पाठगत प्रश्न

पृष्ठ 56 | प्रयास कीजिए

प्रश्न 1. दी गई संख्याओं के बीच की पूर्ण वर्ग संख्याएँ ज्ञात कीजिए-
(i) $30$ और $40$ (ii) $50$ और $60$

हल-

(i) $5 \times 5 = 25, 6 \times 6 = 36$ और $7 \times 7 = 49$ तीन पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं।
$\therefore 30$ और $40$ के बीच की पूर्ण संख्या $36$ है।

(ii) $7 \times 7 = 49$ और $8 \times 8 = 64$ दो पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं।
$\therefore 50$ और $60$ के बीच कोई भी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

पृष्ठ 57 | प्रयास कीजिए

प्रश्न 1. क्या हम कह सकते हैं कि निम्न संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं? हम कैसे जानते हैं?
(i) $1057$ (ii) $23453$ (iii) $7928$ (iv) $222222$ (v) $1069$ (vi) $2061$
पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप बता सकें कि ये संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

हल-

(i) $1057$ - संख्या $1057$ का इकाई स्थान का अंक $0, 1, 4, 5, 6$ या $9$ नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(ii) $23453$ - संख्या $23453$ के इकाई स्थान पर $0, 1, 4, 5, 6$ या $9$ नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(iii) $7928$ - संख्या $7928$ के इकाई स्थान पर $0, 1, 4, 5, 6$ या $9$ नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(iv) $222222$ - संख्या $222222$ के इकाई के स्थान पर $0, 1, 4, 5, 6$ या $9$ नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(v) $1069$ - संख्या $1069$ के इकाई स्थान पर $9$ है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या हो सकती है और नहीं भी हो सकती है। लेकिन $32^2 = 32 \times 32 = 1024$ और $33^2 = 33 \times 33 = 1089$

$\therefore 1069$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(vi) $2061$ - संख्या $2061$ के इकाई स्थान पर $1$ है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या भी हो सकती है और नहीं भी हो सकती है।
लेकिन $45^2 = 45 \times 45 = 2025$
और $46^2 = 46 \times 46 = 2116$
$\therefore 2061$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
पाँच संख्याएँ जिनके इकाई स्थान को देखकर हम पता कर सकते हैं कि ये वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, वे हैं $22, 43, 57, 268$ और $193$।

प्रश्न 2. पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप नहीं बता सकते कि वे वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं?

हल - ऐसी पाँच संख्याएँ जिनके इकाई स्थान को देखकर हम नहीं बता सकते कि ये वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं, वे हैं $1331, 2744, 3375, 17576$ और $24389$

पृष्ठ 57

प्रश्न - $123^2, 77^2, 82^2, 161^2, 109^2$ में से कौनसी संख्या अंक $1$ पर समाप्त होगी?

हल - हम जानते हैं कि यदि संख्या के इकाई स्थान का अंक $1$ अथवा $9$ है, तो इनके वर्ग $1$ पर समाप्त होते हैं। अतः $161^2$ और $109^2$ के अंक $1$ पर समाप्त होंगे।

पृष्ठ 58 | प्रयास कीजिए

प्रश्न - निम्नलिखित में से कौनसी संख्याओं के इकाई स्थान पर $6$ अंक होगा-
(i) $19^2$ (ii) $24^2$ (iii) $26^2$ (iv) $36^2$ (v) $34^2$

हल - जिस संख्या का इकाई अंक $4$ या $6$ होता है, उसकी वर्ग संख्या के इकाई स्थान पर $6$ अंक होता है। इस आधार पर हम उक्त संख्याओं की जाँच करेंगे।

(i) क्योंकि $19, 4$ या $6$ पर समाप्त नहीं होता है। अतः $19^2$ के इकाई स्थान पर $6$ अंक नहीं होगा।

(ii) क्योंकि $24, 4$ पर समाप्त होता है। अतः $24^2$ के इकाई स्थान पर $6$ होगा।

(iii) क्योंकि $26, 6$ पर समाप्त होता है। अतः $26^2$ के इकाई स्थान पर $6$ होगा।

(iv) क्योंकि $36, 6$ पर समाप्त होता है। अतः $36^2$ के इकाई स्थान पर $6$ होगा।

(v) क्योंकि $34, 4$ पर समाप्त होता है। अतः $34^2$ के इकाई स्थान पर $6$ होगा।

पृष्ठ 58

प्रश्न - निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग करने पर उनके इकाई स्थान पर क्या होगा?
(i) $1234$ (ii) $26387$ (iii) $52698$ (iv) $99880$ (v) $21222$ (vi) $9106$

हल -

पृष्ठ 58

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से किन संख्याओं के वर्ग विषम संख्या/सम संख्या होंगे? क्यों?
(i) $727$ (ii) $158$ (iii) $269$ (iv) $1980$

हल -

(i) क्योंकि $727$ एक विषम संख्या है। अतः इसका वर्ग भी विषम संख्या होगी।

(ii) क्योंकि $158$ एक सम संख्या है। अतः इसका वर्ग भी सम संख्या होगी।

(iii) क्योंकि $269$ एक विषम संख्या है। अतः इसका वर्ग भी विषम संख्या होगी।

(iv) क्योंकि $1980$ एक सम संख्या है। अतः इसका वर्ग भी सम संख्या होगी।

प्रश्न 2. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग में शून्यों की संख्या क्या होगी?
(i) $60$ (ii) $400$

हल -

(i) $60^2$ में दो शून्य होंगे।

(ii) $400^2$ में चार शून्य होंगे।

पृष्ठ 60 | प्रयास कीजिए

प्रश्न 1. $9^2$ और $10^2$ के बीच कितनी प्राकृत संख्याएँ हैं? $11^2$ और $12^2$ के बीच भी प्राकृत संख्याओं की संख्या बताइए।

हल - $9^2$ और $10^2$ के बीच $2n$ अर्थात् $2 \times 9 = 18$ प्राकृत संख्याएँ हैं।

$11^2$ और $12^2$ के बीच $2 \times 11 = 22$ प्राकृत संख्याएँ हैं।

प्रश्न 2. निम्नलिखित संख्याओं के युग्मों के बीच की संख्या बताइए जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।
(i) $100^2$ और $101^2$ (ii) $90^2$ और $91^2$

598

(iii) $1000^2$ और $1001^2$

हल—(i) $100^2$ और $101^2$ के बीच $2n$ अर्थात् $2 \times 100 = 200$ संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

(ii) $90^2$ और $91^2$ के बीच $2n$ अर्थात् $2 \times 90 = 180$ संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

(iii) $1000^2$ और $1001^2$ के बीच $2n$ अर्थात् $2 \times 1000 = 2000$ संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

पृष्ठ 61 | प्रयास कीजिए
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं?

(i) $121$ (ii) $55$ (iii) $81$

(iv) $49$ (v) $69$

हल—हम जानते हैं कि पहली $n$ विषम प्राकृत संख्याओं का योग $n^2$ होता है। अतः उक्त संख्याओं में से $1, 3, 5, 7 \dots$ को क्रम से घटाएंगे।

(i) दी गई संख्या $121$ में से क्रमशः $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$ घटाएंगे।
$121 - 1 = 120, 120 - 3 = 117, 117 - 5 = 112, 112 - 7 = 105, 105 - 9 = 96, 96 - 11 = 85, 85 - 13 = 72, 72 - 15 = 57, 57 - 17 = 40, 40 - 19 = 21, 21 - 21 = 0$
इसका अर्थ है $121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21$
$\therefore 121$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(ii) दी गई संख्या $55$ में से क्रमशः $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ घटाएंगे।
$55 - 1 = 54, 54 - 3 = 51, 51 - 5 = 46, 46 - 7 = 39, 39 - 9 = 30, 30 - 11 = 19, 19 - 13 = 6, 6 - 15 = -9$
यह दर्शाता है कि $55$ को $1$ से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
$\therefore 55$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(iii) दी गई संख्या $81$ में से क्रमशः $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17$ घटाएंगे।
$81 - 1 = 80, 80 - 3 = 77, 77 - 5 = 72, 72 - 7 = 65, 65 - 9 = 56, 56 - 11 = 45, 45 - 13 = 32, 32 - 15 = 17, 17 - 17 = 0$
इसका अर्थ है $81 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17$
$\therefore 81$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(iv) दी गई संख्या $49$ में से क्रमशः $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ घटाएंगे।
$49 - 1 = 48, 48 - 3 = 45, 45 - 5 = 40, 40 - 7 = 33, 33 - 9 = 24, 24 - 11 = 13, 13 - 13 = 0$
इसका अर्थ है $49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$
$\therefore 49$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(v) दी गई संख्या $69$ में से क्रमशः $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$ घटाएंगे।
$69 - 1 = 68, 68 - 3 = 65, 65 - 5 = 60, 60 - 7 = 53, 53 - 9 = 44, 44 - 11 = 33, 33 - 13 = 20, 20 - 17 = 3, 3 - 19 = -16$
यह दर्शाता है कि $69$ को $1$ से आरम्भ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
$\therefore 69$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

पृष्ठ 61

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को दो क्रमागत पूर्णांकों के योग के रूप में लिखिए-
(i) $21^2$ (ii) $13^2$ (iii) $11^2$ (iv) $19^2$

हल—(i) $21^2 = 441 = 220 + 221$, जो दो क्रमागत पूर्णांकों के योग को दर्शाता है।

$\left[ \because \frac{21^2 - 1}{2} = 220 \text{ और } \frac{21^2 + 1}{2} = 221 \right]$

(ii) $13^2 = 169 = 84 + 85$ जो, दो क्रमागत पूर्णांकों के योग को दर्शाता है।
$\left[ \because \frac{13^2 - 1}{2} = 84 \text{ और } \frac{13^2 + 1}{2} = 85 \right]$

(iii) $11^2 = 121 = 60 + 61$, जो दो क्रमागत पूर्णांकों के योग को दर्शाता है।
$\left[ \because \frac{11^2 - 1}{2} = 60 \text{ और } \frac{11^2 + 1}{2} = 61 \right]$

(iv) $19^2 = 361 = 180 + 181$, जो दो क्रमागत पूर्णांकों के योग को दर्शाता है।
$\left[ \because \frac{19^2 - 1}{2} = 180 \text{ और } \frac{19^2 + 1}{2} = 181 \right]$

प्रश्न 2. क्या आप सोचते हैं कि इसका विलोम सत्य है अर्थात् क्या दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग एक पूर्ण वर्ग होता है? अपने उत्तर के पक्ष में एक उदाहरण दीजिए।

हल—नहीं, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्ण वर्ग नहीं होता है।

उदाहरण के तौर पर $3 + 4 = 7, 11 + 12 = 23$ इत्यादि।
यहाँ $3$ और $4$ तथा $11$ और $12$ क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, परन्तु इनका योग $7$ तथा $23$ पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

पृष्ठ 62 | प्रयास कीजिए

प्रश्न—निम्न प्रतिरूप का उपयोग करते हुए नीचे दी गई संख्याओं की वर्ग संख्याएँ लिखिए-

$1^2 = 1$
$11^2 = 121$
$111^2 = 12321$
$1111^2 = 1234321$
$11111^2 = 123454321$
$111111^2 = 123456787654321$
(i) $111111^2$ (ii) $1111111^2$

हल-(i) $111111^2 = 12345654321$

(ii) $1111111^2 = 1234567654321$

पृष्ठ 62

प्रश्न- दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए क्या आप निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं?
(i) $6666667^2$ (ii) $66666667^2$
प्रतिरूप-
$7^2 = 49$
$67^2 = 4489$
$667^2 = 444889$
$6667^2 = 44448889$
$66667^2 = 4444488889$
$666667^2 = 444444888889$

हल-(i) $6666667^2 = 44444448888889$

(ii) $66666667^2 = 4444444488888889$

पृष्ठ 64 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए जिनके इकाई अंक 5 हैं-
(i) 15 (ii) 95 (iii) 105 (iv) 205

हल-(i) $15^2 = (1 \times 2)$ सौ $+ 25 = 200 + 25 = 225$

(ii) $95^2 = (9 \times 10)$ सौ $+ 25 = 9000 + 25 = 9025$

(iii) $105^2 = (10 \times 11)$ सौ $+ 25 = 11000 + 25 = 11025$

(iv) $205^2 = (20 \times 21)$ सौ $+ 25 = 42000 + 25 = 42025$

पृष्ठ 66 | प्रयास कीजिए

प्रश्न (i) $11^2 = 121$. 121 का वर्गमूल क्या है?
(ii) $14^2 = 196$. 196 का वर्गमूल क्या है?

हल-(i) क्योंकि $11^2 = 121$, अतः 121 का वर्गमूल 11 है।

(ii) क्योंकि $14^2 = 196$, अतः 196 का वर्गमूल 14 है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
पृष्ठ 66

प्रश्न 1. $(-1)^2 = 1$. क्या 1 का वर्गमूल है -1?

हल- हाँ, -1, 1 का वर्गमूल है। 1 के दो वर्गमूल हैं +1 तथा -1

प्रश्न 2. $(-2)^2 = 4$. क्या 4 का वर्गमूल है -2?

हल- हाँ, 4 का वर्गमूल -2 है।

प्रश्न 3. $(-9)^2 = 81$. क्या 81 का वर्गमूल है -9?

हल- हाँ, 81 का वर्गमूल -9 है।

पृष्ठ 67 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग है तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 121 (ii) 55 (iii) 36 (iv) 49 (v) 90

हल-(i) 121 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को घटाएँगे।

$121 - 1 = 120$
$120 - 3 = 117$
$117 - 5 = 112$
$112 - 7 = 105$
$105 - 9 = 96$
$95 - 11 = 85$
$85 - 13 = 72$
$72 - 15 = 57$
$57 - 17 = 40$
$40 - 19 = 21$
$21 - 21 = 0$
हमें 1 से 21 तक 11 पद प्राप्त होते हैं और 121 को 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अतः 121 एक पूर्ण वर्ग है और $\sqrt{121} = 11$

(ii) 55 में से 1 से प्रारम्भ करके विषम संख्याओं को घटाएँगे-
$55 - 1 = 54$
$54 - 3 = 51$
$51 - 5 = 46$
$46 - 7 = 39$
$39 - 9 = 30$
$30 - 11 = 19$
$19 - 13 = 6$
$6 - 15 = -9$
यह दर्शाता है कि हम 55 को 1 से प्रारम्भ होने वाली क्रमागत संख्याओं को योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
$\therefore$ 55 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

(iii) 36 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ करके विषम संख्याओं को घटाएँगे-
$36 - 1 = 35$
$35 - 3 = 32$
$32 - 5 = 27$
$27 - 7 = 20$
$20 - 9 = 11$
$11 - 11 = 0$
हमें 1 से 11 तक 6 पद प्राप्त होते हैं और 36 को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

अतः: $36$ पूर्ण वर्ग है और $\sqrt{36} = 6$

(iv) $49$ में से हम $1$ से प्रारम्भ करके क्रमशः विषम संख्याओं को घटाएंगे-
$49 - 1 = 48$
$48 - 3 = 45$
$45 - 5 = 40$
$40 - 7 = 33$
$33 - 9 = 24$
$24 - 11 = 13$
$13 - 13 = 0$
हमें $1$ से $13$ तक $7$ पद प्राप्त होते हैं और $49$ को $1$ से प्रारम्भ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अतः: $49$ एक पूर्ण वर्ग है और $\sqrt{49} = 7$।

(v) $90$ में से हम $1$ से प्रारम्भ करके क्रमशः विषम संख्याओं को घटाएंगे-
$90 - 1 = 89$
$89 - 3 = 86$
$86 - 5 = 81$
$81 - 7 = 74$
$74 - 9 = 65$
$65 - 11 = 54$
$54 - 13 = 41$
$41 - 15 = 26$
$26 - 17 = 9$
$9 - 19 = -10$
यह दर्शाता है कि हम $90$ को $1$ से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
$\therefore 90$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 71

प्रश्न- क्या हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में यदि $n$ अंक है तो उसके वर्गमूल में $\frac{n}{2}$ अंक होंगे। यदि $n$ सम है या $\frac{n+1}{2}$ होंगे यदि $n$ विषम है?

हल- हाँ, हम कह सकते हैं कि यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या में $n$ अंक है, तो इसके वर्गमूल में

(i) $\frac{n}{2}$ अंक होंगे, यदि $n$ सम है और

(ii) $\frac{n+1}{2}$ अंक होंगे, यदि $n$ विषम है।
इसे निम्न उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है-
$\sqrt{361} = 19, \sqrt{1296} = 36, \sqrt{17161} = 131, \sqrt{194481} = 441$ आदि।

पृष्ठ 72

प्रयास कीजिए

प्रश्न- निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में अंकों की संख्या को गणना के बिना ज्ञात कीजिए-
(i) $25600$ (ii) $100000000$ (iii) $36864$

हल- (i) क्योंकि $25600$ में $5$ अंक हैं, अतः: $\sqrt{25600}$ में $\frac{5+1}{2}$ अर्थात् $3$ अंक होंगे।

(ii) क्योंकि $100000000$ में $9$ अंक हैं, अतः: इसके वर्गमूल में $\frac{9+1}{2}$ अर्थात् $5$ अंक होंगे।

(iii) क्योंकि $36864$ में $5$ अंक हैं, अतः: इसके वर्गमूल में $\frac{5+1}{2}$ अर्थात् $3$ अंक होंगे।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 5.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(i) $81$ (ii) $272$ (iii) $799$ (iv) $3853$ (v) $1234$ (vi) $26387$ (vii) $52698$ (viii) $99880$ (ix) $12796$ (x) $55555$

हल- दी गई संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक नीचे सारणी में दिए गए हैं-

प्रश्न 2. निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए।
(i) $1057$ (ii) $23453$ (iii) $7928$ (iv) $222222$ (v) $64000$ (vi) $89722$ (vii) $222000$ (viii) $505050$

हल- वह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती जिसमें इकाई का अंक $2, 3, 7$ या $8$ होता है। जिस संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या विषम हो, वह संख्या भी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(i) क्योंकि दी गई संख्या $1057$, $7$ पर समाप्त होती है। अतः: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(ii) क्योंकि दी गई संख्या $23453$, $3$ पर समाप्त होती है। अतः: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(iii) क्योंकि दी गई संख्या $7928$, $8$ पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(iv) क्योंकि दी गई संख्या $222222$, $2$ पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(v) क्योंकि दी गई संख्या $64000$ एक विषम संख्या $0$ पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(vi) क्योंकि संख्या $89722$, $2$ पर समाप्त होती हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।

(vii) क्योंकि $222000$ के अन्त में $0$ की संख्या विषम है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(viii) क्योंकि संख्या $505050$ के अन्त में $0$ की संख्या विषम है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3. निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?
(i) $431$ (ii) $2826$ (iii) $7779$ (iv) $82004$

हल- (i) दी गई संख्या $431$ विषम है। अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगी।

(ii) दी गई संख्या $2826$ सम है। अतः इसका वर्ग सम संख्या होगी।

(iii) दी गई संख्या $7779$ विषम है। अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगी।

(iv) दी गई संख्या $82004$ सम है। अतः इसका वर्ग भी सम संख्या होगी।
अतः संख्याएँ $431$ और $7779$ विषम संख्याओं के वर्ग होंगे।

प्रश्न 4. निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए-
$11^2 = 121$
$101^2 = 10201$
$1001^2 = 1002001$
$100001^2 = 1 \dots \dots \dots 2 \dots \dots \dots 1$
$10000001^2 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

हल-

$100001^2 = 10000200001$
$10000001^2 = 100000020000001$
नियम : जिस संख्या का वर्ग करते हैं, उस संख्या में $1$ और $1$ के बीच जितने शून्य होते हैं, तो वर्ग करने में $1, 2, 1$ के बीच में उतने ही शून्य लगाये जाते हैं।

प्रश्न 5. निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए-
$11^2 = 121$
$101^2 = 10201$
$10101^2 = 102030201$
$1010101^2 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
$\dots \dots \dots \dots \dots^2 = 10203040504030201$

हल- छूटे अंक निम्न होंगे-

$1010101^2 = 1020304030201$
$101010101^2 = 10203040504030201$

प्रश्न 6. दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए-
$1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2$
$2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2$
$3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2$
$4^2 + 5^2 + \dots^2 = 21^2$
$5^2 + \dots^2 + 30^2 = 31^2$
$6^2 + 7^2 + \dots^2 = \dots^2$

हल- इस प्रतिरूप में हम देखते कि पहली संख्या तथा दूसरी संख्या का गुणा ही तीसरी संख्या है और तीसरी संख्या जो है उसके बाद जो संख्या होती है, वह चौथी संख्या है अतः इसके द्वारा प्रारूप (प्रतिरूप) को पूरा कर सकते हैं।

अतः लुप्त संख्याएँ निम्न प्रकार हैं-
$4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2$
$5^2 + 6^2 + 30^2 = 31^2$
$6^2 + 7^2 + 42^2 = 43^2$

प्रश्न 7. योग संक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए-
(i) $1 + 3 + 5 + 7 + 9$
(ii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19$
(iii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23$

हल-

(i) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = \text{पहली } 5 \text{ विषम संख्याओं का योग} = 5^2 = 25$

(ii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = \text{पहली } 10 \text{ विषम संख्याओं का योग} = 10^2 = 100$

(iii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = \text{पहली } 12 \text{ विषम संख्याओं का योग} = 12^2 = 144$

प्रश्न 8.
(i) $49$ को $7$ विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
(ii) $121$ को $11$ विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।

हल- (i) $49 = 7^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$

(ii) $121 = 11^2$

$= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21$

प्रश्न 9. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?
(i) $12$ और $13$ (ii) $25$ और $26$ (iii) $99$ और $100$

हल—

(i) $(12)^2$ और $(13)^2$ के बीच में $2n$ अर्थात् $2 \times 12 = 24$ संख्याएँ हैं।
जो इस वर्ग संख्याओं के अन्तर से $1$ कम है।
$\because (13)^2 - (12)^2 = 169 - 144 = 25$

(ii) $(25)^2$ और $(26)^2$ के बीच में $2n$ अर्थात् $2 \times 25 = 50$ संख्याएँ हैं।
जो इस वर्ग संख्याओं के अन्तर से $1$ कम है।
$\because (26)^2$ तथा $(25)^2 = 676 - 625 = 51$

(iii) $(99)^2$ और $(100)^2$ के बीच में $2n$ अर्थात् $2 \times 99 = 198$ संख्याएँ हैं।
जो इस वर्ग संख्याओं के अन्तर से $1$ कम है।
$\because (100)^2 - (99)^2 = 10000 - 9801 = 199$

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1. निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए-
(i) $32$ (ii) $35$ (iii) $86$ (iv) $93$ (v) $71$ (vi) $46$

हल—

(i) $32^2 = (30 + 2)^2$

$= 30(30 + 2) + 2(30 + 2)$
$= 30^2 + 30 \times 2 + 2 \times 30 + 2^2$

$= 900 + 60 + 60 + 4 = 1024$ उत्तर

(ii) $35^2 = (30 + 5)^2 = 30(30 + 5) + 5(30 + 5)$

$= 30^2 + 30 \times 5 + 5 \times 30 + 5^2$
$= 900 + 150 + 150 + 25 = 1225$ उत्तर

(iii) $86^2 = (80 + 6)^2 = 80(80 + 6) + 6(80 + 6)$

$= 80^2 + 80 \times 6 + 6 \times 80 + 6^2$
$= 6400 + 480 + 480 + 36 = 7396$ उत्तर

(iv) $93^2 = (90 + 3)^2 = 90(90 + 3) + 3(90 + 3)$

$= 90^2 + 90 \times 3 + 3 \times 90 + 3^2$
$= 8100 + 270 + 270 + 9 = 8649$ उत्तर

(v) $71^2 = (70 + 1)^2 = 70(70 + 1) + 1(70 + 1)$

$= 70^2 + 70 \times 1 + 1 \times 70 + 1^2$
$= 4900 + 70 + 70 + 1 = 5041$ उत्तर

(vi) $46^2 = (40 + 6)^2 = 40(40 + 6) + 6(40 + 6)$

$= 40^2 + 40 \times 6 + 6 \times 40 + 6^2$
$= 1600 + 240 + 240 + 36 = 2116$ उत्तर

प्रश्न 2. पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य है,
(i) $6$ (ii) $14$ (iii) $16$ (iv) $18$

हल—

(i) किसी प्राकृत संख्या $m > 1$ के लिए $2m, m^2 - 1$ तथा $m^2 + 1$ पाइथागोरस त्रिक के रूप में होते हैं।
$2m = 6$ लेने पर, $m = 3$
अतः $m = 3, 2m, m^2 - 1, m^2 + 1$ में रखने पर,
$\therefore 2m = 6, m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
और $m^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
अतः $6, 8$ और $10$ पाइथागोरस त्रिक हैं। उत्तर

(ii) हम लेते हैं- $2m = 14$
अतः $m = 7$
$m = 7$ को $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$ में रखने पर,
$\therefore 2m = 14, m^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$
और $m^2 + 1 = 7^2 - 1 = 49 + 1 = 50$
अतः $14, 48$ और $50$ पाइथागोरस त्रिक हैं। उत्तर

(iii) हम लेते हैं- $2m = 16$
अतः $m = 8$
$m = 8$ को $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$ में रखने पर,
$\therefore 2m = 16, m^2 - 1 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$
और $m^2 + 1 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65$
अतः $16, 63$ और $65$ पाइथागोरस त्रिक हैं। उत्तर

(iv) हम लेते हैं- $2m = 18$
अतः $m = 9$
$m = 9$ को $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$ में रखने पर,
$\therefore 2m = 18, m^2 - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$
$m^2 + 1 = 9^2 + 1 = 81 + 1 = 82$
अतः $18, 80$ और $82$ पाइथागोरस त्रिक हैं। उत्तर

प्रश्नावली 5.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में इकाई अंक की क्या संभावना है-
(i) $9801$ (ii) $99856$ (iii) $998001$ (iv) $657666025$

हल— संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की संभावना-

(i) $9801$ के वर्गमूल में इकाई का अंक $1$ या $9$ होगा।

(ii) $99856$ के वर्गमूल में इकाई का अंक $4$ या $6$ होगा।

(iii) $998001$ के वर्गमूल में इकाई का अंक $1$ या $9$ होगा।

(iv) $657666025$ के वर्गमूल में इकाई का अंक $5$ होगा।

प्रश्न 2. बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है।

(i) $153$ (ii) $257$ (iii) $408$ (iv) $441$

हल— हम जानते हैं कि $2, 3, 7$ या $8$ से समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं। अतः:

(i) $153$ पूर्ण वर्ग नहीं है।

(ii) $257$ पूर्ण वर्ग नहीं है।

(iii) $408$ पूर्ण वर्ग नहीं है।

(iv) $441$ पूर्ण वर्ग हो सकती है।
अतः: $153, 257$ और $408$ वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

प्रश्न 3. बार-बार घटाने की विधि से $100$ और $169$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए—

हल— (a) $100$ में से हम $1$ से प्रारम्भ करके क्रमशः विषम संख्याएँ घटाएंगे—

$100 - 1 = 99$
$99 - 3 = 96$
$96 - 5 = 91$
$91 - 7 = 84$
$84 - 9 = 75$
$75 - 11 = 64$
$64 - 13 = 51$
$51 - 15 = 36$
$36 - 17 = 19$
$19 - 19 = 0$
यहाँ $10$वाँ पद $0$ प्राप्त होता है।
$\therefore \sqrt{100} = 10$ उत्तर

(b) $169$ में हम $1$ से प्रारम्भ करके क्रमशः विषम संख्याएँ घटाएंगे—
$169 - 1 = 168$
$168 - 3 = 165$
$165 - 5 = 160$
$160 - 7 = 153$
$153 - 9 = 144$
$144 - 11 = 133$
$133 - 13 = 120$
$120 - 15 = 105$
$105 - 17 = 88$
$88 - 19 = 69$
$69 - 21 = 48$
$48 - 23 = 25$
$25 - 25 = 0$
यहाँ $13$वाँ पद $0$ प्राप्त होता है।
$\therefore \sqrt{169} = 13$ उत्तर

प्रश्न 4. अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए—
(i) $729$ (ii) $400$ (iii) $1764$ (iv) $4096$ (v) $7744$ (vi) $9604$ (vii) $5929$ (viii) $9216$ (ix) $529$ (x) $8100$

हल—

(i) $729$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
$\therefore \sqrt{729} = 3 \times 3 \times 3 = 27$ उत्तर

(ii) $400$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5$
$\therefore \sqrt{400} = 2 \times 2 \times 5 = 20$ उत्तर

(iii) $1764$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$1764 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7$
$\therefore \sqrt{1764} = 2 \times 3 \times 7 = 42$ उत्तर

(iv) $4096$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$4096 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
$\therefore \sqrt{4096} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$ उत्तर

(v) $7744$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$7744 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11$
$\therefore \sqrt{7744} = 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 88$ उत्तर

(vi) $9604$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$9604 = 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$
$\therefore \sqrt{9604} = 2 \times 7 \times 7 = 98$ उत्तर

(vii) $5929$—अभाज्य गुणनखंड द्वारा
$5929 = 7 \times 7 \times 11 \times 11$
$\therefore \sqrt{5929} = 7 \times 11 = 77$ उत्तर

(viii) $9216$—अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$9216 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore \sqrt{9216} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 96$ उत्तर

(ix) $529$—अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$529 = 23 \times 23$
$\therefore \sqrt{529} = 23$ उत्तर

(x) $8100$—अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$8100 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
$\therefore \sqrt{8100} = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$ उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) $252$ (ii) $180$ (iii) $1008$ (iv) $2028$ (v) $1458$ (vi) $768$

हल—(i) अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा

$252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग के लिए एक $7$ और वांछित है।
अतः दी गई संख्या को $7$ से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
$\therefore 252 \times 7 = 1764$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अतः $1764 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7$
$\therefore \sqrt{1764} = 2 \times 3 \times 7 = 42$ उत्तर

(ii) अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग के लिए एक $5$ और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को $5$ से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
$\therefore 180 \times 5 = 900$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अतः $900 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
$\therefore \sqrt{900} = 2 \times 3 \times 5 = 30$ उत्तर

(iii) अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$1008 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए एक $7$ और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को $7$ से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
$\therefore 1008 \times 7 = 7056$ एक पूर्ण वर्ग है।
अतः $7056 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7$
$\therefore \sqrt{7056} = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 84$ उत्तर

(iv) अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$2028 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 \times 13$
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग के लिए एक $3$ और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को $3$ से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
$\therefore 2028 \times 3 = 6084$
अतः $6084 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 13 \times 13$
$\therefore \sqrt{6084} = 2 \times 3 \times 13 = 78$ उत्तर

(v) अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$1458 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए एक $2$ और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को $2$ से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
$\therefore 1458 \times 2 = 2916$
अतः $2916 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
$\therefore \sqrt{2916} = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 54$ उत्तर

(vi) अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
$768 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए एक $3$ और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को $3$ से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
$\therefore 768 \times 3 = 2304$
अतः $2304 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore \sqrt{2304} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48$ उत्तर

प्रश्न 6. निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) $252$ (ii) $2925$ (iii) $396$
(iv) $2645$ (v) $2800$ (vi) $1620$

हल :

(i) अभाज्य गुणनखंड द्वारा:
$252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$
चूँकि अभाज्य गुणनखंड $7$ का युग्म नहीं है।
$\therefore$ दी गई संख्या को $7$ से भाग दिया जाएगा। उत्तर
$\therefore \frac{252}{7} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7}{7}$

$= 2 \times 2 \times 3 \times 3$
$= 36$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और $\sqrt{36} = \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3} = 2 \times 3 = 6$ उत्तर

(ii) अभाज्य गुणनखंड द्वारा:
$2925 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 13$
चूँकि अभाज्य गुणनखंड $13$ का युग्म नहीं है।
$\therefore$ दी गई संख्या को $13$ से भाग दिया जाएगा। उत्तर
$\therefore \frac{2925}{13} = \frac{3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 13}{13}$

$= 3 \times 3 \times 5 \times 5$
$= 225$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और $\sqrt{225} = \sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5} = 3 \times 5 = 15$ उत्तर

(iii) अभाज्य गुणनखंड द्वारा:
$396 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11$
चूँकि अभाज्य गुणनखंड $11$ का युग्म नहीं है।
$\therefore$ दी गई संख्या को $11$ से भाग दिया जाएगा। उत्तर
$\therefore \frac{396}{11} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11}{11}$

$= 2 \times 2 \times 3 \times 3$
$= 36$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और $\sqrt{36} = \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3} = 2 \times 3 = 6$ उत्तर

(iv) अभाज्य गुणनखंड द्वारा:
$2645 = 5 \times 23 \times 23$
चूँकि अभाज्य गुणनखंड $5$ का युग्म नहीं है।
$\therefore$ दी गई संख्या को $5$ से भाग दिया जाएगा। उत्तर
$\therefore \frac{2645}{5} = \frac{5 \times 23 \times 23}{5}$

$= 23 \times 23 = 529$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और $\sqrt{529} = \sqrt{23 \times 23} = 23$ उत्तर

(v) अभाज्य गुणनखंड द्वारा:
$2800 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7$
चूँकि अभाज्य गुणनखंड $7$ का युग्म नहीं है।
$\therefore$ दी गई संख्या को $7$ से भाग दिया जाएगा। उत्तर
$\therefore \frac{2800}{7} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7}{7}$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5$
$= 400$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और $\sqrt{400} = \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5} = 2 \times 2 \times 5 = 20$ उत्तर

(vi) अभाज्य गुणनखंड द्वारा:
$1620 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5$
चूँकि अभाज्य गुणनखंड $5$ का युग्म नहीं है।
$\therefore$ दी गई संख्या को $5$ से भाग दिया जाएगा। उत्तर
$\therefore \frac{1620}{5} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5}{5}$

$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
$= 324$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और $\sqrt{324} = \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = 2 \times 3 \times 3 = 18$ उत्तर

प्रश्न 7. एक विद्यालय में कक्षा $VIII$ के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राष्ट्रीय राहत कोष में $2401$ रुपए दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपए दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : माना कक्षा में कुल विद्यार्थी $x$ हैं। अतः विद्यार्थियों द्वारा दान की गई कुल राशि $= (x \times x)$ रुपए $= x^2$ रुपए।

वास्तविक दान दी गई राशि $= 2401$ रुपए
$x^2 = 2401$
या $x = \sqrt{2401}$

$= \sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7}$
$= 7 \times 7 = 49$
अतः कक्षा में छात्रों की संख्या $49$ है। उत्तर

प्रश्न 8. एक बाग में $2025$ पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल—माना $x$ पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में $x$ पौधे हैं।

$\therefore$ कुल पौधों की संख्या $= x \times x = x^2$
$\therefore$ पौधों की वास्तविक संख्या $= 2025$
$\therefore x^2 = 2025 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
या $x = \sqrt{2025} = 3 \times 3 \times 5 = 45$

अतः, पंक्तियों की संख्या $45$ और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या $45$ होगी। उत्तर

प्रश्न 9. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो $4, 9$ और $10$ प्रत्येक से विभाजित हो जाए।

हल— वह सबसे छोटी संख्या जो $4, 9$ और $10$ से विभाजित हो, वह इनका ल.स. होगा। जो $(2 \times 2 \times 9 \times 5)$, अर्थात् $180$ है।

अब, $180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$
इसको पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसे $5$ से गुणा किया जाएगा।
$\therefore$ वांछित संख्या $= 180 \times 5 = 900$ उत्तर

प्रश्न 10. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक $8, 15$ और $20$ से विभाजित हो जाए।

हल— वह सबसे छोटी संख्या जो $8, 15$ और $20$ से पूर्ण विभाजित हो वह इनका ल.स. होगा। जो $(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 3)$ अर्थात् $120$ है।

अब $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$
इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम $2 \times 3 \times 5$ अर्थात् $30$ से गुणा करेंगे।
$\therefore$ वांछित संख्या $= 120 \times 30 = 3600$ उत्तर

प्रश्नावली 5.4

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए—
(i) $2304$ (ii) $4489$ (iii) $3481$
(iv) $529$ (v) $3249$ (vi) $1369$
(vii) $5776$ (viii) $7921$ (ix) $576$
(x) $1024$ (xi) $3136$ (xii) $900$

हल—भाग विधि द्वारा संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करना—

(i) $2304$
$4 \mid \overline{23}\overline{04}$
$4 \mid -16$
$88 \mid 704$
$88 \mid -704$
$\therefore \sqrt{2304} = 48$ उत्तर

(ii) $4489$
$6 \mid \overline{44}\overline{89}$
$6 \mid -36$
$127 \mid 889$
$127 \mid -889$
$\therefore \sqrt{4489} = 67$ उत्तर

(iii) $3481$
$5 \mid \overline{34}\overline{81}$
$5 \mid -25$
$109 \mid 981$
$109 \mid -981$
$\therefore \sqrt{3481} = 59$ उत्तर

(iv) $529$
$2 \mid \overline{5}\overline{29}$
$2 \mid -4$
$43 \mid 129$
$43 \mid -129$
$\therefore \sqrt{529} = 23$ उत्तर

(v) $3249$
$5 \mid \overline{32}\overline{49}$
$5 \mid -25$
$107 \mid 749$
$107 \mid -749$
$\therefore \sqrt{3249} = 57$ उत्तर

(vi) $1369$
$3 \mid \overline{13}\overline{69}$
$3 \mid -9$
$67 \mid 469$
$67 \mid -469$
$\therefore \sqrt{1369} = 37$ उत्तर

(vii) $5776$
$7 \mid \overline{57}\overline{76}$
$7 \mid -49$
$146 \mid 876$
$146 \mid -876$
$\therefore \sqrt{5776} = 76$ उत्तर

$\therefore \sqrt{5776} = 76$ उत्तर

(viii) $7921$
$8 \mid \overline{7921}$
$\quad -64$
$169 \mid 1521$
$\quad -1521$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{7921} = 89$ उत्तर

(ix) $576$
$2 \mid \overline{576}$
$\quad -4$
$44 \mid 176$
$\quad -176$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{576} = 24$ उत्तर

(x) $1024$
$3 \mid \overline{1024}$
$\quad -9$
$62 \mid 124$
$\quad -124$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{1024} = 32$ उत्तर

(xi) $3136$
$5 \mid \overline{3136}$
$\quad -25$
$106 \mid 636$
$\quad -636$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{3136} = 56$ उत्तर

(xii) $900$
$3 \mid \overline{900}$
$\quad -9$
$60 \mid 000$
$\quad -000$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{900} = 30$ उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए (बिना गणना के)-
(i) $64$ (ii) $144$ (iii) $4489$
(iv) $27225$ (v) $390625$

हल- हम जानते हैं कि यदि एक पूर्ण वर्ग $n$ अंकों का है तो इसके वर्गमूल में $\frac{n}{2}$ अंक होंगे, यदि $n$ सम है और $\frac{n+1}{2}$ अंक होंगे, यदि $n$ विषम है।

(i) दी गई संख्या $64$ है इसमें $2$ अंक हैं अर्थात् अंकों की संख्या सम है।
$\therefore \sqrt{64}$ में अंकों की संख्या $\left(\frac{2}{2}\right)$, अर्थात् $1$ उत्तर

(ii) दी गई संख्या $144$ है। इसमें $3$ अंक हैं। अर्थात् अंकों की संख्या विषम है।
$\therefore \sqrt{144}$ में $\left(\frac{3+1}{2}\right)$, अर्थात् $2$ अंक होंगे। उत्तर

(iii) दी गई संख्या $4489$ है। इसमें $4$ अंक हैं। अर्थात् अंकों की संख्या सम है।
$\therefore \sqrt{4489}$ में $\left(\frac{4}{2}\right)$, अर्थात् $2$ अंक होंगे। उत्तर

(iv) दी गई संख्या $27225$ है। इसमें $5$ अंक हैं अर्थात् अंकों की संख्या विषम है।
$\therefore \sqrt{27225}$ में $\left(\frac{5+1}{2}\right)$, अर्थात् $3$ अंक होंगे। उत्तर

(v) दी गई संख्या $390625$ है। इसमें $6$ अंक हैं अर्थात् अंकों की संख्या सम है।
$\therefore \sqrt{390625}$ में $\left(\frac{6}{2}\right)$, अर्थात् $3$ अंक होंगे। उत्तर

प्रश्न 3. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए-
(i) $2.56$ (ii) $7.29$ (iii) $51.84$
(iv) $42.25$ (v) $31.36$

हल-(i) $2.56$

$1 \mid \overline{2.56}$
$\quad -1$
$26 \mid 156$
$\quad -156$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{2.56} = 1.6$ उत्तर

(ii) $7.29$
$2 \mid \overline{7.29}$
$\quad -4$
$47 \mid 329$
$\quad -329$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{7.29} = 2.7$ उत्तर

608

(iii) $51.84$
$7 \mid \overline{51}.\overline{84}$
$\quad -49$
$142 \mid \quad 284$
$\quad -284$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{51.84} = 7.2$ उत्तर

(iv) $42.25$
$6 \mid \overline{42}.\overline{25}$
$\quad -36$
$125 \mid \quad 625$
$\quad -625$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{42.25} = 6.5$ उत्तर

(v) $31.36$
$5 \mid \overline{31}.\overline{36}$
$\quad -25$
$106 \mid \quad 636$
$\quad -636$
$\quad \quad 0$
$\therefore \sqrt{31.36} = 5.6$ उत्तर

प्रश्न 4. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए-
(i) $402$ (ii) $1989$ (iii) $3250$
(iv) $825$ (v) $4000$

हल—(i) सर्वप्रथम $402$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

$2 \mid \overline{4}\overline{02}$
$\quad -4$
$40 \mid \quad 002$
$\quad -000$
$\quad \quad 2$
यह स्पष्ट है कि $402$, $(20)^2$ से अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से $2$ घटाया जाएगा।
उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 402 - 2 = 400$
$\sqrt{400} = 20$ उत्तर

(ii) सर्वप्रथम $1989$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-
$4 \mid \overline{19}\overline{89}$
$\quad -16$
$84 \mid \quad 389$
$\quad -336$
$\quad \quad 53$
यह स्पष्ट है कि $1989$, $(44)^2$ से $53$ अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से $53$ घटाएंगे।
उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 1989 - 53 = 1936$
$\sqrt{1936} = 44$ उत्तर

(iii) सर्वप्रथम $3250$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-
$5 \mid \overline{32}\overline{50}$
$\quad -25$
$107 \mid \quad 750$
$\quad -749$
$\quad \quad 1$
यह स्पष्ट है कि $3250$, $(57)^2$ से $1$ अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से $1$ घटाएंगे।
उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 3250 - 1 = 3249$
$\sqrt{3249} = 57$ उत्तर

(iv) सर्वप्रथम $825$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-
$2 \mid \overline{8}\overline{25}$
$\quad -4$
$48 \mid \quad 425$
$\quad -384$
$\quad \quad 41$
यह स्पष्ट है कि $825$, $(28)^2$ से $41$ अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से $41$ घटाएंगे।
उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 825 - 41 = 784$
$\sqrt{784} = 28$ उत्तर

(v) सर्वप्रथम $4000$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-
$6 \mid \overline{40}\overline{00}$
$\quad -36$
$123 \mid \quad 400$
$\quad -369$
$\quad \quad 31$

यह स्पष्ट है कि $4000$ $(63)^2$ से $31$ अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या में से $31$ घटाया जाएगा। उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 4000 - 31 = 3969$
$\sqrt{3969} = 63$ उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम-से-कम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए-
(i) $525$ (ii) $1750$ (iii) $252$ (iv) $1825$ (v) $6412$

हल-(i) सर्वप्रथम $525$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

$2 \mid \overline{5} \overline{25} \mid 22$
$\quad \mid -4$
$42 \mid 125$
$\quad \mid -84$
$\quad \quad 41$

हम देखते हैं कि $(22)^2 < 525 < (23)^2$
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या $= (23)^2 - 525$

$= 529 - 525 = 4$ उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 525 + 4 = 529$
स्पष्ट है $\sqrt{529} = 23$ उत्तर

(ii) सर्वप्रथम $1750$ का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे-
$4 \mid \overline{17} \overline{50} \mid 41$
$\quad \mid -16$
$81 \mid 150$
$\quad \mid -81$
$\quad \quad 69$

हम देखते हैं कि $(41)^2 < 1750 < (42)^2$
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या $= (42)^2 - 1750$

$= 1764 - 1750 = 14$ उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= (1750 + 14) = 1764$
स्पष्ट है $\sqrt{1764} = 42$ उत्तर

(iii) सर्वप्रथम $252$ का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे-
$1 \mid \overline{2} \overline{52} \mid 15$
$\quad \mid -1$
$25 \mid 152$
$\quad \mid -125$
$\quad \quad 27$

हम देखते हैं कि $(15)^2 < 252 < (16)^2$
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या $= (16)^2 - 252$

$= 256 - 252 = 4$ उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 252 + 4 = 256$
स्पष्ट है $\sqrt{256} = 16$ उत्तर

(iv) सर्वप्रथम $1825$ का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे-
$4 \mid \overline{18} \overline{25} \mid 42$
$\quad \mid -16$
$82 \mid 225$
$\quad \mid -164$
$\quad \quad 61$

हम देखते हैं कि $(42)^2 < 1825 < (43)^2$
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या $= (43)^2 - 1825$

$= 1849 - 1825 = 24$ उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 1825 + 24 = 1849$
स्पष्ट है $\sqrt{1849} = 43$ उत्तर

(v) सर्वप्रथम $6412$ का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे-
$8 \mid \overline{64} \overline{12} \mid 80$
$\quad \mid -64$
$160 \mid 012$
$\quad \mid -000$
$\quad \quad 12$

हम देखते हैं कि $(80)^2 < 6412 < (81)^2$
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या $= (81)^2 - 6412$

$= 6561 - 6412 = 149$ उत्तर
$\therefore$ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या $= 6412 + 149 = 6561$
स्पष्ट है $\sqrt{6561} = 81$ उत्तर

प्रश्न 6. किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल $441 m^2$ है।

हल- क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = 441 m^2$

$\therefore$ भुजा $= \sqrt{441} m = 21 m$ उत्तर

$2 \mid \overline{4} \overline{41} \mid 21$
$\quad \mid -4$
$41 \mid 41$
$\quad \mid -41$
$\quad \quad 0$

प्रश्न 7. किसी समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में, $\angle B = 90^{\circ}$
(a) यदि $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 8 \text{ cm}$ है तो $AC$ ज्ञात कीजिए।
(b) यदि $AC = 13 \text{ cm}$, $BC = 5 \text{ cm}$ है तो $AB$ ज्ञात कीजिए।

हल-(a) समकोण $\triangle ABC$ में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

$AC^2 = AB^2 + BC^2$
अतः $AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$\therefore AC = \sqrt{100} \text{ cm} = 10 \text{ cm}$ उत्तर

हल-(b) समकोण $\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

$AC^2 = AB^2 + BC^2$
या $13^2 = AB^2 + 5^2$
या $169 = AB^2 + 25$
या $AB^2 = 169 - 25 = 144$
$\therefore AB = \sqrt{144} \text{ cm} = 12 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 8. एक माली के पास $1000$ पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।

हल- सर्वप्रथम $1000$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

$31^2 = 961$
$32^2 = 1024$
हम देखते हैं कि $31^2 < 1000 < 32^2$
अतः माली को कम से कम $32^2 - 1000 = 1024 - 1000 = 24$ पौधों की आवश्यकता है जिससे पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के बराबर हो जाएगी। उत्तर

प्रश्न 9. एक विद्यालय में $500$ विद्यार्थी हैं। पी.टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?

हल- सर्वप्रथम $500$ का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

$22^2 = 484$
यह स्पष्ट है कि $500$, $22^2 = 484$ से $16$ अधिक है।
$\therefore 16$ छात्रों को बाहर जाना होगा। उत्तर