Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 8

प्रश्न 1.
वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि r = 3 सेमी तथा r = 4 सेमी है।
हल :
माना कि वृत्त का क्षेत्रफल A है, तब
A = πr²
r के सापेक्ष अवकलन करने पर
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अत: r के सापेक्ष परिवर्तन की दर
\frac { dA }{ dr } = 2πr
r = 3 सेमी के लिए,
\frac { dA }{ dr } = 2π x 3
= 6π
अतः जब r = 3 सेमी, तब वृत्त का क्षेत्रफल 6π सेमी²/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।
तथा r = 4 सेमी के लिए,
\frac { dA }{ dr } = 2π x 4
= 8π.
अत: जब r = 4 सेमी, तब वृत्त का क्षेत्रफल 8π सेमी²/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 2.
एक कण वक्र y=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1 पर चलता है। वक़ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जहाँ y-निर्देशांक में परिवर्तन की दर, x-निर्देशांक में परिवर्तन की दर की दोगुनी है।
हल :
दिए गए वक्र का समीकरण
y=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1 …(i)
माना किसी समय t पर कण की स्थिति P(x, y) है।
P(x, y) वक्र (i) पर स्थित है।
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समी. (ii) से, t के सापेक्ष अवकलन करने
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∴ 1 = x²
∴ x = ±1 [समी. (iii) से]
समी. (i) से, जब x = 1, y = \frac { 5 }{ 3 }
तथा जब x = -1,y = \frac { 1 }{ 3 }
अत: अभीष्ट बिन्दु (1, \frac { 5 }{ 3 } ) तथा (-1, \frac { 1 }{ 3 } ) हैं।

प्रश्न 3.
एक 13 मीटर लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी हुई हैं। सीने के पाव को 1.5 मीटर/सेकण्ड की दर से जमीन के सहारे दीवार से दूर खींचा जाता है। सीढ़ी तथा जमीन के मध्य का कोण किस गति से परिवर्तित हो रहा है, जबकि सीढ़ी का पाव दीवार से 12 मीटर दूर हो।
हल :
माना सीढ़ी AB के नीचे का सिरा
A, दीवार से x दूरी पर है तथा सीड़ी का ऊपरी सिरा B जमीन से y ऊँचाई पर हैं एवं जमीन तथा सीढ़ी के बीच का कोण θ है।
तब x² + y² = (13)² तथा tan θ = \frac { y }{ x }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर

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अतः सीढ़ी तथा जमीन के बीच का कोण \frac { 3 }{ 10 } रेडियन/से की दर से घट रहा है।

प्रश्न 4.
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है, जबकि किनारा 10 सेमी लम्बा हैं।
हुल :
माना किसी समय t पर घन के किनारे की लम्बाई x तथा इसका आयतन V हैं, तब
V = x³ ……..(i)
तथा किनारा 3 सेमी।सैकण्ड़ की दर से बढ़ रहा है।
\frac { dx }{ dt } = 3 सेमी/सेकण्ड
हमें समय t के सापेक्ष आयतन V कै परिवर्तन की दर अर्थात् \frac { dV }{ dt } ज्ञात करना है, जब x = 10 सेमी हैं।
समी. (i) को x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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जब x = 10 सेमी, \frac { dV }{ dt } = 9(10)² = 900 सेमी3/सेकण्ड
अत: जब किनारे की लम्बाई 10 सेमी है, तो इसका आयतन 900 सैम3/सैकण्हु की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 5.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 सेमी3 गैस प्रति सेकण्ड भरकर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए, जबकि त्रिज्या 15 सेमी है।
हल :
माना किसी समय t पर गुब्बारे की त्रिज्या r तथा इसका आयतन V है।
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x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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अतः गुब्बारे की त्रिंण्या के परिवर्तन की दर \frac { 1 }{ \pi } सेमी/सेकण्ड है।

प्रश्न 6.
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का व्यास \frac { 3 }{ 2 }(2x +1) है। इसके आयतन के परिवर्तन की दर x के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
माना गुब्बारे का आयतन V है।
प्रश्नानुसार, गुब्बारे का व्यास = \frac { 3 }{ 2 }(2x +1)
∴ गुब्बारे की त्रिज्या,
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∴ गुब्बारे की आयतन,
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x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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अत: आयतन की x के सापेक्ष परिवर्तन की दर
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है।

प्रश्न 7.
किसी वस्तु की x इकाइयों के पादन में कुल लागत C(x) रुपये में निम्न समीकरण द्वारा दी गई है।
C(x) = 0.005x3 – 0.02x2 + 30x + 5000
सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जब वस्तु की 3 इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमान्त लागत का अर्थ किसी स्तर पर अपादन के सम्पूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर है।
हल :
प्रश्नानुसार, x वस्तुओं के उत्पादन का मूल्य C(x) है।
जहाँ C(x) = 0 005x3 – 0 02x² + 30x + 5000
सीमान्त लागत मूल्य = MC
MC = \frac { d }{ dx } C(x)
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= 0.005 x 3x² – 0.02 x 30 x 1
= 0.005 x 3x² – 0.02 x 2x + 30
x = 3 के लिए।
MC = 0.005 x 3 x (3)² – 0.02 x 2 x (3) + 30
= 0.005 x 27 – 002 x 6 + 30
= 0.135 – 0.12 + 30
= 30.015 या 30.02 (लगभग)
अत: सीमान्त लागत मूल्य Rs 30.02 (लगभग) है।

प्रश्न 8.
एक साबुन के गोलीय बुलबुले की त्रिज्या में 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से वृद्धि हो रही है। इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि की दर ज्ञात कीजिए, जबकि बुलबुले की त्रिज्या 7 सेमी हो तथा इसके आयतन में वृद्धि की दर ज्ञात कीजिए, जबकि बुलबुले की त्रिज्या 5 सेमी हो।
हल :
माना कि गोलीय बुलबुले की त्रिज्या r तथा गोलीय बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S है।
प्रश्नानुसार, \frac { dr }{ dt } = 0.2 सेमी/सेकण्ड
पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 4πr²
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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r = 7 सेमी रखने पर,
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अत: गौलीय बुलबुले के पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि की दर 11:2π सेमी²./से. हैं।
पुनः माना कि किसी समय t पर गोलीब बुलबुले की त्रिज्या r तथा इसका आयतन V हैं।
प्रश्नानुसार, \frac { dr }{ dt } = 0.2 सेमी/सेकण्ड
आयतन V=\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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r = 5 सेमी रखने पर
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की दर से बढ़ेगा।
अतः आयतन में वृद्धि की दर = 20π सेमी/सेकण्ड हैं।

प्रश्न 9.
एक नली से 12 सैमी3./सेकण्ड की दर से बालू उंडेली जा | रही है। उंडेली गई बालू से एक शंकु का निर्माण इस प्रकार होता है कि शंकु की ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का 1/6 वाँ भाग होती है। बालू के शंकु की ऊँचाई में किस गति से वृद्धि हो रही है, जबकि ऊँचाई 4 सेमी हैं।
हल :
माना किसी समय t पर आलू के शंकु का आयतन V, ऊँचाई h तथा त्रिज्या r है।
प्रश्नानुसार, h = \frac { 1 }{ 6 }r
⇒ r = 6h
\frac { dV }{ dt } = 12 सेमी/सेकण्ड
बालू के शंकु का आयतन
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t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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अत: बालू के शंकु की ऊँचाई \frac { 1 }{ 48\pi } सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहीं हैं।

प्रश्न 10.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आये R(x) रुपयों में निम्न समीकरण द्वारा दी गई है।
R(x) = 13x² + 26x + 15
सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 15 है।
हल :
दिया है, R(x) = 13x² + 26x + 15
सीमान्त आय MR(x) = \frac { d }{ dx } (Rx)
= \frac { d }{ dx } (13x² + 26x + 15)
= 26x – 26
x = 15 रखने पर,
तब MR(x) = 26 x 15 + 26
= 320 + 26.
MR(7)= 416
अतः सीमान्त आय = Rs 416