RBSE Class 7 Maths Chapter 8 Solutions in Hindi — भिन्नों के साथ कार्य करना | पासबुक हल, नोट्स

Class 7 Maths Chapter 8 in Hindi भिन्नों के साथ कार्य करना

पाठगत प्रश्न

प्रश्न 1.
आरोन एक घंटे में 3 किलोमीटर चलता है।
वह 5 घंटे में कितना चल सकता है?
हल:
1 घंटे में तय की गई दूरी = 3 किमी.
5 घंटे में तय की जाने वाली दूरी
= 5 × 3 किमी.
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 किमी.
= 15 किमी.

प्रश्न 2.
आरोन का पालतू कछुआ बहुत ही धीमी गति से चलता है। वह एक घंटे में केवल $\frac {1}{4}$ किलोमीटर ही चलता है । वह 3 घंटे में कितना चल सकता है?
हल:
1 घंटे में तय की गई दूरी = $\frac {1}{4}$ किमी.
अत: 3 घंटों में तय की गई दूरी
= 3 × $\frac {1}{4}$ किमी.
= ($\frac {1}{4}$ + $\frac {1}{4}$ + $\frac {1}{4}$)किमी.
= $\frac {3}{4}$ किमी.
अतः कछुआ 3 घंटे में $\frac {3}{4}$ किमी. चल सकता है।

प्रश्न 1.
हमने देखा कि आरोन एक घंटे में 3 किलोमीटर चल सकता है। वह $\frac {1}{5}$ घंटे में कितनी दूर तक चल सकता है?
हल:
$\frac {1}{5}$ घंटे में तय की गई दूरी
= $\frac {1}{5}$ × 3 किमी.
= $\frac {3}{5}$ किमी.

प्रश्न 2.
आरोन $\frac {2}{5}$ घंटों में कितनी दूर तक चल सकता है?
हल:
$\frac {2}{5}$ घंटे में तय की गई दूरी
= $\frac {2}{5}$ × 3 किमी.
= $\frac {6}{5}$ किमी.

प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों का गुणा कीजिए और गुणनफल को न्यूनतम रूप में व्यक्त कीजिए ।
$\frac {12}{7}$ × $\frac {5}{24}$
हल:
जब भिन्नों को गुणा करते हैं तो हम अंशों और हरों को गुणा करने से पहले उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड द्वारा अंश व हर को विभाजित कर सकते हैं।
$\frac{12 \times 5}{7 \times 24}$ = $\frac{1 \times 5}{7 \times 2}$ = $\frac {5}{14}$.

प्रश्न 1.
आप गुणा की जाने वाली संख्याओं और गुणनफल के बीच संबंध के विषय में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? रिक्त स्थान भरिए-
(i) जब गुणा की जाने वाली संख्याओं में से एक संख्या 0 और 1 के बीच की हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से __________ होता है। (बड़ा / छोटा )
(ii) जब गुणा की जाने वाली संख्याओं में से एक संख्या 1 से बड़ी हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से ___________ (बड़ा / छोटा) होता है ।
हल:
(i) छोटा
(ii) बड़ा ।

प्रश्न 1.
यह $\frac {2}{3}$ × ? = 3 के समान है ।
क्या आप उत्तर ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
$\frac {2}{3}$ × ? = 3
? = 3 ÷ $\frac {2}{3}$ = 3 × $\frac {3}{2}$ = $\frac {9}{2}$

प्रश्न 2.
$\frac {2}{3}$ ÷ $\frac {3}{5}$ क्या होगा?
हल:
$\frac {2}{3}$ ÷ $\frac {3}{5}$
= $\frac {2}{3}$ × $\frac {5}{3}$
= $\frac {10}{9}$

प्रश्न 1.
चार फव्वारे एक कुण्ड को भरते हैं। पहला फव्वारा कुण्ड को एक दिन में भर सकता है। दूसरा उसे आधे दिन में भर सकता है। तीसरा उसे एक चौथाई दिन में भर सकता है। चौथा फव्वारा उस कुण्ड को $\frac {2}{3}$ दिन में भर सकता है। यदि उन सभी को एक साथ खोल दिया जाए तो वे सभी कुण्ड को कितने समय में भर देंगे ?
हल:
एक दिन में कितनी बार-
पहला फव्वारा कुण्ड को भर देगा
= 1 ÷ 1 = 1 बार
दूसरा फव्वारा कुण्ड को भर देगा
= 1 ÷ $\frac {1}{2}$ = 2 बार
तीसरा फव्वारा कुण्ड को भर देगा
= 1 ÷ $\frac {1}{4}$ = 4 बार
चौथा फव्वारा कुण्ड को भर देगा
= 1 ÷ $\frac {1}{5}$ = 5 बार
1 दिन में चारों फव्वारे मिलकर कुण्ड को 1 + 2 + 4 + 5 = 12 बार भरेंगे।
इस प्रकार चारों फव्वारों को एक साथ कुण्ड भरने में कुल $\frac {1}{12}$ दिन का समय लगेगा ।

प्रश्न 1.
नीचे दिए गए प्रत्येक चित्र में बड़े वर्ग का वह भाग ज्ञात कीजिए जिसे छायांकित क्षेत्र घेरता है ।

हल:

छायांकित क्षेत्र = 3 × $\frac {1}{8}$ = $\frac {3}{8}$ छायांकित क्षेत्र = $\frac {1}{16}$

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 176)

प्रश्न 1.
तेनजिन प्रतिदिन $\frac {1}{2}$ गिलास दूध पीता है। वह एक सप्ताह में कितने गिलास दूध पीता है? उसने जनवरी माह में कितने गिलास दूध पिया?
हल:
तेनजिन प्रतिदिन दूध पीता है = $\frac {1}{2}$ गिलास
∵ एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं |
इसलिए वह एक सप्ताह में दूध पीता है
= 7 × $\frac {1}{2}$ = $\frac {7}{2}$ गिलास
∴ जनवरी माह में 31 दिन होते हैं ।
इसलिए उसने जनवरी माह में दूध पीया
= $\frac {1}{2}$ × 31 = $\frac {31}{2}$ गिलास

प्रश्न 2.
श्रमिकों का एक समूह 1 किमी. लंबी एक पानी की नहर को 8 दिनों में बना सकता है। अतः यह समूह एक दिन में _______________ किमी. पानी की नहर बना सकता है। यदि वे एक सप्ताह में 5 दिन कार्य करते हैं तो वे एक सप्ताह में ________________ किमी. पानी की नहर बना सकते हैं।
हल:
श्रमिकों की टीम द्वारा 8 दिनों में बनाई गई नहर की लम्बाई = 1 किमी.
अतः श्रमिकों की टीम द्वारा 1 दिन में बनाई गई नहर की लम्बाई = $\frac {1}{8}$ किमी.
श्रमिकों की टीम द्वारा 5 दिनों में बनाई गई नहर की लम्बाई = $\frac {5}{8}$ किमी.
अतः वे एक सप्ताह में $\frac {5}{8}$ किमी. लंबी नहर बना सकते हैं।

प्रश्न 3.
मंजू और उसकी दो पड़ोसन मिलकर प्रत्येक सप्ताह 5 लीटर तेल खरीदती हैं और उसे समान मात्रा में 3 परिवारों के बीच साझा करती हैं? प्रत्येक परिवार को एक सप्ताह में कितना तेल मिलता है? एक परिवार को 4 सप्ताह में कितना तेल प्राप्त होगा?
हल:
प्रत्येक सप्ताह 3 परिवारों के बीच समान रूप से बांटा गया तेल = 5 लीटर
एक सप्ताह में प्रत्येक परिवार को मिलने वाला तेल
= $\frac {5}{3}$ लीटर
∴ 4 सप्ताह में प्रत्येक परिवार को मिलने वाला तेल
= $\frac {5}{3}$ × 4 = $\frac {20}{3}$ लीटर
अतः एक परिवार को 4 सप्ताह में $\frac {20}{3}$ लीटर तेल प्राप्त होगा ।

प्रश्न 4.
साफिया ने सोमवार को रात 10 बजे चंद्रमा को अस्त होते देखा । उसकी माताजी एक वैज्ञानिक हैं। उन्होंने बताया कि चंद्रमा प्रत्येक दिन पिछले दिन की तुलना में $\frac {5}{6}$ घंटे देर से अस्त होता है । चंद्रमा बृहस्पतिवार को रात 10 बजे के कितने घंटे बाद अस्त होगा?
हल:
सोमवार से बृहस्पतिवार तक दिनों की संख्या चंद्रमा प्रत्येक दिन पिछले दिन की तुलना में देर से अस्त होता है = $\frac {5}{6}$ घंटे
3 दिन बाद में चंद्रमा देर से अस्त होगा
= 3 × $\frac {5}{6}$ = $\frac {5}{2}$ घण्टे
इसलिए, चंद्रमा बृहस्पतिवार को रात 10 बजे के $\frac {5}{2}$ घण्टे के बाद अस्त होगा ।

प्रश्न 5.
गुणा कीजिए और उसे मिश्रित भिन्न में बदलिए-

हल:
(a) 7 × $\frac {3}{5}$ = $\frac {21}{5}$
= $\frac{20+1}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{1}{5}$
= 4 + $\frac{1}{5}$ = 4$\frac{1}{5}$

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 180 – 181)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए । भिन्न को प्रदर्शित करने के लिए एक इकाई वर्ग को एक पूर्ण के रूप में उपयोग कीजिए –
(a) $\frac {1}{3}$ × $\frac {1}{5}$
हल:

∴ $\frac {1}{3}$ × $\frac {1}{5}$ = $\frac {1}{15}$

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 183-184)

प्रश्न 1.
एक पानी की टंकी एक नल से भरी जाती है। यदि नल 1 घंटा खुला रहता है तो टंकी का $\frac {7}{10}$ भाग भर जाता है । टंकी का कितना भाग भरेगा यदि नल को निम्नलिखित समय के लिए खुला छोड़ा जाए-

हल:
(a) टैंक 1 घंटे में भर जाता है = $\frac {7}{10}$ भाग
टैंक $\frac {1}{3}$ घंटे में भरेगा = $\frac {7}{10}$ × $\frac {1}{3}$ = $\frac {7}{30}$ भाग

(e) टैंक का $\frac {7}{10}$ भाग भरता है = 1 घंटा
1 टैंक भरता है = $\frac {10}{7}$ घंटे
अतः नल को $\frac {10}{7}$ घंटे तक चलते रहने देना चाहिए ।

प्रश्न 2.
सरकार ने एक सड़क बनाने के लिए सोमू की भूमि का $\frac {1}{6}$ भाग ले लिया। अब सोमू के पास भूमि का कितना भाग शेष बचा है? वह शेष भाग की आधी भूमि अपनी पुत्री कृष्णा को और $\frac {1}{3}$ भाग अपने पुत्र बोरा को दे देता है । उनके हिस्सों को देने के बाद वह शेष भूमि अपने पास रखता है।

हल:
सरकार द्वारा भूमि का कुछ भाग लेने के बाद शेष बचा भाग = $1-\frac{1}{6}=\frac{6-1}{6}=\frac{5}{6}$
(a) कृष्णा को शेष भूमि का आधा भाग मिला।
$\frac{1}{2} \times \frac{5}{6}=\frac{5}{12}$
अतः कृष्णा को $\frac {5}{12}$ भाग प्राप्त हुआ ।

प्रश्न 3.
एक ऐसे आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 3$\frac {3}{4}$ फीट और 9$\frac {3}{5}$ फीट हैं।
हल:
आयत की लम्बाई 3$\frac {3}{4}$ फीट = $\frac {15}{4}$ फीट
आयत की चौड़ाई = 9$\frac {3}{5}$फीट = $\frac {48}{5}$फीट
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= $\frac {15}{4}$ × $\frac {48}{5}$
= 3 × 12
= 36 वर्ग फीट

प्रश्न 4.
त्सेवांग ने अपने उद्यान में एक पंक्ति में चार पौध लगाई। दो पौध के बीच की दूरी $\frac {3}{4}$ मीटर है। पहले और अंतिम पौध के बीच की दूरी को ज्ञात कीजिए ।
(संकेत – चार पौध का एक कच्चा चित्र बनाइए जिसमें दो पौध के बीच की दूरी $\frac {3}{4}[/latex मीटर हो । ) हल: कच्चा चित्र- पहले और अंतिम पौध के बीच की दूरी = [latex]\frac {3}{4}$मी. + $\frac {3}{4}$मी. + $\frac {3}{4}$मी.
= 3 × $\frac {3}{4}$मी.
= $\frac {9}{4}$ मीटर

प्रश्न 5.
कौन अधिक भारी है— 500 ग्राम का $\frac {12}{15}$ अथवा 4 किलोग्राम का $\frac {3}{20}$ ?
हल:
500 ग्राम का $\frac {12}{15}$ = 500 × $\frac {12}{15}$ ग्राम
= 100 × 4 ग्राम
= 400 ग्राम
4 किलोग्राम का $\frac {3}{20}$ = 4000 ग्राम का $\frac {3}{20}$
= 4000 × $\frac {3}{20}$ ग्राम
= 200 × 3 ग्राम
= 600 ग्राम
∵ 600 ग्राम > 400 ग्राम
∴ अतः 4 किलोग्राम का $\frac {3}{20}$, 500 ग्राम का $\frac {12}{15}$ से भारी है।

पता लगाइए (पृष्ठ संख्या 195-198)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मूल्यांकन

हल:
(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3÷\frac{7}{9}}& {\displaystyle =\frac{3}{1}÷\frac{7}{9}=\frac{3}{1}\times \frac{9}{7}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\times 9}{1\times 7}=\frac{27}{7}}\end{array}$$$$\begin{aligned} 3 \div \frac{7}{9} & =\frac{3}{1} \div \frac{7}{9}=\frac{3}{1} \times \frac{9}{7} \\ & =\frac{3 \times 9}{1 \times 7}=\frac{27}{7} \end{aligned}$$

(2) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{14}{4}÷2}& {\displaystyle =\frac{14}{4}÷\frac{2}{1}=\frac{14}{4}\times \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{14\times 1}{4\times 2}=\frac{7}{4}}\end{array}$$$$\begin{aligned} \frac{14}{4} \div 2 & =\frac{14}{4} \div \frac{2}{1}=\frac{14}{4} \times \frac{1}{2} \\ & =\frac{14 \times 1}{4 \times 2}=\frac{7}{4} \end{aligned}$$

(3) $\frac{2}{3} \div \frac{2}{3}=\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{2 \times 3}{3 \times 2}=1$

(4) $\frac{14}{6} \div \frac{7}{3}=\frac{14}{6} \times \frac{3}{7}=\frac{14 \times 3}{6 \times 7}=1$

(5) $\frac{4}{3} \div \frac{3}{4}=\frac{4}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{4 \times 4}{3 \times 3}=\frac{16}{9}$

(6) $\frac{7}{4} \div \frac{1}{7}=\frac{7}{4} \times \frac{7}{1}=\frac{7 \times 7}{4 \times 1}=\frac{49}{4}$

(7) $\frac{8}{2} \div \frac{4}{15}=\frac{8}{2} \times \frac{15}{4}=\frac{8 \times 15}{2 \times 4}=15$

(8) $\frac{1}{5} \div \frac{1}{9}=\frac{1}{5} \times \frac{9}{1}=\frac{1 \times 9}{5 \times 1}=\frac{9}{5}$

(9) $\frac{1}{6} \div \frac{11}{12}=\frac{1}{6} \times \frac{12}{11}=\frac{1 \times 12}{6 \times 11}=\frac{2}{11}$

(10) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3\frac{2}{3}÷1\frac{3}{8}}& {\displaystyle =\frac{3\times 3+2}{3}÷\frac{1\times 8+3}{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{11}{3}÷\frac{11}{8}=\frac{11}{3}\times \frac{8}{11}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{11\times 8}{3\times 11}=\frac{8}{3}}\end{array}$$$$\begin{aligned} 3 \frac{2}{3} \div 1 \frac{3}{8} & =\frac{3 \times 3+2}{3} \div \frac{1 \times 8+3}{8} \\ & =\frac{11}{3} \div \frac{11}{8}=\frac{11}{3} \times \frac{8}{11} \\ & =\frac{11 \times 8}{3 \times 11}=\frac{8}{3} \end{aligned}$$

प्रश्न 2.
नीचे दिए गए प्रत्येक प्रश्न के लिए उस व्यंजक को चुनिए जो हल का वर्णन करता हो । फिर उसे सरल कीजिए ।
(a) मारिया ने विद्यालय के लिए बनाए गए थैलों को सजाने के लिए 8 मीटर फीता ( रिबन ) खरीदा। उसने प्रत्येक थैले के लिए $\frac{1}{4}$ मीटर फीते का उपयोग किया और सारा फीता खत्म कर दिया। उसने कितने थैलों को सजाया?
(i) 8 × $\frac {1}{4}$
(ii) $\frac {1}{8}$ × $\frac {1}{4}$
(iii) 8 ÷ $\frac {1}{4}$
(iv) $\frac {1}{4}$ ÷ 8
हल:
मारिया द्वारा सजाए गए थैलों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें रिबन की कुल लम्बाई को एक थैले को सजाने के लिए आवश्यक रिबन की लम्बाई से भाग देना होगा ।
अर्थात् 8 ÷ $\frac {1}{4}$ = 8 × 4 = 32
अतः व्यंजक (iii) 8 ÷ $\frac {1}{4}$ सही है ।

प्रश्न 3.
यदि 12 रोटियाँ बनाने के लिए $\frac {1}{4}$ किग्रा. आटे का उपयोग किया जाता है तो 6 रोटियाँ बनाने के लिए कितना आटा उपयोग होता है?
हल:
∴ 12 रोटियाँ बनाने के लिए उपयोग किया गया आटा
= $\frac {1}{4}$ किग्रा.
∵ 1 रोटी बनाने के लिए उपयोग किया गया आटा
= $\frac {1}{4}$ ÷ 12 किग्रा.
= $\frac {1}{4}$ × $\frac {1}{4}$ = $\frac {1}{48}$ किग्रा.
∴ 6 रोटियाँ बनाने के लिए उपयोग किया गया आटा
= 6 × $\frac {1}{48}$ किग्रा.
= $\frac {1}{8}$ किग्रा.

प्रश्न 4.
नौवीं शताब्दी ई. में श्रीधराचार्य द्वारा लिखित पुस्तक पाटीगणित में इस समस्या का उल्लेख है, ” मित्र ! सोचकर बताइए कि 1 ÷ $\frac {1}{6}$, 1 ÷ $\frac {1}{10}$, 1 ÷ $\frac {1}{13}$, 1 ÷ $\frac {1}{9}$ और 1 ÷ $\frac {1}{2}$ को एक साथ जोड़ने पर क्या प्राप्त होगा?” मित्र का क्या उत्तर होगा?
हल:
$1 \div \frac{1}{6}=\frac{1}{1} \times \frac{6}{1}=\frac{1 \times 6}{1 \times 1}=6$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 1÷\frac{1}{10}=\frac{1}{1}\times \frac{10}{1}=\frac{1\times 10}{1\times 1}=10}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 1÷\frac{1}{13}=\frac{1}{1}\times \frac{13}{1}=\frac{1\times 13}{1\times 1}=13}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 1÷\frac{1}{9}=\frac{1}{1}\times \frac{9}{1}=\frac{1\times 9}{1\times 1}=9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 1÷\frac{1}{2}=\frac{1}{1}\times \frac{2}{1}=\frac{1\times 2}{1\times 1}=2}\end{array}$$$$\begin{aligned} & 1 \div \frac{1}{10}=\frac{1}{1} \times \frac{10}{1}=\frac{1 \times 10}{1 \times 1}=10 \\ & 1 \div \frac{1}{13}=\frac{1}{1} \times \frac{13}{1}=\frac{1 \times 13}{1 \times 1}=13 \\ & 1 \div \frac{1}{9}=\frac{1}{1} \times \frac{9}{1}=\frac{1 \times 9}{1 \times 1}=9 \\ & 1 \div \frac{1}{2}=\frac{1}{1} \times \frac{2}{1}=\frac{1 \times 2}{1 \times 1}=2 \end{aligned}$$
एक साथ जोड़ने पर प्राप्त योग
= 6 + 10 + 13 + 9 + 2
= 40

प्रश्न 5.
मीरा एक उपन्यास पढ़ रही है, जिसमें 400 पृष्ठ हैं। उसने कुल पृष्ठों का $\frac {1}{5}$ भाग कल पढ़ा और आज कुल पृष्ठों का $\frac {3}{10}$ भाग पढ़ा। उपन्यास को पूरा पढ़ने के लिए उसे अभी और कितने पृष्ठों को पढ़ने की आवश्यकता है?
हल:
400 × $\frac {1}{5}$ = 80
400 × $\frac {3}{10}$ = 3 × 40 = 120
∴ मीरा द्वारा पढ़े गए पृष्ठों की कुल संख्या
= 80 + 120 = 200
अतः उपन्यास को पूरा पढ़ने के लिए उसे जितने पृष्ठों को और पढ़ने की आवश्यकता है, उनकी संख्या
= 400 – 200 = 200

प्रश्न 6.
एक कार 1 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके 16 किमी. चलती है । 2 $\frac {3}{4}$ लीटर पेट्रोल का उपयोग करके यह कितनी दूरी तक जाएगी ?
हल:
1 लीटर पेट्रोल में कार चलती है।
= 16 किमी.
∴ 2 $\frac {3}{4}$ लीटर (2 $\frac {11}{4}$ लीटर) पेट्रोल में कार चलेगी
= 16 × 2 $\frac {11}{4}$ किमी.
= 4 × 11 44 किमी.

प्रश्न 7.
अमृतपाल अपनी छुट्टियों के लिए एक गंतव्य का चयन करता है । यदि वह एक रेलगाड़ी से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 5$\frac {1}{6}$ घंटे लगेंगे। यदि वह हवाई जहाज से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे $\frac {1}{2}$ घंटा लगेगा? हवाई जहाज द्वारा जाने से कितना समय बचेगा?
हल:
रेलगाड़ी द्वारा गंतव्य तक पहुँचने में लिया गया समय
= 5$\frac {1}{6}$ = $\frac {31}{6}$ घंटे
हवाई जहाज द्वारा गंतव्य तक पहुँचने में लिया गया समय
= $\frac {1}{2}$ घंटा
हवाई जहाज द्वारा जाने से समय बचेगा
= $\frac{31}{6}-\frac{1}{2}=\frac{31-3}{6}$
= $\frac{28}{6}=\frac{14}{3}$ घंटे

प्रश्न 8.
मरियम की दादी माँ एक केक बनाती हैं । मरियम और उसके चचेरे भाई केक का $\frac {4}{5}$ भाग खा लेते हैं। शेष केक को मरियम की तीन सहेलियों द्वारा बराबर-बराबर बाँट लिया जाता है। प्रत्येक सहेली को केक का कितना भाग मिला?
हल:
शेष केक = 1 – $\frac{4}{5}=\frac{5-4}{5}=\frac{1}{5}$
शेष केक को मरियम की तीन सहेलियों द्वारा बराबर बाँट लिया जाता है ।
प्रत्येक सहेली को केक मिला
= $\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{15}$

प्रश्न 9.
$\left(\frac{565}{465} \times \frac{707}{676}\right)$ के गुणनफल का वर्णन करने के लिए एक अथवा अधिक विकल्पों को चुनिए-

हल:
विकल्प (a), (c) और (e) सही हैं ।

प्रश्न 10.
पूरे वर्ग का कितना भाग छायांकित है ?

हल:

छायांकित भाग = $\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{2+1}{32}=\frac{3}{32}$

प्रश्न 11.
चींटियों का एक समूह भोजन की खोज में निकला। जैसे-जैसे वे खोजते हैं, वे प्रत्येक बिन्दु पर समान रूप से विभाजित होते रहते हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और दो भोजन के स्रोतों पर पहुँचते हैं— एक समूह आम के पेड़ के पास और दूसरा समूह गन्ने के खेत के पास । मूल समूह का कितना भाग प्रत्येक खाद्य स्रोत तक पहुँचा ?

हल:
पहले बिन्दु पर चींटियाँ दो भागों में बँट गईं। अतः
प्रत्येक भाग में चींटियों का अंश = 1 ÷ 2 = $\frac{1}{2}$

दूसरे बिन्दु पर चींटियाँ दो भागों में बँट जाती हैं। अतः प्रत्येक भाग में चींटियों का अंश
$=\frac{1}{2} \div 2=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
तीसरे बिन्दु पर चींटियाँ चार भागों में बँट जाती हैं । अतः प्रत्येक भाग में चींटियों का अंश
$=\frac{1}{4} \div 4=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
चौथे बिन्दु पर चींटियाँ दो भागों में बँट जाती हैं ।
अतः प्रत्येक भाग में चींटियों का अंश
$=\frac{1}{16} \div 2=\frac{1}{16} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{32}$
अतः आम के पेड़ पर चींटियों का अंश
= $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
= $\frac{16+8+2+2+1}{32}=\frac{29}{32}$
गन्ने के खेत के पास चींटियों का अंश
= $\frac{1}{32}+\frac{1}{16}=\frac{1+2}{32}=\frac{3}{32}$

प्रश्न 12.
1 – $\frac {1}{2}$ क्या है?
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})?}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})\times (1-\frac{1}{4})\times (1-\frac{1}{5})?}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})\times (1-\frac{1}{4})\times (1-\frac{1}{5})\times (1-\frac{1}{6})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \times (1-\frac{1}{7})\times (1-\frac{1}{8})\times (1-\frac{1}{9})\times (1-\frac{1}{10})?}\end{array}$$$$\begin{aligned} & \left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right) ? \\ & \left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right) \times\left(1-\frac{1}{4}\right) \times\left(1-\frac{1}{5}\right) ? \\ & \left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right) \times\left(1-\frac{1}{4}\right) \times\left(1-\frac{1}{5}\right) \times\left(1-\frac{1}{6}\right) \\ & \times\left(1-\frac{1}{7}\right) \times\left(1-\frac{1}{8}\right) \times\left(1-\frac{1}{9}\right) \times\left(1-\frac{1}{10}\right) ? \end{aligned}$$
एक सामान्य कथन बनाइए और व्याख्या कीजिए ।
हल:
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})\times (1-\frac{1}{4})\times (1-\frac{1}{5})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{1}{5}}\end{array}$$$$\begin{aligned} & 1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2} \\ & \left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3} \\ & \left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right) \times\left(1-\frac{1}{4}\right) \times\left(1-\frac{1}{5}\right) \\ & =\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{1}{5} \end{aligned}$$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-\frac{1}{2})}& {\displaystyle \times (1-\frac{1}{3})\times (1-\frac{1}{4})\times (1-\frac{1}{5})\times (1-\frac{1}{6})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \times (1-\frac{1}{7})\times (1-\frac{1}{8})\times (1-\frac{1}{9})\times (1-\frac{1}{10})}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{6}{7}\times \frac{7}{8}\times \frac{8}{9}\times \frac{9}{10}=\frac{1}{10}}\end{array}$$$$\begin{aligned} \left(1-\frac{1}{2}\right) & \times\left(1-\frac{1}{3}\right) \times\left(1-\frac{1}{4}\right) \times\left(1-\frac{1}{5}\right) \times\left(1-\frac{1}{6}\right) \\ & \times\left(1-\frac{1}{7}\right) \times\left(1-\frac{1}{8}\right) \times\left(1-\frac{1}{9}\right) \times\left(1-\frac{1}{10}\right) \\ = & \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6} \times \frac{6}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{8}{9} \times \frac{9}{10}=\frac{1}{10} \end{aligned}$$
सामान्य कथन
$$\begin{array}{r}(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{a+1})(1-\frac{1}{a+2})(1-\frac{1}{a+3})\dots \\ (1-\frac{1}{a+k})=\frac{a-1}{a+k}\end{array}$$$$\begin{array}{r} \left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{a+1}\right)\left(1-\frac{1}{a+2}\right)\left(1-\frac{1}{a+3}\right) \ldots \\ \left(1-\frac{1}{a+k}\right)=\frac{a-1}{a+k} \end{array}$$
व्याख्या : यहाँ हम देखते हैं कि गुणनफल के इस पैटर्न में प्रत्येक पद का हर अगले पद के अंश को काट देता है और अंतिम गुणनफल पहले पद का अंश और अंतिम पद का हर होता है ।

पहेली का समय !

शतरंज की पहेलियाँ गैर-आक्रमणकारी रानियाँ

प्रश्न 1.
शतरंज दो खिलाड़ियों का एक लोकप्रिय रणनीतिक खेल है। इस खेल की उत्पत्ति भारत में हुई है । यह 8 x 8 के वर्गाकार जाल ( ग्रिड ) पर खेला जाता है। यहाँ सफेद और काले रंग के मोहरों के दो सेट होते हैं, प्रत्येक खिलाड़ी के लिए 1 सेट । पता लगाइए कि प्रत्येक मोहरे को कैसे चला जाता है और इस खेल के नियम क्या हैं?
यहाँ शतरंज पर आधारित एक प्रसिद्ध पहेली है । अपनी वर्तमान स्थिति से रानी का मोहरा क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर या विकर्ण की दिशा में बढ़ सकता है। 4 रानियों को इस प्रकार रखें कि कोई भी 2 रानियाँ एक-दूसरे पर आक्रमण न करें। उदाहरण के लिए नीचे दी गई व्यवस्था मान्य नहीं है, क्योंकि रानियाँ एक-दूसरे पर आक्रमण की रेखा में हैं ।

अब 8 रानियों को इस 8×8 ग्रिड पर इस प्रकार रखिए कि कोई भी 2 रानियाँ एक-दूसरे पर आक्रमण न करें।

हल:
चार रानियों को इस 4 × 4 के वर्गाकार ग्रिड पर इस प्रकार रखा गया है कि कोई भी दो रानियाँ एक- दूसरे पर आक्रमण न करें ।

अब, इस 8 × 8 के वर्गाकार ग्रिड पर इस प्रकार रखें कि कोई भी दो रानियाँ एक-दूसरे पर आक्रमण न करें

Class 7 Maths Chapter 8 Hindi Medium भिन्नों के साथ कार्य करना

Class 7th Maths Chapter 8 Question Answer in Hindi