RBSE Class 8 Mathematics Chapter 11 Solutions & Notes in Hindi (सीधा और प्रतिलोम समानुपात)

पाठगत प्रश्न

पृष्ठ 137

प्रश्न 1. मोहन स्वयं अपने और अपनी बहन के लिए चाय बनाता है। वह $300\text{ mL}$ पानी, $2$ चम्मच चीनी, $1$ चम्मच चाय-पत्ती और $50\text{ mL}$ दूध का उपयोग करता है। यदि वह पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाए, तो उसे प्रत्येक वस्तु की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी?

हल-

दो व्यक्तियों के लिए आवश्यक पानी की मात्रा $= 300\text{ mL}$
$\therefore$ पाँच व्यक्तियों के लिए आवश्यक पानी की मात्रा $= \frac{300}{2} \times 5\text{ mL}$
$\therefore$ पानी की मात्रा $= 750\text{ mL}$ उत्तर

दो व्यक्तियों के लिए आवश्यक चीनी की मात्रा $= 2$ चम्मच
$\therefore$ पाँच व्यक्तियों के लिए आवश्यक चीनी की मात्रा $= \frac{2}{2} \times 5$
$\therefore$ चीनी की मात्रा $= 5$ चम्मच उत्तर

दो व्यक्तियों के लिए आवश्यक चाय-पत्ती की मात्रा $= 1$ चम्मच
$\therefore$ पाँच व्यक्तियों के लिए आवश्यक चाय-पत्ती की मात्रा $= \frac{1}{2} \times 5$
$\therefore$ चाय पत्ती की मात्रा $= 2\frac{1}{2}$ चम्मच उत्तर

दो व्यक्तियों के लिए आवश्यक दूध की मात्रा $= 50\text{ mL}$
$\therefore$ पाँच व्यक्तियों के लिए आवश्यक दूध की मात्रा $= \frac{50}{2} \times 5\text{ mL}$
$\therefore$ दूध की मात्रा $= 125\text{ mL}$ उत्तर

अतः, पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाने के लिए मोहन को $750\text{ mL}$ पानी, $5$ चम्मच चीनी, $2\frac{1}{2}$ चम्मच चाय-पत्ती और $125\text{ mL}$ दूध की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 2. यदि दो विद्यार्थी किसी सभा के लिए कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में $20$ मिनट का समय लगाते हैं, तो इसी कार्य को करने में $5$ विद्यार्थी कितना समय लेंगे?

हल-

कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में दो विद्यार्थी समय लगाते हैं $= 20$ मिनट
कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में एक विद्यार्थी समय लगाएगा $= 20 \times 2 = 40$ मिनट
$\therefore$ कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में पाँच विद्यार्थी समय लगाएंगे $= \frac{40}{5} = 8$ मिनट उत्तर

पृष्ठ 140 | प्रयास कीजिए

प्रश्न 1. निम्नलिखित सारणियों को देखिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या $x$ और $y$ अनुक्रमानुपाती हैं?

(i)

(ii)

(iii)

हल-(i) प्रश्नानुसार

$\frac{20}{40} = \frac{17}{34} = \frac{14}{28} = \frac{11}{22} = \frac{8}{16} = \frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, इस प्रकार, $x$ और $y$ अनुक्रमानुपाती हैं।

और $y$ की अनुरूप कीमत का औसत स्थिर है और $\frac{1}{2}$ के बराबर है। अतः $x$ और $y$ स्थिर विचरण $\frac{1}{2}$ के साथ अनुक्रमानुपाती हैं।

(ii) प्रश्नानुसार, $\frac{6}{4} \neq \frac{10}{8} \neq \frac{14}{12} \neq \frac{18}{16} \neq \frac{22}{20} \neq \frac{26}{24} \neq \frac{30}{28}$, इस प्रकार, $x$ और $y$ के अनुरूप कीमतों का औसत स्थिर नहीं है। अतः $x$ और $y$ अनुक्रमानुपाती नहीं हैं।

(iii) प्रश्नानुसार, $\frac{5}{15} = \frac{8}{24} = \frac{12}{36} = \frac{15}{60} = \frac{18}{72} = \frac{20}{100}$ इत्यादि। इस प्रकार, $x$ और $y$ की अनुरूप कीमतें स्थिर नहीं हैं। अतः $x$ और $y$ अनुक्रमानुपाती नहीं हैं।

प्रश्न 2. मूलधन = $1000$ रुपए, ब्याज दर = $8$ वार्षिक। निम्नलिखित सारणी को भरिए तथा ज्ञात कीजिए कि, किस प्रकार का ब्याज (साधारण या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता या परिवर्तित होता है।

हल— दिया है- $P = 1000$ रुपए, $R = 8$ वार्षिक

साधारण ब्याज के लिए-
$1$ वर्ष का साधारण ब्याज = $\left(\frac{1000 \times 8 \times 1}{100}\right)$ रुपए = $80$ रुपए
$2$ वर्ष का साधारण ब्याज = $\left(\frac{1000 \times 8 \times 2}{100}\right)$ रुपए = $160$ रुपए
$3$ वर्ष का साधारण ब्याज = $\left(\frac{1000 \times 8 \times 3}{100}\right)$ रुपए = $240$ रुपए

C.I. (चक्रवृद्धि ब्याज के लिए)-
$1$ वर्ष के लिए राशि = $1000\left(1 + \frac{8}{100}\right)^1$ रुपए = $1000 \times \frac{108}{100}$ रुपए = $1080$ रुपए
$\therefore 1$ वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज = $(1080 - 1000)$ रुपए = $80$ रुपए

$2$ वर्ष के लिए राशि = $1000\left(1 + \frac{8}{100}\right)^2$ रुपए = $1000 \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100}$ रुपए = $1166.40$ रुपए
$\therefore 2$ वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज = $(1166.40 - 1000)$ रुपए = $166.40$ रुपए

$3$ वर्ष के लिए राशि = $1000\left(1 + \frac{8}{100}\right)^3$ रुपए = $1000 \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100}$ रुपए = $1259.712$ रुपए
$\therefore 3$ वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज = $(1259.712 - 1000)$ रुपए = $259.712$ रुपए

$\therefore$ सारणी निम्नांकित होगी-

साधारण ब्याज समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता है।

प्रयास कीजिए

पृष्ठ 147

प्रश्न- निम्नलिखित सारणियों को देखिए तथा ज्ञात कीजिए कि कौन से चरों ($x$ और $y$) के युग्म परस्पर प्रतिलोम समानुपात में हैं-

(i)

(ii)

(iii)

हल—

(i) प्रश्नानुसार, $x \times y = 50 \times 5 \neq 40 \times 6 \neq 30 \times 7 \neq 20 \times 8$
इस प्रकार, $x$ और $y$ परस्पर व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं।

(ii) प्रश्नानुसार, $x \times y = 100 \times 60 = 200 \times 30 = 300 \times 20 = 400 \times 15$ या $6000$ = स्थिर
इस प्रकार, $x$ और $y$ परस्पर व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(iii) प्रश्नानुसार, $x \times y = 90 \times 10 = 60 \times 15 = 45 \times 20 \neq 30 \times 25 \neq 20 \times 30 \neq 5 \times 35$
इस प्रकार, $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपात में नहीं हैं।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 11.1

प्रश्न 1. एक रेलवे स्टेशन के निकट कार पार्किंग शुल्क इस प्रकार है-

4 घंटों तक 60 रुपए
8 घंटों तक 100 रुपए
12 घंटों तक 140 रुपए
24 घंटों तक 180 रुपए

जाँच कीजिए कि क्या कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है?

हल- प्रश्नानुसार $\frac{4}{60} \neq \frac{8}{100} \neq \frac{12}{140} \neq \frac{24}{180}$

अतः कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं है। उत्तर

प्रश्न 2. एक पेंट के मूल मिश्रण (base) के 8 भागों में लाल रंग के पदार्थ का 1 भाग मिलाकर मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित सारणी में, मूल मिश्रण के वे भाग ज्ञात कीजिए जिन्हें मिलाए जाने की आवश्यकता है-

हल- दिया गया है कि लाल रंग के भाग, $x$ और मूल मिश्रण के भाग, $y$ प्रत्यक्ष अनुपात में हैं। इसलिए, $x$ और $y$ के संगत मान का औसत अचर रहेगा। प्रश्नानुसार

$\frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
अतः $x$ और $y$, $\frac{1}{8}$ के समान और स्थिर विचरण के साथ प्रत्यक्ष विचरण हैं। जिसका अर्थ है कि $x, y$ का $\frac{1}{8}$ है और $y, x$ का 8 भाग है।

अतः वांछित प्रविष्टियाँ हैं $\frac{4}{32}, \frac{7}{56}, \frac{12}{96}, \frac{20}{160}$
इस प्रकार सारणी होगी-

प्रश्न 3. प्रश्न 2 में यदि लाल रंग के पदार्थ के 1 भाग के लिए $75\text{ mL}$ मूल मिश्रण की आवश्यकता है, तो मूल मिश्रण के $1800\text{ mL}$ में हमें कितना लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए?

हल- माना कि लाल रंग के पदार्थ के $x$ भाग के लिए $1800\text{ mL}$ मूल मिश्रण की आवश्यकता है। तब उपर्युक्त आँकड़ों को निम्नांकित सारणी के अनुसार रख सकते हैं-

$\therefore \frac{1}{75} = \frac{x}{1800}$ या $x = \frac{1}{75} \times 1800 = 24$
अतः, मूल मिश्रण के $1800\text{ mL}$ में हमें 24 भाग लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए। उत्तर

प्रश्न 4. किसी सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 840 बोतलें 6 घंटे में भरती है। वह मशीन पाँच घंटे में कितनी बोतलें भरेगी?

हल- मान लीजिए 5 घंटे में $x$ बोतलें भरती हैं तो सूचना को निम्नानुसार तालिकाबद्ध किया जा सकता है-

हम देखते हैं कि कम समय में, बोतलें भी कम भरती हैं। अतः यह प्रत्यक्ष विचरण या समानुपात की स्थिति है।
$\therefore \frac{6}{840} = \frac{5}{x}$ या $x = 5 \times \frac{840}{6} = 700$
अतः, 5 घंटों में 700 बोतलें भरेंगी। उत्तर

प्रश्न 5. एक बैक्टीरिया (bacteria) या जीवाणु के फोटोग्राफ (चित्र) को 50,000 गुना आवर्धित करने पर उसकी लम्बाई $5\text{ cm}$ हो जाती है, जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है। इस बैक्टीरिया की वास्तविक लम्बाई क्या है? यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना आवर्धित किया जाए, तो उसकी आवर्धित लम्बाई क्या होगी?

हल- बैक्टीरिया या जीवाणु की वास्तविक लम्बाई

$= \frac{5}{50000}\text{ cm} = \frac{1}{10000}\text{ cm}$
$= \frac{1}{10^4}\text{ cm} = 10^{-4}\text{ cm}$ उत्तर

माना कि इसके फोटोग्राफ को 20,000 गुना आवर्धित करने पर इसकी लम्बाई $x$ हो जाती है। तब इस सूचना को दी गई सारणी के अनुसार लिखा जा सकता है-

स्पष्ट है, यह प्रत्यक्ष विचरण की स्थिति है।
$\therefore \frac{5}{50000} = \frac{x}{20000}$
या $x = \frac{5}{50000} \times 20000 = 2$
अतः आवर्धित लम्बाई $2\text{ cm}$ है। उत्तर

प्रश्न 6. एक जहाज के मॉडल में, उसका मस्तूल (mast) $9\text{ cm}$ ऊँचा है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल $12\text{ m}$ ऊँचा है। यदि जहाज की लम्बाई $28\text{ m}$ है, तो उसके मॉडल की लम्बाई कितनी है?

हल- माना कि $28\text{ m}$ वास्तविक लम्बाई वाले जहाज के मॉडल जहाज की लम्बाई $x\text{ cm}$ है। तब इस सूचना को अग्रानुसार सारणी में लिख सकते हैं-

यहाँ पृष्ठ पर दी गई सामग्री का लिप्यंतरण है:

स्पष्ट है, यह प्रत्यक्ष विचरण की स्थिति है।
$\therefore \frac{9}{12} = \frac{x}{28}$ या $x = 28 \times \frac{9}{12} = 21$
अतः, मॉडल जहाज की लम्बाई $21 \text{ cm}$ है। उत्तर

प्रश्न 7. मान लीजिए $2 \text{ kg}$ चीनी में $9 \times 10^6$ क्रिस्टल हैं। निम्नलिखित चीनी में कितने चीनी के क्रिस्टल होंगे?
(i) $5 \text{ kg}$
(ii) $1.2 \text{ kg}$

हल— मान लीजिए $5 \text{ kg}$ चीनी और $1.2 \text{ kg}$ चीनी में $x$ और $y$ क्रिस्टल हैं। इस जानकारी को निम्नानुसार सारणी में लिखा जा सकता है-

स्पष्टतः, यह प्रत्यक्ष विचरण की स्थिति है।

(i) $\frac{9 \times 10^6}{2} = \frac{x}{5}$ या $x = \frac{5 \times 9 \times 10^6}{2}$
या $x = \frac{9 \times 10 \times 10^6}{4} = \frac{9}{4} \times 10^7 = 2.25 \times 10^7$
अतः, $5 \text{ kg}$ चीनी में $2.25 \times 10^7$ क्रिस्टल होंगे। उत्तर

हल— मान लीजिए $10 \text{ m } 50 \text{ cm}$ लम्बाई वाली छाया के खंभे की लम्बाई $x \text{ m}$ है। मान लीजिए $5 \text{ m}$ लम्बाई वाली छाया के खंभे की लम्बाई $y \text{ m}$ है।

तब, इस सूचना को सारणी में निम्नानुसार लिखा जा सकता है-

स्पष्ट है, यह प्रत्यक्ष विचरण की स्थिति है।

(i) $\frac{5.60}{3.20} = \frac{10.50}{x}$
या $x = 10.50 \times \frac{3.20}{5.60} = 6$
अतः, छाया की लम्बाई $6 \text{ m}$ है। उत्तर

(ii) $\frac{5.60}{3.20} = \frac{y}{5}$ या $y = 5 \times \frac{5.60}{3.20} = 8.75$
अतः, खंभे की लम्बाई $8.75 \text{ m}$ है। उत्तर

प्रश्न 10. माल से लदा हुआ एक ट्रक $25$ मिनट में $14 \text{ km}$ चलता है। यदि चाल वही रहे, तो वह $5$ घंटे में कितनी दूरी तय कर पाएगा?

हल— माना ट्रक $5$ घंटे में $x \text{ km}$ चलता है। इस दी गई जानकारी को निम्नानुसार सारणी में लिखा जा सकता है-

हल-(i), (iv) तथा (v) प्रतिलोम अनुपात में हैं।

प्रश्न 2. एक टेलीविजन गेम शो (game show) में $1,00,000$ रुपए की पुरस्कार राशि विजेताओं में समान रूप से वितरित की जानी है। निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार की धनराशि विजेताओं की संख्या के अनुक्रमानुपाती है या व्युत्क्रमानुपाती है।

हल : स्पष्ट है, विजेताओं की संख्या जितनी अधिक होगी, प्रत्येक विजेता को उतनी ही कम पुरस्कार राशि मिलेगी। अतः यह व्युत्क्रमानुपाती स्थिति है।

$\therefore 4 \times x = 1 \times 100000$
या $x = \frac{100000}{4} = 25000$
इस प्रकार, $4$ के लिए यह $25,000$ होगी। उत्तर
$5 \times y = 1 \times 100000$
या $y = \frac{100000}{5} = 20000$
इस प्रकार, $5$ के लिए यह $20000$ होगी। उत्तर
$8 \times z = 1 \times 100000$
या $z = \frac{100000}{8} = 12500$
इस प्रकार, $8$ के लिए यह $12500$ होगी। उत्तर
$10 \times r = 1 \times 100000$
या $r = \frac{100000}{10} = 10000$
इस प्रकार, $10$ के लिए यह $10000$ होगी। उत्तर
$20 \times p = 1 \times 100000$
या $p = \frac{100000}{20} = 5000$
इस प्रकार, $20$ के लिए यह $5000$ होगी। उत्तर

प्रश्न 3. रहमान तीलियों या डंडियों का प्रयोग करते हुए, एक पहिया बना रहा है। वह समान तीलियाँ इस प्रकार लगाना चाहता है कि किन्हीं भी क्रमागत तीलियों के बीच के कोण बराबर हैं।

निम्नलिखित सारणी को पूरा करके, उसकी सहायता कीजिए-

(i) क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में है?
(ii) $15$ तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण परिकलित कीजिए।
(iii) यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण $40^{\circ}$ है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी?

हल : स्पष्ट है, तीलियों की संख्या जितनी अधिक होगी, क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण उतना ही छोटा होगा।

यहाँ हम देखते हैं $4 \times 90^{\circ} = 6 \times 60^{\circ} (= 360^{\circ})$
अतः, यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
$\therefore 8 \times x = 4 \times 90^{\circ}$ या $x = \frac{4 \times 90^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$
इस प्रकार, $8$ के लिए यह $45^{\circ}$ होगा। उत्तर
$10 \times y = 4 \times 90^{\circ}$ या $y = \frac{4 \times 90^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$
इस प्रकार, $10$ के लिए $36^{\circ}$ होगा। उत्तर
$12 \times z = 4 \times 90^{\circ}$ या $z = \frac{4 \times 90^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$
इस प्रकार, $12$ के लिए $30^{\circ}$ होगा। उत्तर

(i) हाँ, तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में है।

(ii) माना $15$ तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण $x^{\circ}$ है।
$\therefore 15 \times x = 4 \times 90^{\circ}$ या $x = \frac{4 \times 90^{\circ}}{15} = 24^{\circ}$
इस प्रकार, वांछित कोण $24^{\circ}$ है। उत्तर

(iii) माना कि आवश्यक तीलियों की संख्या $x$ होगी, यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण $40^{\circ}$ है।
$\therefore x \times 40^{\circ} = 4 \times 90^{\circ}$ या $x = \frac{4 \times 90^{\circ}}{40} = 9^{\circ}$
इस प्रकार, वांछित तीलियों की संख्या $9$ है। उत्तर

प्रश्न 4. यदि किसी डिब्बे की मिठाई को $24$ बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को $5$ मिठाइयाँ मिलती हैं।

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यदि बच्चों की संख्या में $4$ की कमी हो जाए, तो प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?

हल—चूँकि बच्चों की संख्या $4$ कम हो गई है। अतः, उनकी संख्या $24 - 4 = 20$ हो गई है। माना कि बच्चों की संख्या $20$ होने पर प्रत्येक को $x$ मिठाइयाँ मिलती हैं।

अतः हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होगी-

चूँकि कम बच्चों को अधिक मिठाई मिलेगी। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 24 \times 5 = 20 \times x$
या $x = \frac{24 \times 5}{20} = 6$
अतः, प्रत्येक बच्चे को $6$ मिठाइयाँ मिलेंगी। उत्तर

प्रश्न 5. एक किसान की पशुशाला में $20$ पशुओं के लिए $6$ दिन का पर्याप्त भोजन है। यदि इस पशुशाला में $10$ पशु और आ जाएँ, तो यह भोजन कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?

हल—माना कि अब भोजन $x$ दिन तक के लिए पर्याप्त रहेगा।

स्पष्ट है, पशुओं की संख्या जितनी अधिक होगी, भोजन उतने ही कम दिनों के लिए पर्याप्त होगा। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
$\therefore 20 \times 6 = 30 \times x$ या $x = \frac{20 \times 6}{30} = 4$
अतः, अब भोजन $4$ दिनों के लिए पर्याप्त होगा। उत्तर

प्रश्न 6. एक ठेकेदार यह आकलन करता है कि जसमिंदर के घर में पुनः तार लगाने का कार्य $3$ व्यक्ति $4$ दिन में कर सकते हैं। यदि वह तीन के स्थान पर चार व्यक्तियों को इस काम पर लगाता है, तो यह कार्य कितने दिन में पूरा हो जाएगा?

हल—माना कि $4$ व्यक्ति पुनः तार लगाने का कार्य $x$ दिन में करते हैं-

स्पष्ट है, अधिक व्यक्तियों की संख्या के लिए दिनों की संख्या घट जाएगी। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
$\therefore 4 \times 3 = x \times 4$ या $x = \frac{4 \times 3}{4} = 3$
अतः, कार्य $3$ दिन में ही पूरा हो जाएगा। उत्तर

प्रश्न 7. बोतलों के एक बैच (batch) को $25$ बॉक्सों में रखा जाता है, जबकि प्रत्येक बॉक्स में $12$ बोतलें हैं। यदि इसी बैच की बोतलों को इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक बॉक्स में $20$ बोतलें हों, तो कितने बॉक्स भरे जाएंगे?

हल—माना $x$ बॉक्स की आवश्यकता होगी, यदि प्रत्येक बॉक्स में $20$ बोतलें रखी जाएँ। तब,

स्पष्ट है, जितनी अधिक बोतलें भरेंगे, उतने ही कम बॉक्स आवश्यक होंगे। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 25 \times 12 = x \times 20$ या $x = \frac{25 \times 12}{20} = 15$
अतः प्रत्येक बॉक्स में $20$ बोतलें भरने पर $15$ बॉक्स भरे जाएंगे। उत्तर

प्रश्न 8. एक फैक्ट्री को कुछ वस्तुएँ $63$ दिन में बनाने के लिए $42$ मशीनों की आवश्यकता होती है। उतनी ही वस्तुएँ $54$ दिन में बनाने के लिए, कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?

हल—माना कि निश्चित वस्तुएँ $54$ दिन में बनाने के लिए $x$ मशीनों की आवश्यकता होगी। तब,

स्पष्ट है, निश्चित वस्तुओं को कम दिनों में बनाने के लिए अधिक मशीन की आवश्यकता होगी। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 42 \times 63 = x \times 54$ या $x = \frac{42 \times 63}{54} = 49$
अतः, $49$ मशीनों की आवश्यकता होगी। उत्तर

प्रश्न 9. एक कार एक स्थान तक पहुँचने में $60 \text{ km/h}$ की चाल से चलकर $2$ घंटे का समय लेती है। $80 \text{ km/h}$ की चाल से उस कार को कितना समय लगेगा?

हल—$80 \text{ km/h}$ की चाल से कार को गंतव्य तक पहुँचने में मान लीजिए $x$ घंटे लगेंगे। तब

स्पष्ट है, अधिक गति होगी तो, समय कम लगेगा। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 60 \times 2 = 80 \times x$ या $x = \frac{60 \times 2}{80} = \frac{3}{2}$
अतः, कार को $1\frac{1}{2}$ घंटे लगेंगे। उत्तर

प्रश्न 10. दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ $3$ दिन में लगा सकते हैं।

(i) कार्य प्रारम्भ होने से पहले, एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। अब यह कार्य कितने दिन में पूरा हो पाएगा?

(ii) एक ही दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए, कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

हल-(i) माना कि खिड़कियाँ लगाने में $x$ दिन लगेंगे। तब

स्पष्ट है, जितने कम व्यक्ति होंगे, खिड़कियाँ लगाने में उतने ही अधिक दिन लगेंगे।
अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 2 \times 3 = 1 \times x$ या $x = 6$
अतः, दिए गए काम को एक व्यक्ति 6 दिन में पूरा करेगा। उत्तर

(ii) माना $x$ व्यक्ति खिड़कियों को 1 दिन में लगाएंगे। तब

स्पष्ट है, दिनों की संख्या कम करने के लिए, खिड़कियाँ लगाने के लिए व्यक्तियों की संख्या बढ़ानी पड़ेगी। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 2 \times 3 = x \times 1$ या $x = 6$
अतः, दिए गए काम को 6 व्यक्ति 1 दिन में खत्म कर देंगे। उत्तर

प्रश्न 11. किसी स्कूल में, 45 मिनट अवधि के 8 कालांश होते हैं। यह कल्पना करते हुए कि स्कूल का कार्य समय उतना ही रहता है, यदि स्कूल में बराबर अवधि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश कितने समय का होगा?

हल- माना कि प्रत्येक कालांश $x$ मिनट का होगा यदि स्कूल में एक दिन में 9 कालांश हों। तब

स्पष्ट है, जितने अधिक कालांश होंगे, कालांशों की अवधि उतनी ही कम होगी। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
$\therefore 8 \times 45 = 9 \times x$ या $x = \frac{8 \times 45}{9} = 40$
अतः कालांश की अवधि 40 मिनट होगी। उत्तर