RBSE Class 8 Mathematics Chapter 3 Solutions & Notes in Hindi (चतुर्भुजों को समझना)

पाठगत प्रश्न

पृष्ठ 23 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- एक सम षड्भुज लीजिए (आकृति के अनुसार)
1. बाह्य कोणों $x, y, z, p, q$ तथा $r$ के मापों का योग क्या है?
2. क्या $x = y = z = p = q = r$ है? क्यों?
3. प्रत्येक की माप क्या है?
(i) बाह्य कोण
(ii) अन्तःकोण
4. इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ-
(i) एक सम अष्टभुज
(ii) एक सम 20 भुज

हल-

1. माना कि सम षड्भुज की भुजाओं को क्रम से बढ़ाया जाता है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। $x, y, z, p, q$ तथा $r$ बाह्य कोण बनते हैं। क्योंकि बाह्य कोण $x$ तथा अन्तःकोण $a$ रैखिक युग्म बनाता है और रैखिक युग्म के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\therefore x + \angle a = 180^{\circ}$
इसी प्रकार, $y + \angle a = 180^{\circ}$
$z + \angle a = 180^{\circ}$
$p + \angle a = 180^{\circ}$
$q + \angle a = 180^{\circ}$
$r + \angle a = 180^{\circ}$
दोनों पक्षों के कोणों को जोड़ने पर,
$(x + y + z + p + q + r) + (\angle a + \angle a + \angle a + \angle a + \angle a + \angle a) = 1080^{\circ}$
$\Rightarrow (x + y + z + p + q + r) + (6 - 2) \times 180^{\circ} = 1080^{\circ}$
$\therefore (x + y + z + p + q + r) + 720^{\circ} = 1080^{\circ}$
$\Rightarrow x + y + z + p + q + r = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ}$
अतः बाह्य कोणों की मापों का योग $360^{\circ}$ होता है।

2. हाँ, $x = y = z = p = q = r$, क्योंकि इनमें से प्रत्येक $180^{\circ} - a$ के बराबर है।

3. सम षड्भुज के सन्दर्भ में-

(i) प्रत्येक बाह्य कोण $= \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$

(ii) प्रत्येक अन्तःकोण $= \frac{(n - 2) \times 180^{\circ}}{n}$, जहाँ $n = 6$

$= \frac{(6 - 2) \times 180^{\circ}}{6} = \frac{4 \times 180^{\circ}}{6} = 4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ}$

4. (i) एक सम अष्टभुज के सन्दर्भ में, $n = 8$ लेने पर
प्रत्येक अन्तःकोण $= \frac{(8 - 2) \times 180^{\circ}}{8} = \frac{6 \times 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}$
और प्रत्येक बाह्य कोण $= 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$

(ii) एक सम 20 भुज के सन्दर्भ में, $n = 20$ लेने पर
प्रत्येक अन्तःकोण $= \frac{(20 - 2) \times 180^{\circ}}{20} = 18 \times 9^{\circ} = 162^{\circ}$
और प्रत्येक बाह्य कोण $= 180^{\circ} - 162^{\circ} = 18^{\circ}$

पृष्ठ 25 | इन्हें कीजिए

प्रश्न- समान सर्वांगसम त्रिभुजों के कटे हुए भाग लीजिए जिनकी भुजाएँ $3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm}$ हैं। इन्हें व्यवस्थित कीजिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है-(आकृति के अनुसार)।

आपको एक समलम्ब प्राप्त होता है। (निरीक्षण कीजिए)
यहाँ पर कौनसी भुजाएँ समान्तर हैं? क्या असमान्तर भुजाएँ बराबर माप की होनी चाहिए?
इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर आप दो और समलम्ब प्राप्त कर सकते हैं। उनको ढूँढिए और उनकी आकृतियों की चर्चा कीजिए।

हल- दी गई आकृति में,

$AD = CE = 4 \text{ सेमी.}$
$AE = DC = 5 \text{ सेमी.}$
क्योंकि चतुर्भुज AECD की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की हैं, इसलिए AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\therefore AE \parallel DC \Rightarrow AB \parallel DC$
$\therefore ABCD$ एक समलम्ब है जिसमें $AB \parallel DC$ है तथा इसकी सम्मुख भुजाएँ $AD$ और $BC$ बराबर माप की नहीं हैं।

इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर प्राप्त और सम्भव समलम्ब इस प्रकार हैं :

आकृति

हल—हाँ, बनाये गये समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर लम्बाई की हैं।

पृष्ठ 28 | इन्हें कीजिए

प्रश्न—दो समान समान्तर चतुर्भुजों के कटे हुए भाग $ABCD$ तथा $A'B'C'D'$ लीजिए (आकृति के अनुसार)।

आकृति

यहाँ पर भुजा $\overline{AB}$ भुजा $\overline{A'B'}$ के समान है परन्तु इनके नाम अलग-अलग हैं। इसी प्रकार, दूसरी संगत भुजाएँ भी समान हैं।

प्रश्न 1. $A'B'$ को $\overline{DC}$ के ऊपर रखिए। क्या वे एक-दूसरे को पूर्णतया ढकती हैं?

हल— हाँ, वे एक-दूसरे को पूर्णतया ढकती हैं क्योंकि समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ तथा $A'B'C'D'$ सर्वांगसम हैं तथा दोनों की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर हैं।

प्रश्न 2. अब आप $AB$ तथा $DC$ की लम्बाई के बारे में क्या कह सकते हैं?

हल— समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं अतः $AB$ और $\overline{DC}$ बराबर लम्बाई की हैं।

प्रश्न 3. इसी प्रकार $AD$ तथा $BC$ की लम्बाई की जाँच कीजिए। आप क्या पाते हैं?

हल— $AD$ और $\overline{BC}$ बराबर माप की हैं। हम $AB$ तथा $\overline{DC}$ को माप कर इस परिणाम पर पहुँच सकते हैं।

पृष्ठ 28 | प्रयास कीजिए

प्रश्न—$30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ कोणों वाले दो समान सेट-स्क्वेयर लीजिए। अब इन्हें आपस में इस प्रकार मिलाकर रखिए जिससे एक समान्तर चतुर्भुज बन जाए (आकृति के अनुसार)। क्या यह ऊपर बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करता है?

पृष्ठ 29 | इन्हें कीजिए

प्रश्न—माना $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है (आकृति के अनुसार)। ट्रेसिंग शीट पर इसकी प्रतिलिपि बनाइए। इस प्रतिलिपि को $A'B'C'D'$ से प्रदर्शित कीजिए। $A'B'C'D'$ को $ABCD$ पर आच्छादित कीजिए। दोनों चतुर्भुजों को आपस में मिलाकर उस बिन्दु पर पिन लगाइए जहाँ पर उनके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हों, ट्रेसिंग शीट को $180^{\circ}$ घुमाइए। समान्तर चतुर्भुज अभी भी एक दूसरे को पूर्णतया ढक लेते हैं; परन्तु अब आप देखते हैं कि $A'$ पूर्ण रूप से $C$ पर और $C$ पूर्ण रूप से $B'$ पर आ जाता है। इसी प्रकार $B'$ बिन्दु $D$ पर जाता है और विलोम रूप से भी सत्य है। क्या यह कोण $A$ तथा कोण $C$ के मापों के बारे में आपको कुछ बताता है? कोण $B$ तथा $D$ के मापों के लिए जाँच कीजिए। अपने निष्कर्ष की चर्चा कीजिए।

आकृति

अतः—इसके द्वारा हम देखते हैं कि $\angle A = \angle C$ तथा $\angle B = \angle D$ है। अतः: समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर माप के होते हैं।

पृष्ठ 29 | प्रयास कीजिए

प्रश्न—$30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ कोणों वाले दो समान सेट-स्क्वेयर लेकर पहले की तरह ही एक समान्तर चतुर्भुज बनाइए। क्या प्राप्त आकृति ऊपर बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करती है?

हल— हाँ! प्राप्त आकृति ऊपर बताए गए गुण की पुष्टि करने में सहायता करती है कि समान्तर चतुर्भुज सम्मुख कोण बराबर माप के होते हैं।

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सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 31

प्रश्न - $m\angle R = m\angle N = 70^{\circ}$, दर्शाने के उपरान्त क्या आप किसी अन्य विधि से $m\angle I$ और $m\angle G$ को ज्ञात कर सकते हैं?

हल - यह दिया गया है कि एक समान्तर चतुर्भुज RING में, $m\angle R = 70^{\circ}$

चूँकि $RG \parallel IN$ और $RI$ एक प्रतिच्छेदक है जो इनको क्रमशः $R$ और $I$ पर प्रतिच्छेदित करता है इसलिए
$\angle R + \angle I = 180^{\circ}$ [अंत:सम्मुख कोण]
$\Rightarrow 70^{\circ} + \angle I = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle I = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$

पुन: $RI \parallel GN$ तथा $RG$ प्रतिच्छेदक है जो इनको क्रमशः $R$ और $G$ पर प्रतिच्छेदित करता है, इसलिए
$\angle R + \angle G = 180^{\circ}$ [अंत:सम्मुख कोण]
$\Rightarrow 70^{\circ} + \angle G = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle G = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$
अतः: $\angle I = \angle G = 110^{\circ}$

पृष्ठ 31 | इन्हें कीजिए

प्रश्न - समान्तर चतुर्भुज, (मान लीजिए ABCD) का एक कटा हुआ भाग लीजिए (देखें आकृति)। माना इसके विकर्ण $\overline{AC}$ तथा $\overline{DB}$ एक-दूसरे को 'O' पर प्रतिच्छेद करते हैं।
C को A पर रखकर एक तह (Fold) के द्वारा $\overline{AC}$ का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए। क्या मध्य बिन्दु O ही है? क्या यह दर्शाता है कि विकर्ण $\overline{DB}$, विकर्ण $\overline{AC}$ को बिन्दु 'O' पर समद्विभाजित करता है? अपने मित्रों के साथ इसकी चर्चा कीजिए। इस क्रियाकलाप को यह ज्ञात करने के लिए दोहराएँ कि $\overline{DB}$ का मध्य बिन्दु कहाँ पर स्थित होगा?

हल - एक बार मोड़कर $\overline{AC}$ का मध्य बिन्दु ज्ञात करने तथा C को A पर रखने पर हम पाते हैं कि मध्य बिन्दु, बिन्दु O है जो विकर्ण AC तथा BD का प्रतिच्छेदक बिन्दु है। अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

पृष्ठ 36 | इन्हें कीजिए

प्रश्न 1. एक वर्गाकार शीट, माना PQRS लीजिए (आकृति के अनुसार)।

दोनों विकर्णों के अनुदिश तह (fold) लगाइए। क्या उनके मध्य बिन्दु समान ही हैं?
सेट-स्क्वेयर का उपयोग करके जाँच कीजिए, क्या 'O' पर बना कोण $90^{\circ}$ का है। यह ऊपर बताए गए गुणधर्म को सिद्ध करता है।

हल - (i) हाँ, दोनों विकर्णों के मध्य बिन्दु समान हैं।

(ii) हाँ, 'O' पर बना कोण $90^{\circ}$ का है।
अतः: वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। तर्क-वितर्क की सहायता से भी हम इसकी पुष्टि कर सकते हैं।
$\because$ ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण एक-दूसरे को 'O' पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\triangle AOD$ व $\triangle COD$ में,
$OA = OC$ ($\because$ वर्ग एक समान्तर चतुर्भुज है।)
SSS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध के अनुसार
$\triangle AOD \cong \triangle COD$
अतः: $m\angle AOD = m\angle COD$
और, $m\angle AOD + m\angle COD = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
$\Rightarrow 2m\angle AOD = 180^{\circ}$
$\Rightarrow m\angle AOD = 90^{\circ}$
$\therefore$ वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 37

प्रश्न 1. एक राजमिस्त्री एक पत्थर की पट्टी बनाता है। वह इसे आयताकार बनाना चाहता है। कितने अलग-अलग तरीकों से उसे यह विश्वास हो सकता है कि यह आयताकार है?

हल - राजमिस्त्री को निम्नलिखित अलग-अलग तरीकों से यह विश्वास हो सकता है कि उसने जो पत्थर की पट्टी बनाई है वह आयताकार है-

(i) यदि इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों।

(ii) यदि इसके विकर्ण बराबर हों।

(iii) यदि इसका प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ का हो।

प्रश्न 2. वर्ग को आयत के रूप में परिभाषित किया गया था जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। क्या हम इसे सम चतुर्भुज के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जिसके कोण बराबर माप के हों? इस विचार को स्पष्ट कीजिए।

हल : हाँ, हम सम चतुर्भुज के रूप में वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं। एक सम चतुर्भुज जिसके कोण बराबर माप के हों, वर्ग है क्योंकि कोण बराबर माप के होते ही प्रत्येक कोण $\frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$ का हो जाता है। इस प्रकार सभी भुजाएँ बराबर लम्बाई की तथा सभी कोण $90^{\circ}$ माप की हो जाती हैं। इसलिए यह एक वर्ग है।

प्रश्न 3. क्या एक समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो सकते हैं? क्या इसकी सभी भुजाएँ बराबर हो सकती हैं? वर्णन कीजिए।

हल : हाँ, जब समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो जाते हैं, तब वह या तो आयत होता है या वर्ग होता है। हाँ, जब समलम्ब की सभी भुजाएँ बराबर हो जाती हैं तब वह या तो सम चतुर्भुज होता है या वर्ग होता है।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 3.1

प्रश्न 1. यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं -

प्रत्येक का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए -
(a) साधारण वक्र
(b) साधारण बंद वक्र
(c) बहुभुज
(d) उत्तल बहुभुज
(e) अवतल बहुभुज

हल : दी गई आकृतियों का वर्गीकरण निम्नानुसार है -

(a) साधारण वक्र - (1), (2), (5), (6) और (7)

(b) साधारण बंद वक्र - (1), (2), (5), (6) और (7)

(c) बहुभुज - (1), (2) और (4)

(d) उत्तल बहुभुज - (2)

(e) अवतल बहुभुज - (1) और (4)

प्रश्न 2. सम बहुभुज क्या है? एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें
(i) 3 भुजाएँ
(ii) 4 भुजाएँ
(iii) 6 भुजाएँ हों।

हल : एक बहुभुज को सम बहुभुज कहते हैं यदि इसके

(a) सभी अंत:कोण बराबर हों;

(b) भुजाएँ बराबर हों और

(c) बाह्य कोण बराबर हों।
सम बहुभुज जिनकी

(i) 3 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम - समबाहु त्रिभुज

(ii) 4 भुजाएँ वाले समबहुभुज का नाम - वर्ग

(iii) 6 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम - समषट्भुज

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित आकृतियों में $x$ का मान ज्ञात कीजिए -

हल : हम जानते हैं कि उत्तल बहुभुज की भुजाओं को क्रम में एक ओर बढ़ाने पर प्राप्त बाह्य कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है। इसलिए,

(a) $x + 125^{\circ} + 125^{\circ} = 360^{\circ}$
या $x + 250^{\circ} = 360^{\circ}$
या $x = 360^{\circ} - 250^{\circ}$

$= 110^{\circ}$ उत्तर

(b) $x + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} + 70^{\circ} = 360^{\circ}$
या $x + 310^{\circ} = 360^{\circ}$
या $x = 360^{\circ} - 310^{\circ}$

$= 50^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 2. एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप ज्ञात कीजिए जिसकी -
(i) 9 भुजाएँ
(ii) 15 भुजाएँ हों।

हल-(i) 9 भुजाओं वाले सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण

$= \frac{360^{\circ}}{n}$, जहाँ $n = 9$
$= \left(\frac{360}{9}\right)^{\circ} = 40^{\circ}$ उत्तर

(ii) 15 भुजाओं वाले सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण

$= \frac{360^{\circ}}{n}$, जहाँ $n = 15$
$= \left(\frac{360}{15}\right)^{\circ} = 24^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 3. एक सम बहुभुज की कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण की माप $24^{\circ}$ हो?

हल- हम जानते हैं कि एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या

$= \frac{360^{\circ}}{\text{एक बाह्य कोण की माप}}$
यहाँ एक बाह्य कोण की माप $= 24^{\circ}$
अतः दिए गए बहुभुज की भुजाओं की संख्या

$= \frac{360^{\circ}}{24^{\circ}} = 15$ उत्तर

प्रश्न 4. एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत:कोण $165^{\circ}$ का हो?

हल- माना कि इस बहुभुज की $n$ भुजाएँ हैं। तब, इसका प्रत्येक अंत:कोण $= \left[\frac{(n-2) \times 180}{n}\right]$

अतः: $\frac{n-2}{n} \times 180 = 165$
या $180n - 360 = 165n$ (दोनों पक्षों को $n$ से गुणा करने पर)
या $180n - 165n = 360$
या $15n = 360$
या $n = \frac{360}{15} = 24$
अर्थात् इस बहुभुज की 24 भुजाएँ हैं। उत्तर

प्रश्न 5. (a) क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण की माप $22^{\circ}$ हो?
(b) क्या यह किसी सम बहुभुज का अंत:कोण हो सकता है? क्यों?

हल-(a) सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

$= \frac{360^{\circ}}{\text{प्रत्येक बाह्य कोण की माप}}$
$\therefore$ इस सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या

$= \frac{360^{\circ}}{22^{\circ}} = \left(\frac{180}{11}\right)^{\circ} =$ एक अपूर्णांक
चूँकि यह एक पूर्ण संख्या नहीं है। अतः $22^{\circ}$ माप का बाह्य कोण वाला कोई सम बहुभुज संभव नहीं है। उत्तर
(b) यदि अंत:कोण $= 22^{\circ}$, तब इसका बाह्य कोण

$= 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ}$
चूँकि $158^{\circ}$ से $360^{\circ}$ पूर्णतः विभाज्य नहीं है। अतः यह बहुभुज संभव नहीं है। उत्तर

प्रश्न 6. (a) किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश का अंत:कोण संभव है? क्यों?
(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है?

हल-(a) समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं का एक सम बहुभुज है जिसका कम से कम अंत:कोण $60^{\circ}$ का ही संभव है।

(b) क्योंकि एक सम बहुभुज के एक अंत:कोण का न्यूनतम माप $60^{\circ}$ होता है, इसलिए अधिक से अधिक एक बाह्य कोण का सम्भव माप $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1. $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए-
(i) $\text{AD} = \dots$
(ii) $\angle \text{DCB} = \dots$
(iii) $\text{OC} = \dots$
(iv) $m\angle \text{DAB} + m\angle \text{CDA} = \dots$

हल-

(i) $\text{AD} = \text{BC}$ $\because$ हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(ii) $\angle \text{DCB} = \angle \text{DAB}$ $\because$ हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

(iii) $\text{OC} = \text{OA}$ $\because$ हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(iv) $m\angle \text{DAB} + m\angle \text{CDA} = 180^{\circ}$ $\because$ $\overline{\text{AB}} \parallel \overline{\text{DC}}$ और $\text{DA}$ एक तिर्यक रेखा है। अतः $\angle \text{DAB}$ तथा $\angle \text{CDA}$ दोनों एक ही तिर्यक रेखा के अंत:सम्मुख कोण हैं।

प्रश्न 2. निम्न समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात $x, y, z$ के मानों को ज्ञात कीजिए-

हल-(i) हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है, अतः:

$x + 100^{\circ} = 180^{\circ}$
या $x = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
$x + y = 180^{\circ}$
या $y = 180^{\circ} - x = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$
$y + z = 180^{\circ}$
या $z = 180^{\circ} - y = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
अतः: $x = 80^{\circ}, y = 100^{\circ}$ तथा $z = 80^{\circ}$ उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए $AB \parallel DC$ तथा $AD \parallel BC$
अब, $AB \parallel DC$ तथा प्रतिच्छेदक $BC$ उनको प्रतिच्छेदित करता है।
$\therefore z = y$ [$\because$ एकान्तर कोण बराबर होते हैं।]
तथा $AD \parallel BC$ और प्रतिच्छेदक $AB$ इनको प्रतिच्छेदित करता है।
$\therefore z = x$ [$\because$ संगत कोण बराबर होते हैं।]
अर्थात् $x = y = z$
हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः:
$y + 50^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow y = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$
इस प्रकार $x = y = z = 130^{\circ}$ उत्तर

(iii) चित्र से यह स्पष्ट है कि $x = 90^{\circ}$ [$\because$ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।]
अतः त्रिभुज DOC में
$\angle DOC + \angle OCD + \angle CDO = 180^{\circ}$ [त्रिभुज के कोणों के योग का गुण]
या $x + 30^{\circ} + y = 180^{\circ}$
या $90^{\circ} + 30^{\circ} + y = 180^{\circ}$
या $y = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$
समान्तर चतुर्भुज ABCD में $AB \parallel DC$ तथा प्रतिच्छेदक $BD$ उनको प्रतिच्छेदित करता है।
$\therefore z = y$ [$\because$ एकान्तर कोण बराबर होते हैं।]
या $z = 60^{\circ}$ [$\because y = 60^{\circ}$]
अतः: $x = 90^{\circ}, y = 60^{\circ}$ तथा $z = 60^{\circ}$ उत्तर

(iv) हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है इसलिए,
$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ या $x + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
या $x = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ या $x + y = 180^{\circ}$
या $y = 180^{\circ} - x = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle D + \angle C = 180^{\circ}$
या $y + \angle C = 180^{\circ}$
या $\angle C = 180^{\circ} - y = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$
आगे $\angle C + z = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
या $z = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
अतः: $x = 100^{\circ}, y = 80^{\circ}, z = 80^{\circ}$ उत्तर

(v) हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं अतः:
$y = 112^{\circ}$
$\triangle ACD$ में कोणों के योग गुण के द्वारा
या $x + y + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
या $x + 112^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
या $x + 152^{\circ} = 180^{\circ}$
या $x = 180^{\circ} - 152^{\circ} = 28^{\circ}$
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, $AB \parallel DC$ और प्रतिच्छेदक $AC$ इनको प्रतिच्छेदित करता है।
$\therefore z = x$ [$\because$ एकान्तर कोण बराबर होते हैं।]
या $z = 28^{\circ}$
अतः: $x = 28^{\circ}, y = 112^{\circ}$ तथा $z = 28^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 3. क्या एक चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज हो सकता है? यदि
(i) $\angle D + \angle B = 180^{\circ}$?
(ii) $AB = DC = 8 \text{ cm}, AD = 4 \text{ cm}$ और $BC = 4.4 \text{ cm}$?
(iii) $\angle A = 70^{\circ}$ और $\angle C = 65^{\circ}$?

हल-(i) यदि एक चतुर्भुज ABCD में $\angle D + \angle B = 180^{\circ}$ है। तब यह आवश्यक नहीं है कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज हो।

(ii) क्योंकि $AD \neq BC$, यानी सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए ABCD समान्तर चतुर्भुज नहीं होगा।

(iii) क्योंकि $\angle A \neq \angle C$, यानी सम्मुख कोण बराबर नहीं हैं, इसलिए ABCD समान्तर चतुर्भुज नहीं होगा।

प्रश्न 4. एक चतुर्भुज की कच्ची (Rough) आकृति खींचिए जो समान्तर चतुर्भुज न हो, परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों की माप बराबर हो।

उत्तर- पतंग ABCD में, $AB = AD$ तथा $CB = CD$ है।

यह पतंग ABCD समान्तर चतुर्भुज नहीं है।
लेकिन, $\angle ABC = \angle ADC$
अतः इसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

प्रश्न 5. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात $3 : 2$ है। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि समान्तर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोण A और B क्रमशः $3x$ और $2x$ हैं। हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं।

$\therefore \angle A + \angle B = 180^{\circ}$
या $3x + 2x = 180^{\circ}$
या $5x = 180^{\circ}$
या $x = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ}$
$\therefore \angle A = 3 \times 36^{\circ} = 108^{\circ}$
और $\angle B = 2 \times 36^{\circ} = 72^{\circ}$
चूँकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए $\angle C = \angle A = 108^{\circ}$ और $\angle D = \angle B = 72^{\circ}$
अतः $\angle A = 108^{\circ}, \angle B = 72^{\circ}, \angle C = 108^{\circ}$ और $\angle D = 72^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 6. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर है। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

हल— माना कि समान्तर चतुर्भुज PQRS के दो आसन्न कोण P और Q में से प्रत्येक का माप $x$ है।

हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं।
अतः $\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$
या $x + x = 180^{\circ}$
या $2x = 180^{\circ}$
या $x = 90^{\circ}$
$\therefore \angle P = 90^{\circ}$ और $\angle Q = 90^{\circ}$
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं अतः $\angle R = \angle P = 90^{\circ}$ और $\angle S = \angle Q = 90^{\circ}$
अतः $\angle P = \angle Q = \angle R = \angle S = 90^{\circ}$
अतः हम कह सकते हैं कि यह समान्तर चतुर्भुज, एक आयत या वर्ग होगा।

प्रश्न 7. संलग्न आकृति HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है। $x, y$ और $z$ कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बताइए।

हल— चूँकि HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है अतः HE $\parallel$ OP और HO $\parallel$ EP

अब, HE $\parallel$ OP और तिर्यक रेखा HO इनको प्रतिच्छेदित करती है।
$\therefore \angle EHO = \angle POX$
$[\because$ संगत कोण के बराबर होते हैं$]$
या $40^{\circ} + z = 70^{\circ}$
या $z = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$
पुनः HE $\parallel$ OP और तिर्यक रेखा HP इनको प्रतिच्छेदित करती है।
$\therefore \angle OPH = \angle EHP$
$[\because$ एकान्तर कोण बराबर होते हैं$]$
या $y = 40^{\circ}$
चूँकि समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः $\angle HEP = \angle HOP$
या $x = 180^{\circ} - \angle POX$

$= 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$
अतः $x = 110^{\circ}, y = 40^{\circ}$ और $z = 30^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 8. निम्न आकृतियों GUNS और RUNS समान्तर चतुर्भुज है। $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए। (लम्बाई cm में है)—

(i)

(ii)

हल—

(i) प्रश्नानुसार GUNS एक समान्तर चतुर्भुज है। अतः इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी।
अर्थात्, GS = UN और GU = SN
या $3x = 18$, अर्थात् $x = 6$
और $3y - 1 = 26$
या $3y = 26 + 1 = 27$
या $y = 9$
अतः $x = 6$ cm और $y = 9$ cm उत्तर

(ii) समान्तर चतुर्भुज में उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं अतः:
OR = ON अर्थात् $16 = x + y$ .....(1)
तथा OU = OS अर्थात् $y + 7 = 20$ .....(2)

(2) से, $y = 20 - 7 = 13$ cm
समीकरण (1) में $y = 13$ रखने पर
$16 = x + 13$
या $x = 16 - 13 = 3$ cm
अतः $x = 3$ cm और $y = 13$ cm उत्तर

प्रश्न 9.

दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज हैं। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल— समान्तर चतुर्भुज RISK में,

$\angle RIS = \angle RKS = 120^{\circ}$
$[\because \text{सम्मुख कोण बराबर होते हैं।}]$
या $\angle OIC = 180^{\circ} - \angle RIS$
$[\text{रैखिक युग्म}]$
या $\angle OIC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

समान्तर चतुर्भुज CLUE में, $CE \parallel LU$ और एक तिर्यक रेखा $CL$ इनको प्रतिच्छेद करती है।
अतः: $\angle ICO = \angle CLU$
$[\because \text{संगत कोण बराबर होते हैं।}]$
या $\angle ICO = 70^{\circ}$

$\triangle OIC$ में कोण योग गुण द्वारा,
$\angle IOC + \angle OIC + \angle IOC = 180^{\circ}$
या $\angle IOC + 60^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$
या $\angle IOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 70^{\circ}$

$= 50^{\circ}$
अर्थात् $x = \angle IOC = 50^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 10. बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर हैं? (आकृति के अनुसार)

हल— क्योंकि $\angle KLM + \angle NML = 180^{\circ}$

अर्थात्, क्रमागत अंतःकोण सम्पूरक होते हैं। अतः $KL \parallel MN$ और इसलिए $KLMN$ एक समलम्ब है। उत्तर

प्रश्न 11. आकृति में $m\angle C$ ज्ञात कीजिए यदि $AB \parallel DC$ है।

हल— चूंकि $AB \parallel DC$ और $BC$ इनको प्रतिच्छेद करती है।

अतः: $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$[\because \text{अंतःकोणों का योग } 180^{\circ} \text{ होता है।}]$
या $120^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
या $\angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ}$

$= 60^{\circ}$
अतः, $m\angle C = 60^{\circ}$ उत्तर

प्रश्न 12. आकृति में $\angle P$ तथा $\angle S$ की माप ज्ञात कीजिए यदि $SP \parallel RQ$ है। (यदि आप $m\angle R$, ज्ञात करते हैं, तो क्या $m\angle P$ को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि हैं?)

हल— चूंकि $SP \parallel RQ$ है तथा $PQ$ एक तिर्यक रेखा है जो इनको क्रमशः $P$ तथा $Q$ पर काटती है।

$\therefore \angle P + Q = 180^{\circ}$
$[\because \text{अंतःकोणों का योग } 180^{\circ} \text{ होता है।}]$
या $\angle P + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
या $\angle P = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ उत्तर

पुनः: $SP \parallel RQ$ है तथा $SR$ एक तिर्यक रेखा है जो इनको क्रमशः $S$ और $R$ पर काटती है।
$\therefore \angle S + \angle R = 180^{\circ}$
$[\because \text{अंतःकोणों का योग } 180^{\circ} \text{ होता है।}]$
या $\angle S + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
या $\angle S = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ उत्तर

हाँ, हम $m\angle P$ दूसरे तरीके से निम्न प्रकार ज्ञात कर सकते हैं-
$m\angle P + m\angle Q + m\angle R + m\angle S = 360^{\circ}$
$(\text{कोण योग गुण})$
या $m\angle P + 130^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
या $m\angle P = 360^{\circ} - 310^{\circ}$

$= 50^{\circ}$ उत्तर

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प्रश्नावली 3.4

प्रश्न 1. बताइए कथन सत्य है या असत्य-
(a) सभी आयत वर्ग होते हैं।
(b) सभी सम चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज होते हैं।
(c) सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं।
(d) सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं होते।
(e) सभी पतंगें सम चतुर्भुज होती हैं।
(f) सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं।
(g) सभी समांतर चतुर्भुज समलंब होते हैं।
(h) सभी वर्ग समलंब होते हैं।

हल- (a) असत्य (b) सत्य (c) सत्य (d) असत्य (e) असत्य (f) सत्य (g) सत्य (h) सत्य।

प्रश्न 2. उन सभी चतुर्भुजों की पहचान कीजिए जिनमें-
(a) चारों भुजाएँ बराबर लम्बाई की हों।
(b) चार समकोण हों।

हल- (a) वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाओं की लम्बाई बराबर है या तो वर्ग है या समचतुर्भुज है।

(b) वह चतुर्भुज जिसके चारों कोण समकोण हैं या तो वर्ग है या आयत है।

प्रश्न 3. बताइए कैसे एक वर्ग-
(i) एक चतुर्भुज (ii) एक समांतर चतुर्भुज (iii) एक समचतुर्भुज (iv) एक आयत है?

हल- (i) एक वर्ग की चार भुजाएँ होती हैं। अतः यह एक चतुर्भुज है।

(ii) एक वर्ग की सम्मुख भुजाओं का युग्म समांतर होता है, अतः यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर लम्बाई की होती हैं, अतः यह एक सम चतुर्भुज है।

(iv) एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है, अतः यह एक आयत है।

प्रश्न 4. एक चतुर्भुज का नाम बताइए जिसके विकर्ण-
(i) एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(ii) एक-दूसरे पर लम्ब समद्विभाजक हों।
(iii) बराबर हों।

हल- (i) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, वह या तो समांतर चतुर्भुज या सम चतुर्भुज, या वर्ग या आयत हो सकता है।

(ii) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे पर लम्ब समद्विभाजक हों या तो सम चतुर्भुज है या वर्ग है।

(iii) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण बराबर हैं वह या तो वर्ग, या आयत हो सकता है।

प्रश्न 5. बताइए एक आयत उत्तल चतुर्भुज कैसे है?

हल- चूंकि एक आयत के प्रत्येक कोण का माप $180^{\circ}$ से कम होता है तथा साथ ही आयत के दोनों विकर्ण पूरी तरह अन्दर (अभ्यंतर) होते हैं। अतः एक आयत एक उत्तल चतुर्भुज है।

प्रश्न 6. ABC एक समकोण त्रिभुज है और 'O' समकोण की सम्मुख भुजा का मध्य बिन्दु है। बताइए कैसे 'O' बिन्दु A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है। (बिन्दुओं से चिह्नित अतिरिक्त भुजाएँ आपकी सहायता के लिए खींची गई हैं।)

हल- BO को D तक इस प्रकार बढ़ाइए कि कि $BO = OD$ है। AD और DC को मिलाइए। इस प्रकार प्राप्त ABCD एक आयत है। इस आयत ABCD में, इसके विकर्ण AC तथा BD बराबर हैं तथा एक-दूसरे को O बिन्दु पर काटते हैं।

अतः $OA = OC$ तथा $OB = OD$
परन्तु $AC = BD$
इसलिए $OA = OB = OC$
अतः O बिन्दु A, B तथा C से बराबर दूरी पर है।