पाठ 2: एक चर वाले रैखिक समीकरण

उत्तर की जाँच- $x = 5$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= 2 \times 5 - 1 = 10 - 1 = 9$
और, दायाँ पक्ष $= 14 - 5 = 9$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः $x = 5$ उत्तर सही है।

6. दिया है, $8x + 4 = 3(x - 1) + 7$
या $8x + 4 = 3x - 3 + 7$
या $8x - 3x = -3 + 7 - 4$
($3x$ को बायें पक्ष में और $4$ को दायें पक्ष में पक्षान्तरण करने पर)
या $5x = 0$
या $\frac{5x}{5} = \frac{0}{5}$
(दोनों पक्षों में $5$ से भाग देने पर)
या $x = 0$ उत्तर

उत्तर की जाँच- $x = 0$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= 8(0) + 4 = 0 + 4 = 4$
और, दायाँ पक्ष $= 3(0 - 1) + 7 = -3 + 7 = 4$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः $x = 0$ उत्तर सही है।

7. दिया है, $x = \frac{4}{5}(x + 10)$
या $5x = 4(x + 10)$
(दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर)
या $5x = 4x + 40$
या $5x - 4x = 40$
($4x$ को बायें पक्ष में पक्षान्तरण करने पर)
या $x = 40$ उत्तर

उत्तर की जाँच- $x = 40$ को दिए गए समीकरण में रखने पर

बायाँ पक्ष $= 40$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{4}{5}(40 + 10)$

$= \frac{4}{5} \times 50 = 4 \times 10 = 40$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः $x = 40$ उत्तर सही है।

8. दिया है, $\frac{2x}{3} + 1 = \frac{7x}{15} + 3$
$(\frac{2x}{3} + 1) \times 15 = (\frac{7x}{15} + 3) \times 15$
(दोनों पक्षों को $15$ से गुणा करने पर)
या $10x + 15 = 7x + 45$
या $10x - 7x = 45 - 15$
($7x$ को बायें पक्ष में और $15$ को दायें पक्ष में पक्षान्तरण करने पर)
या $3x = 30$
या $\frac{3x}{3} = \frac{30}{3}$
(दोनों पक्षों में $3$ से भाग देने पर)
या $x = 10$ उत्तर

उत्तर की जाँच- $x = 10$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= \frac{2 \times 10}{3} + 1 = \frac{20 + 3}{3} = \frac{23}{3}$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{7 \times 10}{15} + 3 = \frac{14}{3} + 3$

$= \frac{14 + 9}{3} = \frac{23}{3}$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः $x = 10$ सही उत्तर है।

9. दिया है, $2y + \frac{5}{3} = \frac{26}{3} - y$
या $2y + y = \frac{26}{3} - \frac{5}{3}$
($-y$ को बायें पक्ष में और $\frac{5}{3}$ को दायें पक्ष में पक्षान्तरण करने पर)
या $3y = \frac{21}{3}$
या $3y = 7$
या $\frac{3y}{3} = \frac{7}{3}$
(दोनों पक्षों में $3$ से भाग देने पर)
या $y = \frac{7}{3}$ उत्तर

उत्तर की जाँच - $y = \frac{7}{3}$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= 2 \times \frac{7}{3} + \frac{5}{3} = \frac{14}{3} + \frac{5}{3}$

$= \frac{14 + 5}{3} = \frac{19}{3}$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{26}{3} - \frac{7}{3}$

$= \frac{26 - 7}{3} = \frac{19}{3}$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः, $y = \frac{7}{3}$ उत्तर सही है।

10. दिया है, $3m = 5m - \frac{8}{5}$
या $3m - 5m = -\frac{8}{5}$
($5m$ को बायें पक्ष में पक्षान्तरण करने पर)
या $-2m = -\frac{8}{5}$
या $\frac{-2m}{-2} = \frac{-8/5}{-2}$
(दोनों पक्षों में $-2$ से भाग देने पर)
या $m = \frac{4}{5}$ उत्तर

उत्तर की जाँच - $m = \frac{4}{5}$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$
और, दायाँ पक्ष $= 5 \times \frac{4}{5} - \frac{8}{5} = \frac{20}{5} - \frac{8}{5}$

$= \frac{20 - 8}{5} = \frac{12}{5}$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः, $m = \frac{4}{5}$ उत्तर सही है।

प्रश्नावली 2.2

निम्न रैखिक समीकरणों को हल कीजिए-

1. $\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = \frac{x}{3} + \frac{1}{4}$
2. $\frac{n}{2} - \frac{3n}{4} + \frac{5n}{6} = 21$
3. $x + 7 - \frac{8x}{3} = \frac{17}{6} - \frac{5x}{2}$
4. $\frac{x - 5}{3} = \frac{x - 3}{5}$
5. $\frac{3t - 2}{4} - \frac{2t + 3}{3} = \frac{2}{3} - t$
6. $m - \frac{m - 1}{2} = 1 - \frac{m - 2}{3}$

हल-

1. दिया है, $\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = \frac{x}{3} + \frac{1}{4}$
दोनों ओर के हर $2, 3, 4$ और $5$ हैं।
इनका ल.स.प. (LCM) $= 60$
दोनों पक्षों को $60$ से गुणा करने पर-
$60 \times \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{5}\right) = 60 \times \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{4}\right)$
या $60 \times \frac{x}{2} - 60 \times \frac{1}{5} = 60 \times \frac{x}{3} + 60 \times \frac{1}{4}$
या $30x - 12 = 20x + 15$
या $30x - 20x = 15 + 12$
या $10x = 27$
या $x = \frac{27}{10}$ उत्तर

उत्तर की जाँच - $x = \frac{27}{10}$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= \frac{27}{10 \times 2} - \frac{1}{5} = \frac{27 - 4}{20} = \frac{23}{20}$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{27}{10 \times 3} + \frac{1}{4} = \frac{9}{10} + \frac{1}{4}$

$= \frac{36 + 10}{40} = \frac{46}{40} = \frac{23}{20}$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (यथावांछित)

2. दिया है, $\frac{n}{2} - \frac{3n}{4} + \frac{5n}{6} = 21$
दोनों ओर के हर $2, 4, 6$ और $1$ हैं।
इनका ल.स.प. (LCM) $= 12$
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर-
$12 \times \left(\frac{n}{2} - \frac{3n}{4} + \frac{5n}{6}\right) = 12 \times 21$
या $12 \times \frac{n}{2} - 12 \times \frac{3n}{4} + 12 \times \frac{5n}{6} = 252$
या $6n - 9n + 10n = 252$
या $7n = 252$
या $n = \frac{252}{7} = 36$ उत्तर

उत्तर की जाँच - $n = 36$ को दिए गए समीकरण में रखने पर
बायाँ पक्ष $= \frac{36}{2} - \frac{3 \times 36}{4} + \frac{5 \times 36}{6}$

$= 18 - 27 + 30 = 21 =$ दायाँ पक्ष
अतः, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (यथावांछित)

3. दिया है, $x + 7 - \frac{8x}{3} = \frac{17}{6} - \frac{5x}{2}$

दोनों ओर के हर $1, 3, 6$ और $2$ हैं।
इनका ल.स.प. (LCM) $= 6$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर-
$6 \times \left(x + 7 - \frac{8x}{3}\right) = 6 \times \left(\frac{17}{6} - \frac{5x}{2}\right)$
या $6 \times x + 6 \times 7 - 6 \times \frac{8x}{3} = 6 \times \frac{17}{6} - 6 \times \frac{5x}{2}$
या $6x + 42 - 16x = 17 - 15x$
या $- 10x + 42 = 17 - 15x$
या $- 10x + 15x = 17 - 42$
या $5x = - 25$
या $x = \frac{-25}{5} = -5$ उत्तर

उत्तर की जाँच $- x = -5$ को दिए गए समीकरण में रखने पर-
बायाँ पक्ष $= -5 + 7 - \frac{8 \times (-5)}{3} = -5 + 7 + \frac{40}{3}$

$= \frac{-15 + 21 + 40}{3} = \frac{46}{3}$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{17}{6} - \frac{5 \times (-5)}{2} = \frac{17}{6} + \frac{25}{2}$

$= \frac{17 + 75}{6} = \frac{92}{6} = \frac{46}{3}$
अतः बायाँ पक्ष $=$ दायाँ पक्ष (यथावांछित)

4. दिया है, $\frac{x-5}{3} = \frac{x-3}{5}$
बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष के हर $3$ और $5$ हैं।
दोनों पक्षों को $3$ और $5$ के ल.स.प. (LCM) $15$ से गुणा करने पर-
$15 \left(\frac{x-5}{3}\right) = 15 \left(\frac{x-3}{5}\right)$
या $5(x - 5) = 3(x - 3)$
या $5x - 25 = 3x - 9$
या $5x - 3x = -9 + 25$
या $2x = 16$
या $x = \frac{16}{2} = 8$ उत्तर

उत्तर की जाँच $- x = 8$ को दिए गए समीकरण में रखने पर-
बायाँ पक्ष $= \frac{8-5}{3} = \frac{3}{3} = 1$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{8-3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
अतः बायाँ पक्ष $=$ दायाँ पक्ष (यथावांछित)

5. दिया है, $\frac{3t-2}{4} - \frac{2t+3}{3} = \frac{2}{3} - t$
दोनों पक्षों को $4$ और $3$ के ल.स.प. (LCM) $12$ से गुणा करने पर-
$12 \left(\frac{3t-2}{4}\right) - 12 \left(\frac{2t+3}{3}\right) = 12 \left(\frac{2}{3} - t\right)$
या $3(3t - 2) - 4(2t + 3) = 4(2 - 3t)$
या $9t - 6 - 8t - 12 = 8 - 12t$
या $t - 18 = 8 - 12t$
या $t + 12t = 8 + 18$
या $13t = 26$
या $t = \frac{26}{13} = 2$ उत्तर

उत्तर की जाँच $- t = 2$ को दिए गए समीकरण में रखने पर-
बायाँ पक्ष $= \frac{3 \times 2 - 2}{4} - \frac{2 \times 2 + 3}{3}$

$= \frac{6-2}{4} - \frac{4+3}{3}$
$= \frac{4}{4} - \frac{7}{3} = 1 - \frac{7}{3} = \frac{3-7}{3} = \frac{-4}{3}$
और, दायाँ पक्ष $= \frac{2}{3} - 2 = \frac{2-6}{3} = \frac{-4}{3}$
अतः बायाँ पक्ष $=$ दायाँ पक्ष (यथावांछित)

6. दिया है, $m - \frac{m-1}{2} = 1 - \frac{m-2}{3}$
दोनों पक्षों को $2$ और $3$ के ल.स.प. (LCM) $6$ से गुणा करने पर-
$6m - 6 \times \left(\frac{m-1}{2}\right) = 6 - 6 \times \left(\frac{m-2}{3}\right)$
या $6m - 3(m - 1) = 6 - 2(m - 2)$
या $6m - 3m + 3 = 6 - 2m + 4$
या $3m + 3 = - 2m + 10$
या $3m + 2m = 10 - 3$
या $5m = 7$
या $m = \frac{7}{5}$ उत्तर

उत्तर की जाँच $- m = \frac{7}{5}$ को दिए गए समीकरण में रखने पर-
बायाँ पक्ष $= \frac{7}{5} - \frac{\frac{7}{5}-1}{2} = \frac{7}{5} - \frac{7-5}{5} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{7}{5} - \frac{2}{10} = \frac{7-1}{5} = \frac{6}{5}$
और, दायाँ पक्ष $= 1 - \frac{\frac{7}{5}-2}{3} = 1 - \frac{7-10}{5} \times \frac{1}{3}$

568

$= 1 - \frac{-3}{15} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}$
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (यथावांछित)
निम्न समीकरणों को सरल रूप में बदलते हुए हल कीजिए-

7. $3(t - 3) = 5(2t + 1)$
8. $15(y - 4) - 2(y - 9) + 5(y + 6) = 0$
9. $3(5z - 7) - 2(9z - 11) = 4(8z - 13) - 17$
10. $0.25(4f - 3) = 0.05(10f - 9)$

हल-

7. दिया है, $3(t - 3) = 5(2t + 1)$
या $3t - 9 = 10t + 5$
या $10t - 3t = -9 - 5$
या $7t = -14$
या $t = -\frac{14}{7}$
या $t = -2$ उत्तर

8. दिया है, $15(y - 4) - 2(y - 9) + 5(y + 6) = 0$
$15y - 60 - 2y + 18 + 5y + 30 = 0$
या $(15 - 2 + 5)y + (-60 + 18 + 30) = 0$
या $18y - 12 = 0$
या $18y = 12$
या $y = \frac{12}{18}$
या $y = \frac{2}{3}$ उत्तर

9. दिया है,
$3(5z - 7) - 2(9z - 11) = 4(8z - 13) - 17$
या $15z - 21 - 18z + 22 = 32z - 52 - 17$
या $-3z + 1 = 32z - 69$
या $-3z - 32z = -69 - 1$
या $-35z = -70$
या $z = \frac{-70}{-35}$
या $z = 2$ उत्तर

10. दिया है, $0.25(4f - 3) = 0.05(10f - 9)$
या $f - 0.75 = 0.5f - 0.45$
या $f - 0.5f = -0.45 + 0.75$
या $(1 - 0.5)f = 0.3$
या $0.5f = 0.3$
या $f = \frac{0.3}{0.5}$
या $f = 0.6$ उत्तर