीढ़ी जमीन से 60∘60^{∘} का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी दीवार से 12.512.5 मीटर दूरी पर है तो सीढ़ी की लम्बाई है-

(A) 1515 मी. (B) 2020 मी.
(C) 2525 मी. (D) 3030 मी.

प्रश्न 21. एक खम्भे की परछाई की लम्बाई 22 मीटर है जब सूर्य का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है तो खम्भे की लम्बाई है-

(A) 22 मी. (B) 232\sqrt{3} मी.
(C) 33 मी. (D) 323\sqrt{2} मी.

प्रश्न 22. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है, तो मीनार की ऊँचाई है- (प्रश्न बैंक)

(A) 1003100\sqrt{3} मीटर (B) 1003\frac{100}{\sqrt{3}} मीटर
(C) 50350\sqrt{3} मीटर (D) 2003\frac{200}{\sqrt{3}} मीटर

प्रश्न 23. 1010 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30∘30^{∘} है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी है- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2024-25)

(A) 10310\sqrt{3} मीटर (B) 103\frac{10}{\sqrt{3}} मीटर
(C) 1010 मीटर (D) 535\sqrt{3} मीटर

प्रश्न 24. एक नदी के ऊपर एक पुल नदी के तट के साथ 45∘45^{∘} का कोण बनाता है। यदि नदी के ऊपर पुल की लम्बाई 150150 मीटर हो तो नदी की चौड़ाई होगी-

(A) 7575 मीटर (B) 50250\sqrt{2} मीटर
(C) 150150 मीटर (D) 75275\sqrt{2} मीटर

प्रश्न 25. यदि किसी मीनार के आधार से aa तथा bb ( a>ba>b ) दूरी पर उसी सरल रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} व 60∘60^{∘} हो तो मीनार की ऊँचाई है-

(A) a+b\sqrt{a+b} (B) a−b\sqrt{a-b}
(C) ab\sqrt{ab} (D) ab\sqrt{\frac{a}{b}}

प्रश्न 26. 2525 मीटर ऊँचे एक स्तम्भ के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण तथा मीनार के पाद का अवनमन कोण समान हो तो मीनार की ऊँचाई है-

(A) 2525 मीटर (B) 100100 मीटर
(C) 7575 मीटर (D) 5050 मीटर

प्रश्न 27. किसी मीनार की छाया इसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा- (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24, 2024-25; प्रश्न बैंक)

(A) 30∘30^{∘} (B) 60∘60^{∘} (C) 45∘45^{∘} (D) 90∘90^{∘}
(A) छोटा (B) बड़ा
(C) बराबर (D) छोटा या बड़ा दोनों

प्रश्न 29. 55 मीटर ऊँची एक मीनार से पृथ्वी पर स्थित किसी बिन्दु का अवनमन कोण 30∘30^{∘} हो तो बिन्दु मीनार से कितनी दूरी पर स्थित होगा- (प्रश्न बैंक)

(A) 55 मीटर (B) 1010 मीटर
(C) 535\sqrt{3} मीटर (D) 10310\sqrt{3} मीटर

उत्तरमाला

1. (A)

2. (A)

3. (D)

4. (B)

5. (C)

6. (D)

7. (B)

8. (B)

9. (A)

10. (B)

11. (C)

12. (A)

13. (A)

14. (C)

15. (C)

16. (A)

17. (D)

18. (B)

19. (A)

20. (C)

21. (B)

22. (A)

23. (A)

24. (D)

25. (C)

26. (D)

27. (C)

28. (C)

29. (C)

 

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

1. प्रेक्षक की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु को मिलाने वाली रेखा .................... कहलाती है। (प्रश्न बैंक)

2. जब कोई वस्तु आँख से ऊपर हो, तो दृष्टि रेखा द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण .................... कहलाता है।

3. जब कोई वस्तु आँख से नीचे हो, तो दृष्टि रेखा, क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है, उसे .................... कहते हैं।

4. ऐसे दो कोण जिनके माप का योगफल 90∘90^{∘} के बराबर हो, तो वे एक-दूसरे के .................... कहलाते हैं।

5. किसी खम्भे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ............... डिग्री होगा।

6. यदि एक तिर्यक छेदी रेखा दो समान्तर रेखाओं को काटे तो एकान्तर कोणों का प्रत्येक जोड़ा ............... होता है।

7. उन्नयन कोण व अवनमन कोण सदैव ............... कोण होते हैं। (प्रश्न बैंक)

8. वह रेखा जो प्रेक्षक की आँख से सीधी पृथ्वी के समान्तर जाती है, उसे ............... रेखा कहते हैं।

9. किसी मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ............... होगा।

10. 66 मीटर ऊँचे एक खम्भे की छाया 232\sqrt{3} मीटर लम्बी हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ............... होगा।

11. जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर उठाकर ऊपर की ओर देखता है तो वस्तु आँख से ............... कोण बनाती है। (प्रश्न बैंक)

उत्तर— 1. दृष्टि रेखा 2. उन्नयन कोण 3. अवनमन कोण 4. पूरक कोण 5. 45∘45^{∘} 6. बराबर 7. न्यून 8. क्षैतिज 9. 45∘45^{∘} 10. 60∘60^{∘} 11. अवनमन

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. 33 मीटर ऊँचे खम्भे की परछाई की लम्बाई 33 मीटर है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिये।

हल—

tanθ=33=1tan \theta =\frac{3}{3}=1

∴θ=45∘∴ \theta =45^{∘} उत्तर

प्रश्न 2. दी गई आकृति में कोण θ\theta का मान ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023)

[समकोण त्रिभुज ABC जहाँ AB = 10√(3) मी., BC = 10 मी., ∠ A = θ]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 22

हल—

tanθ=10103tan \theta =\frac{10}{10\sqrt{3}}

=13=\frac{1}{\sqrt{3}}

∴θ=30∘∴ \theta =30^{∘} उत्तर

प्रश्न 3. चित्र के अनुसार ' xx ' का मान लिखिए-

[समकोण त्रिभुज ABC जहाँ AB = 6√(3) मी., BC = x, ∠ C = 30°]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 23

हल—

tan30∘=x63tan30^{∘}=\frac{x}{6\sqrt{3}}

अतः: x=63×tan30∘x=6\sqrt{3} \times tan30^{∘}

=63×13=6\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}

=6=6 मीटर उत्तर

प्रश्न 4. सूर्य के उन्नयन कोण में वृद्धि ( 0∘0^{∘} से 90∘90^{∘} तक) होने से किसी स्तम्भ की परछाई की लम्बाई में क्या परिवर्तन होता है? लिखिए।

उत्तर— परछाई की लम्बाई कम होती जाएगी।

प्रश्न 5. एक चिमनी के आधार से 200200 मीटर दूरी पर से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—

tan60∘=x200tan60^{∘}=\frac{x}{200} या x=200×3x=200 \times \sqrt{3}

अतः: x=200×1.732=346.4x=200 \times 1.732=346.4 मीटर उत्तर

प्रश्न 6. 2020 मीटर ऊँचे नदी के पुल से एक नाव का अवनमन कोण 30∘30^{∘} है। नाव को पुल के नीचे में कितनी दूरी चलना होगा? (प्रश्न बैंक) (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023-24)

हल—

tan30∘=20xtan30^{∘}=\frac{20}{x} ( ∵tan30∘=13∵tan30^{∘}=\frac{1}{\sqrt{3}} )

13=20x\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{20}{x} या x=203x=20\sqrt{3} मीटर उत्तर

x=20×1.732x=20 \times 1.732

x=34.64x=34.64 मीटर उत्तर

प्रश्न 7. टेलीफोन के खम्भे की भूमि से ऊँचाई 1717 मीटर है। उसके ऊपरी सिरे से बंधा हुआ तार भूमि से 45∘45^{∘} का कोण बनाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल—

sin45∘=17xsin45^{∘}=\frac{17}{x} ( ∵sin45∘=12∵sin45^{∘}=\frac{1}{\sqrt{2}} )

∴12=17x∴\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{17}{x} या x=172=17×1.414x=17\sqrt{2}=17 \times 1.414

=24.04=24.04 मीटर उत्तर

प्रश्न 8. एक समय एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो जाती है, तो उन्नयन कोण ज्ञात कीजिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2023)

हल— दिया है AB=BCAB=BC

तब tanθ=ABBCtan \theta =\frac{AB}{BC}

tanθ=ABAB=1tan \theta =\frac{AB}{AB}=1

tanθ=tan45∘tan \theta =tan45^{∘}

θ=45∘\theta =45^{∘} अतः अभीष्ट उन्नयन कोण =45∘=45^{∘} उत्तर

[Right angled triangle ABC with angle at C as θ, AB as height (मीनार) and BC as base (मीनार की छाया)]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 24

प्रश्न 9. 10 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30∘30^{∘} है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी कितनी होगी? (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— माना बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी xx मीटर है तब

tan30∘=BCABtan30^{∘}=\frac{BC}{AB}

13=10x\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x}

x=103=10×1.732=17.32x=10\sqrt{3}=10 \times 1.732=17.32 मीटर

अतः बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी 17.3217.32 मीटर होगी।

[Right angled triangle ABC with angle at C as 30° (अवनमन कोण), BC as height (10 मीटर मीनार) and AB as base (x)]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 25

प्रश्न 10. एक उर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1:31:\sqrt{3} हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023)

हल— माना सूर्य का उन्नयन कोण θ\theta है।

tanθ=BCABtan \theta =\frac{BC}{AB}

tanθ=13tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}

∵∵ लम्बाई : छाया =1:3=1:\sqrt{3}

tanθ=tan30∘tan \theta =tan30^{∘}

∴θ=30∘∴ \theta =30^{∘}

अतः सूर्य का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} होगा।

[Right angled triangle ABC with angle at A as θ, BC as height (छड़) and AB as base (छाया)]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 26

प्रश्न 11. 6 मीटर ऊँचे एक खम्भे की छाया 232\sqrt{3} मीटर लम्बी हो तो सूर्य का उन्नतांश कोण ज्ञात कीजिये। (प्रश्न बैंक; माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023-24)

हल— tanθ=लम्बआधार=BCABtan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}=\frac{BC}{AB}

tanθ=623tan \theta =\frac{6}{2\sqrt{3}}

tanθ=33=3×33tan \theta =\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

tanθ=3tan \theta =\sqrt{3}

tanθ=tan60∘tan \theta =tan60^{∘}

∴θ=60∘∴ \theta =60^{∘}

अतः सूर्य का उन्नतांश कोण =60∘=60^{∘} होगा। उत्तर

[Right angled triangle ABC with angle at A as θ, BC as height (6 मीटर खम्भा) and AB as base (2√(3) मीटर छाया)]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 27

प्रश्न 12. एक उर्ध्वाधर खम्भे की परछाई खम्भे की ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल— tanθ=लम्बआधारtan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}

tanθ=BCABtan \theta =\frac{BC}{AB}

tanθ=xxtan \theta =\frac{x}{x}

tanθ=1tan \theta =1

∴θ=45∘∴ \theta =45^{∘} उत्तर

[Right angled triangle ABC with angle at A as θ, BC as height (x मीटर ऊँचाई) and AB as base (x मीटर परछाई)]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 28

प्रश्न 13. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी पर स्थित एक बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल—माना मीनार की ऊँचाई hh मीटर है।

AB=100AB=100 मीटर दिया है।

[समकोण त्रिभुज ABC, कोण B=90, कोण A=60, आधार AB=100, लम्ब BC=h]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 29

∴tan60∘=BCAB∴tan60^{∘}=\frac{BC}{AB}

3=h100\sqrt{3}=\frac{h}{100}

∴h=1003=100×1.732=173.2∴h=100\sqrt{3}=100 \times 1.732=173.2 मीटर

अतः मीनार की ऊँचाई 173.2173.2 मीटर होगी। उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. 1212 मीटर लम्बी एक सीढ़ी, एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुँचती है। यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60∘60^{∘} का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2025)

हल—माना दीवार की ऊँचाई hh मीटर है।

[समकोण त्रिभुज, कर्ण=12, कोण=60, लम्ब=h]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 30

cos60∘=h12cos60^{∘}=\frac{h}{12}

⇒12=h12⇒\frac{1}{2}=\frac{h}{12}

⇒h=122=6⇒h=\frac{12}{2}=6 मीटर उत्तर

प्रश्न 2. एक वृक्ष पृथ्वी से 44 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30∘30^{∘} का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—यहाँ BCBC पेड़ का टूटा हुआ भाग है।

[समकोण त्रिभुज, लम्ब=4, कोण B=30]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 31

अतः: sin30∘=ACBCsin30^{∘}=\frac{AC}{BC}

BC=ACsin30∘BC=\frac{AC}{sin30^{∘}}

=412=8=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8 मीटर

अतः वृक्ष की कुल ऊँचाई (AC+BC)=4+8=12(AC+BC)=4+8=12 मीटर उत्तर

प्रश्न 3. एक मकान की छत से मैदान में पड़े एक पत्थर का अवनमन कोण 60∘60^{∘} है। यदि पत्थर से छत की तिरछी दूरी 434\sqrt{3} मीटर हो तो मकान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—यहाँ AC=43AC=4\sqrt{3} मीटर

[समकोण त्रिभुज, लम्ब=x, कर्ण=4√(3), कोण C=60]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 32

माना AB=xAB=x मीटर

∴sinθ=ABAC=लम्बकर्ण∴sin \theta =\frac{AB}{AC}=\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}

∴sin60∘=x43∴sin60^{∘}=\frac{x}{4\sqrt{3}}

32=x43\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{4\sqrt{3}}

अतः: x=43×32=2×3=6x=\frac{4\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2}=2 \times 3=6 मीटर

अतः मकान की ऊँचाई =6=6 मीटर उत्तर

प्रश्न 4. किसी स्तम्भ की चोटी का उन्नतांश समतल पर स्थित एक बिन्दु से 15∘15^{∘} है। स्तम्भ की ओर 100100 मीटर चलने पर उन्नतांश 30∘30^{∘} हो जाता है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—माना कि स्तम्भ की चोटी CC का उन्नतांश कोण समतल पर बिन्दु OO से 15∘15^{∘} और बिन्दु AA से 30∘30^{∘} है, जहाँ OA=100OA=100 मी. है।

[A right-angled triangle OAC with height CB, angles marked as 15°, 30°, 150°]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 33

∵∠COB=15∘∵ \angle COB=15^{∘} और ∠CAB=30∘\angle CAB=30^{∘}

∴∠OCA=15∘∴ \angle OCA=15^{∘} और OA=AC=100OA=AC=100 मीटर

समकोण त्रिभुज CBACBA में,

sin30∘=BCACsin30^{∘}=\frac{BC}{AC}

∴BC=ACsin30∘∴BC=ACsin30^{∘}

=100×12=50=100 \times \frac{1}{2}=50 मी.

अतः स्तम्भ की ऊँचाई =50=50 मीटर उत्तर

प्रश्न 5. एक स्तम्भ के आधार से 4040 मीटर दूर स्थित बिन्दु पर स्तम्भ के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—माना कि स्तम्भ की ऊँचाई hh मीटर है।

समकोण त्रिभुज ABCABC से

[A right-angled triangle ABC with height h, base 40m, and angle 60° at C]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 34

tanθ=लम्बआधार=ABBCtan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}=\frac{AB}{BC}

या tan60∘=h40tan60^{∘}=\frac{h}{40}

या 31=h40\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{h}{40}

या h=40×3h=40 \times \sqrt{3}

=40×1.732=69.280=40 \times 1.732=69.280

∴h=69.28∴h=69.28 मीटर

अतः स्तम्भ की ऊँचाई =69.28=69.28 मीटर उत्तर

प्रश्न 6. 1.51.5 m लम्बा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.528.5 m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45∘45^{∘} है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।

( माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर 2024-25; प्रश्न बैंक )

हल—यहाँ ABAB चिमनी है, CDCD प्रेक्षक है और ∠ADE\angle ADE उन्नयन कोण है (देखिए आकृति)। यहाँ ADEADE एक त्रिभुज है जिसमें कोण EE समकोण है और हमें चिमनी की ऊँचाई ज्ञात करनी है।

[A chimney AB with an observer CD, forming a triangle ADE at the top]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 35

यहाँ AB=AE+BE=(AE+1.5)AB=AE+BE=(AE+1.5) m

∵BE=CD=1.5∵BE=CD=1.5 m

और DE=CB=28.5DE=CB=28.5 m

AEAE ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसा त्रिकोणमिति अनुपात लेना चाहिए जिसमें AEAE और DEDE दोनों हों। अतः

tan45∘=AEDEtan45^{∘}=\frac{AE}{DE}

अर्थात् 1=AE28.51=\frac{AE}{28.5}

इसलिए AE=28.5AE=28.5

अतः चिमनी की ऊँचाई (AB)=(28.5+1.5)(AB)=(28.5+1.5) m

=30=30 m उत्तर

प्रश्न 7. धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 1515 m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

हल—चित्र में ABAB मीनार को निरूपित करता है, CBCB मीनार से बिन्दु की दूरी है और ∠ACB\angle ACB उन्नयन कोण है। हम मीनार की ऊँचाई अर्थात् ABAB ज्ञात करना चाहते हैं और, यहाँ ACBACB एक त्रिभुज है जो BB पर समकोण है।

अब हम त्रिकोणमितीय अनुपात tan60∘tan60^{∘} (या cot60∘cot60^{∘} ) लेते हैं, क्योंकि इस अनुपात में ABAB और BCBC दोनों होते हैं।

=4(1+3)m=4(1+\sqrt{3}) m

अतः नदी की चौड़ाई =4(1+3)m=4(1+\sqrt{3}) m उत्तर

[A tower with a guy wire attached to the top, forming a 60-degree angle with the ground at a distance of 15m from the base.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 36

∴tan60∘=ABBC∴tan60^{∘}=\frac{AB}{BC}

अर्थात् 3=AB15\sqrt{3}=\frac{AB}{15}

अर्थात् AB=153AB=15\sqrt{3}

मीनार की ऊँचाई =153m=15\sqrt{3} m उत्तर

प्रश्न 8. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} है। यदि पुल किनारों से 44 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न बैंक)

हल— माना आकृति में AA और BB नदी के सम्मुख किनारों के बिन्दुओं को प्रकट करते हैं जिससे कि ABAB नदी की चौड़ाई है। 4m4 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिन्दु PP है अर्थात् DP=4mDP=4 m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ΔAPB\Delta APB की भुजा ABAB की लम्बाई है।

[A bridge point P above a river with points A and B on opposite banks. Angles of depression are 30 and 45 degrees.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 37

अब AB=AD+DBAB=AD+DB

समकोण ΔAPD\Delta APD में ∠A=30∘\angle A=30^{∘}

अतः: tan30∘=PDADtan30^{∘}=\frac{PD}{AD}

अर्थात् 13=4AD\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{AD} या AD=43mAD=4\sqrt{3} m

अतः समकोण ΔPBD\Delta PBD में ∠B=45∘\angle B=45^{∘} है।

∴BD=PD=4m∴BD=PD=4 m

अब AB=BD+AD=4+43AB=BD+AD=4+4\sqrt{3}

प्रश्न 9. दो खम्भों के शीर्ष, जिनकी ऊँचाई 2020 मीटर तथा 1414 मीटर हैं, एक तार से जुड़े हुये हैं। यदि तार क्षैतिज रेखा के साथ 30∘30^{∘} का कोण बनाता है, तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (तार सरल रेखीय रूप में जुड़ा हुआ है) (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2024)

हल— चित्रानुसार BC=CE−BEBC=CE-BE

BC=20−14=6मीटरBC=20-14=6 \text{मीटर}

∴BE=AD∴BE=AD

AD=14दियाहै।AD=14 \text{दिया} \text{है।}

[Two vertical poles of heights 14m and 20m connected by a wire of length x, forming a 30-degree angle with the horizontal.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 38

समकोण ΔABC\Delta ABC में

sin30∘=लम्बकर्णsin30^{∘}=\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}

12=BCAC\frac{1}{2}=\frac{BC}{AC}

12=6AC\frac{1}{2}=\frac{6}{AC} ∴AC=12मीटर∴AC=12 \text{मीटर}

अतः तार की लम्बाई =12मीटर=12 \text{मीटर} उत्तर

प्रश्न 10. एक निश्चित समय पर एक पेड़ की छाया 1515 मीटर है तथा पेड़ की ऊँचाई 535\sqrt{3} मीटर, तो उन्नयन कोण ज्ञात करो। (प्रश्न बैंक)

हल—

[A right-angled triangle representing a tree of height 5√(3) and shadow 15m, with angle θ.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 39

tanθ=5315tan \theta =\frac{5\sqrt{3}}{15}

⇒tanθ=13⇒θ=30∘⇒tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}⇒ \theta =30^{∘} उत्तर

प्रश्न 11. एक वृक्ष हवा से इस प्रकार टूटता है कि वह भूमि को अपने पाद से 20 मीटर की दूरी पर स्पर्श करता है तथा भूमि के साथ 45∘45^{∘} का कोण बनाता है। टूटने से पूर्व वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

हल—

[Right angled triangle with base 20m, angle 45 degrees, height x, hypotenuse y]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 40

tan45∘=x20⇒x=20tan45^{∘}=\frac{x}{20}⇒x=20 मीटर

cos45∘=20ycos45^{∘}=\frac{20}{y}

⇒y=2012=28.28⇒y=\frac{20}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=28.28 मीटर

टूटने से पूर्व वृक्ष की ऊँचाई =x+y=x+y

=20+28.28=48.28=20+28.28=48.28 मीटर उत्तर

प्रश्न 12. एक समतल जमीन पर 1.5 मीटर लम्बे छत्र की छाया की लम्बाई 1 मीटर है तथा उसी समय जमीन पर एक मीनार की छाया की लम्बाई 5 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

हल— माना मीनार की ऊँचाई hh मीटर है।

∴1.51=h5∴\frac{1.5}{1}=\frac{h}{5}

⇒h=1.5×5⇒h=1.5 \times 5

⇒h=7.5⇒h=7.5 मीटर उत्तर

प्रश्न 13. यदि एक खम्भे के आधार से 20 मीटर दूर स्थित प्लेटफार्म के एक बिन्दु से खम्भे की चोटी पर लगे हुए कैमरे का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

हल— माना खम्भे की ऊँचाई hh मीटर है।

[Right angled triangle with base 20m, angle 60 degrees, height h]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 41

∴tan60∘=h20∴tan60^{∘}=\frac{h}{20}

⇒h=20×tan60∘⇒h=20 \times tan60^{∘}

=20×3=20 \times \sqrt{3}

=34.64=34.64 मीटर

अतः खम्भे की ऊँचाई 34.64 मीटर है। उत्तर

प्रश्न 14. एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश 60∘60^{∘} से घटकर 30∘30^{∘} हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2023; मॉडल पेपर, 2023-24; प्रश्न बैंक )

[Two right triangles sharing a common height h, base segments x and 40m, angles 60 and 30 degrees]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 42

हल— माना कि AB की लम्बाई hh मीटर है और BC, xx मीटर है। प्रश्न के अनुसार DB, BC से 40 m अधिक लम्बा है।

अतः: DB=(40+x)DB=(40+x) m

यहाँ दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD हैं।

ΔABC\Delta ABC में tan60∘=ABBCtan60^{∘}=\frac{AB}{BC}

या 3=hx\sqrt{3}=\frac{h}{x} ....(i)

ΔABD\Delta ABD में tan30∘=ABBDtan30^{∘}=\frac{AB}{BD}

अर्थात् 13=hx+40\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+40} ....(ii)

(i) से, h=x3h=x\sqrt{3}

इस मान को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर

(x3)3=x+40(x\sqrt{3})\sqrt{3}=x+40

अर्थात् 3x=x+403x=x+40

अर्थात् x=20x=20

इसलिए h=203h=20\sqrt{3} [(i) से]

अतः मीनार की ऊँचाई =203=20\sqrt{3} m उत्तर

दीर्घउत्तरीय प्रश्न-

प्रश्न 1. किसी मीनार के आधार से होती हुई एक ही रेखा में दूरियों xx और yy पर स्थित बिन्दुओं से मीनार के सिरों से उन्नतांश कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिये कि मीनार की ऊँचाई xy\sqrt{xy} है।

हल— माना मीनार की ऊँचाई hh मीटर है। OB=xOB=x और AB=yAB=y

[Right-angled triangle ABC with height h, base 3m, hypotenuse x, and angle 60 degrees at C]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 43

अब समकोण त्रिभुज ABC से

tanθ=लम्बआधार=ABBCtan \theta =\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}=\frac{AB}{BC}

या tan60∘=h3tan60^{∘}=\frac{h}{3}

या 31=h3\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{h}{3}

∴h=3×3∴h=3 \times \sqrt{3}

=3×1.732=5.196=3 \times 1.732=5.196 मीटर

∴h=5.196∴h=5.196 मीटर

अतः सीढ़ी दीवार पर h=5.196h=5.196 मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है। उत्तर

[Right-angled triangle OCB with height h, base x, and angle theta at O and (90-theta) at A]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 44

अब समकोण त्रिभुज CBO में,

tanθ=BCOB=hxtan \theta =\frac{BC}{OB}=\frac{h}{x}

∴h=xtanθ∴h=xtan \theta ....(i)

पुनः समकोण त्रिभुज CBA

tan(90∘−θ)=hytan(90^{∘}- \theta )=\frac{h}{y}

h=ycotθh=ycot \theta

∵tan(90∘−θ)=cotθ∵tan(90^{∘}- \theta )=cot \theta ....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) का गुणा करने पर

h2=xtanθ×ycotθ=xyh^{2}=xtan \theta \times ycot \theta =xy

(∵tanθ×cotθ=1)(∵tan \theta \times cot \theta =1)

∴h=xy∴h=\sqrt{xy}

अतः मीनार की ऊँचाई = xy\sqrt{xy} है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 2. एक सीढ़ी ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी है कि इसका नीचे का सिरा क्षैतिज भूमि पर दीवार से 3 मीटर दूर है। यदि सीढ़ी भूमि से 60∘60^{∘} का कोण बनाए तो सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? सीढ़ी की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि सीढ़ी AC दीवार AB पर hh ऊँचाई तक पहुँचती है।

सीढ़ी की लम्बाई के लिए—माना कि सीढ़ी की लम्बाई xx मीटर है। अतः समकोण त्रिभुज ABC से

cosθ=आधारकर्ण=BCACcos \theta =\frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}=\frac{BC}{AC}

या cos60∘=3xcos60^{∘}=\frac{3}{x}

या 12=3x\frac{1}{2}=\frac{3}{x}

∴x=6∴x=6 मीटर

अतः सीढ़ी की लम्बाई = 6 मीटर होगी। उत्तर

प्रश्न 3. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} हैं। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल— आकृति में, A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिन्दुओं को प्रकट करते हैं, जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 3 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिन्दु P है अर्थात् DP=3DP=3 m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ΔAPB\Delta APB की भुजा AB की लम्बाई है।

[A bridge over a river with points A, D, B on the bank and P on the bridge. Angles of depression are 30° and 45°. Height PD = 3 m.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 45

अब AB=AD+DBAB=AD+DB

समकोण ΔAPD\Delta APD में, ∠A=30∘\angle A=30^{∘}

अतः: tan30∘=PDADtan30^{∘}=\frac{PD}{AD}

अर्थात् 13=3AD\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{AD} या AD=33AD=3\sqrt{3} मी.

अतः समकोण ΔPBD\Delta PBD में, ∠B=45∘\angle B=45^{∘} है। इसलिए

BD=PD=3BD=PD=3 मी.

अब AB=BD+AD=3+33AB=BD+AD=3+3\sqrt{3}

=3(1+3)=3(1+\sqrt{3}) मी.

इसलिए नदी की चौड़ाई =3(3+1)=3(\sqrt{3}+1) मी. उत्तर

प्रश्न 4. 1010 मी. ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है और उसके पाद का अवनमन कोण 45∘45^{∘} है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—माना कि टॉवर की ऊँचाई hh मी. है। टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} तथा पाद का अवनमन कोण 45∘45^{∘} है। अब ΔABD\Delta ABD में

BDAB=cot45∘\frac{BD}{AB}=cot45^{∘}

या BD10=1\frac{BD}{10}=1

या BD=10BD=10 मी. ....(i)

[A vertical tower CD of height h and a building AB of height 10 m. Angle of elevation from A to C is 60°, angle of depression from A to D is 45°.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 46

अब समकोण त्रिभुज AECAEC में

AEEC=cot60∘\frac{AE}{EC}=cot60^{∘}

या AEh−10=13\frac{AE}{h-10}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या AE=h−103AE=\frac{h-10}{\sqrt{3}} ....(ii)

परन्तु BD=AEBD=AE

∴10=h−103∴10=\frac{h-10}{\sqrt{3}} [(i) और (ii) के प्रयोग से]

या 103=h−1010\sqrt{3}=h-10

या h=103+10=10(3+1)h=10\sqrt{3}+10=10(\sqrt{3}+1) मी.

अतः टॉवर की ऊँचाई =10(3+1)=10(\sqrt{3}+1) मी. उत्तर

प्रश्न 5. एक मीनार के पाद से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। यदि मीनार की ऊँचाई 4848 मीटर है तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल—माना कि BC=48BC=48 मी. मीनार की ऊँचाई है और AD=hAD=h मी. भवन की ऊँचाई है। मीनार के पाद-बिन्दु से भवन के शिखर का और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 60∘60^{∘} हैं।

[A tower BC of height 48 m and a building AD of height h. Angle of elevation from B to D is 30°, angle of elevation from A to C is 60°.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 47

समकोण ΔABC\Delta ABC में,

ABBC=cot60∘\frac{AB}{BC}=cot60^{∘}

या AB48=13\frac{AB}{48}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या AB=483AB=\frac{48}{\sqrt{3}} ....(i)

साथ ही, समकोण ΔDAB\Delta DAB में,

ABDA=cot30∘\frac{AB}{DA}=cot30^{∘}

या ABh=3\frac{AB}{h}=\sqrt{3}

या AB=h3AB=h\sqrt{3} .... (ii)

(i) और (ii) से,

483=h3\frac{48}{\sqrt{3}}=h\sqrt{3}

या 483×13=h\frac{48}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=h

या h=483=16h=\frac{48}{3}=16 मीटर

अतः, भवन की ऊँचाई =16=16 मीटर उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. एक बिजली मिस्त्री को एक 55 m ऊँचे खम्भे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिये उसे खम्भे के शिखर से 1.31.3 m नीचे एक बिन्दु तक पहुँचना है। यहाँ पर पहुँचने के लिये प्रयुक्त सीढ़ी की लम्बाई कितनी होनी चाहिये जिससे कि क्षैतिज से 60∘60^{∘} के कोण से झुकने पर वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाये? और यह भी बताइये कि खम्भे का पाद-बिन्दु सीढ़ी के पाद-बिन्दु से कितनी दूरी पर होना चाहिये?

हल— बिजली मिस्त्री को खम्भे ADAD पर बिन्दु BB तक पहुँचना है।

[खम्भे AD का चित्र जिसमें B बिन्दु पर सीढ़ी BC लगी है]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 48

अतः: BD=AD−ABBD=AD-AB

=5−1.3=3.7=5-1.3=3.7 m

यहाँ पर BCBC सीढ़ी की लम्बाई को प्रकट करती है। हमें इसकी लम्बाई अर्थात् समकोण त्रिभुज BDCBDC का कर्ण ज्ञात करना है।

sin60∘=लम्बकर्ण=BDBCsin60^{∘}=\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}=\frac{BD}{BC}

⇒32=3.7BC⇒\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3.7}{BC}

∴BC=3.7×23∴BC=\frac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}

=3.7×21.732≃4.28=\frac{3.7 \times 2}{1.732}≃4.28 m (लगभग)

अर्थात् सीढ़ी की लम्बाई 4.284.28 m होनी चाहिये। अब

cot60∘=आधारलम्बcot60^{∘}=\frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}}

13=DCBD\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{DC}{BD}

अर्थात् DC=BD3=3.73DC=\frac{BD}{\sqrt{3}}=\frac{3.7}{\sqrt{3}}

DC=3.71.732=2.14DC=\frac{3.7}{1.732}=2.14 m (लगभग)

अतः उसे सीढ़ी के पाद को खम्भे से 2.142.14 m की दूरी पर रखना चाहिये।

प्रश्न 2. 100100 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ की चोटी से एक प्रेक्षक समुद्र में एक जहाज को ठीक अपनी ओर आते हुए देखता है। यदि जहाज का अवनमन कोण 30∘30^{∘} से बदलकर 45∘45^{∘} हो जाता है तो प्रेक्षक की इस अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल— माना ABAB एक प्रकाश स्तम्भ है जिसकी ऊँचाई 100100 मीटर है। माना जहाज DD से CC बिन्दु पर आ जाता है।

[प्रकाश स्तम्भ AB और जहाज की स्थिति D व C का चित्र]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 49

तब ∠XAD=30∘=∠ADB\angle XAD=30^{∘}= \angle ADB

तथा ∠XAC=45∘=∠ACB\angle XAC=45^{∘}= \angle ACB

समकोण त्रिभुज ABCABC में

tan45∘=100BCtan45^{∘}=\frac{100}{BC}

BC=1001=100BC=\frac{100}{1}=100 मीटर

∴BD=(CD+100)∴BD=(CD+100)

पुन: समकोण ΔABD\Delta ABD में

tan30∘=100DBtan30^{∘}=\frac{100}{DB}

13=100(CD)\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{100}{(CD)}

(CD+100)=3(100)(CD+100)=\sqrt{3}(100)

CD=1003−100=100(3−1)=100(1.732−1)CD=100\sqrt{3}-100=100(\sqrt{3}-1)=100(1.732-1)

CD=100×0.732=73.2CD=100 \times 0.732=73.2 मीटर

अतः जहाज द्वारा तय की गई दूरी =73.2=73.2 मीटर उत्तर

प्रश्न 3. क्षैतिज तल पर स्थित मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है और उसके शिखर पर 7 मीटर लम्बाई का एक ध्वज दण्ड लगा है। तल पर स्थित किसी बिन्दु से ध्वज दण्ड के आधार और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल— माना मीनार की ऊँचाई BD=hBD=h मीटर है। तथा ध्वज दण्ड की लम्बाई AD=7AD=7 मीटर है।

[Right-angled triangle with a tower BD and flagstaff AD on top. Angles of elevation from point C are 30° and 45°.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 50

समकोण ΔABC\Delta ABC से

ABBC=tan45∘\frac{AB}{BC}=tan45^{∘}

या h+7BC=1\frac{h+7}{BC}=1

∴BC=(h+7)∴BC=(h+7) मीटर ....(i)

तथा समकोण ΔDBC\Delta DBC से

DBBC=tan30∘\frac{DB}{BC}=tan30^{∘}

या hBC=13\frac{h}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}

∴BC=h3∴BC=h\sqrt{3} ....(ii)

समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने पर

h3=h+7h\sqrt{3}=h+7

या h(3−1)=7h(\sqrt{3}-1)=7

⇒h=73−1=71.732−1=70.732⇒h=\frac{7}{\sqrt{3}-1}=\frac{7}{1.732-1}=\frac{7}{0.732}

h=7000732=9.56h=\frac{7000}{732}=9.56 मीटर

∴∴ मीनार की ऊँचाई =9.56=9.56 मीटर उत्तर

प्रश्न 4. 4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60∘60^{∘} और 45∘45^{∘} हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि पहले हवाई जहाज (वायुयान) की ऊँचाई ACAC तथा दूसरे वायुयान की ऊँचाई BC=hBC=h मीटर है।

माना CD=xCD=x मीटर

[Two airplanes at heights AC and BC above point C, with angles of elevation 60° and 45° from point D.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 51

समकोण त्रिभुज ACDACD से

ACCD=tan60∘\frac{AC}{CD}=tan60^{∘}

⇒4000x=3∴4000=3x⇒\frac{4000}{x}=\sqrt{3}∴4000=\sqrt{3}x ....(i)

पुन: समकोण त्रिभुज BCDBCD से

hx=tan45∘\frac{h}{x}=tan45^{∘}

⇒h=x⋅1⇒h=x·1

⇒h=x⇒h=x ....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

h3=4000h\sqrt{3}=4000 मीटर

⇒h=40003×33⇒h=\frac{4000}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} मीटर

(अंश तथा हर में 3\sqrt{3} से गुणा करने पर)

=4000×33=\frac{4000 \times \sqrt{3}}{3} मीटर

दोनों वायुयानों के बीच लम्बवत् दूरी

=4000−400033=4000-\frac{4000\sqrt{3}}{3}

=4000×3−400033=\frac{4000 \times 3-4000\sqrt{3}}{3}

=4000(3−3)3=4000×(3−1.73)3=\frac{4000(3-\sqrt{3})}{3}=\frac{4000 \times (3-1.73)}{3}

=4000×1.273=4000×0.4233=\frac{4000 \times 1.27}{3}=4000 \times 0.4233

=1693.33=1693.33 मीटर उत्तर

प्रश्न 5. एक मीनार क्षैतिज तल पर खड़ी है। सूर्य के उन्नतांश कोण 30∘30^{∘} पर मीनार की छाया, सूर्य के उन्नतांश 60∘60^{∘} पर मीनार की छाया से 4545 मीटर अधिक है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल— माना मीनार की ऊँचाई AB=hAB=h मीटर है। अब BDBD मीनार की छाया है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 30∘30^{∘} है तथा BCBC भी मीनार की छाया है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 60∘60^{∘} है।

[Right-angled triangle ABD with C on BD. Angles at D and C are 30 and 60 degrees respectively. Height AB = h. Base segments DC = 45m, CB = x.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 52

यहाँ DC=45DC=45 मीटर तथा माना BC=xBC=x मीटर है।

∴BD=45+x∴BD=45+x मीटर

अब समकोण ΔABD\Delta ABD से

ABBD=tan30∘\frac{AB}{BD}=tan30^{∘}

या h45+x=13\frac{h}{45+x}=\frac{1}{\sqrt{3}}

∴3h=45+x∴\sqrt{3}h=45+x

⇒x=(h3−45)⇒x=(h\sqrt{3}-45) मीटर .... (i)

पुन: समकोण त्रिभुज ABCABC से

hx=tan60∘\frac{h}{x}=tan60^{∘}

या x=h3x=\frac{h}{\sqrt{3}} .... (ii)

समीकरण (i) व (ii) की समानता या तुलना करने पर

h3−45=h3h\sqrt{3}-45=\frac{h}{\sqrt{3}}

या 3h−453=h3h-45\sqrt{3}=h

या 2h=4532h=45\sqrt{3}

या h=22.5×1.732h=22.5 \times 1.732

अर्थात् =38.97=38.97 मीटर

अतः मीनार की ऊँचाई =38.97=38.97 मीटर उत्तर

प्रश्न 6. 100100 मीटर ऊँचाई पर एक मीनार की चोटी और उसके आधार से, एक चट्टान की चोटी के उन्नयन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} हैं। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल— माना चट्टान की ऊँचाई ABAB है तथा वह (h)(h) मीटर है और मीनार की ऊँचाई CDCD है तथा वह 100100 मीटर है।

[Two vertical lines AB (height h+100) and CD (height 100). Horizontal line from D to E on AB. Angles at D and C are 30 and 45 degrees.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 53

∴∠ADE=30∘∴ \angle ADE=30^{∘}

तथा ∠ACB=45∘\angle ACB=45^{∘}

समकोण त्रिभुज AEDAED से

hDE=tan30∘=13\frac{h}{DE}=tan30^{∘}=\frac{1}{\sqrt{3}}

∴DE=3h∴DE=\sqrt{3}h .... (i)

तथा समकोण त्रिभुज ABCABC से

h+100BC=tan45∘\frac{h+100}{BC}=tan45^{∘}

या h+100DE=1\frac{h+100}{DE}=1 (∵DE=BC)(∵DE=BC)

h+100=DEh+100=DE

h+100=3hh+100=\sqrt{3}h

∵DE=3h∵DE=\sqrt{3}h समी. (i) से

h(3−1)=100h(\sqrt{3}-1)=100

⇒h=1003−1×3+13+1⇒h=\frac{100}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}

[अंश तथा हर में (3)(\sqrt{3}) से गुणा करने पर]

=100(3+1)3−1=\frac{100(\sqrt{3}+1)}{3-1}

=100(3+1)2=\frac{100(\sqrt{3}+1)}{2}

=50(1.732+1)=50(1.732+1)

=50×2.732=50 \times 2.732

⇒h=136.60⇒h=136.60 मीटर

अतः चट्टान की ऊँचाई =h+100=h+100

=136.60+100=136.60+100

=236.60=236.60 मीटर उत्तर

प्रश्न 7. पहाड़ी पर खड़ा एक व्यक्ति एक नाव को देखता है, जिसका उस समय अवनमन कोण 30∘30^{∘} है और यह नाव समुद्र के किनारे उस व्यक्ति के ठीक नीचे के स्थान की ओर आ रही है। नाव समान चाल से आ रही है। 6 मिनट पश्चात् उसका अवनमन कोण 60∘60^{∘} हो जाता है। पहाड़ी की ऊँचाई और नाव को किनारे तक पहुँचने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

हल— माना पहाड़ी की ऊँचाई hh मीटर अर्थात् चित्रानुसार ABAB है तथा प्रेक्षक व्यक्ति AA बिन्दु पर खड़ा है। एक नाव DD बिन्दु की ओर से 6 मिनट में बिन्दु CC पर पहुँचती है। माना

DC=x1,CB=x2DC=x_{1},CB=x_{2}

[A triangle with vertices A, B, D and point C on BD. Angles at A are 30° and 60°. Height AB is h. Base segments are x_1 and x_2.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 54

अब समकोण त्रिभुज ABCABC से

hx2=tan60∘\frac{h}{x_{2}}=tan60^{∘}

⇒h=x2⋅3⇒h=x_{2}·\sqrt{3} ....(i)

पुन: समकोण त्रिभुज ABDABD से

hx1+x2=tan30∘=13\frac{h}{x_{1}+x_{2}}=tan30^{∘}=\frac{1}{\sqrt{3}}

⇒h=x1+x23⇒h=\frac{x_{1}+x_{2}}{\sqrt{3}} ....(ii)

समीकरण (i) व (ii) से

x23=x1+x23x_{2}\sqrt{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{\sqrt{3}}

⇒x2×3×3=x1+x2⇒x_{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}=x_{1}+x_{2}

⇒3x2=x1+x2⇒3x_{2}=x_{1}+x_{2}

या 2x2=x12x_{2}=x_{1}

या x2=x12x_{2}=\frac{x_{1}}{2}

लेकिन दिया गया है कि x1x_{1} दूरी तय करने में 6 मिनट लगते हैं।

∴x2∴x_{2} दूरी तय करने में समय =12×6=3=\frac{1}{2} \times 6=3 मिनट

⇒⇒ बिन्दु DD से BB तक पहुँचने में लगा समय =6+3=9=6+3=9 मिनट उत्तर

प्रश्न 8. भूमि के एक बिन्दु PP से एक 1010 m ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और PP से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण 45∘45^{∘} है। ध्वजदंड की

लम्बाई और बिन्दु PP से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। (यहाँ आप 3=1.732\sqrt{3}=1.732 ले सकते हैं।)

हल—आकृति में, ABAB भवन की ऊँचाई है, BDBD ध्वजदंड प्रकट करता है और PP दिया हुआ बिन्दु प्रकट करता है। यहाँ पर दो समकोण त्रिभुज PABPAB और PADPAD हैं। हमें ध्वजदण्ड की लम्बाई अर्थात् DBDB और बिन्दु PP से भवन की दूरी अर्थात् PAPA ज्ञात करना है।

[A diagram showing a point P on the ground, a building AB, and a flagpole BD on top of it. Angles of elevation are 30° and 45°.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 55

समकोण ΔPAB\Delta PAB में

tan30∘=ABAPtan30^{∘}=\frac{AB}{AP}

अर्थात् 13=10AP\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{AP}

∴AP=103∴AP=10\sqrt{3}

अर्थात् PP से भवन की दूरी 103m=17.32m10\sqrt{3} m=17.32 m

माना DB=xmDB=x m तब AD=(10+x)mAD=(10+x) m

अब समकोण ΔPAD\Delta PAD में

tan45∘=ADAP=10+x103tan45^{∘}=\frac{AD}{AP}=\frac{10+x}{10\sqrt{3}}

∴1=10+x103∴1=\frac{10+x}{10\sqrt{3}} या 103=10+x10\sqrt{3}=10+x

⇒x=103−10⇒x=10\sqrt{3}-10

अर्थात् x=10(3−1)=10(1.732−1)=10×0.732=7.32mx=10(\sqrt{3}-1)=10(1.732-1)=10 \times 0.732=7.32 m

अतः ध्वजदंड की लम्बाई =7.32m=7.32 m है। उत्तर

प्रश्न 9. एक बहुमंजिल भवन के शिखर से देखने पर एक 8m8 m ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन कोण क्रमशः 30∘30^{∘} और 45∘45^{∘} हैं। बहुमंजिल भवन की ऊँचाई और दो भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न बैंक )

हल—आकृति में PCPC बहुमंजिल भवन को और ABAB , 8m8 m ऊँचे भवन को प्रकट करता है। हम बहुमंजिल भवन की ऊँचाई, अर्थात् PCPC और दो भवनों के बीच की दूरी अर्थात् ACAC ज्ञात करना चाहते हैं।

[A diagram showing a tall building PC and a shorter building AB. Angles of depression from P are 30° and 45°.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 56

PBPB समान्तर रेखाओं PQPQ और BDBD की एक तिर्यक-छेदी रेखा है। अतः ∠QPB\angle QPB और ∠PBD\angle PBD एकान्तर कोण हैं और इसलिए बराबर हैं। अतः ∠PBD=30∘\angle PBD=30^{∘} , इसी प्रकार ∠PAC=45∘\angle PAC=45^{∘}

समकोण ΔPBD\Delta PBD में PDBD=tan30∘=13\frac{PD}{BD}=tan30^{∘}=\frac{1}{\sqrt{3}}

या BD=PD3BD=PD\sqrt{3} ....(i)

समकोण ΔPAC\Delta PAC में PCAC=tan45∘=1\frac{PC}{AC}=tan45^{∘}=1

अर्थात् PC=ACPC=AC

और PC=PD+DCPC=PD+DC

∴PD+DC=AC∴PD+DC=AC

∵AC=BD∵AC=BD और DC=AB=8mDC=AB=8 m ,

∴BD=PD+8∴BD=PD+8 ....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

PD+8=PD3PD+8=PD\sqrt{3}

⇒8=PD3−PD⇒8=PD\sqrt{3}-PD

⇒8=PD(3−1)⇒8=PD(\sqrt{3}-1)

अतः PD=83−1PD=\frac{8}{\sqrt{3}-1}

अंश तथा हर में (3)(\sqrt{3}) से गुणा करने पर

PD=8(3+1)(3−1)(3+1)PD=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}

=8(3+1)3−1=8(3+1)2=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{2}

=4(3+1)m=4(\sqrt{3}+1) m

अतः बहुमंजिल भवन की ऊँचाई PC=PD+DC=PD+ABPC=PD+DC=PD+AB

=4(3+1)+8=4(\sqrt{3}+1)+8

... (AB)(AB)

=43+4+8=43+12=4\sqrt{3}+4+8=4\sqrt{3}+12

=4(3+3)mउत्तर=4(3+\sqrt{3}) m \text{उत्तर}

दो भवनों के बीच की दूरी =AC=AC है।

लेकिन AC=PCAC=PC है।

अतः दो भवनों के बीच की दूरी =4(3+3)mउत्तर=4(3+\sqrt{3}) m \text{उत्तर}

अतः बहुमंजिल भवन की ऊँचाई और दो भवनों के बीच की दूरी आपस में बराबर है।

प्रश्न 10. एक झील में पानी के तल से 2020 मीटर ऊँचे बिन्दु AA से, एक बादल का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है। झील में बादल के प्रतिबिम्ब का AA से अवनमन कोण 60∘60^{∘} है। AA से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल— चित्र में BDBD पानी का तल है। BB से 2020 मीटर ऊँचे बिन्दु AA से एक बादल (P)(P) का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} है। माना झील में बादल के प्रतिबिम्ब की स्थिति CC है तथा प्रतिबिम्ब इस प्रकार से है कि झील में बादल के प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण 60∘60^{∘} है। माना PQ=hPQ=h मी. है।

[A vertical line with points A, B, D, Q, P, C. A triangle PAQ is formed at the top. A line connects A to C.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 57

अतः : ∠PAQ=30∘\angle PAQ=30^{∘} तथा ∠QAC=60∘\angle QAC=60^{∘}

QD=AB=20मीQD=AB=20 \text{मी}

CD=PD=(20+h)मीCD=PD=(20+h) \text{मी}

QC=20+h+20QC=20+h+20

=(40+h)मी=(40+h) \text{मी}

BD=AQBD=AQ

समकोण ΔPAQ\Delta PAQ में

tan30∘=PQAQtan30^{∘}=\frac{PQ}{AQ}

⇒13=hAQ⇒\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{AQ}

⇒AQ=h3मीटर⇒AQ=h\sqrt{3} \text{मीटर} ...(i)

समीकरण ΔAQC\Delta AQC में

tan60∘=QCAQtan60^{∘}=\frac{QC}{AQ}

⇒3=40+hh3⇒\sqrt{3}=\frac{40+h}{h\sqrt{3}}

[समीकरण (i) का प्रयोग करने पर]

⇒3h=40+h⇒3h=40+h

⇒3h−h=40⇒3h-h=40

⇒2h=40⇒2h=40

⇒h=402=20मी⇒h=\frac{40}{2}=20 \text{मी}

पुन: समकोण ΔPAQ\Delta PAQ में,

sin30∘=PQAQsin30^{∘}=\frac{PQ}{AQ}

12=hAQ=20AQ\frac{1}{2}=\frac{h}{AQ}=\frac{20}{AQ}

∴AQ=2×20=40मी.∴AQ=2 \times 20=40 \text{मी}.

अतः AA से बादल की दूरी =40मीटरउत्तर=40 \text{मीटर} \text{उत्तर}

प्रश्न 11. धरातल के एक बिन्दु AA से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60∘60^{∘} है। 1515 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात्, उन्नयन कोण 30∘30^{∘} का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 150031500\sqrt{3} मीटर पर उड़ रहा हो, तो हवाई-जहाज की गति किमी/घण्टा में ज्ञात कीजिए।

हल— माना PP और QQ हवाई जहाज की दो स्थितियाँ हैं। माना ABCABC एक क्षैतिज रेखा हैं जो AA से जाती है। दिया है कि स्थिति PP और QQ से, AA बिन्दु से हवाई जहाज द्वारा बने उन्नयन कोण 30∘30^{∘} तथा 60∘60^{∘} है।

∴∠PAB=60∘∴ \angle PAB=60^{∘} और ∠QAC=30∘\angle QAC=30^{∘}

इसी तरह, PB=QC=15003मीटरPB=QC=1500\sqrt{3} \text{मीटर}

ΔABP\Delta ABP में,

tan60∘=BPABtan60^{∘}=\frac{BP}{AB}

3=15003AB\sqrt{3}=\frac{1500\sqrt{3}}{AB}

[A trapezoid-like figure with points A, B, C, P, Q. Triangle APB has angle 60° at A, Triangle AQC has angle 30° at A.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 58

AB=1500AB=1500 मीटर

ΔAQC\Delta AQC में,

tan30∘=15003ACtan30^{∘}=\frac{1500\sqrt{3}}{AC}

⇒13=15003AC⇒AC=4500⇒\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1500\sqrt{3}}{AC}⇒AC=4500

दूरी BC=3000BC=3000 मीटर

चाल =दूरीसमय=300015×185=\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}=\frac{3000}{15} \times \frac{18}{5}

=720=720 किमी./घण्टा उत्तर

प्रश्न 12. अमित जो कि समतल जमीन पर खड़ा है, अपने से 200200 मी दूर उड़ते हुए पक्षी का उन्नयन कोण 30∘30^{∘} पाता है। दीपक जो कि 5050 मी ऊँचे भवन की छत पर खड़ा है, उसी पक्षी का उन्नयन कोण 45∘45^{∘} पाता है। अमित और दीपक पक्षी के विपरीत दिशा में हैं। दीपक से पक्षी की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल— माना अमित बिन्दु CC पर खड़ा है तथा ABAB चिड़िया की धरातल पर स्थित बिन्दु BB से ऊँचाई है तथा माना दीपक बिन्दु DD पर स्थित है, जहाँ DEDE भवन की ऊँचाई है।

दिया है, ∠ACB=30∘,∠ADF=45∘\angle ACB=30^{∘}, \angle ADF=45^{∘} तथा DE=50DE=50 मी.

[A triangle ABC with a point D on the vertical line AB. A line segment connects D to a point A.]

कक्षा 10 गणित पाठ 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग चित्र 59

अब, समकोण ΔABC\Delta ABC में,

sin30∘=लम्बकर्ण=ABACsin30^{∘}=\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}=\frac{AB}{AC}

12=AB200\frac{1}{2}=\frac{AB}{200} या 2AB=2002AB=200

∴AB=100∴AB=100 मी

समकोण ΔAFD\Delta AFD में,

sin45∘=लम्बकर्ण=AFADsin45^{∘}=\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}=\frac{AF}{AD}

( ∵AB=AF+BF∵AB=AF+BF

100=AF+50100=AF+50

AF=50AF=50 मी)

12=50AD\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{50}{AD}

या AD=502AD=50\sqrt{2} मी

अतः दीपक की पक्षी से दूरी 50250\sqrt{2} मी है. उत्तर

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