RBSE कक्षा 8 गणित पाठ 9: क्षेत्रमिति सम्पूर्ण हल

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📖 1. संपूर्ण समाधान (अभ्यास एवं पाठगत हल) 📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु व सूत्र (Notes & Summary) ⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

भाग 1 — समाधान (Solutions)

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

राजस्थान बोर्ड कक्षा 8 गणित — पाठगत प्रश्न एवं अभ्यास के चरण-दर-चरण सटीक हल।

पाठगत प्रश्न

पृष्ठ 112 | प्रयास कीजिए

प्रश्न (i) निम्नलिखित बहुभुजों (आकृति देखिए) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन्हें विभिन्न भागों (त्रिभुजों एवं समलम्बों) में विभाजित कीजिए।

चित्र: बहुभुज FGHI और बहुभुज MNOPQR के चित्र

बहुभुज EFGHI का एक विकर्ण FI है।
बहुभुज MNOPQR का एक विकर्ण NQ है।

हल-(i) बहुभुज EFGHI को जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, अलग-अलग भागों में बाँटा जाता है।

चित्र: बहुभुज EFGHI का विभाजन

बहुभुज EFGHI का क्षेत्रफल

$= \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{EFI}) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{FLG}) + \text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब LKHG}) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{HKI})$
$= \frac{1}{2} \times \text{FI} \times \text{EM} + \frac{1}{2} \times \text{FL} \times \text{GL} + \frac{1}{2} (\text{KH} + \text{LG}) \times \text{LK} + \frac{1}{2} \times \text{KI} \times \text{KH}$

बहुभुज MNOPQR को जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, अलग-अलग भागों में बाँटा जाता है।

चित्र: बहुभुज MNOPQR का विभाजन

बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल

$= \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{MBN}) + \text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब MBDR}) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{RDQ}) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{PCQ}) + \text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब CPOA}) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{OAN})$
$= \frac{1}{2} \times \text{BN} \times \text{MB} + \frac{1}{2} \times (\text{DR} + \text{MB}) \times \text{BD} + \frac{1}{2} \times \text{QD} \times \text{RD} + \frac{1}{2} \times \text{CQ} \times \text{PC} + \frac{1}{2} \times (\text{CP} + \text{AO}) \times \text{AC} + \frac{1}{2} \times \text{NA} \times \text{OA}$

प्रश्न (ii) बहुभुज ABCDE को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि $\text{AD} = 8 \text{ cm}, \text{AH} = 6 \text{ cm}, \text{AG} = 4 \text{ cm}, \text{AF} = 3 \text{ cm}$ और लंब $\text{BF} = 2 \text{ cm}, \text{CH} = 3 \text{ cm}, \text{EG} = 2.5 \text{ cm}$ तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चित्र: बहुभुज ABCDE का विभाजन

हल- बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल

$= \triangle \text{AFB}$ का क्षेत्रफल $+$ समलम्ब $\text{FBCH}$ का क्षेत्रफल $+$ $\triangle \text{CHD}$ का क्षेत्रफल $+$ $\triangle \text{ADE}$ का क्षेत्रफल
$= \frac{1}{2} \times \text{AF} \times \text{BF} + \frac{1}{2} \times (\text{BF} + \text{CH}) \times \text{FH} + \frac{1}{2} \times \text{HD} \times \text{CH} + \frac{1}{2} \times \text{AD} \times \text{GE}$

$= \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times 3 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times 8 \times 2.5 \text{ cm}^2$
$[\because \text{FH} = \text{AH} - \text{AF} = (6 - 3) \text{ cm} = 3 \text{ cm}]$ और $\text{HD} = \text{AD} - \text{AH} = (8 - 6) \text{ cm} = 2 \text{ cm}]$

$= \left(3 + \frac{15}{2} + 3 + 10\right) \text{ cm}^2 = \left(\frac{6 + 15 + 6 + 20}{2}\right) \text{ cm}^2$
$= \frac{47}{2} \text{ cm}^2 = 23 \frac{1}{2} \text{ cm}^2$ उत्तर

प्रश्न (iii) यदि $\text{MP} = 9 \text{ cm}, \text{MD} = 7 \text{ cm}, \text{MC} = 6 \text{ cm}, \text{MB} = 4 \text{ cm}, \text{MA} = 2 \text{ cm}$ तो बहुभुज MNOPQR (आकृति देखिए) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। NA, OC, QD एवं RB विकर्ण MP पर खींचे गए लम्ब हैं।

चित्र: बहुभुज MNOPQR का विभाजन

हल- बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल

$= \triangle \text{MAN}$ का क्षेत्रफल $+$ समलम्ब $\text{ANOC}$ का क्षेत्रफल $+$ $\triangle \text{OCP}$ का क्षेत्रफल $+$ $\triangle \text{MBR}$ का क्षेत्रफल $+$ समलम्ब $\text{RBDQ}$ का क्षेत्रफल $+$ $\triangle \text{QDP}$ का क्षेत्रफल
$= \frac{1}{2} \times \text{MA} \times \text{AN} + \frac{1}{2} \times (\text{AN} + \text{CO}) \times \text{AC} + \frac{1}{2} \times \text{CP} \times \text{CO} + \frac{1}{2} \times \text{MB} \times \text{RB} + \frac{1}{2} \times (\text{RB} + \text{QD}) \times \text{BD} + \frac{1}{2} \times \text{DP} \times \text{QD}$

$= \frac{1}{2} \times 2 \times 2.5 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times (2.5 + 3) \times 4 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times 4 \times 2.5 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times (2.5 + 2) \times 3 \text{ cm}^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \text{ cm}^2$
$[\because \text{AC} = \text{MC} - \text{MA} = (6 - 2) = 4 \text{ cm}, \text{CP} = \text{MP} - \text{MC} = (9 - 6) \text{ cm} = 3 \text{ cm}, \text{BD} = \text{MD} - \text{MB} = (7 - 4) = 3 \text{ cm}$ और $\text{DP} = \text{MP} - \text{MD} = (9 - 7) \text{ cm} = 2 \text{ cm}]$

$= (2.5 + 11 + 4.5 + 5 + 6.75 + 2) \text{ cm}^2 = 31.75 \text{ cm}^2$

640

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 116

प्रश्न- संलग्न आकृति में दर्शाए गए ठोस को बेलन कहना क्यों गलत है?

हल- क्योंकि बेलन की वृत्ताकार सर्वांगसम फलकें होती हैं जो एक-दूसरे के समान्तर होती हैं। इसलिए दिए गए ठोस को बेलन कहना गलत है।

चित्र: Frustum of a cone

पृष्ठ 117 प्रयास कीजिए

प्रश्न- निम्नलिखित घनाभों (आकृति देखिए) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-

चित्र: Cuboid 1 (6cm x 4cm x 2cm)

चित्र: Cuboid 2 (4cm x 4cm x 10cm)

हल-(i) दिया गया है-

लम्बाई $(l) = 6 \text{ cm}$ , चौड़ाई $(b) = 4 \text{ cm}$ तथा ऊँचाई $(h) = 2 \text{ cm}$
$\therefore$ घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2(lb + bh + hl)$
$= 2(6 \times 4 + 4 \times 2 + 2 \times 6)$

$= 2(24 + 8 + 12)$
$= 2 \times 44$

$= 88 \text{ cm}^2$ उत्तर

(ii) दिया गया है-
लम्बाई $(l) = 4 \text{ cm}$ , चौड़ाई $(b) = 4 \text{ cm}$ तथा ऊँचाई $(h) = 10 \text{ cm}$
$\therefore$ घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2(lb + bh + hl)$
$= 2(4 \times 4 + 4 \times 10 + 10 \times 4)$

$= 2(16 + 40 + 40)$
$= 192 \text{ cm}^2$ उत्तर

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 118

प्रश्न 1. क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + $2 \times$ आधार का क्षेत्रफल?

हल- हाँ, हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + $2 \times$ आधार का क्षेत्रफल।

प्रश्न 2. यदि हम किसी घनाभ [आकृति (i)] की ऊँचाई और आधार की लम्बाई को परस्पर बदलकर एक दूसरा घनाभ [आकृति (ii)] प्राप्त कर लें तो क्या पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा?

चित्र: Cuboid (i) and (ii) with dimensions l, b, h

(i) (ii)

हल- घनाभ (i) का पार्श्व क्षेत्रफल $= 2(l + b)h$

और घनाभ (ii) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(h + b) \times l$
स्पष्ट रूप से, ये परिणाम भिन्न हैं। अतः, घनाभ की स्थिति को बदलने से इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाता है।

पृष्ठ 119 प्रयास कीजिए

प्रश्न- घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चित्र: Cube A (10cm) and Cube B (8cm)

A B

हल- घन (A) का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6l^2$

$= 6(10)^2 \text{ cm}^2$
$= 600 \text{ cm}^2$ उत्तर
घन (B) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l + l) \times l$

$= 2(8 + 8) \times 8 \text{ cm}^2$
$= 2 \times 16 \times 8 \text{ cm}^2$

$= 256 \text{ cm}^2$ उत्तर

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 119

प्रश्न (i) $b$ भुजा वाले दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (आकृति)। इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह $12b^2$ है? क्या ऐसे तीन घनों...

को मिलाकर बनाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $18b^2$ है? क्यों?

चित्र: Three cubes joined together

(ii) न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे?

(iii) किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेंट करने के पश्चात् उस घन को समान विमाओं वाले 64 घनों में काटा जाता है (आकृति)। इनमें से कितने घनों का कोई भी फलक पेंट नहीं हुआ है? कितने घनों का 1 फलक पेंट हुआ है? कितने घनों के 2 फलक पेंट हुए हैं? कितने घनों के तीन फलक पेंट हुए हैं?

चित्र: A large cube made of 64 smaller cubes

हल-(i) यदि दो घन को मिलाने से हमें एक घनाभ मिलता है जिसकी

लम्बाई, $L = b + b = 2b$ इकाई
चौड़ाई, $B = b$ इकाई
ऊँचाई, $H = b$ इकाई
$\therefore$ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(LB + BH + LH)$

$= 2(2b \times b + b \times b + 2b \times b)$ वर्ग इकाई
$= 2(2b^2 + b^2 + 2b^2)$ वर्ग इकाई $= 10b^2$ वर्ग इकाई
इसलिए, यह $12b^2$ नहीं है।
यदि तीन घन को क्रम में मिलाया जाये, तब इस प्रकार प्राप्त घनाभ की विमाएँ निम्न होंगी-
$L = \text{लम्बाई} = 3b, B = \text{चौड़ाई} = b$ और $H = \text{ऊँचाई} = b$
$\therefore$ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(LB + BH + LH)$

$= 2(3b \times b + b \times b + 3b \times b)$ वर्ग इकाई
$= 2(3b^2 + b^2 + 3b^2)$ वर्ग इकाई $= 14b^2$ वर्ग इकाई
इसलिए, यह $18b^2$ नहीं है।

(ii) बराबर भुजाओं के 12 घनों को मिलाने से निम्न घनाभ प्राप्त होता है-

(a)

चित्र: 12 cubes in a row

इस स्थिति में : $l = 12b, b = b$ तथा $h = b$
$\therefore$ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(12b \times b + b \times b + 12b \times b)$

$= 2(12b^2 + b^2 + 12b^2) = 50b^2$

(b)

चित्र: 6x2 cubes arrangement

इस स्थिति में : $l = 6b, b = b$ तथा $h = 2b$
$\therefore$ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(6b \times b + b \times 2b + 6b \times 2b)$

$= 2(6b^2 + 2b^2 + 12b^2) = 40b^2$

(c)

चित्र: 4x3 cubes arrangement

इस स्थिति में : $l = 4b, b = b$ तथा $h = 3b$
$\therefore$ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(4b \times b + b \times 3b + 4b \times 3b)$

$= 2(4b^2 + 3b^2 + 12b^2) = 38b^2$

अतः, सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए घनों को, जैसा कि (c) में दर्शाया गया है, व्यवस्थित किया जा सकता है।

(iii) उन घनों की संख्या जिनकी एक भी फलक पेंट नहीं की हुई है $= 16$
उन घनों की संख्या जिनकी एक फलक पेंट की हुई है $= 24$
उन घनों की संख्या जिनकी दो फलक पेंट की हुई हैं $= 16$
उन घनों की संख्या जिनकी तीन फलकें पेंट की हुई हैं $= 8$

पृष्ठ 121 | प्रयास कीजिए

प्रश्न-निम्नलिखित बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-

चित्र: Cylinder (i) r=7cm, h=8cm | Cylinder (ii) d=2m, h=2m

हल-(i) यहाँ, $r = 14 \text{ cm}$ और $h = 8 \text{ cm}$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh + 2\pi r^2$

$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 8 + 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\right) \text{cm}^2$
$= (704 + 1232) \text{cm}^2 = 1936 \text{ cm}^2$ उत्तर

(ii) यहाँ, $r = \frac{2}{2} \text{ m} = 1 \text{ m}$ तथा $h = 2 \text{ m}$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh + 2\pi r^2$

$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times 1 \times 2 + 2 \times \frac{22}{7} \times 1 \times 1\right) \text{m}^2$

642

$= \left(\frac{88}{7} + \frac{44}{7}\right) \text{m}^2 = \frac{132}{7} \text{m}^2$
$= 18\frac{6}{7} \text{m}^2$ उत्तर

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 121

प्रश्न- नोट कीजिए कि किसी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय (वक्र पृष्ठीय) क्षेत्रफल, आधार की परिधि $\times$ बेलन की ऊँचाई के समान होता है। क्या हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप $\times$ घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?

हल- हम जानते हैं कि घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2(l + b) \times h$
$= \text{आधार का परिमाप} \times \text{ऊँचाई}$

चित्र: घनाभ का चित्र

इस प्रकार, हम एक घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप $\times$ घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं।

पृष्ठ 124

प्रश्न- समान आकार (प्रत्येक घन की लम्बाई समान) वाले 36 घन लीजिए, एक घनाभ बनाने के लिए उन्हें व्यवस्थित कीजिए। आप इन्हें अनेक रूपों में व्यवस्थित कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी पर विचार कीजिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

घनाभ	लम्बाई	चौड़ाई	ऊँचाई	$l \times b \times h = V$
(i)

चित्र: 12x3x1 घनाभ

| 12 | 3 | 1 | $12 \times 3 \times 1 = 36$ |
| (ii)

चित्र: 6x3x2 घनाभ

| .... | .... | .... | .... |
| (iii)

चित्र: 9x1x4 घनाभ

| .... | .... | .... | .... |
| (iv)

चित्र: 6x6x1 घनाभ

| .... | .... | .... | .... |

आप क्या देखते हैं?

हल- रिक्त स्थानों की पूर्ति करने पर सारणी निम्न प्रकार होगी-

घनाभ	लम्बाई	चौड़ाई	ऊँचाई	$l \times b \times h = V$
(i)	12	3	1	$12 \times 3 \times 1 = 36$
(ii)	6	3	2	$6 \times 3 \times 2 = 36$
(iii)	9	1	4	$9 \times 1 \times 4 = 36$
(iv)	6	6	1	$6 \times 6 \times 1 = 36$

हम देखते हैं कि इन घनाभों को बनाने के लिए हमने 36 घनों का प्रयोग किया है। इसलिए प्रत्येक स्थिति में इसका आयतन 36 घन इकाई है। स्पष्ट रूप से, यह लम्बाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊँचाई के बराबर है।

पृष्ठ 125

प्रयास कीजिए
प्रश्न- निम्नलिखित घनाभों (आकृति) का आयतन ज्ञात कीजिए-

चित्र: (i) 8cm x 3cm x 2cm घनाभ

m^2

m^{2}

आधार वाला घनाभ" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: (ii) 24 $m^2$ आधार वाला घनाभ

हल-

(i) घनाभ का आयतन $= (8 \times 3 \times 2) \text{cm}^3 = 48 \text{cm}^3$ उत्तर

(ii) घनाभ का आयतन $= \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$

$= \left(24 \times \frac{3}{100}\right) \text{m}^3 = 0.72 \text{m}^3$ उत्तर

पृष्ठ 125

प्रश्न- निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए-
(a) 4 cm भुजा वाला
(b) 1.5 m भुजा वाला

हल-

(a) घन का आयतन $= (\text{भुजा})^3 = (4)^3 \text{cm}^3 = 64 \text{cm}^3$ उत्तर

(b) घन का आयतन $= (\text{भुजा})^3 = (1.5)^3 \text{m}^3 = 3.375 \text{m}^3$ उत्तर

पृष्ठ 125 | इन्हें कीजिए

प्रश्न— समान आकार वाले $64$ घनों को जितने रूपों में आप व्यवस्थित कर सकते हैं उतने रूपों में व्यवस्थित करते हुए घनाभ बनाइए। प्रत्येक रूप का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है?

हल— कुछ व्यवस्थित रूप इस प्रकार हैं—

क्र.सं.	लम्बाई	चौड़ाई	ऊँचाई	घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl)$
(i)	$64$	$1$	$1$	$= 258$ वर्ग इकाई
(ii)	$32$	$2$	$1$	$= 196$ वर्ग इकाई
(iii)	$16$	$2$	$2$	$= 136$ वर्ग इकाई
(iv)	$16$	$4$	$1$	$= 168$ वर्ग इकाई
(v)	$8$	$4$	$2$	$= 112$ वर्ग इकाई
(vi)	$4$	$4$	$4$	$= 96$ वर्ग इकाई

एवं इस प्रकार प्रत्येक घनाभ का आयतन भी $64$ घन इकाई है।
इसलिए, हम यह नहीं कह सकते कि समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

पृष्ठ 125-126

प्रश्न— एक कम्पनी बिस्कुट बेचती है। बिस्कुटों को पैक करने के लिए घनाभाकार डिब्बों का उपयोग किया जा रहा है। डिब्बा $A \rightarrow 3\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 20\text{ cm}$ , डिब्बा $B \rightarrow 4\text{ cm} \times 12\text{ cm} \times 10\text{ cm}$ । डिब्बे का कौन-सा आकार कम्पनी के लिए आर्थिक दृष्टि से लाभदायक रहेगा? क्यों? क्या आप ऐसे किसी और आकार (विमाएँ) के डिब्बे का सुझाव दे सकते हैं जिसका आयतन इनके समान हो परन्तु इनकी तुलना में आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक हो?

हल— डिब्बा $A$ :

आयतन $= (3 \times 8 \times 20)\text{ cm}^3 = 480\text{ cm}^3$
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(3 \times 8 + 8 \times 20 + 20 \times 3)\text{ cm}^2$

$= 2(24 + 160 + 60)\text{ cm}^2$
$= 2 \times 244\text{ cm}^2 = 488\text{ cm}^2$

डिब्बा $B$ : आयतन $= (4 \times 12 \times 10)\text{ cm}^3 = 480\text{ cm}^3$
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(4 \times 12 + 12 \times 10 + 10 \times 4)\text{ cm}^2$

$= 2(48 + 120 + 40)\text{ cm}^2$
$= 2 \times 208\text{ cm}^2 = 416\text{ cm}^2$

स्पष्ट है कि $B$ प्रकार के डिब्बे का आयतन $= A$ प्रकार के डिब्बे का आयतन
परन्तु, $B$ प्रकार के डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ प्रकार के डिब्बे के पृष्ठीय क्षेत्रफल से कम है।
$\therefore$ डिब्बा $B$ में कम सामग्री लगेगी।
इसलिए डिब्बा $B$ आर्थिक रूप से अधिक लाभदायक है।
एक अन्य प्रकार का डिब्बा जिसका आकार $8\text{ cm} \times 6\text{ cm} \times 10\text{ cm}$ है अर्थात् आयतन $480\text{ cm}^3$ है।
इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(48 + 60 + 80)\text{ cm}^2$

$= 2(188)\text{ cm}^2 = 376\text{ cm}^2$
स्पष्ट है कि इस डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बा $B$ से भी कम है। इसलिए यह दिए गए दोनों प्रकार के डिब्बों से आर्थिक रूप से अधिक लाभदायक है।

पृष्ठ 126 | प्रयास कीजिए

प्रश्न— नीचे दिए बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए—

(i) Cylinder with radius 7cm and height 10cm | (ii) Cylinder with base area 250 <span class=

m^2

m^{2}

and height 2m" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: (i) Cylinder with radius 7cm and height 10cm | (ii) Cylinder with base area 250 $m^2$ and height 2m

हल—

(i) बेलन का आयतन $= \pi r^2h$
जहाँ $r = 7\text{ cm}, h = 10\text{ cm}$

$= \left(\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 10\right)\text{ cm}^3$
$= 1540\text{ cm}^3$ उत्तर

(ii) बेलन का आयतन $= (\text{आधार का क्षेत्रफल}) \times \text{ऊँचाई}$

$= (250 \times 2)\text{ m}^3 = 500\text{ m}^3$ उत्तर

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 9.1
प्रश्न 1. एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार...

644

समलम्ब जैसा है। यदि इसकी समान्तर भुजाएँ $1\text{ m}$ और $1.2\text{ m}$ हैं तथा इन समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी $0.8\text{ m}$ है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चित्र: समलम्ब आकार की मेज

हल- मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल

$= \text{समलम्ब का क्षेत्रफल}$
$= \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times (\text{उनके बीच की दूरी})$

$= \left[ \frac{1}{2} \times (1 + 1.2) \times 0.8 \right] \text{m}^2$
$= \left( \frac{1}{2} \times 2.2 \times 0.8 \right) \text{m}^2$

$= (1.1 \times 0.8) \text{m}^2 = 0.88 \text{m}^2$ उत्तर

प्रश्न 2. एक समलम्ब का क्षेत्रफल $34 \text{ cm}^2$ है और इसकी ऊँचाई $4 \text{ cm}$ है। समान्तर भुजाओं में से एक की $10 \text{ cm}$ लम्बाई है। दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल- माना कि वांछित भुजा की लम्बाई $x \text{ cm}$ है।

तब, समलम्ब का क्षेत्रफल $= \left[ \frac{1}{2} \times (10 + x) \times 4 \right] \text{cm}^2$

$= 2(10 + x) \text{cm}^2$
परन्तु, समलम्ब का क्षेत्रफल $= 34 \text{ cm}^2$ (दिया है)
$\therefore 2(10 + x) = 34$
या $10 + x = 17$
या $x = 17 - 10 = 7$
अतः, दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई $= 7 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 3. एक समलम्ब के आकार के खेत $ABCD$ की बाड़ की लम्बाई $120 \text{ m}$ है। यदि $BC = 48 \text{ m}$ , $CD = 17 \text{ m}$ और $AD = 40 \text{ m}$ है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा $AB$ समान्तर भुजाओं $AD$ तथा $BC$ पर लम्ब है।

चित्र: समलम्ब ABCD

हल- माना कि दिया गया समलम्ब $ABCD$ है जिसमें $BC = 48 \text{ m}$ , $CD = 17 \text{ m}$ और $AD = 40 \text{ m}$

$D$ से, $DL \perp BC$ खींचिए।
अब, $BL = AD = 40 \text{ m}$
और $LC = BC - BL$

$= (48 - 40) \text{ m}$
$= 8 \text{ m}$
समकोण $\triangle DLC$ में पाइथागोरस प्रमेय लगाने पर
$DL^2 = DC^2 - LC^2$

$= 17^2 - 8^2$
$= 289 - 64 = 225$
या $DL = \sqrt{225} = 15 \text{ m}$
अब, समलम्ब $ABCD$ का क्षेत्रफल

$= \frac{1}{2} \times (BC + AD) \times DL$
$= \frac{1}{2} \times (48 + 40) \times 15 \text{ m}^2$

$= (44 \times 15) \text{ m}^2 = 660 \text{ m}^2$ उत्तर

प्रश्न 4. एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण $24 \text{ m}$ है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लम्ब $8 \text{ m}$ एवं $13 \text{ m}$ हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चित्र: चतुर्भुज ABCD with diagonal AC

हल- माना कि दिया गया चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें $BE \perp AC$ और $DF \perp AC$ हैं।

दिया है कि $AC = 24 \text{ m}$ , $BE = 8 \text{ m}$ तथा $DF = 13 \text{ m}$
अब, चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल

$= \triangle ABC \text{ का क्षेत्रफल} + \triangle ACD \text{ का क्षेत्रफल}$
$= \frac{1}{2} \times AC \times BE + \frac{1}{2} \times AC \times DF$

$= \left[ \left( \frac{1}{2} \times 24 \times 8 \right) + \left( \frac{1}{2} \times 24 \times 13 \right) \right] \text{m}^2$
$= (12 \times 8 + 12 \times 13) \text{m}^2$

$= (96 + 156) \text{m}^2 = 252 \text{ m}^2$ उत्तर

प्रश्न 5. किसी समचतुर्भुज के विकर्ण $7.5 \text{ cm}$ एवं $12 \text{ cm}$ हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{विकर्णों का गुणनफल})$

$= \left( \frac{1}{2} \times 7.5 \times 12 \right) \text{cm}^2$
$= 45 \text{ cm}^2$ उत्तर

प्रश्न 6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा $6 \text{ cm}$ और शीर्षलम्ब $4 \text{ cm}$ है। यदि एक...

विकर्ण की लम्बाई $8\text{ cm}$ है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल- माना कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसकी एक भुजा $6\text{ cm}$ है तथा जिसका शीर्ष लम्ब $DE = 4\text{ cm}$ है। आगे, इसका एक विकर्ण $BD = 8\text{ cm}$ है।

समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल

$= 2 \times \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABD)$
$= 2 \times \frac{1}{2} \times AB \times DE$

$= (6 \times 4)\text{ cm}^2$
$= 24\text{ cm}^2$ उत्तर

चित्र: समचतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण BD और शीर्षलम्ब DE दर्शाया गया है

आगे, समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल

$= \frac{1}{2} \times AC \times BD$
या $\frac{1}{2} \times AC \times 8 = 24$
या $AC = 6\text{ cm}$
अतः, दूसरे विकर्ण की लम्बाई $6\text{ cm}$ है। उत्तर

प्रश्न 7. किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की $3000$ टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण $45\text{ cm}$ एवं $30\text{ cm}$ लम्बाई के हैं। $4$ रुपए प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल- फर्श का क्षेत्रफल $= 3000 \times \text{एक टाइल का क्षेत्रफल}$

$= 3000 \times \frac{1}{2} \times 45 \times 30\text{ cm}^2$
$= 1500 \times 45 \times 30\text{ cm}^2$

$= \frac{1500 \times 45 \times 30}{100 \times 100}\text{ m}^2$
$= 202.5\text{ m}^2$
$4$ रुपए प्रति वर्ग मीटर की दर से फर्श को पॉलिश करने का व्यय

$= (4 \times 202.5)\text{ रुपए}$
$= 810\text{ रुपए}$ उत्तर

प्रश्न 8. मोहन एक समलम्ब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समान्तर है और लम्बाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल $10,500\text{ m}^2$ है और दो समान्तर भुजाओं के बीच की लम्बवत् दूरी $100\text{ m}$ है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल- माना कि समलम्ब के आकार के खेत की समान्तर भुजाएँ $x\text{ m}$ तथा $2x\text{ m}$ हैं। तब, इसका क्षेत्रफल

$= \frac{1}{2}(x + 2x) \times 100\text{ m}^2$
$= 50 \times 3x\text{ m}^2$

$= 150x\text{ m}^2$
परन्तु दिया है कि खेत का क्षेत्रफल $10500\text{ m}^2$ है।
$150x = 10500$
या $x = \frac{10500}{150} = 70$
अतः नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई $2 \times 70$ अर्थात्, $140$ मीटर है। उत्तर

चित्र: समलम्ब आकार का खेत

प्रश्न 9. एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- अष्टभुजी पृष्ठ $ABCDEFGH$ का क्षेत्रफल

$= \text{क्षेत्रफल (समलम्ब ABCH)} + \text{क्षेत्रफल (आयत HCDG)} + \text{क्षेत्रफल (समलम्ब GDEF)}$
$= \left[ \frac{1}{2}(5 + 11) \times 4 + 11 \times 5 + \frac{1}{2}(11 + 5) \times 4 \right]\text{ m}^2$

$= (32 + 55 + 32)\text{ m}^2 = 119\text{ m}^2$ उत्तर

चित्र: अष्टभुज ABCDEFGH

प्रश्न 10. एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

चित्र: पंचभुज बगीचा (ज्योति का आरेख और कविता का आरेख)

हल- ज्योति का तरीका-

पंचभुजाकार बगीचे का क्षेत्रफल

$= 2 \times \text{समलम्ब ABEF का क्षेत्रफल}$
$= 2 \times \frac{1}{2} \times (15 + 30) \times \frac{15}{2}\text{ m}^2$

$= \left( 45 \times \frac{15}{2} \right)\text{ m}^2 = 337.5\text{ m}^2$ उत्तर

कविता का तरीका-
पंचभुजाकार बगीचे का क्षेत्रफल

$= \text{क्षेत्रफल (वर्ग ABCE)} + \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{ DEC})$
$= \left[ 15 \times 15 + \frac{1}{2} \times 15 \times 15 \right] \text{m}^2$

$= (225 + 112.5) \text{m}^2$
$= 337.5 \text{m}^2$ उत्तर
हाँ, इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का अन्य तरीका निम्न है-
वांछित क्षेत्रफल ABCDEA

$= \text{क्षेत्रफल (आयत ABPQ)} - 2 \times \text{क्षेत्रफल } (\triangle \text{ CPD})$
$= (15 \times 30) \text{m}^2 - 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{15}{2} \times 15 \text{m}^2$

$= \left( 450 - \frac{225}{2} \right) \text{m}^2 = \left( \frac{900 - 225}{2} \right) \text{m}^2$
$= \frac{675}{2} \text{m}^2 = 337.5 \text{m}^2$ उत्तर

चित्र: पंचभुजाकार बगीचा

प्रश्न 11. संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंत: विमाएँ क्रमशः $24 \text{ cm} \times 28 \text{ cm}$ एवं $16 \text{ cm} \times 20 \text{ cm}$ हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खण्ड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- स्पष्ट रूप से, फ्रेम की चौड़ाई

$= \frac{\text{AB} - \text{PQ}}{2} = \frac{24 - 16}{2} \text{ cm}$
$= \frac{8}{2} \text{ cm} = 4 \text{ cm}$
अब, खण्ड ABQP का क्षेत्रफल

$= \text{खण्ड DCRS का क्षेत्रफल}$
$= \frac{1}{2} \times (\text{AB} + \text{PQ}) \times 4 \text{ cm}^2$

$= 2(24 + 16) \text{ cm}^2$
$= 2 \times 40 \text{ cm}^2 = 80 \text{ cm}^2$ उत्तर
और खण्ड APSD का क्षेत्रफल

$= \text{खण्ड CBQR का क्षेत्रफल}$
$= \frac{1}{2} \times (\text{AD} + \text{PS}) \times 4 \text{ cm}^2$

$= 2(28 + 20) \text{ cm}^2$
$= 2 \times 48 \text{ cm}^2 = 96 \text{ cm}^2$
फ्रेम के खण्डों के क्षेत्रफल क्रमशः $80 \text{ cm}^2, 96 \text{ cm}^2, 80 \text{ cm}^2, 96 \text{ cm}^2$ होंगे। उत्तर

चित्र: पिक्चर फ्रेम आरेख

प्रश्नावली 9.2

प्रश्न 1. दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि नीचे दी आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?

चित्र: दो घनाभाकार डिब्बे (a) और (b)

हल- पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2(lb + bh + lh)$
$= 2(60 \times 40 + 40 \times 50 + 60 \times 50) \text{ cm}^2$

$= 2(2400 + 2000 + 3000) \text{ cm}^2$
$= 2(7400) = 14800 \text{ cm}^2$
दूसरे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 6l^2 = 6 \times 50 \times 50 \text{ cm}^2$
$= 15000 \text{ cm}^2$
क्योंकि पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे से कम है, इसलिए पहला डिब्बा अर्थात् (a) को बनाने में कम सामग्री की आवश्यकता है। उत्तर

प्रश्न 2. $80 \text{ cm} \times 48 \text{ cm} \times 24 \text{ cm}$ माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे $100$ सूटकेसों को ढकने के लिए $96 \text{ cm}$ चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?

हल- सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2(80 \times 48 + 48 \times 24 + 80 \times 24) \text{ cm}^2$
$= 2(3840 + 1152 + 1920) \text{ cm}^2$

$= 2 \times 6912 \text{ cm}^2 = 13824 \text{ cm}^2$
$1$ मीटर तिरपाल का क्षेत्रफल $= (100 \times 96) \text{ cm}^2 = 9600 \text{ cm}^2$
$100$ सूटकेसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 100 \times 13824 \text{ cm}^2$
$100$ सूटकेसों के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई

$= \frac{100 \times 13824}{9600} \text{ मीटर}$
$= 144 \text{ मीटर}$ उत्तर

प्रश्न 3. एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $600 \text{ cm}^2$ है।

हल- माना कि उस घन की एक भुजा की लम्बाई $x \text{ cm}$ है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $600 \text{ cm}^2$ है।

$\therefore 6x^2 = 600$ या $x^2 = 100$ या $x = 10$
अतः, घन की एक भुजा $= 10 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 4. रुखसार ने $1,\text{m} \times 2,\text{m} \times 1.5,\text{m}$ माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया?

एक आयताकार पेटी जिसकी लंबाई <span class=

2\,\text{m}

2 m

, चौड़ाई

1\,\text{m}

और ऊँचाई

1.5\,\text{m}

है।" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: एक आयताकार पेटी जिसकी लंबाई $2\,\text{m}$ , चौड़ाई $1\,\text{m}$ और ऊँचाई $1.5\,\text{m}$ है।

हल— यहाँ, $l = 2,\text{m}$ , $b = 1,\text{m}$ तथा $h = 1.5,\text{m}$

पेंट किया जाने वाला क्षेत्रफल

$= 2bh + 2lh + lb$
$= (2 \times 1 \times 1.5 + 2 \times 2 \times 1.5 + 2 \times 1),\text{m}^2$

$= (3 + 6 + 2),\text{m}^2 = 11,\text{m}^2$ उत्तर

प्रश्न 5. डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15,\text{m}$ , $10,\text{m}$ एवं $7,\text{m}$ है। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से $100,\text{m}^2$ क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?

हल— यहाँ $l = 15,\text{m}$ , $b = 10,\text{m}$ तथा $h = 7,\text{m}$

पेंट किया जाने वाला क्षेत्रफल

$= 2bh + 2lh + lb$
$= (2 \times 10 \times 7 + 2 \times 15 \times 7 + 15 \times 10),\text{m}^2$

$= (140 + 210 + 150),\text{m}^2 = 500,\text{m}^2$
$\therefore$ पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से $100,\text{m}^2$ क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है, इसलिए आवश्यक कैनों की संख्या $= \frac{500}{100} = 5$ उत्तर

प्रश्न 6. वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

r = \frac{7}{2}\,\text{cm}

r = \frac{7}{2} cm

, ऊँचाई

7\,\text{cm}

) और एक घन (भुजा

7\,\text{cm}

)" class="mx-auto rounded-xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 shadow-sm max-w-full block" />

चित्र: एक बेलन (त्रिज्या $r = \frac{7}{2}\,\text{cm}$ , ऊँचाई $7\,\text{cm}$ ) और एक घन (भुजा $7\,\text{cm}$ )

हल—

समानता— दी गई आकृतियों की ऊँचाई एक जैसी है।
अन्तर— (i) एक बेलन है तथा दूसरा घन है।

(ii) बेलन एक ठोस है जो एक आयताकार पटल को उसकी एक भुजा के परितः घुमाने से प्राप्त होता है। जबकि घन एक ठोस है जो छः पृष्ठों से घिरा है।

(iii) बेलन की दो वृत्ताकार फलकें हैं जबकि घन की छः फलकें हैं।
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh$ है, जहाँ $r = \frac{7}{2},\text{cm}$ , $h = 7,\text{cm}$
अतः, क्षेत्रफल $= \left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 7\right)\text{cm}^2 = 154,\text{cm}^2$
और, घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= \text{आधार का परिमाप} \times \text{ऊँचाई}$
$= (4 \times 7 \times 7),\text{cm}^2 = 196,\text{cm}^2$
स्पष्ट रूप से, घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 7. $7,\text{m}$ त्रिज्या और $3,\text{m}$ ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।

हल— यहाँ, $r = 7,\text{m}$ तथा $h = 3,\text{m}$

एक बंद बेलन बनाने के लिए आवश्यक धातु की चादर का क्षेत्रफल

$= \text{बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल}$
$= (2\pi rh + 2\pi r^2),\text{वर्ग इकाई}$

$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 3 + 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\right)\text{m}^2$
$= (132 + 308),\text{m}^2 = 440,\text{m}^2$ उत्तर

प्रश्न 8. एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4224,\text{cm}^2$ है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर $33,\text{cm}$ चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल— जब एक खोखले बेलन को इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटते हैं और एक आयताकार चादर बनाते हैं, तब बेलन के वृत्ताकार आधार की परिधि तथा बेलन की ऊँचाई आयताकार चादर की क्रमशः लम्बाई तथा चौड़ाई होता है। इसलिए, बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आयताकार चादर के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

माना कि चादर की लम्बाई $l$ है।
$\therefore$ चादर का क्षेत्रफल $=$ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
या $l \times 33 = 4224$
या $l = \left(\frac{4224}{33}\right)\text{cm} = 128,\text{cm}$
अब, आयताकार चादर का परिमाप

$= 2(l + b) = 2(128 + 33),\text{cm}$
$= 2 \times 161,\text{cm} = 322,\text{cm}$ उत्तर

प्रश्न 9. किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए $750$ चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास $84,\text{cm}$ और...

चित्र: एक सड़क रोलर का चित्र

648

लम्बाई $1\text{ m}$ है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल—सड़क रोलर एक बेलन है जिसकी त्रिज्या

$r = \left(\frac{84}{2}\right)\text{cm} = 42\text{ cm} = 0.42\text{ m}$
और जिसकी लम्बाई, $h = 1\text{ m}$
रोलर का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2\pi rh$
$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1\right)\text{m}^2 = 2.64\text{ m}^2$
$\therefore$ सड़क रोलर द्वारा $750$ चक्कर में समतल की गई सड़क का क्षेत्रफल

$= (750 \times 2.64)\text{m}^2 = 1980\text{ m}^2$ उत्तर

चित्र: बेलन का चित्र

प्रश्न 10. एक कम्पनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास $14\text{ cm}$ और ऊँचाई $20\text{ cm}$ है। कम्पनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से $2\text{ cm}$ की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

चित्र: बेलनाकार बर्तन जिस पर लेबल लगा है

हल— $\because$ कम्पनी $\frac{14}{2} = 7\text{ cm}$ त्रिज्या तथा $20\text{ cm}$ ऊँचाई के बेलनाकार बर्तन के चारों तरफ इस प्रकार लेबल लगाती है कि ऊपर तथा नीचे से $2\text{ cm}$ की जगह छूटती है।

$\therefore$ हमें उस बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना है जिसकी त्रिज्या $7\text{ cm}$ और ऊँचाई $(20 - 4)\text{ cm}$ अर्थात् $16\text{ cm}$ है।
यह पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \left(2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 16\right)\text{cm}^2$

$= 704\text{ cm}^2$ उत्तर

प्रश्नावली 9.3

प्रश्न 1. आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयतन—
(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

हल—(a) आयतन (b) पृष्ठीय क्षेत्रफल (c) आयतन।

चित्र: बेलनाकार टैंक

प्रश्न 2. बेलन $A$ का व्यास $7\text{ cm}$ और ऊँचाई $14\text{ cm}$ है। बेलन $B$ का व्यास $14\text{ cm}$ और ऊँचाई $7\text{ cm}$ है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

चित्र: दो बेलन A और B

हल—बेलन $B$ का आयतन अधिक है।

बेलन $A$ का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= (2\pi rh + 2\pi r^2)$ वर्ग इकाई
(जहाँ $r = \frac{7}{2}\text{cm}$ तथा $h = 14\text{ cm}$ )

$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 14 + 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right)\text{cm}^2$
$= (308 + 77)\text{cm}^2 = 385\text{ cm}^2$

बेलन $B$ का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= (2\pi rh + 2\pi r^2)$ वर्ग इकाई
(जहाँ $r = 7\text{ cm}$ , $h = 7\text{ cm}$ )

$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 + 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\right)\text{cm}^2$
$= (308 + 308)\text{cm}^2 = 616\text{ cm}^2$

आगे, बेलन $A$ का आयतन $= \pi r^2h$

$= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 14\text{cm}^3 = 539\text{ cm}^3$

और बेलन $B$ का आयतन $= \left(\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\right)\text{cm}^3 = 1078\text{ cm}^3$

इस प्रकार, बेलन $B$ का आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों अधिक हैं। उत्तर

प्रश्न 3. एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल $180\text{ cm}^2$ और जिसका आयतन $900\text{ cm}^3$ है।

हल— घनाभ का आयतन $= 900\text{ cm}^3$

या (आधार का क्षेत्रफल) $\times$ ऊँचाई $= 900\text{ cm}^3$
या $180 \times \text{ऊँचाई} = 900$
या ऊँचाई $= \frac{900}{180} = 5$
अतः घनाभ की ऊँचाई $5\text{ cm}$ है। उत्तर

प्रश्न 4. एक घनाभ की विमाएँ $60\text{ cm} \times 54\text{ cm} \times 30\text{ cm}$

$\text{cm}$ हैं। इस घनाभ के अन्दर $6 \text{ cm}$ भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं?

हल- प्रत्येक घन का किनारा $(l) = 6 \text{ cm}$

$\therefore$ प्रत्येक घन का आयतन $= (l)^3$

$= (6)^3 \text{ cm}^3 = 216 \text{ cm}^3$
घनाभ का आयतन $= (60 \times 54 \times 30) \text{ cm}^3$
घनों की संख्या $= \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{प्रत्येक घन का आयतन}}$

$= \frac{60 \times 54 \times 30}{216}$
$= 10 \times 9 \times 5 = 450 \text{ उत्तर}$

प्रश्न 5. एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन $1.54 \text{ m}^3$ और जिसके आधार का व्यास $140 \text{ cm}$ है।

हल- माना कि उस बेलन की ऊँचाई $h$ है जिसकी त्रिज्या

$r = \frac{140}{2} \text{ cm} = 70 \text{ cm} = \frac{70}{100} \text{ m} = 0.7 \text{ m}$ और आयतन $= 1.54 \text{ m}^3$ है।
अब, आयतन $= 1.54 \text{ m}^3$
या $\pi r^2 h = 1.54$
या $\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times h = 1.54$
या $h = \frac{1.54 \times 7}{22 \times 0.7 \times 0.7} = 1$
अतः, बेलन की ऊँचाई $1 \text{ m}$ उत्तर

प्रश्न 6. एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या $1.5 \text{ m}$ और लम्बाई $7 \text{ m}$ है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

चित्र: दूध का टैंकर

हल- टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा

$= \text{टैंक की धारिता}$
$= \pi r^2 h$ , जहाँ $r = 1.5 \text{ m}$ तथा $h = 7 \text{ m}$

$= \left(\frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \times 7\right) \text{ m}^3$
$= 49.5 \text{ m}^3$

$= (49.5 \times 1000) \text{ लीटर}$ $[\because 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ लीटर}]$
$= 49500 \text{ लीटर उत्तर}$

प्रश्न 7. यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो
(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?
(ii) इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

हल- माना कि घन के किनारे की लम्बाई $x$ इकाई है। तब, इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6x^2$ तथा इसका आयतन $= x^3$ है।

जब इसके किनारे की लम्बाई दुगुनी कर दी गई, तब

(i) इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(2x)^2 = 6 \times 4x^2 = 24x^2$
अतः नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का $4$ गुना है। उत्तर

(ii) इसका आयतन $= (2x)^3 = 8x^3$
अतः नये घन का आयतन मूल घन के आयतन का $8$ गुना है। उत्तर

प्रश्न 8. एक कुंड के अन्दर $60$ लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन $108 \text{ m}^3$ है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

चित्र: पानी का कुंड

हल- कुंड का आयतन $= 108 \text{ m}^3$

$= 108 \times 1000 \text{ लीटर}$
$= 108000 \text{ लीटर}$
$\because$ कुंड में $60$ लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है
$\therefore$ कुंड को भरने में समय लगेगा $= \frac{108000}{60 \times 60}$ घंटे

$= 30 \text{ घंटे उत्तर}$

भाग 2 — पाठ सार (Notes)

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, परिभाषाएँ एवं महत्त्वपूर्ण सूत्र

अध्याय का त्वरित रिवीजन नोट्स, मुख्य संकल्पनाएँ एवं परीक्षा उपयोगी सूत्र।

पाठ सार

(1) किसी बन्द समतल आकृति की सीमा के चारों ओर की दूरी उसका परिमाप कहलाता है और उस आकृति द्वारा घिरे हुए क्षेत्र को उसका क्षेत्रफल कहते हैं।

(2) आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई
आयत की लम्बाई = $\frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}}$ ; आयत की चौड़ाई = $\frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{लम्बाई}}$
आयत का परिमाप = $2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})$

(3) वर्ग का क्षेत्रफल = $(\text{भुजा})^2$ या = $\frac{1}{2} \times (\text{विकर्ण})^2$
वर्ग का परिमाप = $4 \times \text{वर्ग की भुजा}$
वर्ग की एक भुजा = $\sqrt{\text{क्षेत्रफल}}$

(4) त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$

(5) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
समान्तर चतुर्भुज का आधार = $\frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{ऊँचाई}}$ ; समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई = $\frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}}$

(6) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल}$

(7) वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2$ (जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है)

(8) समलम्ब का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं की लम्बाइयों का योग}) \times (\text{उनके बीच की लम्बवत् दूरी})$

(9) एक ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके फलकों के क्षेत्रफलों के योग के समान होता है।

(10) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(lb + bh + hl)$
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6l^2$ (जहाँ $l$ घन की भुजा है)
बेलन का वक्र पृष्ठ = $2\pi rh$
वृत्त की परिधि = $2\pi r$
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(h + r)$

(11) कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = $\text{आधार का परिमाप} \times \text{कमरे की ऊँचाई}$

= $2(l + b) \times h$

(12) किसी ठोस द्वारा घिरी हुई जगह की मात्रा इसका आयतन कहलाती है।

(13) घनाभ का आयतन = $l \times b \times h$
घन का आयतन = $l^3 = l \times l \times l$
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h$

(14) (i) $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$
(ii) $1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$
(iii) $1 \text{ m}^3 = 1000000 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ L}$

भाग 3 — अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A)

परीक्षा उपयोगी वस्तुनिष्ठ (MCQ), अतिलघूत्तरात्मक एवं लघूत्तरात्मक प्रश्नोत्तर।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न-

1. एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई क्रमशः $10$ मी. व $12$ मी. है। इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(अ) $\frac{(10+12)}{2}$
(ब) $10 \times 12$
(स) $\frac{1}{2} \times (12+10)$
(द) $\frac{1}{2} \times (10) \times (12)$

2. एक बॉक्स की लम्बाई $20$ सेमी., चौड़ाई $10$ सेमी. व ऊँचाई $5$ सेमी. है। बॉक्स का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है-
(अ) $20 \times 10 \times 5$
(ब) $2(20 \times 10 + 10 \times 5 + 5 \times 20)$
(स) $2(20 + 10 + 5)$
(द) $2(20 \times 10 \times 5)$

3. एक घन की भुजा $10$ मी. है। घन का क्षेत्रफल होगा-
(अ) $600 \text{ मी.}^2$
(ब) $100 \text{ मी.}^2$
(स) $500 \text{ मी.}^2$
(द) $400 \text{ मी.}^2$

4. एक घन का क्षेत्रफल $36 \text{ सेमी.}^2$ है। घन की भुजा है-
(अ) $\sqrt{9} \text{ सेमी.}$
(ब) $\sqrt{8} \text{ सेमी.}$

650

(स) $\sqrt{6}$ सेमी. (द) $\sqrt{10}$ सेमी.
5. एक घनाभ के आधार का क्षेत्रफल $140$ मी. $^2$ तथा ऊँचाई $3$ मी. है तो घनाभ का आयतन होगा-
(अ) $140 \times 3$ मी. $^3$ (ब) $\frac{140}{3}$ मी. $^3$
(स) $(140 + 3)$ मी. $^3$ (द) $[(140)^2 - (3)^2]$ मी. $^3$
6. एक घन की भुजा $4$ सेमी. हो तो घन का आयतन है-
(अ) $(4)^2$ (ब) $(4)^3$ (स) $(4)^4$ (द) $(4)^5$
7. बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल है-
(अ) $\pi r^2 h$ (ब) $2\pi r(h + r)$
(स) $2\pi rh$ (द) $2\pi r$
8. बेलन की त्रिज्या $3$ सेमी. व ऊँचाई $10$ सेमी. हो तो आयतन होगा-
(अ) $\pi(3)^2 \times (10)$ सेमी. $^3$
(ब) $2\pi(3) (10)$ सेमी. $^2$
(स) $2\pi(3)^2 (10)$ सेमी. $^3$
(द) $\pi(3)^2$ सेमी. $^2$
9. एक घनाभ की लम्बाई $l$ , चौड़ाई $b$ व ऊँचाई $h$ हो तो पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(अ) $lbh$ (ब) $l + b + h$
(स) $lb + bl + hl$ (द) $2(lb + bh + hl)$
10. किसी ठोस द्वारा घिरी हुई जगह की मात्रा उसका कहलाती है-

(अ) क्षेत्रफल (ब) परिमाप
(स) आयतन (द) इनमें से कोई नहीं
11. एक घनाभ के आधार का क्षेत्रफल $25$ सेमी. $^2$ व आयतन $275$ सेमी. $^3$ हो तो उसकी ऊँचाई होगी-
(अ) $10$ सेमी (ब) $11$ सेमी
(स) $12$ सेमी (द) $8$ सेमी
12. एक कमरे का आयतन $80$ मीटर $^3$ है। यदि इसके फर्श का क्षेत्रफल $20$ मीटर $^2$ हो तो कमरे की ऊँचाई है-
(अ) $5$ मीटर (ब) $10$ मीटर
(स) $8$ मीटर (द) $4$ मीटर
13. एक बेलन की त्रिज्या $r$ व ऊँचाई $h$ हो तो उसका आयतन होगा-
(अ) $2\pi rh$ (ब) $2\pi r^2 h$
(स) $\pi r^2 h$ (द) $\pi rh$
14. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $240$ सेमी. $^2$ है। यदि एक विकर्ण की लम्बाई $30$ सेमी. हो तो इसके दूसरे विकर्ण की लम्बाई होगी-
(अ) $10$ सेमी. (ब) $16$ सेमी.
(स) $22$ सेमी. (द) $28$ सेमी.
15. $10$ सेमी. भुजा वाले दो ठोस घनों को साथ-साथ रखने पर प्राप्त घनाभ का आयतन क्या है-
(अ) $500$ सेमी. $^3$ (ब) $2000$ सेमी. $^3$
(स) $1000$ सेमी. $^3$ (द) $1500$ सेमी. $^3$

उत्तरमाला

1.(द)	2.(ब)	3.(अ)	4.(स)	5.(अ)
6.(ब)	7.(स)	8.(अ)	9.(द)	10.(स)
11.(ब)	12.(द)	13.(स)	14.(ब)	15.(ब)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

किसी ठोस का ............ उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। (आयतन/पृष्ठीय क्षेत्रफल)
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल $= 2 \times \dots (l + b)(h/h)$
किसी ठोस द्वारा घिरी हुई जगह की मात्रा इसका ............ कहलाती है। (घनत्व/आयतन)
एक घन के सभी फलक ............ होते हैं। (आयत/सर्वांगसम)
कमरे के आधार का क्षेत्रफल $12$ मीटर $^2$ है तथा ऊँचाई $3$ मीटर है तब आयतन ............ होगा। ( $18m^3/36m^3$ )
एक वर्गाकार पार्क का परिमाप ............ होगा। ( $2 \times \text{भुजा}/4 \times \text{भुजा}$ )

उत्तर- 1. पृष्ठीय क्षेत्रफल 2. $h$ 3. आयतन 4. सर्वांगसम 5. $36m^3$ 6. $4 \times \text{भुजा}$

निम्नलिखित कथनों को पढ़कर सत्य/असत्य चुनिये।

एक ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके फलकों के क्षेत्रफलों के अन्तर के समान होता है। (सत्य/असत्य $\checkmark$ )
$1$ लीटर $= 10000 \text{ cm}^3$ (सत्य/असत्य $\checkmark$ )
$1$ मीटर $^3 = 1000000 \text{ cm}^3$ (सत्य $\checkmark$ /असत्य)
बेलन के आधार की परिधि $= 2\pi r$ (सत्य $\checkmark$ /असत्य)
घनाभ का आयतन $=$ आधार का परिमाप $\times$ ऊँचाई (सत्य/असत्य $\checkmark$ )
बेलन का आयतन $= \frac{1}{3}\pi r^2 h$ (सत्य/असत्य $\checkmark$ )

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. एक ऐसे समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्णों की लम्बाइयाँ $10 \text{ cm}$ और $8.2 \text{ cm}$ हैं।

हल- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल}$

$= \frac{1}{2} \times 10 \times 8.2 = 41 \text{ cm}^2$ उत्तर

प्रश्न 2. एक ईंट $25$ सेमी. $\times 12$ सेमी. $\times 10$ सेमी. है। ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।

हल-ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$= 2(25 \times 12 + 12 \times 10 + 10 \times 25)$
$= 2(300 + 120 + 250)$

$= 2 \times 670$
$= 1340 \text{ सेमी.}^2$ उत्तर

प्रश्न 3. एक घन की भुजा $1$ सेमी. है। इस प्रकार के दो घनों को चिपकाने से बनी आकृति का सम्पूर्ण क्षेत्रफल बताइए।

हल- $2(2 + 1 + 2) \text{ सेमी.}^2$

$= 2 \times 5 = 10 \text{ सेमी.}^2$ उत्तर

प्रश्न 4. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई व ऊँचाई क्रमशः $15$ सेमी., $10$ सेमी. व $8$ सेमी. है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

हल- घनाभ का आयतन $= l \times b \times h$

$= 15 \times 10 \times 8$
$= 1200 \text{ cm}^3$ उत्तर

प्रश्न 5. एक घनाभाकार कक्ष की आन्तरिक माप $12 \text{ m} \times 8 \text{ m} \times 4 \text{ m}$ है। इसकी चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- $l = 12 \text{ m}, b = 8 \text{ m}, h = 4 \text{ m}$

कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल $= 2(l + b) \times h$

$= 2(12 + 8) \times 4$
$= 40 \times 4$

$= 160 \text{ m}^2$ उत्तर

प्रश्न 6. $7$ सेमी. त्रिज्या तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $968 \text{ cm}^2$ वाले बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल- यहाँ बेलन की ऊँचाई $= h$ , त्रिज्या $(r) = 7 \text{ cm}$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r(h + r)$
अतः: $2 \times \frac{22}{7} \times 7(h + 7) = 968$
या $h + 7 = \frac{968}{44}$
या $h = 22 - 7$
अतः: $h = 15 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 7. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $240 \text{ cm}^2$ है और विकर्णों में से एक की लम्बाई $16 \text{ cm}$ हैं, दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिये।

हल- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल}$

माना दूसरा विकर्ण $= d_2$ है
$240 = \frac{1}{2} d_1 d_2$
या $240 \times 2 = d_1 d_2$
या $d_2 = \frac{240 \times 2}{d_1} = \frac{240 \times 2}{16}$
$d_2 = 15 \times 2 = 30 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 8. एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिये जिसकी त्रिज्या $7 \text{ cm}$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $968 \text{ cm}^2$ है।

हल- बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r(h + r)$

$968 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7(h + 7)$
$\frac{968}{2 \times 22} = h + 7$
या $h + 7 = 22$
$h = 15 \text{ cm}$
अतः: बेलन की ऊँचाई $= 15 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 9. एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिये जिसका आयतन $275 \text{ cm}^3$ और आधार का क्षेत्रफल $25 \text{ cm}^2$ है।

हल- घनाभ की ऊँचाई $= \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}}$

$= \frac{275}{25} = 11 \text{ cm}$
घनाभ की ऊँचाई $= 11 \text{ cm}$ उत्तर

प्रश्न 10. एक घन की प्रत्येक भुजा $8$ सेमी लम्बी है, घन का आयतन लिखिये।

हल- घन का आयतन $= (\text{भुजा})^3$

$= (8)^3 = 8 \times 8 \times 8$
$= 512 \text{ cm}^3$ उत्तर

प्रश्न 11. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठ $150$ वर्ग सेमी है तो इसका आयतन ज्ञात कीजिये।

हल- घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (\text{भुजा})^2$

$150 = 6 \times (\text{भुजा})^2$
$\therefore (\text{भुजा})^2 = \frac{150}{6} = 25$
भुजा $= \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$
घन का आयतन $= (\text{भुजा})^3 = (5)^3$

$= 5 \times 5 \times 5$
$= 125 \text{ cm}^3$ उत्तर

प्रश्न 12. एक आयत की लम्बाई $15$ मीटर व चौड़ाई $10$ मीटर हो तो इसका परिमाप का मान लिखिये।

हल- आयत का परिमाप $= 2(\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})$

$= 2(15 + 10)$
$= 2 \times 25 = 50 \text{ मीटर}$ उत्तर

प्रश्न 13. यदि एक घन की प्रत्येक भुजा $1$ सेमी है तो उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का मान लिखिये।

हल- घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (\text{भुजा})^2$

$= 6 \times (1)^2 \therefore (\text{भुजा}) = 1 \text{ cm}$
$= 6 \times 1 = 6 \text{ cm}^2$ उत्तर

प्रश्न 14. दी गई आकृति ABCD का परिमाप ज्ञात कीजिये-

652

चित्र: आयत ABCD

हल- आयत ABCD का परिमाप $= 2 (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})$

$= 2 (9 + 7)$
$= 2 \times 16 = 32 \text{ cm}$ उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. बहुभुज ABCDEF को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, तो बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

चित्र: बहुभुज ABCDEF विभाजित भागों (1, 2, 3, 4) के साथ

हल-

चित्र-1
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{उनके बीच की दूरी}$

$= \frac{1}{2} (30 + 50) \times 50 = 2000 \text{ m}^2$

चित्र-2
वर्ग का क्षेत्रफल $= \text{भुजा} \times \text{भुजा}$

$= 50 \times 50 = 2500 \text{ m}^2$

चित्र-3
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 40 \times (100 - 70)$

$= \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \text{ m}^2$

चित्र-4
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 40 \times 70 = 1400 \text{ m}^2$

अतः बहुभुज का क्षेत्रफल $= 2000 + 2500 + 600 + 1400$

$= 6500 \text{ m}^2$ उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित को हल कीजिये-

(A) एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $240 \text{ cm}^2$ है और विकर्णों में से एक की लम्बाई $30 \text{ सेमी}$ है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिये। इसमें कौनसा विकर्ण अधिक है तथा कितनी अधिक है, ज्ञात कीजिये?
(B) एक बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिये, जिसका आयतन $1.54 \text{ m}^3$ और जिसके आधार का व्यास $140 \text{ cm}$ है।

हल-

(A) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल}$
$240 = \frac{1}{2} \times 30 \times x$
$\therefore$ माना दूसरा विकर्ण $= x$ है।
$240 = 15x$
$\therefore x = \frac{240}{15} = 16$
$30 \text{ सेमी}$ लम्बाई वाला विकर्ण अधिक है।
लम्बाई में अधिक है $= 30 - 16 = 14 \text{ सेमी}$ उत्तर

(B) आयतन $= 1.54 \text{ m}^3$

$= 1.54 \times 100 \times 100 \times 100$
$= 1540000 \text{ cm}^3$
बेलन की त्रिज्या $= \frac{140}{2} = 70 \text{ cm}$
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h$
$1540000 = \frac{22}{7} \times 70 \times 70 \times h$
$h = \frac{1540000 \times 7}{22 \times 70 \times 70} = 100 \text{ सेमी}$
अतः बेलन की ऊँचाई $= 100 \text{ सेमी}$ उत्तर

प्रश्न 3. समलम्ब के आकार के एक खेत का क्षेत्रफल $480 \text{ m}^2$ हैं, दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी $15 \text{ m}$ है और उनमें से एक समांतर भुजा की लम्बाई $20 \text{ m}$ है। दूसरी समांतर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल-

समलम्ब की समांतर भुजाओं में से एक की लम्बाई $a = 20 \text{ m}$ , माना कि दूसरी समांतर भुजा $b$ है, ऊँचाई $h = 15 \text{ m}$
समलम्ब का दिया हुआ क्षेत्रफल $= 480 \text{ m}^2$
समलम्ब का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} h (a + b)$
$\therefore 480 = \frac{1}{2} \times 15 \times (20 + b)$

या $\frac{480 \times 2}{15} = 20 + b$
या $64 = 20 + b$
या $b = 44$ मीटर उत्तर

प्रश्न 4. एक मछलीघर घनाभ के आकार का है जिसके बाह्य माप $80 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$ हैं। इसके तल, पृष्ठभाग वाले फलक और पीछे वाले फलक को रंगीन कागज से ढकना है। आवश्यक कागज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल-

मछलीघर की लम्बाई $= l = 80 \text{ cm}$
मछलीघर की चौड़ाई $= b = 30 \text{ cm}$
मछलीघर की ऊँचाई $= h = 40 \text{ cm}$
आधार का क्षेत्रफल $= l \times b = 80 \times 30 = 2400 \text{ cm}^2$
पृष्ठभाग वाले फलक का क्षेत्रफल $= b \times h = 30 \times 40 = 1200 \text{ cm}^2$
पीछे वाले फलक का क्षेत्रफल $= l \times h = 80 \times 40 = 3200 \text{ cm}^2$

वांछित क्षेत्रफल $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ पीछे वाले फलक का क्षेत्रफल $+ (2 \times \text{पृष्ठभाग वाले फलक का क्षेत्रफल})$

$= 2400 + 3200 + (2 \times 1200) = 8000 \text{ cm}^2$
अतः वांछित रंगीन कागज का क्षेत्रफल $8000 \text{ cm}^2$ है। उत्तर

प्रश्न 5. एक घनाभाकार कक्ष की आंतरिक माप $12 \text{ m} \times 8 \text{ m} \times 4 \text{ m}$ है। यदि सफेदी कराने का खर्च ₹ 5 प्रति वर्ग मीटर है तो उस कक्ष की चार दीवारों पर सफेदी कराने का खर्च ज्ञात कीजिए। यदि उस कमरे की छत की भी सफेदी कराई जाए तो सफेदी कराने का खर्च कितना होगा?

हल-

माना कि, कमरे की लम्बाई $= l = 12 \text{ m}$
कमरे की चौड़ाई $= b = 8 \text{ m}$
कमरे की ऊँचाई $= h = 4 \text{ m}$
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल $=$ आधार का परिमाप $\times$ कमरे की ऊँचाई

$= 2(l + b) \times h = 2(12 + 8) \times 4 = 2 \times 20 \times 4 = 160 \text{ m}^2$
सफेदी कराने का प्रति वर्गमीटर खर्च $= ₹ 5$
इसलिए कमरे की चार दीवारों पर सफेदी कराने का कुल खर्च $= 160 \times 5 = ₹ 800$
छत का क्षेत्रफल $= 12 \times 8 = 96 \text{ m}^2$
छत पर सफेदी कराने का कुल खर्च $= 96 \times 5 = ₹ 480$
सफेदी कराने का कुल खर्च $= 800 + 480 = ₹ 1280$ उत्तर

प्रश्न 6. एक घनाभाकार गोदाम, जिसकी माप $60 \text{ m} \times 40 \text{ m} \times 30 \text{ m}$ है, के अंदर कितने घनाभाकार डिब्बे रखे जा सकते हैं, यदि एक डिब्बे का आयतन $0.8 \text{ m}^3$ है?

हल-

एक डिब्बे का आयतन $= 0.8 \text{ m}^3$
गोदाम का आयतन $= 60 \times 40 \times 30 = 72000 \text{ m}^3$
गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या $= \frac{\text{गोदाम का आयतन}}{\text{1 डिब्बे का आयतन}}$

$= \frac{60 \times 40 \times 30}{0.8} = 90,000$
इस प्रकार गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या $90,000$ है। उत्तर

पाठ 9: क्षेत्रमिति

📖 1. समाधान: अभ्यास एवं पाठ्यपुस्तक के संपूर्ण हल

पाठगत प्रश्न

प्रश्नावली 9.2

प्रश्नावली 9.3

📝 2. नोट्स: मुख्य बिन्दु, परिभाषाएँ एवं महत्त्वपूर्ण सूत्र

⭐ 3. अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A)

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