RBSE Class 7 Mathematics Chapter 7 Solutions - in Hindi - तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा - RajBoardExam

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📖 1. संपूर्ण समाधान (प्रश्नावली हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Formulas) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 7 गणित (गणित प्रकाश) — पाठगत प्रश्न एवं अभ्यास के चरण-दर-चरण सटीक हल।

पाठगत प्रश्न

प्रश्न 1.
जब तीनों शीर्ष एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं तब क्या होता है?
हल:
जब तीनों शीर्ष एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, तो वे कोई त्रिभुज नहीं बनाते हैं । वास्तव में शीर्ष संरेख नहीं होते हैं ।

प्रश्न 2.
एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई 4 सेमी. हो ।
हल:
चरण – 1. 4 सेमी. लंबाई का आधार AB खींचिए ।

चरण – 2. एक मापक का उपयोग करके तीसरा बिन्दु C इस प्रकार अंकित करें कि AC सेमी. हो|
चरण-3. C को अंकित करने का प्रयास तब तक जारी रखें जब तक कि BC की लंबाई 4 सेमी. न हो जाए।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित लंबाइयों की भुजाओं वाले त्रिभुजों की रचना कीजिए (सभी इकाइयाँ सेमी. में हैं ) –

(a) 4, 4, 6

(b) 3, 4, 5

(d) 4, 6, 8

हल:
(a) रचना के चरण :
चरण-1 आधार AB की रचना कीजिए जिसकी भुजा की लंबाई 6 सेमी. हो ।
चरण-2 ‘बिन्दु A से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण-4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है । वह
AC और BC को मिलाने पर AABC प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 2

(b) रचना के चरण :
चरण- 1 एक भुजा की लंबाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लंबाई 5 सेमी. हैं ।
चरण-2 बिन्दु A से 3 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण – 4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर AABC प्राप्त होता है ।

(c) रचना के चरण :
चरण-1 एक भुजा की लम्बाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लम्बाई 1 सेमी. है।
चरण-2 बिन्दु A से 5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे ।
चरण-4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर ∆ABC प्राप्त होता है।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 4

(d) रचना के चरण :
चरण-1 एक भुजा की लम्बाई AB लेकर आधार बनाइए। माना AB की लम्बाई 8 सेमी. है।
चरण-2 बिन्दु A से 4 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए ।
चरण-3 बिन्दु B से 6 सेमी. त्रिज्या का एक चाप बनाइए जो पहले चाप को प्रतिच्छेद करे।
चरण-4 वह बिन्दु जहाँ दोनों चाप मिलते हैं, वह अपेक्षित तीसरा शीर्ष C है ।
AC और BC को मिलाने पर ∆ABC प्राप्त होता है ।

(b) 3, 4, 6
3 < 4 + 6
4 < 3 + 6
6 < 3 + 4 अतः 3, 4, 6 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं। (c) 2, 4, 8 8 > 2 + 4
4 < 2 + 8
2 < 4 + 8
अत: 2, 4, 8 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ नहीं हो सकती हैं ।

(d) 5, 5, 8
5 < 5 + 8
8 < 5 + 5
अतः 5, 5, 8 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं।

(e) 10, 20, 25
10 < 20 + 25
20 < 10 + 25
25 < 10 + 20
अतः 10, 20, 25 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं ।

(f) 10, 20, 35
10 < 20 + 35
20< 10 + 35 35 > 10 + 20
अतः 10, 20, 35 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ नहीं हो सकती हैं ।

(g) 24, 26, 28
24 < 26 + 28
26 < 24 + 28
28 < 24 + 26
अत: 24, 26, 28 त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हो सकती हैं।

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 159)

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित लम्बाइयों के प्रत्येक समूह के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व है या नहीं ( लम्बाइयाँ समान इकाई में हैं ) –

(a) 1, 100, 100

(b) 3, 6, 9

(d) 5, 10, 12

हल:
हम जानते हैं कि जब प्रत्येक लम्बाई अन्य दो के योग से छोटी होती है तो एक त्रिभुज का अस्तित्व होता है।
(a) 1, 100, 100
1 < 100 + 100
100 < 1 + 100
अतः भुजाओं की लम्बाई 1, 100, 100 के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व होता है ।

(b) 3, 6, 9
3 < 6 + 9
6 < 3 + 9
9 = 3 + 6
अतः भुजाओं की लम्बाई 3, 6, 9 के लिए त्रिभुज का अस्तित्व नहीं है ।

(d) 5, 10, 12
5 < 10 + 12
10 < 5 + 12
12 < 5 + 10
अतः भुजाओं की लम्बाई 5, 10, 12 के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व है।

प्रश्न 2.
क्या भुजाओं 50, 50, 50 ( समान इकाई में ) वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है? क्या व्यापक रूप में किसी भी लम्बाई की भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए ।
हल:
हाँ, 50, 50, 50 भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है, क्योंकि दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
एक समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए यह शर्त पूरी होती है ।
हाँ, किसी भी धनात्मक भुजा की लम्बाई के लिए एक समबाहु त्रिभुज का हमेशा अस्तित्व होता है ।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए तीसरी लम्बाई के न्यूनतम 5 संभावित मान दीजिए ताकि इन्हें भुजाओं की लम्बाइयों के रूप में लेने पर एक त्रिभुज का अस्तित्व हो (दशमलव मानों को भी चुना जा सकता है)

(a) 1, 100

(b) 5, 5

हल:
(a) तीसरी लम्बाई के 5 संभावित मान 99.5, 99.8, 100, 100.5, 100. 9 होंगे ।
100 < 1 + 99.5
100 < 1 + 99.8
100 < 1 + 100
100 < 1 + 100.5
100 < 1 + 100.9

(b) तीसरी लम्बाई के 5 संभावित मान 1, 3.5, 5, 7.5, 8.9 होंगे।
5 < 1 + 5
5 < 3.5 + 5
5 < 5 + 5
5 < 7.5 + 5
5 < 8.9 + 5

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 161)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मापों के लिए त्रिभुजों की रचना कीजिए जहाँ कोण भुजाओं के बीच में है—

(a) 3 सेमी., 75°, 7 सेमी.

(b) 6 सेमी. 25°, 3 सेमी.

हल:
(a) 3 सेमी., 75°, 7 सेमी..
चरण-1 7 सेमी. लम्बाई की एक भुजा AB बनाइए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 75° बनाइए ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 3 सेमी. हो ।
चरण-4 BC को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज प्राप्त होता है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 16

(b) 6 सेमी., 25°, 3 सेमी.
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई की एक भुजा AB बनाइए।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 25° बनाइए।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 3 सेमी. हो ।
चरण – 4 BC को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज प्राप्त होता है।

(c) 3 सेमी., 120°, 8 सेमी.
चरण- 1 8 सेमी. लम्बाई की एक भुजा AB बनाइए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 120° बनाइए ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 3 सेमी. हो ।
चरण – 4 BC को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज प्राप्त होता है।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 18

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 162)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मापनों के लिए त्रिभुजों की रचना कीजिए—

(a) 75°, 5 सेमी., 75°

(b) 25°, 3 सेमी., 60°

हल:
(a) 75°, 5 सेमी., 75°
चरण-1 5 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 75° माप के कोण ∠A और ∠B खींचिए ।
चरण-3 ∠A और B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 19

(b) 25°, 3 सेमी., 60°
चरण-1 3 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 25° और 60° के कोण ∠A और ∠B खींचिए ।

चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदनबिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

(c) 120°, 6 सेमी., 30°
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 120° और 30° के कोण ∠A और Z∠B खींचिए ।
चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 21

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 163)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक कोण के लिए एक अन्य कोण ज्ञात कीजिए जिसके लिए एक त्रिभुज (i) संभव है (ii) अथवा संभव नहीं है। प्रत्येक श्रेणी के लिए न्यूनतम दो भिन्न-भिन्न कोण ज्ञात कीजिए ।

(a) 30°

(b) 70°

(d) 144°

हल:
(a) 30°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 150° से कम कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 60° और 90° हैं। 1
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है, 150° या उससे अधिक कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 160° और 170° हैं।

(b) 70°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 110° से कम कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 80° और 30° हैं।
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है, 110° या उससे अधिक कोई भी कोण होगा । दो भिन्न कोण 110° और 150° हैं।

(c) 54°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 126° से कम कोई कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 78° और 80° हैं।
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है,
126° या उससे अधिक कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 135° और 160° हैं।

(d) 144°
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव है, 36° से कम कोई भी कोण होगा ।
दो भिन्न कोण 10° और 26° हैं।
एक ऐसा कोण जिसके लिए त्रिभुज संभव नहीं है, 36° या उससे अधिक कोई भी कोण होगां ।
दो भिन्न कोण 46° और 70° हैं।

प्रश्न 2.
निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-से युग्म एक त्रिभुज के कोण हो सकते हैं तथा कौन- से नहीं हो सकते हैं-

(a) 35°, 150°

(b) 70°, 30°,

(d) 50°, 150°

हल:
(a) 35°, 150°
दिए गए कोणों का योग = 35° + 150° = 185°
यह संभव नहीं है क्योंकि योग 180° से अधिक है ।

(b) 70°, 30°
दिए गए कोणों का योग = 70° + 30° = 100°
तीसरा संभावित कोण = 180° – 100° = 80°
ये युग्म त्रिभुज के कोण हो सकते हैं ।

(c) 90°, 85°
दिए गए कोणों का योग = 90° + 85° = 175°
तीसरा संभावित कोण 180° – 175° = 5°
ये युग्म त्रिभुज के कोण हो सकते हैं ।

(d) 50°, 150°
दिए गए कोणों का योग 50° + 150° = 200°
यह संभव नहीं है क्योंकि योग 180° से अधिक है।

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 165)

प्रश्न 1.
यदि दो कोण दिए गए हों तो एक समांतर रेखा के उपयोग से त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात कीजिए-

(a) 36°, 72°

(b) 150°, 15°

(d) 75°, 45°

हल:
(a)

यहाँ ∠A = 36° और ∠B = 72° है।
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अंत: ∠XCA = ∠A = 36° (एकांतर कोण )
∠YCB = ∠B = 72° (एकांतर कोण)
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° (सश्ल कोण)
36° + ∠ACB + 72° = 180°
∠ACB = 180° – 36° – 72°
∠ACB = 72°

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 22

(b)

यहाँ ∠A = 150° और ∠B = 15°
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अंत: ∠XCA = ∠A = 150° (एकान्तर कोण )
∠YCB = ∠B = 15° (एकान्तर कोण )
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° (सश्ल कोण)
150° + ∠ACB + 15° = 180°
∠ACB = 180° – 150° – 15°
∠ZACB = 15°

(c)

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 24

यहाँ ∠A = 90° और ∠B = 30°
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अतः ∠XCA = ∠A = 90° (एकांतर कोण)
∠YCB = ∠B = 30° (एकांतर कोण )
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° (सश्ल कोण)
90° + ∠ACB + 30° = 180°
∠ACB = 180°- 90° – 30°
∠ACB = 60°

(d)

यहाँ ∠A = 75° और ∠B = 45°
∴ रेखा AB, XY के समांतर है ।
अतः ∠XCA = ∠A = 75° (एकांतर कोण )
∠YCB = ∠B = 45° (एकांतर कोण)
∠XCA + ∠ACB + ∠YCB = 180° ( सरल कोण )
75° + ∠ACB + 45° = 180° (सरल कोण )
∠ACB = 180° – 75° – 45°
∠ACB = 60°

(b) समद्विबाहु त्रिभुज
(i) एक समकोण हो ।
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार BC बनाएँ ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠B = 90° बनाएँ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु A को इस प्रकार चिह्नित करें कि AB = 6 सेमी. हो ।
चरण-4 आवश्यक समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त करने के लिए AC को मिलाएँ जो समकोणीय है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 34

(ii) एक अधिक कोण हो ।
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार BC खींचिए ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠B = 120° (एक अधिक कोण) बनाएँ ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु A को इस प्रकार चिह्नित करें कि BA = 6 सेमी. हो ।
चरण-4 आवश्यक समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त करने के लिए AC को मिलाएँ जो अधिक – कोणीय है ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 35

पहेली का समय!

एक बक्से में सबसे छोटा मार्ग

प्रश्न 1.
एक बक्से के एक कोने में एक मकड़ी बैठी है। वह सबसे अधिक दूरी वाले सम्मुख कोने ( आकृति में चिह्नित ) पर पहुँचना चाहती है क्योंकि वह उड़ नहीं सकती है, इसलिए वह उस सम्मुख कोने तक उस बक्से की सतहों पर चलकर ही पहुँच सकती है। वह कौन-से सबसे छोटे मार्ग से होकर जा सकती है?

एक गत्ते ( कार्डबोर्ड) का बक्सा लीजिए तथा उस पर वह मार्ग चिह्नित कीजिए जो आपके अनुसार एक कोने से सम्मुख कोने तक पहुँचने में सबसे छोटा होगा । इस मार्ग की लम्बाई की तुलना अपने मित्रों द्वारा चिह्नित मार्गों की लम्बाइयों से कीजिए ।

हल:
मकड़ी जो सबसे छोटा रास्ता ले सकती है, वह है पहले इसकी लम्बाई के साथ चलना, फिर इसकी चौड़ाई के साथ और अंत में इसकी ऊँचाई के साथ ।

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 36

कक्षा 7 गणित पाठ 7 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा चित्र 37

Class 7 Maths Chapter 7 Hindi Medium तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा

Class 7th Maths Chapter 7 Question Answer in Hindi

भाग 2 — नोट्स (Notes & Formulas)

📝 2. नोट्स: मुख्य अवधारणाएँ, सूत्र व स्मरणीय तथ्य (Key Concepts & Rules)

महत्वपूर्ण गणितीय नियम, सूत्र, परिभाषाएँ एवं सम्पूर्ण अध्याय का सारांश।

1. त्रिभुज एवं उसके अवयव:
• तीन रेखाखंडों से घिरी बंद सरल आकृति त्रिभुज कहलाती है। इसके 3 शीर्ष, 3 भुजाएँ और 3 कोण होते हैं।
2. त्रिभुजों का वर्गीकरण:
• भुजाओं के आधार पर: समबाहु (तीनों भुजाएँ बराबर, प्रत्येक कोण 60°), समद्विबाहु (दो भुजाएँ बराबर), विषमबाहु (तीनों भुजाएँ भिन्न)।
• कोणों के आधार पर: न्यूनकोण त्रिभुज (तीनों कोण < 90°), समकोण त्रिभुज (एक कोण = 90°), अधिककोण त्रिभुज (एक कोण > 90°)।
3. त्रिभुज के मूलभूत गुणधर्म:
• कोण योग गुण (Angle Sum Property): त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग 180° होता है (∠A + ∠B + ∠C = 180°)।
• बाह्य कोण गुण (Exterior Angle Property): किसी त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख दोनों अंतःकोणों के योग के बराबर होता है।
• भुजा असमानता गुण: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से सदैव बड़ा होता है (a + b > c)।
4. समकोण त्रिभुज व पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem):
• समकोण के सामने की भुजा को 'कर्ण' (Hypotenuse) कहते हैं, जो सबसे लंबी भुजा होती है।
• प्रमेय: कर्ण² = आधार² + लंब² (h² = b² + p²)।

भाग 3 — परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Important Q&A)

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Questions)

बहुविकल्पात्मक प्रश्न (MCQs), रिक्त स्थान, अतिलघूत्तरात्मक एवं लघूत्तरात्मक परीक्षा उपयोगी प्रश्नोत्तर।

बहुविकल्पात्मक प्रश्न—
प्रश्न 1.
यदि कोणों के माप निम्नलिखित हैं तो त्रिभुज संभव नहीं है-

(अ) 40°, 65°, 75°

(ब) 56°, 50°, 74°

(स) 72°, 63°, 45°

(द) 67°, 42°, 81°

उत्तर:
(द) 67°, 42°, 81°
प्रश्न 2.
यदि p, q और r एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं, तो-

(अ) p + q = r

(ब) p + q < r (स) p + q > r

(द) P – q > r

उत्तर:
(स) p + q > r
प्रश्न 3.
यदि किसी त्रिभुज का बाह्य कोण 130° है, तो उस बाह्य कोण के विपरीत दो आंतरिक कोणों का योग किसके बराबर है?

(अ) 50°

(स) 180°

(ब) 60°

(द) 130°

उत्तर:
(द) 130°
प्रश्न 4.
त्रिभुज ABC में AD, BC पर लंब है तो त्रिभुज की ऊँचाई क्या होगी ?

(अ) AD

(स) AC

(ब) AB

(द) BC

उत्तर:
(अ) AD
प्रश्न 5.
त्रिभुज DEF में यदि ∠D = 70° और ∠E = 30°, तो EF को आगे बढ़ाने पर बनने वाला बाह्य कोण बराबर है-

(अ) 40°

(ब) 100°

(स) 70°

(द) 30°

उत्तर:
(ब) 100°
प्रश्न 6.
दी गई आकृति में ∠x और ∠y के माप क्रमशः हैं—

(अ) 30°, 60°

(ब) 40°, 40°

(द) 70°, 60°

(अ) 30°, 60°

(स) 70°, 70°

उत्तर:
(द) 70°, 60°
प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से कौनसी त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई नहीं हो सकती, जिसकी दो भुजाओं की लम्बाई क्रमशः 10 सेमी. और 5 सेमी. है ?

(अ) 12 सेमी.

(ब) 16 सेमी.

(स) 14 सेमी.

(द) 13 सेमी.

उत्तर:
(ब) 16 सेमी.
प्रश्न 8.
एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग किसके बराबर होता है ?

(अ) 60°

(ब) 180°

(स) 90°

(द) 360°

उत्तर:
(ब) 180°
प्रश्न 9.
किसी त्रिभुज के दो कोण 60° और 40° हैं तो तीसरे कोण का मान क्या होगा ?

(अ) 40°

(स) 80°

(ब) 60°

(द) 50°

उत्तर:
(स) 80°
प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों, तो त्रिभुज कहलाता है—

(अ) विषमबाहु

(ब) समद्विबाहु

(स) अधिक कोण त्रिभुज

(द) समबाहु

उत्तर:
(द) समबाहु
प्रश्न 11.
एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण हो,

(अ) समकोण त्रिभुज कहलाता

(ब) न्यूनकोण त्रिभुज

(स) अधिक कोण त्रिभुज

(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
(अ) समकोण त्रिभुज कहलाता
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
प्रश्न 1.
एक त्रिभुज में अधिकतम ______________ अधिक कोण हो सकता है।
उत्तर:
एक
प्रश्न 2.
समद्विबाहु त्रिभुज में ___________________ भुजाएँ बराबर होती हैं ।
उत्तर:
दो
प्रश्न 3.
त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा ______________ होता है ।
उत्तर:
180°
प्रश्न 4.
जिस त्रिभुज का एक कोण 90° के बराबर होता है, उसे ____________ त्रिभुज कहते हैं
उत्तर:
समकोण
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज का _________________ एक शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा तक एक लम्बवत रेखाखण्ड होता है ।
उत्तर:
शीर्षलम्ब
प्रश्न 6.
एक अधिक कोण का माप ________________ होता है ।
उत्तर:
90° से अधिक और 180° से कम
प्रश्न 7.
_______________ त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ अलग-अलग लम्बाइयों की होती हैं |
उत्तर:
विषमबाहु
प्रश्न 8.
तीन लम्बाइयों का एक समूह उस स्थिति में _________________ को संतुष्ट करता है जब प्रत्येक लम्बाई अन्य दो लम्बाइयों के योग से कम होती है
उत्तर:
त्रिभुज असमिका
प्रश्न 9.
एक न्यूनकोण का माप _________________ होता है ।
उत्तर:
0° से अधिक और 90° से कम
प्रश्न 10.
एक समकोण का माप _______________ होता है।
उत्तर:
90°
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1.
निम्नलिखित त्रिभुजों में से प्रत्येक को उसकी भुजाओं के अनुसार वर्गीकृत कीजिए-

हल:
(i) ∴ BC = AC = 8 सेमी. और AB = 6 सेमी.
अतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है ।
(ii) ∴ PQ = 6 सेमी., RQ = 8 सेमी., PR = 10 सेमी.
अत: ∆PQR एक विषमबाहु त्रिभुज है ।
(iii) ∴ DE = EF = DF = 11 सेमी.
अत: ∆DEF एक समबाहु त्रिभुज है ।
प्रश्न 2.
दी गई आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए—

हल:
∆ADB में
त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म के अनुसार
x + 55° + 90° = 180°
x + 145° = 180°
x = 180° – 145°
x = 35°
प्रश्न 3.
त्रिभुज XYZ की भुजा XY के विपरीत कोण लिखिए ।
हल:

अत: भुजा XY के विपरीत कोण ∠Z है।
प्रश्न 4.
त्रिभुज PQR के शीर्ष Q के विपरीत भुजा लिखिए ।
हल:

अतः शीर्ष Q के विपरीत भुजा PR है ।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आकृति में, ∠ACB का मान ज्ञात कीजिए ।

हल:
दिए गए समकोण त्रिभुज ∆ABC में,
∠A = x; ∠B = 90°; ∠C = 2x
त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म से
x + 90° + 2x = 180°
3x = 180° – 90°
3x = 90°
x = $\frac{90^{\circ}}{3}$
x = 30°
∴ ∠ACB = 2x = 2 × 30° = 60°
प्रश्न 6.
निम्नलिखित आकृति में x और y मान ज्ञात कीजिए ।

हल:
∠PRQ + ∠PRS = 180° (रैखिक युग्म)
x + 130° = 180°
x = 180° – 130° = 50°
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार
∠QPR + ∠PRQ + ∠PQR = 180°
y + 50° + 40° = 180°
y + 90° = 180°
y = 180° – 90°
= 90°
प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का तीसरा कोण (एक समानांतर रेखा का उपयोग करके) ज्ञात करें जब दो कोण 40° व 50° हैं।
हल:

यहाँ B = 40° और C = 50° है।
∴ रेखा BC, XY के समांतर है ।
अत: ∠XAB = ∠B = 40° (एकान्तर कोण )
∠YAC = ∠C = 50° (एकान्तर कोण)
∠XAB + ∠BAC + ∠ YAC = 180° (सरल कोण )
40° + ∠BAC + 50° = 180°
∠BAC + 90° = 180°
∠BAC = 180°- 90°
∠BAC = 90°
लघूत्तरात्मक प्रश्न-
प्रश्न 1.
क्या किसी त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई 6 सेमी., 8 सेमी. और 10 सेमी. हो सकती है?
हल:
त्रिभुज बनाने के लिए किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाई का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होना चाहिए ।
6 + 8 > 10
8 + 10 > 6
10 + 6 > 8
इस प्रकार 6 सेमी., 8 सेमी. और 10 सेमी. भुजाओं वाला त्रिभुज संभव है ।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए, तीसरी लम्बाई के कम से कम 5 संभावित मान बताइए ताकि इन भुजाओं की लम्बाई वाला एक त्रिभुज मौजूद हो (दशमलव मान भी चुने जा सकते हैं)

(a) 4 और 10

(b) 6 और 6

हल:
(a) तीसरी लम्बाई के 5 सम्भावित मान
= 6.5, 7, 8, 9.5, 12
10 < 4 + 6.5
10 < 4 + 7
10 < 4 + 8
10 < 4 + 9.5
10 < 4 + 12
(b) तीसरी लम्बाई के लिए 5 सम्भावित मान
= 3, 5, 7, 8.5, 11
6 < 6 + 3
6 < 6 + 5
6 < 6 + 7
6 < 6 + 8.5
6 < 6 + 11
प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित त्रिभुज अस्तित्व में है या नहीं ।

हल:
नहीं दिया गया त्रिभुज अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि यह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
दिए गए त्रिभुज ABC में,
AB = 24 सेमी., BC = 12 सेमी., AC = 11 सेमी.
AB > BC + AC
24 > 12 + 11
इसलिए दिया गया त्रिभुज अस्तित्व में नहीं है ।
प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें 6 सेमी., AC = 5 सेमी. और ∠A = 60° हो ।
हल:
रचना के चरण :
चरण-1 6 सेमी. लम्बाई का आधार AB बनाएँ ।
चरण-2 कोण की दूसरी भुजा खींचकर ∠A = 60° बनाएँ।
चरण-3 दूसरी भुजा पर बिन्दु C को इस प्रकार चिह्नित करें कि AC = 5 सेमी. हो ।
चरण – 4 बिन्दु B को बिन्दु C से मिलाएँ । इस प्रकार वांछित त्रिभुज ABC प्राप्त होगा ।
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC की रचना करें जहाँ AB 10 सेमी., ∠A = 30° और ∠B = 30° हो ।
हल:
रचना के चरण :
चरण-1 10 सेमी. लम्बाई का आधार AB खींचिए ।
चरण-2 क्रमश: 30° और 30° माप के ∠A और ∠B खींचिए ।
चरण-3 ∠A और ∠B की दो नई भुजाओं का प्रतिच्छेदनबिन्दु तीसरा शीर्ष C है ।