RBSE Class 8 Mathematics Chapter 6 Solutions & Notes in Hindi (घन और घनमूल)

पाठगत प्रश्न

पृष्ठ 79 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के घन के इकाई का अंक ज्ञात कीजिए-
(i) $3331$ (ii) $8888$ (iii) $149$
(iv) $1005$ (v) $1024$ (vi) $77$
(vii) $5022$ (viii) $53$

हल-

(i) $3331 \rightarrow 1$, $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
$\therefore 3331$ के घन का इकाई घन $1$ है।

(ii) $8888 \rightarrow 8$, $8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512 \rightarrow 2$
$\therefore 8888$ के घन का इकाई अंक $2$ है।

(iii) $149 \rightarrow 9$, $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729 \rightarrow 9$
$\therefore 149$ के घन का इकाई अंक $9$ है।

(iv) $1005 \rightarrow 5$, $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \rightarrow 5$
$\therefore 1005$ के घन इकाई अंक $5$ है।

(v) $1024 \rightarrow 4$, $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \rightarrow 4$
$\therefore 1024$ के घन का इकाई अंक $4$ है।

(vi) $77 \rightarrow 7$, $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343 \rightarrow 3$
$\therefore 77$ के घन का इकाई अंक $3$ है।

(vii) $5022 \rightarrow 2$, $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \rightarrow 8$
$\therefore 5022$ के घन का इकाई अंक $8$ है।

(viii) $53 \rightarrow 3$, $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \rightarrow 7$
$\therefore 53$ के घन का इकाई अंक $7$ है।

पृष्ठ 79

प्रश्न 1. निम्न प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित संख्याओं को विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए-
(a) $6^3$ (b) $8^3$ (c) $7^3$

हल- प्रतिरूप

$1 = 1^3$
$3 + 5 = 8 = 2^3$
$7 + 9 + 11 = 27 = 3^3$
$13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$
$21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5^3$
उपरोक्त प्रतिरूप के प्रयोग से

(a) $6^3 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216$

(b) $8^3 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 512$

(c) $7^3 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343$

प्रश्न 2. निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए-
$2^3 - 1^3 = 1 + 2 \times 1 \times 3$
$3^3 - 2^3 = 1 + 3 \times 2 \times 3$
$4^3 - 3^3 = 1 + 4 \times 3 \times 3$
उपरोक्त प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
(i) $7^3 - 6^3$ (ii) $12^3 - 11^3$
(iii) $20^3 - 19^3$ (iv) $51^3 - 50^3$

हल- दिए गए प्रतिरूप का प्रयोग करके

(i) $7^3 - 6^3 = 1 + 7 \times 6 \times 3 = 1 + 126 = 127$

(ii) $12^3 - 11^3 = 1 + 12 \times 11 \times 3 = 1 + 396 = 397$

(iii) $20^3 - 19^3 = 1 + 20 \times 19 \times 3 = 1 + 1140 = 1141$

(iv) $51^3 - 50^3 = 1 + 51 \times 50 \times 3 = 1 + 7650 = 7651$

पृष्ठ 80 | प्रयास कीजिए

प्रश्न- निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन हैं?
(i) $400$ (ii) $3375$ (iii) $8000$
(iv) $15625$ (v) $9000$ (vi) $6859$
(vii) $2025$ (viii) $10648$

हल-

(i) $400$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर:
$400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5$
समान गुणनखंडों को त्रिक बनाने पर $2 \times 5 \times 5$ शेष बचते हैं।
$\therefore 400$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(ii) $3375$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर:
$3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है कि $3375$ के समान गुणनखंडों के त्रिक बनाने के बाद कोई गुणनखंड नहीं बचता।
$\therefore 3375$ पूर्ण घन है। उत्तर

(iii) $8000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर:
$8000 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है कि $8000$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने के बाद कोई गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 8000$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(iv) $15625$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है कि $15625$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने के बाद कोई भी गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 15625$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(v) $9000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$9000 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5$
अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर $3 \times 3$ शेष बचते हैं।
$\therefore 9000$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(vi) $6859$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$6859 = 19 \times 19 \times 19$
स्पष्ट है कि $6859$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने के बाद कोई गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 6859$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(vii) $2025$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$2025 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर $3 \times 5 \times 5$ शेष बचते हैं।
$\therefore 2025$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(viii) $10648$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11$
स्पष्ट है कि गुणनखंडों के त्रिक बनाने के बाद कोई गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 10648$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 81

प्रश्न-जाँच कीजिए कि निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन हैं-
(i) $2700$ (ii) $16000$ (iii) $64000$
(iv) $900$ (v) $125000$ (vi) $36000$
(vii) $21600$ (viii) $10000$ (ix) $27000000$
(x) $1000$

इन पूर्ण घनों में आप क्या प्रतिरूप देखते हैं?

हल-(i) $2700$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर

$2700 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर चार गुणनखंड अर्थात् $2 \times 2 \times 5 \times 5$ शेष बचते हैं।
$\therefore 2700$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(ii) $16000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$16000 = 16 \times 1000$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 10 \times 10 \times 10$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
अब यदि हम अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने का प्रयास करते हैं, तो एक गुणनखंड अर्थात् $2$ शेष बचता है।
$\therefore 16000$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(iii) $64000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$64000 = 64 \times 1000$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है कि $64000$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 64000$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(iv) $900$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$900 = 9 \times 100 = 3 \times 3 \times 10 \times 10$

$= 3 \times 3 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
अब यदि हम अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने का प्रयास करते हैं, तो त्रिक नहीं बनता है।
$\therefore 900$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(v) $125000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$125000 = 125 \times 1000$

$= 5 \times 5 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है कि $125000$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 125000$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(vi) $36000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$36000 = 36 \times 1000 = 6 \times 6 \times 10 \times 10 \times 10$

$= 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5$
अब यदि हम अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने का प्रयास करते हैं, तो चार गुणनखंड अर्थात् $2 \times 2 \times 3 \times 3$ शेष बचते हैं।

$\therefore 36000$ पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(vii) $21600$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$21600 = 216 \times 100 = 6 \times 6 \times 6 \times 10 \times 10$

$= 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
अब यदि हम अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने का प्रयास करते हैं, तो चार गुणनखंड अर्थात् $2 \times 2 \times 5 \times 5$ शेष बचते हैं।
$\therefore 21600$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(viii) $10000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$10000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10$

$= 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
अब यदि हम अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने का प्रयास करते हैं, तो दो गुणनखंड अर्थात् $2 \times 5$ शेष बचते हैं।
$\therefore 10000$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(ix) $27000000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$27000000 = 27 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$

$= 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है $27000000$ के अभाज्य गुणनखंड के पूर्ण त्रिक बन जाते हैं।
$\therefore 27000000$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(x) $1000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है कि $1000$ के अभाज्य गुणनखंडों के पूर्ण त्रिक बन जाते हैं।
$\therefore 1000$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

उक्त में से पूर्ण घनों यथा $64000, 125000, 27000000$ तथा $1000$ में हमें यह प्रतिरूप देखने को मिलता है कि इनके अन्त में तीन अथवा छ: शून्य हैं।
अतः $64, 125, 27$ तथा $1$ भी पूर्ण घन संख्याएँ हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
पृष्ठ 83

प्रश्न- बताइए कि सत्य है या असत्य-किसी पूर्णांक $m$ के लिए $m^2 < m^3$ होता है। क्यों?

हल- $m = 2, 3, 4, 5$, आदि लेने पर हम देखते हैं।

जब $m = 2$:
$m^2 = 2^2 = 2 \times 2 = 4$ और $m^3 = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
स्पष्ट है, $4 < 8$ अर्थात् $m^2 < m^3$
जब $m = 3$:
$m^2 = 3^2 = 3 \times 3 = 9$ और $m^3 = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
स्पष्ट है, $9 < 27$, अर्थात् $m^2 < m^3$
जब $m = 4$:
$m^2 = 4^2 = 4 \times 4 = 16$ और $m^3 = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
स्पष्ट है, $16 < 64$, अर्थात् $m^2 < m^3$
जब $m = 5$:
$m^2 = 5^2 = 5 \times 5 = 25$ और $m^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
स्पष्ट है, $25 < 125$, अर्थात् $m^2 < m^3$
लेकिन जब $m = 1$,
$m^2 = 1^2 = 1 \times 1 = 1$ और $m^3 = 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
तो $m^2 < m^3$
अतः, हम कह सकते हैं कि धन पूर्णांक (प्राकृत संख्या) के लिए $m > 1, m^2 < m^3$ सत्य है।
अब, माना $m = -1, -2, -3$ आदि
जब $m = -1$:
$m^2 = (-1)^2 = -1 \times -1 = 1$
और $m^3 = (-1)^3 = -1 \times -1 \times -1 = -1$
स्पष्ट है, $1 > -1$, अर्थात् $m^2 > m^3$
जब $m = -2$:
$m^2 = (-2)^2 = -2 \times -2 = 4$ और
$m^3 = (-2)^3 = -2 \times -2 \times -2 = -8$
स्पष्ट है, $4 > -8$, अर्थात् $m^2 > m^3$
जब $m = -3$:
$m^2 = (-3)^2 = -3 \times -3 = 9$
और $m^3 = (-3)^3 = -3 \times -3 \times -3 = -27$
स्पष्ट है, $9 > -27$, अर्थात् $m^2 > m^3$
लेकिन जब $m = 0$, तो $m^2 = 0$ और $m^3 = 0$
$\therefore m^2 = m^3$
अतः हम कह सकते हैं कि किसी ऋण पूर्णांक $m$ के लिए $m^2 < m^3$ असत्य है।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 6.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन नहीं हैं?
(i) $216$ (ii) $128$ (iii) $1000$ (iv) $100$ (v) $46656$

हल-(i) $216$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर

$216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$
स्पष्ट है $216$ के अभाज्य गुणनखंड के त्रिक बन जाते हैं। कोई भी गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 216$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

616

(ii) $128$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
अब यदि हम अभाज्य गुणनखंडों का त्रिक बनाने का प्रयास करते हैं तो हमारे पास केवल एक गुणनखंड अर्थात् $2$ शेष बचता है।
$\therefore 128$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(iii) $1000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है $1000$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखंड शेष नहीं बचता है।
$\therefore 1000$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

(iv) $100$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$100 = 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है $100$ के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक नहीं बन रहे हैं।
$\therefore 100$ एक पूर्ण घन नहीं है। उत्तर

(v) $46656$ के अभाज्य गुणनखंड करने पर
$46656 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
स्पष्ट है $46656$ के अभाज्य गुणनखंडों के पूर्ण त्रिक बन जाते हैं। कोई गुणनखंड शेष नहीं रहता है।
$\therefore 46656$ एक पूर्ण घन है। उत्तर

प्रश्न 2. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए-
(i) $243$ (ii) $256$ (iii) $72$ (iv) $675$ (v) $100$

हल-(i) $243$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर-

$243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
स्पष्ट है इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $3$ से गुणा करेंगे। उत्तर

(ii) $256$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर-
$256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
स्पष्ट है कि इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $2$ से गुणा करेंगे। उत्तर

(iii) $72$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर-
$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
स्पष्ट है इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $3$ से गुणा करेंगे। उत्तर

(iv) $675$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफलों के रूप में लिखने पर-
$675 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $5$ से गुणा करेंगे। उत्तर

(v) $100$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर-
$100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $2 \times 5$ अर्थात् $10$ गुणा करेंगे। उत्तर

प्रश्न 3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए-
(i) $81$ (ii) $128$ (iii) $135$ (iv) $192$ (v) $704$

हल-(i) $81$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर-

$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3$
स्पष्ट है कि इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $3$ से भाग देंगे। उत्तर

(ii) $128$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर-
$128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
स्पष्ट है कि इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $2$ से भाग देंगे। उत्तर

(iii) $135$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफलों के रूप में लिखेंगे।
$135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5$
स्पष्ट है कि इसे पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $5$ से भाग करेंगे। उत्तर

(iv) $192$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफलों के रूप में लिखें।
$192 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
स्पष्ट है कि इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $3$ से भाग करेंगे। उत्तर

(v) $704$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफलों के रूप में लिखें।
$704 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11$
स्पष्ट है कि इसका पूर्ण घन बनाने के लिए इसे $11$ से भाग करेंगे। उत्तर

प्रश्न 4. परीक्षित प्लास्टिसिन का एक घनाभ बनाता है, जिसकी भुजाएँ $5\text{cm}$, $2\text{cm}$ और $5\text{cm}$ हैं। एक घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?

हल- घनाभ का आयतन $= 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 5 \times 5$

इसका घन बनाने के लिए हमें $2 \times 2 \times 5$ अर्थात् $20$ घनाभों की आवश्यकता होगी। उत्तर

प्रश्नावली 6.2

प्रश्न 1. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए-
(i) $64$
(ii) $512$
(iii) $10648$
(iv) $27000$
(v) $15625$
(vi) $13824$
(vii) $110592$
(viii) $46656$
(ix) $175616$
(x) $91125$

हल-(i) $64$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर

$64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3$
$\therefore \sqrt[3]{64} = (2 \times 2) = 4$ उत्तर

(ii) $512$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$512 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3$
$\therefore \sqrt[3]{512} = (2 \times 2 \times 2) = 8$ उत्तर

(iii) $10648$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11 = 2^3 \times 11^3$
$\therefore \sqrt[3]{10648} = (2 \times 11) = 22$ उत्तर

(iv) $27000$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$27000 = 1000 \times 27 = 10 \times 10 \times 10 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 5^3 \times 3^3$
$\therefore \sqrt[3]{27000} = 2 \times 5 \times 3 = 30$ उत्तर

(v) $15625$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \times 5^3$
$\therefore \sqrt[3]{15625} = 5 \times 5 = 25$ उत्तर

(vi) $13824$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$13824 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 3^3$
$\therefore \sqrt[3]{13824} = (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 24$ उत्तर

(vii) $110592$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$110592 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 3^3$
$\therefore \sqrt[3]{110592} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3) = 48$ उत्तर

618

(viii) $46656$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$46656 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

$= 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \times 3^3$
$\therefore \sqrt[3]{46656} = (2 \times 2 \times 3 \times 3) = 36$ उत्तर

(ix) $175616$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$175616 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7$

$= 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 7^3$
$\therefore \sqrt[3]{175616} = (2 \times 2 \times 2 \times 7) = 56$ उत्तर

(x) $91125$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर
$91125 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5$

$= 3^3 \times 3^3 \times 5^3$
$\therefore \sqrt[3]{91125} = (3 \times 3 \times 5) = 45$ उत्तर

प्रश्न 2. बताइए सत्य है या असत्य-
(i) किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है।
(ii) एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है।
(iii) यदि किसी संख्या का वर्ग $5$ पर समाप्त होता है, तो उसका घन $25$ पर समाप्त होता है।
(iv) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो $8$ पर समाप्त होता है।
(v) दो अंकों की संख्या का घन तीन अंकों वाली संख्या हो सकती है।
(vi) दो अंकों की संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
(vii) एक अंक वाली संख्या का घन एक अंक वाली संख्या हो सकती है।

हल—(i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) असत्य (v) असत्य (vi) असत्य (vii) सत्य

बहुविकल्पीय प्रश्न-

1. सबसे छोटी हार्डी-रामानुजन संख्या है-
   (अ) $729$ (ब) $1729$ (स) $13832$ (द) $4104$

2. $1$ से $1000$ तक की संख्याओं में पूर्ण घन संख्याएँ कितनी हैं?
   (अ) $10$ (ब) $18$ (स) $25$ (द) $52$

3. योग $10^3$ प्राप्त करने के लिए कितनी क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी?
   (अ) $5$ (ब) $8$ (स) $10$ (द) $100$

4. $8^3$ का मान होगा-
   (अ) $64$ (ब) $240$ (स) $256$ (द) $512$

5. $13824$ का घनमूल क्या होगा-
   (अ) $24$ (ब) $56$ (स) $18$ (द) $124$

6. ऐसी सबसे छोटी प्राकृत संख्या कौनसी है जिससे $392$ को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए-
   (अ) $2$ (ब) $3$ (स) $5$ (द) $7$

7. संख्या $9$ की घन संख्या होगी-
   (अ) $27$ (ब) $81$ (स) $343$ (द) $729$

8. $15625$ के घनमूल में इकाई का अंक होगा-
   (अ) $3$ (ब) $4$ (स) $5$ (द) $6$

9. $729$ का घनमूल होगा-
   (अ) $6$ (ब) $7$ (स) $8$ (द) $9$

10. निम्न में से कौनसी पूर्ण घन संख्या नहीं है?-
    (अ) $1331$ (ब) $1000$ (स) $243$ (द) $216$

11. $242$ के घन में इकाई का अंक होगा-
    (अ) $2$ (ब) $4$ (स) $6$ (द) $8$

12. $1728$ के घनमूल में इकाई का अंक होगा-
    (अ) $9$ (ब) $3$ (स) $2$ (द) $1$

13. $1331$ के घनमूल में इकाई का अंक होगा-
    (अ) $4$ (ब) $3$ (स) $2$ (द) $1$

उत्तरमाला

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

1. सम संख्याओं के घन ............. होते हैं। (सम/विषम)

2. संख्या $18$ के घन के इकाई का अंक ............. होगा। (6/2)

3. ............. ज्ञात करने की संक्रिया घन ज्ञात करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है। (वर्गमूल/घनमूल)

4. संकेत ............. घनमूल को व्यक्त करता है। ($\sqrt{}$ / $\sqrt[3]{}$)

5. $857375$ का घनमूल ............. होगा। (85/95)

6. संख्या $125$, संख्या ............. की पूर्ण घन संख्या है। (5/15)

उत्तर- 1. सम 2. 2 3. घनमूल 4. $\sqrt[3]{}$ 5. 95 6. 5

निम्नलिखित कथनों को पढ़कर सत्य/असत्य में से उपयुक्त पर ($\checkmark$) अंकित कीजिये-

1. $1729$ सबसे बड़ी हार्डी-रामानुजन संख्या है। (सत्य/असत्य $\checkmark$)

2. संख्यायें $1, 8, 27$ पूर्णघन संख्यायें हैं। (सत्य $\checkmark$ / असत्य)

3. $10^3$ प्राप्त करने के लिये $10$ क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होती है। (सत्य $\checkmark$ / असत्य)

4. $\sqrt[3]{512} = 8$ होता है। (सत्य $\checkmark$ / असत्य)

5. किसी ऋण पूर्णांक $m$ के लिये, $m^2 < m^3$ होता है। (सत्य/असत्य $\checkmark$)

6. एक संख्या के स्वयं से ही तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या घन संख्या कहलाती है। (सत्य $\checkmark$ / असत्य)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. हार्डी-रामानुजन संख्याओं से आपका क्या आशय है?

उत्तर- वे संख्याएँ जिन्हें दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है, हार्डी-रामानुजन संख्याएँ कहलाती हैं, जैसे- $1729, 4104, 13832$ आदि।

प्रश्न 2. घन संख्या किसे कहते हैं?

उत्तर- एक संख्या को स्वयं से ही तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या घन संख्या कहलाती है।

प्रश्न 3. $9^3$ को विषम संख्याओं के योग के रूप में स्पष्ट कीजिए।

उत्तर- $73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 = 729 = 9^3$

प्रश्न 4. $8000$ का घनमूल अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा ज्ञात कीजिए।

उत्तर- $8000$ के अभाज्य गुणनखण्ड $= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
अतः $\sqrt[3]{8000} = 2 \times 2 \times 5 = 20$ उत्तर

प्रश्न 5. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे $1188$ को भाग देने पर वह पूर्ण घन संख्या बन जाए।

उत्तर- $1188$ के अभाज्य गुणनखण्ड $= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 11$
इनके त्रिक बनाने पर $2 \times 2 \times 11$ शेष रह जाते हैं अतः हमें $1188$ को पूर्ण घन बनाने के लिए इसमें $2 \times 2 \times 11 = 44$ का भाग देना होगा।

प्रश्न 6. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिये, जिससे संख्या $200$ को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाये।

उत्तर- संख्या $200$ के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर $200 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5$
स्पष्ट है इसका पूर्ण घन बनाने के लिये $5$ का गुणा करना पड़ेगा।

प्रश्न 7. $1000$ का घनमूल ज्ञात कीजिये।

हल- संख्या $1000$ के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5$
$1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
$\therefore \sqrt[3]{1000} = 2 \times 5 = 10$ उत्तर

प्रश्न 8. $8000$ का घनमूल ज्ञात कीजिये।

हल- $8000$ के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

$8000 = 8 \times 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 10 \times 10 \times 10$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$
$\therefore \sqrt[3]{8000} = 2 \times 2 \times 5 = 20$ उत्तर

प्रश्न 9. क्या $243$ एक पूर्णघन संख्या है?

हल- $243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

यहाँ $3$ का एक त्रिक बनाने के बाद $3 \times 3$ शेष रहता है। अतः $243$ एक पूर्ण घन नहीं है।

प्रश्न 10. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा $13824$ का घनमूल ज्ञात कीजिये।

हल- $13824 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

$13824 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 3^3$
अतः $\sqrt[3]{13824} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$ उत्तर

प्रश्न 11. क्या $10000$ एक पूर्ण घन संख्या है?

हल- अभाज्य गुणनखण्ड करने पर $10000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10$

यहाँ पृष्ठ की सामग्री का डिजिटल प्रतिलेखन है:

620

यहाँ $10$ का एक त्रिक बनाने के बाद $10$ शेष रहता है। अतः $10000$ एक पूर्ण घन नहीं है।

प्रश्न 12. $347$ के घन में इकाई का अंक लिखिये।

हल— $7 \times 7 \times 7 = 343$

अर्थात् $347$ के घन में इकाई का अंक $3$ होगा।

लघूत्तरात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. क्या $392$ एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो ऐसी सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिये जिससे $392$ को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाये?

उत्तर— $392 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7$
अभाज्य गुणनखंड $7$ तीन के समूह में नहीं आ रहा है। अतः $392$ एक पूर्ण घन नहीं है। इसे पूर्ण घन बनाने के लिये एक और $7$ की आवश्यकता है। इस स्थिति में
$392 \times 7 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7$
$2744 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7$
यहाँ पर $2744$ जो एक पूर्ण घन है।

प्रश्न 2. क्या $53240$ एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो $53240$ को किस सबसे छोटी प्राकृत संख्या से भाग दिया जाए कि भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो?

उत्तर— $53240 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11 \times 5$
यहाँ अभाज्य गुणनखंड में $5$ तीन के समूह में नहीं आ रहा है। अतः $53240$ एक पूर्ण घन नहीं है।
उपरोक्त गुणनखंड में $5$ केवल एक बार आया है। यदि हम दी हुई संख्या को $5$ से भाग दें, तो भागफल के अभाज्य गुणनखंड में $5$ नहीं आएगा।
इस प्रकार, $53240 \div 5 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11$
अतः वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या $5$ है जिससे $53240$ को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त होगा। उस स्थिति में, पूर्ण घन $10648$ होगा।

प्रश्न 3. क्या $1188$ एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो किस सबसे छोटी प्राकृत संख्या से $1188$ को भाग दिया जाए कि भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए?

उत्तर— $1188 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 11$
अभाज्य गुणनखंड $2$ और $11$ तीन-तीन के समूहों में नहीं आ रहे हैं। अतः $1188$ एक पूर्ण घन नहीं है। $1188$ के उपरोक्त गुणनखंड में, अभाज्य $2$ केवल दो बार आ रहा है और अभाज्य $11$ एक बार। अतः यदि हम $1188$ को $2 \times 2 \times 11 = 44$ से भाग दें, तो भागफल के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $11$ नहीं आएंगे।
अतः वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या $44$ है, जिससे $1188$ को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त होगा। साथ ही, परिणामी पूर्ण घन $= 1188 \div 44 = 27 (= 3^3)$