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📚 कक्षा 8 गणित (Mathematics)हिंदी माध्यमसत्र 2026-27 सम्पूर्ण हल

पाठ 10: घातांक और घात

Exponents and Powers

📅 शैक्षणिक सत्र: 2026-27•📖 RBSE/NCERT डिजिटल पासबुक•🎯 संपूर्ण प्रश्नोत्तर
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📖 1. संपूर्ण समाधान (अभ्यास एवं पाठगत हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Summary) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 8 गणित — पाठगत प्रश्न एवं अभ्यास के चरण-दर-चरण सटीक हल।

पाठगत प्रश्न

पृष्ठ 129

प्रश्न- 10−1010^{-10} किसके बराबर है?

हल- ऐसी संख्या जो शून्य न हो तथा aa का एक पूर्णांक nn हो तो a−na^{-n} को ana^n का व्युत्क्रम कहते हैं।

अर्थात् a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}
∴10−10=11010\therefore 10^{-10} = \frac{1}{10^{10}}

पृष्ठ 130 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- गुणात्मक प्रतिलोम लिखिए-
(i) 2−42^{-4} (ii) 10−510^{-5} (iii) 7−27^{-2}
(iv) 5−35^{-3} (v) 10−10010^{-100}

हल- हम जानते हैं कि aa का गुणात्मक प्रतिलोम 1a\frac{1}{a} है।

अतः:

(i) 2−42^{-4} का गुणात्मक प्रतिलोम है 12−4=24\frac{1}{2^{-4}} = 2^4

(ii) 10−510^{-5} का गुणात्मक प्रतिलोम है 110−5=105\frac{1}{10^{-5}} = 10^5

(iii) 7−27^{-2} का गुणात्मक प्रतिलोम है 17−2=72\frac{1}{7^{-2}} = 7^2

(iv) 5−35^{-3} का गुणात्मक प्रतिलोम है 15−3=53\frac{1}{5^{-3}} = 5^3

(v) 10−10010^{-100} का गुणात्मक प्रतिलोम है 110−100=10100\frac{1}{10^{-100}} = 10^{100}

पृष्ठ 130 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- घातांकों का उपयोग करते हुए निम्न को विस्तारित रूप में लिखिए-
(i) 1025.631025.63 (ii) 1256.2491256.249

हल-(i) 1025.63=1×1000+2×10+5×1+610+31001025.63 = 1 \times 1000 + 2 \times 10 + 5 \times 1 + \frac{6}{10} + \frac{3}{100}

=1×103+2×10+5×1+6×10−1+3×10−2= 1 \times 10^3 + 2 \times 10 + 5 \times 1 + 6 \times 10^{-1} + 3 \times 10^{-2}

(ii) 1256.249=1×1000+2×100+5×10+6×1+2×110+4×1100+9×110001256.249 = 1 \times 1000 + 2 \times 100 + 5 \times 10 + 6 \times 1 + 2 \times \frac{1}{10} + 4 \times \frac{1}{100} + 9 \times \frac{1}{1000}

=1×103+2×102+5×101+6×1+2×10−1+4×10−2+9×10−3= 1 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 \times 1 + 2 \times 10^{-1} + 4 \times 10^{-2} + 9 \times 10^{-3}

पृष्ठ 131 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- घातांक रूप को सरल कीजिए और लिखिए-
(i) (−2)−3×(−2)−4(-2)^{-3} \times (-2)^{-4} (ii) p3×p−10p^3 \times p^{-10} (iii) 32×3−5×363^2 \times 3^{-5} \times 3^6

हल- हम जानते हैं कि aa (जो शून्य नहीं है) पूर्णांक है और m,nm, n पूर्णांक हैं तो am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}

(i) (−2)−3×(−2)−4=(−2)(−3)+(−4)=(−2)−7(-2)^{-3} \times (-2)^{-4} = (-2)^{(-3)+(-4)} = (-2)^{-7}

=1(−2)7=1(−1)7×(2)7=1−1×(2)7=−127= \frac{1}{(-2)^7} = \frac{1}{(-1)^7 \times (2)^7} = \frac{1}{-1 \times (2)^7} = -\frac{1}{2^7}

(ii) p3×p−10=p3−10=p−7=1p7p^3 \times p^{-10} = p^{3-10} = p^{-7} = \frac{1}{p^7}

(iii) 32×3−5×36=32−5+6=333^2 \times 3^{-5} \times 3^6 = 3^{2-5+6} = 3^3

पृष्ठ 134 | प्रयास कीजिए
निम्न तथ्यों का अवलोकन कीजिए-

  1. पृथ्वी से सूर्य की दूरी 149,600,000,000 m149,600,000,000 \text{ m} है।

  2. प्रकाश का वेग 300,000,000 m/s300,000,000 \text{ m/s} है।

  3. कक्षा VII की गणित की पुस्तक की मोटाई 20 mm20 \text{ mm} है।

  4. लाल रक्त कोशिकाओं का औसत व्यास 0.000007 mm0.000007 \text{ mm} है।

  5. मनुष्य के बाल की मोटाई की परास 0.005 cm0.005 \text{ cm} से 0.01 cm0.01 \text{ cm} होती है।

  6. पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी लगभग 384,467,000 m384,467,000 \text{ m} होती है।

  7. पौधों की कोशिकाओं का आकार 0.00001275 m0.00001275 \text{ m} है।

  8. सूर्य की औसत त्रिज्या 695000 km695000 \text{ km} है।

  9. अंतरिक्ष शटल में ठोस राकेट बूस्टर को प्रेरित करने के लिए शटल का द्रव्यमान 503600 kg503600 \text{ kg} है।

  10. एक कागज की मोटाई 0.0016 cm0.0016 \text{ cm} है।

  11. कम्प्यूटर चिप के एक तार का व्यास 0.000003 m0.000003 \text{ m} है।

  12. माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई 8848 m8848 \text{ m} है।
    उपरोक्त तथ्यों के आधार पर बहुत बड़ी तथा बहुत छोटी संख्याओं की पहचान कीजिए और संगत सारणी में लिखिए-

बहुत बड़ी संख्याएँ बहुत छोटी संख्याएँ
150,000,000,000 m150,000,000,000 \text{ m} 0.000007 m0.000007 \text{ m}
---------------- ----------------
---------------- ----------------
---------------- ----------------
---------------- ----------------

हल-बहुत बड़ी तथा बहुत छोटी संख्याओं की पहचान

बहुत बड़ी संख्याएँ बहुत छोटी संख्याएँ
150,000,000,000 m150,000,000,000 \text{ m} 0.000007 m0.000007 \text{ m}
149,600,000,000 m149,600,000,000 \text{ m} 0.000003 m0.000003 \text{ m}
300,000,000 m/sec300,000,000 \text{ m/sec} 0.00001275 m0.00001275 \text{ m}
3,84,467,000 m3,84,467,000 \text{ m} 0.0016 cm0.0016 \text{ cm}

पृष्ठ 135 | प्रयास कीजिए

प्रश्न 1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में लिखिए-
(i) 0.0000005640.000000564 (ii) 0.00000210.0000021
(iii) 2160000021600000 (iv) 1524000015240000

हल-(i) 0.000000564=5641000000000=5641090.000000564 = \frac{564}{1000000000} = \frac{564}{10^9}

=5.64×100109= \frac{5.64 \times 100}{10^9}
=5.64×102×10−9= 5.64 \times 10^2 \times 10^{-9}

=5.64×10−7= 5.64 \times 10^{-7}

(ii) 0.0000021=2110000000=211070.0000021 = \frac{21}{10000000} = \frac{21}{10^7}

=2.1×10107=2.1×10×10−7= \frac{2.1 \times 10}{10^7} = 2.1 \times 10 \times 10^{-7}
=2.1×10−6= 2.1 \times 10^{-6}

(iii) 21600000=216×105=2.16×100×10521600000 = 216 \times 10^5 = 2.16 \times 100 \times 10^5

=2.16×102×105=2.16×107= 2.16 \times 10^2 \times 10^5 = 2.16 \times 10^7

(iv) 15240000=1524×10415240000 = 1524 \times 10^4

=1.524×1000×104= 1.524 \times 1000 \times 10^4
=1.524×103×104= 1.524 \times 10^3 \times 10^4

=1.524×107= 1.524 \times 10^7

प्रश्न 2. दिए गए तथ्यों (पाठ्यपुस्तक का पृष्ठ 134) को मानक रूप में लिखिए।

हल-सभी तथ्य मानक रूप में निम्नानुसार हैं-

  1. पृथ्वी से सूर्य की दूरी =149,600,000,000 m= 149,600,000,000 \text{ m}

=1.496×1011 m= 1.496 \times 10^{11} \text{ m}

  1. प्रकाश का वेग =300,000,000 m/sec= 300,000,000 \text{ m/sec}

=3×108 m/sec= 3 \times 10^8 \text{ m/sec}

  1. कक्षा VII की गणित की पुस्तक की मोटाई

=20 mm=2×101 mm= 20 \text{ mm} = 2 \times 10^1 \text{ mm}

  1. लाल रक्त कोशिकाओं का औसत व्यास

=0.000007 mm= 0.000007 \text{ mm}
=7×10−6 mm= 7 \times 10^{-6} \text{ mm}

  1. मनुष्य के बाल की मोटाई की परास

=0.005 cm= 0.005 \text{ cm} से 0.01 cm0.01 \text{ cm}
=5×10−3 cm= 5 \times 10^{-3} \text{ cm} से 1×10−2 cm1 \times 10^{-2} \text{ cm}

  1. पृथ्वी से चन्द्रमा की दूरी =384,467,000 m= 384,467,000 \text{ m} (लगभग)

=3.84467×108 m= 3.84467 \times 10^8 \text{ m}

  1. पौधों की कोशिकाओं का आकार =0.00001275 m= 0.00001275 \text{ m}

=1.275×10−5 m= 1.275 \times 10^{-5} \text{ m}

  1. सूर्य की औसत त्रिज्या =695000 km= 695000 \text{ km}

=6.95×105 km= 6.95 \times 10^5 \text{ km}

  1. अंतरिक्ष शटल में ठोस रॉकेट बूस्टर को प्रेरित करने के लिए रॉकेट का द्रव्यमान 503600 kg=5.036×105 kg503600 \text{ kg} = 5.036 \times 10^5 \text{ kg}

  2. एक कागज की मोटाई =0.0016 cm= 0.0016 \text{ cm}

=1.6×10−3 cm= 1.6 \times 10^{-3} \text{ cm}

  1. कम्प्यूटर चिप के एक तार का व्यास =0.000003 m= 0.000003 \text{ m}

=3×10−6 m= 3 \times 10^{-6} \text{ m}

  1. माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई =8848 m= 8848 \text{ m}

=8.848×103 m= 8.848 \times 10^3 \text{ m}

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 10.1
प्रश्न 1. मान ज्ञात कीजिए-
(i) 3−23^{-2} (ii) (−4)−2(-4)^{-2} (iii) (12)−5\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}

हल-(i) 3−2=132=13×3=193^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3 \times 3} = \frac{1}{9} उत्तर

(ii) (−4)−2=1(−4)2=1(−1)2×(4)2=11×16=116(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{(-1)^2 \times (4)^2} = \frac{1}{1 \times 16} = \frac{1}{16} उत्तर

(iii) (12)−5=12−5=25=32\left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = \frac{1}{2^{-5}} = 2^5 = 32 उत्तर

प्रश्न 2. सरल कीजिए और उत्तर को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) (−4)5÷(−4)8(-4)^5 \div (-4)^8 (ii) (123)2\left(\frac{1}{2^3}\right)^2
(iii) (−3)4×(53)4(-3)^4 \times \left(\frac{5}{3}\right)^4 (iv) (3−7÷3−10)×3−5(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}
(v) 2−3×(−7)−32^{-3} \times (-7)^{-3}

656

हल-(i) (−4)5÷(−4)8=(−4)5(−4)8=1(−4)8−5(-4)^5 \div (-4)^8 = \frac{(-4)^5}{(-4)^8} = \frac{1}{(-4)^{8-5}}

=1(−4)3=1(−1)3(4)3= \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{(-1)^3(4)^3}
=1−1×43=1(−4)3= \frac{1}{-1 \times 4^3} = \frac{1}{(-4)^3} उत्तर

(ii) (123)2=123×2=126\left(\frac{1}{2^3}\right)^2 = \frac{1}{2^{3 \times 2}} = \frac{1}{2^6} उत्तर

(iii) (−3)4×(53)4=(−1)4×34×5434(-3)^4 \times \left(\frac{5}{3}\right)^4 = (-1)^4 \times 3^4 \times \frac{5^4}{3^4}

=1×34−454=30×54= 1 \times 3^{4-4} 5^4 = 3^0 \times 5^4
=1×54=54= 1 \times 5^4 = 5^4 उत्तर

(iv) (3−7÷3−10)×3−5=(3−7×13−10)×3−5(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5} = \left(3^{-7} \times \frac{1}{3^{-10}}\right) \times 3^{-5}

=13−10+7×3−5=13−3×3−5= \frac{1}{3^{-10+7}} \times 3^{-5} = \frac{1}{3^{-3}} \times 3^{-5}
=13−3+5=132= \frac{1}{3^{-3+5}} = \frac{1}{3^2} उत्तर

(v) 2−3×(−7)−3=123×1(−7)32^{-3} \times (-7)^{-3} = \frac{1}{2^3} \times \frac{1}{(-7)^3}

=1(2×−7)3=1(−14)3= \frac{1}{(2 \times -7)^3} = \frac{1}{(-14)^3} उत्तर

प्रश्न 3. मान ज्ञात कीजिए-
(i) (30+4−1)×22(3^0 + 4^{-1}) \times 2^2
(ii) (2−1×4−1)÷2−2(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}
(iii) (12)−2+(13)−2+(14)−2\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}
(iv) (3−1+4−1+5−1)0(3^{-1} + 4^{-1} + 5^{-1})^0
(v) {(−23)−2}2\left{\left(\frac{-2}{3}\right)^{-2}\right}^2

हल-

(i) (30+4−1)×22=(1+14)×4(3^0 + 4^{-1}) \times 2^2 = \left(1 + \frac{1}{4}\right) \times 4

=4+14×4=54×4=5= \frac{4+1}{4} \times 4 = \frac{5}{4} \times 4 = 5 उत्तर

(ii) (2−1×4−1)÷2−2=(12×14)÷122=18÷14(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2} = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\right) \div \frac{1}{2^2} = \frac{1}{8} \div \frac{1}{4}

=18×41=12= \frac{1}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{1}{2} उत्तर

(iii) (12)−2+(13)−2+(14)−2=22+32+42\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 2^2 + 3^2 + 4^2

=4+9+16=29= 4 + 9 + 16 = 29 उत्तर

(iv) (3−1+4−1+5−1)0=1(3^{-1} + 4^{-1} + 5^{-1})^0 = 1 उत्तर [∵a0=1][\because a^0 = 1]

(v) {(−23)−2}2={(−32)2}2=(94)2=8116\left{\left(\frac{-2}{3}\right)^{-2}\right}^2 = \left{\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right}^2 = \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{81}{16} उत्तर

प्रश्न 4. मान ज्ञात कीजिए-
(i) 8−1×532−4\frac{8^{-1} \times 5^3}{2^{-4}}
(ii) (5−1×2−1)×6−1(5^{-1} \times 2^{-1}) \times 6^{-1}

हल-(i) 8−1×532−4=18×53×24\frac{8^{-1} \times 5^3}{2^{-4}} = \frac{1}{8} \times 5^3 \times 2^4

=18×125×16= \frac{1}{8} \times 125 \times 16
=125×2=250= 125 \times 2 = 250 उत्तर

(ii) (5−1×2−1)×6−1=(15×12)×16(5^{-1} \times 2^{-1}) \times 6^{-1} = \left(\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{6}

=110×16=160= \frac{1}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{60} उत्तर

प्रश्न 5. mm का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए 5m÷5−3=555^m \div 5^{-3} = 5^5

हल- दिया है, 5m÷5−3=555^m \div 5^{-3} = 5^5

या 5m÷153=555^m \div \frac{1}{5^3} = 5^5
या 5m×53=555^m \times 5^3 = 5^5
या 5m+3=555^{m+3} = 5^5
या m+3=5m + 3 = 5
[∵यदि am=an तो m=n][\because \text{यदि } a^m = a^n \text{ तो } m = n]
या m=5−3m = 5 - 3
m=2m = 2 उत्तर

प्रश्न 6. मान ज्ञात कीजिए-
(i) {(13)−1−(14)−1}−1\left{\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - \left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\right}^{-1}
(ii) (58)−7×(85)−4\left(\frac{5}{8}\right)^{-7} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-4}

हल-(i) {(13)−1−(14)−1}−1=(31−41)−1=(−1)−1\left{\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - \left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\right}^{-1} = (3^1 - 4^1)^{-1} = (-1)^{-1}

=1(−1)1=1−1=−1= \frac{1}{(-1)^1} = \frac{1}{-1} = -1 उत्तर

(ii) (58)−7×(85)−4=(85)7×(85)−4\left(\frac{5}{8}\right)^{-7} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{8}{5}\right)^7 \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-4}

=8757×5484=87−457−4= \frac{8^7}{5^7} \times \frac{5^4}{8^4} = \frac{8^{7-4}}{5^{7-4}}
=8353=512125= \frac{8^3}{5^3} = \frac{512}{125} उत्तर

प्रश्न 7. सरल कीजिए-
(i) 25×t−45−3×10×t−8(t≠0)\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}} (t \neq 0)
(ii) 3−5×10−5×1255−7×6−5\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}

हल-(i) 25×t−45−3×10×t−8=25×5310×t−4+8\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}} = \frac{25 \times 5^3}{10} \times t^{-4+8}

=5×532×t4=6252t4= \frac{5 \times 5^3}{2} \times t^4 = \frac{625}{2} t^4 उत्तर

(ii) 3−5×10−5×1255−7×6−5=57×65×12535×105\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}} = \frac{5^7 \times 6^5 \times 125}{3^5 \times 10^5}

=57×(2×3)5×5335×(2×5)5=57×25×35×5335×25×55= \frac{5^7 \times (2 \times 3)^5 \times 5^3}{3^5 \times (2 \times 5)^5} = \frac{5^7 \times 2^5 \times 3^5 \times 5^3}{3^5 \times 2^5 \times 5^5}
=57+3−5=55= 5^{7+3-5} = 5^5 उत्तर

प्रश्नावली 10.2

प्रश्न 1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 0.0000000000850.000000000085 (ii) 0.000000000009420.00000000000942
(iii) 60200000000000006020000000000000 (iv) 0.000000008370.00000000837
(v) 3186000000031860000000

हल-(i) 0.000000000085=8510000000000000.000000000085 = \frac{85}{1000000000000}

=851013=8.5×101013= \frac{85}{10^{13}} = \frac{8.5 \times 10}{10^{13}}
=8.5×10×10−13=8.5×10−12= 8.5 \times 10 \times 10^{-13} = 8.5 \times 10^{-12} उत्तर

(ii) 0.00000000000942=9421000000000000000.00000000000942 = \frac{942}{100000000000000}

=9421014=9.42×1001014= \frac{942}{10^{14}} = \frac{9.42 \times 100}{10^{14}}
=9.42×102×10−14=9.42×10−12= 9.42 \times 10^2 \times 10^{-14} = 9.42 \times 10^{-12} उत्तर

(iii) 6020000000000000=602×10136020000000000000 = 602 \times 10^{13}

=6.02×100×1013= 6.02 \times 100 \times 10^{13}
=6.02×102×1013=6.02×1015= 6.02 \times 10^2 \times 10^{13} = 6.02 \times 10^{15} उत्तर

(iv) 0.00000000837=8371000000000000.00000000837 = \frac{837}{100000000000}

=8371011=8.37×1001011= \frac{837}{10^{11}} = \frac{8.37 \times 100}{10^{11}}
=8.37×102×10−11=8.37×10−9= 8.37 \times 10^2 \times 10^{-11} = 8.37 \times 10^{-9} उत्तर

(v) 31860000000=3186×10731860000000 = 3186 \times 10^7

=3.186×103×107=3.186×1010= 3.186 \times 10^3 \times 10^7 = 3.186 \times 10^{10} उत्तर

प्रश्न 2. निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 3.02×10−63.02 \times 10^{-6} (ii) 4.5×1044.5 \times 10^4
(iii) 3×10−83 \times 10^{-8} (iv) 1.0001×1091.0001 \times 10^9
(v) 5.8×10125.8 \times 10^{12} (vi) 3.61492×1063.61492 \times 10^6

हल-(i) 3.02×10−6=302100×1106=302100000000=0.000003023.02 \times 10^{-6} = \frac{302}{100} \times \frac{1}{10^6} = \frac{302}{100000000} = 0.00000302 उत्तर

(ii) 4.5×104=4510×104=45×103=450004.5 \times 10^4 = \frac{45}{10} \times 10^4 = 45 \times 10^3 = 45000 उत्तर

(iii) 3×10−8=3108=3100000000=0.000000033 \times 10^{-8} = \frac{3}{10^8} = \frac{3}{100000000} = 0.00000003 उत्तर

(iv) 1.0001×109=1000110000×109=10001104×109=10001×105=10001000001.0001 \times 10^9 = \frac{10001}{10000} \times 10^9 = \frac{10001}{10^4} \times 10^9 = 10001 \times 10^5 = 1000100000 उत्तर

(v) 5.8×1012=5810×1012=58×1011=58000000000005.8 \times 10^{12} = \frac{58}{10} \times 10^{12} = 58 \times 10^{11} = 5800000000000 उत्तर

(vi) 3.61492×106=361492100000×106=361492105×106=361492×10=36149203.61492 \times 10^6 = \frac{361492}{100000} \times 10^6 = \frac{361492}{10^5} \times 10^6 = 361492 \times 10 = 3614920 उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित कथनों में जो संख्या प्रकट हो रही है उन्हें मानक रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 11 माइक्रॉन 11000000\frac{1}{1000000} m के बराबर होता है।
(ii) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश 0.000,000,000,000,000,000,160.000,000,000,000,000,000,16 कूलंब होता है।
(iii) जीवाणु की माप 0.00000050.0000005 m है।
(iv) पौधों की कोशिकाओं की माप 0.000012750.00001275 m है।
(v) मोटे कागज की मोटाई 0.070.07 mm है।

हल-(i) 11 माइक्रॉन 11000000 m=1×10−6 m\frac{1}{1000000} \text{ m} = 1 \times 10^{-6} \text{ m} उत्तर

(ii) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश =0.00000000000000000016= 0.00000000000000000016

=16100000000000000000000= \frac{16}{100000000000000000000}
=161020=1.6×101020=1.61019=1.6×10−19= \frac{16}{10^{20}} = \frac{1.6 \times 10}{10^{20}} = \frac{1.6}{10^{19}} = 1.6 \times 10^{-19} कूलंब उत्तर

(iii) जीवाणु की माप =0.0000005 m=510000000 m=5107 m=5×10−7 m= 0.0000005 \text{ m} = \frac{5}{10000000} \text{ m} = \frac{5}{10^7} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m} उत्तर

(iv) पौधों की कोशिकाओं की माप =0.00001275 m= 0.00001275 \text{ m}

=1275100000000 m=1.275×1000108 m=1.275×103108 m=1.275105 m=1.275×10−5 m= \frac{1275}{100000000} \text{ m} = \frac{1.275 \times 1000}{10^8} \text{ m} = \frac{1.275 \times 10^3}{10^8} \text{ m} = \frac{1.275}{10^5} \text{ m} = 1.275 \times 10^{-5} \text{ m} उत्तर

(v) मोटे कागज की मोटाई =0.07 mm=7100 mm=7102 mm=7×10−2 mm= 0.07 \text{ mm} = \frac{7}{100} \text{ mm} = \frac{7}{10^2} \text{ mm} = 7 \times 10^{-2} \text{ mm} उत्तर

प्रश्न 4. एक ढेर में पाँच किताबें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाई 20 mm20 \text{ mm} तथा पाँच कागज की शीटें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाई 0.016 mm0.016 \text{ mm} है। इस ढेर की कुल मोटाई ज्ञात कीजिए।

हल- एक किताब की मोटाई =20 mm= 20 \text{ mm}

∴\therefore पाँच किताबों की मोटाई =5×20 mm=100 mm= 5 \times 20 \text{ mm} = 100 \text{ mm}
एक शीट की मोटाई =0.016 mm= 0.016 \text{ mm}
पाँच शीटों की मोटाई =5×0.016 mm=0.08 mm= 5 \times 0.016 \text{ mm} = 0.08 \text{ mm}

658

कुल मोटाई =100 mm+0.08 mm= 100 \text{ mm} + 0.08 \text{ mm}

=100.08 mm=1.0008×102 mm= 100.08 \text{ mm} = 1.0008 \times 10^2 \text{ mm} उत्तर

भाग 2 — पाठ सार (Notes)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, परिभाषाएँ एवं महत्त्वपूर्ण सूत्र

अध्याय का त्वरित रिवीजन नोट्स, मुख्य संकल्पनाएँ एवं परीक्षा उपयोगी सूत्र।

पाठ सार
(1) किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घातांक के रूप में लिखना ही घातांक रूप में बदलना है।
(2) aa जो शून्य नहीं है और nn एक धनात्मक पूर्णांक है तो
(i) an=a×a×a…na^n = a \times a \times a \dots n बार
(ii) a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}
(3) ऋणात्मक घातांकों वाली संख्याएँ निम्नलिखित नियमों का पालन करती हैं-
(a) am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}
(b) am÷an=am−na^m \div a^n = a^{m-n}
(c) (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}
(d) am×bm=(ab)ma^m \times b^m = (ab)^m
(e) a0=1a^0 = 1
(f) ambm=(ab)m\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m
(4) ऋणात्मक घातांकों का उपयोग करते हुये बहुत छोटी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
(5) घातांकीय समीकरण-एक समीकरण के घात में अज्ञात राशि हो तो इस समीकरण को घातांकीय समीकरण कहते हैं।

654

इन समीकरणों को हल करने का नियम-दो समान आधार वाली दो संख्याएँ जो घातांकीय रूप में हैं, केवल तब ही समान होंगी, जब इनके घात समान हों अर्थात् यदि am=ana^m = a^n, तो m=nm = n

(6) एक संख्या मानक रूप में कहलाती है यदि उसे 1 और 10 के बीच एक संख्या तथा 10 के पूर्णांक घात के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित किया जाए। अर्थात् किसी संख्या को इकाई पूर्णांक एवं 10 की घातांक रूप के गुणनखंड में प्रदर्शित करना ही मानक रूप या वैज्ञानिक अंकन पद्धति कहलाती है।

भाग 3 — अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A)

परीक्षा उपयोगी वस्तुनिष्ठ (MCQ), अतिलघूत्तरात्मक एवं लघूत्तरात्मक प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न-

प्रश्न 1. 25÷222^5 \div 2^2 का अर्थ है-
(अ) 25+22^{5+2} (ब) 25−22^{5-2} (स) 2522^{\frac{5}{2}} (द) (25)2(2^5)^2

प्रश्न 2. 303^0 का मान होता है-
(अ) 00 (ब) 22 (स) 11 (द) 44

प्रश्न 3. (−83)24\left(-\frac{8}{3}\right)^{24} में घातांक है-
(अ) 33 (ब) 88 (स) 2424 (द) 22

प्रश्न 4. (12−2)\left(\frac{1}{2^{-2}}\right) का हल होगा-

(अ) 22 (ब) 44 (स) 14\frac{1}{4} (द) 11

प्रश्न 5. (2×4)2(2 \times 4)^2 का सरल रूप है-
(अ) 22×422^2 \times 4^2 (ब) 22/422^2/4^2
(स) 22+422^2 + 4^2 (द) 42/224^2/2^2

प्रश्न 6. (4)9×(4)3(4)^9 \times (4)^3 का घातांक रूप है-
(अ) (4)3(4)^3 (ब) (4)27(4)^{27} (स) (4)12(4)^{12} (द) (4)6(4)^6

प्रश्न 7. (35×33)÷(3)14(3^5 \times 3^3) \div (3)^{14} का हल है-

(अ) 135\frac{1}{3^5} (ब) 136\frac{1}{3^6} (स) 1314\frac{1}{3^{14}} (द) 133\frac{1}{3^3}

प्रश्न 8. 2−42^{-4} का गुणात्मक प्रतिलोम है-
(अ) 4242 (ब) 2424 (स) 1616 (द) 116\frac{1}{16}

प्रश्न 9. (12)0(12)^0 का मान होता है-
(अ) 00 (ब) 11 (स) 1212 (द) 112\frac{1}{12}

प्रश्न 10. [−4]−2[-4]^{-2} का मान होगा-
(अ) 1616 (ब) −16-16 (स) 116\frac{1}{16} (द) −116-\frac{1}{16}

प्रश्न 11. 33×34×353^3 \times 3^4 \times 3^5 का मान है-
(अ) 3603^{60} (ब) 3303^{30} (स) 3123^{12} (द) 3153^{15}

प्रश्न 12. (23)2(2^3)^2 का मान है-
(अ) 262^6 (ब) 252^5 (स) 282^8 (द) 22

प्रश्न 13. 50+40+305^0 + 4^0 + 3^0 का मान है-
(अ) 77 (ब) 6060 (स) 33 (द) शून्य

प्रश्न 14. am×bma^m \times b^m का मान बराबर है-
(अ) (ab)m(ab)^m (ब) (ab)−m(ab)^{-m}
(स) amba^m b (द) abmab^m

प्रश्न 15. 3m×3−3=353^m \times 3^{-3} = 3^5 हो तो mm का मान है-
(अ) 66 (ब) 33 (स) 88 (द) 11

प्रश्न 16. (−2)m+1×(−2)4=(−2)6(-2)^{m+1} \times (-2)^4 = (-2)^6 हो तो mm का मान है-
(अ) 00 (ब) −1-1 (स) 22 (द) 11

उत्तरमाला
1. (ब) 2. (स) 3. (स) 4. (ब)
5. (अ) 6. (स) 7. (ब) 8. (स)
9. (ब) 10. (स) 11. (स) 12. (अ)
13. (स) 14. (अ) 15. (स) 16. (द)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

  1. 34×34×34\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} का घातांक रूप {(34)3}\left{\left(\frac{3}{4}\right)^3\right} होगा।

  2. aa कोई अशून्य परिमेय संख्या है व nn धन पूर्णांक है तो a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} होगा।

  3. किसी संख्या को इकाई पूर्णांक व 1010 की घातांक रूप के गुणनखण्ड में प्रदर्शित करना ही मानक रूप कहलाता है।

  4. (45)50\left(\frac{4}{5}\right)^{50} में घातांक 5050 व आधार 45\frac{4}{5} है।

  5. 5−25^{-2} का धन घातांक रूप 152\frac{1}{5^2} होगा।

  6. (32+42+52)0(3^2 + 4^2 + 5^2)^0 का मान 11 होगा।

उत्तर- 1. (34)3\left(\frac{3}{4}\right)^3, 2. 1an\frac{1}{a^n}, 3. 1010, 4. 50,4550, \frac{4}{5}, 5. 152\frac{1}{5^2}, 6. 11

निम्नलिखित कथनों पर सत्य/असत्य का चयन कर (✓\checkmark) चिन्ह लगाइए-

  1. am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n} (सत्य ✓\checkmark / असत्य)
  2. a−m=1ama^{-m} = \frac{1}{a^m} (सत्य ✓\checkmark / असत्य)
  3. (−2)−3×(−2)−4=23+4(-2)^{-3} \times (-2)^{-4} = 2^{3+4} (सत्य / असत्य ✓\checkmark)
  4. aman=an−m\frac{a^m}{a^n} = a^{n-m} (सत्य / असत्य ✓\checkmark)
  5. 0.000007 m=7×10−5 m0.000007 \text{ m} = 7 \times 10^{-5} \text{ m} (सत्य / असत्य ✓\checkmark)
  6. (am)n=amn(a^m)^n = a^{\frac{m}{n}} (सत्य / असत्य ✓\checkmark)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. 56×56×56×56\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} को घातांक रूप में लिखिए।

हल- (56)4\left(\frac{5}{6}\right)^4

प्रश्न 2. 729729 को घातांक रूप में लिखिए।

हल- 729=3×3×3×3×3×3=(3)6729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = (3)^6 उत्तर

प्रश्न 3. (25×25×25)×(35×35)\left(\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5}\right) \times \left(\frac{3}{5} \times \frac{3}{5}\right) को घातांक रूप में लिखिए।

हल- (25)3×(35)2\left(\frac{2}{5}\right)^3 \times \left(\frac{3}{5}\right)^2

प्रश्न 4. (13)3×(23)4\left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 का मान ज्ञात कीजिए।

हल- (13×13×13)×(23×23×23×23)\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right)

=127×1681=162187= \frac{1}{27} \times \frac{16}{81} = \frac{16}{2187} उत्तर

प्रश्न 5. [(43×44)÷49]2\left[(4^3 \times 4^4) \div 4^9\right]^2 को घातांक रूप में लिखिए।

हल- [(43+4)÷49]2=[47÷49]2\left[(4^{3+4}) \div 4^9\right]^2 = \left[4^7 \div 4^9\right]^2

=(4−2)2=(142)2=144= (4^{-2})^2 = \left(\frac{1}{4^2}\right)^2 = \frac{1}{4^4} उत्तर

प्रश्न 6. 4−34^{-3} को घात और उसके आधार 22 के रूप में लिखिये।

हल- 4=2×2=224 = 2 \times 2 = 2^2

अतः: (22)−3=2−6(2^2)^{-3} = 2^{-6} ∵(am)n=amn\because (a^m)^n = a^{mn} उत्तर

प्रश्न 7. सरल कीजिये और उत्तर घातांक के रूप में लिखिये-
(−3)4×(53)4(-3)^4 \times \left(\frac{5}{3}\right)^4

हल- (−3)4×(53)4=(−1×3)4×5434(-3)^4 \times \left(\frac{5}{3}\right)^4 = (-1 \times 3)^4 \times \frac{5^4}{3^4}

=(−1)4×34×5434=(−1)4×54= (-1)^4 \times 3^4 \times \frac{5^4}{3^4} = (-1)^4 \times 5^4
=54= 5^4 ∵(−1)4=1\because (-1)^4 = 1 उत्तर

प्रश्न 8. सरल कीजिये-
(−4)5×(−4)−10(-4)^5 \times (-4)^{-10}

हल- (−4)5×(−4)−10=(−4)5−10=(−4)−5(-4)^5 \times (-4)^{-10} = (-4)^{5-10} = (-4)^{-5}

=1(−4)5= \frac{1}{(-4)^5} ∵am×an=am+n\because a^m \times a^n = a^{m+n}

प्रश्न 9. सरल कीजिये-
25÷2−62^5 \div 2^{-6}

हल- 25÷2−6=252−62^5 \div 2^{-6} = \frac{2^5}{2^{-6}}

=25+6=211= 2^{5+6} = 2^{11} उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. मान ज्ञात कीजिये (कोई दो)
(a) (30+4−1)22(3^0 + 4^{-1})2^2 (b) 8−1×532−4\frac{8^{-1} \times 5^3}{2^{-4}} (c) [(−23)2]2\left[\left(\frac{-2}{3}\right)^2\right]^2

हल-

(a) (30+4−1)22(3^0 + 4^{-1})2^2

=(30+4−1)4= (3^0 + 4^{-1}) 4 ∵22=2×2=4\because 2^2 = 2 \times 2 = 4
=30×4+4−1×4= 3^0 \times 4 + 4^{-1} \times 4

=1×4+14×4=4+1=5= 1 \times 4 + \frac{1}{4} \times 4 = 4 + 1 = 5 उत्तर

(b) 8−1×532−4=24×5381\frac{8^{-1} \times 5^3}{2^{-4}} = \frac{2^4 \times 5^3}{8^1} ∵a−m=1am\because a^{-m} = \frac{1}{a^m}

=2×2×2×2×5×5×58= \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5}{8}
=2×5×5×5=250= 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250 उत्तर

(c) [(−23)2]2\left[\left(\frac{-2}{3}\right)^2\right]^2

=(−23)2×2= \left(\frac{-2}{3}\right)^{2 \times 2} ∵(am)n=amn\because (a^m)^n = a^{mn}
=(−23)4=(−1)4×(23)4= \left(\frac{-2}{3}\right)^4 = (-1)^4 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4

=1×2×2×2×23×3×3×3=1681= \frac{1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{16}{81} उत्तर

प्रश्न 2. सरल कीजिये और उत्तर घातांक के रूप में लिखिये।
(25÷28)5×2−5(2^5 \div 2^8)^5 \times 2^{-5}

हल- (25÷28)5×2−5(2^5 \div 2^8)^5 \times 2^{-5}

=(25−8)5×2−5=(2−3)5×2−5= (2^{5-8})^5 \times 2^{-5} = (2^{-3})^5 \times 2^{-5}
=2−15×2−5=2−15−5=2−20= 2^{-15} \times 2^{-5} = 2^{-15-5} = 2^{-20} उत्तर

=2−3×5×2−5=2−15×2−5= 2^{-3 \times 5} \times 2^{-5} = 2^{-15} \times 2^{-5}
=2−15−5=2−20=1220= 2^{-15-5} = 2^{-20} = \frac{1}{2^{20}} उत्तर

प्रश्न 3. घातांक के नियमों का प्रयोग करते हुये निम्न का मान ज्ञात कीजिये।

(i) (30+40+50)−1(3^0 + 4^0 + 5^0)^{-1}
(ii) (23)5÷(23)3\left(\frac{2}{3}\right)^5 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3

हल-

(i) (30+40+50)−1(3^0 + 4^0 + 5^0)^{-1}

=(1+1+1)−1=(3)−1=13= (1 + 1 + 1)^{-1} = (3)^{-1} = \frac{1}{3} उत्तर

(ii) (23)5÷(23)3=(23)5−3\left(\frac{2}{3}\right)^5 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{5-3} ∵am÷an=am−n\because a^m \div a^n = a^{m-n}

=(23)2=2×23×3=49= \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = \frac{4}{9} उत्तर

प्रश्न 4. सरल कीजिए और उत्तर घातांक के रूप में लिखिए।

(i) (25÷28)5×2−5(2^5 \div 2^8)^5 \times 2^{-5}
(ii) (−4)−3×(5)−3×(−5)−3(-4)^{-3} \times (5)^{-3} \times (-5)^{-3}
(iii) 18×(3)−3\frac{1}{8} \times (3)^{-3}

हल-

(i) (25÷28)5×2−5(2^5 \div 2^8)^5 \times 2^{-5}

=(25−8)5×2−5= (2^{5-8})^5 \times 2^{-5}
=(2−3)5×2−5= (2^{-3})^5 \times 2^{-5}

=2−15−5=2−20=1220= 2^{-15-5} = 2^{-20} = \frac{1}{2^{20}}

(ii) (−4)−3×(5)−3×(−5)−3(-4)^{-3} \times (5)^{-3} \times (-5)^{-3}

=[(−4)×5×(−5)]−3= [(-4) \times 5 \times (-5)]^{-3}
=[100]−3=11003= [100]^{-3} = \frac{1}{100^3}
[नियम से am×bm=(ab)ma^m \times b^m = (ab)^m, a−m=1ama^{-m} = \frac{1}{a^m}]

(iii) 18×(3)−3\frac{1}{8} \times (3)^{-3}

=123×(3)−3=2−3×3−3= \frac{1}{2^3} \times (3)^{-3} = 2^{-3} \times 3^{-3}
=(2×3)−3=6−3=163= (2 \times 3)^{-3} = 6^{-3} = \frac{1}{6^3} उत्तर

प्रश्न 5. सरल कीजिए
(i) {(13)−2−(12)−3}÷(14)−2\left{ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \right} \div \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}
(ii) (58)−7×(85)−5\left(\frac{5}{8}\right)^{-7} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-5}

हल-

(i) {(13)−2−(12)−3}÷(14)−2\left{ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \right} \div \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}

={1−23−2−1−32−3}÷1−24−2= \left{ \frac{1^{-2}}{3^{-2}} - \frac{1^{-3}}{2^{-3}} \right} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}
={3212−2313}÷4212={9−8}÷16=116= \left{ \frac{3^2}{1^2} - \frac{2^3}{1^3} \right} \div \frac{4^2}{1^2} = {9 - 8} \div 16 = \frac{1}{16} उत्तर

(ii) (58)−7×(85)−5\left(\frac{5}{8}\right)^{-7} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-5}

=5−78−7×8−55−5=5−75−5×8−58−7= \frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}} = \frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}
=5(−7)−(−5)×8(−5)−(−7)= 5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}

=5−2×82=8252=6425= 5^{-2} \times 8^2 = \frac{8^2}{5^2} = \frac{64}{25} उत्तर

प्रश्न 6. निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 0.000035 (ii) 4050000

हल-

(i) 0.000035 =3.5×10−5= 3.5 \times 10^{-5} उत्तर

(ii) 4050000 =4.05×106= 4.05 \times 10^6 उत्तर

प्रश्न 7. निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 3.52×1053.52 \times 10^5 (ii) 7.54×10−47.54 \times 10^{-4} (iii) 3×10−53 \times 10^{-5}

हल-

(i) 3.52×105=3.52×100000=3520003.52 \times 10^5 = 3.52 \times 100000 = 352000 उत्तर

(ii) 7.54×10−4=7.54104=7.5410000=0.0007547.54 \times 10^{-4} = \frac{7.54}{10^4} = \frac{7.54}{10000} = 0.000754 उत्तर

(iii) 3×10−5=3105=3100000=0.000033 \times 10^{-5} = \frac{3}{10^5} = \frac{3}{100000} = 0.00003 उत्तर

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