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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 7 गणित (गणित प्रकाश) — पाठगत प्रश्न एवं अभ्यास के चरण-दर-चरण सटीक हल।

RBSE कक्षा 7 गणित — अध्याय 4

SECTION_SOLUTIONS_START भाग 1: समाधान — पाठगत एवं अभ्यास के संपूर्ण हल

पाठगत प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजक के मान ज्ञात कीजिए ।
1. 23 – 10 × 2
2. 83 + 28 – 13 + 32
3. 34 – 14 + 20
4. 42 + 15 – (8 – 7)
5. 68 – (18 + 13)
6. 7 × 4 + 9 × 6
7. 20 + 8 × (16 – 6)
हल:
1. 23 – 10 × 2 = 23 + (-10 × 2)
= 23 + (-20)
= 23 – 20 = 3

2. 83 + 28 – 13 + 32

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 1

3. 34 – 14 + 20 = (34 – 14) + 20
= 20 + 20 = 40

4. 42 + 15 -(8 – 7) = 42 + 15 – 1
= 42 + (15 – 1)
= 42 + 14 = 56

5. 68 – (18 + 13)

6. 7 × 4 + 9 × 6 = 28 + 54 = 82

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 2

7. 20 + 8 × (16 – 6) = 20 + 8 × 10
= 20 + 80= 100

प्रश्न 2.
इनमें से प्रत्येक का अवलोकन कीजिए और यदि कोई त्रुटि हो तो पहचानिए। इसके बाद उन्हें सुधार कर व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
1. 10 – a = 10 – (-4)
= 10 + 4= 14

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 3

2. 3d = 3 × 6 = 18

3. 3s – 2 = 3 × (7) – 2
= 21 – 2 = 19

4. 2r + 1 = 2 × 8 + 1
= 16 + 1
= 17

5. 2j = 2 × 5 = 10

6. 3(m + 1) = 3(-6 + 1)
= 3(-5) = – 15

7. 2f – 2g = 2 × 3 – 2 × 1
= 6 – 2 = 4

8. 2t + b = 2 × 4 + 3
= 8 + 3 = 11

9. h – (3 – n) = 5 – (3 – 6)
= 5 – (-3)
= 5 + 3 = 8

प्रश्न 1.
नीचे कुछ बीजगणितीय व्यंजकों को सरल किया गया है । दाईं ओर दिए गए व्यंजक अपने सरलतम रूप में होने चाहिए।
प्रत्येक व्यंजक का निरीक्षण कीजिए और यदि कोई त्रुटि हो तो देखिए। फिर इसे सही विधि से सरल कीजिए ।

व्यंजक	सरलतम रूप	सही सरलतम रूप
1. 3a + 2b	5
2. 3b – 2b – b	0
3. 6(p + 2)	6p + 8
4. (4x + 3y) – (3x + 4y)	x + y
5. 5 – (2 – 6z)	3 – 6z
6. 2 + (x + 3)	2x – 6
7. 2y + (3y – 6)	-y + 6
8. 7p – p + 5q – 2q	7p + 3q
9. 5 (2w + 3x + 4w)	10w + 15x + 20w
10. 3j + 6k + 9h + 12	3(j + 2k + 3h + 4)
11. 4(2r + 3s + 5)	-20 – 8r – 12s

हल:
1. 3a + 2b
2. 0
3. 6p + 12
4. x – y
5. 3 + 6z
6. x + 5
7. 5y – 6
8. 6p + 3q
9. 10w + 15x + 20w
10. 3(j + 2k + 3h + 4)
11. 8r + 12s + 20

प्रश्न 1.
इस संख्या – मशीन के सूत्र का पता लगाइए ।

हल:
सूत्र = पहली संख्या के दुगुने में से दूसरी संख्या
घटाना बीजगणितीय व्यंजक = 2a – b
2 × 6 – 4 = 8

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 4

प्रश्न 1.
नीचे दी गई संख्या – मशीनों के लिए सूत्रों का पता लगाइए और प्रत्येक समूह के निविष्ट के लिए व्यंजक लिखिए ।

हल:
(i) सूत्र = पहली संख्या में दूसरी संख्या को जोड़कर 2 घटाना
बीजगणितीय व्यंजक = a + b – 2
(ii) सूत्र = पहली संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करके 1 जोड़ना
बीजगणितीय व्यंजक = ab + 1
10 × 3 + 1

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 5

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 84)

प्रश्न 1.
परिमाप के लिए सूत्र लिखिए-

(a) समान भुजाओं वाला त्रिभुज

(b) एक सम पंचभुज ( जैसा कि हम गत वर्ष सीख चुके हैं कि हम ‘सम’ शब्द का उपयोग यह बताने के लिए करते हैं कि सभी भुजाओं की लम्बाई और कोणों के माप समान हैं ) ।

हल:
(a) त्रिभुज का परिमाप = 3 × a
जहाँ a प्रत्येक बराबर भुजा की लंबाई को दर्शाता है।

(b) सम पंचभुज का परिमाप = 5 × a
जहाँ a प्रत्येक बराबर भुजा की लंबाई को दर्शाता है।

प्रश्न 2.
मुनिरत्न के पास 20 मी. लंबा पाइप है । यद्यपि उसे उसके बगीचे के लिए एक अधिक लंबे पानी के पाइप की आवश्यकता है । वह इसमें कुछ और लंबाई का एक अन्य पाइप जोड़ता है। पाइप की कुल लंबाई के लिए व्यंजक दीजिए । अन्य पाइप की लंबाई को मीटर में दर्शाने के लिए अक्षर- संख्या ” का उपयोग कीजिए ।
हल:
पाइप की संयुक्त लंबाई
= 20 मीटर + दूसरे पाइप की लंबाई
= 20 मीटर + k मीटर
= (20 + k) मीटर

प्रश्न 3.
यदि कृतिका के पास ₹100, ₹20 एवं ₹5 के निम्नलिखित संख्या में नोट हैं तो बताइए उसके पास कुल कितने रुपये हैं? दी गई सारणी पूर्ण कीजिए –

हल:

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 6

₹ 100 के नोटों की संख्या	₹20 के नोटों की संख्या	₹5 के सिक्कों की संख्या	व्यंजक और कुल राशि
3	5	6	3 × 100 + 5 × 20 + 6 × 5= 300 + 100 + 30 = ₹ 430
6	4	3	6 × 100 + 4 × 20 + 3 × 5= ₹ 695
8	4	z	8 × 100 + 4 × 20 + z × 5= 800 + 80 + 5z= ₹(880 + 5z)
x	y	z	x × 100 + y × 20 + z × 5= ₹(100x + 20y + 5z)

प्रश्न 4.
वेंकटलक्ष्मी की एक आटा चक्की है। रोलर मिल को शुरू होने में 10 सेकंड लगते हैं। एक बार शुरू हो जाने पर अनाज के प्रत्येक किलोग्राम को आटे के रूप में पीसने में 8 सेकंड लगते हैं। यह मानते हुए कि प्रारंभ में मशीन बंद थी, नीचे दिए गए व्यंजकों में से कौन-सा व्यंजक ” किलोग्राम अनाज को पूर्णतया पीसने में लगने वाले समय को दर्शाता है ?

(a) 10 + 8 + y

(b) (10 + 8) × y

(d) 10 + 8 × y

हल:
रोलर मिल को शुरू होने में लगा समय
= 10 सेकंड
1 किलोग्राम अनाज को आटे के रूप में पीसने में लगा समय = 8 सेकंड
किलोग्राम अनाज को पीसने में लगा समय = 8 × y सेकंड
y किलोग्राम अनाज को पीसने में लगा कुल समय, यह मानते हुए कि मशीन शुरू में बंद है
= 10 + 8 × y
अतः व्यंजक (d) 10 + 8 × y सही व्यंजक है ।

प्रश्न 5.
अपनी पसंद के अक्षर का उपयोग करके बीजगणितीय व्यंजक लिखिए-

(a) एक संख्या से 5 अधिक

(b) एक संख्या से 4 कम

(d) एक संख्या के 2 गुना से 13 कम

हल:
मान लीजिए अक्षर x दी गई संख्या को दर्शाता है । तब इसके लिए बीजीय व्यंजक :

(a) एक संख्या से 5 अधिक = x + 5 (b) एक संख्या से कम = x – 4 (c) एक संख्या के 13 गुना से 2 कम = 13x – 2 (d) एक संख्या के 2 गुना से 13 कम = 2x – 13

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजकों की संगत स्थितियों का वर्णन कीजिए-

(a) 8 × x + 3 × y

(b) 15 × j – 2 × k

हल:
(a) एक पेन की कीमत ₹8 है और एक पेंसिल की कीमत ₹3 है । x पेन और y पेंसिल की कुल लागत के लिए एक व्यंजक ज्ञात कीजिए ।
(b) एक आम की कीमत ₹ 15 है और एक केले की कीमत ₹2 है। j आमों की कीमत केलों की कीमत से कितनी अधिक है ? (j > k)

प्रश्न 7.
यदि किसी कैलेंडर के महीने में चित्र में दर्शाए अनुसार दिनांकों से भरी कोई 2 x 3 जाल चुनी जाती है तो खाली बक्सों में दिनांकों के लिए व्यंजक लिखिए यदि नीचे की पंक्ति में मध्य कक्ष में दिनांक ‘w’ हो ।

हल:

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 7

w – 8	w – 7	w – 6
w – 1	w	w + 1

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 93-94)

प्रश्न 1.
आगे दिए गए प्रत्येक चित्र में संख्याओं का योग कीजिए। उनके संगत व्यंजक लिखिए और उन्हें हल कीजिए । प्रत्येक चित्र में संख्याओं का कम से कम तीन अलग-अलग प्रकार से योग करने का प्रयत्न कीजिए एवं देखिए कि क्या आपको समान मान प्राप्त होता है।

हल :
(i) पंक्ति – वार जोड़ने पर
5y + (- 6) + x + x + 2 + 5y
= (- 6) + 2 + x + x + 5y + 5y
= – 4 + 2x + 10y
स्तंभ-वार जोड़ने पर
5y + x + (- 6) + 2 + x + 5y
= (- 6) + 2 + x + x + 5y + 5y
= -4 + 2x +10y
समान पदों को एक साथ जोड़ने पर
(-6) + 2 + x + x + 5y + 5y
= – 4 + 2x + 10y
हाँ, समान मान प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 8

(ii) पंक्ति – वार जोड़ने पर
2p + 39 + (−2) + 3 + 39 + 2p + 3 + (−2) + 2p + 3q + 3q + 2p
= (-2) + 3 + 3 + (-2) + 2p + 2p + 2p + 2p + 3q + 39 + 3q + 3q
= 2 + 8p + 12q
स्तंभ-वार जोड़ने पर
2p + 3q + 3q + 2p + (−2) + 3 + 2p + 3q + 3 + (-2) + 3q + 2p
= (-2) + 3 + 3 + (−2) + 2p + 2p + 2p + 2q + 3q + 3q + 3q + 3q
= 2 + 8p + 12q
समान पदों को एक साथ जोड़ने पर
(-2) + 3 + 3 + (−2) + 2p + 2p + 2p + 2p + 3q + 3q + 3q + 3q
= 2 + 8p + 12q
हाँ, समान मान प्राप्त होता है।

(iii) पंक्ति – वार जोड़ने पर
(-5g) + 5k + 5k + (−5g) + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + (−5g)
= (-5g) + (-5g) + (-5g) + (-5g) + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k+ 5k + 5k
= -20g + 60k
स्तंभ-वार जोड़ने पर
(-5g) + 5k + 5k + (−5g) + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + (-5g) + 5k + 5k + (-5g)
= (-5g) + (-5g) + (-5g) + (-5g) + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k + 5k
= -20g + 60k
ऊपरी आधा भाग जोड़कर दोगुना करने पर
= 2[6 × (5k) + 2 × (-5g)]
= 2[30k 10g] = 60k – 20g.

प्रश्न 2.
नीचे दिए गए व्यंजकों में से प्रत्येक को सरल रूप में व्यक्त कीजिए—

(a) p + p + p + p, p + p + p + q,

(b) p + q + p – q,

(d) p + q – p + q,

(a) 4p, 3p + q

(b) 2p

(d) 2q

(a) 30x + 20y

(b) (30 + 20) × (x + y)

(d) (30 + 20 ) × x + y

हल:
एक प्लेट ज्वार की रोटी का मूल्य = ₹ 30
x प्लेट ज्वार की रोटी का मूल्य = ₹ 30x
एक प्लेट पुलाव का मूल्य = ₹ 20
y प्लेट पुलाव का मूल्य = ₹ 20y
∴ व्यंजक (a) 30x + 20y उस दिन अर्जित कुल रुपयों में वर्णित करता है।
∴ विकल्प (a) सही है ।

प्रश्न 2.
पुष्पिता स्वतंत्रता दिवस पर चंपा एवं गेंदे के दो तरह के फूल बेचती है। ‘p’ ग्राहक केवल चंपा खरीदते हैं, ‘q’ ग्राहक केवल गेंदा खरीदते हैं एवं ‘7’ ग्राहक दोनों खरीदते हैं । उसी दिन वह प्रत्येक ग्राहक को एक छोटा राष्ट्रीय झंडा देती है। उस दिन वह कितने झंडे देती है ?

(a) p + q + r

(b) p + q + 2r

(d) p + q + r + 2

हल:
केवल चंपा फूल खरीदने वाले ग्राहकों की संख्या = p
केवल गेंदा फूल खरीदने वाले ग्राहकों की संख्या = q
दोनों फूल खरीदने वाले ग्राहकों की संख्या = r
क्योंकि पुष्पिता ने प्रत्येक ग्राहक को एक छोटा राष्ट्रीय ध्वज उपहार में दिया, इसलिए उस दिन उसके द्वारा उपहार में दिए गए ध्वजों की संख्या = p + q + r
∴ विकल्प (a) सही है ।

प्रश्न 3.
एक घोंघा एक गहरे कुएँ की दीवार पर चढ़ने का प्रयत्न कर रहा है। दिन के समय यह ‘u’ से.मी. चढ़ता है एवं रात के समय वह धीरे से ‘d’ से.मी. नीचे फिसल जाता है। 10 दिनों एवं 10 रातों तक ऐसा होता है ।
(a ) घोंघा अपनी प्रारंभिक स्थिति से कितना दूर है, यह बताने के लिए एक व्यंजक लिखिए ।
(b) यदि d > u तो हम घोंघे की गति के बारे में क्या कह सकते हैं?
हल:
(a) 1 दिन में ऊपर चढ़ी गई दूरी = u से.मी.
1 दिन में नीचे फिसली गई दूरी = d से.मी.
अतः 1 दिन और 1 रात में ऊपर चढ़ी गई दूरी = (u – d) से.मी. ( यदि u > d है)
तो 10 दिनों और 10 रातों में ऊपर चढ़ी गई दूरी 10 (u – d) से.मी.
यह घोंघा अपनी प्रारंभिक स्थिति से कितनी दूरी पर है, इसका वर्णन करने वाला आवश्यक व्यंजक है।

(b) यदि d > u है, यानी घोंघा अपनी प्रारंभिक स्थिति में ही रहेगा, तो घोंघा बिल्कुल भी नहीं चढ़ेगा ।

(b) यहाँपुर से वहाँपुर की यात्रा में लगने वाले समय के लिए बीजगणितीय व्यंजक = (4t + 6) मिनट

प्रश्न 7.
दिए गए व्यंजकों को सरल कीजिए—
(a) 3a + 9b – 6 + 8a – 4b – 7a + 16
हल:
3a + 9b – 6 + 8a – 4b – 7a + 16
= 3a + 8a – 7a + 9b – 4b – 6 + 16
= 4a + 5b + 10

(b) 3(3a – 3b) – 8a – 4b – 16
हल:
3 (3a – 3b) – 8a – 4b – 16
= 9a – 9b – 8a – 4b – 16
= 9a – 8a – 9b – 4b – 16
= a – 13b – 16

(d) 8x – (2x – 3) + 12
हल:
8x – (2x – 3) + 12
= 8x – 2x + 3 + 12
= 6x + 15

(e) 8h – (5 + 7h) + 9
हल:
8h – (5 + 7h) + 9
= 8h – 5 – 7h + 9
= 86 – 7h – 5 + 9
= h + 4

(f) 23 + 4(6m – 3n) – 8n – 3m -18
हल:
23 + 4(6m – 3n) – 8n – 3m – 18
= 23 + 24m – 12n – 8n – 3m – 18
= 24m – 3m – 12n – 8n + 23 – 18
= 21m – 20n + 5

प्रश्न 8.
नीचे दिए गए व्यंजकों का योग ज्ञात कीजिए-
(a) 4d – 7c + 9 और 8c – 11 + 9d
हल:
(4d – 7c + 9) + (8c – 11 + 9d)
= (4d + 9d) + (-7c + 8c) + 9 – 11
= 13d + c – 2

(b) -6f + 19 – 8s और – 23 + 13f + 12s
हल:
(-6f + 19 – 8s) + (-23 + 13f + 12s)
= -6f + 13f – 8s + 12s + 19 – 23
= 7f + 4s – 4

(c) 8d – 14c + 9 और 16c – (11 + 9d)
हल:
(8d – 14c + 9) + {16c – (11 + 9d)}
= 8d – 14c + 9 + 16c – 11 – 9d
= 9 – 11 + 8d – 9d – 14c + 16c
= -2 – d + 2c

(d) 6f – 20 + 8s और 23 – 13f – 12s
हल:
(6f – 20 + 8s) + (23 – 13f – 12s)
= 6f – 13f + 8s – 12s – 20 + 23
= -7f – 4s + 3

(e) 13m – 12n और 12n – 13m
हल:
(13m – 12n) + (12n – 13m)
= (13m – 13m) + (-12n + 12 n)
= 0 + 0 = 0

(f) -26m + 24n और 26m – 24n
हल:
(-26 m + 24n) + (26 m – 24 n)
= (-26m + 26m) + (24n – 24n)
= 0 + 0 = 0

प्रश्न 9.
नीचे दिए गए व्यंजकों का घटाव कीजिए-
(a) 9a – 6b + 14 से 6a + 9b – 18
हल:
(9a – 6b + 14) − (6a + 9b – 18)
= 9a – 6b + 14 – 6a – 9b + 18
= 9a – 6a – 6b – 9b + 14 + 18
= 3a – 156 + 32

(b) -15x + 13 – 9y से 7y – 10 + 3x
हल:
(-15x + 13 – 9y) – (7y – 10 + 3x)
= -15x + 13 – 9y – 7y + 10 – 3x
= -15x – 3x – 9y – 7y + 13 + 10
= -18x – 16y + 23

(c) 17g + 9 – 7h से 11 – 10g + 3h
हल:
(17g + 9 – 7h) – (11 – 10g + 3h)
= 17g + 9 – 7h – 11 + 10g – 3h
= 17g + 10g – 3h – 7h + 9 – 11
= 27g – 10h – 2

(d) 9a – 6b+ 14 से 6a – (9b + 18)
हल:
(9a – 6b + 14) – [6a – (9b + 18)]
= 9a – 6b + 14 – 6a + 9b + 18
= 9a – 6а – 6b + 9b + 14 + 18
= 3a + 3b + 32

(e) 10x + 2 + 10y से -3y + 8 – 3x
हल:
(10x + 2 + 10y) − (−3y + 8 – 3x)
= 10x + 2 + 10y + 3y – 8 +
= 10x + 3x + 10y + 3y + 2 – 8
= 13x + 13y – 6

(f) 8g + 4h – 10 से 7h – 8g + 20
हल:
(8g + 4h – 10) – (7h – 8g + 20)
= 8g + 4h – 10 – 7h + 8g – 20
= 8g + 8g + 4h – 7h – 10 – 20
= 16g – 3h – 30

प्रश्न 10.
दिए गए बीजगणितीय व्यंजकों के लिए संगत स्थितियों का वर्णन कीजिए-

(a) 8x + 3y

(b) 15x – 2x

हल:
(a) एक नोटबुक की कीमत ₹8 है और एक पेन की कीमत ₹3 है। यदि रीया x नोटबुक और y पेन खरीदती है तो रीया द्वारा वहन की गई कुल लागत ₹ (8x + 3y) है।
(b) एक फल विक्रेता के पास सेब के 15 बक्से हैं, प्रत्येक बक्से में x सेब हैं । उन्हें बेचने से पहले, उसने पाया कि 2 बक्से सेब सड़े हुए थे । बचे हुए ताजे सेबों की संख्या 15x – 2x है

प्रश्न 11.
कल्पना कीजिए कि एक सीधी रस्सी है। यदि इसे चित्र में दर्शाए अनुसार एक बार काटा जाए तो हमें 2 टुकड़े प्राप्त होंगे। यदि रस्सी को चित्र में दर्शाए अनुसार एक बार मोड़कर काटा जाए तो हमें 3 टुकड़े प्राप्त होंगे। पैटर्न को ध्यान से देखिए एवं बताइए कि यदि रस्सी को 10 बार मोड़कर काटा जाए तो हमें रस्सी के कितने टुकड़े प्राप्त होंगे। यदि रस्सी को बार मोड़कर काटा जाए तो टुकड़ों की संख्या के लिए व्यंजक क्या होगा ?

हल:
यदि रस्सी को एक बार काटा जाता है तो टुकड़ों की संख्या = 2
यदि रस्सी को एक बार मोड़कर फिर काटा जाता है तो टुकड़ों की संख्या = 3 = 2 +1
यदि रस्सी को 2 बार मोड़कर फिर काटा जाता है तो टुकड़ों की संख्या = 4 = 2 + 2
यदि रस्सी को 10 बार मोड़कर फिर काटा जाता है तो टुकड़ों की संख्या = 2 + 10 = 12
यदि रस्सी को बार मोड़कर फिर काटा जाता है तो टुकड़ों की संख्या के लिए व्यंजक = 2 + r

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 12

प्रश्न 12.
नीचे दी गई माचिस की तीलियों के पैटर्न को ध्यान से देखिए और पहचानिए। ऐसे 10 वर्ग बनाने के लिए माचिस की कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी? w वर्ग बनाने के लिए माचिस की कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी ?

हल:
1 वर्ग बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या = 4
2 वर्ग बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या = 4 + 3
3 वर्ग बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या = 4 + 2 × 3
w वर्ग बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या = 4 + (w – 1) × 3

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 13

प्रश्न 13.
क्या आपने ध्यान दिया कि ट्रैफिक सिग्नल में रंग कैसे बदलते हैं? रंग-परिवर्तन का क्रम नीचे दर्शाया गया है। स्थिति 90, 190 एवं 343 पर रंग ज्ञात कीजिए । प्रत्येक रंग की स्थिति का वर्णन करने के लिए व्यंजक लिखिए ।

हल:
लाल रंग की स्थिति का वर्णन करने के लिए व्यंजक (1, 5, 9, …) = 4n – 3
पीले रंग की स्थिति का वर्णन करने के लिए व्यंजक (2, 4, 6, …) = 2n
हरे रंग की स्थिति का वर्णन करने के लिए व्यंजक (3, 7, 11, …) = 4n – 1
स्थिति 90
4n – 3 = 90 n का मान प्राकृतिक संख्या नहीं है।
4n – 1 = 90 n का मान प्राकृतिक संख्या नहीं है ।
2n = 90 ⇒ n = 45 जो कि एक प्राकृतिक संख्या है।
∴ स्थिति 90 पर रंग = पीला
स्थिति 190
4n – 3 = 190 n का मान प्राकृतिक संख्या नहीं है ।
4n – 1 = 190 n का मान प्राकृतिक संख्या नहीं है ।
2n = 190 ⇒ n = 95 जो कि एक प्राकृतिक संख्या है।
∴ स्थिति 190 पर रंग = पीला
स्थिति 343
4n – 3 = 343 n का मान प्राकृतिक संख्या नहीं है।
2n = 343 n का मान प्राकृतिक संख्या नहीं है ।
4n – 1 = 343 ⇒ n = 86 जो कि एक प्राकृतिक संख्या है।
∴ स्थिति 343 पर रंग = हरा

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 14

प्रश्न 14.
दिए गए पैटर्न को ध्यान से देखिए । चरण 4, चरण 10 एवं चरण 50 में कितने वर्ग होंगे? एक सामान्य सूत्र लिखिए। यदि हम सभी वर्गों के कोनों की संख्या को गिनना चाहते हैं तो सूत्र कैसे बदलेगा?

हल:
चरण 1 में वर्गों की संख्या = 5
चरण 2 में वर्गों की संख्या = 5 + 4 = 9
चरण 3 में वर्गों की संख्या = 5 + 4 + 4
= 5 + 2 × 4 = 13
अतः चरण 4 में वर्गों की संख्या = 5 +3 × 4 = 17
चरण 10 में वर्गों की संख्या = 5 + 9 × 4 = 41
चरण 50 में वर्गों की संख्या = 5 + 49 × 4 = 201
सामान्य सूत्र = 5 + (n – 1) × 4
= 5 + 4n – 4
= 4n + 1
चूँकि 1 वर्ग में 4 शीर्ष होते हैं, इसलिए (4n + 1)
वर्गों में शीर्षों की संख्या = 4(4n + 1)
= 16n + 4

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 15

प्रश्न 15.
इस अनंत 4 स्तंभीय ग्रिड में संख्याएँ एक विशेष क्रम में लिखी गई हैं।

(a) दिए गए एक स्तंभ ( 1, 2, 3, 4) में सभी संख्याएँ निर्मित करने के लिए व्यंजक दीजिए ।

(b) बताइए कि नीचे दी गई संख्याएँ किस पंक्ति एवं किस स्तंभ में विद्यमान होंगी-

(d) 3 के गुणजों की स्थितियों को ध्यान से देखिए ।

हल:
(a) दिए गए स्तंभ ( 1, 2, 3, 4) में सभी संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए व्यंजक
माना पंक्तियों की संख्या r है।
स्तंभ 1 : 1, 5, 9, 13, जो 1 से शुरू होता है और प्रत्येक पंक्ति में 4 जुड़ता जाता है।
अत: स्तंभ 1 की वीं पंक्ति में संख्या = 4 × (r – 1) + 1
स्तंभ 2 : 4 × (r – 1) + 2
स्तंभ 3 : 4 × (r – 1) + 3
स्तंभ 4 : 4 × (r – 1) + 4
यदि स्तंभ है, तो सभी संख्याओं को उत्पन्न करने का सामान्य सूत्र 4 × (r – 1) + c है।

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 16

(b) (i) प्रत्येक संख्या को 4 से भाग देकर उसकी पंक्ति और स्तंभ ज्ञात करते हैं ।
124 ÷ 4 ⇒ भागफल = 31 और शेषफल = 0
∴ 124 = 4 × 31 + 0 या 4 × 30 + 4
इसकी तुलना 4 × (r – 1) + c से करने पर
r – 1 = 30 ⇒ r = 31
c = 4
अतः पंक्ति 31 है और स्तंभ 4 है।

(d) प्रत्येक तीसरी संख्या 3 का गुणज है ।

(अ) भुजा की लंबाई का 4 गुना

(ब) भुजा की लंबाई का 8 गुना

(स) भुजा की लंबाई का 2 गुना

(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
(अ) भुजा की लंबाई का 4 गुना

प्रश्न 2.
लंबाई (1) तथा चौड़ाई (b) वाले आयत का परिमाप होगा—

(अ) 1 + b

(ब) 2(l + b)

(स) 4 (l + b)

(द) l.b

उत्तर:
(ब) 2(l + b)

प्रश्न 3.
5c, c, 10c हैं-

(अ) सजातीय पद

(ब) विजातीय पद

(स) न तो सजातीय न ही विजातीय पद

(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
(अ) सजातीय पद

प्रश्न 4.
18c, 11d हैं-

(अ) सजातीय पद

(ब) विजातीय पद

(स) न तो सजातीय न ही विजातीय पद

(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
(ब) विजातीय पद

प्रश्न 5.
3b – 2b b का सरलतम रूप है-

(अ) 6b

(ब) 0

(स) 26

(द) b

उत्तर:
(ब) 0

प्रश्न 6.
23 – 10 × 2 बराबर है-

(अ) 26

(ब) 43

(स) 3

(द) 13

उत्तर:
(स) 3

प्रश्न 7.
34 14 + 20 बराबर है-

(अ) 20

(स) 68

(ब) 40

(दं) 28

उत्तर:
(ब) 40

प्रश्न 8.
एक संख्या c से 5 अधिक के लिए एक बीजीय
व्यंजक है-

(अ) c – 5

(ब) 5c

(स)

\frac{c}{5}

(द) c + 5

उत्तर:
(द) c + 5

प्रश्न 9.
एक संख्या k से 4 कम के लिए एक बीजीय व्यंजक है-

(अ) k + 4

(ब) k – 4

(स) 4k

(द)

\frac{k}{5}

उत्तर:
(ब) k – 4

प्रश्न 10.
यदि a = -4 तो 10 – a बराबर है-

(अ) 40

(ब) 14

(स) 6

(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
(ब) 14

प्रश्न 11.
यदि l = 6 तो 3l = ?

(अ) 9

(ब) 27

(ब) 14

(स) 36

(द) 18

उत्तर:
(द) 18

प्रश्न 12.
7p – p + 5q – 2q बराबर है-

(अ) 6p – 3q

(ब) 6p + 3q

(स) 3p – 6q

(द) 3p + 6q

उत्तर:
(ब) 6p + 3q

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—

प्रश्न 1.
अक्षर संख्याओं वाला एक गणितीय व्यंजक _____________ कहलाता है।
उत्तर:
बीजीय व्यंजक

प्रश्न 2.
1L बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या ___________ है।
उत्तर:
2

प्रश्न 3.
10L बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या _____________ है ।
उत्तर:
20

प्रश्न 4.
एक संख्या n से 13 गुना से 2 कम के लिए एक बीजीय व्यंजक _________________ है ।
उत्तर:
13n – 2

प्रश्न 5.
एक संख्या n के 2 गुना से 13 कम के लिए एक बीजीय व्यंजक ___________ है ।
उत्तर:
2n – 13

प्रश्न 6.
यदि f = 3, g = 1 तो 2f – 2g = ___________
उत्तर:
4

प्रश्न 7.
यदि t = 4, b = 3 तो 2t + b = ___________
उत्तर:
11

प्रश्न 8.
व्यंजक 4 (x + y) – y को सरल करने पर _______________ प्राप्त होता है।
उत्तर:
4x + 3y

प्रश्न 9.
व्यंजक 23 – 4 (6m – 3n) + 8n + 3m + 18 को सरल करने पर _________________ प्राप्त होता है
उत्तर:
41 – 21m + 20n

प्रश्न 10.
6 मीटर लंबाई और 3 मीटर चौड़ाई वाले आयत का परिमाप __________________________ मीटर है।
उत्तर:
18

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
x = 2 के लिए निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए-

(a) 2x – 5

(b) 4 + 3x

हल:
(a) x = 2 रखने पर
2x – 5 = 2 × 2 – 5
= 4 – 5
= – 1
(b) x = 2 रखने पर
4 + 3x = 4 + 3 × 2
= 4 + 6
= 10

प्रश्न 2.
4pq + 7q – 2p में से 3pq – 2p + q घटाइए ।
हल:
(4pq + 7q – 2p) – (3pq – 2p + q)
= 4pq + 7q – 2p – 3pq + 2p – q
= 4pq – 3pq + 7q – q – 2p + 2p
= pq + 6q

प्रश्न 3.
3x – y + z, 2y – 5z और 3z – x को जोड़ें।
हल:
(3x – y + z) + (2y – 5z) + (32 – x)
= 3x – y + z + 2y – 5z + 3z – x
= 3x – x – y + 2y + z – 5z + 3z
= 2x + y – 2

प्रश्न 4.
किसी संख्या के 12 गुना से 13 कम को बीजीय व्यंजक के रूप में लिखिए ।
हल:
12x – 13

प्रश्न 5.
सरल कीजिए—
20 + 20 × 20 – 20 + 20 × 20
हल:
20 + 20 × 20 – 20 + 20 × 20
= 20 + 400 – 20 + 400
= 400 + 400
= 800

प्रश्न 6.
यदि 1 = – 3 और b = 2 है, तो 2t + b + 24 का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
2t + b + 24
t = – 3; b = 2 रखने पर
= 2 × (-3) + 2 + 24
= -6 + 26
= 20

प्रश्न 7.
व्यंजक 4x + 5 – 3x + 1 + 2x + 3 को सरल कीजिए और x = 2 होने पर मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
4x + 5 – 3x + 1 + 2x + 3
= 4x + 2x – 3x + 5 + 1 + 3
= 3x + 9
x = 2 रखने पर
= 3 × 2 + 9
= 6 + 9
= 15

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
रिया अपने भाई से 5 वर्ष बड़ी है । यदि उसके भाई की आयु x वर्ष है, तो रिया की आयु क्या है?
हल:
रिया के भाई की आयु = x वर्ष
चूंकि रिया अपने भाई से 5 वर्ष बड़ी है,
इसलिए रिया की आयु = (x + 5) वर्ष

प्रश्न 2.
अनुक्रम 5, 8, 11, 14, 17, है ।
(i) इस अनुक्रम का वाँ पद प्राप्त करने के लिए एक बीजीय व्यंजक ज्ञात कीजिए ।
(ii) इस अनुक्रम का 46वाँ पद क्या है?
हल:
(i) अनुक्रम 5, 8, 11, 14, 17, ……
5 = 3 × 1 + 2
8 = 3 × 2 + 2
11 = 3 × 3 + 2
n वाँ पद = 3n + 2

(ii) 46वाँ पद
nवाँ पद = 3n + 2
46वाँ पद = 3 × 46 + 2
= 138 + 2 = 140

प्रश्न 3.
दिए गए व्यंजक को जोड़ें- 6f + 20 – 8g और 23+ 13f – 12g
हल:
(6f + 20 – 8g) + (23 + 13f – 12g)
= 20 + 23 + 6f + 13f – 8g – 12g
= 43 + 19f – 20g

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों पर संख्याएँ लिखें-

हल:

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 17

कक्षा 7 गणित पाठ 4 अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक चित्र 18

प्रश्न 5.
दिए गए व्यंजक को घटाइए- 9a + 6b – 14 में से 6a – 9b + 18
हल:
(9a + 6b – 14) – (6a – 9b + 18)
= 9a + 6b – 14 – 6a + 9b – 18
= 9a – 6a + 6b + 9b – 14 – 18
= 3a + 15b – 32

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य अवधारणाएँ, सूत्र व स्मरणीय तथ्य (Key Concepts & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय नियम, सूत्र, परिभाषाएँ एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

बहुविकल्पात्मक प्रश्न (MCQs), रिक्त स्थान, अतिलघूत्तरात्मक एवं लघूत्तरात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

RBSE Class 7 Maths Chapter 4 Solutions in Hindi — अक्षर संख्याओं के उपयोगी व्यंजक | पासबुक हल, नोट्स

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

RBSE कक्षा 7 गणित — अध्याय 4

SECTION_SOLUTIONS_START भाग 1: समाधान — पाठगत एवं अभ्यास के संपूर्ण हल

📝 2. नोट्स: मुख्य अवधारणाएँ, सूत्र व स्मरणीय तथ्य (Key Concepts & Rules)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

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