Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 8 

प्रश्न 1.
निम्नलिखित फलनों के अच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए।
(a) 2x3 – 15x2 + 36x + 10
(b) (x – 1) (x – 2) (x – 3)
(c) sin x + cos 2x
(d) x4 – 5x4 + 5x3 – 1
हल :
(a) माना y = 2x3 – 15x2 + 36x + 10
\frac { dy }{ dx } = 6x² – 30x + 36
उच्छिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए।
\frac { dy }{ dx }=0
6x² – 30x + 36 = 0
6(x² – 5x + 6) = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x = 2, 3
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= – 6 (ive) (ऋणात्मक)
x = 2 पर फलन का मान उच्छिष्ठ मान
= 2(2)3 – 15(2)² + 36 x 2 + 10
= 16 – 60 +72 + 10
= 38

= 12 x 3 – 30 = 36 – 30
= – 6 (ive) (धनात्मक)
x = 3 पर फलन का निम्निष्ठ मान
= 2(3)3 – 15(3)2 + 3(3) + 10
= 54 – 135 + 108 + 10
= 37

(b) (x – 1) (x – 2) (x – 3)
माना y = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
तो y = x3 – 6x2 + 11x – 6
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y के उच्चतम अथवा निग्निष्ठ के लिए
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अथवा x = 2-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } पर फलन उच्चिष्ठ तथा उच्छिष्ट मान = \frac { 2 }{ 3\sqrt { 3 } }
तथा x = 2+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } पर निम्निष्ठ तथा निम्नष्ठ मान = \frac { -2 }{ 3\sqrt { 3 } }

(c) माना y = sin x + cos 2x …..(i)
x के सापेक्ष अवकलन कने पर
\frac { dy }{ dx } = cos x – 2 sin 2x ….(ii)
y के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिए, \frac { dy }{ dx }=0
अर्थात् cos x – 2 sin 2x = 0
cos x – 4 sin x cos x = 0
cos x(1 – 4 sin x) = 0
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अत: x = \frac { \pi }{ 2 } पर फलन निम्निष्ठ है।
तथा फलन का निम्निष्ठ मान
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अतः sin x = \frac { 1 }{ 4 } पर फलन का मान उच्चिष्ठ है।
तथा फलन का उच्चिष्ठ मान = sin x – (1 – 2 sin² x)
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(d) माना y = x5 – 5x4 + 5x3 – 1
\frac { dy }{ dx } = 5x4 – 20x3 + 15x²
\frac { dy }{ dx } = 5x²(x² – 4x + 3)
= 5x²(x² – 3x – x + 3)
= 5x²[x(x – 3) – 1(x – 3)]
= 5x²(x – 3) (x – 1)
उच्छिष्ठ या निम्नष्टि के लिए
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= 20 – 60 + 30
= -ive (उच्विष्ठ)
उच्चिष्ठ मान = (1)5 – 5(1)4 + 5(1)3 – 1
= 1 – 5 + 5 – 1
= 0
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= 540 – 540 + 90 = 90
= +ive (निम्नष्ठ)
निम्नष्ठ फलन = (3)5 – 5(3)4 + 5(3)3 – 1
= 243 – 405 + 135 – 1
= -28

प्रश्न 2.
निम्नलिखित फलनों के अधिकतम तथा निम्नतम मान, यदि कोई हो, तो ज्ञात कीजिए।
(a) -|x + 1| + 3
(b) |x + 2| + 1
(c) |sin 4x + 3|
(d) sin 2x + 5
हल :
(a) माना g(x) = – |x + 1| + 3
– |x + 1|<0, अत: फलन का कोई निम्नतम मान नहीं है।
पुनः – |x + 1| का उच्चतम मान 0 हैं।
∴ – |x + 1| = 0 ⇒ x = -1 तब g(x) का उच्चतम मान 3 है।
[∵ g(-1) = – |-1 + 1| + 3 = 3]

(b) माना f(x) = |x + 2| – 1
|x + 2| > 0 अत: f(x) का कोई उच्चतम मान नहीं हैं।
पुनः |x + 2| का निम्नतम मान 0 है।
∴ |x + 2| = 0 ⇒x = – 2 तच f(x) का निम्नतम मान -1 है।।
(∵ f(-2) = |-2+2|-1 = 0 – 1 = – 1)

(c) माना f(x) = |sin 4x + 3|
sin 4x का अधिकतम मान 1 है।
∴ f(x) का अधिकतम मान |1+3| = 4 है।
पुन: sin 4x का निम्नतम मान -1 है।
∴ f(x) का निम्नतम मान |-1 + 3| = |2| = 2 है।

(d) माना h(x) = sin 2x + 5
sin (2x) का अधिकतम मान 1 है।
अत: h(x) का अधिकतम मान = 1 + 5 = 6
पुनः sin (2x) का निम्नतम मान -1 है।
अत: h(x) का निम्नतम मान – 1 + 5 = 4 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के गए अन्तराल में, अधिकतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए
(a) 2x3 – 24x + 107, x ∈ [1, 3]
(b) 3x4 – 2x3 – 6x2 + 6x + 1, x ∈ [0, 2]
(c) x + sin 2x, x ∈ [0, 27]
(d) x3 – 18x2 + 96x, x ∈[0, 9]
हल :
(a) माना y = 2x3 – 24x + 107, x ∈ [1, 3]
\frac { dy }{ dx } = 6x2 – 24
इच्चिष्ठ या निम्नष्ट के लिए,
\frac { dy }{ dx } = 0 ⇒ 6x2 – 24 = 0
⇒ x = ± 2
∵ x ∈ [1,3]
∴ x = 2
अब y1 = 2(1)3 – 24(1) + 107
= 2 – 24 + 107 = 85
y2 = 2(2)3 – 24(2) + 107
= 17 – 48 + 107 = 75
y3 = 2(3)3 – 24(3) + 107
= 54 – 72 + 107 = 85
अत: फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान स्थित नहीं है तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = 75 (x + 2 पर)।

(b) माना y = 3x4 – 2x3 – 6x2 + 6x + 1, x ∈ [0, 2]
x ∈ (0, 2)
\frac { dy }{ dx } = 12x3 – 6x2 – 12x + 6
= 6(2x3 – x2 – 2x + 1)
उच्चष्ठ निम्निष्ट के लिए,
\frac { dy }{ dx }=0
2x3 – 3x2 – 2x + 1 = 0
x²(2x – 1)- 1(2x – 1) = 0
(x² – 1)(2x – 1) = 0
x = ±1, \frac { 1 }{ 2 }
अत: x = 1,-1,0, 2, व \frac { 1 }{ 2 } पर फलन के म्यान झाल करेंगे ।
अब y1 = 3(1)4 – 2(1)3 – 6(1)2 + 6(1) + 1
y1 = 3 – 2 – 6 + 6 + 1 = 2
y-1 = 3(- 1)4 – 2(- 1)3 – 6(- 1)2 + 6(- 1) + 1
y-1 = 3 + 2 – 6 + 6 + 1
y-1 = – 6
y0 = 3(0)4 – 2(0)3 – 6(0)2 + 6(0) + 1
y0 = 1
y2 = 3(2)4 – 2(2)3 – 6(2)2 + 6(2) + 1
= 45 – 16 – 24 + 12 + 1 = 21
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अत: x = 0 पर निम्नतम मान = 1,
x = 2 पर अधिकतम मान = 21

(c) माना y = x + sin 2x, x ∈ [0, 27]
\frac { dy }{ dx } = 1 + 2 cos 2x
उच्चतम तथा निम्नतम मान के लिए, f'(x) = 0
f'(x) = 0
⇒ 1 + 2cos 2x = 0
2 cos 2x = – 1
cos 2x = -\frac { 1 }{ 2 }
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∴ फलन का उच्चतम भन x = 2π पर 2π व निम्नतम मान x = 0 पर 0

(d) माना y = x3 – 18x2 + 96x, x ∈[0, 9]
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३ञ्चतम या निम्नतम मान के लिए
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अत: x = 0 पर निम्नतम मान्न = 0
तथा x = 4 पर अधिकतम मान = 160

प्रश्न 4.
निम्न फलनों के चरम मान ज्ञात कीजिए
(a) sin x.cos 2x
(b) a sec x + b cosec x, 0<a<b
(c) (x)1/x x > 0
(d) \frac { 1 }{ x }logx ,x ∈ (0,∝)
हल :
(a) माना
y = sinx cos2x …(i)
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उच्छिष्ट्र तथा निम्पिनु मान के लिए
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x = \frac { \pi }{ 2 } पर फालन का निम्निष्ठ मान
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अत: फलने x = \frac { 3\pi }{ 2 } पर उच्चिष्त होगा
फलन का उच्च मान ।
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इसी प्रकार cosx = \sqrt { \frac { 5 }{ 6 } } पर ज्ञात किया था सकता है।

(b) माना y = a sec x + b cosec x
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उन्विष्ठ तथा निम्निष्ट मान के लिए
\frac { dy }{ dx }=0
a sec x.tan x – 6 cosec x.cot x = 0
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अत: फलन
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पर उच्चिष्ट होगा।
फलान का उच्चिष्ठ मान
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(c) माना y = (x)1/x
logy = \frac { 1 }{ x }logx
अवकलन करने पर,
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y के उच्चिष्ठ या निम्नष्ठि मान के लिए,
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अत: x = e पर फलन ब्दष्ठ हैं।
दिए गये फलन (x)1/x में x = e रखने पर फलन का उच्चिष्ठ मान = (e)1/e

(d) मान लीजिए y =  \frac { 1 }{ x }logx
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उच्चष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए
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∴ x = e पर फलन का मान उच्चष्ठ है।
x = e पर फलन का उच्चिष्ठ मान
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प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि x = cos x के लिए \frac { x }{ 1+xtanx } , मान इच्छिष्ठ है।
हल :
यदि x के किसी मान के लिए \frac { x }{ 1+xtanx } , उच्चिष्ठ हैं, तब इसका व्युत्क्रम \frac { 1+xtanx }{ x } निन्निष्ट होगा।
माना
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x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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y के उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए
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जोकि धनात्मक है।
अतः x = cos x पर \frac { 1+xtanx }{ x } निम्निष्ठ है।
⇒ x = cos x पर फलन \frac { x }{ 1+xtanx } उच्छिष्ठ है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए फलन sin (1 + cos x) का मान cos x = \frac { 1 }{ 3 } पर उच्चिष्ठ है।
हल :
माना
y = sin x.(1 + cos )
= sin x + sin x.cos x
= sin x + \frac { 1 }{ 2 } sin 2x
अवकलन करने पर
\frac { dy }{ dx } = cos x + cos 2x
पुन: अवकलन करने पर
\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } = – sin x – 2 sin 2x
उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ट मान के लिए

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अतः फलने x=\frac { 1 }{ 3 } या x=\frac { \pi }{ 3 } पर उच्चिष्ट होगा।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि फलन y = sinp θ.cosq θ का मान tan θ = \sqrt { \frac { p }{ q } } , पर उच्छिष्ठ है।
हल :
माना y = sinp x cosq x
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उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए \frac { dy }{ dx }=0
y( – q tan x + p cot x) = 0
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= -y{(q + p) + (p + q)} + 0
= -2y(p + q)
= -2(sinp x cosq x) (p + q)
= -ive
अतः y का मान उच्चिष्ठ होगा।
अतः y अर्थात् sinp x cosq x का मान उच्चिष्ठ होगा यदि
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इति सिद्धम्।