RBSE कक्षा 7 गणित पाठ 7: तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा सम्पूर्ण हल

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 7 गणित (गणित प्रकाश) — पाठगत प्रश्न एवं अभ्यास के चरण-दर-चरण सटीक हल।

पाठगत प्रश्न

प्रश्न 1.
जब तीनों शीर्ष एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं तब क्या होता है?
हल:
जब तीनों शीर्ष एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, तो वे कोई त्रिभुज नहीं बनाते हैं । वास्तव में शीर्ष संरेख नहीं होते हैं ।

प्रश्न 2.
एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई 4 सेमी. हो ।
हल:
चरण – 1. 4 सेमी. लंबाई का आधार AB खींचिए ।

चरण – 2. एक मापक का उपयोग करके तीसरा बिन्दु C इस प्रकार अंकित करें कि AC सेमी. हो|
चरण-3. C को अंकित करने का प्रयास तब तक जारी रखें जब तक कि BC की लंबाई 4 सेमी. न हो जाए।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित लंबाइयों की भुजाओं वाले त्रिभुजों की रचना कीजिए (सभी इकाइयाँ सेमी. में हैं ) –

(a) 4, 4, 6

(b) 3, 4, 5

(d) 4, 6, 8

हल:
(a) रचना के चरण :
चरण-1 आधार AB की रचना कीजिए जिसकी भुजा की लंबाई 6 सेमी. हो ।
चरण-2 ‘बिन्दु A से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण-4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है । वह
AC और BC को मिलाने पर AABC प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 2

(b) रचना के चरण :
चरण- 1 एक भुजा की लंबाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लंबाई 5 सेमी. हैं ।
चरण-2 बिन्दु A से 3 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण – 4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर AABC प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 3

(c) रचना के चरण :
चरण-1 एक भुजा की लम्बाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लम्बाई 1 सेमी. है।
चरण-2 बिन्दु A से 5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण-4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर ∆ABC प्राप्त होता है।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 4

(d) रचना के चरण :
चरण-1 एक भुजा की लम्बाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लम्बाई 8 सेमी. है।
चरण-2 बिन्दु A से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 6 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे।
चरण-4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, वह अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर ∆ABC प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 5

(e) रचना के चरण :
चरण-1 एक भुजा की लम्बाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लम्बाई 3.5 सेमी. है।
चरण-2 बिन्दु A से 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण – 4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, वह अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर ∆ABC प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 6

प्रश्न 1.
एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसमें उसकी भुजाओं की लम्बाई 3 सेमी., 4 सेमी. और 8 सेमी. हो । क्या आप ऐसे एक त्रिभुज की रचना कर पा रहे हैं?
हल:
चूँकि बिन्दु A और B से खींचे गए चाप आपस में नहीं मिलते हैं, इसलिए हम 3 सेमी., 4 सेमी. और 8 सेमी. भुजाओं वाला त्रिभुज नहीं बना सकते ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 7

प्रश्न 2.
यहाँ लम्बाइयों का एक अन्य समूह भी है— 2 सेमी., 3 सेमी. और 6 सेमी. । जाँच कीजिए कि क्या इन लम्बाइयों की भुजाओं से एक त्रिभुज बनाना संभव है।
हल:
बिन्दु A और B से खींचे गए चाप आपस में नहीं मिलते। इसलिए, 2 सेमी., 3 सेमी. और 6 सेमी. भुजाओं की लम्बाई से त्रिभुज बनाना संभव नहीं है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 8

प्रश्न 1.
क्या हम 3 सेमी., 3 सेमी. और 7 सेमी. लम्बाइयों की भुजाओं वाले एक त्रिभुज के अस्तित्व के बारे में जान सकते हैं? अपने उत्तर का सत्यापन इसकी रचना द्वारा कीजिए ।
हल:
प्रथम दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग = 3 सेमी. + 3 सेमी. = 6 सेमी.
तीसरी भुजा की लम्बाई = 7 सेमी.
चूँकि पहली दो भुजाओं की लम्बाई का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से कम है। इसलिए यह त्रिभुज बनाना संभव नहीं है ।
सत्यापन—
रचना के चरण :
चरण-1 एक भुजा की लम्बाई AB लेकर आधार बनाइए । माना AB की लम्बाई 7 सेमी. है ।
चरण-2 बिन्दु A से 3 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए।
चरण-3 बिन्दु B से 3 सेमी. त्रिज्या का एक चाप खींचें। क्योंकि ये दोनों चाप एक-दूसरे से किसी भी बिन्दु C पर नहीं मिलते हैं, इसलिए हम त्रिभुज ABC का निर्माण नहीं कर पा रहे हैं ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 9

प्रश्न 2.
क्या ऐसा सदैव होगा? अर्थात् लम्बाइयों के किसी भी समूह के लिए न्यूनतम दो तुलनाएँ होंगी जिनमें एक लम्बाई अन्य दो लम्बाइयों के योग से कम होगी? लम्बाइयों के भिन्न-भिन्न समूहों के लिए इसका पता लगाइए ।
हल:
हाँ, यह सदैव होगा ।
लम्बाइयों के दो सेट इस प्रकार लें-
(i) 9, 14, 29
9 < 14 + 29
14 < 9 + 29

(ii) 8, 13, 28
8 < 13 + 28
13 < 8 + 28

प्रश्न 1.
आइए, दो कोणों को लें। मान लीजिए कि हम 60° और 70° के कोण लेते हैं जिनका योग 180° से कम है। मान लीजिए कि इसकी अंतर्गत भुजा 5 सेमी. है।
तीसरे कोण का माप क्या हो सकता है? यदि आधार की लम्बाई को बदलकर कोई अन्य मान कर दिया जाए, जैसे 7 सेमी. तो क्या इस माप में कोई परिवर्तन होगा? रचना कीजिए तथा पता लगाइए ।
हल:
दिया गया है कि दो कोणों का माप 60° और 70° है। अतः तीसरे कोण का माप 180°- 60°- 70° = 50° नहीं, आधार की लम्बाई को किसी अन्य मान, जैसे 7 सेमी. में बदलने पर तीसरे कोण के माप में कोई परिवर्तन नहीं आएगा।
रचना के चरण :
चरण-1 7 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: ∠A और ∠B माप के 60° और 70° खींचिए ।
चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 10

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 150-151)

प्रश्न 1.
समद्विबाहु त्रिभुज को बनाने के लिए दिए गए वृत्त पर स्थित बिन्दुओं या केन्द्र बिन्दु का उपयोग करें।

हल:
वृत्त पर कोई भी दो बिन्दु चुनिए और उन्हें वृत्त के केन्द्र से जोड़िए । साथ ही, इन बिन्दुओं को आपस में भी जोड़िए। इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनेगा क्योंकि दोनों त्रिज्याओं की लम्बाई बराबर है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 11

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 12

प्रश्न 2.
समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुजों को बनाने के लिए दिए गए वृत्तों या केन्द्रों पर स्थित बिन्दुओं का उपयोग कीजिए। ये सभी वृत्त समान मापों के हैं ।

हल:
दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिन्दुओं और उनमें से किसी एक वृत्त के केन्द्र को जोड़ने पर एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है।
यहाँ, समद्विबाहु त्रिभुज AXY और BXY हैं ।

दो समान वृत्तों के केन्द्रों और उनके किसी एक प्रतिच्छेदन बिन्दु को जोड़ने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है।
यहाँ, त्रिभुज AXB या त्रिभुज AYB एक समबाहु त्रिभुज है ।

तीन समान वृत्तों के केन्द्रों को जोड़ने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है । यहाँ, त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
इसके अतिरिक्त ∆PAB, ∆QAC और ∆RBC भी समबाहु त्रिभुज हैं।
समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज का विशेष रूप है। अतः ये सभी समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु भी हैं ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 13

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 14

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 15

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 154)

प्रश्न 1.
हमने रचना द्वारा जाँच की है कि भुजाओं की लम्बाइयों 3 सेमी., 4 सेमी. और 8 सेमी. तथा 2 सेमी., 3 सेमी. और 6 सेमी. वाले त्रिभुज बनाने संभव नहीं हैं। जाँच कीजिए कि क्या आप त्रिभुज की रचना किए बिना इस तथ्य का पता लगा सकते थे?
हल:
हाँ, हम त्रिभुज की रचना किए बिना भी यह पता लगा सकते थे।
(i) 3 सेमी., 4 सेमी. और 8 सेमी.
प्रथम दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग 3 सेमी. + 4 सेमी. = 7 सेमी.
तीसरी भुजा की लम्बाई = 8 सेमी.
चूँकि पहली दो भुजाओं की लम्बाई का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से कम है।
अतः 3 सेमी., 4 सेमी. और 8 सेमी. भुजा वाला
त्रिभुज बनाना संभव नहीं है ।

(ii) 2 सेमी., 3 सेमी. और 6 सेमी.
प्रथम दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग = 2 सेमी. + 3 सेमी. = 5 सेमी.
तीसरी भुजा की लम्बाई = 6 सेमी.
चूँकि पहली दो भुजाओं की लम्बाई का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से कम है।
अतः 2 सेमी., 3 सेमी. और 6 सेमी. भुजा वाला त्रिभुज बनाना संभव नहीं है ।

प्रश्न 2.
क्या हम लम्बाइयों के निम्नलिखित समूहों में से प्रत्येक के लिए एक त्रिभुज के अस्तित्व के बारे में बता सकते हैं?

(a) 10 किमी., 10 किमी. और 25 किमी.

(b) 5 मिमी., 10 मिमी. और 20 मिमी.

हल:
(a) जब हम सीधे पथ की लम्बाई 25 किमी. लेते हैं, तो घुमावदार पथ 10 किमी. + 10 किमी. = 20 किमी.
चूँकि सीधा पथ घुमावदार पथ से लंबा है, इसलिए त्रिभुज का अस्तित्व संभव नहीं है ।
(b) जब हम सीधा पथ 20 मिमी. लेते हैं, तो घुमावदार पथ 10 मिमी. + 5 मिमी. = 15 मिमी. होगा ।
चूँकि सीधा पथ घुमावदार पथ से लंबा है, इसलिए त्रिभुज का अस्तित्व संभव नहीं है ।
(c) जब हम सीधा पथ 40 सेमी. लेते हैं, तो घुमावदार
पथ 12 सेमी. + 20 सेमी. = 32 सेमी.
चूँकि सीधा पथ घुमावदार पथ से त्रिभुज का अस्तित्व संभव नहीं है। लंबा है, इसलिए

प्रश्न 3.
अभी तक देखी गई लम्बाइयों के प्रत्येक समूह में आपने इस ओर अवश्य ही ध्यान दिया होगा कि न्यूनतम दो तुलनाओं में एक सीधी लम्बाई अन्य दो लम्बाइयों के योग से कम थी ( यदि नहीं तो पुनः जाँच कीजिए ) । उदाहरणार्थ, 10 सेमी., 15 सेमी. और 30 सेमी. की लम्बाइयों के समूह के लिए ऐसा घटित होने वाली दो तुलनाएँ ये हैं-
10 < 15 + 30
15 < 10 + 30 परंतु यह बात तीसरी लम्बाई के लिए घटित नहीं होती है— 30 > 10 + 15 है।
हल:
यहाँ, फिर से जाँच करने पर, हम पाते हैं कि
10 < 15 + 30
15 < 10 + 30
लेकिन 30 < 10 + 15 सत्य नहीं है। वास्तव में 30 > 10 + 15

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 156)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी लम्बाइयाँ एक त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं? अपने उत्तरों को स्पष्ट कीजिए। ध्यान दीजिए कि प्रत्येक समूह में तीनों लम्बाइयों के मापन की इकाई समान है।

(a) 2, 2, 5

(b) 3, 4, 6

(d) 5, 5, 8

हल:
(a) 2, 2, 5
5 > 2 + 2; 2 <2 +5
अतः 2, 2, 5 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ नहीं हो सकती हैं।

(b) 3, 4, 6
3 < 4 + 6
4 < 3 + 6
6 < 3 + 4 अतः 3, 4, 6 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं।

(d) 5, 5, 8
5 < 5 + 8
8 < 5 + 5
अतः 5, 5, 8 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं।

(e) 10, 20, 25
10 < 20 + 25
20 < 10 + 25
25 < 10 + 20
अतः 10, 20, 25 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं ।

(f) 10, 20, 35
10 < 20 + 35
20< 10 + 35 35 > 10 + 20
अतः 10, 20, 35 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ नहीं हो सकती हैं ।

(g) 24, 26, 28
24 < 26 + 28
26 < 24 + 28
28 < 24 + 26
अत: 24, 26, 28 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं।

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 159)

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित लम्बाइयों के प्रत्येक समूह के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व है या नहीं ( लम्बाइयाँ समान इकाई में हैं ) –

(a) 1, 100, 100

(b) 3, 6, 9

(d) 5, 10, 12

हल:
हम जानते हैं कि जब प्रत्येक लम्बाई अन्य दो के योग से छोटी होती है तो एक त्रिभुज का अस्तित्व होता है।
(a) 1, 100, 100
1 < 100 + 100
100 < 1 + 100
अतः भुजाओं की लम्बाई 1, 100, 100 के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व होता है ।

(b) 3, 6, 9
3 < 6 + 9
6 < 3 + 9
9 = 3 + 6
अतः भुजाओं की लम्बाई 3, 6, 9 के लिए त्रिभुज का अस्तित्व नहीं है ।

(d) 5, 10, 12
5 < 10 + 12
10 < 5 + 12
12 < 5 + 10
अतः भुजाओं की लम्बाई 5, 10, 12 के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व है।

प्रश्न 2.
क्या भुजाओं 50, 50, 50 ( समान इकाई में ) वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है? क्या व्यापक रूप में किसी भी लम्बाई की भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए ।
हल:
हाँ, 50, 50, 50 भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है, क्योंकि दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
एक समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए यह शर्त पूरी होती है ।
हाँ, किसी भी धनात्मक भुजा की लम्बाई के लिए एक समबाहु त्रिभुज का हमेशा अस्तित्व होता है ।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए तीसरी लम्बाई के न्यूनतम 5 संभावित मान दीजिए ताकि इन्हें भुजाओं की लम्बाइयों के रूप में लेने पर एक त्रिभुज का अस्तित्व हो (दशमलव मानों को भी चुना जा सकता है)

(a) 1, 100

(b) 5, 5

हल:
(a) तीसरी लम्बाई के 5 संभावित मान 99.5, 99.8, 100, 100.5, 100. 9 होंगे ।
100 < 1 + 99.5
100 < 1 + 99.8
100 < 1 + 100
100 < 1 + 100.5
100 < 1 + 100.9

(b) तीसरी लम्बाई के 5 संभावित मान 1, 3.5, 5, 7.5, 8.9 होंगे।
5 < 1 + 5
5 < 3.5 + 5
5 < 5 + 5
5 < 7.5 + 5
5 < 8.9 + 5

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 161)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मापों के लिए त्रिभुजों की रचना कीजिए जहाँ कोण भुजाओं के बीच में है—

(a) 3 सेमी., 75°, 7 सेमी.

(b) 6 सेमी. 25°, 3 सेमी.

हल:
(a) 3 सेमी., 75°, 7 सेमी..
चरण-1 7 सेमी. लम्बाई की एक भुजा AB बनाइए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 75° बनाइए ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 3 सेमी. हो ।
चरण-4 BC को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 16

(b) 6 सेमी., 25°, 3 सेमी.
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई की एक भुजा AB बनाइए।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 25° बनाइए।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 3 सेमी. हो ।
चरण – 4 BC को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज प्राप्त होता है।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 17

(c) 3 सेमी., 120°, 8 सेमी.
चरण- 1 8 सेमी. लम्बाई की एक भुजा AB बनाइए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 120° बनाइए ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 3 सेमी. हो ।
चरण – 4 BC को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज प्राप्त होता है।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 18

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 162)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मापनों के लिए त्रिभुजों की रचना कीजिए—

(a) 75°, 5 सेमी., 75°

(b) 25°, 3 सेमी., 60°

हल:
(a) 75°, 5 सेमी., 75°
चरण-1 5 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 75° माप के कोण ∠A और ∠B खींचिए ।
चरण-3 ∠A और B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 19

(b) 25°, 3 सेमी., 60°
चरण-1 3 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 25° और 60° के कोण ∠A और ∠B खींचिए ।

चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदनबिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 20

(c) 120°, 6 सेमी., 30°
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 120° और 30° के कोण ∠A और Z∠B खींचिए ।
चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 21

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 163)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक कोण के लिए एक अन्य कोण ज्ञात कीजिए जिसके लिए एक त्रिभुज (i) संभव है (ii) अथवा संभव नहीं है। प्रत्येक श्रेणी के लिए न्यूनतम दो भिन्न-भिन्न कोण ज्ञात कीजिए ।

(a) 30°

(b) 70°

(d) 144°

हल:
(a) 30°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 150° से कम कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 60° और 90° हैं। 1
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है, 150° या उससे अधिक कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 160° और 170° हैं।

(b) 70°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 110° से कम कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 80° और 30° हैं।
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है, 110° या उससे अधिक कोई भी कोण होगा । दो भिन्न कोण 110° और 150° हैं।

(c) 54°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 126° से कम कोई कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 78° और 80° हैं।
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है,
126° या उससे अधिक कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 135° और 160° हैं।

(d) 144°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 36° से कम कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 10° और 26° हैं।
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है, 36° या उससे अधिक कोई भी कोण होगां ।
दो भिन्न कोण 46° और 70° हैं।

प्रश्न 2.
निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-से युग्म एक त्रिभुज के कोण हो सकते हैं तथा कौन- से नहीं हो सकते हैं-

(a) 35°, 150°

(b) 70°, 30°,

(d) 50°, 150°

हल:
(a) 35°, 150°
दिए गए कोणों का योग = 35° + 150° = 185°
यह संभव नहीं है क्योंकि योग 180° से अधिक है ।

(b) 70°, 30°
दिए गए कोणों का योग = 70° + 30° = 100°
तीसरा संभावित कोण = 180° – 100° = 80°
ये युग्म त्रिभुज के कोण हो सकते हैं ।

(c) 90°, 85°
दिए गए कोणों का योग = 90° + 85° = 175°
तीसरा संभावित कोण 180° – 175° = 5°
ये युग्म त्रिभुज के कोण हो सकते हैं ।

(d) 50°, 150°
दिए गए कोणों का योग 50° + 150° = 200°
यह संभव नहीं है क्योंकि योग 180° से अधिक है।

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 165)

प्रश्न 1.
यदि दो कोण दिए गए हों तो एक समांतर रेखा के उपयोग से त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात कीजिए-

(a) 36°, 72°

(b) 150°, 15°

(d) 75°, 45°

हल:
(a)

यहाँ ∠A = 36° और ∠B = 72° है।
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अंत: ∠XCA = ∠A = 36° (एकांतर कोण )
∠YCB = ∠B = 72° (एकांतर कोण)
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° (सश्ल कोण)
36° + ∠ACB + 72° = 180°
∠ACB = 180° – 36° – 72°
∠ACB = 72°

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 22

(b)

यहाँ ∠A = 150° और ∠B = 15°
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अंत: ∠XCA = ∠A = 150° (एकान्तर कोण )
∠YCB = ∠B = 15° (एकान्तर कोण )
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° (सश्ल कोण)
150° + ∠ACB + 15° = 180°
∠ACB = 180° – 150° – 15°
∠ZACB = 15°

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 23

(c)

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 24

यहाँ ∠A = 90° और ∠B = 30°
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अतः ∠XCA = ∠A = 90° (एकांतर कोण)
∠YCB = ∠B = 30° (एकांतर कोण )
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° (सश्ल कोण)
90° + ∠ACB + 30° = 180°
∠ACB = 180°- 90° – 30°
∠ACB = 60°

(d)

यहाँ ∠A = 75° और ∠B = 45°
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अतः ∠XCA = ∠A = 75° (एकांतर कोण )
∠YCB = ∠B = 45° (एकांतर कोण)
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° ( सरल कोण )
75° + ∠ACB + 45° = 180° (सरल कोण )
∠ACB = 180° – 75° – 45°
∠ACB = 60°

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 25

प्रश्न 2.
क्या आप एक ऐसे त्रिभुज की रचना कर सकते हैं जिसके सभी कोण 70° के बराबर हैं? यदि दो कोण 70° के हैं तो तीसरा कोण क्या होगा? यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं तो प्रत्येक कोण का माप क्या होगा? खोजिए और ज्ञात कीजिए ।
हल:
नहीं, ऐसा त्रिभुज बनाना संभव नहीं है जिसके सभी कोण 70° के बराबर हों ।

यदि दो आधार को 70° लें, अर्थात् ∠B और ∠C = 70° तो हमें ∠BAC ज्ञात करना होगा ।
∴ रेखा XY, BC के समांतर है ।
अतः ∠XAB = ∠B = 70° (एकांतर कोण )
∠YAC = ∠C = 70° (एकांतर कोण )
∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = 180° ( सरल कोण )
70° + ∠BAC + 70° = 180°
∠BAC = 180° – 70° – 70°
∠BAC = 40°
अतः तीसरा कोण 40° होगा ।
यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण बराबर होने चाहिए, तो प्रत्येक कोण का माप 60° होना चाहिए।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 26

प्रश्न 3.
यहाँ एक त्रिभुज है जिसमें हमें ज्ञात है कि ∠B = ∠C और ∠A = 50° है। क्या आप ∠B और ∠C ज्ञात कर सकते हैं?

हल:
दिया गया है – ∠A = 50° और ∠B = ∠C
एक रेखा XY खींचिए जो BC के समांतर हो ।

∠XAB = ∠B और ∠YAC = ∠C (एकांतर कोण ) …(1)
∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = 180°
∠B + 50° + ∠C = 180° समी. (1) से
∠B + ∠C = 180° – 50°
∠B + ∠B = 130° ( दिया है)
2∠B = 130°
∠B = 65°
∠B = ∠C = 65°

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 27

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 28

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 170-171)

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 6 सेमी., AB = 6 सेमी. और CA = 5 सेमी., है। A से भुजा BC पर शीर्षलम्ब की रचना कीजिए ।
हल:
रचना के चरण :
(i) आधार AB = 6 सेमी. खींचिए ।
(ii) बिन्दु A से, 5 सेमी. त्रिज्या का एक पर्याप्त लंबा चाप बनाएँ।
(iii) बिन्दु B से, 5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप इस प्रकार बनाएँ कि वह पहले चाप को काटता हो ।
(iv) वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, आवश्यक तीसरा शीर्ष C है। ∆ABC प्राप्त करने के लिए AC और BC को मिलाएँ ।
(v) A से BC पर लंब AD खींचें । तब AD, A से BC तक की ऊँचाई है।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 29

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज TRY की रचना कीजिए जिसमें RY = 4 सेमी., TR = 7 सेमी. और ∠R = 140° है। T से भुजा RY पर शीर्षलम्ब की रचना कीजिए ।
हल:
रचना के चरण :
चरण-1 4 सेमी. लम्बाई का RY आधार बनाएँ ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠R = 140° बनाएँ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु T को इस प्रकार अंकित करें कि RT = 7 सेमी. हो ।
चरण-4 आवश्यक त्रिभुज TRY प्राप्त करने के लिए TY को मिलाएँ ।
चरण-5 T से विस्तारित RY पर लंब TD खींचें । तब TD, T से RY तक की ऊँचाई है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 30

प्रश्न 3.
एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें ∠B 90° और AC = 5 सेमी. है। इन मापनों के कितने भिन्न-भिन्न त्रिभुज हो सकते हैं?
(संकेत – ध्यान दीजिए कि अन्य मापन कोई भी मान ग्रहण कर सकते हैं। AC को आधार लीजिए।
∠A और ∠C के क्या- क्या मान ले सकते हैं ताकि अन्य कोण 90° का हो?)
हल:
इन मापों के साथ किसी भी संख्या में विभिन्न त्रिभुज मौजूद हैं। उदाहरण के रूप में ∠A = 60° और ∠C = 30°
रचना के चरण :
चरण-1 5 सेमी. लम्बाई का आधार खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 60° और 30° माप के ∠A और ∠C खींचिए ।
चरण-3 दो नए रेखाखण्डों का प्रतिच्छेदन बिन्दु तीसरा शीर्ष B है ।
चरण-4 ∆ABC प्राप्त करने के लिए AB और BC को मिलाएँ ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 31

प्रश्न 4.
रचना के माध्यम से पता लगाइए कि क्या एक ऐसे समबाहु त्रिभुज की रचना संभव है जिसमें
(i) एक समकोण हो और
(ii) एक अधिक कोण हो ।
साथ ही ऐसे समद्विबाहु त्रिभुज की भी रचना कीजिए जिसमें
(i) एक समकोण हो और
(ii) एक अधिक कोण हो ।
हल:
(a) समबाहु त्रिभुज
(i) एक समकोण हो ।
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार BC खींचिए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠B = 90° की रचना कीजिए ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु A इस प्रकार अंकित कीजिए कि BA = 6 सेमी. हो ।
चरण-4 बिन्दु C से 6 सेमी. त्रिज्या का एक पर्याप्त लम्बा चाप खींचिए। हम देखते हैं कि यह चाप BA को प्रतिच्छेद नहीं करता है । अतः समकोण समबाहु त्रिभुज की रचना करना असंभव है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 32

(ii) एक अधिक कोण हो ।
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार BC बनाएँ ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠B = 120° (एक अधिक कोण) बनाएँ ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु A इस प्रकार अंकित करें कि BA = 6 सेमी हो ।
चरण-4 बिन्दु C से 6 सेमी. त्रिज्या का एक पर्याप्त लंबा चाप खींचिए। हम देखते हैं कि यह चाप BA को नहीं काटता है। अतः एक समबाहु त्रिभुज बनाना असंभव है जो अधिक कोणीय हो ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 33

(b) समद्विबाहु त्रिभुज
(i) एक समकोण हो ।
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार BC बनाएँ ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠B = 90° बनाएँ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु A को इस प्रकार चिह्नित करें कि AB = 6 सेमी. हो ।
चरण-4 आवश्यक समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त करने के लिए AC को मिलाएँ जो समकोणीय है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 34

(ii) एक अधिक कोण हो ।
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार BC खींचिए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠B = 120° (एक अधिक कोण) बनाएँ ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु A को इस प्रकार चिह्नित करें कि BA = 6 सेमी. हो ।
चरण-4 आवश्यक समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त करने के लिए AC को मिलाएँ जो अधिक – कोणीय है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 35

पहेली का समय!

एक बक्से में सबसे छोटा मार्ग

प्रश्न 1.
एक बक्से के एक कोने में एक मकड़ी बैठी है। वह सबसे अधिक दूरी वाले सम्मुख कोने ( आकृति में चिह्नित ) पर पहुँचना चाहती है क्योंकि वह उड़ नहीं सकती है, इसलिए वह उस सम्मुख कोने तक उस बक्से की सतहों पर चलकर ही पहुँच सकती है। वह कौन-से सबसे छोटे मार्ग से होकर जा सकती है?

एक गत्ते ( कार्डबोर्ड) का बक्सा लीजिए तथा उस पर वह मार्ग चिह्नित कीजिए जो आपके अनुसार एक कोने से सम्मुख कोने तक पहुँचने में सबसे छोटा होगा । इस मार्ग की लम्बाई की तुलना अपने मित्रों द्वारा चिह्नित मार्गों की लम्बाइयों से कीजिए ।

हल:
मकड़ी जो सबसे छोटा रास्ता ले सकती है, वह है पहले इसकी लम्बाई के साथ चलना, फिर इसकी चौड़ाई के साथ और अंत में इसकी ऊँचाई के साथ ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 36

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 37

Class 7 Maths Chapter 7 Hindi Medium तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा

Class 7th Maths Chapter 7 Question Answer in Hindi

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य अवधारणाएँ, सूत्र व स्मरणीय तथ्य (Key Concepts & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय नियम, सूत्र, परिभाषाएँ एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

1. त्रिभुज एवं उसके अवयव:
• तीन रेखाखंडों से घिरी बंद सरल आकृति त्रिभुज कहलाती है। इसके 3 शीर्ष, 3 भुजाएँ और 3 कोण होते हैं।
2. त्रिभुजों का वर्गीकरण:
• भुजाओं के आधार पर: समबाहु (तीनों भुजाएँ बराबर, प्रत्येक कोण 60°), समद्विबाहु (दो भुजाएँ बराबर), विषमबाहु (तीनों भुजाएँ भिन्न)।
• कोणों के आधार पर: न्यूनकोण त्रिभुज (तीनों कोण < 90°), समकोण त्रिभुज (एक कोण = 90°), अधिककोण त्रिभुज (एक कोण > 90°)।
3. त्रिभुज के मूलभूत गुणधर्म:
• कोण योग गुण (Angle Sum Property): त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग 180° होता है (∠A + ∠B + ∠C = 180°)।
• बाह्य कोण गुण (Exterior Angle Property): किसी त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख दोनों अंतःकोणों के योग के बराबर होता है।
• भुजा असमानता गुण: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से सदैव बड़ा होता है (a + b > c)।
4. समकोण त्रिभुज व पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem):
• समकोण के सामने की भुजा को 'कर्ण' (Hypotenuse) कहते हैं, जो सबसे लंबी भुजा होती है।
• प्रमेय: कर्ण² = आधार² + लंब² (h² = b² + p²)।

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

बहुविकल्पात्मक प्रश्न (MCQs), रिक्त स्थान, अतिलघूत्तरात्मक एवं लघूत्तरात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

बहुविकल्पात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1.
यदि कोणों के माप निम्नलिखित हैं तो त्रिभुज संभव नहीं है-

(अ) 40°, 65°, 75°

(ब) 56°, 50°, 74°

(स) 72°, 63°, 45°

(द) 67°, 42°, 81°

उत्तर:
(द) 67°, 42°, 81°
प्रश्न 2.
यदि p, q और r एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं, तो-

(अ) p + q = r

(ब) p + q < r

(स) p + q > r

(द) P – q > r

उत्तर:
(स) p + q > r
प्रश्न 3.
यदि किसी त्रिभुज का बाह्य कोण 130° है, तो उस बाह्य कोण के विपरीत दो आंतरिक कोणों का योग किसके बराबर है?

(अ) 50°

(स) 180°

(ब) 60°

(द) 130°

उत्तर:
(द) 130°
प्रश्न 4.
त्रिभुज ABC में AD, BC पर लंब है तो त्रिभुज की ऊँचाई क्या होगी ?

(अ) AD

(स) AC

(ब) AB

(द) BC

उत्तर:
(अ) AD
प्रश्न 5.
त्रिभुज DEF में यदि ∠D = 70° और ∠E = 30°, तो EF को आगे बढ़ाने पर बनने वाला बाह्य कोण बराबर है-

(अ) 40°

(ब) 100°

(स) 70°

(द) 30°

उत्तर:
(ब) 100°
प्रश्न 6.
दी गई आकृति में ∠x और ∠y के माप क्रमशः हैं—

(अ) 30°, 60°

(ब) 40°, 40°

(द) 70°, 60°

(अ) 30°, 60°

(स) 70°, 70°

उत्तर:
(द) 70°, 60°
प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से कौनसी त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई नहीं हो सकती, जिसकी दो भुजाओं की लम्बाई क्रमशः 10 सेमी. और 5 सेमी. है ?

(अ) 12 सेमी.

(ब) 16 सेमी.

(स) 14 सेमी.

(द) 13 सेमी.

उत्तर:
(ब) 16 सेमी.
प्रश्न 8.
एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग किसके बराबर होता है ?

(अ) 60°

(ब) 180°

(स) 90°

(द) 360°

उत्तर:
(ब) 180°
प्रश्न 9.
किसी त्रिभुज के दो कोण 60° और 40° हैं तो तीसरे कोण का मान क्या होगा ?

(अ) 40°

(स) 80°

(ब) 60°

(द) 50°

उत्तर:
(स) 80°
प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों, तो त्रिभुज कहलाता है—

(अ) विषमबाहु

(ब) समद्विबाहु

(स) अधिक कोण त्रिभुज

(द) समबाहु

उत्तर:
(द) समबाहु
प्रश्न 11.
एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण हो,

(अ) समकोण त्रिभुज कहलाता

(ब) न्यूनकोण त्रिभुज

(स) अधिक कोण त्रिभुज

(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
(अ) समकोण त्रिभुज कहलाता
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
प्रश्न 1.
एक त्रिभुज में अधिकतम ______________ अधिक कोण हो सकता है।
उत्तर:
एक
प्रश्न 2.
समद्विबाहु त्रिभुज में ___________________ भुजाएँ बराबर होती हैं ।
उत्तर:
दो
प्रश्न 3.
त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा ______________ होता है ।
उत्तर:
180°
प्रश्न 4.
जिस त्रिभुज का एक कोण 90° के बराबर होता है, उसे ____________ त्रिभुज कहते हैं
उत्तर:
समकोण
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज का _________________ एक शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा तक एक लम्बवत रेखाखण्ड होता है ।
उत्तर:
शीर्षलम्ब
प्रश्न 6.
एक अधिक कोण का माप ________________ होता है ।
उत्तर:
90° से अधिक और 180° से कम
प्रश्न 7.
_______________ त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ अलग-अलग लम्बाइयों की होती हैं |
उत्तर:
विषमबाहु
प्रश्न 8.
तीन लम्बाइयों का एक समूह उस स्थिति में _________________ को संतुष्ट करता है जब प्रत्येक लम्बाई अन्य दो लम्बाइयों के योग से कम होती है
उत्तर:
त्रिभुज असमिका
प्रश्न 9.
एक न्यूनकोण का माप _________________ होता है ।
उत्तर:
0° से अधिक और 90° से कम
प्रश्न 10.
एक समकोण का माप _______________ होता है।
उत्तर:
90°
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1.
निम्नलिखित त्रिभुजों में से प्रत्येक को उसकी भुजाओं के अनुसार वर्गीकृत कीजिए-

हल:
(i) ∴ BC = AC = 8 सेमी. और AB = 6 सेमी.
अतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है ।
(ii) ∴ PQ = 6 सेमी., RQ = 8 सेमी., PR = 10 सेमी.
अत: ∆PQR एक विषमबाहु त्रिभुज है ।
(iii) ∴ DE = EF = DF = 11 सेमी.
अत: ∆DEF एक समबाहु त्रिभुज है ।
प्रश्न 2.
दी गई आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए—

हल:
∆ADB में
त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म के अनुसार
x + 55° + 90° = 180°
x + 145° = 180°
x = 180° – 145°
x = 35°
प्रश्न 3.
त्रिभुज XYZ की भुजा XY के विपरीत कोण लिखिए ।
हल:

अत: भुजा XY के विपरीत कोण ∠Z है।
प्रश्न 4.
त्रिभुज PQR के शीर्ष Q के विपरीत भुजा लिखिए ।
हल:

अतः शीर्ष Q के विपरीत भुजा PR है ।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आकृति में, ∠ACB का मान ज्ञात कीजिए ।

हल:
दिए गए समकोण त्रिभुज ∆ABC में,
∠A = x; ∠B = 90°; ∠C = 2x
त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म से
x + 90° + 2x = 180°
3x = 180° – 90°
3x = 90°
x = $\frac{90^{\circ}}{3}$
x = 30°
∴ ∠ACB = 2x = 2 × 30° = 60°
प्रश्न 6.
निम्नलिखित आकृति में x और y मान ज्ञात कीजिए ।

हल:
∠PRQ + ∠PRS = 180° (रैखिक युग्म)
x + 130° = 180°
x = 180° – 130° = 50°
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार
∠QPR + ∠PRQ + ∠PQR = 180°
y + 50° + 40° = 180°
y + 90° = 180°
y = 180° – 90°
= 90°
प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का तीसरा कोण (एक समानांतर रेखा का उपयोग करके) ज्ञात करें जब दो कोण 40° व 50° हैं।
हल:

यहाँ B = 40° और C = 50° है।
∴ रेखा BC, XY के समांतर है ।
अत: ∠XAB = ∠B = 40° (एकान्तर कोण )
∠YAC = ∠C = 50° (एकान्तर कोण)
∠XAB + ∠BAC + ∠ YAC = 180° (सरल कोण )
40° + ∠BAC + 50° = 180°
∠BAC + 90° = 180°
∠BAC = 180°- 90°
∠BAC = 90°
लघूत्तरात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1.
क्या किसी त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई 6 सेमी., 8 सेमी. और 10 सेमी. हो सकती है?
हल:
त्रिभुज बनाने के लिए किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाई का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होना चाहिए ।
6 + 8 > 10
8 + 10 > 6
10 + 6 > 8
इस प्रकार 6 सेमी., 8 सेमी. और 10 सेमी. भुजाओं वाला त्रिभुज संभव है ।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए, तीसरी लम्बाई के कम से कम 5 संभावित मान बताइए ताकि इन भुजाओं की लम्बाई वाला एक त्रिभुज मौजूद हो (दशमलव मान भी चुने जा सकते हैं)

(a) 4 और 10

(b) 6 और 6

हल:
(a) तीसरी लम्बाई के 5 सम्भावित मान
= 6.5, 7, 8, 9.5, 12
10 < 4 + 6.5
10 < 4 + 7
10 < 4 + 8
10 < 4 + 9.5
10 < 4 + 12
(b) तीसरी लम्बाई के लिए 5 सम्भावित मान
= 3, 5, 7, 8.5, 11
6 < 6 + 3
6 < 6 + 5
6 < 6 + 7
6 < 6 + 8.5
6 < 6 + 11
प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित त्रिभुज अस्तित्व में है या नहीं ।

हल:
नहीं दिया गया त्रिभुज अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि यह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
दिए गए त्रिभुज ABC में,
AB = 24 सेमी., BC = 12 सेमी., AC = 11 सेमी.
AB > BC + AC
24 > 12 + 11
इसलिए दिया गया त्रिभुज अस्तित्व में नहीं है ।
प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें 6 सेमी., AC = 5 सेमी. और ∠A = 60° हो ।
हल:
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार AB बनाएँ ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 60° बनाएँ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C को इस प्रकार चिह्नित करें कि AC = 5 सेमी. हो ।
चरण – 4 बिन्दु B को बिन्दु C से मिलाएँ । इस प्रकार वांछित त्रिभुज ABC प्राप्त होगा ।
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC की रचना करें जहाँ AB 10 सेमी., ∠A = 30° और ∠B = 30° हो ।
हल:
रचना के चरण :
चरण-1 10 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 30° और 30° माप के ∠A और ∠B खींचिए ।
चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदनबिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।