पाठ 8: बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

(v) $4p \times 0 = (4 \times 0) \times p = 0 \times p = 0$ उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लम्बाई...

एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
$(p, q); (10m, 5n); (20x^2, 5y^2); (4x, 3x^2); (3mn, 4np)$

हल- हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल $= l \times b$, जहाँ $l =$ लम्बाई और $b =$ चौड़ाई। अर्थात्

$p \times q = pq$ उत्तर
$10m \times 5n = (10 \times 5) \times (m \times n) = 50mn$ उत्तर
$20x^2 \times 5y^2 = (20 \times 5) \times (x^2 \times y^2) = 100x^2y^2$ उत्तर
$4x \times 3x^2 = (4 \times 3) \times (x \times x^2) = 12x^3$ उत्तर
और $3mn \times 4np = (3 \times 4) \times (m \times n \times n \times p) = 12mn^2p$ उत्तर

प्रश्न 3. गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए-

हल- पूर्ण तालिका निम्न प्रकार है-

प्रश्न 4. ऐसे घनाकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः निम्नलिखित है-
(i) $5a, 3a^2, 7a^4$ (ii) $2p, 4q, 8r$ (iii) $xy, 2x^2y, 2xy^2$ (iv) $a, 2b, 3c$

हल-(i) आयतन $= 5a \times 3a^2 \times 7a^4 = (5 \times 3 \times 7) \times (a \times a^2 \times a^4) = 105a^{1+2+4} = 105a^7$ उत्तर

(ii) आयतन $= 2p \times 4q \times 8r = (2 \times 4 \times 8) \times p \times q \times r = 64pqr$ उत्तर

(iii) आयतन $= xy \times 2x^2y \times 2xy^2 = (1 \times 2 \times 2) \times (x \times x^2 \times x \times y \times y \times y^2) = 4x^{1+2+1}y^{1+1+2} = 4x^4y^4$ उत्तर

(iv) आयतन $= a \times 2b \times 3c = (1 \times 2 \times 3) \times (a \times b \times c) = 6abc$ उत्तर

प्रश्न 5. निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(i) $xy, yz, zx$ (ii) $a, -a^2, a^3$ (iii) $2, 4y, 8y^2, 16y^3$ (iv) $a, 2b, 3c, 6abc$ (v) $m, -mn, mnp$

हल-(i) $xy \times yz \times zx = x \times x \times y \times y \times z \times z = x^{1+1} \times y^{1+1} \times z^{1+1} = x^2y^2z^2$ उत्तर

(ii) $a \times -a^2 \times a^3 = (1 \times -1 \times 1) \times (a \times a^2 \times a^3) = -1 \times a^{1+2+3} = -a^6$ उत्तर

(iii) $2 \times 4y \times 8y^2 \times 16y^3 = (2 \times 4 \times 8 \times 16) \times (y \times y^2 \times y^3) = 1024 \times y^{1+2+3} = 1024y^6$ उत्तर

(iv) $a \times 2b \times 3c \times 6abc = (1 \times 2 \times 3 \times 6) \times (a \times a \times b \times b \times c \times c) = 36a^2b^2c^2$ उत्तर

(v) $m \times -mn \times mnp = (1 \times -1 \times 1) \times (m \times m \times m \times n \times n \times p) = -1 \times m^3 \times n^2 \times p = -m^3n^2p$ उत्तर

प्रश्नावली 8.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए-
(i) $4p, q + r$ (ii) $ab, a - b$ (iii) $a + b, 7a^2b^2$ (iv) $a^2 - 9, 4a$ (v) $pq + qr + rp, 0$

हल-(i) $4p \times (q + r) = 4p \times q + 4p \times r = 4pq + 4pr$ उत्तर

(ii) $ab \times (a - b) = ab \times a - ab \times b = a^2b - ab^2$ उत्तर

(iii) $(a + b) \times 7a^2b^2 = a \times 7a^2b^2 + b \times 7a^2b^2$

$= 7a^3b^2 + 7a^2b^3$ उत्तर

(iv) $(a^2 - 9) \times 4a = a^2 \times 4a - 9 \times 4a$

$= 4a^3 - 36a$ उत्तर

(v) $(pq + qr + rp) \times 0 = 0$ उत्तर

प्रश्न 2. सारणी पूर्ण कीजिए-

हल-पूर्ण सारणी निम्न प्रकार है-

प्रश्न 3. गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(i) $(a^2) \times (2a^{22}) \times (4a^{26})$
(ii) $(\frac{2}{3}xy) \times (\frac{-9}{10}x^2y^2)$
(iii) $(-\frac{10}{3}pq^3) \times (\frac{6}{5}p^3q)$
(iv) $x \times x^2 \times x^3 \times x^4$

हल-(i) $(a^2) \times (2a^{22}) \times (4a^{26}) = (1 \times 2 \times 4) \times (a^2 \times a^{22} \times a^{26}) = 8a^{50}$ उत्तर

(ii) $(\frac{2}{3}xy) \times (\frac{-9}{10}x^2y^2) = (\frac{2}{3} \times \frac{-9}{10}) \times (x \times x^2 \times y \times y^2) = -\frac{3}{5}x^{1+2} \times y^{1+2} = -\frac{3}{5}x^3y^3$ उत्तर

(iii) $(-\frac{10}{3}pq^3) \times (\frac{6}{5}p^3q) = (-\frac{10}{3} \times \frac{6}{5}) \times (p \times p^3 \times q^3 \times q) = -4 \times p^{1+3} \times q^{3+1} = -4p^4q^4$ उत्तर

(iv) $x \times x^2 \times x^3 \times x^4 = x^{1+2+3+4} = x^{10}$ उत्तर

प्रश्न 4. (a) $3x(4x - 5) + 3$ को सरल कीजिए और (i) $x = 3$ एवं (ii) $x = \frac{1}{2}$ के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
(b) $a(a^2 + a + 1) + 5$ को सरल कीजिए और (i) $a = 0$, (ii) $a = 1$ एवं (iii) $a = -1$ के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।

हल-(a) प्रश्नानुसार

$3x(4x - 5) + 3 = 3x \times 4x - 3x \times 5 + 3 = 12x^2 - 15x + 3$ उत्तर

(i) यदि $x = 3$, तो $= 12(3)^2 - 15(3) + 3 = 12 \times 9 - 45 + 3 = 108 - 45 + 3 = 111 - 45 = 66$ उत्तर

(ii) यदि $x = \frac{1}{2}$, तो $= 12(\frac{1}{2})^2 - 15(\frac{1}{2}) + 3 = 12 \times \frac{1}{4} - \frac{15}{2} + 3 = 3 - \frac{15}{2} + 3 = 6 - \frac{15}{2} = \frac{12 - 15}{2} = -\frac{3}{2}$ उत्तर

(b) $a(a^2 + a + 1) + 5 = a^3 + a^2 + a + 5$ उत्तर

(i) यदि $a = 0$, तो $= (0)^3 + (0)^2 + (0) + 5 = 0 + 0 + 0 + 5 = 5$ उत्तर

(ii) यदि $a = 1$, तो $= (1)^3 + (1)^2 + (1) + 5 = 1 + 1 + 1 + 5 = 8$ उत्तर

(iii) यदि $a = -1$, तो $= (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 5 = -1 + 1 - 1 + 5 = -1 + 5 = 4$ उत्तर

प्रश्न 5. (a) $p(p - q), q(q - r)$ एवं $r(r - p)$ को जोड़िए।

(b) $2x (z - x - y)$ एवं $2y (z - y - x)$ को जोड़िए।
(c) $4l (10n - 3m + 2l)$ में से $3l (l - 4m + 5n)$ को घटाइए।
(d) $4c (-a + b + c)$ में से $3a (a + b + c) - 2b (a - b + c)$ को घटाइए।

हल :

(a) $p (p - q) + q (q - r) + r (r - p)$

$= p \times p - p \times q + q \times q - q \times r + r \times r - r \times p$
$= p^2 - pq + q^2 - qr + r^2 - pr$

$= p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr$ उत्तर

(b) $2x (z - x - y) + 2y (z - y - x)$

$= 2xz - 2x^2 - 2xy + 2yz - 2y^2 - 2xy$
$= - 2x^2 - 2y^2 + 2xz + 2yz + (-2 - 2) xy$

$= - 2x^2 - 2y^2 + 2xz + 2yz - 4xy$ उत्तर

(c) $4l (10n - 3m + 2l) - 3l (l - 4m + 5n)$

$= 40ln - 12lm + 8l^2 - 3l^2 + 12lm - 15ln$
$= (40 - 15)ln + (-12 + 12)lm + (8 - 3)l^2$

$= 25ln + 5l^2$ उत्तर

(d) $4c (-a + b + c) - [3a (a + b + c) - 2b (a - b + c)]$

$= 4c (-a + b + c) - 3a (a + b + c) + 2b (a - b + c)$
$= -4ca + 4bc + 4c^2 - 3a^2 - 3ab - 3ac + 2ab - 2b^2 + 2bc$

$= -3a^2 - 2b^2 + 4c^2 + (-3 + 2) ab + (4 + 2)bc + (-4 - 3)ca$
$= -3a^2 - 2b^2 + 4c^2 - ab + 6bc - 7ca$ उत्तर

प्रश्नावली 8.4

प्रश्न 1. द्विपदों को गुणा कीजिए-
(i) $(2x + 5)$ और $(4x - 3)$
(ii) $(y - 8)$ और $(3y - 4)$
(iii) $(2.5l - 0.5m)$ और $(2.5l + 0.5m)$
(iv) $(a + 3b)$ और $(x + 5)$
(v) $(2pq + 3q^2)$ और $(3pq - 2q^2)$
(vi) $(\frac{3}{4}a^2 + 3b^2)$ और $4(a^2 - \frac{2}{3}b^2)$

हल :

(i) $(2x + 5) \times (4x - 3) = 2x(4x - 3) + 5(4x - 3) = 8x^2 - 6x + 20x - 15 = 8x^2 + 14x - 15$ उत्तर

(ii) $(y - 8) \times (3y - 4) = y(3y - 4) - 8(3y - 4) = 3y^2 - 4y - 24y + 32 = 3y^2 - 28y + 32$ उत्तर

(iii) $(2.5l - 0.5m) \times (2.5l + 0.5m) = 2.5l(2.5l + 0.5m) - 0.5m(2.5l + 0.5m) = 6.25l^2 + 1.25lm - 1.25ml - 0.25m^2 = 6.25l^2 - 0.25m^2$ उत्तर $[\because lm = ml]$

(iv) $(a + 3b) \times (x + 5) = a(x + 5) + 3b(x + 5) = ax + 5a + 3bx + 15b$ उत्तर

(v) $(2pq + 3q^2) \times (3pq - 2q^2) = 2pq(3pq - 2q^2) + 3q^2(3pq - 2q^2) = 6p^2q^2 - 4pq^3 + 9pq^3 - 6q^4 = 6p^2q^2 + 5pq^3 - 6q^4$ उत्तर

(vi) $(\frac{3}{4}a^2 + 3b^2) \times 4(a^2 - \frac{2}{3}b^2) = (\frac{3}{4}a^2 + 3b^2)(4a^2 - \frac{8}{3}b^2) = \frac{3}{4}a^2(4a^2 - \frac{8}{3}b^2) + 3b^2(4a^2 - \frac{8}{3}b^2) = 3a^4 - 2a^2b^2 + 12a^2b^2 - 8b^4 = 3a^4 + 10a^2b^2 - 8b^4$ उत्तर

प्रश्न 2. गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(i) $(5 - 2x) (3 + x)$
(ii) $(x + 7y) (7x - y)$
(iii) $(a^2 + b) (a + b^2)$
(iv) $(p^2 - q^2) (2p + q)$

हल :

(i) $(5 - 2x) (3 + x) = 5(3 + x) - 2x(3 + x) = 15 + 5x - 6x - 2x^2 = 15 - x - 2x^2$ उत्तर

(ii) $(x + 7y) (7x - y) = x(7x - y) + 7y(7x - y) = 7x^2 - xy + 49xy - 7y^2 = 7x^2 + 48xy - 7y^2$ उत्तर

(iii) $(a^2 + b) (a + b^2) = a^2(a + b^2) + b(a + b^2) = a^3 + a^2b^2 + ab + b^3$ उत्तर

(iv) $(p^2 - q^2) (2p + q) = p^2(2p + q) - q^2(2p + q) = 2p^3 + p^2q - 2pq^2 - q^3$ उत्तर

प्रश्न 3. सरल कीजिए-
(i) $(x^2 - 5) (x + 5) + 25$
(ii) $(a^2 + 5) (b^3 + 3) + 5$
(iii) $(t + s^2) (t^2 - s)$
(iv) $(a + b) (c - d) + (a - b) (c + d) + 2 (ac + bd)$
(v) $(x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x - y)$
(vi) $(x + y) (x^2 - xy + y^2)$
(vii) $(1.5x - 4y) (1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y$
(viii) $(a + b + c) (a + b - c)$

हल :

(i) $(x^2 - 5) (x + 5) + 25 = x^2(x + 5) - 5(x + 5) + 25 = x^3 + 5x^2 - 5x - 25 + 25 = x^3 + 5x^2 - 5x$ उत्तर

(ii) $(a^2 + 5) (b^3 + 3) + 5 = a^2(b^3 + 3) + 5(b^3 + 3) + 5 = a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 15 + 5 = a^2b^3 + 3a^2 + 5b^3 + 20$ उत्तर

(iii) $(t + s^2) (t^2 - s) = t(t^2 - s) + s^2(t^2 - s) = t^3 - ts + s^2t^2 - s^3$ उत्तर

(iv) $(a + b) (c - d) + (a - b) (c + d) + 2 (ac + bd) = a(c - d) + b(c - d) + a(c + d) - b(c + d) + 2ac + 2bd = ac - ad + bc - bd + ac + ad - bc - bd + 2ac + 2bd = (1 + 1 + 2)ac + (-1 + 1)ad + (1 - 1)bc + (-1 - 1 + 2)bd = 4ac + 0 + 0 + 0 = 4ac$ उत्तर

(v) $(x + y)(2x + y) + (x + 2y)(x - y)$

$= x(2x + y) + y(2x + y) + x(x - y) + 2y(x - y)$
$= 2x^2 + xy + 2xy + y^2 + x^2 - xy + 2xy - 2y^2$

$= (2 + 1)x^2 + (1 + 2 - 1 + 2)xy + (1 - 2)y^2$
$= 3x^2 + 4xy - y^2$ उत्तर

(vi) $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$= x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2)$
$= x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$

$= x^3 + (-1 + 1)x^2y + (1 - 1)xy^2 + y^3$
$= x^3 + (0)x^2y + (0)(xy^2) + y^3 = x^3 + y^3$ उत्तर

(vii) $(1.5x - 4y)(1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y$

$= 1.5x(1.5x + 4y + 3) - 4y(1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y$
$= 1.5x \times 1.5x + 1.5x \times 4y + 1.5x \times 3 - 4y \times 1.5x - 4y \times 4y - 4y \times 3 - 4.5x + 12y$

$= 2.25x^2 + 6xy + 4.5x - 6xy - 16y^2 - 12y - 4.5x + 12y$
$= 2.25x^2 + (6 - 6)xy + (4.5 - 4.5)x - 16y^2 + (-12 + 12)y$

$= 2.25x^2 + (0)xy + (0)x - 16y^2 + (0)y$
$= 2.25x^2 + 0 + 0 - 16y^2 + 0$

$= 2.25x^2 - 16y^2$ उत्तर