पाठ 1: संख्या पद्धति

गणित - कक्षा IX

1. संख्या पद्धति

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 1.1

प्रश्न [1]. क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है?

हल - हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है तथा इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है-

$0 = \frac{0}{1}$ यहाँ $p = 0$ तथा $q = 1$
इस प्रश्न के अनुसार $\frac{p}{q}$ में $q$ का मान शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या हो सकती है जैसे $0 = \frac{0}{1}, \frac{0}{2}, \frac{0}{3}, \frac{0}{-1}, \frac{0}{-2}, \frac{0}{-3}$ आदि।
अतः शून्य एक परिमेय संख्या है। उत्तर

प्रश्न [2]. $3$ और $4$ के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल - प्रश्नानुसार माना कि $a = 3$ तथा $b = 4$

अब $3$ तथा $4$ के मध्य की संख्या

$= \frac{a+b}{2} = \frac{3+4}{2} = \frac{7}{2}$
अब $3$ तथा $\frac{7}{2}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{a+b}{2} = \frac{3+\frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{6+7}{2}}{2} = \frac{13}{4}$
$\frac{7}{2}$ तथा $4$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{7}{2}+4}{2} = \frac{\frac{7+8}{2}}{2} = \frac{15}{4}$
अब $\frac{13}{4}$ तथा $\frac{7}{2}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{13}{4}+\frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{13+14}{4}}{2} = \frac{27}{8}$

$\frac{7}{2}$ तथा $\frac{15}{4}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{a+b}{2} = \frac{\frac{7}{2}+\frac{15}{4}}{2} = \frac{\frac{14+15}{4}}{2} = \frac{29}{8}$
अब $\frac{29}{8}$ तथा $\frac{15}{4}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{29}{8}+\frac{15}{4}}{2} = \frac{\frac{29+30}{8}}{2} = \frac{59}{16}$
इस प्रकार $3$ व $4$ के बीच की छ: परिमेय संख्याएँ
क्रमशः $\frac{13}{4}, \frac{27}{8}, \frac{7}{2}, \frac{29}{8}, \frac{59}{16}$ व $\frac{15}{4}$ हैं। उत्तर

वैकल्पिक विधि -

हल - $3$ व $4$ के बीच की छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने की यह भी विधि है। चूँकि हम छ: संख्याएँ ज्ञात करना चाहते हैं इसलिए $6 + 1 = 7$ को हर के रूप में लेकर $3$ और $4$ को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं -

अर्थात् $3 = \frac{3 \times 7}{1 \times 7} = \frac{21}{7}$ तथा $4 = \frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7}$
तब $3$ और $4$ के बीच छ: परिमेय संख्याएँ
क्रमशः $\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}$ व $\frac{27}{7}$ होंगी। उत्तर

प्रश्न [3]. $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल - प्रश्नानुसार माना कि $a = \frac{3}{5}$ तथा $b = \frac{4}{5}$

किन्हीं भी दो संख्याओं $a$ व $b$ के बीच की परिमेय संख्या $= \frac{a+b}{2}$
अर्थात् $\frac{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{3+4}{5}}{2} = \frac{7}{10}$
अब $\frac{3}{5}$ व $\frac{7}{10}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{3}{5} + \frac{7}{10}}{2} = \frac{\frac{6+7}{10}}{2} = \frac{13}{20}$

$\frac{7}{10}$ तथा $\frac{4}{5}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{7}{10} + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{7+8}{10}}{2} = \frac{15}{20}$

$\frac{13}{20}$ तथा $\frac{7}{10}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{13}{20} + \frac{7}{10}}{2} = \frac{\frac{13+14}{20}}{2} = \frac{27}{40}$

$\frac{15}{20}$ तथा $\frac{4}{5}$ के बीच की परिमेय संख्या

$= \frac{\frac{15}{20} + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{15+16}{20}}{2} = \frac{31}{40}$

इस प्रकार $\frac{3}{5}$ तथा $\frac{4}{5}$ के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ क्रमशः $\frac{13}{20}, \frac{27}{40}, \frac{7}{10}, \frac{31}{40}$ तथा $\frac{15}{20}$ हैं। उत्तर

वैकल्पिक विधि-

हल- $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने की यह भी विधि है। चूँकि हम पाँच संख्याएँ ज्ञात करना चाहते हैं इसलिए दोनों संख्याओं $\frac{3}{5}$ व $\frac{4}{5}$ में $10$ का गुणा करने पर प्राप्त संख्या-

$\frac{3}{5} \times \frac{10}{10} = \frac{30}{50}$ तथा $\frac{4}{5} \times \frac{10}{10} = \frac{40}{50}$ हैं।
अब $\frac{3}{5}$ व $\frac{4}{5}$ के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ क्रमशः $\frac{31}{50}, \frac{32}{50}, \frac{33}{50}, \frac{34}{50}$ तथा $\frac{35}{50}$ होंगी। उत्तर

4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए-

(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर- (i) सत्य है। प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। यह कथन सत्य है क्योंकि पूर्ण संख्याओं के संग्रह में सभी प्राकृत संख्याएँ भी होती हैं, केवल शून्य ही अतिरिक्त होता है।

पूर्ण संख्याएँ
अतः यह भी कहा जा सकता है कि प्रत्येक पूर्ण संख्या प्राकृत संख्या नहीं होती लेकिन प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
(ii) असत्य है। दिया गया कथन कि प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है सत्य नहीं है क्योंकि पूर्ण संख्याओं के संग्रह में $0, 1, 2, 3, ...$ आदि संख्याएँ ही होती हैं ऋणात्मक संख्याएँ जैसे $-3, -2, -1$ आदि नहीं।

पूर्णांक संख्याएँ
(iii) असत्य है। दिया गया कथन कि प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है, सत्य नहीं है क्योंकि पूर्ण संख्याएँ परिमेय संख्याओं का ही भाग होती हैं। जैसे $\frac{5}{7}$ एक परिमेय संख्या है किन्तु पूर्ण संख्या नहीं है।

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प्रश्नावली 1.2

1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए-

(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु $\sqrt{m}$ के रूप का होता है, जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

उत्तर-(i) दिया गया कथन सत्य है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्याओं का संग्रह परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर ही बनता है। अर्थात् अन्य शब्दों में कहा जाए तो परिमेय संख्या एवं अपरिमेय संख्या दोनों ही वास्तविक संख्याओं का भाग होती हैं।

(ii) दिया गया कथन असत्य है क्योंकि वास्तविक संख्याएँ ..... $-4, -3, -2, -1$ संख्या रेखा पर हैं लेकिन ये किसी भी प्राकृत संख्या के वर्गमूल के रूप में नहीं होती।
(iii) दिया गया कथन असत्य है क्योंकि वास्तविक रेखाओं के संग्रह में परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ दोनों होती हैं। अतः परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होते हुए भी अपरिमेय संख्याएँ नहीं हो सकतीं।

2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।

हल- नहीं। सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं। जैसे- $4, 9, 16, 25, 36, ....$ आदि धनात्मक पूर्णांक हैं लेकिन इनके वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या न होकर परिमेय संख्या है, जैसे-

$\sqrt{4} = 2 =$ एक परिमेय संख्या
$\sqrt{9} = 3 =$ एक परिमेय संख्या
$\sqrt{16} = 4 =$ एक परिमेय संख्या
$\sqrt{25} = 5 =$ एक परिमेय संख्या
$\sqrt{36} = 6 =$ एक परिमेय संख्या आदि।

3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है?

हल- $\because 5 = (2)^2 + (1)^2$

यहाँ हम $\sqrt{5}$ की रचना एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लम्बाई के रूप में तथा आधार व लम्ब की लम्बाई के रूप में $2$ व $1$ एकक (इकाई) के रूप में करेंगे।

माना कि $OX$ एक संख्या रेखा है जिस पर $O$ शून्य $(0)$ को और $A, 2$ एकक लम्बाई को निरूपित करता है। अब एक रेखा $AB, OA$ पर खींची जो $A$ बिन्दु पर लम्ब है अर्थात् $AB \perp OA$। अब $AB = 1$ एकक लम्बाई पर $B$ बिन्दु लिखेंगे।

अब $OB^2 = OA^2 + AB^2$

$= (2)^2 + (1)^2 = 4 + 1 = 5$
$\therefore OB = \sqrt{5}$

संख्या रेखा पर निरूपण करने के लिए एक परकार की सहायता से $O$ को केन्द्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर हम संख्या रेखा पर एक बिन्दु $P$ अंकित करेंगे जो कि संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ के संगत है। अतः $P$ वह बिन्दु होगा जो अपरिमेय संख्या $\sqrt{5}$ का निर्धारण करेगा।
यहाँ $OP = OB = \sqrt{5} = 2.236$ (लगभग)

4. कक्षा के लिए क्रियाकलाप (वर्गमूल सर्पिल की रचना)-

हल- कागज की एक बड़ी शीट लीजिए और नीचे दी गई विधि से वर्गमूल सर्पिल की रचना कीजिए। अर्थात् सबसे पहले एक $O$ बिन्दु लीजिए और एकक लम्बाई का रेखाखण्ड $OP_1$ खींचिए। एकक लम्बाई वाले $OP_1$ पर लम्ब रेखाखण्ड $P_1P_2$ खींचिए अर्थात् $OP_1 \perp P_1P_2$।

इसी प्रकार $OP_2$ पर लम्ब रेखाखण्ड $P_2P_3$ खींचिए व $OP_3$ पर लम्ब रेखाखण्ड $P_3P_4$ खींचिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए $OP_{n-1}$ पर एकक लम्बाई वाला लम्ब रेखाखण्ड खींचकर आप रेखाखण्ड $P_{n-1} P_n$ प्राप्त कर सकते हो। इस प्रकार आप बिन्दु $O, P_1, P_2,$

आकृति : वर्गमूल सर्पिल की रचना

$P_3, \dots, P_n \dots$ प्राप्त कर लेंगे और उन्हें मिलाकर $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \dots$ को प्रदर्शित करने वाला एक सुन्दर सर्पिल प्राप्त कर सकते हो।

प्रश्नावली 1.3

1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है-

(i) $\frac{36}{100}$ (ii) $\frac{1}{11}$ (iii) $4\frac{1}{8}$
(iv) $\frac{3}{13}$ (v) $\frac{2}{11}$ (vi) $\frac{329}{400}$

हल-(i) $\frac{36}{100} = 0.36 =$ सांत दशमलव

(ii) $\frac{1}{11}$ (1 में 11 से भाग देने पर)

अर्थात् $\frac{1}{11} = 0.09090909\dots\dots$

$= 0.\overline{09} =$ अनवसानी पुनरावर्ती (असांत और आवृत्ति)

(iii) $4\frac{1}{8} = \frac{33}{8}$ (33 में 8 से भाग देने पर)

अर्थात् $4\frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125 =$ सांत दशमलव

(iv) $\frac{3}{13}$

अर्थात् $\frac{3}{13} = 0.230769230769\dots\dots$

$= 0.\overline{230769}$
$=$ अनवसानी पुनरावर्ती (असांत और आवृत्ति)

(v) $\frac{2}{11}$

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अर्थात् $\frac{2}{11} = 0.1818.....$

$= 0.\overline{18} =$ अनवसानी पुनरावर्ती (असांत और पुनरावर्ती)

(vi) $\frac{329}{400}$

अर्थात् $\frac{329}{400} = 0.8225 =$ सांत

2. आप जानते हैं कि $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ है। वास्तव में लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे?

उत्तर- हाँ। प्रश्न में दी गई सभी संख्याओं क्रमशः $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ का दशमलव प्रसार आवर्ती दशमलव है जो कि $1, 4, 2, 8, 5, 7$ का ही प्रसार है। जैसे-

अर्थात् $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$
$\frac{2}{7}$ का मान ज्ञात करने के लिए यह जानना आवश्यक होगा कि शेषफल $2$ कब आता है तथा उससे सम्बन्धित भागफल, जो कि इस प्रश्न में $2$ है, तब वहाँ से आरम्भ होने वाला नया भागफल लिखना होगा। अर्थात्
$\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$
इसी प्रकार $\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}, \frac{4}{7} = 0.\overline{571428}, \frac{5}{7} = 0.\overline{714285}, \frac{6}{7} = 0.\overline{857142}$

3. निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं तथा $q \neq 0$ है-
(i) $0.\overline{6}$ (ii) $0.4\overline{7}$ (iii) $0.00\overline{1}$

हल-(i) क्योंकि हम यह नहीं जानते हैं कि $0.\overline{6}$ क्या है, अतः माना $x = 0.\overline{6}$

या $x = 0.6666.....$ .....(i)
दोनों पक्षों में $10$ का गुणा करने पर
$10x = 10 \times (0.6666...) = 6.6666....$
$\Rightarrow 10x = 6.6666....$ .....(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
$10x - x = (6.6666.....) - (0.6666)$
या $9x = 6$
$\Rightarrow x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ अर्थात् $x = \frac{2}{3}$
अतः $0.\overline{6} = \frac{2}{3}$ उत्तर

(ii) क्योंकि हम यह नहीं जानते हैं कि $0.4\overline{7}$ क्या है, अतः माना कि
$x = 0.4\overline{7}$
या $x = 0.4777.....$ .....(i)
दोनों पक्षों में $10$ से गुणा करने पर
$10x = 10 \times (0.4777.....) = 4.777.....$
$\Rightarrow 10x = 4.777.....$ .....(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
$10x - x = (4.777.....) - (0.4777.....)$
$\Rightarrow 9x = 4.3$
या $x = \frac{4.3}{9} = \frac{43}{90}$

अतः $0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$ उत्तर

(iii) क्योंकि हम यह नहीं जानते हैं कि $0.\overline{001}$ क्या है, अतः माना कि
$x = 0.\overline{001}$
$\therefore x = 0.001001001.....$ .....(i)
दोनों पक्षों में $1000$ से गुणा करने पर
$1000x = 1000 \times (0.001001001.....)$
$1000x = 1.001001.....$ .....(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
$1000x - x = (1.001001...) - (0.001001...)$
$\Rightarrow 999x = 1$
$\Rightarrow x = \frac{1}{999}$
अतः $0.\overline{001} = \frac{1}{999}$ उत्तर

4. $0.99999.....$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।

हल- माना कि $x = 0.9999.....$ .....(i)

दोनों पक्षों में $10$ से गुणा करने पर
$10x = 10 \times (0.99999.....)$
$10x = 9.9999.....$ .....(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
$10x - x = (9.9999....) - (0.9999....)$
$\Rightarrow 9x = 9$
$\Rightarrow x = \frac{9}{9} = 1$
अतः $0.99999..... = 1$
हाँ! हम उत्तर से आश्चर्यचकित हैं। परन्तु उत्तर सार्थक है क्योंकि प्रश्नानुसार हम देखते हैं कि $0.9999.....$ सतत है अर्थात् दशमलव के बाद $9$ का अंक लगातार आएगा। अर्थात् $1$ और $0.9999$ के बीच कोई रिक्तता या शून्यता नहीं है। अतः वे समान हैं।

5. $\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में अंकों की पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।

हल-

यहाँ शेष $1$ रहने पर चरण B अर्थात् आगे का हल प्रथम चरण A के अनुसार है।

$\therefore \frac{1}{17} = 0.0588235294117647.....$

$= 0.\overline{0588235294117647}$
$\therefore \frac{1}{17}$ के भागफल में अंकों की अधिकतम संख्या $16$ है।
यह भागफल या दी गई संख्या $\frac{1}{17}$ अनवसानी आवर्ती दशमलव है।

प्रश्न 6. $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं, जिनका $1$ के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि $q$ को कौनसा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए?

हल- $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$) के रूप की परिमेय संख्याएँ क्रमशः $\frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{639}{250}, \frac{7}{16}, \frac{11}{25} \dots$ आदि हो सकती हैं जिनका सांत दशमलव निरूपण होता है। सांत दशमलव की परिभाषा के अनुसार जब किसी परिमेय संख्या का हर $2$ या $5$ या दोनों की घात में हो तो ऐसी परिमेय संख्याओं से सांत दशमलव प्राप्त होता है। अन्य शब्दों में यह भी कहा जा सकता है कि परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$) को सांत दशमलव रूप में निरूपित करने के लिए यह आवश्यक है कि प्रत्येक $q$ ऐसा लिया जाए कि $q$ के अभाज्य गुणनखंड में केवल $2$ के घात या $5$ के घात या दोनों ही हों।

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0.5$
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$
$\frac{639}{250} = \frac{639 \times 4}{250 \times 4} = \frac{2556}{1000} = 2.556$
$\frac{7}{16} = \frac{7 \times 625}{16 \times 625} = \frac{4375}{10000} = 0.4375$
$\frac{11}{25} = \frac{11 \times 4}{25 \times 4} = \frac{44}{100} = 0.44$

प्रश्न 7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।

हल- हम जानते हैं कि एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है या इसका विलोम अर्थात् वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है, अपरिमेय होती है।

अतः:
$\sqrt{2} = 1.41421356237\dots$
$\sqrt{3} = 1.73205080756\dots$
$\frac{1}{\sqrt{5}} = 0.44721359549\dots$
$\sqrt{10} = 3.16227766016\dots$
इन उदाहरणों के अतिरिक्त छात्र स्वयं भी कुछ अन्य अपरिमेय या ऐसी संख्याएँ लिख सकते हैं जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी हों। जैसे-
$0.01001000100001\dots$
$0.202002000200002\dots$
$0.003000300003\dots$ आदि।

प्रश्न 8. परिमेय संख्याओं $\frac{5}{7}$ और $\frac{9}{11}$ के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल- परिमेय संख्या $\frac{5}{7}$ का दशमलव निरूपण निम्नानुसार है-

इसके आगे हल करने की प्रक्रिया पूर्वानुसार है।

$\therefore \frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$

अब दूसरी संख्या $\frac{9}{11}$ का दशमलव निरूपण निम्नानुसार है-

इसको आगे हल करने की प्रक्रिया चरण E के अनुसार है।

$\therefore \frac{9}{11} = 0.\overline{81}$

अब $\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$ तथा $\frac{9}{11} = 0.\overline{81}$ के मध्य अनेक अपरिमेय संख्याओं को ज्ञात किया जा सकता है। उनमें से कोई तीन $0.7507500075000075....$, $0.767076700767000767....$ तथा $0.808008000800008....$ भी हो सकती हैं।

9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं-
(i) $\sqrt{23}$
(ii) $\sqrt{225}$
(iii) $0.3796$
(iv) $7.478478....$
(v) $1.101001000100001....$

हल- अपरिमेय संख्याएँ-(i) व (v) हैं।

(i) $\sqrt{23}$ अभाज्य संख्या होने के कारण अपरिमेय है क्योंकि अभाज्य संख्या एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती है।
(v) $1.101001000100001....$ यह संख्या अपरिमेय है क्योंकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है।

परिमेय संख्याएँ-(ii), (iii) व (iv) हैं।
(ii) $\sqrt{225}$ का वर्गमूल $\sqrt{15 \times 15} = 15$ होता है जो कि एक परिमेय संख्या है।
(iii) $0.3796$ का दशमलव प्रसार सांत दशमलव होने के कारण परिमेय संख्या है।
(iv) $7.478478....$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती होने के कारण एक परिमेय संख्या है।

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प्रश्नावली 1.4

1. बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं-
(i) $2 - \sqrt{5}$
(ii) $(3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23}$
(iii) $\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}$
(iv) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(v) $2\pi$

उत्तर-(i) $2 - \sqrt{5}$

हम जानते हैं कि एक परिमेय तथा अपरिमेय संख्या का अन्तर सदा ही अपरिमेय संख्या होता है। दी गई संख्या में $2$ एक परिमेय संख्या है जिसमें से $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या को घटाना है। घटाने पर निश्चित ही एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होगी अर्थात् $2 - \sqrt{5} =$ अपरिमेय संख्या।

(ii) $(3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23}$

$= 3 + \sqrt{23} - \sqrt{23} = 3 =$ एक परिमेय संख्या
अर्थात् दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।

(iii) $\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} = \frac{2}{7} =$ एक परिमेय संख्या
अर्थात् दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।

(iv) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ दी गई संख्या $\frac{1}{\sqrt{2}}$ में $1$ परिमेय संख्या है तथा $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। हम जानते हैं कि शून्येतर परिमेय संख्या तथा एक अपरिमेय संख्या का भागफल सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है। अतः दी गई संख्या एक अपरिमेय संख्या है।

(v) $2\pi$, इस दी गई संख्या में $2$ एक परिमेय संख्या है तथा $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है। हम जानते हैं कि एक शून्येतर परिमेय संख्या तथा एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदैव ही एक अपरिमेय संख्या होता है। अतः दी गई संख्या एक अपरिमेय संख्या है।

2. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए-
(i) $(3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2})$
(ii) $(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})$
(iii) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$
(iv) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

हल-(i) $(3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2})$

$= 3 \times 2 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{2}$
$= 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$ उत्तर

(ii) $(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})$

$= (3)^2 - (\sqrt{3})^2$
$[\because (a+b)(a-b) = a^2 - b^2]$

$= 9 - 3 = 6$ उत्तर

(iii) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$

$= (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5} \times \sqrt{2}$
[सूत्र $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ के अनुसार]

$= 5 + 2 + 2\sqrt{10}$
$= 7 + 2\sqrt{10}$ उत्तर

(iv) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

$= (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2$
[सूत्र $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ के अनुसार]

$= 5 - 2 = 3$. उत्तर

3. आपको याद होगा कि $\pi$ को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए $c$) और उसके व्यास (मान लीजिए $d$) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है,
अर्थात् $\pi = \frac{c}{d}$ है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि $\pi$ अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?

उत्तर- इसका कोई अंतर्विरोध नहीं है क्योंकि एक वृत्त की परिधि ($c$) तथा उसका व्यास ($d$) अपरिमेय होते हैं। इसका कारण यह है कि जब कभी भी एक स्केल से या किसी अन्य युक्ति से लम्बाई मापते हैं, तब केवल एक निकटतम परिमेय मान प्राप्त होता है। इसी कारण आप यह अनुभव नहीं कर पाते हैं कि $c$ या $d$ अपरिमेय हैं। यहाँ

$\pi = \frac{c}{d}$
अतः $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

4. संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को निरूपित कीजिए।

उत्तर- $\sqrt{9.3}$ को संख्या रेखा पर प्रदर्शित करने के लिए सर्वप्रथम एक दी हुई रेखा पर एक स्थिर बिन्दु $A$ से $9.3$ इकाई की दूरी पर एक अन्य बिन्दु $B$ अंकित किया अर्थात् $AB = 9.3$ इकाई। बिन्दु $B$ से $1$ इकाई की दूरी पर एक और बिन्दु $C$ अंकित कर दिया। अब रेखा $AC$ का समद्विभाग कर बिन्दु $O$ ज्ञात कर लिया। अब $O$ को केन्द्र मानकर $OC$ के बराबर त्रिज्या लेकर एक अर्द्धवृत्त की रचना की। अब $AC$ पर एक लम्ब रेखा खींचिए जो $B$ से होकर जाए तथा अर्द्धवृत्त को बिन्दु $D$ पर काटे। इस प्रकार प्राप्त $BD = \sqrt{9.3}$ है।

केन्द्र $B$ से $BD$ त्रिज्या का चाप खींचा जो $BX$ को $E$ पर काटे। इस प्रकार प्राप्त $BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को निरूपित करता है।

---

गणितीय परिकलन-
$\because OA = OC = OD$ (अर्द्धवृत्त की त्रिज्या)
$OA = OC = OD = \frac{1}{2}AC$

$= \frac{1}{2}[AB + BC]$
$[\because AC = AB + BC]$

$= \frac{1}{2}[9.3 + 1.0]$
$= \frac{1}{2} \times 10.3 = 5.15$

अब पुनः समकोण त्रिभुज $OBD$ से पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$OB^2 + BD^2 = OD^2$
$\therefore BD^2 = OD^2 - OB^2$

$= (OD - OB)(OD + OB)$
$[\because a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)]$
$\therefore BD = \sqrt{(OD - OB)(OD + OB)}$

$= \sqrt{(5.15 + 4.15)(5.15 - 4.15)}$
$[\because OB = OC - BC = 5.15 - 1 = 4.15]$
$\therefore BD = \sqrt{9.3 \times 1} = \sqrt{9.3}$ उत्तर

5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए-
(i) $\frac{1}{\sqrt{7}}$
(ii) $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$
(iii) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$
(iv) $\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$

हल-(i) $\frac{1}{\sqrt{7}}$

अंश व हर को $\sqrt{7}$ से गुणा करने पर
$\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ उत्तर

(ii) $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$
अंश व हर को $(\sqrt{7} + \sqrt{6})$ से गुणा करने पर

$= \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2}$
$[\because a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)]$

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{7 - 6} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{1} = \sqrt{7} + \sqrt{6}$ उत्तर

(iii) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$
दी गई संख्या के अंश व हर में $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ से गुणा करने पर

$= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}$
$[\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)]$

$= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$ उत्तर

(iv) $\frac{1}{\sqrt{7}-2}$
दी गई संख्या के अंश व हर में $\sqrt{7}+2$ से गुणा करने पर

$= \frac{1}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}$
$= \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2-(2)^2}$
$[\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)]$

$= \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$ उत्तर

प्रश्नावली 1.5

1. ज्ञात कीजिए-
   (i) $64^{\frac{1}{2}}$ (ii) $32^{\frac{1}{5}}$ (iii) $125^{\frac{1}{3}}$

हल-(i) $64^{\frac{1}{2}}$

$= (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{2}}$
$= (2^6)^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \times \frac{1}{2}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

(ii) $32^{\frac{1}{5}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{5}}$

$= (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \times \frac{1}{5}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 2^1 = 2$

(iii) $125^{\frac{1}{3}} = (5 \times 5 \times 5)^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}}$

$= 5^{3 \times \frac{1}{3}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 5^1 = 5$

2. ज्ञात कीजिए-
   (i) $9^{\frac{3}{2}}$ (ii) $32^{\frac{2}{5}}$
   (iii) $16^{\frac{3}{4}}$ (iv) $125^{\frac{-1}{3}}$

हल-(i) $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}}$

$= 3^{2 \times \frac{3}{2}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ उत्तर

(ii) $32^{\frac{2}{5}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{2}{5}}$

$= (2^5)^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{5 \times 2}{5}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 2^2 = 2 \times 2 = 4$ उत्तर

(iii) $16^{\frac{3}{4}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{3}{4}}$

$= (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ उत्तर

(iv) $125^{\frac{-1}{3}} = (5 \times 5 \times 5)^{\frac{-1}{3}}$

$= (5^3)^{\frac{-1}{3}} = 5^{3 \times \frac{-1}{3}}$
$[\text{सूत्र } (a^m)^n = a^{m \times n} \text{ के अनुसार}]$

$= 5^{-1} = \frac{1}{5}$ उत्तर

$[\because a^{-1} = \frac{1}{a}, a \neq 0]$

3. सरल कीजिए-
   (i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$ (ii) $\left(\frac{1}{3^3}\right)^7$
   (iii) $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}$ (iv) $7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}$

हल-(i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{5}}$

[सूत्र $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ के अनुसार]

$= 2^{\frac{10+3}{15}} = 2^{\frac{13}{15}}$ उत्तर

(ii) $\left(\frac{1}{3^3}\right)^7 = (3^{-3})^7$
[सूत्र $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$ के अनुसार]

$= (3)^{-3 \times 7} = 3^{-21}$ उत्तर

(iii) $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} = 11^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}$
[सूत्र $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ के अनुसार]

$= 11^{\frac{2-1}{4}} = 11^{\frac{1}{4}}$ उत्तर

(iv) $7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} = (7 \times 8)^{\frac{1}{2}}$
[सूत्र $a^m \cdot b^m = (ab)^m$ के अनुसार]

$= (56)^{\frac{1}{2}}$ उत्तर

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अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. $\frac{3}{\sqrt{48} - \sqrt{75}}$ का मान है-
(A) $-\sqrt{3}$
(B) $+\sqrt{3}$
(C) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
(D) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

2. $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ बराबर है-
(A) $2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$
(B) $\frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$
(C) $\frac{1}{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$
(D) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

3. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अपरिमेय है?
(A) $\sqrt{9} - 2$
(B) $(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})$
(C) $(\sqrt{3} + 2)$
(D) $-\sqrt{64}$

4. $\sqrt{8} \times \sqrt{18} \times \sqrt{400}$ बराबर है-
(A) 120
(B) 180
(C) 240
(D) 300

5. $\frac{5}{6}$ को ऐसी परिमेय संख्या के रूप में जिसका हर 18 हो, में बदलने पर संख्या प्राप्त होगी-
(A) $\frac{18}{5}$
(B) $\frac{18}{15}$
(C) $\frac{15}{18}$
(D) $\frac{5}{18}$

6. $\frac{327}{500}$ का दशमलव रूप होगा-
(A) 65.4
(B) 654
(C) 6.54
(D) .654

7. निम्न में से अपरिमेय संख्या है-
(A) 0.13
(B) 0.017123
(C) $0.\overline{1416}$
(D) $0.51021357.....$

8. $1.\overline{6}$ का सरलतम रूप है?
(A) $\frac{8}{5}$
(B) $\frac{5}{3}$
(C) $\frac{833}{500}$
(D) $\frac{7}{6}$

9. $\sqrt[4]{3 \sqrt{2^2}}$ बराबर है-
(A) $2^{-\frac{1}{6}}$
(B) $2^{-6}$
(C) $2^{\frac{1}{6}}$
(D) $2^6$

10. $\sqrt[x]{3} \times \sqrt[y]{5} = 10125$, तब $12xy =$
(A) 1
(B) $\frac{1}{3}$
(C) 2
(D) $\frac{1}{2}$

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उत्तर-तालिका

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. $29.9999...........$ का $\frac{p}{q}$ रूप है...........

2. $(x^{-1} + y^{-1})^{-1}$ का सरल रूप ........... है।

3. यदि $a, m, n$ धनात्मक पूर्णांक हैं तब ${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}}^{mn} = \dots\dots\dots$ है।

4. यदि $\frac{5-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = x + y\sqrt{3}$, तब $x = \dots\dots\dots$ और $y = \dots\dots\dots$

5. यदि $x = \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$, तब $x^3 + \frac{1}{x^3} = \dots\dots\dots$

उत्तर- 1. $30$ 2. $\frac{xy}{x+y}$ 3. $a$ 4. $13, -7$ 5. $4$

सत्य/असत्य- निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. यदि $x^2 = 0.4$, तब $x$ एक परिमेय संख्या है।
2. दो अपरिमेय संख्याओं के बीच कोई परिमेय संख्या नहीं होती।
3. $a^p b^p = (ab)^p$
4. यदि $r$ परिमेय और $s$ अपरिमेय है, तब $r \pm s$ परिमेय संख्याएँ हैं।
5. प्रत्येक अपरिमेय संख्या का व्युत्क्रम एक परिमेय संख्या होता है।

उत्तर- 1. असत्य 2. असत्य 3. सत्य 4. असत्य 5. असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. $2$ और $3$ के मध्य एक परिमेय संख्या लिखिए।

हल- $2$ और $3$ के बीच परिमेय संख्या $= \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$ उत्तर

2. दो ऐसी अपरिमेय संख्यायें लिखिए कि उनका योगफल एक परिमेय संख्या हो।

हल- $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}$ उत्तर

3. दो ऐसी अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दीजिए जिनका भागफल एक परिमेय संख्या हो।

हल- $\sqrt{18}, \sqrt{2}$

चूँकि $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$
जो कि एक परिमेय संख्या है।

4. $\sqrt{5}+1$ का परिमेयकारी गुणक लिखिए।

हल- $\sqrt{5}-1$

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5. $2\sqrt{2}+5\sqrt{3}$ और $\sqrt{2}-3\sqrt{3}$ को जोड़िए।

हल- $(2\sqrt{2}+5\sqrt{3}) + (\sqrt{2}-3\sqrt{3})$

$= (2\sqrt{2}+\sqrt{2}) + (5\sqrt{3}-3\sqrt{3})$
$= (2+1)\sqrt{2} + (5-3)\sqrt{3}$

$= 3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ उत्तर

6. $8\sqrt{15}$ को $2\sqrt{3}$ से भाग दीजिए।

हल- $8\sqrt{15} \div 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

$= 4\sqrt{5}$ उत्तर

7. $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल- $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

अंश व हर में $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ का गुणा करने पर

$= \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3-5} = (\frac{-5}{2})(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

8. संख्या $0.12\bar{3}$ का सरलतम रूप लिखो।

हल- माना $x = 0.12\bar{3}$, तब

$100x = 12.\bar{3}$
$\Rightarrow 100x = 12 + 0.\bar{3} = 12 + \frac{3}{9}$
$\Rightarrow 100x = 12 + \frac{1}{3} = \frac{37}{3}$
$\Rightarrow x = \frac{37}{300}$ उत्तर

9. $2.\bar{36} + 0.\bar{23}$ का मान सरलतम रूप में ज्ञात करो।

हल- $2.\bar{36} + 0.\bar{23} = 2 + 0.\bar{36} + 0.\bar{23}$

$= 2 + \frac{36}{99} + \frac{23}{99}$
$= 2 + \frac{59}{99} = \frac{257}{99}$ उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = a + b\sqrt{3}$ तब $a$ तथा $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल- प्रश्नानुसार $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = a + b\sqrt{3}$

दी गई संख्या में $\sqrt{3}-1$ का अंश व हर में गुणा करने पर

$= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$
$= \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = (2-\sqrt{3})$
$= 2 + (-1)\sqrt{3}$
$\therefore a + b\sqrt{3} = 2 + (-1)\sqrt{3}$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर
$a = 2, b = (-1)$ उत्तर

2. $2.\overline{37}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ $p$ तथा $q$ पूर्णांक हैं तथा $q \neq 0$ है।

हल- माना कि $x = 2.\overline{37}$

$x = 2.373737......$ .....(i)
दोनों पक्षों में $100$ का गुणा करने पर
$100x = 100 \times (2.373737.....)$
$100x = 237.373737$ .....(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
$99x = 235$
$x = \frac{235}{99}$ उत्तर

3. $\sqrt{2}$ को संख्या रेखा पर प्रदर्शित कीजिए।

हल- $\sqrt{2}$ का संख्या रेखा पर प्रदर्शन-

माना कि $1$ इकाई $= 1$ सेमी. संख्या पर $AX$ पर $1$ सेमी. की दूरी पर $A$ (शून्य) से $1, 2, 3, .....$ भाग अंकित किए गए। इस प्रकार $AB = 1$ सेमी., अब $AB$ के बिन्दु $B$ पर परकार की सहायता से $90^{\circ}$ का कोण बनाइए। बिन्दु $B$ से $1$ सेमी. का लम्बा चाप काटिए जो समकोण की भुजा को बिन्दु $C$ पर काटता है। $A$ व $C$ को मिला दिया। यहाँ,
$AC^2 = AB^2 + BC^2$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\Rightarrow AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2}$

$= \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
अर्थात् $AC$ की लम्बाई $= \sqrt{2}$ सेमी. होगी।
पुन: $AC$ लम्बाई को परकार में भरकर बिन्दु $A$ से एक चाप खींचिए जो $AX$ संख्या रेखा को बिन्दु $D$ पर काटता है। इस प्रकार संख्या रेखा पर $AD = \sqrt{2}$ सेमी. $= \sqrt{2}$ इकाई होगी।

4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दो।

(i) प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।

हल- (i) असत्य है, क्योंकि शून्य एक पूर्ण संख्या है परन्तु प्राकृत संख्या नहीं है।

(ii) सत्य है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक $m$ को $\frac{m}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है व इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
(iii) असत्य है, जैसे $\frac{3}{5}$ एक पूर्णांक नहीं है।

5. $\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच की एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

हल- हम हल कर सकते हैं कि

$\frac{1}{7} = 0.142857$
तथा यह भी सरलता से ज्ञात किया जा सकता है कि
$\frac{2}{7} = 0.285714$
$\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच की एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए हम एक ऐसी संख्या ज्ञात करते हैं जो इन दोनों के बीच स्थित अनवसानी अनावर्ती होती है।

इस प्रकार की संख्याएँ $\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच अपरिमित रूप से ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रकार की संख्या का एक उदाहरण $0.150150015000150000.....$ है।

6. निम्नलिखित व्यंजकों को सरल कीजिए-
(i) $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5})$
(ii) $(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})$
(iii) $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2$
(iv) $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})$

हल-

(i) $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5})$

$=10+5\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{35}$

$= (36)^{-\frac{5}{2}} = (6^2)^{-\frac{5}{2}}$ [$\because 36 = 6 \times 6 = 6^2$]

$= 6^{2 \times -\frac{5}{2}} = 6^{-5}$
[सूत्र $(x^m)^n = x^{m \times n}$ के अनुसार]