पाठ 12: गुणनखंडन

$= 7 \times a \times (a + 2) = 7a(a + 2)$ उत्तर

(iv) प्रश्नानुसार $16z = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times z$
और $20z^3 = 2 \times 2 \times 5 \times z \times z \times z$
दोनों पदों में $2, 2$ और $z$ सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
$\therefore -16z + 20z^3 = (-2 \times 2 \times 2 \times 2 \times z) + (2 \times 2 \times 5 \times z \times z \times z)$

$= 2 \times 2 \times z(-2 \times 2 + 5 \times z \times z)$
$= 4z(-4 + 5z^2)$ उत्तर

(v) प्रश्नानुसार $20l^2m = 2 \times 2 \times 5 \times l \times l \times m$
और $30alm = 3 \times 2 \times 5 \times a \times l \times m$
दोनों पदों में $2, 5, l$ और $m$ सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
$\therefore 20l^2m + 30alm = (2 \times 2 \times 5 \times l \times l \times m) + (3 \times 2 \times 5 \times a \times l \times m)$

$= 2 \times 5 \times l \times m \times (2 \times l + 3 \times a)$
$= 10lm(2l + 3a)$ उत्तर

(vi) प्रश्नानुसार $5x^2y = 5 \times x \times x \times y$
और $15xy^2 = 3 \times 5 \times x \times y \times y$
दोनों पदों में $5, x$ और $y$ सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
$\therefore 5x^2y - 15xy^2 = (5 \times x \times x \times y) - (3 \times 5 \times x \times y \times y)$

$= 5 \times x \times y \times (x - 3 \times y) = 5xy(x - 3y)$ उत्तर

(vii) प्रश्नानुसार $10a^2 = 2 \times 5 \times a \times a$,
$15b^2 = 3 \times 5 \times b \times b$ और $20c^2 = 2 \times 2 \times 5 \times c \times c$
तीनों पदों में $5$ सार्व गुणनखंड के रूप में है।
$\therefore 10a^2 - 15b^2 + 20c^2 = (2 \times 5 \times a \times a) - (3 \times 5 \times b \times b) + (2 \times 2 \times 5 \times c \times c)$

$= 5 \times (2 \times a \times a - 3 \times b \times b + 4 \times c \times c)$
$= 5(2a^2 - 3b^2 + 4c^2)$ उत्तर

(viii) प्रश्नानुसार $4a^2 = 2 \times 2 \times a \times a$
$4ab = 2 \times 2 \times a \times b$ और $4ca = 2 \times 2 \times c \times a$
तीनों पदों में $2, 2$ और $a$ सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
$\therefore -4a^2 + 4ab - 4ca = -(2 \times 2 \times a \times a) + (2 \times 2 \times a \times b) - (2 \times 2 \times c \times a)$

$= 2 \times 2 \times a \times (-a + b - c) = 4a(-a + b - c)$ उत्तर

(ix) प्रश्नानुसार $x^2yz = x \times x \times y \times z$
$xy^2z = x \times y \times y \times z$ और $xyz^2 = x \times y \times z \times z$
तीनों पदों में $x, y$ और $z$ सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
$\therefore x^2yz + xy^2z + xyz^2 = (x \times x \times y \times z) + (x \times y \times y \times z) + (x \times y \times z \times z)$

$= x \times y \times z \times (x + y + z) = xyz(x + y + z)$ उत्तर

(x) प्रश्नानुसार $ax^2y = a \times x \times x \times y$
$bxy^2 = b \times x \times y \times y$ और $cxyz = c \times x \times y \times z$
तीनों पदों में $x$ और $y$ सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
$\therefore ax^2y + bxy^2 + cxyz = (a \times x \times x \times y) + (b \times x \times y \times y) + (c \times x \times y \times z)$

$= x \times y \times (a \times x + b \times y + c \times z) = xy(ax + by + cz)$ उत्तर

प्रश्न 3. गुणनखंड कीजिए-
(i) $x^2 + xy + 8x + 8y$ (ii) $15xy - 6x + 5y - 2$
(iii) $ax + bx - ay - by$ (iv) $15pq + 15 + 9q + 25p$
(v) $z - 7 + 7xy - xyz$

हल-

(i) $x^2 + xy + 8x + 8y = (x^2 + xy) + (8x + 8y) = x(x + y) + 8(x + y) = (x + y)(x + 8)$ उत्तर

(ii) $15xy - 6x + 5y - 2 = (15xy - 6x) + (5y - 2) = 3x(5y - 2) + 1(5y - 2) = (5y - 2)(3x + 1)$ उत्तर

(iii) $ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by)$ [पदों का समूहन करने पर]

$= (a + b)x - (a + b)y = (a + b)(x - y)$ उत्तर

(iv) $15pq + 15 + 9q + 25p = 15pq + 9q + 25p + 15$ [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]

$= 3q(5p + 3) + 5(5p + 3) = (5p + 3)(3q + 5)$ उत्तर

(v) $z - 7 + 7xy - xyz = z - 7 - xyz + 7xy$ [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]

$= 1(z - 7) - xy(z - 7) = (z - 7)(1 - xy)$ उत्तर

प्रश्नावली 12.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए-
(i) $a^2 + 8a + 16$ (ii) $p^2 - 10p + 25$
(iii) $25m^2 + 30m + 9$ (iv) $49y^2 + 84yz + 36z^2$
(v) $4x^2 - 8x + 4$ (vi) $121b^2 - 88bc + 16c^2$
(vii) $(l + m)^2 - 4lm$
(संकेत: पहले $(l + m)^2$ को प्रसारित कीजिए।)

(viii) $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

हल-

(i) $a^2 + 8a + 16 = a^2 + 2 \times a \times 4 + 4^2 = (a + 4)^2$ उत्तर [$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ का प्रयोग करने पर]

(ii) $p^2 - 10p + 25 = p^2 - 2 \times p \times 5 + (5)^2 = (p - 5)^2$ उत्तर [$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ का प्रयोग करने पर]

(iii) $25m^2 + 30m + 9 = (5m)^2 + 2 \times 5m \times 3 + (3)^2 = (5m + 3)^2$ उत्तर [$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ का प्रयोग करने पर]

(iv) $49y^2 + 84yz + 36z^2 = (7y)^2 + 2 \times 7y \times 6z + (6z)^2 = (7y + 6z)^2$ उत्तर [$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ का प्रयोग करने पर]

(v) $4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2) = 4(x - 1)^2$ उत्तर [$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ का प्रयोग करने पर]

(vi) $121b^2 - 88bc + 16c^2 = (11b)^2 - 2 \times 11b \times 4c + (4c)^2 = (11b - 4c)^2$ उत्तर

$[a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ का प्रयोग करने पर$]$

(vii) $(l + m)^2 - 4lm = l^2 + 2lm + m^2 - 4lm$

$= l^2 - 2lm + m^2 = (l - m)^2$ उत्तर

(viii) $a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = (a^2)^2 + 2 \times a^2 \times b^2 + (b^2)^2$

$= (a^2 + b^2)^2$ उत्तर

प्रश्न 2. गुणनखंड कीजिए-
(i) $4p^2 - 9q^2$
(ii) $63a^2 - 112b^2$
(iii) $49x^2 - 36$
(iv) $16x^5 - 144x^3$
(v) $(l + m)^2 - (l - m)^2$
(vi) $9x^2y^2 - 16$
(vii) $(x^2 - 2xy + y^2) - z^2$
(viii) $25a^2 - 4b^2 + 28bc - 49c^2$

हल-

(i) $4p^2 - 9q^2 = (2p)^2 - (3q)^2$

$= (2p + 3q)(2p - 3q)$ उत्तर
$[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का प्रयोग करने पर$]$

(ii) $63a^2 - 112b^2 = 7(9a^2 - 16b^2)$

$= 7[(3a)^2 - (4b)^2]$
$= 7(3a + 4b)(3a - 4b)$ उत्तर
$[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का प्रयोग करने पर$]$

(iii) $49x^2 - 36 = (7x)^2 - (6)^2$

$= (7x + 6)(7x - 6)$ उत्तर
$[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का प्रयोग करने पर$]$

(iv) $16x^5 - 144x^3 = 16x^3(x^2 - 9)$

$= 16x^3(x^2 - 3^2)$
$= 16x^3(x + 3)(x - 3)$ उत्तर
$[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का प्रयोग करने पर$]$

(v) $(l + m)^2 - (l - m)^2$

$= [(l + m) + (l - m)] [(l + m) - (l - m)]$
$[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का प्रयोग करने पर$]$

$= (2l)(2m) = 4lm$ उत्तर

(vi) $9x^2y^2 - 16 = (3xy)^2 - (4)^2$

$= (3xy + 4)(3xy - 4)$ उत्तर
$[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का प्रयोग करने पर$]$

(vii) $(x^2 - 2xy + y^2) - z^2 = (x - y)^2 - z^2$

$= [(x - y) + z] [(x - y) - z]$
$= (x - y + z)(x - y - z)$ उत्तर

(viii) $25a^2 - 4b^2 + 28bc - 49c^2$

$= 25a^2 - (4b^2 - 28bc + 49c^2)$
$= 25a^2 - [(2b)^2 - 2 \times 2b \times 7c + (7c)^2]$

$= (5a)^2 - (2b - 7c)^2$
$= [5a + (2b - 7c)][5a - (2b - 7c)]$

$= (5a + 2b - 7c)(5a - 2b + 7c)$ उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए-
(i) $ax^2 + bx$
(ii) $7p^2 + 21q^2$
(iii) $2x^3 + 2xy^2 + 2xz^2$
(iv) $am^2 + bm^2 + bn^2 + an^2$
(v) $(lm + l) + m + 1$
(vi) $y(y + z) + 9(y + z)$
(vii) $5y^2 - 20y - 8z + 2yz$
(viii) $10ab + 4a + 5b + 2$
(ix) $6xy - 4y + 6 - 9x$

हल-

(i) $ax^2 + bx = x(ax + b)$ उत्तर

(ii) $7p^2 + 21q^2 = 7(p^2 + 3q^2)$ उत्तर

(iii) $2x^3 + 2xy^2 + 2xz^2 = 2x(x^2 + y^2 + z^2)$ उत्तर

(iv) $am^2 + bm^2 + bn^2 + an^2$

$= (am^2 + bm^2) + (bn^2 + an^2)$
$= (a + b)m^2 + (b + a)n^2$

$= (a + b)(m^2 + n^2)$ उत्तर

(v) $(lm + l) + m + 1 = l(m + 1) + 1(m + 1)$

$= (m + 1)(l + 1)$ उत्तर

(vi) $y(y + z) + 9(y + z) = (y + z)(y + 9)$ उत्तर

(vii) $5y^2 - 20y - 8z + 2yz = (5y^2 - 20y) + 2yz - 8z$

$= 5y(y - 4) + 2z(y - 4) = (y - 4)(5y + 2z)$ उत्तर

(viii) $10ab + 4a + 5b + 2 = (10ab + 5b) + (4a + 2)$

$= 5b(2a + 1) + 2(2a + 1)$
$= (2a + 1)(5b + 2)$ उत्तर

(ix) $6xy - 4y + 6 - 9x = (6xy - 4y) - (9x - 6)$

$= 2y(3x - 2) - 3(3x - 2) = (3x - 2)(2y - 3)$ उत्तर

प्रश्न 4. गुणनखंड कीजिए-
(i) $a^4 - b^4$
(ii) $p^4 - 81$
(iii) $x^4 - (y + z)^4$
(iv) $x^4 - (x - z)^4$

हल-

(i) $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$

$= (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)$ उत्तर

(ii) $p^4 - 81 = (p^2)^2 - (9)^2 = (p^2 + 9)(p^2 - 9)$

$= (p^2 + 9)(p + 3)(p - 3)$ उत्तर

(iii) $x^4 - (y + z)^4 = (x^2)^2 - [(y + z)^2]^2$

$= [x^2 + (y + z)^2][x^2 - (y + z)^2]$
$= [x^2 + (y + z)^2][x + (y + z)] [x - (y + z)]$

$= [x^2 + (y + z)^2](x + y + z)(x - y - z)$ उत्तर

(iv) $x^4 - (x - z)^4 = (x^2)^2 - [(x - z)^2]^2$

$= [x^2 + (x - z)^2][x^2 - (x - z)^2]$
$= [x^2 + (x - z)^2][x + (x - z)] [x - (x - z)]$

$= [x^2 + (x - z)^2](2x - z)(z)$
$= z(2x - z)(2x^2 - 2xz + z^2)$ उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए-
(i) $p^2 + 6p + 8$
(ii) $q^2 - 10q + 21$
(iii) $p^2 + 6p - 16$

हल-

(i) $p^2 + 6p + 8 = (p^2 + 6p + 9) - 1$
$[8 = 9 - 1$ का प्रयोग करने पर$]$

$= (p^2 + 2 \times p \times 3 + 3^2) - 1 = (p + 3)^2 - 1^2$
$= (p + 3 + 1)(p + 3 - 1) = (p + 4)(p + 2)$ उत्तर

(ii) $q^2 - 10q + 21 = (q^2 - 10q + 25) - 4$
$[21 = 25 - 4$ का प्रयोग करने पर$]$

674

$= (q^2 - 2 \times q \times 5 + 5^2) - 4 = (q - 5)^2 - 2^2$
$= (q - 5 + 2)(q - 5 - 2) = (q - 3)(q - 7)$ उत्तर

(iii) $p^2 + 6p - 16 = (p^2 + 6p + 9) - 25$
$[ -16 = 9 - 25$ का प्रयोग करने पर$]$

$= (p + 3)^2 - 5^2$
$= (p + 3 + 5)(p + 3 - 5) = (p + 8)(p - 2)$ उत्तर

प्रश्नावली 12.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित विभाजन कीजिए-
(i) $28x^4 \div 56x$
(ii) $-36y^3 \div 9y^2$
(iii) $66pq^2r^3 \div 11qr^2$
(iv) $34x^3y^3z^3 \div 51xy^2z^3$
(v) $12a^8b^8 \div (-6a^6b^4)$

हल-(i) $28x^4 \div 56x = \frac{28 \times x \times x \times x \times x}{28 \times 2 \times x}$

$= \frac{x \times x \times x}{2} = \frac{x^3}{2}$ उत्तर

(ii) $-36y^3 \div 9y^2 = \frac{-1 \times 4 \times 9 \times y \times y \times y}{9 \times y \times y}$

$= \frac{-1 \times 4 \times y}{1} = -4y$ उत्तर

(iii) $66pq^2r^3 \div 11qr^2 = \frac{6 \times 11 \times p \times q \times q \times r \times r \times r}{11 \times q \times r \times r}$

$= \frac{6 \times p \times q \times r}{1} = 6pqr$ उत्तर

(iv) $34x^3y^3z^3 \div 51xy^2z^3$

$= \frac{17 \times 2 \times x \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z}{17 \times 3 \times x \times y \times y \times z \times z \times z}$
$= \frac{2 \times x \times x \times y}{3} = \frac{2x^2y}{3}$ उत्तर

(v) $12a^8b^8 \div (-6a^6b^4)$

$= \frac{6 \times 2 \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b \times b \times b \times b \times b}{-1 \times 6 \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b}$
$= \frac{2 \times a \times a \times b \times b \times b \times b}{-1} = -2a^2b^4$ उत्तर

प्रश्न 2. दिए हुए बहुपद को दिए हुए एकपदी से भाग दीजिए-
(i) $(5x^2 - 6x) \div 3x$
(ii) $(3y^8 - 4y^6 + 5y^4) \div y^4$
(iii) $(8x^3y^2z^2 + x^2y^3z^2 + x^2y^2z^3) \div 4x^2y^2z^2$
(iv) $(x^3 + 2x^2 + 3x) \div 2x$
(v) $(p^3q^6 - p^6q^3) \div p^3q^3$

हल-(i) $(5x^2 - 6x) \div 3x = \frac{5x^2 - 6x}{3x} = \frac{5x^2}{3x} - \frac{6x}{3x}$

$= \frac{5}{3}x - 2 = \frac{1}{3}(5x - 6)$ उत्तर

(ii) $(3y^8 - 4y^6 + 5y^4) \div y^4 = \frac{3y^8 - 4y^6 + 5y^4}{y^4}$

$= \frac{3y^8}{y^4} - \frac{4y^6}{y^4} + \frac{5y^4}{y^4} = 3y^4 - 4y^2 + 5$ उत्तर

(iii) $8(x^3y^2z^2 + x^2y^3z^2 + x^2y^2z^3) \div 4x^2y^2z^2$

$= \frac{8(x^3y^2z^2 + x^2y^3z^2 + x^2y^2z^3)}{4x^2y^2z^2}$
$= \frac{8 \times x^2y^2z^2 \times (x + y + z)}{4x^2y^2z^2} = 2(x + y + z)$ उत्तर

(iv) $(x^3 + 2x^2 + 3x) \div 2x = \frac{x^3 + 2x^2 + 3x}{2x}$

$= \frac{x \times (x^2 + 2x + 3)}{2 \times x} = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 3)$ उत्तर

(v) $(p^3q^6 - p^6q^3) \div p^3q^3 = \frac{p^3q^6 - p^6q^3}{p^3q^3}$

$= \frac{p^3q^3(q^3 - p^3)}{p^3q^3} = q^3 - p^3$ उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित विभाजन कीजिए-
(i) $(10x - 25) \div 5$
(ii) $(10x - 25) \div (2x - 5)$
(iii) $10y(6y + 21) \div 5(2y + 7)$
(iv) $9x^2y^2(3z - 24) \div 27xy(z - 8)$
(v) $96abc(3a - 12) (5b - 30) \div 144(a - 4) (b - 6)$

हल-(i) $(10x - 25) \div 5 = \frac{10x - 25}{5}$