Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 8 

प्रश्न 1.
वक्र y = x3 – x बिन्दु x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हुल :
दिया गया वक्र y = x3 – x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\frac { dy }{ dx } = 3 – x² – 1 ..(i)
समौ. (i) में x = 2 रखने पर,
{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ (x=2) } = 3 (2)² – 1 = 11
अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = 11,

प्रश्न 2.
वक़ y=\frac { x-1 }{ x-2 } , x ≠ 2 के बिन्दु x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल :-
y=\frac { x-1 }{ x-2 } का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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अतः x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = – \frac { 1 }{ 64 }

प्रश्न 3.
वह बिन्दु ज्ञात कीजिए, जहाँ वक्र y=\sqrt { \left( 4x-3 \right) } -1 की स्पर्श रेखा की प्रवाता \frac { 2 }{ 3 } है।
हल-
दिया गया वक्र y=\sqrt { \left( 4x-3 \right) } -1 …..(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नानुसार, स्पर्श रेखा की प्रतणता \frac { 2 }{ 3 } है।
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x = 3 समीकरण (i) में रखने पर,
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अत: अभीष्ट बिन्दु (3, 2) है।

प्रश्न 4.
उन सभी रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y+\frac { 2 }{ x-3 }=0 की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा जिनकी प्रवणता 2 है।
हल :
दिया गया वक्र y+\frac { 2 }{ x-3 }=0
y=-\frac { 2 }{ x-3 }=0 …(1)
x के सापेक्ष अथकलन करने पर,
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प्रश्नानुसार, प्रवणता = 2
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(x – 3)² = 1
x – 3 = ±1
x = ± 1 + 3
x = 4, 2
x = 4 समीकरण. (i) में रखने पर,
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तब बिन्दु = (4, – 2)
पुत: x = 2 समीकरण (i) में रखने पर

तब , बिन्दु = (2, 2)
अब बिन्दु (4,-2) पर स्पर्श रेटा का समीकरण
y -(-2) = 2 (x – 4)
y + 2 = 2x – 8
2x – y – 10 = 0
पुनः बिन्दु = (2, 2) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 2 = 2 (x – 2)
y – 2 = 2x – 4
2x – y – 2 = 0
अतः अभीष्ट रमीकरण 2x – y – 10 = 0 तथा 2x – y – 2 = 0 है।

प्रश्न 5.
वक्र
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पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ स्प देखा।
(i) x-अक्ष के समान्तर है तथा
(ii) y-अक्ष के समान्तर है।
हल :
दिया गया वक्र
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x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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(i) शव स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर हो, तो

अत: विन्दुओं (0, ± 5) पर स्पर्श रेखाएँ x-पक्ष के समान्तर हैं।

(ii) जन स्पर्श रेखा y-अक्ष के समान्तर है अर्थात् x-अक्ष पर लम्ब है, तो

अत: विन्दुओं (± 2, 0} पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समार है।

प्रश्न 6.
वक्र x = a sin3 t, y = b cos3 t का t = \frac { \pi }{ 2 } पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए वक्र का t सापेक्ष अवकलन करने पर
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तथा जब t = \frac { \pi }{ 2 } तब x = a तथा y = 0
अतः t = \frac { \pi }{ 2 } पर अर्थात् (a, 0) पर दिए गए वक्र को स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 0 = 0(x – a)
अथात् y = 0 है।

प्रश्न 7.
वक्र y = sin²x के बिन्दु \left( \frac { \pi }{ 3 } ,\frac { \pi }{ 4 } \right) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हुल :
y = sin²x का x के सापेक्षा अवकलन करने पर,
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अतः अभिलम्ब का अभीष्ट समीकरण
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प्रश्न 8.
निम्न वक़ों के लिए उनके सम्मुख अंकित बिन्दु पर स्पर्श रेखा एवं अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(a) y = x² + 4x + 1, x = 3 पर
(b) y² = 4ax, x = a पर
(c) xy = a²
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(d) y² = 4ax,

(e)
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(f) y = 2x² – 3x – 1, (1, – 2) पर
(g) x = at², y = 2at, t = 1 पर
(h) x = θ + sin θ, y = 1 – cosθ, θ = \frac { \pi }{ 2 } पर
हल :
(a) दिया गया वक्र y = x² + 4x + 1 …(i)
समी. (i) में x = 3 रखने पर
y = (3)² + 4 (3) + 1
y = 22
अत: स्पर्श बिन्दु = (3, 22)
समी. (i) का x के सापेक्षा अवकलन करने पर,
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अब, वक्र (i) के बिन्दु (3, 22) पर स्पी की समीकरण
y – 22 = 10 (x – 3)
y – 22 = 10x – 30
10x – y = 8
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण 10x – y = 8 है।
पुन: वक्र (i) के बिन्दु (3, 22) पर अभिलम्य का समीकरण
y – 22 = -\frac { 1 }{ 10 }(x-3)
10y – 220 = -x + 3
x + 10y = 223
अतः अभिलम्ब का समीकरण x + 10y = 223 है।

(b) दिया गया वक्र y² = 4ax
सौ. x = aरखने पर,
y² = 4a (a)
y² = 4a²
y = ± 2a
अत: स्पर्श बिन्दु (a, 2a) तथा (a, -2a) हैं।
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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अब तक (i) के बिन्दु (a, 2a) पर स्पर्शी का समीकरण
y – 2a = 1 (x – a)
x – y + a = 0
पुन: वक्र (i) में बिन्दु (a, 2a) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – 2a = – 1(x – 1)
⇒ x + y – 3a = 0
अत: चिन्दु (a, 2a) पर स्पॉं का समीकरण x – y + a = 0 तथा अभिलम्ब का समीकरण x + y – 3a = 0 है।

(c) दिया गया वक्र xy = a²
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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वक्र (i) के बिन्दु (at, \frac { a }{ t } ) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
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⇒ t²y – at = – x + at
⇒ x + t²y = 2at
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण x + t²y = 2at हैं।
पुनः वक्र (i) में बिन्दु (at, \frac { a }{ t } ) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – \frac { a }{ t } = t²(x – at)
yt – a = t3 (x – at)
yt – a = t3 x – at4
t3x – yt = at4 – a
t3x – yt = a(t4 – 1)
अत:, अभिलम्ब का समीकरण t3x – yt = a (t4 – 1) है।

(d) दिया गया चक्र y² = 4ax
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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वक्र (i) के बिन्दु \left( \frac { a }{ { m }^{ 2 } } ,\frac { 2a }{ m } \right) पर स्पर्श बिन्दु का समीकरण
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⇒ my – 2a = m²x – a
⇒ m²x – my + a = 0
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण m²x – my + a = 0 है।
पुन: वक्र (i) के बिन्दु \left( \frac { a }{ { m }^{ 2 } } ,\frac { 2a }{ m } \right) पर अभिलम्ब का समीकरण
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m² (my – 2a) = -(m²x – a)
m3y – 2am² = – m²x + a
m²x + m3y = a (2m² + 1)
अतः अभिलम्ब का समीकरण m²x + m3y = a (2m² + 1) है।

(e) दिया गया वक्र
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समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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बिन्दु (a sec θ, b tan θ) पर
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चक्र (i) के बिन्दु (a sec θ, b tan θ) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
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ay tan θ – ab tan² θ = bx sec θ – ab sec² θ
bx sec θ – ay tan θ = ab(sec² θ – tan² θ)
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पुन: वक्र (i) के बिन्दु (a sec θ, b tan θ) पर अभिलम्ब का समीकरण
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by cosec θ – b² tan θ cosec θ = – ax + a² sec θ
ax + b cosec θ = b² sec θ + a² sec θ
ax + b c0sec θ = sec θ (a² + b²)
अत: अभिलम्ब का समीकरण
ax + by cosec θ = sec θ (a² + b²) है।

(f) दिया गया वक्र y = 2x² – 3x – 1 …(i).
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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वक्र (i) के बिन्दु (1,-2) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y + 2 = 1 (x – 1)
⇒ x – y = 3
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण x – y = 3 हैं।
पुन: वक्र (i) के बिन्दु (1,-2) पर अभिलम्ब का समीकरण
y + 2 = -1(x – 1)
x + y + 1 = 0
अत: अभिलम्ब का समीकरण x + y + 1 = 0 है।

(g) x = at², y = 2at
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 2at = 1 (x – at²)
t = 1 रखने पर,
y – 2a = x – a
⇒ x – y + a = 0
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण x – y + a = 0 है।
पुन: अभिलम्ब का समीकरण |
y = 2at = -1 (x – a t²)
t = 1 रखने पर,
y – 2a = -(x – a)
⇒ x + y – 3a = 0
अत: अभिलम्ब का समीकरण x + y – 3a = 0 है।

(h) x = θ + sin θ, y = 1 – cos θ
θ सापेक्ष अवकलन करने पर,
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स्पर्श रेखा का समीकरण
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अत: स्पर्श रेखा का समीकरण x – y = \frac { \pi }{ 2 }
पुन: अभिलम्ब का समीकरण
y – (1 – cos θ) = -1 [x – (θ + sin θ]]
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⇒ x + y = 2 + \frac { \pi }{ 2 }
अत: अभिलम्ब का समीकरण x + y = 2 + \frac { \pi }{ 2 }