Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 1

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 1.1

|A| = 5 ≠ 0

अतः A-1 का अस्तित्व है।

A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

a11 = 3, a12 = – 2, a21 = 1, a22 = 1

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 1.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 1.3

प्रश्न 2.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 2

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 2.1

= 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + (1 – 0).

= 0 + 1 + 1

|A| = 2 ≠ 0

अतः A-1 का अस्तित्व है।

A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 2.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 2.3

प्रश्न 3.

यदि आव्यह

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 3

एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 3.1

∵ आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब

|A| = 0

1( – 6 – 2) + 2( – 3 – x) + 3(2 – 2x) = 0

– 8 – 6 – 2x + 6 – 6x = 0

– 8 – 8x = 0

– 8x = 8.

x =
\frac { 8 }{ -8 }

x = -1

प्रश्न 4.

क्रेमर नियम का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय हल कीजिए।

(i) 2x – y = 17

x + 5y = 6

(ii) 3x + ay = 4

2x + ay = 2, a ≠ 0

(iii) x + 2 + 3z = 6

2x + 4y + z = 7

3x + 2y + 9z = 14

हल :

(i) दिया गया समीकरण निकाय

2x – y = 17

3x + 5y = 6

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 4

अतः समीकरण निकाय का हल x = 7, y = – 3

(ii) दिया गया समीकरण निकाय

3x + ay = 4

2a + y = 2, a ≠ 0

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 4.1

अत: समीकरण निकाय का हल x = 2, y =
-\frac { 2 }{ a }

(iii) दिया गया समीकरण निकाय

x + 2 + 2x = 6

2x + 4y + 2 = 7

3x + 2y + 9z = 14

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 4.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 4.3

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 4.4

अत: समीकरण निकाय का हल x = 1, y = 1, z = 1.

प्रश्न 5.

क्रेमर नियम का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत है।

(i) 2x – y = 5

4x – 2y = 7

(ii) x + y + z = 1 ,

x + 2y + 3z = 2

3x + 4y + 5y = 3

हल :

(i) दिया गया समीकरण निकाय

2x – y = 5

4x – 2y = 7

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 5

∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0 तथा ∆2 ≠ 0

अतः समीकरण निकाय संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय

x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 2

3x + 4y + 3z = 3

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 5.1

∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0

अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 6.

एक द्वितीय क्रम की आव्यूह A ज्ञात कीजिए :

जहाँ

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 6

हल :

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 6.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 6.2

प्रश्न 7.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 7

हो, तो सिद्ध कीजिए कि

A² + 4A – 42I = 0 तथा इसकी सहायता से A-1 भी ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 7.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 7.2

प्रश्न 8.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 8

हो, तो सिद्ध कीजिए कि
{ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 19 } A

हुल :

दिया गया आव्यूह.

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 8.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 8.2

प्रश्न 9.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 9

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि A-1.A = I3

हल :

दिया गया आव्यूह

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 9.1

अत: A-1 का अस्तित्व है।

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 9.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 9.3

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 9.4

प्रश्न 10.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 10

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 4A – 5I = 0 तत्पश्चात् इसकी सहायता से A-1 भी ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 10.1

A² = A.A

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 10.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 10.3

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 10.4

प्रश्न 11.

आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :

(i) 5x – 7y = 2

7x – 5y = 3

(ii) 3x + y + z = 3

2x – y – z = 2

– x – y + z = 1

(iii) x + 2y – 2z + 5 = 0

– x + 3y + 4 = 0

– 2y + z – 4 = 0

हुल :

(i) दिया गया समीकरण निकाय

5x – 7y = 2

7x – 5y = 3

इसे आव्यूह रूप में लिखने पर

AX = B…..(i)

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11

(ii) दिया गया समीकरण निकाय

3x + y + z = 3

2x – y – z = 2

– x – y + z = 1

इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर

AX = B

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11.1

अतः A-1 का अस्तित्व है।

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11.3

(iii) दिया गया समीकरण निकाय ।

x + 2y – 2z + 5 = 0

– x + 3y + 4 = 0

– 2y + z – 4 = 0

समीकरण निकाय को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,

x + 2y – 2z = – 5

-x + 3y = – 4

– 2y + z = 4

इसी समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर ।

AX = B …(i)

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11.4

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11.5

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11.6

प्रश्न 12.

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्ष निम्नलिखित हों :

(i) A(-3, 5), B(3,- 6), C(7, 2)

(ii) A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8)

हल :

(i) त्रिभुज ABC के शीर्ष

A = (-3, 5), B = (3, -6), C = (7, 2)

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ∆

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 12

प्रश्न 13.

यदि बिन्दु (2,-3), (λ,-2) तथा (0, 5) संरेख हो, तो λ. का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

दिए गए बिन्दु (2,-3), (λ, -2) तथा (0, 5) संरेख हैं, तब

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 13

⇒ 2( – 2 – 5) + 3(λ – 0) + 1(5λ – 0) = 0

⇒ – 14 + 3λ + 5λ = 0

⇒ 8λ = 14

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 13.1

प्रश्न 14.

आव्यूह A ज्ञात कीजिए जबकि :

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 14

हल :

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 14.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 14.2

प्रश्न 15.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 15

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए

x + y + z = 2, x + 2y – 3z = 13, 2x – y + 3z = -7.

हल :

दिया है,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 15.1

= 1(6 – 3) – 1(3 + 6) + 1( – 1 – 4)

= 3 – 9 – 5

अतः |A| = – 11 ≠ 0

अतः A-1 का अस्तित्व है।

A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 15.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 15.3

अतः x = 1, y = 3, z = – 2.

प्रश्न 16.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 16

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि aA-1 = (a² + bc + 1)I – aA.

हल :

दिया गया आव्यूह,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 16.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 16.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 16.3

प्रश्न 17.

सारणिक की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए—

x + y + z = 1

ax + by + cz = k

a²x + b²y + c²z = k²

हल

दिया गया समीकरण निकाय

x + y + z = 1

ax + by + cz = k

a²x + b²y + c²z = k²

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 17

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 17.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 17.2

प्रश्न 18.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 18

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए ।

x + 2y – 3z = – 4, 2x + 3y + 2z = 2, 3x – 3y – 4z = 11

हल :

दिया है,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 18.1

= 1( -12 + 6) – 2(- 8 – 6) – 3( – 6 – 9)

= – 6 + 28 + 45 = 67 ≠ 0

अत: A-1 का अस्तित्व है।

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 18.0

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 18.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 18.3

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 18.4

अतः x = 3, y = – 2, z = 1.

प्रश्न 19.

यदि

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 19

हो, तो X ज्ञात कीजिए।

हल :

माना

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 19.1

प्रश्न 20.

निम्नलिखित समीकरण निकाय के अनन्त हल हो, तो a तथा b का मान ज्ञात कीजिए-

2x + y + az = 4

bx – 2y + z = – 2

5x + 5y + z = – 2

हल :

दिया गया समीकरण निकाय

2x + y + az = 4

bx – 2y + z = – 2

5x + 5y + z = – 2

∵ समीकरण निकाय के अनन्त हल है, तब ∆ = 0, ∆1 = 0, ∆2 = 0 तथा ∆3 = 0 होगा।