RBSE Class 6 Mathematics Chapter 5 Solutions in Hindi — अभाज्य समय

RBSE Class 6 Maths Chapter 5 Solutions in Hindi अभाज्य समय

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Class 6 Maths Chapter 5 Question Answer in Hindi Medium अभाज्य समय

अभाज्य समय कक्षा 6 Question Answer

Class 6 Maths Chapter 5 in Hindi अभाज्य समय

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 108)

इडली – वड़ा खेल
बच्चे वृत्ताकार बैठे हैं और संख्या का खेल, खेल रहे हैं। एक बच्चा ‘1’ बोलकर खेल शुरू करता है। दूसरा खिलाड़ी ‘2’ बोलता है और यह क्रम आगे बढ़ता रहता है, लेकिन जब 3, 6, 9 …. (3 के गुणज) की बारी आएगी तो खिलाड़ी संख्या बोलने के स्थान पर ‘इडली’ कहेगा । इसके साथ ही जब 5, 10, 15, …. (5 के गुणज) की बारी आएगी तो खिलाड़ी संख्या बोलने की जगह ‘वड़ा’ कहेगा। जब संख्या 3 और 5 दोनों का गुणज हो तो खिलाड़ी’ इडली – वड़ा’ कहेगा। यदि कोई खिलाड़ी गलती करता है तो उसे खेल से बाहर कर दिया जाएगा। खेल तब तक कई चरणों में चलता रहेगा, जब तक कि केवल एक खिलाड़ी शेष बच जाए।

प्रश्न 1.
किस संख्या पर दसवीं बार ‘इडली-वड़ा’ कहा जाएगा?
हल:
दसवीं बार ‘इडली-वड़ा’ कहा जाए, यह ज्ञात करने के लिए हमें संख्या 3 व 5 के वे गुणज लिखने होंगे जो दोनों के सामान्य गुणज (common multiple) हों।
15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, ………………..
अतः अभीष्ट दसवीं संख्या 150 है जब खिलाड़ियों को ‘इडली-वड़ा’ कहना है।

प्रश्न 2.
यदि खेल 1 से 90 तक की संख्याओं के लिए खेला जा रहा हो तो ज्ञात कीजिए-
(a) बच्चा कितनी बार ‘इडली’ कहेगा (इसमें ‘इडली-बड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
(b) बच्चा कितनी बार ‘बड़ा’ कहेगा (इसमें ‘इडली-बड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
(c) बच्चा कितनी बार ‘इडली-वड़ा’ कहेगा?
हल:
(a) ‘इडली’ 3 के गुणकों के लिए कहा जाता है। 1 से 90 के बीच 3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, …. 90 हैं। ऐसी 30 संख्याएँ हैं। इसलिए बच्चे 30 बार इडली कहेंगे।

(b) ‘वड़ा’ 5 के गुणजों के लिए कहा जाता है। 1 से 90 के बीच 5 के गुण 5, 10, 15, 20, 25, …, 90 हैं। ऐसी 18 संख्याएँ हैं। इसलिए बच्चे 18 बार वड़ा कहेंगे।

(c) ‘इडली – वड़ा’ 3 और 5 दोनों के गुणजों के लिए कहा जाता है जो 15 का गुणज है। 1 से 90 के बीच 15, 30, 45, 60, 75, 90 हैं। ऐसी 6 संख्याएँ हैं। इसलिए बच्चे 6 बार इडली – वड़ा कहेंगे।

प्रश्न 3.
क्या होगा यदि खेल 900 तक खेला जाएगा? इसके आधार पर आपके उत्तर में क्या परिवर्तन होंगे?
हल:
1 और 900 के बीच 3 के 300 गुणज हैं। 1 और 900 के बीच 5 के 180 गुणज हैं तथा 1 और 900 के बीच 15 के 60 गुणज हैं। अतः
(a) ‘इडली’ कहा जाएगा: 300 बार (जिसमें ‘इडली-बड़ा’ में कहा गया ‘इडली’ भी शामिल है)
(b) ‘वड़ा’ कहा जाएगा: 180 बार (जिसमें ‘इडली-वड़ा’ में कहा गया ‘वड़ा’ भी शामिल है)
(c) ‘इडली-वड़ा’ कहा जाएगा: 60 बार

प्रश्न 4.
क्या यह आकृति ‘इडली-बड़ा’ खेल से किसी रूप में संबंधित है?

संकेत-कल्पना कीजिए कि आप यह खेल 30 तक खेलते हैं। अगर आप 60 तक खेल खेलते हैं, तो ऐसी ही आकृति बनाइए।
हल:
हाँ, यह चित्र ‘इडली वड़ा’ खेल से सम्बन्धित है।
नीचे दिया गया चित्र 60 तक खेले गए खेल का है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 110)

प्रश्न 1.
310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।
हल:
310 और 410 के बीच आने वाले 40 के गुणज हैं: 320, 360 और 400

प्रश्न 2.
मैं कौन हूँ?
(a) मैं 40 से कम एक संख्या हूँ, मेरा एक गुणनखंड 7 है। मेरे अंकों का जोड़ 8 है।
(b) मैं 100 से छोटी एक संख्या हूँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 हैं। मेरा एक अंक, दूसरे से 1 अधिक है।
हल:
(a) संख्याओं 7, 14, 21, 28, 35 का सार्व गुणनखण्ड 7 है जो 40 से कम हैं। इनमें से एक संख्या 35 है जिसके अंकों का योग = 3 + 5 = 8 है। अत: मैं 35 हूँ।

(b) 3 और 5 के सार्व गुणज 15, 30, 45, 60, 75, 90 (जो कि 100 से कम हैं) हैं। इनमें से 45 वह संख्या है जिसमें एक अंक 5, दूसरे अंक 4 से 1 अधिक है।

प्रश्न 3.
एक संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या से दुगुना हो, संपूर्ण संख्या (Perfect Number) कहलाती है। संख्या 28 एक संपूर्ण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं, इनका योग 56 है जो कि 28 का दुगुना है। 1 से 10 तक के बीच एक संपूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
1 से 10 के बीच की 6 ही सम्पूर्ण संख्या है। क्योंकि 6 के गुणनखण्ड 1, 2, 3, 6 हैं, इनका योग 1 + 2 + 3 + 6 = 12 है। 12, 6 का दुगुना है।

प्रश्न 4.
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए—
(a) 20 और 28
(b) 35 और 50
(c) 4, 8 और 12
(d) 5, 15 और 25
हल:
(a) 20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 7, 14, 28
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हैं: 1, 2, 4

(b) 35 के गुणनखण्ड = 1, 5, 7, 35
50 के गुणनखण्ड = 1, 2, 5, 10, 25, 50
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1, 5

(c) 4 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4
8 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8
12 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
4, 8 और 12 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1, 2, 4

(d) 5 के गुणनखण्ड = 1, 5
15 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 15
25 के गुणनखण्ड = 1, 5, 25
5, 15 और 25 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1, 5

प्रश्न 5.
तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं।
हल:
25 के गुणज: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, …..
50 के गुणज: 50, 100, 150, 200, 250, 300, …..
अतः अभीष्ट संख्याएँ जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं हैं: 25, 75, 125, 175, …..

प्रश्न 6.
अंशु और उसके मित्र दो संख्याएँ लेकर ‘इडली-बड़ा’ खेल, खेल रहे हैं। दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं। पहली बार यदि कोई ‘इडली-वड़ा’ कहता है, तो वह संख्या 50 के पश्चात् आती है। वे दोनों संख्याएँ क्या होंगी, जिन्हें ‘इडली’ और ‘बड़ा’ कहा गया है?
हल:
यदि संख्या 50 के बाद ‘इडली-वड़ा’ कहा जाता है। तो इसका मतलब है कि दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 50 से थोड़ा अधिक होना चाहिए। 7 और 8 का LCM 56 है, जो 50 के पश्चात् पहली उभयनिष्ठ संख्या है, अतः अभीष्ट संख्याएँ 7 व 8 हैं।

प्रश्न 7.
खजाने की खोज खेल में ग्रम्पी ने खजाने को 28 और 70 पर रखा है। दोनों संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार क्या होना चाहिए?
हल:
28 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 7, 14, 28, 70
70 के गुणनखण्ड = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1, 2, 7 और 14
अतः 28 और 70 संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार 1, 2, 7 व 14 होना चाहिए।

प्रश्न 8.
नीचे दिए गए चित्र से गुणा ने उभयनिष्ठ गुणज को छोड़कर सभी संख्याओं को मिटा दिया है। पता लगाइए कि वे संख्याएँ कौन-सी हो सकती हैं? और उन लुप्त संख्याओं को खाली स्थान में लिखिए।

हल:

यहाँ 6 के स्थान पर 3 के गुणज भी लिए जा सकते हैं। 24, 48 और 72, 3 व 8 के भी उभयनिष्ठ गुणज हैं।

प्रश्न 9.
एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
हल:
7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज ज्ञात करने के लिए हमें 1 से 10 तक की संख्याओं (7 को छोड़कर) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा। यहाँ
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 × 2, 5 = 5, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5
∴ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360
अतः अभीष्ट संख्या 360 है जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज है।

प्रश्न 10.
एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
हल:
1 से 10 तक की सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करना (दोनों को मिलाकर)। 1 से 10 तक का LCM ज्ञात करते हैं—

∴ LCM = अन्य गुणनखण्डों के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात का गुणनफल
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7
= 2520
अतः वह सबसे छोटी संख्या जो 1 से लेकर 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज है, 2520 है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 114)

प्रश्न 1.
हम देखते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है और यह सम संख्या भी है। क्या कोई अन्य सम अभाज्य संख्या है?
हल:
नहीं, 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। 2 एकमात्र संख्या है जो अभाज्य संख्या के मानदंड को पूरा करती हैं। (2 को 1 और स्वयं 2 ही विभाजित करता है)। अन्य सभी सम संख्याएँ 1, 2 और स्वयं से विभाज्य हैं।

प्रश्न 2.
100 तक की अभाज्य संख्याओं की सूची देखिए । दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं में न्यूनतम एवं अधिकतम अंतर क्या है?
हल:
100 तक की अभाज्य संख्याएँ हैं : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच अन्तर

न्यूनतम अन्तर = 1 (2 व 3 के बीच)
अधिकतम अन्तर = 8 (89 व 97 के बीच)

प्रश्न 3.
क्या प्रत्येक पंक्ति में एक समान संख्या में अभाज्य संख्याएँ थीं? किन दहाइयों में न्यूनतम अभाज्य संख्याएँ हैं? यह भी बताइए कि पिछले पृष्ठ पर दी गई सारणी में किनमें अधिकतम अभाज्य संख्याएँ हैं?

हल:
हर पंक्ति में अभाज्य संख्याओं की संख्या समान नहीं होती । पंक्तियों के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या अलग-अलग होती है। 90 – 99 के दशक में अभाज्य संख्याओं की संख्या सबसे कम है, जिसमें केवल एक अभाज्य संख्या 97 है। 0 – 9 और 10 -19 के दशकों में अभाज्य संख्याओं की संख्या सबसे अधिक है जिनमें से प्रत्येक में 4 अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य हैं— 23, 51, 37, 26 ?
हल:
23 और 37 के 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है। अतः यहाँ 23 और 37 अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रश्न 5.
अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म लिखिए, जो 20 से कम हों और उनका योग 5 का गुणज हो।
हल:
20 से कम अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म, जिनका योग 5 का गुणज हो, निम्न हैं:
(2, 3), (2, 13), (7, 13)

प्रश्न 6.
संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में अंक 1 और 3 समान हैं। 100 तक की संख्याओं में से ऐसे अन्य सभी अभाज्य संख्याओं के युग्म ज्ञात कीजिए।
हल:
100 तक की अभाज्य संख्याओं के युग्म जिनमें अंक समान हों: (13, 31), (17, 71), (37, 73) और (79, 97)

प्रश्न 7.
1 से 100 के बीच 7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए।
हल:
7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ हैं : 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96

प्रश्न 8.
अभाज्य संख्याओं के युग्म जिनका अंतर 2 हो जुड़वाँ अभाज्य युग्म (Twin Primes) कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, 3 और 5 जुड़वाँ अभाज्य युग्म हैं, इसी प्रकार 17 और 19 हैं। 1 से 100 के बीच अन्य जुड़वाँ अभाज्य युग्म ज्ञात कीजिए।
हल:
3 और 5, 17 और 19 के अलावा 1 और 100 के बीच के अभाज्य जुड़वाँ अंक इस प्रकार हैं:
(5, 7), (11, 13), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)

प्रश्न 9.
प्रत्येक कथन को सही या गलत के रूप में पहचानिए एवं स्पष्ट कीजिए—
(a) ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो।
(b) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है।
(c) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।
(d) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती हैं।
(e) संख्याएँ 2 तथा 3 अभाज्य हैं। अन्य प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए अगली संख्या भाज्य है।
हल:
(a) सत्य कथन
एक अभाज्य संख्या का इकाई अंक 1, 3, 7 या 9 होता है (2 को छोड़कर)। जिन संख्याओं का इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 होता है, वे 2 से विभाज्य संख्याएँ होती हैं। इस प्रकार कोई भी अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो।

(b) असत्य कथन
जब दो या अधिक अभाज्य संख्याओं को गुणा करते हैं तो परिणाम हमेशा एक भाज्य संख्या होती है, अभाज्य नहीं। जैसे – 2 × 3 = 6, 2 × 5 = 10 आदि।

(c) असत्य कथन
अभाज्य संख्याओं के ठीक दो गुणनखण्ड होते हैं, 1 और स्वयं संख्या।

(d) असत्य कथन
संख्या 2 एक सम संख्या है, लेकिन यह भाज्य नहीं है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

(e) सत्य कथन
2 से बड़ी हर अभाज्य संख्या के लिए, अगली संख्या भाज्य है। उदाहरणार्थ 5 एक अभाज्य संख्या है और अगली संख्या 6 से भाज्य है। अगली संख्या हमेशा सम होगी, जो सदैव 2 से विभाज्य है।

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या को तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं?
45, 60, 91, 105, 330.
हल:
45 = 3 × 3 × 5 (दो अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)
60 = 2 × 2 × 3 × 5 (तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)
91 = 7 × 13 (दो अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)
105 = 3 × 5 × 7 (तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)
330 = 2 × 3 × 5 × 11 (चार अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)

प्रश्न 11.
अंक 2, 4 और 5 का एक बार प्रयोग करके आप तीन अंकों की कितनी अभाज्य संख्याएँ बना सकते हैं?
हल:
अंक 2, 4 और 5 मिलकर एक अभाज्य संख्या नहीं बना सकते क्योंकि जब इकाई अंक 2 या 4 होता है तो यह 2 से विभाजित होती है और जब इकाई अंक 5 होता है तो संख्या 5 से विभाजित होती है। इसलिए अंक 2, 4 और 5 मिलकर एक अभाज्य संख्या नहीं बना सकते।

प्रश्न 12.
ध्यान दीजिए कि 3 एक अभाज्य संख्या है और 2 × 3 + 1 = 7 भी एक अभाज्य संख्या है। क्या और भी ऐसी अभाज्य संख्याएँ हैं, जिन्हें 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम पाँच उदाहरण ज्ञात कीजिए।
हल:
पाँच अभाज्य संख्याएँ जिन्हें 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।
(1) 2 (चूँकि 2 × 2 + 1 = 5)
(2) 3 (चूँकि 3 × 2 + 1 = 7)
(3) 5 (चूँकि 5 × 2 + 1 = 11)
(4) 11 (चूँकि 11 × 2 + 1 = 23)
(5) 23 (चूँकि 23 × 2 + 1 = 47)

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 120)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए—
64, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000
हल:

प्रश्न 2.
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में एक बार 2, दो बार 3 और एक बार 11 हो, तो वह संख्या क्या होगी?
हल:
अभीष्ट संख्या प्राप्त करने के लिए हमें दी गई अभाज्य संख्याओं को गुणा करना पड़ेगा।
2 × 3 × 3 × 11= 198
अतः अभीष्ट संख्या = 198

प्रश्न 3.
30 से छोटी ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए, जिनका गुणनफल 1955 हो?
हल:
1955 का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
1955 = 5 × 17 × 23
सभी अभाज्य गुणनखण्ड संख्या हैं तथा 30 से कम हैं अतः अभीष्ट तीन अभाज्य संख्याएँ = 5, 17, 23

प्रश्न 4.
बिना गुणा किए निम्न संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए—
(a) 56 × 25
(b) 108 × 75
(c) 1000 × 81
हल:
(a) 56 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 7
25 के अभाज्य गुणनखण्ड = 5 × 5
अतः 56 × 25 के अभाज्य गुणनखण्ड
= 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7

(b) 108 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
75 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 5 × 5
108 × 75 के अभाज्य गुणनखण्ड
= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

(c) 1000 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
81 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 3 × 3 × 3
1000 × 81 के अभाज्य गुणनखण्ड
= 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5

प्रश्न 5.
वह छोटी से छोटी संख्या क्या होगी जिसके अभाज्य गुणनखण्डन में
(a) तीन अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
(b) चार अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
हल:
(a) सबसे छोटी तीन अभाज्य संख्याएँ 2, 3 व 5 हैं। अतः सबसे छोटी संख्या जिसके अभाज्य गुणनखण्ड में तीन अलग अभाज्य संख्याएँ हैं = 2 × 3 × 5 = 30

(b) सबसे छोटी चार अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 व 7 हैं। इन चार अभाज्य संख्याओं से प्राप्त होने वाली सबसे छोटी संख्या है = 2 × 3 × 5 × 7 = 210

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 122)

प्रश्न 1.
क्या निम्नलिखित संख्या युग्म सह अभाज्य संख्याएँ हैं? पहले अनुमान लगाइए फिर अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करके अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(a) 30 और 45
(b) 57 और 85
(c) 121 और 1331
(d) 343 और 216
हल:
(a) 30 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 3 × 5
45 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 3 × 5
दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 3 × 5 = 15
अतः 30 व 45 सह अभाज्य संख्याओं का युग्म नहीं हैं।

(b) 57 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 19
85 के अभाज्य गुणनखण्ड = 5 × 17
यहाँ 57 व 85 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड के अतिरिक्त कोई नहीं है। अतः 57 और 87 सहअभाज्य संख्याओं का युग्म हैं।

(c) 121 के अभाज्य गुणनखण्ड = 11 × 11
1331 के अभाज्य गुणनखण्ड = 11 × 11 × 11
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 11 × 11 = 121
अत: 121 और 1331 सहअभाज्य संख्याओं का युग्म नहीं हैं।

(d) 343 के अभाज्य गुणनखण्ड = 7 × 7 × 7
216 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
इन दोनों संख्याओं का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। अतः यह सहअभाज्य संख्या युग्म है।

प्रश्न 2.
क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाजित होती है? अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग कीजिए ।
(a) 225 और 27
(b) 96 और 24
(c) 343 और 17
(d) 999 और 99
हल:
(a) 225 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 3 × 5 × 5
27 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 3 × 3
चूँकि 225 के अभाज्य गुणनखण्ड में 3 × 3 आता है परन्तु 3 × 3 × 3 नहीं इसलिए 225 में 27 से विभाज्य होने के पर्याप्त गुणनखण्ड नहीं हैं। अत: 225, 27 से विभाज्य नहीं है।

(b) 96 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
और 24 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 3
चूँकि 24 के अभाज्य गुणनखण्ड, 96 के अभाज्य गुणनखण्डों में शामिल हैं, अत: 96, 24 से विभाज्य है।

(c) 343 के अभाज्य गुणनखण्ड = 7 × 7 × 7
और 17 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1 × 17
चूँकि 343 के अभाज्य गुणनखण्ड में 17 के अभाज्य गुणनखण्ड शामिल नहीं हैं। अत: 343, 17 से विभाज्य नहीं है।

(d) 999 के अभाज्य गुणनखण्ड 3 × 3 × 3 × 37
99 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 3 × 11
चूँकि 999 के अभाज्य गुणनखण्ड में 11 नहीं है। अतः 999, 99 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 3.
पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3 × 7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 7 × 11 है। क्या ये दोनों सह-अभाज्य संख्याएँ हैं? क्या इनमें से एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित करती है?
हल:
दी गई संख्याएँ 2 × 3 × 7 और 3 × 7 × 11, समान गुणनखण्ड 3 व 7 साझा करती हैं। इसलिए वे सह अभाज्य नहीं हैं। किसी संख्या में दूसरे के सभी गुणनखण्ड शामिल नहीं हैं अतः एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित नहीं करती।

प्रश्न 4.
गुणा कहता है, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।” क्या वह सही है?
हल:
हाँ, गुणा सही है। कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह अभाज्य होती हैं क्योंकि इनमें 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं होता है। जैसे 3 और 5, 5 और 11 आदि।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 125)

प्रश्न 1.
2024 एक अधिवर्ष है (अर्थात् फरवरी में 29 दिन होते हैं)। अधिवर्ष हर उस वर्ष में होता है जो 4 के गुणज होते हैं, सिवाय उन वर्षों के जो 100 से तो विभाजित हैं लेकिन 400 से नहीं।
(a) आपके जन्म के वर्ष से लेकर अब तक कौन-से वर्ष अधिवर्ष थे?
(b) वर्ष 2024 से 2099 तक कितने अधिवर्ष होंगे?
हल:
(a) स्वयं कीजिए। जैसे यदि आपका जन्म वर्ष 2010 है तब 2010 से 2024 तक 4 अधिवर्ष हैं: 2012, 2016. 2020 और 2024

(b) वर्ष 2024 से 2099 तक अधिवर्ष हैं: 2024 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096
अतः 2024 से 2099 तक 19 अधिवर्ष हैं।

प्रश्न 2.
सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4 अंकों की संख्याओं का पता लगाइए, जो 4 से विभाज्य हों और पैलिंड्रोम भी हों?
हल:
4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 2112 है जो 4 से विभाज्य है और पैलिंड्रोम भी है।
4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 8888 है जो 4 से विभाज्य है और पैलिंड्रोम भी है।

प्रश्न 3.
खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन सदैव सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी भी सत्य नहीं है। आप अपने तर्क के समर्थन में उदाहरण दे सकते हैं।
(a) दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
(b) दो विषम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
हल:
(a) ‘दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है’ यह कथन कभी-कभी सत्य है। जैसे 2 + 6 = 8, 4 का गुणज है जबकि 6 + 4 = 10, 4 का गुणज नहीं है।

(b) ‘दो विषम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है’ यह कथन कभी-कभी सत्य है। जैसे 1 + 7 = 8, 4 का गुणज है जबकि 3 + 7 = 10, 4 का गुणज नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को (a) 10, (b) 5, (c) 2 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345
हल:
(i) 78 : यहाँ हमें 78 को 10, 5 और 2 से विभाजित करना है।


शेष विद्यार्थी स्वयं करें।

प्रश्न 5.
शिक्षक ने पूछा कि क्या 14560, संख्याओं 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य है। गुणा ने इनमें से केवल दो संख्याओं से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और कहा कि 14560 उन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है। वे दो संख्याएँ क्या हो सकती हैं?
हल:
यदि कोई संख्या 8 से विभाज्य है तो वह स्वतः ही 2 व 4 से भी विभाज्य होगी। इसी प्रकार यदि कोई संख्या 10 से विभाज्य है तब वह संख्या स्वतः ही 2 व 5 से भी विभाज्य होगी। अतः गुना ने केवल 8 व 10 से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और कहा कि 14560 उन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य हैं?
572, 2352, 5600, 6000, 77622160
हल:
अभीष्ट संख्याएँ हैं : 5600, 6000, 77622160

प्रश्न 7.
दो संख्याएँ लिखिए जिनका गुणनफल 10000 हो। दोनों संख्याओं का इकाई का अंक शून्य नहीं होना चाहिए।
हल:
10000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5
इसलिए 2 × 2 × 2 × 2 = 16
5 × 5 × 5 × 5 = 625
अतः 16 व 625 वे अभीष्ट दो संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल 10000 है।

Class 6 Maths Chapter 5 Hindi Medium अभाज्य समय

Class 6th Maths Chapter 5 Question Answer in Hindi

बहुविकल्पात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1.
निम्न में भाज्य संख्या है—
(अ) 5
(ब) 13
(स) 12
(द) 23
उत्तर:
(स) 12

प्रश्न 2.
वे संख्याएँ जिनके गुणनखण्ड 1 और स्वयं वह संख्या ही होते हैं, कहलाती हैं—
(अ) अभाज्य संख्याएँ
(ब) भाज्य संख्याएँ
(स) सह-अभाज्य संख्याएँ
(द) अर्द्ध-भाज्य संख्याएँ
उत्तर:
(अ) अभाज्य संख्याएँ

प्रश्न 3.
निम्न में से 3 से विभाज्य संख्या है—
(अ) 29
(ब) 71
(स) 81
(द) 91
उत्तर:
(स) 81

प्रश्न 4.
6 के सभी गुणनखण्ड हैं—
(अ) 2, 3, 6
(ब) 1, 2, 3, 6
(स) 0, 1, 2, 3, 6
(द) 2, 4, 6
उत्तर:
(ब) 1, 2, 3, 6

प्रश्न 5.
4 और 18 के सार्व गुणनखण्ड हैं—
(अ) 2, 4, 6, 9
(ब) 2, 4, 8
(स) 2
(द) 1, 2
उत्तर:
(द) 1, 2

प्रश्न 6.
निम्न में से अभाज्य संख्या है—
(अ) 23
(ब) 18
(स) 25
(द) 15
उत्तर:
(अ) 23

प्रश्न 7.
निम्न में से 54 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं—
(अ) 2 × 27
(ब) 2 × 3 × 9
(स) 54 × 1
(द) 2 × 3 × 3 × 3
उत्तर:
(द) 2 × 3 × 3 × 3

प्रश्न 8.
12 और 18 का ल.स. होगा—
(अ) 12
(ब) 36
(स) 54
(द) 72
उत्तर:
(ब) 36

प्रश्न 9.
निम्न में से अभाज्य संख्या नहीं है—
(अ) 2
(ब) 1
(स) 3
(द) 5
उत्तर:
(ब) 1

प्रश्न 10.
2 से विभाज्य वाली संख्या होगी—
(अ) 120
(ब) 115
(स) 313
(द) 523
उत्तर:
(अ) 120

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—

1. एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखण्ड का एक ………………….. होती है।
उत्तर:
गुणज

2. वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखण्ड होते हैं ………………………. संख्याएँ कहलाती हैं।
उत्तर:
भाज्य

3. जिन प्राकृत संख्याओं में 2 का पूरा-पूरा भाग जाता है, वे ………………….. संख्याएँ कहलाती हैं।
उत्तर:
सम

4. दो या अधिक संख्याओं का ल.स. (LCM) उसके सार्व ………………….. में से सबसे छोटा होगा।
उत्तर:
गुणजों

5. संख्या 6 और 28 ………………….. संख्यायें हैं।
उत्तर:
संपूर्ण

6. एक दी हुई संख्या के गुणजों की संख्या ………………….. हैं।
उत्तर:
अपरिमित

7. प्रत्येक संख्या ………………….. का एक गुणज है।
उत्तर:
स्वयं

8. एक संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से ………………….. होता है।
उत्तर:
बड़ा या बराबर

9. ………………….. प्रत्येक संख्या का एक गुणनखण्ड होता है।
उत्तर:
1

10. एक संख्या का प्रत्येक गुणनखण्ड उस संख्या का एक पूर्ण ………………….. होता है।
उत्तर:
विभाजक

सत्य / असत्य कथन बताइये—

(i) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
उत्तर:
असत्य

(ii) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
उत्तर:
सत्य

(iii) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।
उत्तर:
सत्य

(iv) यदि किसी सम संख्या को 2 से भाग दिया जाए, तो भागफल सदैव विषम होता है।
उत्तर:
असत्य

(v) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
उत्तर:
असत्य

(vi) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते।
उत्तर:
असत्य

(vii) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।
उत्तर:
असत्य

सही मिलान कीजिए—

प्रश्न 1.

उत्तर:
(i) – (d) (ii) – (e) (iii) – (a) (iv) – (b) (v) – (c)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1.
36 के सभी गुणनखण्ड लिखिए।
उत्तर:
36 के सभी गुणनखण्ड – 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36

प्रश्न 2.
7 के प्रथम पाँच गुणज लिखिए।
उत्तर:
7 × 1 = 7, 7 × 2 = 14, 7 × 3 = 21, 7 × 4 = 28, 7 × 5 = 35
अर्थात् 7, 14, 21, 28 और 35

प्रश्न 3.
सम्पूर्ण संख्या किसे कहते हैं?
उत्तर:
यह संख्या जिसके सभी गुणनखण्डों का योग उस संख्या का दोगुना हो, एक सम्पूर्ण संख्या कहलाती है।

प्रश्न 4.
6 के सभी प्रथम पाँच गुणज लिखिये।
उत्तर:
6 × 1 = 6, 6 × 2 = 12, 6 × 3 = 18,
6 × 4 = 24, 6 × 5 = 30
अर्थात वांछित गुणज 6, 12, 18, 24 और 30 हैं।

प्रश्न 5.
अभाज्य संख्याओं को परिभाषित कीजिये।
उत्तर:
वे संख्याएँ जिनके गुणनखण्ड 1 और स्वयं वह संख्या ही होते हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

प्रश्न 6.
भाज्य संख्याएँ क्या होती हैं?
उत्तर:
वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखण्ड होते हैं। भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

प्रश्न 7.
यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो, तो वह संख्या कौनसी संख्या से भी विभाजित होती है?
उत्तर:
वह संख्या 6 से भी विभाज्य होती है।

प्रश्न 8.
अभाज्य संख्या 53 को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर:
53 = 3 + 19 + 31

प्रश्न 9.
100 से छोटी ऐसी सभी संख्याएँ लिखिए जो 3 और 4 के सार्व गुणज हैं।
हल:
3 और 4 सह अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए 3 और 4 के उभयनिष्ठ गुणज 3 × 4 = 12 हैं।
∴ 100 से छोटी संख्याएँ जो 3 और 4 के सार्व गुणज हैं—
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 और 96

प्रश्न 10.
एक संख्या 5 और 12 दोनों से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से यह संख्या सदैव विभाज्य होगी?
हल:
क्योंकि संख्या 5 और 12 से विभाज्य है तथा 5 और 12 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए यह 5 × 12 = 60 से भी सदैव विभाज्य होगी।

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1.
8, 12 तथा 20 के सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणनखण्ड-1, 2, 4 तथा 8
12 के गुणनखण्ड-1, 2, 3, 4, 6 तथा 12
20 के गुणनखण्ड – 1, 2, 4, 5, 10 तथा 20
स्पष्टत: 8, 12 तथा 20 के सार्व गुणनखण्ड 1, 2 तथा 4 हैं।

प्रश्न 2.
20, 25 और 30 का ल.स. ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः 20, 25 तथा 30 का ल.स. = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300

प्रश्न 3.
दी गई संख्याओं के चार-चार गुणज लिखें।
(i) 7, ……………, ……………, ……………, ……………
(ii) 13, ……………, ……………, ……………, ……………
(iii) 17, ……………, ……………, ……………, ……………
(iv) 19, ……………, ……………, ……………, ……………
हल:
(i) 7, 14, 21, 28, 35
(ii) 13, 26, 39, 52, 65
(iii) 17, 34, 51, 68, 85
(iv) 19, 38, 57, 76, 95

प्रश्न 4.
बिना भाजन क्रिया के 67527 में 9 से भाजकता की जाँच कीजिये।
हल:
67527 के अंकों का योग = 6 + 7 + 5 + 2 + 7= 27 जो 9 से पूर्णतया भाज्य है।
अतः संख्या 67527, 9 से पूर्णतया भाज्य है।

प्रश्न 5.
1729 के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखंडों में यदि कोई संबंध है तो लिखिए।
हल:

अतः 1729 के अभाज्य गुणनखण्ड = 7 × 13 × 19
स्पष्टतः दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों के बीच 6 का अन्तर है।

प्रश्न 6.
तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।
हल:
कुछ तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल
1 × 2 × 3 = 6 11 × 12 × 13 = 1716
2 × 3 × 4 = 24 17 × 18 × 19 = 5814
3 × 4 × 5 = 60 20 × 21 × 22 = 9240
प्रत्येक गुणनफल में इकाई का अंक 6, 4 या 0 है। इसलिए प्रत्येक गुणनफल 2 से विभाज्य है और इन गुणनफलों के अंकों का योग 6, 9, 12, 15 तथा 18 हैं जो कि 3 से विभाज्य हैं। इसलिए प्रत्येक गुणनफल 3 से विभाज्य है। जैसा कि 2 और 3 सह- अभाज्य है, इसलिए 2 × 3 = 6 ऊपर के प्रत्येक गुणनफल को विभाजित करेगा।
इसलिए तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य है।

प्रश्न 7.
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।
उत्तर:
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग—
3 + 5 = 8, 5 + 7 = 12, 11 + 13 = 24,
23 + 25 = 48, 51 + 53 = 104, 69 + 71 = 140
स्पष्टतः ऊपर दी गई दो क्रमागत विषम संख्याओं का प्रत्येक योग 4 से विभाजित हो रहा है। अतः यह सत्य है कि दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है।

निबन्धात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1.
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करो जिसमें 9, 15, 25 का भाग देने पर हर अवस्था में 4 शेष रहे।
हल:
चूँकि यहाँ वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करनी है जिसमें 9, 15, 25 का भाग देने के बाद शेष 4 रहे। अतः ल. स. द्वारा इन संख्याओं की हम पहले वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करेंगे जिसमें इन संख्याओं का पूरा-पूरा भाग जाता हो, यथा—

ल. स. = 5 × 3 × 3 × 5 = 225
इस संख्या में 4 और जोड़ने पर वह अभीष्ट संख्या प्राप्त होगी।
अत: 225 + 4 = 229

प्रश्न 2.
चार घड़ियाँ क्रमश: 5, 8, 10, 12 मिनट बाद बजती हैं। एक साथ बजने के कितने समय पश्चात् चारों घड़ियाँ पुनः एक साथ बजेंगी?
हल:
5, 8, 10, 12 का ल.स. ज्ञात करेंगे।

∴ ल. स. = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
चारों घड़ियाँ 120 मिनट अर्थात 2 घण्टे बाद पुनः साथ-साथ बजेंगी।

प्रश्न 3.
रेणु 75 किग्रा और 69 किग्रा भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती है। भार के उस बट्टे का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा-पूरा माप ले।
हल:
75 किग्रा. और 69 किग्रा. खाद वाली बोरियों को मापना है। इसलिए भार इतना होना चाहिए कि वह दोनों क्षमताओं वाली बोरियों को पूरा-पूरा भाग दे। साथ ही साथ उसका मान अधिकतम होना चाहिए। इसलिए अधिकतम भार 75 और 69 का म.स. होगा।
हम देखते हैं कि

∴ 69 = 3 × 23 और 75 = 3 × 5 × 5
इस प्रकार 69 और 75 का म.स. = 3
∴ भार का अधिकतम मान 3 किग्रा.

प्रश्न 4.
तीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारम्भ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमश: 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी है। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे कि वह दूरी पूरे-पूरे कदमों में तय हो जाए?
हल:
तीन लड़के एक स्थान से एक साथ चलते हैं और उनके कदमों की माप है क्रमश: 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी। प्रत्येक द्वारा पूरे-पूरे कदमों में तय की जाने वाली न्यूनतम तथा समान दूरी ज्ञात करने के लिए हम 63, 70 और 77 का ल.स.

∴ अभीष्ट ल.स. = 2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 11
= 6930 सेमी
∴ प्रत्येक द्वारा तय की गई न्यूनतम दूरी ताकि वह दूरी पूरे-पूरे कदमों में तय हो जाए = 6930 सेमी
= 69.30 मी.