पाठ 4: आँकड़ों का प्रबंधन

$= \frac{40$
$= \frac{40}{100} = \text{वृत्त का } \frac{2}{5} \text{ भाग}$
साइकिल से आने वालों की संख्या $= \frac{20$

$= \frac{20}{100} = \text{वृत्त का } \frac{1}{5} \text{ भाग}$

(iii) दिये गये पाई चार्ट से स्पष्ट है,
गणित पसंद करने वाले विद्यार्थी

$= \frac{(100-15)$
$= \frac{85}{100} = \text{वृत्त का } \frac{17}{20} \text{ भाग}$
गणित पसंद नहीं करने वाले विद्यार्थी

$= \frac{15$
$= \frac{15}{100} = \text{वृत्त का } \frac{3}{20} \text{ भाग}$

प्रश्न 2. दिए हुए पाई चार्ट (आकृति) के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

(i) किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं?
(ii) किन दो प्रकार के कार्यक्रमों को देखने वालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखने वालों की संख्या के बराबर है?

चित्र: पाई चार्ट - टी.वी. चैनल देखने वालों की संख्या

टी.वी. पर विभिन्न प्रकार के चैनलों को देखने वालों की संख्या

हल-दिए गए पाई चार्ट से स्पष्ट है-

(i) मनोरंजन कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं।

(ii) समाचार और ज्ञानप्रद कार्यक्रमों को देखने वालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखने वालों की संख्या के बराबर है।

चित्र: पाई चार्ट - दैनिक समय विभाजन

पृष्ठ 45 | प्रयास कीजिए

प्रश्न-नीचे दिए गए आँकड़ों के लिए एक पाई चार्ट खींचिए-
एक बच्चे द्वारा एक दिन में व्यतीत किया गया समय इस प्रकार है-
सोना - 8 घण्टे
स्कूल - 6 घण्टे
गृहकार्य - 4 घण्टे
खेल - 4 घण्टे
अन्य - 2 घण्टे

हल-इन आँकड़ों को पाई चार्ट में दर्शाते हैं। केन्द्र पर कुल कोण $360^{\circ}$ तथा त्रिज्य खण्ड कोण 360 के भाग होंगे।

हम आगे दर्शाए अनुसार पाई चार्ट बनाएँगे-

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 46
निम्नलिखित आँकड़ों को दर्शाने के लिए, किस प्रकार का आलेख उपयुक्त रहेगा?

प्रश्न 1. किसी राज्य के खाद्यान्न का उत्पादन-

हल-इन आँकड़ों के लिए दण्ड आलेख उपयुक्त रहेगा।

प्रश्न 2. व्यक्तियों के एक समूह के भोजन की पसन्द-

हल-इन आँकड़ों के लिए वृत्त आलेख या पाई चार्ट उपयुक्त रहेगा।

प्रश्न 3. किसी फैक्ट्री के श्रमिकों के एक समूह की दैनिक आय-

हल-इन आँकड़ों को दर्शाने के लिए आयत चित्र उपयुक्त रहेगा।

588

पृष्ठ 48-49 | प्रयास कीजिए

प्रश्न 1. यदि आप एक स्कूटर चलाना प्रारम्भ करें, तो संभव परिणाम क्या हैं?

हल— स्कूटर चलाने के संभावित परिणाम होंगे कि स्कूटर चल जाएगा अथवा नहीं चलेगा।

प्रश्न 2. जब एक पासे (die) को फेंका जाता है, तो संभव छ: परिणाम क्या हैं?

हल— एक पासे को फेंकने पर संभावित परिणाम के रूप में $1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकित कोई एक अंक पासे की ऊपर की सतह पर आएगा।

प्रश्न 3. जब आप पहिए को घुमाएंगे, तो संभावित परिणाम क्या होंगे (आकृति)? इनकी सूची बनाइए।
[यहाँ परिणाम का अर्थ है कि वह त्रिज्य खण्ड जहाँ पर सूचक (Pointer) घुमाने पर रुकेगा।]

चित्र: A circle divided into 3 sectors labeled A, B, C

हल— पहिए को घुमाने के निम्नलिखित संभावित परिणाम हो सकते हैं-

(i) पहिया A त्रिज्य खण्ड पर रुके।

(ii) पहिया B त्रिज्य खण्ड पर रुके।

(iii) पहिया C त्रिज्य खण्ड पर रुके।

प्रश्न 4. आपके पास एक थैला है और उसमें भिन्न-भिन्न रंगों की पाँच एक जैसी गेंदें हैं (आकृति)। आप बिना देखे इसमें से एक गेंद निकालते हैं। प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए।

चित्र: A bag containing 5 balls labeled W, R, B, G, Y

हल— एक थैला जिसमें $1$ सफेद, $1$ लाल, $1$ नीली, $1$ हरी और $1$ पीली गेंद हैं। निकलने वाली गेंद $W, R, B, G$ अथवा $Y$ में से कोई एक होगी।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 49

प्रश्न— एक पासे को फेंकने पर-
क्या पहले खिलाड़ी के $6$ प्राप्त करने का संयोग अधिक है?

क्या उसके बाद खेलने वाले खिलाड़ी के $6$ प्राप्त करने का संयोग कम है?
मान लीजिए कि दूसरा खिलाड़ी $6$ प्राप्त कर लेता है। क्या इसका अर्थ यह है कि तीसरे खिलाड़ी द्वारा $6$ प्राप्त करने का कोई संयोग नहीं है?

हल— जब हम पासे को कई बार फेंकते हैं, तो प्रत्येक बार $1$ अथवा $2$ अथवा $3$ अथवा $4$ अथवा $5$ अथवा $6$ में से $6$ प्राप्त करने की संभावना समान रहती है अर्थात् यह दर्शाता है कि प्रत्येक परिणाम की संभावना समान है। अतः सभी खिलाड़ियों के लिए सभी दशाओं में $6$ प्राप्त करने का संयोग समान है।

पृष्ठ 51 | प्रयास कीजिए

प्रश्न— मान लीजिए कि आप पहिए को घुमाते हैं (आकृति)।
(i) इस पहिए पर एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या और हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त न होने के परिणामों की संख्या लिखिए।
(ii) एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(iii) एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

चित्र: A circle divided into 8 sectors labeled G, R, G, R, G, G, R, G

हल—

(i) एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या $= 5$
और एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त नहीं करने की संभावना $= 3$

(ii) एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता

$= \frac{\text{घटना के परिणाम आने की संख्या}}{\text{प्रयोग में कुल परिणामों की संख्या}}$
$= \frac{5}{8}$

(iii) एक हरा त्रिज्य खण्ड प्राप्त नहीं होने की प्रायिकता

$= \frac{3}{8}$

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 4.1

प्रश्न 1. किसी शहर के युवा व्यक्तियों के एक समूह का यह जानने के लिए एक सर्वे किया गया कि वे किस प्रकार का संगीत पसन्द करते हैं। इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न पाई चार्ट में दर्शाया गया है। इस पाई चार्ट से अग्रलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

चित्र: पाई चार्ट जिसमें उपशास्त्रीय 20%, शास्त्रीय 10%, लोक 30% और मनोरंजक 40% दर्शाया गया है

(i) यदि 20 व्यक्ति शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं, तो कुल कितने युवा व्यक्तियों का सर्वे किया गया था?
(ii) किस प्रकार का संगीत सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा पसन्द किया जाता है?
(iii) यदि कोई कैसेट कंपनी 1000 सी.डी. (C.D.) बनाए, तो वह प्रत्येक प्रकार की कितनी सी. डी. बनाएगी?

हल—

(i) माना $x$ लोगों पर सर्वे किया गया।
$\therefore x$ का $10$
या $\frac{10}{100} \times x = 20$
या $x = 20 \times \frac{100}{10}$
या $x = 20 \times 10$

$= 200$
अतः सर्वे किए गए व्यक्ति $= 200$

(ii) सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा मनोरंजक संगीत पसन्द किया जाता है। ($40$)

(iii) सी.डी. की संख्या
शास्त्रीय संगीत $= \frac{10}{100} \times 1000 = 100$
उपशास्त्रीय संगीत $= \frac{20}{100} \times 1000 = 200$
लोक संगीत $= \frac{30}{100} \times 1000 = 300$
और, मनोरंजक संगीत $= \frac{40}{100} \times 1000 = 400$
अतः शास्त्रीय संगीत की 100 सी.डी., उपशास्त्रीय संगीत की 200 सी.डी., लोक संगीत की 300 सी.डी. तथा मनोरंजक संगीत की 400 सी.डी. बनायेगी। उत्तर

प्रश्न 2. 360 व्यक्तियों के एक समूह से तीन ऋतुओं-वर्षा, सर्दी और गर्मी में से अपनी मनपसंद ऋतु के लिए मतदान करने को कहा गया। इनसे प्राप्त आँकड़ों को नीचे दिए चित्र में दर्शाया गया है-

चित्र: सूर्य

| 90 |
| वर्षा |

चित्र: छाता

| 120 |
| शीत |

चित्र: स्नोमैन

| 150 |

(i) किस ऋतु को सबसे अधिक मत मिले?
(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड का केन्द्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
(iii) इस सूचना को दर्शाने के लिए, एक पाई चार्ट खींचिए।

हल—

(i) शीत ऋतु को सबसे अधिक मत मिले।

(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड के केन्द्रीय कोण की गणना-

(iii) पाई चार्ट की रचना-

$90^{\circ}$), वर्षा ($120^{\circ}$) और शीत ($150^{\circ}$) दर्शाया गया है" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: पाई चार्ट जिसमें ग्रीष्म ($90^{\circ}$), वर्षा ($120^{\circ}$) और शीत ($150^{\circ}$) दर्शाया गया है

प्रश्न 3. निम्नलिखित सूचना को दर्शाने वाला एक पाई चार्ट खींचिए। यह सारणी व्यक्तियों के एक समूह द्वारा पसन्द किए जाने वाले रंगों को दर्शाती है।

हल— सर्वप्रथम हम प्रत्येक त्रिज्यखंड का केन्द्रीय कोण निम्न प्रकार ज्ञात करेंगे-

590

अब विभिन्न केन्द्रीय कोणों का प्रयोग कर पाई चार्ट बनाते हैं।

चित्र: Pie chart representing colors with sectors: नीला (180°), हरा (90°), लाल (60°), and पीला (30°)

प्रश्न 4. संलग्न पाई चार्ट एक विद्यार्थी द्वारा किसी परीक्षा में हिन्दी, अंग्रेजी, गणित, सामाजिक विज्ञान और विज्ञान में प्राप्त किए गए अंकों को दर्शाता है। यदि उस विद्यार्थी द्वारा प्राप्त किए गए कुल अंक $540$ थे, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

चित्र: Pie chart of subjects with angles: गणित (90°), सा. अध्ययन (65°), विज्ञान (80°), हिन्दी (70°), अंग्रेजी (55°)

(i) किस विषय में उस विद्यार्थी ने $105$ अंक प्राप्त किए?
( संकेत : $540$ अंकों के लिये केन्द्रीय कोण $360^{\circ}$ है। अतः $105$ अंकों के लिये केन्द्रीय कोण क्या होगा? )
(ii) उस विद्यार्थी ने गणित में हिन्दी से कितने अधिक अंक प्राप्त किए?
(iii) जाँच कीजिए कि क्या सामाजिक विज्ञान और गणित में प्राप्त किए गए अंकों का योग विज्ञान और हिन्दी में प्राप्त किए गए अंकों के योग से अधिक है।
( संकेत : केवल केन्द्रीय कोणों पर ध्यान दीजिये।)

हल—(i) $\because$ $540$ अंकों के लिए केन्द्रीय कोण $= 360^{\circ}$

$\therefore$ $1$ अंक के लिए केन्द्रीय कोण $= \left(\frac{360}{540}\right)^{\circ} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\circ}$

$\therefore$ $105$ अंक के लिए केन्द्रीय कोण $= \left(\frac{2}{3} \times 105\right)^{\circ} = 70^{\circ}$

दिए गए पाई चार्ट में $70^{\circ}$ वाला विषय हिन्दी है। अतः उस विद्यार्थी ने हिन्दी में $105$ अंक प्राप्त किए।

(ii) हिन्दी और गणित के बीच केन्द्रीय कोणों का अन्तर $= 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$

$\because$ $360^{\circ}$ केन्द्रीय कोण के प्राप्तांक $= 540$

$\therefore$ $1^{\circ}$ के लिए प्राप्तांक $= \frac{540}{360} = \frac{3}{2}$

$\therefore$ $20^{\circ}$ के लिए प्राप्तांक $= \frac{3}{2} \times 20 = 30$

अतः गणित में हिन्दी से $30$ अंक अधिक प्राप्त किए।

(iii) सामाजिक विज्ञान और गणित के केन्द्रीय कोणों का योग $= 65^{\circ} + 90^{\circ} = 155^{\circ}$

और विज्ञान और हिन्दी के केन्द्रीय कोणों का योग $= 80^{\circ} + 70^{\circ} = 150^{\circ}$

क्योंकि $155^{\circ} > 150^{\circ}$, अतः सामाजिक विज्ञान और गणित के प्राप्तांकों का योग विज्ञान और हिन्दी के प्राप्तांकों के योग से अधिक है।

प्रश्न 5. किसी छात्रावास में, विभिन्न भाषाएँ बोलने वाले विद्यार्थियों की संख्या नीचे दी गई है। इन आँकड़ों को एक पाई चार्ट द्वारा प्रदर्शित कीजिए।

हल—सर्वप्रथम प्रत्येक त्रिज्यखंड का केन्द्रीय कोण ज्ञात करेंगे। सारणी निम्न प्रकार है-

अब हम उपर्युक्त केन्द्रीय कोणों का प्रयोग कर पाई चार्ट बनाएंगे-

चित्र: Pie chart representing languages: हिन्दी (200°), अंग्रेजी (60°), मराठी (45°), तमिल (35°), बंगाली (20°)

प्रश्नावली 4.2

प्रश्न 1. इन प्रयोगों में आप जो परिणाम देख सकते हैं, उन्हें लिखिए-
(a) पहिए को घुमाना।
(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना।

चित्र: A circular spinner divided into 5 sectors labeled A, B, C, D, A

हल-

(a) पहिए को घुमाने से प्राप्त परिणाम होंगे A, B, C और D

(b) जब दो सिक्के उछालते हैं तो प्राप्त परिणाम होंगे HH, HT, TH और TT (संकेत: H = Head, T = Tail)

प्रश्न 2. जब एक पासे को फेंका जाता है, तब निम्नलिखित प्रत्येक घटना से प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए-
(i) (a) एक अभाज्य संख्या
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं
(ii) (a) 5 से बड़ी एक संख्या
(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं।

हल-

(i) एक पासे को एक बार फेंकने पर प्राप्त परिणाम

(a) एक अभाज्य संख्या $2, 3$ और $5$

(b) एक अभाज्य संख्या नहीं $1, 4$ और $6$

(ii) (a) 5 से बड़ी एक संख्या $6$ है।

(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं $1, 2, 3, 4$ और $5$

प्रश्न 3. ज्ञात कीजिए-
(a) (प्रश्न 1 (a) में) सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता।
(b) अच्छी प्रकार से फेंटी हुई 52 ताशों की एक गड्डी में से 1 इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता।
(c) एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता (दी आकृति से देखिए।)

चित्र: 7 apples arranged in a circle, 4 are Red (R) and 3 are Green (G)

हल-

(a) 5 त्रिज्य खंडों में से सूचक के किसी एक खण्ड में रुकने की पाँच विधियाँ हैं।
$\therefore$ कुल परिणाम $= 5$, घुमाने वाले पहिए में एक 'D' है।
$\therefore$ संभावित परिणाम $= 1$
$\therefore$ वांछित प्रायिकता $= \frac{1}{5}$ उत्तर

(b) 52 पत्तों में से एक पत्ता 52 विधियों से प्राप्त करते हैं।
$\therefore$ कुल परिणाम $= 52$
52 पत्तों की गड्डी में 4 इक्के उनमें से एक इक्के को 4 विधियों से खींच सकते हैं।
$\therefore$ संभावित परिणाम $= 4$
अतः वांछित प्रायिकता $= \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ उत्तर

(c) 7 सेबों में से एक लाल सेब 7 विधियों से खींच सकते हैं।
$\therefore$ कुल परिणाम $= 7$
कुल 4 लाल सेब हैं। इनमें से कोई एक लाल सेब 4 विधियों से खींच सकते हैं।
$\therefore$ संभावित परिणाम $= 4$
अतः वांछित प्रायिकता $= \frac{4}{7}$ उत्तर

प्रश्न 4. 10 पृथक् पर्चियों पर 1 से 10 तक संख्याएँ लिखी हुई हैं (एक पर्ची पर एक संख्या), उन्हें एक बक्स में रखकर अच्छी प्रकार से मिला दिया जाता है। बक्स के अन्दर से बिना देखे एक पर्ची निकाली जाती है। निम्नलिखित की प्रायिकता क्या है?
(i) संख्या 6 प्राप्त करना।
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करना।
(iii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करना।
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करना।

हल-

10 पर्चियों में से 1 पर्ची 10 विधियों से खींच सकते हैं।
अतः कुल परिणाम $= 10$

(i) 6 प्राप्त करने की घटना अर्थात् यदि हम 6 संख्या वाली पर्ची प्राप्त करेंगे।
अतः अनुकूल परिणाम $= 1$
$\therefore$ वांछित प्रायिकता $= \frac{1}{10}$ उत्तर

(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करने की घटना अर्थात् यदि हमें पर्ची में $1, 2, 3, 4, 5$ वाली पर्ची प्राप्त हो।
अतः अनुकूल परिणाम $= 5$
$\therefore$ वांछित प्रायिकता $= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ उत्तर

(iii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करने की घटना अर्थात् जब पर्ची पर $7, 8, 9, 10$ लिखा हो।
अतः अनुकूल परिणाम $= 4$
$\therefore$ वांछित प्रायिकता $= \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ उत्तर

(iv) एक अंक वाली एक संख्या प्राप्त करने की घटना अर्थात् यदि हमें पर्ची पर $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ लिखा प्राप्त हो।
अतः अनुकूल परिणाम $= 9$
$\therefore$ वांछित प्रायिकता $= \frac{9}{10}$ उत्तर

प्रश्न 5. यदि आपके पास 3 हरे त्रिज्यखण्ड, 1 नीला त्रिज्यखण्ड और 1 लाल त्रिज्यखण्ड वाला एक घूमने वाला पहिया है, तो एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? ऐसा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है, जो नीला न हो?

हल-5 त्रिज्यखण्डों में से सूचक किसी एक खण्ड पर पाँच विधियों से रुकेगा।

$\therefore$ कुल परिणाम $= 5$
इनमें 3 हरे रंग के त्रिज्यखण्डों में से एक 3 विधियों से प्राप्त होगा।
$\therefore$ अनुकूल परिणाम $= 3$
अतः: वांछित प्रायिकता $= \frac{3}{5}$ उत्तर
आगे घुमाने वाले पहिए पर 4 त्रिज्यखण्ड नीले नहीं हैं जो 4 विधियों से प्राप्त होंगे।
अतः: वांछित प्रायिकता $= \frac{4}{5}$ उत्तर

प्रश्न 6. प्रश्न 2 में दी हुई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।

हल- पासे को एक बार फेंकने पर इसकी सतह पर $1, 2, 3, 4, 5, 6$ तक लिखी संख्याओं में से कोई एक संख्या प्राप्त होगी।

अतः: कुल परिणाम $= 6$

(i) माना $A$ अभाज्य संख्याओं को दर्शाता है। स्पष्ट है कि $A$ तब ही आएगा जब हमें $2, 3, 5$ प्राप्त हों।
$\therefore$ अनुकूल परिणाम $= 3$
अतः: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ उत्तर

(ii) माना $A$ अभाज्य संख्या प्राप्त नहीं करने को दर्शाता है। स्पष्ट है $A$ घटना होगी जब हमें $1, 4, 6$ प्राप्त हों।
$\therefore$ अनुकूल परिणाम $= 3$
अतः: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ उत्तर

(iii) $5$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना जब हमें $6$ प्राप्त होगा तब ही होगी।
$\therefore$ अनुकूल परिणाम $= 1$
अतः: वांछित प्रायिकता $= \frac{1}{6}$ उत्तर

(iv) $5$ से बड़े अंक प्राप्त नहीं करने की घटना तब होगी जब हमें $1, 2, 3, 4, 5$ प्राप्त होंगे।
$\therefore$ अनुकूल प्रायिकता $= 5$
अतः: वांछित प्रायिकता $= \frac{5}{6}$ उत्तर

बहुविकल्पीय प्रश्न-
1. वृत्त के केन्द्र पर पूरा कोण होता है-
(अ) $90^{\circ}$ (ब) $360^{\circ}$ (स) $180^{\circ}$ (द) $100^{\circ}$

2. दिए गए पाई चार्ट को देखकर बताइए कि किस मद पर अधिक व्यय किया जा रहा है-

चित्र: पाई चार्ट (मकान किराया 10%, शिक्षा 15%, भोजन 40%, अन्य 35%)

(अ) भोजन पर

(ब) मकान पर

(स) शिक्षा पर

(द) अन्य पर

3. कोई पासा फेंकने पर संख्या $2$ प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
(अ) $\frac{2}{6}$ (ब) $\frac{1}{6}$ (स) $\frac{1}{3}$ (द) $\frac{6}{6}$

4. संकेतों का प्रयोग करते हुये, आँकड़ों का चित्रीय निरूपण कहलाता है-

(स) वृत्त आरेख (द) चित्रालेख

5. पाई चार्ट का आकार होता है-
(अ) अण्डाकार (ब) वृत्ताकार

(स) वर्गाकार (द) आयताकार

6. वृत्त आरेख में सम्पूर्ण वृत्त को विभाजित किया जाता है-
(अ) त्रिभुजों में (ब) आयतों में

(स) त्रिज्यखण्डों में (द) वृत्तों में

7. निम्न में से कौनसा आलेख का प्रकार नहीं है?
(अ) दण्ड आलेख (ब) चक्र आलेख

(स) वृत्त आलेख (द) आयत आलेख

8. एक निश्चित घटना की प्रायिकता होती है-
(अ) $0$ (ब) $1$

(स) $2$ (द) इनमें से कोई नहीं

9. एक असम्भव घटना की प्रायिकता होती है-
(अ) $1$ (ब) शून्य

(स) $0$ से $1$ के मध्य (द) इनमें से कोई नहीं

10. एक सिक्के को उछालने पर पट आने की प्रायिकता होगी-
(अ) शून्य (ब) $1$

(स) $\frac{1}{2}$ (द) इनमें से कोई नहीं

11. एक सिक्के को उछालने पर संभावित परिणामों की संख्या है-
(अ) $1$ (ब) $2$ (स) शून्य (द) $3$

12. दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं तो संभावित परिणामों की संख्या है-

(स) 36 (द) इनमें से कोई नहीं

13. एक पासे को उछालने पर सम अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है-
(अ) $\frac{1}{2}$ (ब) $\frac{1}{3}$ (स) $\frac{1}{5}$ (द) $\frac{1}{6}$

14. एक सिक्के को दो बार उछालने पर संभावित परिणामों की संख्या है-
(अ) 1 (ब) 2 (स) 3 (द) 4

15. एक थैले में 4 हरी गेंद व 4 पीली गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छया निकालने पर इसके हरी गेंद होने की प्रायिकता है-
(अ) $\frac{1}{4}$ (ब) $\frac{1}{2}$ (स) 0 (द) $\frac{1}{8}$

उत्तरमाला

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

1. एक ............ सम्पूर्ण और उसके भागों में सम्बन्ध को दर्शाता है। (चित्रालेख/वृत्त आलेख)

2. किसी प्रयोग के परिणाम ............ कहलाते हैं, यदि उनके आने के संयोग बराबर हों। (समप्रायिक/समान)

3. एक घटना की प्रायिकता = $\frac{\text{घटना को बनाने वाले परिणामों की संख्या}}{\text{प्रयोगों के परिणामों की कुल संख्या/शेष संख्या}}$

4. आलेख में प्रयुक्त क्षैतिज अक्ष को ........ भी कहते हैं। ($y$-अक्ष/$x$-अक्ष)

5. आँकड़ों के ............ समूहों को एक साथ दर्शाने वाला दण्ड आलेख द्वि-दण्ड आलेख कहलाता है। (चार/दो)

6. वृत्त आलेख ............ भी कहलाता है। (दण्ड आलेख/पाई चार्ट)

उत्तर- 1. वृत्त आलेख 2. समप्रायिक 3. प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या 4. $x$-अक्ष 5. दो 6. पाई चार्ट।

निम्नलिखित कथनों को पढ़कर सत्य/असत्य में से उपयुक्त पर ($\checkmark$) अंकित कीजिये-

1. वृत्त के केन्द्र पर पूरा कोण $270^{\circ}$ होता है। (सत्य/असत्य$\checkmark$)

2. कोई पासा फेंकने पर संख्या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ होती है। (सत्य$\checkmark$/असत्य)

3. पाई चार्ट का आकार वर्गाकार होता है। (सत्य/असत्य$\checkmark$)

4. दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो संभावित परिणामों की संख्या 4 होती है। (सत्य$\checkmark$/असत्य)

5. संकेतों का प्रयोग करते हुये, आँकड़ों का चित्रीय निरूपण वृत्त आलेख कहलाता है। (सत्य$\checkmark$/असत्य)

6. एक पासे को उछालने पर सम अंक आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ होती है। (सत्य$\checkmark$/असत्य)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. निम्नलिखित आँकड़ों से एक पाई चार्ट बनाइए- (अन्य क्रियाएँ न दें)

उत्तर-

चित्र: पाई चार्ट जिसमें चॉकलेट 50%, वनीला 25%, अन्य 25% दर्शाया गया है

प्रश्न 2. 10-20 की निम्न वर्ग सीमा तथा उच्च वर्ग सीमा बताइए।

उत्तर- 10-20 वर्ग अन्तराल की निम्न वर्ग सीमा 10 तथा उच्च वर्ग सीमा 20 है।

प्रश्न 3. वर्ग अन्तराल की चौड़ाई या माप किसे कहते हैं?

उत्तर- उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा का अन्तर वर्ग अन्तराल की चौड़ाई

(Width) या माप (Size) कहलाती है।

प्रश्न 4. एक थैले में एक जैसी चार लाल गेंदें और दो पीली गेंदें हैं। थैले के अन्दर से बिना देखे एक गेंद निकाली जाती है। एक लाल गेंद प्राप्त करने की क्या प्रायिकता है?

उत्तर- घटना के कुल परिणाम $4 + 2 = 6$; लाल गेंद प्राप्त करने के लिए परिणाम = 4, अतः लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ उत्तर

प्रश्न 5. दी गई आकृति में एक लाल सेब (R) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये-

594

चित्र: वृत्त (Circle) जिसमें 7 छोटे वृत्त हैं, जिनमें R (लाल) और G (हरा) लिखा है।

Green (G) = हरा
Red (R) = लाल

उत्तर— लाल सेब

(R) प्राप्त करने की प्रायिकता

$= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{4}{7}$

प्रश्न 6. जब एक पासे को फेंका जाता है, तो एक अभाज्य संख्या के प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिये।

उत्तर— अभाज्य संख्या के प्राप्त होने वाले परिणाम निम्न $2, 3, 5$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$ है।

प्रश्न 7. एक घटना की प्रायिकता को परिभाषित कीजिये।

उत्तर— एक घटना की प्रायिकता

$= \frac{\text{घटना को बनाने वाले परिणामों की संख्या}}{\text{प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या}}$

प्रश्न 8. एक पासे को उछालने पर $6$ अंक आने की प्रायिकता लिखिये।

उत्तर— $6$ अंक प्राप्त होने की प्रायिकता $= \frac{1}{6}$

प्रश्न 9. एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता लिखिये।

उत्तर— सिक्का चित आने की प्रायिकता $= \frac{1}{2}$

प्रश्न 10. तीन पासे एक साथ उछालने पर संभावित परिणामों को लिखिये।

उत्तर— संभावित परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 \times 6 = 216$

लघूत्तरात्मक एवं निबन्धात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. $400$ व्यक्तियों पर किए गए सड़क सर्वे के दौरान यातायात नियमों का पालन नहीं करने वालों को वृत्त-चित्र में दर्शाया गया है। वृत्त-चित्र को पढ़कर नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

चित्र: पाई चार्ट (Pie Chart) जिसमें विभिन्न श्रेणियों का प्रतिशत दिया गया है।

(1) सबसे अधिक भार क्षमता वाले वाहनों को चलाने वाले व्यक्तियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
(2) हेलमेट नहीं लगाने वाले व्यक्तियों की संख्या, गति सीमा से अधिक गति में वाहन चलाने वाले व्यक्तियों से कितनी अधिक है?

उत्तर—

(1) अधिक भार क्षमता $= 100 - (30 + 15 + 25 + 10) = 100 - 80 = 20$ उत्तर

(2) हेलमेट नहीं लगाने वाले व्यक्तियों की संख्या $= \frac{400 \times 30}{100} = 120$
गति सीमा से अधिक गति में वाहन चलाने वाले व्यक्तियों की संख्या $= \frac{400 \times 10}{100} = 40$
हेलमेट नहीं लगाने वाले व्यक्तियों की संख्या, गति सीमा से अधिक गति में वाहन चलाने वाले व्यक्तियों की संख्या से अधिक है $= 120 - 40 = 80$ उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित सूचना को दर्शाने वाला एक पाई चार्ट खींचिये। यह सारणी एक शहर में एक वर्ष में सड़क दुर्घटना में विभिन्न कारणों से मरने वाले लोगों की संख्या दर्शाती है।

उत्तर—

उपरोक्त का प्रयोग करके, अब हम पाई चार्ट बनाते हैं।

$125^{\circ}$', 'नशे में वाहन चलाना $50^{\circ}$', 'तेज स्पीड में वाहन चलाना $100^{\circ}$', 'गलत दिशा में वाहन चलाना $60^{\circ}$', 'अन्य सभी कारण $25^{\circ}$' दर्शाया गया है।" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: पाई चार्ट जिसमें 'लापरवाही से वाहन चलाना $125^{\circ}$', 'नशे में वाहन चलाना $50^{\circ}$', 'तेज स्पीड में वाहन चलाना $100^{\circ}$', 'गलत दिशा में वाहन चलाना $60^{\circ}$', 'अन्य सभी कारण $25^{\circ}$' दर्शाया गया है।

(1) अधिकतम दुर्घटनाएँ किस कारण होती हैं एवं कितनी हुईं?
(2) यातायात नियमों की अवहेलना करने से कितनी दुर्घटनाएँ हुईं?

उत्तर-

(1) अधिकतम दुर्घटनाएँ तेज गति से वाहन चलाने के कारण होती हैं, जोकि $50$ है।
अतः: $50$ उत्तर

(2) यातायात नियमों की अवहेलना करने से $30$ दुर्घटनाएँ हुईं। अतः: $1000 \times \frac{30}{100} = 300$ दुर्घटनाएँ हुईं। उत्तर

प्रश्न 3. एक थैले में 4 लाल गेंदें और 2 पीली गेंदें हैं। (ये गेंदें रंग के अतिरिक्त सभी प्रकार से एक जैसी, अर्थात् सर्वसम (identical) हैं।) थैले के अंदर से बिना देखे एक गेंद निकाली जाती है। एक लाल गेंद प्राप्त करने की क्या प्रायिकता है? क्या यह एक पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता से अधिक है या कम?

उत्तर-
यहाँ घटना के कुल $(4 + 2 = 6)$ परिणाम हैं। लाल गेंद प्राप्त करने के लिए 4 परिणाम हैं।
अतः: लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
इसी प्रकार, पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
अतः: लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता से अधिक है।

प्रश्न 4. दिए गए पाई चार्ट में 1000 वाहन चालकों की विभिन्न गलतियों से होने वाली दुर्घटनाओं को दर्शाया गया है। पाई चार्ट की सहायता से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

$50\%$', 'अन्य कारण $15\%$', 'यातायात नियमों की अवहेलना $30\%$', 'नशे में वाहन चलाना $5\%$' दर्शाया गया है।" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: पाई चार्ट जिसमें 'तेज गति वाहन $50\%$', 'अन्य कारण $15\%$', 'यातायात नियमों की अवहेलना $30\%$', 'नशे में वाहन चलाना $5\%$' दर्शाया गया है।

प्रश्न 5. नीचे दिए गए पाई चार्ट में 3000 वाहन चालकों की विभिन्न गलतियों को दर्शाया गया है। पाई चार्ट की सहायता से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

$29.9\%$', 'अनुशासन भंग करना $2.3\%$', 'अचानक ब्रेक लगाना $1.9\%$', 'अनजाने कारणों से $28.5\%$', 'शराब सेवन कर वाहन चलाना $2\%$', 'वाहन तेज गति से चलाना $25\%$', 'यातायात नियमों की अवहेलना करना $10.4\%$' दर्शाया गया है।" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: पाई चार्ट जिसमें 'खतरनाक तरीके से वाहन चलाना $29.9\%$', 'अनुशासन भंग करना $2.3\%$', 'अचानक ब्रेक लगाना $1.9\%$', 'अनजाने कारणों से $28.5\%$', 'शराब सेवन कर वाहन चलाना $2\%$', 'वाहन तेज गति से चलाना $25\%$', 'यातायात नियमों की अवहेलना करना $10.4\%$' दर्शाया गया है।

(1) वाहन तेज गति से चलाने पर कितने प्रतिशत तथा कितनी दुर्घटना हुई?
(2) सबसे ज्यादा दुर्घटनाएँ वाहन चालक की किस गलती से होती हैं? यहाँ ऐसी गलती से कितनी दुर्घटनाएँ हुईं?

उत्तर-

(1) वाहन तेज गति से चलाने पर $25$ दुर्घटनाएँ हुई हैं। अतः: इस प्रकार से हुई कुल दुर्घटनाएँ-
$3000 \times \frac{25}{100} = 750$ उत्तर

(2) सबसे ज्यादा दुर्घटनाएँ खतरनाक तरीके से वाहन चलाने से होती हैं, जो कि $29.9$ है। यहाँ ऐसी गलती से कुल $3000 \times \frac{29.9}{100} = 897$ दुर्घटनाएँ हुईं। उत्तर

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