RBSE Class 8 Mathematics Chapter 13 Solutions & Notes in Hindi (आलेखों से परिचय)

पाठगत प्रश्न

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

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प्रश्न- एक कार की पेट्रोल टंकी को भरने के लिए दी गई राशि खरीदे गए पेट्रोल की मात्रा (लीटर में) द्वारा निश्चित होती है। यहाँ पर कौन-सा चर स्वतंत्र है? चर्चा कीजिए।

हल- चूँकि कार की पेट्रोल टंकी को भरने के लिए दी गई राशि खरीदे गए पेट्रोल की मात्रा द्वारा निश्चित होती है इसलिए, खरीदे गए पेट्रोल की मात्रा स्वतंत्र चर है।

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प्रयास कीजिए
प्रश्न- आलेख से ज्ञात कीजिए कि $800$ रुपए में कितना पेट्रोल खरीदा जा सकता है?

हल- आलेख में $y$-अक्ष पर एक बिन्दु $R$ बनाएँ जो $800$ को दर्शाए। $R$ से एक क्षैतिज रेखा खींचें जो आलेख में $S$ पर मिले। $S$ बिन्दु से $x$-अक्ष पर $ST$ लम्ब खींचिए। $T$ का निर्देशांक $16$ है। इस प्रकार निम्न आलेख के अनुसार $800$ रुपए का $16$ लीटर पेट्रोल खरीदा जा सकता है।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 13.1

प्रश्न 1. निम्न आलेख, किसी अस्पताल में एक रोगी का प्रति घंटे लिया गया तापमान दर्शाता है-
(a) रोगी का तापमान $1$ बजे दोपहर क्या था?
(b) रोगी का तापमान $38.5^{\circ} \text{C}$ कब था?

(c) इस पूरे अंतराल में रोगी का तापमान दो बार एक समान ही था। ये दो समय, क्या-क्या थे?
(d) $1.30$ बजे दोपहर रोगी का तापमान क्या था? इस निष्कर्ष पर आप कैसे पहुँचे?
(e) किन अंतरालों में रोगी का तापमान 'बढ़ने का रुझान' दर्शाता है?

उत्तर- आलेख में $x$-अक्ष पर समय (घंटों में) दिखाया गया है और $y$-अक्ष पर तापमान ($^{\circ} \text{C}$) दिखाया गया है। आलेख से किसी भी समय का तापमान ठीक वैसे ही पढ़ा जा सकता है जैसे हम किसी बिन्दु के निर्देशांक पढ़ते हैं।

आलेख में हम देखते हैं-
(a) रोगी का तापमान 1 बजे दोपहर $36.5^{\circ}\text{C}$ था।
(b) रोगी का तापमान $38.5^{\circ}\text{C}$ दोपहर 12 बजे था।
(c) रोगी का तापमान दोपहर 1 बजे व 2 बजे एक समान था।
(d) 1.30 बजे दोपहर रोगी का तापमान $36.5^{\circ}\text{C}$ था। $x$-अक्ष पर 1 बजे दोपहर और 2 बजे दोपहर के बीच के बिन्दु की दूरी; बिन्दु दोपहर 1 बजे और 2 बजे के बराबर है। अतः यह 1.30 दोपहर दर्शाएगा। इसी प्रकार, $y$-अक्षों के $36^{\circ}\text{C}$ और $37^{\circ}\text{C}$ के बीच का बिन्दु $36.5^{\circ}\text{C}$ दर्शाएगा।
(e) प्रातः 9 बजे से प्रातः 10 बजे, प्रातः 10 बजे से प्रातः 11 बजे और दोपहर 2 बजे से 3 बजे के दौरान रोगी का तापमान बढ़ने का रुझान दर्शाता है।

प्रश्न 2. एक निर्माता कम्पनी की विभिन्न वर्षों में की गई बिक्री निम्न आलेख द्वारा दर्शाई गई है-

(a) (i) वर्ष 2002 में (ii) वर्ष 2006 में कितनी बिक्री थी?
(b) (i) वर्ष 2003 में (ii) वर्ष 2005 में कितनी बिक्री थी?
(c) वर्ष 2002 तथा वर्ष 2006 की बिक्रियों में कितना अन्तर था?
(d) किस अन्तराल में बिक्रियों का यह अन्तर सबसे अधिक था?

हल- आलेख में हम देखते हैं कि वर्षों को $x$-अक्ष पर और बिक्री को $y$-अक्ष पर दर्शाया गया है। आलेख में हम देखते हैं कि-

(a) (i) वर्ष 2002 में बिक्री 4 करोड़ रुपए थी।

(ii) वर्ष 2006 में बिक्री 8 करोड़ रुपए थी।

(b) (i) वर्ष 2003 में बिक्री 7 करोड़ रुपए थी।

(ii) वर्ष 2005 में बिक्री 10 करोड़ रुपए थी।

(c) वर्ष 2002 तथा 2006 की बिक्रियों में अन्तर $= 8$ करोड़ रुपए $- 4$ करोड़ रुपए $= 4$ करोड़ रुपए।

(d) वर्ष 2005 में बिक्रियों का यह अंतर सबसे अधिक था।

प्रश्न 3. वनस्पति विज्ञान के एक प्रयोग में, समान प्रयोगशाला परिस्थितियों में दो पौधे $A$ तथा $B$ उगाए गए। तीन सप्ताहों तक उनकी ऊँचाइयों को हर सप्ताह के अन्त में मापा गया। परिणामों को निम्न आलेख में दर्शाया गया है-
(a) (i) 2 सप्ताह बाद (ii) 3 सप्ताह बाद पौधे $A$ की ऊँचाई कितनी थी?
(b) (i) 2 सप्ताह बाद (ii) 3 सप्ताह बाद पौधे $B$ की ऊँचाई कितनी थी?
(c) तीसरे सप्ताह में पौधे $A$ की ऊँचाई कितनी बढ़ी?

(d) दूसरे सप्ताह के अन्त से तीसरे सप्ताह के अन्त तक पौधे $B$ की ऊँचाई कितनी बढ़ी?
(e) किस सप्ताह में पौधे $A$ की ऊँचाई सबसे अधिक बढ़ी?
(f) किस सप्ताह में पौधे $B$ की ऊँचाई सबसे कम बढ़ी?
(g) क्या किसी सप्ताह में दोनों पौधों की ऊँचाई समान थी? पहचानिए।

हल- आलेख में हम देखते हैं कि $x$-अक्ष पर सप्ताह दर्शाए गए हैं तथा $y$-अक्ष पर दो पौधे $A$ और $B$ की ऊँचाई (cm में) दर्शाई गई है। पौधों $A$ और $B$ की किसी भी सप्ताह में ऊँचाई हम ठीक वैसे ही पढ़ सकते हैं जैसे किसी बिन्दु के निर्देशांक पढ़ते हैं। आलेख में हम देखते हैं कि-

(a) पौधे $A$ की ऊँचाई-

(i) 2 सप्ताह बाद $7\text{ cm}$ थी।

(ii) 3 सप्ताह बाद $9\text{ cm}$ थी।

(b) पौधे $B$ की ऊँचाई-

(i) 2 सप्ताह बाद $7\text{ cm}$ थी।

(ii) सप्ताह बाद $10\text{ cm}$ थी।

(c) तीसरे सप्ताह में पौधे $A$ की ऊँचाई $2\text{ cm}$ बढ़ी।

(d) दूसरे सप्ताह के अन्त से तीसरे सप्ताह के अन्त तक पौधे $B$ की ऊँचाई $3\text{ cm}$ बढ़ी।

(e) दूसरे सप्ताह में पौधे $A$ की ऊँचाई सबसे अधिक बढ़ी।

(f) पहले सप्ताह में पौधे $B$ की ऊँचाई सबसे कम बढ़ी।

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(g) दूसरे सप्ताह के अन्त में दोनों पौधों की ऊँचाई समान थी जो कि $7$ सेमी. है।

प्रश्न 4. निम्न आलेख, किसी सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए पूर्वानुमानित तापमान तथा वास्तविक तापमान दर्शाता है-

(a) किस दिन पूर्वानुमानित तापमान व वास्तविक तापमान समान था?
(b) सप्ताह में पूर्वानुमानित अधिकतम तापमान क्या था?
(c) सप्ताह में वास्तविक न्यूनतम तापमान क्या था?
(d) किस दिन वास्तविक तापमान व पूर्वानुमानित तापमान में अन्तर सर्वाधिक था?

हल- आलेख में, दिनों को $x$-अक्ष पर और तापमान पूर्वानुमानित/वास्तविक ($^{\circ}\text{C}$) को $y$-अक्ष पर दर्शाया गया है। किसी भी दिन के तापमान को आलेख पर ठीक वैसे ही पढ़ा जा सकता है जैसे हम किसी बिन्दु के निर्देशांकों को पढ़ते हैं। आलेख में हम देखते हैं कि-

(a) मंगलवार, शुक्रवार और रविवार को पूर्वानुमानित तापमान व वास्तविक तापमान समान था।

(b) सप्ताह में पूर्वानुमानित अधिकतम तापमान $35^{\circ}\text{C}$ था।

(c) सप्ताह में वास्तविक न्यूनतम तापमान $15^{\circ}\text{C}$ था।

(d) बृहस्पतिवार को वास्तविक तापमान व पूर्वानुमानित तापमान में अन्तर सर्वाधिक था।

प्रश्न 5. निम्न तालिका का प्रयोग कर एक रैखिक आलेख बनाइए-
(a) विभिन्न वर्षों में किसी पर्वतीय नगर में हिमपात के दिनों की संख्या-

(b) विभिन्न वर्षों में एक गाँव में, पुरुषों व स्त्रियों की संख्या (हजारों में)

हल-(a) अपेक्षित आलेख बनाने के लिए वर्षों को हम $x$-अक्ष पर और हिमपात के दिनों को $y$-अक्ष पर दिखाते हैं। सर्वप्रथम हम क्रमित जोड़े $(2003, 8), (2004, 10), (2005, 5)$ और $(2006, 12)$ को बिन्दुओं के रूप में अंकित करते हैं और फिर उन्हें रेखाखंडों के रूप में निम्नानुसार जोड़ने पर हमें अपेक्षित रैखिक आलेख प्राप्त होता है-

(b) अपेक्षित आलेख बनाने के लिए हम वर्षों को $x$-अक्ष पर तथा पुरुषों की संख्या (हजारों में) को बिन्दु-रेखा द्वारा और स्त्रियों की संख्या (हजारों में) को गहरी काली रेखा द्वारा $y$-अक्ष पर दर्शाते हैं।

सर्वप्रथम हम क्रमित जोड़ों $(2003, 12), (2004, 12.5),$

(2005, 13), (2006, 13.2) और (2007, 13.5) को अंकित करते हैं। इसके बाद इनको ऊपर चित्रित आलेख के अनुसार बिन्दु-रेखा से जोड़ देते हैं जिससे पुरुषों की संख्या स्पष्ट हो जाती है। इसके बाद हम (2003, 11.3), (2004, 11.9), (2005, 13), (2006, 13.6) और (2007, 12.8) अंकित करते हैं, फिर स्त्रियों की संख्या ज्ञात करने के लिए इन्हें उपर्युक्त चित्रानुसार रेखाखण्डों से जोड़ देते हैं। इस प्रकार अपेक्षित आलेख प्राप्त हो जाता है।

प्रश्न 6. एक डाकिया किसी नगर के पास ही स्थित एक उपनगर में एक व्यापारी को पार्सल पहुँचाने के लिए साइकिल पर जाता है। विभिन्न समयों पर नगर से उसकी दूरियाँ निम्न आलेख द्वारा दर्शाई गई हैं-

(a) $x$-अक्ष पर समय दर्शाने के लिए क्या पैमाना प्रयोग किया गया है?
(b) उसने पूरी यात्रा के लिए कितना समय लिया?
(c) व्यापारी के स्थान की नगर से दूरी कितनी है?
(d) क्या डाकिया रास्ते में कहीं रुका? विवरण दीजिए।
(e) किस अंतराल में उसकी चाल सबसे अधिक थी?

हल- आलेख में, समय (घंटों में) $x$-अक्ष पर और दूरी (km में) $y$-अक्ष पर दिखाए गए हैं। आलेख से पता चलता है कि-

(a) $x$-अक्ष पर समय दर्शाने के लिए पैमाना लिया गया है- 4 इकाई = 1 घण्टा

(b) उसने पूरी यात्रा के लिए $3\frac{1}{2}$ घंटे लिए।

(c) व्यापारी के स्थान की नगर से दूरी $22 \text{ km}$ है।

(d) हाँ; यह आलेख के क्षैतिज भाग से इंगित होता है। (प्रातः 10 बजे-प्रातः 10.30 बजे तक)

(e) प्रातः 8 बजे और प्रातः 9 बजे के बीच के अंतराल में उसकी चाल सबसे अधिक थी।

प्रश्न 7. निम्न आलेखों में कौन-कौन से आलेख समय व तापमान के बीच सम्भव हैं? तर्क के साथ अपने उत्तर दीजिए-

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

हल-

(i) यह एक समय-तापमान आलेख को दर्शाता है क्योंकि यह एक रेखीय आलेख द्वारा बना है और तापमान में धीमी वृद्धि को दर्शाता है।

(ii) यह एक समय-तापमान आलेख को दर्शाता है क्योंकि यह एक रेखीय आलेख से बना है और तापमान में धीमी कमी दर्शाता है।

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(iii) यह एक समय-तापमान आलेख को नहीं दर्शाता क्योंकि इसमें एक ही समय पर अलग-अलग तापमान दर्शाए गए हैं।

(iv) यह एक समय-तापमान आलेख को दर्शाता है क्योंकि इसमें भिन्न समयों के विभिन्न स्थिर तापमान दर्शाए गए हैं और यह एक रेखीय आलेख से बना है।

प्रश्नावली 13.2

प्रश्न 1. उपयुक्त पैमाने प्रयोग करते हुए, निम्न तालिकाओं में दी गई राशियों के लिए आलेख बनाइए-

(a) सेबों का मूल्य-

(b) कार द्वारा तय की गई दूरी-

(i) 7.30 बजे प्रातः व 8 बजे प्रातः के अंतराल में कार द्वारा कितनी दूरी तय की गई?
(ii) कार के $100 \text{ km}$ दूरी तय कर लेने पर समय क्या था?

(c) जमा धन पर वार्षिक ब्याज

(i) क्या आलेख मूल बिन्दु से गुजरता है?
(ii) आलेख से 2500 रुपए का वार्षिक ब्याज ज्ञात कीजिए।
(iii) 280 रुपए ब्याज प्राप्त करने के लिए कितना धन जमा होगा?

हल-(a) दिए गए आँकड़ों को आलेखित रूप में दिखाने के लिए हम 'सेबों की संख्या' को $x$-अक्ष पर और 'मूल्य (रूपयों में)' को $y$-अक्ष पर दर्शाते हैं। क्रमित जोड़े $(1, 5)$, $(2, 10)$, $(3, 15)$, $(4, 20)$ और $(5, 25)$ को बिन्दुओं के रूप में अंकित करते हैं और चित्रानुसार रेखाखण्डों से जोड़ते हैं। इस प्रकार, अपेक्षित आलेख तैयार हो जाता है।

पैमाना
$3 \text{ इकाई} = 1 \text{ सेब } (x\text{-अक्ष पर})$
$3 \text{ इकाई} = 5 \text{ रुपये } (y\text{-अक्ष पर})$

(b) समय-दूरी आलेख बनाने के लिए हम समय (घंटों में) को $x$-अक्ष पर और दूरी (km में) को $y$-अक्ष पर दिखाते हैं। पैमाना : 2 इकाई = 1 घंटा $x$-अक्ष पर और 1 इकाई = 10 km $y$-अक्ष पर।
बिन्दुओं $(6, 40)$, $(7, 80)$, $(8, 120)$ और $(9, 160)$ को आलेख में अंकित करते हैं। अपेक्षित आलेख प्राप्त करने के लिए इनको रेखाखण्डों से मिलाते हैं।

(i) स्पष्ट है, 7.30 बजे प्रातः से 8.00 बजे प्रातः के अंतराल में कार द्वारा $20 \text{ km}$ की दूरी तय की गई ($\because 120 - 100 = 20 \text{ km}$)।

(ii) कार के $100 \text{ km}$ दूरी तय कर लेने पर प्रातः 7.30 बजे का समय था।

(c) जमा धन-साधारण ब्याज आलेख खींचने के लिए, हम $x$-अक्ष पर जमा धन (रुपए में) और $y$-अक्ष पर साधारण ब्याज (रुपए में) दर्शाएंगे।
पैमाना : 3 इकाई = 1000 रुपए $x$-अक्ष पर
3 इकाई = 80 रुपए $y$-अक्ष पर
बिन्दुओं $(1000, 80), (2000, 160), (3000, 240), (4000, 320)$ और $(5000, 400)$ को अंकित करेंगे।
इन बिन्दुओं को मिलाने पर हमें अपेक्षित आलेख प्राप्त होगा।

(i) हाँ, आलेख मूल बिन्दु से गुजरता है।

(ii) $x$-अक्ष पर 2500 रुपए के आसन, $y$-अक्ष पर 200 रुपए ब्याज अंकित है।

(iii) $y$-अक्ष पर प्रतिवर्ष 280 रुपए के आसन, $x$-अक्ष पर 3500 रुपए का योग प्राप्त होता है।

प्रश्न 2. निम्न तालिकाओं के लिए आलेख खींचिए-
(i)

क्या यह रैखिक आलेख है?
(ii)

क्या यह रैखिक आलेख है?

हल-(i) दिए गए आँकड़ों को आलेखित करने के लिए वर्ग की भुजा (cm में) को हम $x$-अक्ष पर और परिमाप (cm में) को $y$-अक्ष पर दर्शाएंगे।

पैमाना : 2 इकाई = 1 cm, $x$-अक्ष पर और 1 इकाई = 1 cm $y$-अक्ष पर
बिन्दुओं $(2, 8), (3, 12), (3.5, 14), (5, 20)$ और $(6, 24)$ को अंकित करेंगे। इन बिन्दुओं को मिलाने पर हमें अपेक्षित आलेख प्राप्त होता है।
हाँ, यह रैखिक आलेख है।

(ii) दिए गए आँकड़ों को आलेख रूप में दर्शाने के लिए वर्ग की भुजा (cm में) को हम $x$-अक्ष पर और क्षेत्रफल ($cm^2$ में) को $y$-अक्ष पर दर्शाएंगे।
पैमाना : 2 इकाई = 1 cm $x$-अक्ष पर और 1 इकाई = 1 $cm^2$ $y$-अक्ष पर।
बिन्दुओं $(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)$ और $(6, 36)$ को अंकित करेंगे। अपेक्षित आलेख प्राप्त करने के लिए इन बिन्दुओं को मिलाएंगे।

नहीं, यह रैखिक आलेख नहीं है।

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